UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS CASA CENTRAL
PAUTA CERTAMEN CERTAMEN N°1 - SEGUNDO SEMESTRE 2013 GESTION DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Instrucciones: Tiempo máximo: 120 minutos. No están permitidos equipos de audio ni celulares. Sin cuadernos o apuntes. Una pregunta por hoja. El Certamen es individual. Sólo está permitido el uso de calculadora básica. SIN CONSULTAS. CONSULTAS. NO DESCORCHETEAR EL CERTAMEN. CERTAMEN . La copia será penalizada con nota 0. Demuestre y justifique sus respuestas. respuestas. Pregunta N°1 (20 Puntos): Considere Puntos): Considere el siguiente modelo de Programación Lineal:
a) (4 Puntos) Puntos) Resuelva gráficamente el modelo anterior. Detalle claramente el dominio de soluciones factibles y el procedimiento utilizado para encontrar la solución óptima y valor óptimo. (Ayuda: Utilice el gráfico a continuación) Gráfico con dominio de d e soluciones factibles: (1 Punto)
Solución Óptima1: (Vértice C) (2 Puntos) X=4 Y=7 Valor Óptimo: (1 Punto) V(P)=2*(4)+3*(7)=29 b) (5 Puntos) A través del análisis de sensibilidad determine cuánto podría variar el coeficiente asociado a la variable X en la función objetivo de modo de conservar la solución óptima encontrada en a). Para determinar el rango de variación del coeficiente asociado a la variable X en la función objetivo de modo de conservar la solución óptima asumimos C2=3. Se conserva la actual solución óptima si: 1>= C1/3 >= -1/4 De donde se obtiene que si C1 (coeficiente asociado a la variable X en la función objetivo) varía en el intervalo entre [-0,75, 3] se conserva la actual solución óptima. (5 Puntos) c) (5 Puntos) A través del análisis de sensibilidad determine cuánto podría variar el coeficiente asociado a la variable Y en la función objetivo de modo de conservar la solución óptima encontrada en a). Para determinar el rango de variación del coeficiente asociado a la variable Y en la función objetivo de modo de conservar la solución óptima asumimos C1=3. Se conserva la actual solución óptima si: -1<= -2/C2 <= 0 De donde se obtiene que si C2 (coeficiente asociado a la variable Y en la función objetivo) varía en el intervalo entre [ 2, +∞[ se conserva la actual solución óptima. (5 Puntos)
1
Para obtener la totalidad del puntaje se debe justificar el procedimiento utilizado para obtener la solución óptima (evaluación de los vértices del dominio de soluciones factibles o graficando al menos una curva de nivel de la función objetivo que pase por el vértice óptimo).
d) (6 Puntos) A través del análisis de sensibilidad determine el precio sombra de la primera restricción y el correspondiente intervalo de variación para el lado derecho de la restricción. Se debe calcular el precio sombra de la primera restricción: Max Variación = (0,11) Min Variación = (9,2) V(0,11) = 2*0 + 3*11 = 33 V(9,2) = 2*9 + 3*2 = 24 R1(0,11) = -(0)+4*(11)=44 R1(9,2) = -(9)+4*(2)=-1 Precio Sombra R1 = (33 – 24)/(44 + 1) = 1/5
(4 Puntos)
Intervalo de Variación del Lado Derecho donde el Precio Sombra de R1 es válido (es decir, se conserva la actual base óptima): b1℮[ -1,44] (2 Puntos)
