10. probabilidades

Razonami ento matemáti co

L i c. Wi l l an James Jam es

DEFINICION DE PROBABILIDAD (Definición Clásica)

El estudio de probabilidades nos proporciona una teoría matemática para medir la posibilidad de ocurrencia de un evento

ESPACIO MUESTRAL (  )

p( A) 

N º de casos faborables" A"

Ejemplo 1 E: Lanzar una moneda al aire: El espacio muestral sería:



= {c;s}

C: cara; S =

sello

n()

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar, al lanzar un dado?

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Si lanzamos 2 monedas, ¿Cuál probabilidad de obtener 2 caras?

E: Lanzar un dado normal



N º de casos posibles 

n( A)

Ejemplo 1

n(  )=2

,



= {1;2;3;4;5;6}

;

n(Q) = 6

Si lanzamos 2 dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los valores obtenidos sea 7?

E: Lanzar 2 monedas. Mediante le diagrama del árbol 1era

s

c

(c,c)

s c

(c,s)

s

(s,s)

(s,c)

Ejemplo 4 E: Lanzar una monedas 3 veces  ={ccc, ccs, csc, css, scc, scs,ssc,sss}

Ejemplo 4 E: Lanzar 2 dados Mediante el diagrama cartesiano

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

5

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

1

2

3

4

n(  )= 6.6= 36 para k dados 6k

3) Si: Si:

P(A) = 0, A= 

A: Evento imposible

4) Para el el evento evento complementario complementario

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola de una caja donde hay 3 bolas rojas, 7 bolas blancas y 6 bolas negras: ésta no sea roja.

5) Para eventos incompatibles o mutuamente excluyentes (A  B =  ).

6

1

A: Evento seguro

Ejemplo

n(  )= 2.2.2=8.

2

1) 0  P(A)  1 2) Si: P(A)=1, A= 

P(A’) =1-P =1-P (A) A' es el complemento del evento A.

n(  )= 2.2=4

3

PROPIEDADES DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

2da

 ={cc, cs, sc, ss}

4

la

Ejemplo 3

Ejemplo 3

c

es

5

Ley de la Adición P(A  B) = P(A) + P(B) ,

AoB

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 ó un número primo al lanzar un dado?

6) Para eventos compatibles o no mutuamente excluyentes (A  Teorema de De Morgan

6

B ≠

 ).

P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o un múltiplo de 3 al lanzar un dado?

A cademia cademi a Pitá Pi tágor as


7) Para eventos independientes

L ic. Wi llan James

7.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o un número primo al lanzar un dado? a) 1/6 b) 2/3 c) 1/2 d) 5/6 e)1

8.

¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma de 7 u 11 en lanzamiento de dos dados? a) 2/9 b) 8/35 c) 6/36 d) 1/18 e)8/9 Se lanzan simultáneamente una moneda y un dado. Calcular la probabilidad de obtener una cara y un número par A) 1/3 B) 1/4 C) 1/6 D)2/3 E) 3/4

Ley Multiplicativa P(A  B)=P(A)xP(B)

Ejemplo 1 ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y un sello al lanzar un dado y una moneda simultáneamente?

9. Ejemplo 2 Una caja contiene 6 bolas verdes y 8 bolas rojas, si se sacan 2 bolas al azar una tras otra con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes?

8) Probabilidad Condicional La probabilidad de que ocurra el evento "B", una vez que ha ocurrido el evento "A" se denota por P(B/A) y se calcula así :

P ( B / A) 

P ( A  B) P ( A)

9) Para eventos dependientes La probabilidad de dos sucesos dependientes (Probabilidad de A y B) es igual a la probabilidad de A, por la probabilidad de B, habiendo ocurrido A.

P( A  B)  P( A)xP(B )A 1.

2.

