Esfuerzos Combinados
INTRODUCCIÓN El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar. En esta investigación se abordan los siguientes temas: La transformación de esfuerzos y deformaciones en el estado plano, esfuerzos que ocurren en recipientes de presión de pared delgada, el uso del círculo de Mohr para la solución de problemas que implican transformación de esfuerzo plano, esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos, y los temas asociados con la transformación del esfuerzo y la deformación, como el método de la superposición. En las transformaciones de deformación plana se verán las deformaciones en planos, ya sea xy, yz, xz. Existen deformaciones tridimensionales, pero el estudio de las mismas requiere conocimientos más profundos de la materia, que al nivel estudiado no ha sido analizado. En este tema se logra observar como existen deformaciones que no ocurren en los planos ya conocidos, y en tal caso es necesario llevarlos (a través de fórmulas) a un plano conocido, para su fácil manejo. Para una mejor aplicación se presentan problemas reales, donde se ven involucrados los temas antes mencionados, de manera que en el diseño de estructuras y elementos sometidos a múltiples cargas se deben tener en cuenta una serie de cálculos y elementos, para el análisis de los mismos.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
PROLOGO Los Esfuerzos Combinados son aquellos que actúan en una sección de un elemento cuando existe una combinación de dos o más de las acciones internas actuando
en
dicho
elemento.
Los
esfuerzos
combinados son importantes en muchos casos prácticos. Esfuerzos de membrana en recipientes de pared delgada sometidos a presión son los esfuerzos que aparecen en las paredes de los recipientes cilíndricos, esféricos o de cualquier otra forma, debido a presiones internas y externas. Estos esfuerzos proporcionan ejemplos de un estado de esfuerzo más general y se conocen como esfuerzos biaxiales. Además, los recipientes a presión son son importantes importantes por sí mismos, desde un punto de vista práctico. La transformación del esfuerzo significa la variación, con la dirección de los componentes del esfuerzo y la deformación de un punto. El estudio de este tema se refiere principalmente a casos bidimensionales que a casos en 3D. Este tema es importante en la deformación de los esfuerzos máximos y las deformaciones máximas en un punto de un elemento y en la determinación de las combinaciones de esfuerzos que producen la falla en un elemento. En la práctica frecuentemente se encuentran cargas que no concuerdan con las condiciones bajo las cuales Mecánica de los sólidos III
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las teorías básicas son válidas. La Fig. 1.1 muestra ejemplos de problemas de este tipo. Sin embargo, estos problemas pueden resolverse mediante una combinación adecuada de métodos ya estudiados. La poderosa técnica de la superposición se usa en la solución de todos los problemas mostrados en la Fig. 1.1, estos involucran la superposición de esfuerzos P/A y MC/I.
FIGURA 1.1
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OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL
Determinar la importancia que tiene el estudio y el cálculo de esfuerzos en estructuras cargadas transversalmente y recipientes de pared delgada, para poder relacionarlo a casos prácticos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Presentar de manera clara y explícita la teoría necesaria para el estudio y aplicación de esfuerzos combinados en la vida practica.
Utilizar el método de transformación de esfuerzos en un punto y de superposición de esfuerzos en situaciones reales para determinar los esfuerzos resultantes de elementos sometidos a cargas multiaxiales`
Aplicar los conocimientos de esfuerzos combinados en situaciones reales sobre cilindros de oxigeno, postes de electricidad, y otros elementos cargados transversalmente.
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1- ESFUERZO EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA Recipientes esféricos y cilíndricos sometidos a presión (esfuerzo biaxial) Los recipientes a presión son estructuras cerradas que contienen líquidos o gases a presión (figura 1.2). Algunos ejemplos conocidos son los tanques esféricos para almacenamiento de agua, los tanques cilíndricos para aire comprimido, tubos a presión y globos inflados. Las paredes curvas de los recipientes sujetos a presión a menudo son muy delgadas en relación con el radio y la longitud, y en tales casos se encuentran en la clase general de estructuras conocidas como “cascarones”. Otros ejemplos de estructuras de cascaron son los techos curvos, las cúpulas (o domos) y los fuselajes. En esta sección, consideraremos únicamente recipientes de pared delgada de forma esférica y cilíndrica circular (Fig. 1.3). El término de pared delgada no es preciso, pero una regla general es que la relación de radio de la pared
al espesor
debe de ser mayor que 10 a fin que
podamos determinar los esfuerzos en las paredes con exactitud razonable mediante únicamente estática. Una segunda limitación es que la presión interna debe de ser mayor que la externa; de lo contrario, el cascaron puede
FIGURA 1.2
fallar por colapso debido al pandeo de las paredes. Recipientes esféricos sometidos a presión. Un tanque de forma esférica es el recipiente ideal para resistir presión Mecánica de los sólidos III
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interna. Solo requiere observar las conocidas pompas de jabón para reconocer que una esfera es el perfil “natural”
a este propósito. Para obtener los esfuerzos en la pared, cortemos la esfera sobre un plano diametral vertical y separemos la mitad del cascaron y su contenido, como un cuerpo libre (Fig. 1.3a). Sobre este cuerpo libre actúan los
esfuerzos σ en la pared y la presión interna . El peso del
tanque y su contenido se omiten en este análisis. La presión actúa horizontalmente sobre el área circular plana formada por el corte, y la fuerza resultante es igual a
, donde
es el radio interior de la esfera.
Obsérvese que la presión
es la presión interna neta, o
presión manométrica (esto es, la presión por encima de la presión atmosférica, o presión externa). El esfuerzo de tensión σ en la pared de la esfera es
uniforme alrededor de la circunferencia del tanque, debido a la simetría del mismo y de su carga. Además,
como uniforme a través del espesor . La exactitud de esta aproximación se incrementa según se vuelve más delgado el cascaron, y se reduce según se vuelve más
FIGURA 1.3
grueso. La fuerza obtenida a partir del esfuerzo normal es
⁄
, donde
del cascaron
es el espesor y
es el radio medio
Por supuesto, dado que
nuestro análisis únicamente es válido para cascarones
muy delgados, podemos considerar que
;
entonces, la fuerza resultante se convierte en
.
El equilibrio de fuerzas en la dirección horizontal da
de cual obtenemos: (1-1) Mecánica de los sólidos III
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Como es evidente a partir de la simetría de un cascaron esférico, esta misma ecuación para el esfuerzo σ se
obtendrá si se pasa un plano a través de la esfera en cualquier dirección. Por lo tanto, concluimos que una esfera “presurizada” está sometida a esf uerzos uniformes a tensión σ en todas las direcciones. Esta condición de
esfuerzo se representa en la Fig. 1.3b por el pequeño elemento con esfuerzos σ que actúan en direcciones
mutuamente perpendiculares. Los esfuerzos de este tipo, que actúan de modo tangencial (en vez de perpendicular) a la superficie curva, se conocen como “esfuerzos de membrana”. El nombre surge del hecho de que los esfuerzos de este tipo existen en membranas verdaderas, tales como películas de jabón o delgadas hojas de caucho o hule. En la superficie exterior de un recipiente esférico a presión, no actúan esfuerzos normales a la superficie, por lo que la condición de esfuerzos es un caso especial de esfuerzo biaxial es el que
y
son iguales (Fig. 1.4a).