Pregunta N°2 (35 Puntos): La compañía N&V de nutrición vegetal fabrica los fertilizantes agrícolas, NITROX, PBLEND y SDRIP, todos ellos con una mezcla de nitrato, fosfato y potasio. La siguiente tabla muestra el porcentaje de cada uno de los químicos en los diferentes fertilizantes: FERTILIZANTE NITROX PBLEND SDRIP
NITRATO 10% 5% 5%
FOSFATO 5% 5% 10%
POTASIO 5% 10% 5%
La compañía tiene un buen posicionamiento en el mercado con precios por kg de fertilizante a: $12.000 el kg De NITROX, $11.200 el kg de PBLEND y $10.900 el kg de SDRIP. La disponibilidad máxima de materia de materia prima y sus costos por kg se muestran en la siguiente tabla: NITRATO 1.100 $20.000
KG. COSTO ($/Kg)
FOSFATO 1.800 $8.000
POTASIO 2.000 $16.000
El costo de un kg relleno (insumo complementario para la fabricación de los fertilizantes) es de $1.000 y adicionalmente la incorporación de este producto (relleno) al fertilizante tiene un costo operacional de $1.875/kg. a) (6 Puntos) Formule un modelo de Programación Lineal (en adelante modelo Primal) que permita obtener la cantidad de producción de los distintos fertilizante que maximice las utilidades de la compañía N&V. Defina claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones. Calculo de Utilidades: NITRATO FOSFATO POTASIO RELLENO SUMA CTO. OPERACION TOTAL PRECIO VENTA UTILIDADES
NITROX(10-5-5) 0.1*20.000=2.000 0.05*8.000=400 0.05*16.000=800 0.8*1.000=800 4.000 1.500 5.500 12.000 6.500
PBLEND(5-5-10) 0.05*20.000=1.000 0.05*8.000=400 0.1*16.000=1.600 0.8*1.000=800 3.800 1.500 5.300 11.200 5.900
SDRIP(5-10-5) 0.05*20.000=1.000 0.1*8.000=800 0.05*16.000=800 0.8*1.000=800 3.400 1.500 4.900 10.900 6.000
DISPONIBILIDAD 1.100 1.800 2.000
Variable de Decisión: (1 Punto) Xi: Cantidad a Producir del Fertilizante i (en kilogramos) (i=1 Nitrox, i=2Pblend, i=3Sdrip)
Función Objetivo: (3 Puntos) MAX Z = 6500 X1 + 5900 X2 +6000 X3 Restricciones: (2 Puntos) 0.1 X1 + 0.05 X2 + 0.05 X3 <= 1100 0.05 X1 + 0.05 X2 + 0.1 X3 <= 1800 0.05 X1 + 0.1 X2 + 0.05 X3 <= 2000 X1 >= 0, X2 >=0, X3 >= 0
(Materia Prima Nitrato) (Materia Prima Fosfato) (Materia Prima Potasio)
b) (4 Puntos) Formule el modelo Dual del problema formulado en a).
Min S.A.
P ro bl em a d e M in im iz aci ón
P ro bl e ma d e M ax im iz a ci ón
Si la restricción es:
La variable asociada es:
>=
>= 0
<=
<= 0
=
irrestricta
Si la variable es :
La res tric ción c orres pondient e es :
>= 0
<=
<= 0
>=
irrestricta
=
1100 Y1 + 1800 Y2 + 2000 Y3
(1 Punto)
0.1 Y1 + 0.05 Y2 + 0.05 Y3 >= 6500 0.05 Y1 + 0.05 Y2 + 0.1 Y3 >= 5900 0.05 Y1 + 0.1 Y 2 + 0.05 Y3 >= 6000 Y1 >= 0, Y2 >=0, Y3 >= 0
(2 Puntos)2
(1 Punto)
c) (10 Puntos) Se tienen las siguientes soluciones asociadas al Primal: X1=(11,0,0)*103, X2=(24/9,0,150/9)*103 y X3=(0,8,14)*103. Determine mediante el Teorema de Holguras Complementarias si alguna de éstas es una solución óptima del problema Primal de la compañía N&V. Z(X1) = $71.500.000 Z(X2) = $117.333.333,3 Z(X3) = $131.200.000
Satisface todas las restricciones Satisface todas las restricciones Satisface todas las restricciones
(1 Punto) (1 Punto) (1 Punto)
Todas las soluciones son factibles, pero la solución X 3 es candidata a óptimo por entregar mayor utilidad. (1 Punto)
2
(2 Puntos) por las Restricciones.