NIVEL I ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado este resulte 2 o 3? a) 1/6 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/36 e)1/8 Al arrojar 3 dados ¿cual es la probabilidad de obtener los puntos 2, 4, 5? a) 1/6 b) 1/3 c)1/4 d) 1/36 e)1/8 Se lanzan dos dados simultáneamente ¿cuál es la probabilidad de obtener 8 puntos? a) 1/6 b) 2/7 c) 1/9 d) 1/36 e)5/36

4.

Al lanzar dos dados ¿cual es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo? a) 5/6 b) 5/12 c) 1/4d) 1/36 e)1/8

6.

que resultan son diferentes. Hallar la probabilidad de que su suma sea impar. A) 3/5 B) 3/10 C) 7/10 D) 1/3 E) 2/8

11. En un ómnibus viajan 16 varones, 18 damas y 20 niños. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero en bajar sea un niño? A) 15/53 B) 18/53 C) 10/27 D)38/53 E) 35/53

12. Una caja contiene 12 cartas rojas, 6 blancas y 8 negras, se saca una sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea roja? A) 12/20 B)6/13 C) 5/7 D) 9/13 E) 3/13

13. En una urna se tiene 4 bolas de color rojo; 6 bolas de color verde y 8 bolas de color azul. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer un bola sea de color verde o azul? A) 2/9 B) 7/9 C) 3/7 D) 4/7 E) 3/8

14. Una urna contiene 4 bolas blancas y 2

3.

5.

10. Se lanza un par de dados. Si los números

se lazan 3 monedas ¿cual es la probabilidad de no obtenerse exactamente 2 caras? a) 3/8 b) 1/3 c) 5/8 d) 1/2 e)1/8 ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una cara en el lanzamiento de 3 monedas? a) 3/8 b) 1/3 c) 5/8 d) 7/8 e)1/8

negras, otra urna contienes 3 bolas blancas y 5.negras, Se .extrae una bola de cada urna. Determinar la probabilidad de que ambas sean blancas. A) 1/2 B)1/4 C) 2/3 D) 3/4 E) 1/3

15. Una caja contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 3 bolas azules. Si se extraen 5 bolas al azar, ¿Cual es la probabilidad de que 3 sean rojas y 2 sean blancas? A) 40/429 B) 4/330 C) 5/335 D) 31/210 E) 2/21

16. En una caja hay 10 bolas blancas y 6 negras. Se saca una al azar y no se repone. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras bolas extraídas sean negras? A) 3/8 B) 1/3 C) 1/18 D) 17/24 E) 1/24

Academia Pitágor as


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17. En una urna hay 20 bolas blancas y 10

6.

Se lanzan dos dados insesgados (no cargados) un blanco y otro negro. Halle la probabilidad de: Sacar la suma 6. Sacar la diferencia 2 Sacar la diferencia 2 ó la suma 6. Sacar la suma 6 y la diferencia 2. a) 5/36; 7/9; 13/36; 5/162 b) 5/36; 2/9; 13/36; 5/162 c) 5/36; 2/7; 13/36; 5/162 d) 5/36; 2/9; 13/37; 5/162 e) 5/36; 2/7; 13/37; 5/162

19. De una urna que contiene 3 bolas blan-

7.

cas, 4 verdes y 3 rojas, se extraen aleatoriamente 2 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las bolas sea de color rojo o sea de distinto color? A) 2/15 B) 1/15 C) 1/5 D) 4/15 E) 14/15

Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo? A) 2/36 B) 6/18 C) 7/18 D) 6/36 E) 2/6

8.

Si se arrojan 6 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener 4 caras y 2 sellos?

azules, se extraen 3 bolas al azar una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 primeras sean blancas y la tercera azul? A) 41/623 B) 95/609 C) 45/63 D) 85/503 E) 25/46

18. Una caja contiene 2 bolas negras y 4 verdes, si se extraen 3 bolas una tras otra con reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean negras? A) 1/27 B) 2/3 C) 1/3 D) 1/6 E) 1/2

20. De un mazo de cartas se extrae una al azar.Determinar la probabilidad de que dicha carta sea un trébol. A) 1/4 B) 1/13 C) 1/2 D) 2/3 E) 3/4

Nivel II

9.

