Certamen _1 y Pauta 2014-2

Universida d del Desarrollo Facultad de Ingeniería Ingeniería Civil Industrial

Optimización de Sistemas II Martes 9 de septiembre de 2014

PRIMER CERTAMEN DE OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS I Instrucciones

-

El certamen es sin apuntes y a libro cerrado. Se permite el uso de calculadoras NO GRAFICADORAS. No se permite permite el intercambio de ningún tipo de material material de trabajo. trabajo. El uso de teléfonos móviles queda estrictamente prohibido. La prueba puede ser contestada en un tiempo máximo de 2 bloques. La prueba se corrige con una escala del 60% sobre 100 puntos (60 puntos corresponden a un 4.0).

Problema 1 (40 puntos)

La compañía HANG-ON produce smartphones y desea planificar la producción para los próximos T periodos. Inicialmente, la compañía está interesada en planificar la producción de su modelo más nuevo, el AIFON6. AIFON6 . El departamento departa mento comercial comerc ial ha estimado estimad o que en los próximos próximo s periodos, periodo s, la demanda demand a será de dt unidades (t = 1,!,T). La capacidad de producción para el AIFON6 está limitada a Lt unidades por periodo. Para satisfacer la demanda de un determinado periodo, la empresa lo puede hacer ya sea con unidades producidas en ese periodo o con unidades producidas en periodos anteriores (inventario). El costo de producción y de inventario es de ct y ht unidades monetarias por unidad, respectivamente. Considere, que dada la capacidad de la bodega, el máximo volumen que se puede almacenar de un periodo a otro es de K 3 3 (m ) y que el volumen del AIFON6 es de v (m ). Finalmente, por solicitud de la compañía, la planificación debe considerar que el inventario inicial y final del producto sea 0. a) Formule el modelo de programación lineal que permita determinar las unidades a producir del AIFON6 AIFON 6 por p or periodo al mínimo costo. Defina claramente clarame nte las variables variable s y parámetros paráme tros de su modelo. modelo . Además, Ademá s, explique brevemente breveme nte cada restricción restricció n añadida al modelo y el significado significa do de la función objetivo. (14pts) b) Considere ahora que la compañía desea planificar la producción para sus N tipos de smartphones. En este escenario, la demanda y los costos de producción y de inventario dependen del producto y del periodo, mientras que el volumen depende de cada producto. Considerando que la capacidad de producción está limitada a Lt unidades de smartphones y que los inventarios finales e iniciales de cada producto sean 0, formule el modelo lineal que minimice los costos. (8pts) Para responder las siguientes preguntas, considere como escenario base el del punto b) c) Asuma que cada smartphone requiere distintos recursos para ser fabricado (materiales, horas hombre, horas de producción, etc.). Para fabricar el producto j se requieren r ij unidades de recurso i y la cantidad de recursos disponibles del tipo i en el periodo t se es Wit. Añada una restricción a su modelo en b) que considere esta nueva condición teniendo en cuenta que existen M tipos de recursos utilizados en la fabricación de smartphones. (6pts) d) Añada una restricción restricción que obligue a que la producción de cada producto producto no sea decreciente decreciente en el tiempo. Esto es, que la producción aumente o se mantenga de un periodo a otro. (4pts) e) Incluya una restricción restricción que impida que el inventario inventario promedio considerando todos los productos sea mayor a Q. (4pts) f) Añada una restricción restricción lineal que limite el número de AIFON6 producidos a un 20% de la producción producción total en cada periodo. (4pts)

Profesores: Daniel Contesse Strauss Pablo González Brevis




Suponga el siguiente problema de optimización: max z = px1 + qx 2 s.a. x1 – x 2 " -3 x1 + x 2 # 9 x1 – x 2 # 3 x1 + x 2 " 3 a) Considerando p = 1 y q = 2 i. Resuelva gráficamente el problema y encuentre la(s) solución(es) óptima(s). (6pts) ii. Clasifique las restricciones en activas e inactivas. (4pts) iii. Determine la restricción que al eliminarla transforma el problema en uno no acotado. (2pts) iv. Defina una restricción adicional que haga que el problema se vuelva infactible. (2pts) v. ¿Cuánto podría aumentar p para que la solución óptima encontrada en i) siga siendo óptima? (2pts) b) Considere ahora p = 1 y q = 1. Resuelva gráficamente el problema y encuentre la(s)solución(es) óptima(s). (6pts) c) Determine valores de p y q para que la solución óptima esté en la intersección de la segunda y tercera restricciones. (4pts) 2 d) Suponga que la primera restricción es reemplazada por x1 – x2 " 0. Grafique la nueva región factible y explique brevemente porque ésta deja de ser convexa. (6pts) e) Siguiendo con el punto anterior, determine una función objetivo que podría llevar a encontrar un óptimo local. Muestre esto en un nuevo gráfico. (4pts) f) Defina una nueva función objetivo para este problema de modo que la solución óptima se encuentre en el interior de la región factible. (4pts) Problema 3 (20 puntos)

