Resumen F´ısica 120 - Primer Certamen. ´ Claudio Alvarez R. Noviembre 2, 2011 En el presente documento les presento un resumen de los contenidos que entraron en mi primer certamen de Fis120 el primer semestre del a˜ no 2011. Destaco que NO he sido ayudante de esta asignatura hasta el momento y que solo quiero compartir este material con la comunidad sansana. La informaci´on fue extra´ıda del libro Resnick volumen 2.
1
1
Cap´ıtulo 27: Ley de Coulomb.
La ley de Coulomb, llamada as´ı en honor a Charles Agust´ın Coulomb, qui´en midi´o cuantitativamente la atracci´on y repulsi´on el´ectrica y dedujo la ley que las gobierna. F = k
q1 q2 r2
(1)
Cabe destacar que esta f´ormula la utilizaremos SOLO cuando hablemos de cargas puntuales. La constante K de la frmula se define segn: 1 4ΠEo
k =
k = 8, 99x109 N m2 /C 2
(2)
(3)
Donde Eo es la constante de permitividad.
1.1
Principio de Superposici´ on.
Cuando hablamos de la Ley de Coulomb en su forma vectorial podemos utilizar el principio de superposici´on, el cual se˜ nala (en palabras simples) que si tenemos dos o m´as fuerzas actuando sobre una misma part´ıcula, entonces podemos sumar estos vectores para obtener la fuerza neta sobre ella. (Les aconsejo repasar sumas vectoriales)
1.2
Ejemplo
CARGAS en TRIANGULO. Tres part´ıculas cargadas id´enticas. Cada part´ıcula se ubica en un v´ertice de un tri´angulo equil´atero. La magnitud de la fuerza que UNA de ellas ejerce sobre CUALQUIERA de las otras es de 1 N. La magnitud de la fuerza NETA sobre cualquiera de ellas vale: A) Cero. B) 2 N. C) Mayor que 2 N. D) Menor que 2 N, pero mayor que 1 N. E) 1 N. (Certamen del primer semestre del a˜ no 2010, ejercicio 3) 2
Figure 1: Tres part´ıculas cargadas id´enticas forman un tri´angulo equil´atero.
Soluci´on: Por el principio de superposicin sabemos que la fuerza neta que ejercen las par´ıcula 1 y 2 sobre la 3 la podemos representar como la suma vectorial de estas: FN = F13 + F23 El primer paso consiste en dividir cada una de las fuerzas en sus componentes X e Y, para luego sumar las que que queden en igual sentido, y restar las que tengan sentidos opuestos (como en el caso de las componentes X de este ejemplo, las cuales se anulan) ⇒ FN x = F13 x − F23 x ∧ FN y = F13 y + F23 y ⇒ FN x = 1 ∗ cos(60) − 1 ∗ cos(60) ∧ FN y = 1 ∗ cos(30) + 1 ∗ cos(30) Luego, como hab´ıa adelantado anteriormente, las componentes a lo largo del eje X se anulan, por lo que la fuerza neta resultante ser igual a la suma de las componentes en el eje Y. √ ⇒ FN = FN y = 2 ∗ cos(30) = 3
3
2
Cap´ıtulo 28: Campo El´ ectrico.
El campo el´ectrico es un vector que se define como ”Fuerza por unidad de carga”, y su magnitud se define seg´ un la siguiente f´ormula: E =
F qo
(4)
Donde F es la fuerza ejercida sobre una carga qo, y qo es una carga de prueba muy peque˜ na. Observemos que si remplazamos (1) en (4) obtenemos otra forma de expresar el campo el´ectrico en funci´on de la carga de emisor (Q) y la distancia que lo separa del punto en el espacio donde estudiamos el comportamiento del campo el´ectrico (r). E =
2.1
1 Q 4ΠEo r2
(5)
Principio de superposici´ on
Al igual que con la fuerza de atracci´on o repulci´on el´ectrica neta, el campo el´ectrico neto sobre un punto en el espacio se define como la suma vectorial de los N campos que lo atraviesen. X
E =
2.2
Ei
(6)
L´ıneas de Fuerza.
Las l´ıneas de fuerza dan la direcci´on del campo el´ectrico en cualquier punto. Estas se originan en cargas positivas y terminan en cargas negativas (Ver figure 2). Cabe destacar que estas l´ıneas se trazan de tal modo que el n´ umero de l´ıneas por unidad de ´area sea proporcional a la magnitud del campo el´ectrico. Como se observa en la figura 2, en la zona A hay m´as lineas por unidad de a´rea, por lo que la magnitud del campo es mayor que, por ejemplo, la zona B.
4
Figure 2: Ilustraci´on de l´ıneas de fuerza.