1.

Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que diez? A) 11/12 B) 10/15 C) 13/12 D) 1/12 E)13/15

2.

Se lanzan 3 dados. Halle la probabilidad de obtener exactamente un as (el número uno). A) 28/72 B) 52/72 C) 30/72 D) 25/72 E) 42/72

3.

En una caja hay 10 bolas de billar; de las cuales sólo 4 son amarillas, se toman tres al azar. Halle la probabilidad de que por lo menos una resulte de color amarillo. A)1/30 B)15/24 C)10/12 D) 1/6 E) 5/6

4.

De un total de 52 cartas, se extraen 2 a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que dichas cartas sean de espadas? A) 13/52 B) 1/17 C) 1/23 D) 1/52 E) 3/17

5.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona que realiza un paseo aleatorio pase por C, si inicialmente partió de A y en ningún momento debe retroceder respecto a su meta que es B?

A) 5/21 B) 6/13

C) 5/7

A) 1/64 D) 1/2

D) 6/7 E) 7/9

B) 63/64

C) 1/5 E)5/64

En una habitación 6 personas tienen respectivamente S/. 1; S/. 2; S/. 3; S/4; S/. 5 y S./6. Se eligen 3 personas al azar y se apunta el número de soles que tiene cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que el menor número de soles escrito sea 3? A) 2/3 D) 1/7

B) 9/11 E) 3/5

C) 1/2

10.

En una carrera de caballos el caballo A tiene las apuestas 5:1 en su contra, mientras el caballo B las tiene 9:1 en su contra; ¿cuál es la probabilidad que cualquiera de estos dos caballos gane? Observación: La notación a :b nos indica a apuestas a favor y b en contra A) 15/17 B) 13/16 C) 13/19 D) 15/17 E) 13/15

11. Se escogen, al azar, tres planchas de un grupo de quince de las cuales 5 son defectuosas. Halle la probabilidad de que al menos 3 sean defectuosas. A) 187/1001 D) 178/1001

B) 185/1001 C) 177/1001 E) 170/1001

12. La probabilidad de no aprobar Matemática I es 0,8 y la probabilidad de no aprobar Física I es 0,75 y la probabilidad de aprobar sólo uno de dichos cursos es 0,95. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Física I, si sabemos que no se aprobó Matemática I? A) 3/4 B) 2/7 C) 3/25 D) 2/25 E) 5/17


Razonami ento matemáti co 13. Se tiene una baraja de 52 cartas. Calcule la probabilidad de: Obtener un rey o una reina al tomar una sola carta de la baraja. Que al tomar una sola carta esta sea una reina o una espada. Que al tomar una carta de la baraja y luego de ponerla de nuevo, en el mazo, se toma otro naipe, siendo ambos naipes ases. Para una rifa se venden 20 boletos, comprando Luis 2 de ellos. Si se ofrecen dos premios, ¿cuál es la probabilidad de que Luis obtenga sólo uno de los premios? A) 2/13; 4/13; 1/169 B) 3/13; 4/13; 1/116 C)2/13; 4/13; 2/169 D)2/13; 5/13; 1/169 E) 4/13; 5/13; 1/169 14. Juan y cuatro amigos se ubican en una fila, ¿cuál es la probabilidad de que Juan quede en el centro? A) 1/5 B) 2/5 C) 3/10 D) 4/7 E) 3/13

15. Para una rifa se venden 20 boletos, comprando Luis 2 de ellos. Si se ofrecen dos premios, ¿cuál es la probabilidad de que Luis obtenga sólo uno de los premios? A) 19/95 B) 1/190 C) 3/190 D) 18/95 E) 5/98

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20. Entre los números 1, 2, 3... 50 se escoge un número al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el número escogido sea divisible por 6 ó 8? A) 0,24 B) 0,48 C) 0,36 D) 0,32 E) 0,49