Suponga una compañía que fabrica un tipo de aceite mediante el refinamiento y la mezcla de aceites crudos (sin refinar). Los aceites crudos vienen en dos categorías, aceites vegetales tipo A y B, y aceites no vegetales tipo A, B y C. Los aceites vegetales y no vegetales utilizan diferentes procesos para el refinamiento. En un mes, no es posible refinar más de 200 litros de aceite vegetal ni más de 250 litros de aceite no vegetal. Al ser refinados existe una pérdida de un 5% en aceites de origen vegetal y un 7% en los aceites de otro origen. Por motivos de certificaciones internacionales, existen restricciones en la dureza que pueda tener el aceite como producto final. La dureza se mide en una escala del 1 al 10 y para que los aceites sean certificados, la dureza debe estar entre 3 y 6. Se asume que la dureza de las mezclas se puede determinar de forma lineal. Por ejemplo, si se mezcla un aceite de dureza 5 y uno de dureza 7 en las mismas proporciones, la dureza final de la mezcla sería 6. El costo por litro y la dureza de los aceites crudos se detallan a continuación AVEG

BVEG

ANO_VEG

BNO_VEG

CNO_VEG

Costo ($)

110

120

130

110

115

Dureza

8.8

6.1

2.0

4.2

5.0

El producto final se vende a $270 por litro. El costo de refinamiento es constante independiente del monto que se refine por lo que puede ser ignorado. Formule un modelo de programación lineal que permita determinar las cantidades de aceites crudos que la compañía debe refinar y mezclar con el fin de maximizar su ganancia total.




PAUTA PRIMER CERTAMEN DE OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS I Problema 1 (40 puntos)

a) Parámetros T: número de periodos dt: unidades de AIFON6 demandadas en el periodo t. Lt: capacidad máxima de producción para el AIFON6 en el periodo t. ct: costo de producción unitario en el periodo t (u.m.). ht: costo de inventario unitario en el periodo t (u.m.). 3 K: máximo volumen que se puede almacenar de un periodo a otro en la bodega (m ) 3 v: volumen del AIFON6 (m ). Variables de decisión xt: cantidad de AIFON6 producidos en el periodo t. st: cantidad de AIFON6 en inventario al final del periodo t. T

min

&c

T

t

$ xt

+

t =1

&h

sujeto a : xt " Lt , v $ st " K, xt

+

st !1

t

$ st

t =1

=

dt

+

#t

=

1,…,T

…

#t

=

1,…,T

…

st , #t

=

1,…,T

…

(1) (2)

(3)

s0

=

0,

…

(4)

sT

=

0,

…

(5)

x t % 0, entero

#t

=

1,…,T

…

st % 0, entero

#t

=

1,…,T

…

(6) (7)

La función objetivo a minimizar representa el costo total de producción y de inventario para el horizonte de estudio considerado (T). La restricción (1) limita la producción de cada periodo a un máximo de Lt unidades. La restricción (2) evita que el volumen en inventario exceda el volumen disponible en bodega. La restricción (3) es de balance y asegura que lo producido más lo que se tiene en inventario al comienzo del periodo t (final del periodo t-1) sea igual a lo demandado y lo que queda en inventario al final del periodo t. Además, junto con (7), aseguran que siempre la demanda sea satisfecha (no se permiten órdenes tardías). Las restricciones (4) y (5) fuerzan a que el inventario inicial y final sean 0. Las restricciones (6) y (7) son de no negatividad y garantizan que las cantidades producidas sean enteras. b) Parámetros T: número de periodos N: tipos de smartphones d jt: unidades demandadas de smartphone tipo j en el periodo t. Lt: capacidad máxima de producción en el periodo t. c jt: costo de producción unitario del smartphone tipo j en el periodo t (u.m.). h jt: costo de inventario unitario del smartphone tipo j en el periodo t (u.m.). 3 K: máximo volumen que se puede almacenar de un periodo a otro en la bodega (m ) 3 v j: volumen del smartphone tipo j (m ). Variables de decisión x jt: cantidad de smartphone tipo j a ser producidos en el periodo t. s jt: cantidad de smartphone tipo j en inventario al final del periodo t. Profesores: Daniel Contesse Strauss Pablo González Brevis


N

T

&& c jt $ x jt

min


N

+

j =1 t =1

T

&& h

jt

$ s jt

j =1 t = 1

sujeto a : N

&x

" Lt ,

jt

#t

=

1,…,T

#t

=

1,…,T

j=1 N

&v

$ s jt " K,

x jt

s j(t !1)

j

j=1

+

=

djt

+

s jt , #j = 1,…,N; #t

s j0

=

0,

#j = 1,…,N

s jT

=

0,

#j = 1,…,N

=

1,…,T

x jt % 0, entero

#j = 1,…,N; #t

=

1,…,T

s jt % 0, entero

#j = 1,…,N; #t

=

1,…, T

c) Sean r ij: unidades de recurso i requeridos para fabricar una unidad del smartphone tipo j Wit: cantidad de recursos disponibles del tipo i en el periodo t La restricción a agregar al modelo en b) es N