No hay holgura en materia prima nitrato S 1 =0 No hay holgura en materia prima fosfato S 2 =0 Existe holgura en potasio S 3 =500 kg. X2 > 0 → X3 > 0 → S3 > 0 →
0.05 Y1 + 0.05 Y2 + 0.1 Y3 = 5.900 0.05 Y1 + 0.1 Y 2 + 0.05 Y3 = 6.000
Y3 = 0
Ec. 0.05 Y1 + 0.05 Y2 = 5.900 0.05 Y1 + 0.1 Y 2 = 6.000
Y1 =116.000 Y2 = 2.000
(1 Punto) (1 Punto)
W = 1.100 *116.000 + 1.800* 2.000 + 2.000 *0 = 131.200.000 (2 Puntos) W = Z → por Teorema Dualidad Fuerte la solución X3 es óptima para el problema Primal. (2 Puntos) d) (5 Puntos) Considerando la solución óptima del problema Primal (de existir), interprete las holguras y los precios sombras del problema de elaboración de fertilizantes de la compañía N&V. La solución óptima es X 3=(0,8,14)*103 con una holgura igual a 500 kg de potasio que es la cantidad de recurso potasio no empleado en la fabricación de los fertilizantes. (1 Punto) Y1 =116.000 es el precio sombra asociado a la materia prima nitrato, el que representa el valor en el que aumenta los ingresos por cada kilogramo adicional de nitrato. (2 Puntos) Y2 = 2.000 es el precio sombra asociado a la materia prima fosfato, el que representa el valor en el que aumentan los ingresos por cada kilogramo adicional de fosfato. (2 Puntos)
e) (10 Puntos) Una empresa parque tiene varias hectáreas de césped y firma un contrato con la compañía N&V para que le proporcione por lo menos 1.000 kg de fertilizante NITROX. ¿Puede la empresa N&V satisfacer este requerimiento, en el contexto del problema actual?. En caso que su respuesta sea afirmativa justifique su respuesta. En caso que su respuesta sea negativa encuentre la nueva solución óptima (en caso de existir). La solución óptima indica no hay producción de fertilizante NITROX por lo que no se puede satisfacer el requerimiento con el plan actual. Se debe resolver el modelo actual con la siguiente restricción adicional: X 1 >= 1.000. El modelo primal sería el siguiente: Maximizar S.A.
6.500X1 + 5.900X2 + 6.000X3 0.1X1 + 0.05X2 + 0.05X3 <= 1.100 0.05X1 + 0.05X2 + 0.1X3 <= 1.800 0.05X1 + 0.1X2 + 0.05X3 <= 2.000 X1>=1.000 X2, X3>=0
Consideremos el siguiente cambio de variables: Y1=X1-1.000>=0. Es decir X1=Y1+1.000. (Una alternativa de resolución es a través del Método Simplex de 2 Fases que implica un mayor esfuerzo en la resolución)
Maximizar S.A.
6.500Y1+ 5.900X2 + 6.000X3 + 6.500.000 0.1Y1 +0.05X2 + 0.05X3 <= 1.000 0.05Y1 +0.05X2 + 0.1X3 <= 1.750 0.05Y1 +0.1X2 + 0.05X3 <= 1.950 Y1, X2, X3>=0
Llevamos el problema a su forma estándar agregando las variables de holgura S1, S2 e S3: (2 Puntos) F.E) Min3 S.A.
