Al g u n o s t ó p i c o s s o b r e Con Co n j u n t o s
Denotaremos por al conjunto universo, que es el conjunto que posee todos los elementos de interés. A un subconjunto de A , x ∊ A, x ∊
Al g u n o s t ó p i c o s s o b r e Con Co n j u n t o s
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera entonces Unión :
A ∪ B = {x / x∊A o x∊B}
Intersección :
A ∩ B = {x / x ∊ A y x ∊ B}
Complemento :
Ac ={x ∊ Ω / x A }
Diferencia:
ABc=A – B = {x ∊ Ω/ x ∊ A y x B}
Algunos tópicos sobre Conjuntos Conjunto Vacío es el conjunto que no posee
elementos, se denota por (Notemos que A Ac = ) Conjuntos disj untos o mutuamente excluyente:
A B =
PROBABILIDAD En el capítulo anterior se vieron algunos de los métodos utilizados para describir un conjunto de datos con el único propósito de describir los resultados de un experimento concreto. El cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se denominan aleatorios, cuya característica fundamental es la incertidumbre del resultado, esto significa que es imposible, predecir los resultados porque hay más de uno posible.
Probabilidad E stu studia los fen fenómenos aleatorios, los cuales obedecen ciertas reglas de comportamiento.
Se relaciona con las propiedades de la frecuencia relativa.
Experimento
Es cualquier acción que pueda dar lugar a resultados identificables. Suponemos que es posible repetir el experimento gran número de veces bajo la mismas condiciones y que todos los posibles resultados son conocidos antes de la realización del experimento.
Experimento Aleatorio
Determinístico
•Lanzar una moneda al aire.
• Soltar una piedra en el aire.
•Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos y no defectuosos.
• Lanzar una pelota en un tanque para ver si flota o se hunde.
Experimento Aleatorio Se puede definir como aquél experimento que verifica lo siguiente: • se puede repetir bajo las mismas condiciones. • se conocen todos los posibles resultados antes de la realización del experimento. • no se puede predecir el resultado del mismo antes de realizarlo.
Experimento Aleatorio
– Lanzamiento de un dado . – Lanzamiento de dos monedas. – Medición del nº de accidentes que ocurren en una ciudad durante un día. – Germinación de una semilla después de aplicar un la fórmula X. – Contenido de alguna sustancia contaminante en una muestra tomada en un lago.
Definiciones • Espacio Muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a dicho experimento aleatorio. • Evento o Suceso es un subconjunto del espacio muestral. – Suceso Seguro. – Suceso Imposible. • Suceso Elemental o Puntos Muestrales elementos integrantes del espacio muestral.
son los
Espacio muestral Evento o Sucesos Evento imposible
Evento seguro
Evento elemental
Ejemplo:
Determine el espacio muestral
1. Lanzar una moneda y observar su cara superior.
C,S 2. Lanzar un dado y observar su cara superior.
1,2,3,4,5,6
Ejemplo:
Determine el espacio muestral
3. Contar el número de autos que pasan por una esquina, hasta que se produzca un accidente. 4. Observar el tiempo de vida de un artefacto eléctrico. 5. Lanzar dos monedas al aire y observar su cara superior. 6. Lanzar una moneda y un dado y observar su cara superior.
Técnicas de Conteo Principi o de Multiplicación:
Si una operación puede realizarse de n1 formas y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en n2 formas y para cada una de las dos primeras se puede realizar una tercera operación en n3 formas y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar de n1*n2*n3*...*nk formas.
Técnicas de Conteo Principi o de Multiplicación:
¿Cuántos puntos muestrales hay en el espacio muestral cuando se lanza una vez un par de dados? Ejemplo:
Solución:
El primer dado puede caer de n1= 6
maneras. Para cada una de esas 6 maneras el segundo dado puede caer n2= 6 maneras. Por lo tanto el par de dados puede caer de: n1*n2 = 6*6=36 formas distintas.