2.3
D´ıpolo El´ ectrico.
Uno de los casos m´as comunes al trabajar con cargas puntuales, es el d´ıpolo el´ectrico (Ver Figure 3). En este caso primero debemos observar que las magnitudes de ambos campos son iguales en el punto P: ||E+ || = ||E− || Para luego proceder a usar el principio de superposici´on. E+ ∗ sin(φ) − E− ∗ sin(φ) = 0 ⇒ E = E+ ∗ cos(φ) + E− ∗ cos(φ) Ahora bien, si utilizamos la f´ormula (5) tenemos que: 1 q q 1 ) ∗ cos(φ) E=( d 2 + 2 2 4ΠEo x + ( 2 ) 4ΠEo x + ( d2 )2 Luego observemos que: cos(φ) = q
d 2
x2 + ( d2 )2
Por lo tanto, finalmente la ecuaci´on del campo el´ectrico de un d´ıpolo nos queda de la forma: 1 q∗d E = (7) 4ΠEo (x2 + ( d2 )2 ) 23 Donde q*d corresponde al momento dipolar el´ectrico (p). 5
Figure 3: D´ıpolo El´ectrico.
2.4
Campo el´ ectrico en las distribuciones de cargas continuas.
Ya hemos visto c´omo calcular el campo el´ectrico neto cuando trabajamos con part´ıculas, pero Qu´e suceder´ıa si ahora habl´aramos de un cuerpo cargado, ya sea un disco, una esfera o una barra? Sabemos que cada uno de estos cuerpos est´a compuesto por millones de part´ıculas, y cada una de ellas posee una cantidad de carga, la cual llamaremos dq, y que produce un campo el´ectrico asociado, el cual llamaremos dE, donde: dE =
1 dq 4ΠEo r2
(8)
Por el principio de superposici´on sabemos que si sumamos cada una de estos campos asociados obtendremos finalmente el campo el´ectrico total. Ahora bien, si intent´aramos sumar uno a uno no terminar´ıamos nunca, por lo que aplicaremos el concepto de integral para facilitar el c´alculo: Z
E = 6
dE
(9)
Recordemos que esta sigue siendo una suma vectorial, por lo que tenemos que tener cuidado con el sentido de cada uno de los vectores. 2.4.1
Densidad de carga.
La densidad de carga la podemos calcular a nivel lineal, superficial o volum´etrico dependiendo del caso. La f´ormula para el caso lineal es: dq = λds
(10)
donde lambda es la densidad lineal y ds representa una longitud muy peque˜ na. Para el caso superficial y volum´etrico tenemos casos similares: dq = σdA
(11)
dq = ρdV
(12)
Donde sigma es la densidad superficial, rho la densidad volum´etrica, dA y dV una fracci´on muy peque˜ na del a´rea y del volumen respectivamente.
2.5
Casos particulares.
A continuaci´on les presento los casos m´as comunes en el curso. 2.5.1
El anillo de carga.
En esta situaci´on contamos con un anillo cargado de manera homog´enea en el plano XY, y vamos a calcular la magnitud del campo el´ectrico en cualquier punto del eje Z. (Observar que el centro del anillo coincide con el punto (0,0,0)). Primero, como acordamos anteriormente, vamos a dividir el anillo en infinitas part´ıculas dq. Ahora veamos cuanto vale el campo el´ectrico para cada una de estas particulas. (Ver figura 4). dE =
1 dq 4ΠEo r2
Ahora, seg´ un la f´ormula (10) tenemos que: dE =
1 λds 4ΠEo r2 7
Figure 4: Anillo cargado. Ahora, utilizando el teorema de pit´agoras podemos facilmente calcular cuanto vale r en funci´on del radio del disco (R) y la distancia del centro de este hasta el punto en cuesti´on (z). dE =
1 λds 2 4ΠEo R + z 2
Ahora ya conocemos la magnitud de cada una de las part´ıculas del disco, sin embargo a´ un tenemos que calcular el campo el´ectrico neto. Para ello ocuparemos el principio de superposici´on, pero antes es necesario observar bien la situaci´on y percatarse que cuando descompongamos cada uno de estos vectores en los componentes X, Y y Z podremos observar que al sumar los vectores en el eje x y el eje y estos se anularn, quedando solo el componente z. Por ejemplo, tomemos dos puntos opuestos del disco y dibujemos el vector de cada campo el´ectrico, entonces nos damos cuenta que efectivamente al sumarlos nos queda un vector a lo largo del eje z. Lo mismo sucede para el resto de los puntos. Entonces, partiendo por este razonamiento que nos facilitar´a el c´alculo, continuamos con el ejercicio. Habiendo aclarado esto, podemos despreciar el valor de las componentes x e y de cada vector asociado a las part´ıculas del disco, y solo sumar vectorialmente su componente z. dEz = dE ∗ cos(φ) = (
λds 1 ) ∗ cos(φ) 2 4ΠEo R + z 2 8
⇒ dEz = (
λds 1 z ) ) ∗ (√ 2 2 2 4ΠEo R + z R + Z2
Ahora procedemos a integrar el lado derecho en base a dEz, y el derecho a ds. Observemos que z, lambda, R y k no dependen de ds, por lo tanto los podemos considerar como constantes y ”sacarlas” de la integral. Z
Z zλ 1 dEz = ( ) ∗ ds 4ΠEo (R2 + z 2 ) 23
⇒ Ez = (
1 zλ ) ∗ 2ΠR 4ΠEo (R2 + z 2 ) 23
(13)
Ahora bien, observemos que el per´ımetro del anillo multiplicado por la densidad lineal corresponde efectivamente a la carga total del anillo, por lo tanto, el campo el´ectrico de un anillo es igual a: E = Ez = 2.5.2
zq 1 2 4ΠEo (R + z 2 ) 23
(14)
Disco con carga.