-6.500Y1- 5.900X2 – 6.000X3 0.1Y1 +0.05X2 + 0.05X3 + S1 = 1.000 0.05Y1 +0.05X2 + 0.1X3 + S2 = 1.750 0.05Y1 +0.1X2 + 0.05X3 + S3 = 1.950 Y1, X2, X3, S1, S2, S3>=0
Tabla Inicial: Y1 1/10 1/20 1/20 -6.500 3
X2 1/20 1/20 1/10 -5.900
X3 1/20 1/10 1/20 -6.000
S1 1 0 0 0
S2 0 1 0 0
S3 0 0 1 0
1.000 1.750 1.950 04
Notar que Min f(x) + Constante = Constante + Min f(x) Alternativamente se puede definir inmediatamente como 6.500.000 lo cual no afecta el resultado de las iteraciones pero se debe sumar al valor de la función objetivo en cada iteración. 4
Y1 entra a la base. Min {1.000/1/10; 1.750/1/20; 1.950/1/20} = 10.000 S1 sale de la base. Se realiza una iteración: (2 Puntos) Y1 1 0 0 0
X2 1/2 1/40 3/40 -2.650
X3 S1 1/2 10 3/40 -1/2 1/40 -1/2 -2.750 65.000
S2 0 1 0 0
S3 0 0 1 0
10.000 1.250 1.450 65.000.000
X3 entra a la base. Min {10.000/1/2; 1.250/3/40; 1.450/1/40} = 16.666,6 la base. Se realiza una iteración: (2 Puntos) Y1 1 0 0 0
X2 1/3 1/3 1/15 -5.200/3
X3 0 1 0 0
S1 S2 40/3 -20/3 -20/3 40/3 -1/3 -1/3 140.000/3 110.000/3
S3 0 0 1 0
S2
sale de
5.000/3 50.000/3 3.100/3 332.500.000/3
X2 entra a la base. Min {(50.000/3)/(1/3); (50.000/3)/(1/3); (3.100/3)/(1/15)} = 5.000 Y1 sale de la base. Se realiza una iteración: (2 Puntos) Y1 3 -1 -1/15 5.200
X2 1 0 0 0
X3 0 1 0 0
S1 40 -20 -3 116.000
S2 -20 20 1 2.000
S3 0 0 1 0
Solución Óptima5: Y1=0 X2=5.000 X3=15.000 Valor Óptimo: V(P)=119.500.000 (+6.500.000) = 126.000.000
5
De donde se obtiene X1=0+1.000=1.000.
5.000 15.000 700 119.500.000
(2 Puntos)
Pregunta N°3 (25 Puntos): La empresa de Jugos MERRY Company vende mensualmente bolsas de manzanas, compotas de manzana y jugos de manzana en envases de cartón. En MERRY se clasifican las manzanas utilizadas en la producción mensual según una escala de 1 (malas) a 8 (excelentes). MERRY dispone, en miles de libras, en la actualidad: 30, 85, 130 y 100 de manzanas clasificadas en los grados 3, 5, 6 y 8 respectivamente. La calidad media de las manzanas utilizadas que se venden en bolsas, debe ser por lo menos de 6,3; la calidad media de las manzanas que son utilizadas para fabricar compotas de manzana debe estar contenida entre 2 y 4,8; mientras que la calidad media de las manzanas utilizadas en jugos debe ser por lo menos de 6,8. Cada libra de manzana que se usa para el jugo genera un ingreso de $450, e incurre en un costo variable (que consiste en costos de mano de obra, costos generales variables, costos de inventario, entre otros) de $200. Cada libra de manzana que se vende en bolsa contribuye con un ingreso de $350 e incurre en un costo variable de $70, mientras que cada libra de manzana que se utiliza en compota se percibe un ingreso de $300 a un costo de $190. MERRY Company ha comprometido con un importante distribuidor al menos 26.000 libras en bolsa de manzana, al menos 12.000 libras de compota de manzana y al menos 90.000 libras de jugo de manzana, sin embargo, debido a composición de la planta no es posible que la producción conjunta de compotas de manzana y bolsas de manzanas sea superior a un tercio de lo que se debe procesar en jugo de manzana. a) (19 Puntos) Formule un modelo de Programación Lineal que maximice la utilidad obtenida por MERRY Company, bajo el supuesto que el problema es factible y respeta las consideraciones dadas en la descripción del mismo. Defina claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones. Variables de Decisión: (3 Puntos) X jj : Libras de manzana del grado i-ésimo utilizada para el j-ésimo producto. j = 1 j = 2 j = 3