Como no actúan esfuerzos cortantes sobre este elemento, obtenemos exactamente obtenemos los
FIGURA 1.4
mismos esfuerzos al girar el elemento un ángulo
cualquiera alrededor del eje . Así, el círculo de Mohr para esta condición de esfuerzo se reduce a un punto, y cada plano inclinado es un plano principal. Los esfuerzos principales son:
(1-2)
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También, el esfuerzo cortante máximo en el plano es cero. Sin embargo, se debe advertir el elemento es tridimensional y que el tercer esfuerzo principal (en la
dirección ) es cero. Por lo tanto, el esfuerzo cortante máximo absoluto, originado mediante una rotación de
del elemento respecto a cualquiera de los
o , es
(1-3)
En la superficie interior de la pared del recipiente esférico, el elemento esforzado tiene los mismos esfuerzos de membrana (Ec. 1-1), pero, adicionalmente,
actúa un esfuerzo de compresión en la dirección , igual a
(Fig. 1.4). Estos tres esfuerzos normales son los
esfuerzos principales:
(1-4)
El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero el esfuerzo cortante fuera del plano (producido mediante una
⁄
rotación de es
Si la relación de
alrededor de cualquiera de los ejes
y )
(1-5)
es suficientemente grande, el último
término de esta ecuación puede omitirse. Entonces la ecuación se convierte en la misma Ec. (1-3), y se puede suponer que el esfuerzo cortante máximo es constante a través del espesor del cascaron. Todo tanque esférico utilizado como recipiente a presión tendrá al menos una
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abertura en la pared, así como varios accesorios y soportes. Esta característica origina distribuciones no uniformes de esfuerzos que no pueden analizarse mediante métodos simples. Cerca de las discontinuidades se generan grandes esfuerzos en el cascaron, por lo que reforzarse tales regiones. Por lo tanto, las ecuaciones que hemos establecidos para los esfuerzos de membrana son válidas en cualquier punto del recipiente, excepto cerca de las discontinuidades. En el diseño de tanques intervienen otras consideraciones, incluyendo efectos de corrosión, impactos accidentales y efectos térmicos.
Recipientes cilíndricos sometidos a presión. Considérese ahora un tanque cilíndrico circular de pared delgada con extremos cerrados y presión interna
(Fig. 1.5a). En la
figura se muestra un elemento esforzado cuyas caras son paralelas y perpendiculares al eje del tanque. Los esfuerzos normales
y
, que actúan sobre las caras
laterales de este elemento, representan los esfuerzos de membrana en la pared. Sobre las caras del elemento no actúan esfuerzos cortantes debido a la simetría del recipiente. Por lo tanto, los esfuerzos
y
son
esfuerzos principales. Debido a su dirección, el esfuerzo
se denomina esfuerzo circunferencial o esfuerzo
tangencial (esfuerzo de zuncho); en forma similar,
es
el esfuerzo longitudinal o esfuerzo axial. Cada uno de estos esfuerzos puede calcularse a partir del equilibrio
FIGURA 1.5
mediante el empleo de diagramas de cuerpo libre apropiados. Mecánica de los sólidos III
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Para calcular el esfuerzo circunferencial
, se aísla un
cuerpo libre mediante un diagrama de cortes separados una distancia
y perpendiculares al eje
longitudinal (Fig. 1.5a). También se efectúa un tercer corte en un plano vertical a través del propio eje; el cuerpo libre resultante se muestra en la Fig. 1.5b. Sobre la cara longitudinal de este cuerpo libre actúan los esfuerzos
en la pared y la presión interna . Sobre las
caras transversales de este cuerpo libre también actúan esfuerzos y presiones, pero no se muestra en la figura ya que no intervienen en la ecuación de equilibrio que se utilizara. También, nuevamente se omite el peso del recipiente y su contenido. Las fuerzas debidas al esfuerzo
y a la presión
actúan en direcciones opuestas, por lo
que se tiene la siguiente ecuación de equilibrio:
en la que
es el espesor de la pared y
es el radio
interior del cilindro. A partir de la ecuación anterior, se obtiene:
(1-6)
como la fórmula para el esfuerzo circunferencial. Según se explicó previamente, este esfuerzo está distribuido uniformemente sobre el espesor de la pared siempre y cuando esta sea delgada. El esfuerzo longitudinal
se
obtiene a partir de un cuerpo libre de la parte del tanque a la izquierda de un corte que es perpendicular al eje longitudinal (Fig. 1.5c). En este caso, la ecuación de equilibrio es
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en la que, como se explicó previamente, se utilizó el radio interior del cascaron en vez del radio medio (o principal) al calcular la fuerza debida al esfuerzo
, resulta
(1-7)
que es el mismo esfuerzo de membrana que el de un cascaron esférico. Al comparar las Ec. (1-6) y (1-7), se aprecia
(1-8)
Luego, el esfuerzo longitudinal en un cascaron cilíndrico es la mitad del esfuerzo circunferencial. Los esfuerzos principales
y
en la superficie exterior del cascaron
se muestran en acción sobre el elemento esforzado en la Fig. 1.6a. El tercer esfuerzo principal, que actúa en la
dirección , es cero. Así que nuevamente tenemos esfuerzo biaxial. Los esfuerzos cortantes máximos localizados en el plano se generan cuando el elemento se gira
eje ; este esfuerzo es
alrededor del
FIGURA 1.6
(1-9)
Los esfuerzos cortantes máximos obtenidos mediante rotaciones a
alrededor de los ejes
y
son,
respectivamente,
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Luego, el esfuerzo cortante máximo absoluto es
(1-10)
Y se presenta cuando el elemento se gira eje
respecto del
. Las condiciones de esfuerzos en la superficie
interior del cascaron se muestran en la Fig. 1.6b. los esfuerzos normales principales son
(1-11)
Los tres esfuerzos máximos, originados mediante rotaciones de
alrededor de los ejes ,
y , son
(1-12)
El primero de estos esfuerzos es el mayor. Sin embargo, como se explicó en el estudio de esfuerzos cortantes en un cascaron esférico, se suele omitir el término adicional
⁄
en estas expresiones y suponer que el esfuerzo
cortante máximo es constante a través del espesor y está dado por la ecuación (1-10). Las fórmulas de esfuerzo anteriores son válidas en las porciones
del
cilindro
alejadas
de
cualquier
discontinuidad. Una discontinuidad obvia existe en el extremo del cilindro donde se une la cabeza. Otras ocurren en las aberturas del cilindro o donde se fijan objetos al cilindro Mecánica de los sólidos III
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EJEMPLO1.1
El tanque de la figura 1.7a tiene un espesor de ½ pulgada y un diámetro interior de 48 pulgadas. Está lleno hasta el borde superior con agua de peso específico
y esta hecho de acero con peso especifico . Determine el estado de esfuerzo
en el punto A (esfuerzo circunferencial y esfuerzo longitudinal). El tanque está abierto en su parte superior. DATOS t = ½ pulgada =1/24 pie
.
Peso del de acero que se encuentra arriba del punto A
( 3pies )
777.7 lb
Encontrando la presión del agua en el nivel del punto A, utilizando la ley de pascal.
FIGURA 1.7 Mecánica de los sólidos III
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Esfuerzo circunferencial en el elemento A.
Esfuerzo longitudinal en el elemento A. Como el tanque está abierto en su parte superior la ecuación
, entonces
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EJEMPLO1.2
Un tanque de aire comprimido está apoyado por dos soportes como se indica en la figura 1.8; uno de los soportes está diseñado de tal modo que no ejerce ninguna fuerza longitudinal sobre el tanque. El cuerpo cilíndrico del tanque tiene 30 in. de diámetro interior y
FIGURA 1.8
está hecho de placa de acero de 3/8 in. con soldadura de botón de hélice que forma 25º con un plano transversal. Los extremos son esféricos con un espesor uniforme de 5/16 in. Para una presión manométrica interior de 180 psi, determine: a) el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante máximo en los extremos esféricos, b) los esfuerzos en dirección perpendicular t paralela a la soldadura helicoidal. Solución: a) Tapa esférica.
σ 1= σ 2 =
FIGURA 1.9 Mecánica de los sólidos III
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σ = 4 230 psi.