Definición: Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos. Definición: El número de permutaciones de n objetos diferentes está dado por: n n
P n! 1 2 3 ... n n!
: Se lee como “n”factorial
Ejemplo:
Las permutaciones posibles para las letras “a, b y c” son: abc - acb - bac - bca - cab - aba Es decir podemos arreglar los tres elementos de 6 maneras diferentes. Pnn n! P33 3! P33 3 2 1 P33 6
El número de permutaciones distintas de “n” elementos tomando “k”a la vez. Está dado por:
k Pn
n! ( n k )!
Ejemplo:
Un grupo está formado por 5 personas y desean formar una comisión integrada por un presidente y un secretario.
Ejemplo:
Un grupo está formado por 5 personas y desean formar una comisión integrada por un presidente y un secretario. P nk
5! (5 2 )! 5! 3! 5 4 3! 3! 20
P 52 P 52 P 52 P 52
n! ( n k )!
Definición: El número de permutaciones de n
objetos, de los cuales ni son de tipo i, i=1,2,...,k es:
n1, ..., nk Pn
n! n !n !... n !
Ejemplo: Un estante tiene capacidad para 10 libros
de matemáticas que tiene tapa verde, 8 de física de tapa roja y 7 de química de tapa azul. ¿De cuántas maneras pueden colocarse los libros según los colores?
Ejemplo: Un estante tiene capacidad para 10 libros
de matemáticas que tiene tapa verde, 8 de física de tapa roja y 7 de química de tapa azul. ¿De cuántas maneras pueden colocarse los libros según los colores?
P
n 1 ,..., n k n
10,8,7 P25 10,8,7 P25
n!
n 1 ! n 2 !...n k !
25! 10! 8 !7! 21.034.470.600
Definición: Se llama combi nación de n objetos, tomando k a la vez, a la selección de objetos
con independencia de su ordenamiento. Es el número de subconjuntos de k objetos elegidos de entre los n.
n n Cr
r
n! r!(n r )!
Ejemplo: Un grupo está formado por 5 personas y
desean formar una comisión integrada por 2 personas ¿ De cuántas formas distintas puede formar esta comisión?
n n! C r r !(n r )! n r
C25
5 5! 2 2!(5 2)! 5 10 2
Métodos para asignar probabilidades Por estimación
personal
de frecuencias relativas
clásica
Personal La probababilidad que se asigne a c/u de los sucesos es una apreciación subjetiva.
Ventajas Siempre es aplicable
Desventajas Su acierto depende de lo correcta que sea la información que dispone y la capacidad de la persona para evaluarla.
Frecuencia relativa. Es aplicable a situaciones en las que el experimento pueda repetirse varias veces y sus resultados puedan ser observados.
N º de veces queocurreel suceso P( A) N º de veces que se realiza el experimento
Frecuencia relativa Ventajas Es más precisa que anterior. Se basa en la observación real del experimento.
Desventaja la Puede ocurrir que el experimento no se lleve a cabo siempre en las mismas condiciones
Ejemplo
Se lanza 100 veces un dado y en 30 de estos sale el dos. ¿Cuál es la probabilidad que saga dos? 30 P (2) 100 P (2) 0,3 ¿Cuál es la probabilidad que no salga el dos?
Probabilidad clásica Se basa en que todos los resultados posibles de un experimento sean equiprobables. La probababilidad de un evento elemental Ai es: 1
P ( Ai )
N
La probabilidad de evento compuesto P ( A)
P ( Ai )
n: Nº de elementos del evento A N: Nº de elementos del espacio muestral
un n N
Probabilidad clásica Ventajas Si es aplicable, la probabilidad obtenida es exacta. No exige la realización de experiencias ni recoger datos. Es de fácil uso.
Desventaja No siempre es aplicable.