NILVEL III 21. En una urna hay 8 fichas negras y 5 fichas blancas. Se extrae una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad que sea de color negro? A) 7/15 B) 3/17 C) 8/13 D) 9/13 E) 5/31 22. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 4 tiros de una moneda y una suma igual a 11 en un tiro de dos dados? A) 3/73 B) 5/72 C) 17/72 D) 2/73 E) 1/72 23. En una urna hay 10 bolitas numeradas del 1 al 10. Se extraen de esta urna 2 bolitas al azar. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento aleatorio? A) 45 B) 53 C) 62 D)47 E)70

24. En una bolsa se tienen 8 caramelos de fresa y 3 de limón. Si se extraen al azar 2 caramelos; ¿cuál es la probabilidad que salga 2 caramelos de fresa? A) 31/45 B) 13/45 C) 28/45 D) 29/45 E) 17/45

16. En una bolsa se tienen 5 caramelos de fresa, 4 de limón y 2 de naranja. Si extraemos 3 caramelos al azar, ¿cuál es la probabilidad que entre los 3 que se han sacado exista por lo menos un caramelo de cada tipo? A) 3/15 B) 8/30 C) 7/21 D) 4/15 E) 9/15

17. En una urna se tienen 12 bolas, 7 blancas y 5 negras. Se extraen 2 bolas al azar una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea roja? A) 30/121 B) 35/121 C) 38/121 D) 33/121 E) 36/121 18. En una urna se tienen 4 bolas blancas y 6 rojas. Se extrae al azar una por una. ¿Cuál es la probabilidad de que en la tercera vez se obtenga por primera vez la bola blanca? A) 1/6 B) 1/15 C) 3/16 D) 2/13 E) 5/12 19. Si se lanza un dado legal, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 2? A) 2/7 B) 2/5 C) 2/3 D) 3/5 E) 5/7

25. Se escribe al azar un número de 2 cifras, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número escrito sea múltiplo de 5? A) 1/15 B) 1/13 C) 2/15 D) 1/17 E) 3/17

26. Una moneda se lanza 4 veces. Calcule la probabilidad que haya salido un número igual de caras y sellos. A) 2/5 B) 7/10 C) 11/13 D) 3/7 E) 3/8

27. Se reunieron 10 hombres y 5 mujeres para elegir un presidente (a) dentro de los presentes. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer sea elegida? A) 1/5 B) 1/3 C) 3/15 D) 1/7 E) 4/13

28. Una

empresa quiere contratar un empleado y se presentan 3 candidatos: M, N, P. Las probabilidades de M son de 7 contra 5 y las de N de 1 contra 3. ¿Cuál es la probabilidad que tiene P de ocupar la vacante? A) 1/12 B) 3/12 C) 1/5 D) 1/6 E) 1/10



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38. Suponga que se tiene un dado cargado de 29. De una caja que contiene 3 bolas negras,

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

4 blancas y 2 amarillas, se extrae al azar una de ellas. Halle la probabilidad que la bola extraída no sea negra. A) 2/7 B) 1/5 C) 2/3 D) 3/5 E) 7/9 Nueve libros, de los cuales 5 son di' Razonamiento Matemático y 4
tal forma que la probabilidad del número que salga sea proporcional al mismo. Calcule la probabilidad de la ocurrencia de: Un número par Un número mayor que 4 A) 4/7; 12/21 B) 5/7; 11/21 C) 6/7; 11/21 D) 4/7; 11/21 E) 4/7; 13/21 39. Un dado está cargado de tal modo que la probabilidad de obtener 1, 2, 3, 4, 5, ó 6 es proporcional a los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Si se lanza este dado, calcule la probabilidad de que el resultado sea par. A) 3/17 B) 3/7 C) 4/7 D) 5/21 E) 2/7 40. Digamos que las familias con hijos están bien repartidas, si están compuestos de tantos varones como mujeres. Halle la probabilidad que una familia de 4 hijos estén bien repartidas. A) 2/7 B) 1/5 C) 3/4 D) 1/4 E) 7/9


10. probabilidades

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