Se observa que para esfuerzos en un plano tangente a la tapa, el circulo de Mohr se reduce a un punto (A,B) en el eje horizontal y que todos los esfuerzos cortantes en el plano son cero. En la superficie de la tapa, el tercer esfuerzo principal es cero y corresponde al punto O. En un circulo de Mohr de diámetro AO, el punto D’ es el de
esfuerzo cortante máximo y ocurre en planos a 45º del plano tangente a la tapa.
b) Cuerpo cilíndrico del tanque . Primero se calcula el esfuerzo de costilla σ 1 y el esfuerzo longitudinal
σ 2 . Usando las ecuaciones tenemos:
σ1
σ2
σ prom =
FIGURA 1.9
σ1
σ 1 + σ 2)
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σ 1 + σ 2)
Esfuerzos en la soldadura. Notando que tanto el esfuerzo de la Costilla como el longitudinal son esfuerzos principales, se traza el círculo de Mohr mostrado en la figura. El elemento son cara paralela a la soldadura se obtiene rotando 25º la cara normal al eje Ob en sentido contrario al de las agujas del reloj. Entonces, se localiza en la soldadura rotando el radio
en
FIGURA 1.10
sentido
contrario a las agujas del reloj.
– σw = σ prom
w
=
σw = + 14 140 psi
w
= 1 344 psi
Como X’ está por debajo del eje horizontal
w
tiende a
rotar al elemento en sentido contrario al de las agujas del reloj. (Ver fig. 1.10)
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2- TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS EN UN PUNTO En una sección de un elemento puede actuar una combinación de dos o más de las acciones internas P, Vy, Vz, T, My
y Mz. Cuando se presenta este caso
generalmente los esfuerzos en la sección se pueden obtener sumando las distribuciones de esfuerzos asociadas con cada una de las acciones en la combinación. Para calcular los esfuerzos debidos a las acciones separadas se utilizan las formulas dadas para elementos cargados axialmente, elementos sometidos a torsión, y vigas. El esfuerzo normal y cortante, total o combinado en cada punto de la sección se halla mediante suma vectorial de los esfuerzos normal y cortante calculados separadamente para cada acción. Los esfuerzos normales separados siempre están en la misma dirección con sentidos iguales u opuestos, y, por lo consiguiente, se suman como escalares, mientras que los esfuerzos cortantes separados pueden tener diferentes direcciones en el plano de la sección cortadas y se suman vectorialmente. Una limitación de este método es que los esfuerzos combinados en todos los puntos de una sección deben estar en la región elástica-lineal del material de tal modo que se aplique el principio de superposición. Además, las formulas de esfuerzo para acciones separadas se pueden aplicar únicamente a los tipos de elementos para los cuales son aplicables. En situaciones prácticas ocurren comúnmente combinaciones tales Mecánica de los sólidos III
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como carga axial combinada con flexión, corte combinado con flexión y corte combinado con torsión, pero son posibles algunas otras combinaciones. Las formulas para esfuerzos establecidas hasta aquí a lo largo del texto dan los esfuerzos únicamente en ciertos planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo. Por ejemplo la formula
σ=P/A para varillas cargadas
axialmente da el esfuerzo normal en una varilla unica en planos cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la varilla como se muestra en la figura 2.1a. Los esfuerzos en planos cortantes orientados de distinta manera fig 2.1b son diferentes. En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los esfuerzos en un punto de un cuerpo son diferentes. En algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos significativamente mayores que otros. El siguiente estudilo se refiere a esta variacion del esfuerzo en un punto y trata principalmente el caso de esfuerzo biaxial, en dos dimensiones.En primer lugar sde consideran diferntes representaciones de los esfuerzos en el mismo punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2a representa un
elemento
aislado
por
dos
planos
cortantes
FIGURA 2.1
infinitamente cercanos y mutuamente perpendicuares que son normales a los ejes de las coordenadas X-Y. la figura 2.2b muestra un elemento aislado de manera semejante por planos cortantes normales a los ejes orientados de manera diferente, X´-Y´. los esfuerzos en las caras opuestas de cad uno de estos elementos son
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iguales y opouestos, y son los mismos que actuan sobre los lados opuestos de un plano cortante unico. Cada uno de los elementos aislados en la figura 2.2 esta sometido a la accion de esfuerzos diferentes en el mismo punto. Cada elemento tiene asociados tres elementos de esfuerzos. En la figura 2.2a, las componentes se designan σx,σy Y τxy en las coordenadas X-Y. las de la figura 2.2b se designan σx´,σy´
Y τx´y´ en las coordenadas X´-Y´.
Estos dos co9njuntos de componentes de esfuerzo no son los unicos que existen en ese punto.
FIGURA 2.2
Existe un numero infinito de conjuntos de componentes, y cada conjunto esta asociado con uno del infinito numero de sistemas de coordenadas posibles en el Mecánica de los sólidos III
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punto. Cada conjunto de componentes se puede representar sobre un elemento orientado en un sistema de coordenas adecuado, como se hizo en las figuras 2.2a y 2.2b. cada uno de estos elemntos proporciona una representacion diferntes de los esfuerzos en un punto. El infinito numero de conjuntos de componentes de esfuerzo que se describio no son independientes. Las componentes de un sistema arbitrario de coordenadas X´,Y´ estan relacionadas con la de un sistema de coordenadas X,Y, como se explica mas adelante. Las ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos en diferentes sistemas de coordenadas o, lo que es lo mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un punto, se llaman “ecuaciones de transformación de esfuerzo”. Las ecuaciones de transformación de esfuerzos se obtienen de las condiciones de equilibrio de un elemento de tamaño infinitesimal como el que se muestra en la figura 9.10 esta formada por planos cortantes normales a los ejes de referencia X,Y y por un tercer plano cortante normal a un eje inclinado X´
que forma un angulo
arbitrario θ con el eje x. Los esfuerzos en la cara inclinada son las dos componentes σx´ y τx´τy´asociados a las
coordenadas x´,y´. Se consideran cantidades positivas si
FIGURA 2.3
tienen los sentidos indicados y negativas si tienen los sentidos opuestos. Si en un elemento como el de la figura 2.3 se aisla de un cuerpo que esta en equilibrio, el elemento debe estar en
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equilibrio. Las condiciones
∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el
elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan mas adelante. A
partie de estas ecuaciones de equilibrio se obtienen las fuerzas en elemento efectuando los productos de cada esfuerzo por el area de la cara sobre la cual actua. Se supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor unitario normal al plano X,Y el area de la cara inclinada se designa por
d A.
Entonces, la cara opuesta y la cara
adyacente al angulo θ tiene areas
d Asenθ
y
d Acosθ,
respectivamente. Tambien se hace uso de las identidades trigonometricas ∑Fx´=0;
x’
+ x’
dA = x dA cos xy
dA cos
cos
sen +
= x sen2 +
y
xy
+
y
dA sen sen
sen cos
cos2 + 2
xy
cos sen
(2-1)
Suma de fuerzas en la dirección y’ ∑Fy´=0;
x’y’
+
dA = y dA cos
xy
x’y’ x
=
cos cos y
cos sen
sen -
x
dA sen
-
xy
xy
dA sen
sen
cos
sen2 +
xy
cos2 -
sen cos
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(2-2)
Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de la transformación de esfuerzo para para el caso bidimensional bidimensional y dan los valores σx´ y τx´τy´ para cualquier angulo θ en funcion de σx, σy y τxy. La La componente de esfuerzo, σy´,
esta dada por la ecuacion (2-1) , aumentando el angulo θ en 90°. Estas ecuaciones dan los esfuerzos en uno cualquiera del infinito numero de planos cortantes que pueden pasr por el punto de un cuerpo, en funcion de un conjunto arbitrario de componentes de esfuerzo x,y. Asi uno
solo
del
infinito
numero
de
conjunto
de
componentes de esfuerzos en un punto. Se puede demostrar que las ecuaciones (2-1) y (2-2) tambien son aplicables si el elemento de la figura 2.3 tiene una aceleracion. De este modo las ecuaciones (2-1) y (2-2) son aplicables bajo las condiciones estaticas y bajo condiciones dinamicas de un cuerpo. De acuerdo con las ecuaciones (2-1) y (2-2) se puede ver que
y
dependen del ángulo θ de inclinación de
los planos sobre los que actúan esos esfuerzos. En la práctica de ingeniería con frecuencia es importante determinar la orientación de los planos que causa que el esfuerzo normal sea máximo y mínimo, y la orientación de los planos que hace que el esfuerzo cortante sea máximo.