Definición de Probabilidad. Sea un espacio muestral asociado a un experimento. La probabilidad P, es una función que asigna a cada evento A, un número P(A), llamado probabilidad del evento A, tal que cumple los siguientes axiomas:
Teorema Sean A y B dos eventos arbitrarios, entonces:
– P ( ) =0 – P(
AC
A
) =1 – P( A )
– Si A B, entonces P( A ) P( B ) – Si A B, entonces P(B – A) =P(B) – P(A)
A
B
• Corolario. Para todo evento A, 0 P( A ) 1 • Teorema. Para dos eventos arbitrarios A y B se tiene que: P( A B ) =P( A ) +P( B ) - P( A B)
A
B
A B
Ejemplo – En una determinada ciudad, el 60% de los hogares se suscriben a un periódico de circulación nacional, el 80% a un periódico de circulación local y el 50 % se suscriben a ambos periódicos. Si se selecciona al azar un hogar, ¿Cuál es la probabilidad de que : • esté suscrito al menos en uno de los dos periódicos? • esté suscrito exactamente a uno de los dos periódicos? • no se suscribe a los periódicos?
Solución
: el conjunto de hogares de una cierta ciudad. A: conjunto de hogares que se suscribe a un periódico de circulación nacional. B: conjunto de hogares que se suscribe a un periódico de circulación local. P(A)=0,6 P(B)=0,8 AB: conjunto de hogares que se suscribe a ambos periódicos. P(AB)= 0,5 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0,6+ 0,8-0,5=0,9 Luego la probabilidad de que un hogar esté suscrito al menos en uno de estos dos periódicos es de 0,9. El 90% de los hogares está suscrito al menos a uno de estos dos periódicos.
Solución – ¿Cuál es la probabilidad de que esté suscrito exactamente a uno de los dos periódicos?
P(A)+P(B)-2P(AB)= 0,6 + 0,8 – 2*0,5 =0,4 Luego la probabilidad de que un hogar esté suscrito a exactamente un periódico es 0,4.
Solución – ¿Cuál es la probabilidad de que no esté suscrito a ningún periódico?
P([AB]c) o bien 1-P(AB) =1-0,9=0,1 Luego la probabilidad de que un hogar no esté suscrito ningún periódico es de 0,1.
Probabilidad Condicional.
– _
A
(observación:
B
P(A/B) =0
si
P(B) =0)
– _
P ( A B) P ( A / B) P (B)
– Observar que P(AB)=P(B)P(A/B) – Análogamente podemos observar que:
P(A B) P(B / A) P(A) – Así P(AB)=P(A)P(B/A)
Ejemplo – En la ciudad de Concepción, la probabilidad que llueva el día uno de junio es 0,5 y la probabilidad que llueva el 1 y 2 de junio es 0,4. • Dado que llovió el 1 de junio ¿cuál es la probabilidad que llueva el día 2 de junio?. – A: llueve el 1 de junio B: llueve el 2 de junio – P(A)=0,5 P(AB)=0,4 P (B / A)
P ( A B) 0,4 0,8 P ( A) 0,5
Luego la probabilidad que llueva el 2 de junio dado que llovió el 1 de junio es de 0,8.
Ejemplo • ¿Cuál es la probabilidad que no llueva el día 2 de junio dado que el 1 de junio llovió? – A: llueve el 1 de junio B: llueve el 2 de junio – P(A)=0,5 P(AB)=0,4 P(B/A)=0,8 – P(Bc/A)=1-P(B/A)=0,2 – Luego la probabilidad que llueva el 2 de junio dado que no llovió el 1 de junio es de 0,2.
Regla de multiplicación
P(AB) =P(B) P(A/B) =P(A) P(B/A) Una generalización de lo anterior está dada por:
k
P( A ) =P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(Ak/A1A2...Ak-1) i 1
i
Ejemplo • Una caja contiene cinco bolas roja y seis negras; se extrae al azar sucesivamente y sin reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos resulten rojas? Intuitivamente tenemos que la probabilidad de sacar una bola roja la primera vez de la caja es de 5/11, luego la caja queda con 10 bolas de las cuales cuatro son rojas. Observe que al sacar nuevamente una bola roja de la caja tenemos que la probabilidad se modificó, ahora es 4/10.