Bolsas de manzana Compotas de manzana Jugos de manzana
Función Objetivo: (3 Puntos) Max Z = 280 (X31 + X51 + X61 + X81) + 110 (X32 + X52 + X62 + X82) + 250 (X33 + X53 + X63 + X83) Restricciones: X31 + X32 + X32 30.000 (Restricción de grado 3)
(1 Punto)
X51 + X52 + X53 85.000 (Restricción de grado 5)
(1 Punto)
X61 + X62 + X63 130.000 (Restricción de grado 6)
(1 Punto)
X81 + X82 + X83 100.000 (Restricción de grado 8)
(1 Punto)
3X31 + 5X51 + 6X61 + 8X81 6,3 (X31 + X51 + X61 + X81) manzana)
(Restricción de bolsa de (1 Punto)
3X32 + 5X52 + 6X62 + 8X82 2 (X32 + X52 + X62 + X82) de manzana)
(Restricción de compota (1 Punto)
3X32 + 5X52 + 6X62 + 8X82 4,8 (X32 + X52 + X62 + X82) de manzana)
(Restricción de compota (1 Punto)
3X33 + 5X53 + 6X63 + 8X83 6,8 (X33 + X53 + X63 + X83) manzana)
(Restricción de jugo de (1 Punto)
X31 + X51 + X61 + X81 26.000 (Demanda por bolsa de manzana)
(1 Punto)
X32 + X52 + X62 + X82 12.000 (Demanda por compota de manzana)
(1 Punto)
X33 + X53 + X63 + X83 90.000 (Demanda por jugo de manzana)
(1 Punto)
3(X31 + X51 + X61 + X81 + X32 + X52 + X62 + X82) procesamiento) Xij 0
i,j
X33 + X53 + X63 + X83 (Restricción de (2 Puntos)
(No Negatividad)
b) (6 Puntos) MERRY Company puede destinar mensualmente hasta $10.000.000 en publicidad de sus productos, que se refleja en el aumento de la demanda de: bolsa de manzana en 5 libras por cada 30 pesos; compota de manzana en 1 libra por cada 40 pesos; y jugo de manzana en 7 libras por cada 50 pesos. Modifique de ser necesario el modelo formulado en a) para incorporar esta nueva información. Y j : Pesos gastados mensualmente en anuncios del producto j-ésimo. (1 Punto) Max Z = …… – Y1 – Y2 – Y3
Y1 + Y2 + Y3. 10.000.000
(1 Punto) (1 Punto)
X31 + X51 + X61 + X81 26.000 + 5/30 Y1 (1 Punto) (Demanda por bolsa de manzana) X32 + X52 + X62 + X82 12.000 + 1/40 Y2 (1 Punto) (Demanda por compota de manzana) X33 + X53 + X63 + X83 90.000 + 7/50 Y3 (1 Punto) (Demanda por jugo de manzana)
Pregunta N°4 (20 Puntos): La empresa forestal Conguillio S.A. produce tres tipos distintos de productos: pulpa, cubos de madera, y tablas. Actualmente, la compañía tiene capacidad de 120 horas de trabajo, 100 unidades de capital, 100 unidades de material, y 28 unidades de transporte. El precio de mercado (por unidad de producto) de los tres productos es $3 por pulpa, $2 por cubos, y $6 por tablas. La compañía ya tiene un contrato para producir al menos 20 unidades de cubos. Adicionalmente, la compañía estima que la demanda máxima de los productos es 15, 100, y 30 unidades, respectivamente. El administrador de la compañía ha formulado el siguiente problema de optimización para poder decidir el plan de producción: Max Z
3A
2B 6C
sujeto a, 2A 4B 3C 120
(trabajo)
2A 2B C 100
(capital)
A 3B 3.75C 100 (materia prima) A 4C
28
(transporte)
B 20
(contrato por cubos)
A 15
(demanda pulpa)
B 100
(demanda cubos)
C 30
(demanda tablas)
no - negativida d
La solución del informe de sensibilidad (confidencialidad) de Solver de Excel es 6: Celdas cambiantes Celda $D$4 $E$4 $F$4
Nombre pulpa cubos tablas
Valor Igual 15 ¿? 3,25
Gradiente reducido 0 0 0
Valor Igual
Sombra precio 0,5
Coeficiente objetivo 3 2 6
Aumento permisible 1E+30 2,8 3,5
Disminución permisible 0,875 2 4,5
Restricciones Celda $C$5 $C$6 $C$7 $C$8 $C$9 $C$10 $C$11 $C$12
6
Nombre trabajo A capital B material F transporte 28 contrato cubos -20,0625 demanda pulpa ¿? demanda cubos ¿? demanda tablas ¿?
C
0 1,125 0 0,875 ¿? ¿?