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Esfuerzos principales en el plano. Para determinar el esfuerzo normal máximo y mínimo, se debe diferenciar la ecuación (2-1) con respecto a θ, e igualar a 0 el resultado. De este modo se obtiene
Al resolver esta ecuación se obtiene la orientación θ= , de los planos de esfuerzo normal máximo y minimo.
(2-3)
La solución tiene dos raíces, especifica, los valores de si, por lo
. En forma
estan a 180° entre
forman 90°.
Los valores de
deben sustituirse en la ecuación
(2-1), para poder obtener los esfuerzos normales que se requieren. Se puede obtener el seno y el coseno de
con los triángulos sombreados de la figura
FIGURA 2.4
2.4. La construcción de esos triángulos se basa en la ecuación (2-3), suponiendo que
y
cantidades positivas o negativas, las dos. Para tiene que
son se
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Para
Si se sustituye de estos dos conjuntos de relaciones trigonométricas en la siguiente ecuación y se simplifica
Se obtiene
Dependiendo
del
signo
escogido,
(2-4)
este
resultado
determina el esfuerzo normal máximo y mínimo en el
plano, que actúa en un punto, cuando
. Este
conjunto particular de valores se llaman esfuerzos principales en el plano, y los planos correspondientes
sobre los que actúan se llaman planos principales de esfuerzo,
figura
2.5b.
si
las
relaciones
trigonométricas para ecuación
Además
Se puede ver que
se sustituyen en la (2-2) FIGURA 2.5
; esto es, “sobre los planos
principales no actúa el esfuerzo cortante ”.
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Esfuerzo cortante máximo en el plano. La orientación de un elemento que está sometido a esfuerzo cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e igualando a cero el resultado. Se obtiene
() Las dos raíces de esta ecuación
(2-5)
, se pueden
determinar con los triángulos de la figura 2.6. Comparando con la figura 9.8, cada raíz de de
. Así las raíces de
y
esta a 90°
forman 45° entre ellas, y
el resultado es que los planos del esfuerzo cortante
FIGURA 2.6
máximo se pueden determinar orientando a un elemento a 45° con respecto a la posición de un elemento que defina los planos del esfuerzo principal.
Usando cualquiera de las raíces
, se puede
determinar el esfuerzo cortante máximo sacando los valores trigonométricos de sen
y cos
en la figura
2.6, y sustituyéndola en la ecuación (2-2). El resultado es
El valor de
(2-6)
calculado con la ecuación (2-6)
se llama “esfuerzo cortante máximo en el plano ”, porque actúa sobre el elemento en el plano x-y. si se sustituyen los valores de sen
y cos
en la ecuación (2-1),se ve
que también hay un esfuerzo normal sobre los planos de esfuerzo cortante máximo en el plano. Se obtiene
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(2-7)
Puntos importantes
Los esfuerzos principales representan el esfuerzo normal máximo y mínimo en el punto.
Cuando se representa el estado de esfuerzo mediante los esfuerzos principales, sobre el elemento no actúa esfuerzo cortante.
El estado de esfuerzo en el punto también se puede representar en función del esfuerzo cortante máximo en el plano. En este caso, sobre el elemento también actuara un esfuerzo normal promedio sobre el elemento.
El elemento que representa el esfuerzo cortante máximo en el plano, con el esfuerzo normal promedio correspondiente, está orientado a 45° respecto al elemento que representa los esfuerzos principales.
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EJEMPLO 2.1
La prensa oprime las superficies lisas en C y D, cuando se
.
aprieta la tuerca. Si la fuerza de tensión del tornillo es de 40KN, determine los esfuerzos principales en los puntos A y B, e indique los resultados en elementos ubicados en cada uno de esos puntos. El área transversal en A y B se indica en la figura 2.7 FIGURA 2.7
⅀ ⅀ + M=0
+
DCL. de la prensa
Calculando primer momento de área
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Haciendo corte en la sección transversal del punto A y B
⅀ ⅀ +
Calculando esfuerzos principales para A
Calculando los esfuerzos principales para B
)() (
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√
Calculando la orientación del elemento
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Circulo de Mohr para esfuerzo plano Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano pueden representarse mediante una gráfica como circulo de Mohr. Esta representación es extremadamente útil para apreciar las relaciones entre los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre ciertos planos inclinados en un punto del cuerpo esforzado. Para determinar el círculo de Mohr, reformulamos las ecuaciones:
(2-1) (2-2)
Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de un círculo, con el ángulo
como parámetro. Al elevar al
cuadrado ambos lados de cada ecuación (2-1) y sumarlos se elimina el parámetro; la ecuación resultante es
(2-8)
Esta ecuación puede formularse en una forma más sencilla mediante la siguiente notación:
(2-9)
La Ec. (2-8) resulta ahora
( )
(2-10)
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Que es la ecuación de un circulo en coordenadas
. El circulo tiene radio
coordenadas
y
y su centro de tiene
y
.
Nuestra siguiente tarea es construir un círculo de Mohr a partir de la Ec. (2-1) y (2-10). Para hacerlo, tomaremos
como la abscisa y
como la ordenada. Sin
embargo, el círculo puede trazarse en dos formas diferentes. En la primera forma del círculo de Mohr, trazamos
positivo a la derecha y
abajo; entonces el ángulo
, positivo hacia
es positivo en sentido
contrario a las manecillas del reloj (Fig. 2.8b). Ambas formas del círculo son matemáticamente correctas y concuerdan con las ecuaciones, por lo que elegir entre ellas es asunto de preferencias personales. Como el ángulo
para el elemento esforzado es positivo en
sentido contrario al de las manecillas del reloj. Podemos evitar errores adaptando la figura del círculo de Mohr en la que el ángulo
es positivo en sentido contrario al de
las manecillas del reloj (sentido anti horario). Es así que optaremos por la primera forma del circulo de Mohr (Fig. FIGURA 2.8
2.8a). Se procede ahora a construir el círculo de Mohr para un elemento en esfuerzo plano (Fig. 2.9a y 2.9b). Los pasos son los siguientes: 1) Localizar el centro C del circulo en el punto de
coordenadas
y
(Fig. 2.9c).
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2) Localizar el punto de A, que es el punto sobre el círculo
que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara
del elemento
; para este punto tenemos y
.
3) Localizar el punto B, el cual representa las condiciones
de esfuerzo sobre la cara
del elemento
coordenadas de este punto son
. Las
y
ya que cuando el elemento se gira un ángulo esfuerzo normal
,
, el
se vuelve
y el esfuerzo cortante
se vuelve el negativo de
. Obsérvese que una
recta desde A hasta B pasa a través de C. Por lo que los puntos A y B, que representan los esfuerzos sobre los planos a
uno del otro, están en los extremos
opuestos del diámetro (separados
en el círculo).
4) Dibujar el círculo a través de los puntos A y B con
centro en C.