Así la probabilidad de sacar sucesivamente dos bolas rojas es (5/11)(4/10)=2/11.
Definamos Ai como el evento de sacar una bola roja en a i-ésima extracción, así, A1 : será el evento de sacar una bola roja la primera vez, A2 : sacar una bola roja la segunda vez, A2 /A1 : será el evento de sacar una bola roja la segunda vez dado que la primera vez se sacó una bola roja y A1 A2 : será el evento de sacar sucesivamente dos bolas rojas. P(A1)=5/11
P(A2 /A1)=4/10
P(A1 A2)= P(A1) P(A2 /A1)=(5/11)*(4/10) =2/11
Ejemplo • Una caja contiene 5 bolas roja y seis negras; se extrae al azar sucesivamente y con reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos resulten rojas?
En este caso hay reposición, luego la probabilidad no cambia de extracción en extracción, así P(A1)P(A2)=(5/11) 2.
Regla de la Probabilidad Total
– Supongamos que los eventos A1, A2, ... Ak forman una partición del espacio muestral , entonces para cualquier evento B se tiene que: P(B) =P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) +...+ P(B/Ak) P(Ak)
Regla de la Probabilidad Total
P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) +...+ P(B/Ak) P(Ak) Ejemplo:
Podemos escribir B como: B=[BA1] [BA2] [BA3] [BA4]. Dado que son conjuntos disjuntos tenemos que: P(B)=P[BA1] +P[BA2] +[BA3] +[BA4] y por la regla de la multiplicación: P(B)=P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) +...+P(Ak) P(B/Ak)
– En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del proceso B. Si se extrae al azar un producto, hallar la probabilidad que sea defectuoso.
A: sacar un artículo de la línea A. D/A: sacar un artículo defectuoso de la línea A. B: sacar un artículo de la línea B. D/B: saca un artículo defectuoso de la línea B.
P(A)=200/300. P(D/A)=0,20 P(B)=100/300. P(D/B)=0,25
– En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del proceso B. Si se extrae al azar un producto, hallar la probabilidad que sea defectuoso. P(A)=200/300. P(D/A)=0,20 P(B)=100/300. P(D/B)=0,25 D: extracción de defectuoso considerando ambas líneas, esto es si se saca de A que sea defectuoso o si se saca de B y que sea defectuoso, es decir: P[D A] + P[DB].
P(D)= P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=0,217 La probabilidad de extraer un artículo defectuoso es de 0,217.
Teorema de Bayes – Bajo las mismas condiciones de la regla anterior, se tiene que:
P ( Ai / B)
P ( B / Ai )P ( Ai ) k
P (B / A )P ( A ) j
j 1
P (B Ai ) P ( Ai / B) P (B)
j
Ejemplo – En el ejemplo anterior. Si al extraer el producto resultó ser defectuoso, hallar la probabilidad de que sea del proceso A. P(A)=200/300. P(D/A)=0,20 P(B)=100/300. P(D/B)=0,25 D: extracción de defectuoso considerando ambas líneas. P(D)= P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=0,217 P(A/D)=P(D A)/P(D)= P(D/A)P(A)/P(D)=0,615 Luego la probabilidad de ser de la línea A dado que resultó ser defectuoso es de 0,615.
• Definición: Dos eventos A y B son independientes si P(A/B)=P(A) y P(B/A)=P(B). De manera equivalente se dice que dos eventos A y B son independientes si y sólo si P(A B) =P(A) P(B). • Teorema: Si A y B en son eventos independientes, entonces: – A y Bc son eventos independientes. – Ac y B son eventos independientes. – Ac y Bc son eventos independientes.