Restricción Aumento Disminución lado derecho permisible permisible 120 16,83333333 0,25 100 D E 100 1E+30 G 28 0,333333333 13 -20 1E+30 0,0625 ¿? 0,2 14,42857143 100 1E+30 79,9375 30 1E+30 26,75
Algunos valores se han omitido utilizando la notación ¿?
a) (7 Puntos) Encuentre los valores de las incógnitas A, B, C, D, E, F y G justificando brevemente su respuesta. Restricciones Celda $C$5 $C$6 $C$7
Nombre trabajo capital material
Valor Igual A
Sombra precio 0,5
B
C
F
0
Restricción Aumento Disminución lado derecho permisible permisible 120 16,83333333 0,25 100 D E 100 1E+30 G
A = 120. Se obtiene al evaluar la solución óptima en el lado izquierdo de la restricción 7. (1 Punto) B = 73,375. Se obtiene al evaluar la solución óptima en el lado izquierdo de la restricción. (1 Punto) C = 0. La restricción no se encuentra activa en el óptimo. (1 Punto) D = 1E+30 (Infinito). Al incrementar la disponibilidad del capital no cambia la solución óptima ni el valor óptimo (es un recurso que tiene holgura). (1 Punto) E = 26,625. Es el valor de la holgura de la restricción (no activa). Es decir, el lado derecho de la restricción de capital puede disminuir como máximo en 26,625 unidades conservando la solución óptima y valor óptimo. (1 Punto) F = 87,375. Se obtiene al evaluar la solución óptima en el lado izquierdo de la restricción. (1 Punto) G = 12,625. Es el valor de la holgura de la restricción (no activa). Es decir, el lado derecho de la restricción de material puede disminuir como máximo en 12,625 unidades conservando la solución óptima y valor óptimo. (1 Punto) a) (5 Puntos) Suponga que la demanda de pulpa verificada fue de 16 unidades. ¿La compañía ha perdido dinero por causa de una subestimación de la demanda máxima en el modelo? En caso afirmativo, ¿Cuánto seria el ingreso total bajo dicha modificación en el modelo?. Justifique su respuesta. Si porque el precio sombra es positivo. El máximo aumento permisible es de 0,2 entonces los ingresos aumentan de 0,2*0,875 = 0,175. (3 Puntos) Ingreso Total = Ingreso Óptimo Original + 0,175 = 3*15 + 2*20,0625 + 6*3,25 + 0,175 = $104,8. (2 Puntos)
7
Notar que la solución óptima (del informe de sensibilidad) es: A=15, B=20,0625, C=3,25. Si bien el valor
de B está oculto (con la notación ¿?), éste se puede rescatar del valor que adopta el “Valor Igual” de la
restricción de contratos de cubos.
b) (4 Puntos) Determine si cambia la actual solución óptima si se dispone ahora de 135 horas de trabajo. En caso afirmativo encuentre la nueva solución óptima (de existir). Justifique su respuesta. Como el aumento permisible del lado derecho de la restricción del trabajo es 16,83333333, un aumento de 135 horas de trabajo conserva las actuales restricciones activas en el óptimo. Sin embargo, la solución óptima cambia (1 Punto), la cual se puede encontrar al resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2A + 4B + 3C = 135 A + 4C = 28 A = 15 De donde se obtiene: A=15, B=23,8125 y C=3,25. (3 Puntos) c) (2 Puntos) Considere que aumenta el precio unitario de la pulpa a $5. ¿Se conserva el actual valor óptimo?. Justifique su respuesta detallando el valor óptimo de este escenario. El aumento del precio de la pulpa permite conservar la actual solución óptima dado que el aumento permisible para el respectivo parámetro en la función objetivo es 1E+30 (Infinito). (1 Punto) No obstante cambia el valor óptimo el cual corresponde a: V(P)=5*(15)+2*(20,0625)+6*(3,25)=134,625
(1 Punto)
d) (2 Puntos) A través del análisis de sensibilidad indique cuánto estaría dispuesto a pagar por eliminar el contrato que obliga a producir al menos 20 unidades de cubos. El análisis se debe centrar en la restricción que obliga a producir al menos 20 unidades de cubos. El precio sombra de dicha restricción es de $0 (no se encuentra activa en el óptimo) lo cual establece lo máximo que el fabricante debería estar dispuesto a pagar por eliminar la restricción. (2 Puntos)