( )⁄
Obsérvese que el radio
del círculo es la longitud de la
recta CA. Para calcular esta longitud, observamos que las abscisas es
y
diferencia en estas abscisas es
, respectivamente. La
( )⁄
, como se
muestra en la Fig. 2.9c. También, la ordenada del punto A
( )⁄ es
. Por lo tanto, la recta CA representa la hipotenusa
de un triángulo rectángulo que tiene un lado de longitud , y otro lado de longitud
. Al calcular la
raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los dos
lados se obtiene (véase Ec. 2-9). FIGURA 2.9 Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Determinemos ahora los esfuerzos que actúan sobre una cara inclinada del elemento orientado a un ángulo partir del eje
a
(Fig. 2.9b). Sobre el circulo de Mohr,
tomamos un ángulo
en sentido contrario al de las
menecillas del reloj a partir del radio CA, ya que A es el
punto para el cual Punto
. El ángulo
ubica al
sobre el círculo. Este punto tiene las
coordenadas
sobre la cara
y
, que representan los esfuerzos
del elemento esforzado. Para demostrar
que las coordenadas del punto
estasn dadas por las
ecuaciones de transformación de esfuerzos (Ec. 2-1 y 22), representamos por
el ángulo entre la línea radial CD
y el eje
. Luego, a partir de la geometría de la figura
2.9, obtenemos las cuatro relaciones siguientes:
(2-11)
Al desarrollar las expresiones del coseno y el seno se obtiene
Al multiplicar la primera ecuación por por
y la segunda
, y sumar después ambas ecuaciones,
obtenemos
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
También, al multiplicar la primera ecuación por la segunda por
y
y luego restar, obtenemos
Cuando estas expresiones de
y
se sustituyen
en las Ecs. (2-9), obtenemos las ecuaciones de transformación de esfuerzos. De este modo, hemos que el punto
sobre el circulo de Mohr, definido por el
ángulo de
, representa las condiciones sobre la cara
del elemento esforzado, definido por el ángulo . El punto
, diametralmente opuesto al punto
localizado por un ángulo que es
de
al punto
, esta
mayor que el ángulo
(Véase Fig. 2.9c). Por lo tanto, el punto
representa los esfuerzos sobre la cara del elemento
esforzado a
desde la cara representada del punto
en consecuencia, el punto sobre la cara
.
;
proporciona los esfuerzos
Según giramos el elemento en sentido contrario al de las manecillas del reloj a través de un ángulo
punto correspondiente a la cara
(Fig. 2.9b), el
sobre el circulo de
Mohr se traslada en sentido contrario al de las manecillas del reloj a través de un ángulo
. De igual manera, si
giramos el elemento en sentido de las manecillas del reloj, el punto del círculo se desplazara en este mismo sentido. En el punto
sobre el círculo, los esfuerzos
normales alcanzaran su valor algebraico máximo y el Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
plano principal, asociado con el valor algebraico mínimo del esfuerzo normal, está representado por el por el punto
. A partir de la geometría del círculo, vemos que
el esfuerzo principal mayor es
El ángulo principal
localizado en el eje
y el plano de
esfuerzo del esfuerzo principal algebraicamente mayor pera ele elemento esforzado girado (Fig. 2.9b) es la mitad del ángulo
situado entre los radios CA y C
sobre el
circulo de Mohr. El coseno y el seno del ángulo
pueden determinarse mediante inspección a partir
del círculo:
El ángulo que
respecto al punto principal es
y
mayor
por lo que
Los puntos
.
, que representan los planos de
esfuerzos cortantes máximo y mínimo, están localizados sobre el círculo en el ángulo de puntos
y
respecto de los
. Por lo tanto, los planos de esfuerzo
cortante máximo están a
de los planos principales. El
esfuerzo cortante máximo es numéricamente igual al radio del círculo. También, los esfuerzos normales sobre los planos de esfuerzos cortante máximo son iguales a la abscisa del punto C, que es el esfuerzo normal medio.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
De lo anterior, evidentemente se puede determinar los esfuerzos sobre el cualquier plano inclinado, así como los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos, a partir del círculo de Mohr. El diagrama de la Fig. 2.9 se dibujó con
y
como esfuerzos positivos, pero siguen
siendo los mismos procedimientos si uno o ambos esfuerzos son negativos.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Ejemplo 2.2
Un elemento en esfuerzo plano sometido a esfuerzos
,
y
, como
se muestra en la Fig. 6-18a. Mediante el circulo de Mohr, determinar a) los esfuerzos que actúan sobre un elemento girado un ángulo
principales, y c) los esfuerzos
, b) los esfuerzos
cortantes máximos.
Mostrar todos los resultados sobre esquemas de elemento orientados adecuadamente.
El centro del circulo esta sobre el eje donde
es igual a
en el punto
, el cual es
Los esfuerzos sobre la cara
del elemento determinan
las coordenadas del punto :
Las coordenadas del punto
representan los esfuerzos
sobre la cara y del elemento:
Estos puntos definen el círculo, que tiene radio
√
El ángulo el punto
es el ángulo
desde el punto
hasta
, y representa el plano principalmente que
contiene al esfuerzo principal algebraicamente menor Este ángulo se determina considerando que
.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Por lo que:
Así, se han obtenido todos los ángulos y esfuerzo requerido, como se muestra sobre el círculo. (a) Los esfuerzos que actúan sobre un plano a
están representados por el punto
,
localizado a un ángulo El ángulo
desde el punto .
es
Este ángulo se encuentra entre la línea
y el eje
,
negativo; por lo tanto, por inspección obtenemos las coordenadas del punto
:
En forma similar, las coordenadas del punto
son
Estos esfuerzos, que actúan sobre el elemento ha
, se muestra en la Fig. 6-19a.
FIGURA 2.10 (Nota: todos los
(b) Los esfuerzos principales están representados por
esfuerzos sobre el círculo de Mohr están en MPa)
los puntos
y
sobre el círculo. Sus valores son
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Según se obtiene mediante inspección a partir del círculo. El ángulo
sobre el circulo (medido en sentido
contrario al de las manecillas de reloj desde es
ángulo al punto
hasta
, por lo que
. El
es
)
, o sea
.
Los planos principales y los esfuerzos principales se muestran en la Fig. 6-19b. (c) Los esfuerzos cortantes máximo y mínimo,
representando por los puntos y
(igual a
) es
lo que el ángulo
y
, son
. El ángulo
.
,
por
los esfuerzos
cortantes máximos se muestran en la Fig. 6-19c.
FIGURA 2.11
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
3- SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS El principio de superposición, dice que el efecto de carga combinada dada sobre una estructura puede obtenerse determinando, de forma separada, los efectos de las distintas cargas y combinando los resultados obtenidos, siempre que se cumplan las siguientes condiciones: 1. Cada efecto esta linealmente relacionado con la carga que produce. 2. La deformación resultante de cualquier carga dada es pequeña y no afecta las condiciones de aplicación de las otras cargas. En el caso de una descarga multiaxial, la primera condición será satisfecha si los esfuerzos no exceden el límite de proporcionalidad del material, y la segunda condición también se cumplirá si el esfuerzo en cualquier cara dada no causa deformaciones en las otras que sean lo suficientemente grandes para afectar el cálculo de los esfuerzos en esas caras. Un elemento estructural sometido a cargas combinadas con frecuencia se puede analizar superponiendo los esfuerzos y las deformaciones causadas por cada carga en acción por separado. Sin embargo, la superposición de esfuerzos y deformaciones se permite sólo en ciertas condiciones, como se explico anteriormente. Un requisito es que los esfuerzos y las deformaciones deben ser funciones lineales de las cargas aplicadas, lo que a su vez
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
requiere que el material siga la ley de Hooke y que los desplazamientos sean pequeños. Un segundo requisito es que no debe haber interacción entre las diversas cargas, es decir, los esfuerzos y las deformaciones debidas a una carga no se deben ver afectadas por la presencia de las otras cargas. La mayor parte de las estructuras ordinarias satisfacen estas dos condiciones y, por tanto, emplear la superposición es muy común en el trabajo de ingeniería. Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a una carga inclinada P, como se muestra en la Fig. 3.1 (a). Esta carga no produce flexión ni carga axial solamente, sino una combinación de las dos. Si se descompone esta fuerza en sus componentes horizontal y vertical. La fuerza axial Px (Fig. 3.1b) produce esfuerzos directos de tensión σ = P/A en todas l as fibras. La fuerza P (Fig. 3.1
c) produce esfuerzos deflexión σ = Mc/I. Como ambos esfuerzos (P/A y Mc/I) actúan para alargar o acortar las fibras, pueden combinarse algebraicamente. El hecho de que ambas cargas producen esfuerzos que tienen la misma línea de acción confirma que la superposición de esfuerzos es válida. Los esfuerzos en cualquier fibra pueden calcularse como:
(3-1)
Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión son negativos.