#r x ij

! Wit ,

jt

"i

=

1, ,M;"t …

=

1, ,T …

j 1 =

d) x jt

!

x j(t 1),

"j

+

=

1,…,N; "t = 1,…,(T # 1)

e) N

T

""s

jt

j 1 t 1 =

=

T

!Q

f) Considerando que el AIFON6 corresponde al sm artphone tipo j = 1, la restricción se puede escribir como N

x1t ! 0.2 " $ x jt ,

#t

=

1, ,T …

j 1 =





a)

x2

6

3

3

6

x1

i. * * * La solución óptima es (x1 , x2 ) = (3, 6) con z = 15 ii. Restricciones activas: x1 + x 2 # 9; x 1 – x 2 " -3 Restricciones inactivas: x1 – x 2 # 3; x 1 + x 2 " 3 iii. Eliminando ya sea x1 + x 2 # 9 o x 1 – x2 " -3, el problema se vuelve no acotado. iv. Cualquier restricción que elimine el problema factible (existen infinitas). Por ejemplo: x1 + x 2 # 2 o x 1 + x 2 " 10 o x1 " 7 v. Al aumentar p, la curva de nivel rota en sentido horario. El punto óptimo actual seguirá siendo óptimo hasta justo después de que la curva de nivel se haya hecho paralela a la restricción x1 + x 2 # 9. Teniendo que – p/q es la pendiente de la curva de nivel, siendo óptimo mientras se cumpla: -p/q " -1

!

p/2 # 1


!

p # 2



b)

x2

6

3

x1 3

6

Se pude ver que la curva de nivel es paralela a la recta x1 + x2 = 9 (asociada a la restricción x1 + x2 # 9), por lo que existen infinitos puntos óptimos (todos los que están entre los dos vértices (3,6) y (6,3)). Las soluciones óptimas se pueden escribir como: (x1*, x2*) = $*(3, 6) + (1 – $)*(6, 3), con $

!

(0,1) con z* = 9

c) El punto que se encuentra en la intersección de ambas restricciones es (6,3), por lo que la curva de nivel se puede mover en el rango que se muestra en el siguiente gráfico:




Es así que: -p/q # -1 p/q " 1

o o

-p/q " 1 p/q # -1

d) x2

6

3

3

6

x1

La región factible ya no es convexa porque no satisface la definición de convexidad. Esto es: es posible encontrar dos puntos del conjunto que al interpolarlos genera al menos un punto fuera del conjunto. Por ejemplo, si se toman los dos vértices generados a partir de la intersección de la nueva restricción con las segunda y cuarta restricciones (los puntos (1,303, 1,697) y (2,541, 6,456), el segmento que une estos dos puntos está fuera del conjunto de soluciones factibles.




e)

x2

6

3

3

6

x1

Por ejemplo, max z = -x1 + 3x 2. Se puede ver en el gráfico que con la función objetivo propuesta, el punto (1,303, 1,697) es un óptimo local ya que en la vecindad del punto, es la mejor solución posible (si movemos la curva de nivel por la frontera sólo alcanzamos curvas de nivel peores). Sin embargo, la solución óptima del problema es no acotada. También se puede ver que el vértice (2,541, 6,456) ofrece una mejor solución: z(1,303, 1,697) = 3.778 z (2,541, 6,456) = 16,827 Lo que demuestra que (1,303, 1,697) no es el óptimo del problema.




f) La única forma de que la solución óptima esté en el interior es a través de una función no lineal, que tengo su óptimo irrestricto dentro de la región factible. Un ejmplo sería: 2

2

max z = - ((x1 – 3) + (x 2 – 3) ) *

*

En este caso, las solución óptima está en (x1 , x2 ) = (3, 3) Problema 3 (20 puntos)

x j: litros de aceite vegetal tipo j utilizados en la mezcla (j = {A,B}) yi: litros de aceite no vegetal tipo j utilizados en la mezcla (i = {A,B,C})

max 270 ! (0.95 ! (x A + xB ) + 0.93 ! (y A + yB + yC )) " (110x A + 120xB + 130y A + 110yB + 115yC ) sujeto a : x A + xB # 200, y A + yB + yC # 250, 0.95 ! (8.8x A + 6.1xB ) + 0.93 ! (2.0y A + 4.2yB + 5.0y C ) # 6 ! (0.95 ! (x A + xB ) + 0.93 ! (y A + yB + yC )), 0.95 ! (8.8x A + 6.1xB ) + 0.93 ! (2.0y A + 4.2yB + 5.0y C ) $ 3 ! (0.95 ! (x A + xB ) + 0.93 ! (y A + yB + yC )), x A ,x B ,y A ,y B ,y C $ 0


Certamen _1 y Pauta 2014-2

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