UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Certamen No 1 - 521227 1. Considere Considere f :
2 R
! R; f ( ( x; y ) =
(
x
jxj y x2 + y 2
;
y 6 = jxj
;
y = jxj
(a) Determin Determinee si f es continua en (0 ; 0). 0). ¿f es diferenciable en (0 ; 0)?. 0)?. @f @ 2 f ( x; y ) y ( x; y), sobre A = (x; y) 2 @x @y@x @f (c) Calcule, Calcule, si existe, (0 ; 0). 0). @x @f 1 p ; 1 . (d) Encuentr Encuentree (0 ; 0) si 0) si u = p 2 2 @u
(b) Halle Halle
2 R
: y > x; x; x > 0
b
2. Sea z = f ( ( u; v) con f : variables
2 R
(25 pts.)
clase C 2 y considere el cambio de
!
R de
u
= x + at = x at
v
donde a es una constante real distinta de cero. @ 2 z
@ 2 z
(a) Encuentre las expresiones para las derivadas derivadas parciales y 2 en @x 2 @t términos de las derivadas parciales de z con respecto a las variables u y v . (b) Use los resultados resultados de la parte (a) para transformar transformar la ecuación ecuación de la onda a 2
@ 2 z @ 2 z = 0 en términos de las variables u y v . @x 2 @t 2
(15 pts.) 3. Encuentr Encuentree los extremos extremos absolutos absolutos de f : R2 ! R; f ( (x; y ) = 3x + 4 y 3 2 2 2 sobre el círculo D = (x; y ) 2 R : ( x 1) + y 25 .
n
o
. Tiempo: 90 minutos 11 de Mayo de 2012 HPV/JRC/JOF/GAJ/EBC 1
(20 pts.)
UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Solución certamen N o 1 - 521227 1. f ( (x; y ) =
(
x
jxj y x2 + y 2
;
y 6 = jxj
;
y = jxj
y4
y = jxj
2
-5
(a)
0
lim
(x;y)
5
x y= x
6j j
f ( ( x; y ) =
!(0;0)
x
lim
!(0;0) jxj y
(x;y)
y=0
y =0
x>0
x>0
= lim x
!0
+
x =1 6 = f (0 (0; 0) jxj
Esto prueba que f no es continua en (0 ; 0) y 0) y en consecuencia f no es diferenciable en (0 ; 0). 0). (b) f es una composición de funciones que admite derivadas parciales (de 1er y 2 orden) con respecto a cada variable sobre el conjunto abierto A = (x; y ) 2 R2 : y > x;x > 0 . Luego f admite derivadas derivadas parciales (de 1er y 2 orden) c//r a cada variable sobre el conjunto A y además:
(8 (x; y ) 2 A) f ( (x; y ) = @f @ ( x; y ) = @x @x
x
xy x y = 2 xy (x y )
@ 2 f @ ( x; y ) = @y@x @y
@f @ ( x; y ) = @x @y
y 2
(x y )
!
=
x + y 3
(x y )
h 0 f ( ( h; 0) f (0 (0; 0) 1 jhj (c) lim = lim = lim = +1 +1 h!0 h!0 h!0 jhj h h @f f ( ( h; 0) f (0 (0; 0) Por lo tanto (0 ; 0) = lim no existe existe h!0 @x h f
(d) lim
!0
h
h h p ; p f (0 (0 ; 0) y6 =jxj 2 2
=
h
lim
p h2 0 h h p p 2 2 h
h<0 h
!0
=
1 1 lim = +1 + 1 (no existe en 2 h!0 h h h f p ; p f (0 (0 ; 0) @f 2 2 Por lo tanto (0 ; 0) = lim no existe =
@u
!0
h
2
h
R)
2. z = z (x; t) es de clase C 2 (a)
@z ( x; y ) = @x @z ( u; v) @v @ 2 z ( x; y ) = @x 2
@z @ u @z @ v @z ( u; v) ( x; y ) + ( u; v) ( x; y) = ( u; v ) + @u @x @v @x @u
@ 2 z @ u @ 2 z @ v ( u; v ) ( x; y ) + ( u; v) ( x; y ) + 2 @u @x @v@u @x @ 2 z @ u @ 2 z @ v + ( u; v) ( x; y ) + 2 ( u; v ) ( x; y) = @u@v @x @v @x 2 2 2 2 @ z @ z @ z @ z z 2C 2 = ( u; v ) + ( u; v ) + ( u; v ) + ( u; v ) = @u 2 @v@u @u@v @v 2 @ 2 z @ 2 z @ 2 z u; v u; v = ( ) + 2 ( ) + ( u; v) @u 2 @v@u @v 2 @z @z @ u @ z @ v (x; y) = ( u; v) (x; y ) + ( u; v ) ( x; y) = @t @u @t @v @t @z @z = a ( u; v) a ( u; v ) @u @v @ 2 z @ 2 z @ u @ 2 z @ v x; y a u; v x; y a u; v ( ) = ( ) ( ) + ( ) (x; y ) + @t 2 @u 2 @t @v@u @t @ 2 z @ u @ 2 z @ v +a ( u; v) (x; y ) + a 2 ( u; v) ( x; y) = @u@v @t @v @t 2z 2z 2z @ @ @ @ 2 z z 2C 2 = a 2 2 ( u; v )a2 ( u; v )a2 ( u; v )+a2 2 ( u; v ) = @u @v@u @u@v @v 2 2 2 @ z @ z @ z = a 2 ( u; v) 2 ( u; v) + a2 2 ( u; v) @u 2 @v@u @v
@ 2 u @ 2 u 2 = 0 () @x 2 @t 2 @ z @ 2 z @ 2 z 2 () a ( u; v ) + 2 ( u; v) + 2 ( u; v) @u 2 @v@u @v 2 2 @ z @ 2 z 2 @ z a2 ( u; v ) 2 ( u; v ) + a ( u; v) = 0 @u 2 @v@u @v 2 @ 2 z () ( u; v) = 0 @v@u La ecuación de onda se transforma en el sistema de coordenadas u; v @ 2 z se transform transforma a en la ecuación ecuación = 0. 0. @v@u
(b) a2
3. f ( (x; y ) = 3x + 4y 3 D =
n
o
(x; y) 2 R2 : ( x 1)2 + y 2 25
1o ) f alcanza sus extremos sobre D ya que f es continua y D es compacto. o
o
2o ) Sobre D.- Los extremos de f sobre D son puntos críticos de f .
3
@f ( x; y ) @x @f ( x; y ) @y
= 0 = 0
()
3 = 0 4 = 0
No hay puntos críticos al interior de D : 2
3o ) Sobre F r (D).- Sea g : R2 ! R; g (x; y ) = (x 1) + y 2 25. 25. Los extremos de f sobre F r (D) son puntos críticos de la función de…nida por
F ( ( x; y) F ( ( x; y) @F (x; y ) @x @F (x; y ) @y g (x; y)
3 (2) 2 = 2 (x 1) y 4 lo que da: y = ( x 1) 3 Reemplazando en (3) en (3) da da ( ( x 1)2 = 9 y de esta forma tenemos que x = 2 o x = 4 y los puntos críticos P 1 ( (2; 4) y 4) y P 2 (4; 4) (1)
=
4o) Evaluación.- f ( P 1 ) = 25 f ( ( P 2 ) = 25 f ( (P 1 ) < f ( ( P 2 )
5o ) Conclusión.- Sobre el disco D : f alcanza un mínimo de valor 25 en 25 en el punto P 1 ( (2; 4) y 4) y alcanza un máximo de valor 25 en el punto P 2 (4; 4). 4).