FIGURA 3.1
Esta convención de signos nos ayuda a determinar la Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
naturaleza de los esfuerzos duales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general y a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las fibras extremas. Los esfuerzos calculados mediante la ec (3-1) no son enteramente correctos. La carga P y produce una deflexión (no mostrada) que, cuando se multiplica por la fuerza axial Px , produce un pequeño momento secundario tiende a reducir el momento total, y por consiguiente puede depreciarse. Si la fuerza axial es de compresión, el momento secundario incrementa el momento total, y el depreciar este término no resulta conservativo. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de esfuerzos combinados, el efecto de este término es pequeño y puede depreciarse. En el caso de vigas-columnas esbeltas, el efecto puede no ser depreciable.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
EJEMPLO 3.1
Calcular los esfuerzos máximos y localizar el eje neutro en la viga en voladizo de
, indicada en la
Fig. 3.2 Solución:
El esfuerzo máximo ocurrirá en el extremo
empotrado, pues en ese lugar el momento flexionante es máximo. La carga de flexión de la Fig. 3.2c, produce esfuerzos de tensión en las fibras superiores y esfuerzos de compresión en las fibras inferiores. La carga axial de la Fig. 3.2b produce esfuerzos de tensión en todas las fibras. Así,
Sup
)() ( = + 2.88 MPa +18.4MPa = +21.02 MPa (tensión);
inf.
FIGURA 3.2
2.88-18.4
= -15.26 MPa (compresión) Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
La combinación de esfuerzos se indica gráficamente en la Fig. 3.3. EL eje neutrón en el plano de esfuerzos nulos, y puede localizarse mediante la ecuación (3-1), o mediante simple geometría. Tenemos
0 = + 2.88 -
0 = (2.88
y = 0.00794 m = 7.94 mm
FIGURA 3.3
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
EJEMPLO 3.2
Un tubo de acero estándar de 4 pulg y de 36 pulg de longitud se usa como dispositivo de izaje para una grúa. Suponiendo que las cargas se aplican a los tercios de su longitud (véase Fig. 3.4), y el esfuerzo máximo en el tubo no debe exceder de 20,000 lb/pulg 2, determinar el valor admisible de P. Solución: La fuerza axial en el tubo puede calcularse por estática en términos de P. Considerando el diagrama de cuerpo libre de la Fig. 3.4 (b), se tiene:
∑F =0
La componente horizontal de la tensión es la fuerza axial en el tubo, y puede calcularse como:
T x =
Aplicando la ec. (3-1) a los esfuerzos en las fibras superiores de la Fig. 3.4c, pues tanto los debidos a la carga axial como a la carga flexionante, son de compresión, se obtiene:
FIGURA 3.4
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
P = 5 030 lb.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
EJERCICIOS DE APLICACIÓN RECIPIENTES DE PARED DELGADA Un tanque lleno de oxigeno esta hecho de acero cromomolibdeno con un espesor de pared de 0.25pulg., una presión en su interior de 2400psi y un diámetro exterior de 29.53pulg.. Determinar el esfuerzo longitudinal y de costilla (circunferencial) para el cilindro mostrado en la figura 4.1. Datos P=2400psi Espesor=0.28pulg Radio exterior=14.77pulg Radio interior=14.49pulg Gas: oxigeno (02)
Encontrando esfuerzo en la parte cilíndrica. ΣFx = 0,
: σ1= pr
Formula
t
Sustituyendo datos en la formula.
σ1=
(2400 psi )(14.49 pu lg) (0.28 pul )
FIGURA 4.1
=124,200 lb/pulg2
Encontrando esfuerzo en la dirección circunferencial
ΣFy=0,
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Formula: σ2=
pr 2t
Sustituyendo datos en la formula.
σ2=
( 2400 psi )(14.49 pu lg) ( 2)(0.28 pul )
= 62,100 lb/pulg2
Si bien es más difícil fabricar recipientes a presión esféricos, según los cálculos queda demostrado que la parte semiesférica opone la mitad del esfuerzo que la parte cilíndrica, esto se debe a que la parte semiesférica tiene la capacidad de resistir el doble de la presión interna.
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Esfuerzos Combinados
TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS EN UN PUNTO Un transformador de 1.78KN con un diámetro de 0.457m y una altura de 1.016m esta soportado por un poste circular hueco de acero A36 con un diámetro exterior de 0.2m y un espesor de 2mm. El transformador tiene una excentricidad de 0.127m desde la línea central del poste y su borde inferior esta a 4.284m arriba del suelo (ver figura 4.2).
0.127m
0.457m
1.5m
1.016m
Determinar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en los puntos P y Q en la base del poste debido a una presión del viento de 1.30Kpa que actúa contra el transformador y debido al peso del mismo.
4.284m
Solución: El peso del transformador produce: Una fuerza axial de compresión F 1=1.78KN y un momento flexionante M1= (F1 )(d) sustituyendo
M = (1.78KN)(0.127m+ ) = 2.136KN.m
FIGURA 4.2
1
La presión del viento contra el transformador produce una fuerza resultando F 2 F2=PA= (1.30KPa)(0.457m)(1.016m)=0.60361KN F2 = 603.61KN.m Esta fuerza ocasiona un momento flexionante M 2 M2= (F2)(d)= (603.61N)(4.284m+
)=2,892.50N.m
M2=2.893KN.m
0.196m
Un par de tensión T T= F2.d= (603.61N)(0.127m+
)=214.58N.m
0.200m
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
T=0.21458KN.m Y una fuerza cortante a lo largo del poste V= F2 =603.61KN FW = Wposte arriba de la superficie + Wherrajes
+ * * +* + Wposte =
FIGURA 4.3
Wposte=706.32N-114.46N=591.36N Wherrajes=200lb=890N FW=591.36N+890N=1481.36N
Esfuerzos en los puntos P y Q Área de la sección transversal del poste
= A=1.2441 A=
FIGURA 4.4
Esfuerzos normales
=
=
= 1,190.71KN/
1,190.71 KPa
(ver figura 4.4)
σF1=
= = 1430.75KN/ 1430.71 Kpa
(ver figura 4.5) FIGURA 4.5 Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
σM1= I=
= [
] 6.0972
σM1=
σM1= σMy
σM1=35,032.53 Kpa
= 35032.53 KN/
(ver figura 4.6)
=
σM2
FIGURA 4.6 produce esfuerzos de
compresión en Q, no produce esfuerzos en P
σM2=47,448.00KPa (ver figura 4.7)
Esfuerzos cortantes
σM2= σMz
Esfuerzo cortante debido a T
() =
= 1760.30 KN/
FIGURA 4.7 produce esfuerzos de tensión en
el punto P y no produce esfuerzos en Q
(ver figura 4.8)
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Esfuerzo cortante que produce la fuerza cortante V
)
(ver figura 4.9)
=
T
Q
P
= 970.29Kpa
P
Q
FIGURA 4.8 Produce esfuerzos cortantes en
Produce esfuerzo cortante en el punto B. pero no produce esfuerzo en el punto A FIGURA 4.9
P y en Q. Elementos de esfuerzo
= 1760.30Kpa
(ver figura 4.10)
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
= 44.83MPa
= 1760.30Kpa
FIGURA 4.10
Para el punto Q
(ver figura 4.11)
= -1760.30Kpa- 970.29KPa = -2730.59KPa
FIGURA 4.11 Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTE MAXIMOS EN EL PUNTO P
=
σ1,2 =
σ1,2
τ
σ1,2 = 22.415MPa ± 22.484MPa σ1 = 46.90 MPa
=
τmax
σ2 = -0.07MPa
τ
=
τmax = 22.48MPa
ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTE MAXIMOS EN EL PUNTO Q
=
σ1,2 =
σ1,2
τ
σ1,2 = -18.825MPa ± 19.022MPa σ1 = 0.20 MPa
σ2 = -37.85MPa
τmax=
τ
=
τmax = 19.02MPa
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Esfuerzos Combinados
SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS Del enunciado del problema anterior, Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en el punto P y Q. Nota: el perfil lateral del transformador cilíndrico, es como una placa rectangular
=
+
+
Paso 1 Analizando para W 1 los puntos P y Q
= 1,481.36N =
Para el punto P
=
Para el punto Q
Mecánica de los sólidos III
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Paso 2
Analizando los puntos P y Q para W 2 El peso del transformador produce una fuerza de compresión F1= peso del transformador=1.78KN y un momento M=2.136KN.m
=1430.71Kpa
=
=35,032.53Kpa
Para el punto P
Para el punto Q
Paso 3 Analizando los puntos P y Q para las presión del viento La presión del viento produce un momento M=2892.50N.m Un par torsor T=214.58N.m Una fuerza cortante V=603.61N
= 47488.00Kpa Mecánica de los sólidos III
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= =1760.30Kpa = Para el punto P
Para el punto Q
Sumando los efectos de cada fuerza tenemos: Para el punto P
+
+
=
=
=
±
+
=
-
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=
Para el punto Q
+
+
=
=
=
=
= 0.2Mpa
= -18.83Mpa
19.02Mpa
=-37.85Mpa
=
=
Mecánica de los sólidos III
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CONCLUSIONES Como se ha visto los esfuerzos combinados se usan frecuentemente sin darnos cuenta, como por ejemplo nuestras casa están hechas de vigas, que combinado distintos materiales, soportan algunos mejor la flexión y otros mejor la compresión. Estas combinaciones de esfuerzos son útiles en todas las ramas de la ingeniería. A través de la utilización del método de transformación de esfuerzos en un punto y superposición, es más efectivo el cálculo de esfuerzos principale s en una viga o estructura, sometida a múltiples cargas; ya que el método de la superposición facilita el cálculo de las vigas o estructuras estáticamente indeterminadas, y a partir de la transformación de esfuerzos en un punto se pueden conocer los esfuerzos principales que actúan sobre un punto especifico de la estructura. Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en el análisis de estructuras, es más comprensible el comportamiento de las mismas bajo cargas soportadas Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en un punto de una estructura, esto proporciona los elementos necesarios para el diseño de las mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el esfuerzo es máximo para que la estructura se mantenga estable. Los recipientes cilíndricos o esféricos sirven como calderas o tanques que son de uso común en la industria. Estos soportan cargas en todas sus direcciones cuando se someten a presión, pero pueden ser analizados de manera simple siempre y cuando tengan una pared delgada. Con esta suposición se analizo el esfuerzo en un recipiente de presión cilíndrico que contenía oxigeno, a fin de encontrar los esfuerzos longitudinal y circunferenciales que actúan sobre este, a través de las ecuaciones determinadas para su resolución.
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RECOMENDACIONES Para recipientes cilíndricos y esféricos, se debe tomar en cuenta la presión a la que van a ser sometidos, puesto que de esto dependerá la elección del material y el espesor del mismo, para que resista los esfuerzos longitudinales y circunferenciales. Para diseñar una estructura, primero se debe realizar un cálculo profundo, para saber de manera exacta los puntos donde deben ser colocados los apoyos o soportes, para que la estructura no esté sometida a esfuerzos de falla; de lo contrario
sufriría
una
deflexión
que
podría
deformarla
permanentemente
(deflexión permanente).
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 5ta edición 2010. Editorial McGraw-Hill.
Hibbeler, R. C., Mecánica de Materiales, 6ta edición, México, 2006. Editorial PEARSON EDUCACION.
Robert W. FitzGerald, Mecánica de materiales, México, 1990. Ediciones Alfa omega, S.A de C.V.
James M. Gere, Mecánica de Materiales, 7ma. Edición, 2009. Cengage Learning Editores, S.A de C.V.
Nicholas Willems, Resistencia de materiales, 1988. Editorial McGraw-Hill.
Timoshenko – Gere, Mecánica de materiales, 2da edición 1986. Editorial. Iberoamérica.
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GLOSARIO Esfuerzos combinados: Superposición de esfuerzos axiales y de flexión en la sección transversal de un elemento estructural que da como resultado un conjunto de esfuerzos de tracción y de compresión.
Concentración de esfuerzos: Aumento de los esfuerzos que se desarrollan en las zonas defectuosas y de discontinuidad de un material.
Esfuerzos de membrana: Esfuerzos de compresión, tracción y laterales que actúan de forma tangencial a la superficie de una membrana.
Membrana: Superficie flexible que soporta cargas mediante el desarrollo de esfuerzos de tracción, generalmente fabricada de material asfáltico y resistente a la intemperie.
Tracción. Hace que se separen entre sí las distintas partículas que componen una pieza, tendiendo a alargarla.
Compresión. Hace que se aproximen las diferentes partículas de un material, tendiendo a producir acortamientos o aplastamientos
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Flexión. Es una combinación de compresión y de tracción. Mientras que las fibras superiores de la pieza sometida a un esfuerzo de flexión se alargan, las inferiores se acortan, o viceversa.
Que es preciso, exacto
. Se aplica a la ecuación o problema matemático que tiene infinitas solución
La propiedad de un cuerpo a permanecer en su estado de reposo hasta que se le aplique una fuerza.
Multiaxial. Lo realizado u obtenido en varios ejes.
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ANEXOS Anexo 1.1 Datos Proporcionados Por Oxgasa San Miguel EQUIPOS PARA GASES COMPRIMIDOS (U.S. Departament of Transportation): es la agencia gubernamental de Estados Unidos que tiene jurisdicción sobre el envasado y transporte de gases comprimidos. Cilindros de Alta Presión: Los cilindros de alta presión para gases comprimidos son envases de acero de calidad especial, fabricados sin uniones soldadas y tratados térmicamente para optimizar sus propiedades de resistencia y elasticidad. Todos los cilindros utilizados por INFRASAL son fabricados bajo las normas D.O.T. (Departament of Transportation), organismo regulador de estos envases en Estados Unidos. Estos cilindros son llenados a alta presión, comprimiendo el gas en el reducido espacio interior del cilindro. La fuerza ejercida por el gas sobre las paredes del recipiente al tratar de conservar su volumen en condiciones naturales, generan el efecto llamado "presión". Tipos de Cilindros Según la calidad del acero, los cilindros pueden ser tipo 3A de acero al manganeso, de pared gruesa, o 3AA, generalmente de acero cromo - molibdeno, de pared delgada. Los cilindros utilizados por INFRASAL en su mayoría son del tipo 3AA , lo que representa una ventaja para los usuarios ya que son más livianos y resistentes para un determinado volumen y presión de servicio. Los cilindros utilizados pueden ser de distintos tamaños, y por lo tanto de diferentes capacidades. El espesor de pared varía entre 5 y 8 mm., salvo en la base y en el hombro, en que el espesor aumenta para hacer seguro el manejo y permitir el estampado con letras de golpe, de los datos y valores indicados por las normas. En cuanto a las presiones de llenado, y según las características físicas de cada gas, podemos distinguir dos casos: (libras por pulgada cuadrada): Unidad de presión Gases comprimidos de alta presión: Son aquellos que no se licúan, pudiendo emplearse la presión máxima que establece la norma para el cilindro de alta presión empleado. Es el
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caso de Aire, Ar, He, H2, N2 y O2 , entre otros. Gases comprimidos-licuados de presión intermedia: Son aquellos que se licúan, y que a temperatura ambiente tienen presiones dentro del cilindro del orden de 725 psig a 870 psig, para el caso del CO2 y del N2O respectivamente. En el caso de los gases comprimidos licuados, el llenado se establece como un porcentaje en peso de la capacidad de agua dentro del cilindro, el que para los gases mencionados es de 68%. Para estos gases se pueden utilizar cilindros de alta presión con menores restricciones que en el caso anterior. INFRASAL utiliza por seguridad cilindros para alta presión inclusive en el caso del CO2 y el N2O. Cilindros de Acetileno. Como se ha estudiado, el caso del Acetileno tiene tratamiento especial, por ser un gas altamente inflamable y sensible a la presión, por ello, los cilindros en que se carga Acetileno son diferentes a los que se han mencionado antes. El cilindro se encuentra relleno con una pasta seca y porosa, en forma de panal, cuyas miles de pequeñas cavidades están rellenas a su vez con acetona líquida. Al entrar al cilindro el Acetileno se disuelve en la acetona, repartiéndose en las pequeñas cavidades, con lo cual desaparece el riesgo de explosión y de esa forma es posible almacenar una cantidad mayor de gas a presión en el cilindro. El hombro y/o la base del cilindro están equipados con tapones fusibles de seguridad, que son pernos fabricados con un tipo de aleación especial de plomo que funde a 100 ºC aproximadamente. El contenido de gas se determina pesando el cilindro vacío con acetona solamente y luego con gas. Identificación de los cilindros Todos los cilindros deben llevar una serie de signos estampados a golpes en el hombro que identifican dueño, normas de fabricación y control. (libras por pulgada cuadrada): Unidad de presión Propiedad de INFRASAL Datos de Clasificación - Norma de clasificación (DOT)
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- Tipo de material (3AA) - Presión de servicio (2400 psi) Datos de Fabricación - Número de serie del cilindro - Identificación del fabricante - Mes y año de fabricación - Marca oficial de inspección reconocida Marcas posteriores de Pruebas Hidrostática: Fecha de la última prueba hidrostática y símbolo de la empresa que realizó dicha prueba. Compuesto que acelera la combustión u otro proceso de oxidación. El contacto de estas sustancias con materiales combustibles puede generar fuego o explosión espontáneamente. Identificación del gas contenido en un cilindro. Marcas : Cada cilindro debe ser marcado en forma visible y estable, evitando el estampado en el cuerpo del cilindro. Las marcas deben ser fijadas en el hombro e incluyen el nombre del gas en idioma español, su fórmula química, el nombre usual del producto en caso de mezclas y la identificación del fabricante del gas. INFRASAL cumple con esta norma pegando en la zona indicada una etiqueta autoadhesiva donde se indica además su clasificación (oxidaste, inflamable, no inflamable, tóxico, no tóxico, etc.), la cantidad de gas , la fecha de llenado y las recomendaciones básicas de seguridad Colores: INFRASAL tiene su propia clasificación de colores para facilitar la identificación del gas dentro de los cilindros. Válvulas: Cada cilindro tiene una válvula especial y distinta dependiendo del gas que contenga, determinada por la CGA, que permite llenarlo, transportarlo sin pérdidas y vaciar su contenido en forma segura.
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Esfuerzos Combinados
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Anexo 1.2 Tabla de dimensiones y especificaciones Técnicas de Postes de energía
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Anexo 1.3 Especificaciones de transformadores monofásicos
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Anexo 1.4 Tabla de especificaciones de materiales utilizados en postes de distribución eléctrica (errajes).
DESCRIPCION DE MATERIALES UTILIZADOS EN DISTRIBUCIÓN ELECTRICA CODIGO
DESCRIPCION
UNIDAD CANT.
PESO TOTAL
480101413
CONECTOR COMPRESION YP26AU2 BURNDY
C/U
1
1-onza
482001520
GRAPA P/ LINEA VIVA P/ 1/0 CHANCE S1520
C/U
1
7-onzas
720101300
CONDUCTOR ELECTRICO ACSR # 2
MTS
30
8,96 lbs
420101350
PREFORMADA PLP ACSR # 2 DG-4542
C/U
1
5-onza
461300201
CLEVIS REMATE 5/8 BETHEA SA-201
C/U
1
12-onza
401500600
AISLADOR GAMMA CAMPANA CLEVIS 6" 13KVA ANSI 52-1
C/U
2
10-1/2 lbs
440462000
PERNO ARGOLLA 5/8x10" IRL R-9410
C/U
1
1.47 lbs
441000034
ARANDELA PLANA REDONDA DE 5/8 IRL R-1088
C/U
6
8-onzas
441400063
ARANDELA DE PRESION 5/8" IRL R-6833
C/U
6
2-onzas
300600013
PARARRAYO DE 9/10 KV. USA AZS101M010R
C/U
1
8-libras
300100040
CORTACIRCUITO NCX 7.8/15KV USA
C/U
1
16-lbs
310100005
FUSIBLE A.T. 5 AMP. TIPO K
C/U
1
2-onzas
460900000
EXTENSION PARA CORTO CIRCUITO STANDAR
C/U
1
4-libras
460510700
ABRAZADERA GALV.S/PERNO 5/7
C/U
3
3-1/2 LBS
440320750
PERNO CARRUAJE 1/2x6" T/CUADRADA IRL R-8646
C/U
6
2.63lbs
460610023
ALMOHADILLA P/CRUCERO TIPO C
C/U
2
3-lbs
440400202
PERNO MAQUINA 5/8 X 2" T/CUADRADO IRL R-8802
C/U
2
12-onza
1200104000
CEPO PARA CARCAZA DE TRANSFOR. USA
C/U
1
2-onzas
703000004
SOLIDO DESNUDO COBRE # 4
MTS
28
11-1/2 lbs
600110050
TUBERIA CONDUIT ALUM. 1/2"
C/U
1
2-1/2 lbs
461800075
MTS. CINTA BANDIT DE 3/4
MTS
6
1.48lbs
461860075
C/U. HEBILLA PARA CINTA BANDIT 3/4"
C/U
6
4-onzas
461700010
BARRA COPPERWELD 5/8 X 10`
C/U
4
28-lbs
461760075
C/U. CEPO DE COBRE PARA BARRA 5/8"
C/U
4
8-onzas
OBSERVACIONES
30 MTS. PESAN 8.96 LIBRAS
28 MTS. PESAN 11-1/2 LIBRAS
6 MTS. PESAN 1.48 LIBRAS
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
460430010
CLEVI PARA AISLADOR CARRETE AD CLI-0342
C/U
3
5-lbs
401400100
AISLADOR CARRETE GRANDE ANSI 53-2
C/U
3
3-1/2 LBS
440401000
PERNO MAQUINA 5/8 X 10`` IRL R-8810
C/U
5
4-1/2 lbs
1200101200
CEPO DE COBRE #4 PF-25 (UL)
C/U
3
6-onzas
700171500
CONDUCTOR ELECTRICO THHN #2/0
MTS
8
11.68 lbs
480101400
CONECTOR COMPRESION YP25U25 BURNDY
C/U
3
9-onzas
401500800
AISLADOR GAMMA ESPIGA 13KV ANSI 55-4
C/U
1
4-libras
460830013
ESPIGA CABEZOTE DE 13 KV (COLA DE PATO)
C/U
1
4 LIBRAS
460160238
CRUCERO GALV DE 3 x 3 x 1/4 x 94" (2.38 MTS)
C/U
1
38-1/2 lbs
460250094
TIRANTE GALV EN V DE 45" P/CRUCERO DE 94" (2.38MT)
C/U
1
8-lbs
460610012
ALMOHADILLA P/CRUCERO NORMADO TIPO S
C/U
1
1.5 lbs
440401150
PERNO MAQUINA 1/2 X 1 1/2" IRL R-8701-1/2
C/U
2
6-onzas
460720020
BARRA ANCLA DE EXPANSION D/OJO NORMADA IRL 5346-1
C/U
1
6-1/2 lbs
460730060
ANCLA EXPANSIVA DE 70 GALVANIZADA(REPOLLO)
C/U
1
5-libras
462000032
MTS. CABLE DE ACERO 5/16"
MTS
22
14.55 lbs
420400035
PREFORMADA PLP PARA RETENIDA 5/16 GDE-1106
C/U
4
3-lbs
461000060
ARGOLLA DE OJO (PATA DE MULA) AD ELTA-01
C/U
2
3-lbs
8 MTS. PESAN 11.68 LIBRAS
22 MTS. PESAN 14.55 LIBRAS
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Anexo 1.5
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Anexo 1.6 TECNELEC
Ubicado en Av. Roosevelt Sur, Final 3a. Av. Sur N°. 504. San Miguel.
Mecánica de los sólidos III