Este caso es similar al anterior, sin embargo, ahora no nos conviene calcular el campo de cada part´ıcula, ya que se complica m´as el c´alculo. Lo que haremos, ser dividir el disco en infinitos anillos conc´entricos, y utilizaremos la formula para campo el´ectrico que encontramos en el ejercicio anterior. Definiremos W como la distancia del centro al anillo, y dw como el grosor de este. Observemos tambi´en que el valor de W variar´a de 0 a R, y que finalmente, ya que est´a formado de anillos cuyos campos son paralelos al eje x, la suma vectorial de estos dar´a como resultado que el campo el´ectrico neto ser´a paralelo al eje Z. dE = (
1 zσ ) ∗ 2ΠW dw 2 4ΠEo (W + z 2 ) 23
Luego procedemos a integrar desde 0 a R, y procedemos a sacar de esta a las constantes. Z
zσ2Π Z W dw dE = 4ΠEo (W 2 + z 2 ) 23 9
Figure 5: Ilustracin de un Disco cargado en las cordenadas XYZ y visto desde arriba.
10
Figure 6: Ilustraci´on de l´ınea infinita cargada.
2.5.3
⇒E=
zσ 1 1 ) ( − 2Eo z (R2 + z 2 ) 21
⇒E=
σ z (1 − 1 ) 2 2Eo (R + z 2 ) 2
(15)
L´ınea de carga infinita.
En este caso calcularemos el campo neto en un punto a lo largo del eje Y. Partiremos por dividir la linea en infinitas part´ıculas de carga dq y longitud dz, para luego calcular su campo asociado utilizando la formula (8) y la (10). dE =
1 λdz 4ΠEo (y 2 + z 2 )
Observemos que si le damos la vuelta a la barra en 180 grados en torno al eje Y, la situaci´on no cambia en nada, por lo tanto no puede haber una componente Z del campo neto en el punto que estudiamos. En otras palabras, 11
imaginemos que efectivamente existiera una componente Z que apunte hacia arriba en este punto. Ahora bien, cuando damos vuelta la barra, la situaci´on no cambia, sin embargo la componente Z se modificar´ıa y apuntar´a hacia abajo. A partir de este simple razonamiento concluimos que no existe tal componente. Podemos llegar a esta misma conclusi´on a partir de la simetr´ıa de la barra, ya que se terminan anulando los componentes Z de cada part´ıcula con su homologo del extremo opuesto. De igual forma podemos descartar la existencia de una componente en el eje X. Imaginemos que existe un componente X en el punto que estudiamos. Ahora, si rotamos la barra sobre el eje Z, nos damos cuenta que esta direcci´on se altera, sin embargo, la situaci´on no ha cambiado. Una vez aclarado esto, procederemos a sumar las componentes Y de todos los campos. Integrando en z desde menos infinito a m´as infinito. E = Ey =
⇒E=
Z
Z
cos(φ)dE
(cos(φ)) ∗ (
λdz 1 ) 2 4ΠEo (y + z 2 )
Otra dato importante que hay que notar, es que la contribuci´on del extremo superior y del extremo inferios son equivalentes, por lo tanto, podemos integrar desde z=0 hasta z= infinito positivo y multiplicar este resultado por dos, obteniendo el mismo resultado. Tambi´en cabe destacar que el a´ngulo phi depende de la posici´on Z de la part´ıcula, por lo que no podemos sacar el coseno de phi de la integral ya que es una variable. ⇒E =2∗(
λ Z cos(φ)dz ) 4ΠEo (y 2 + z 2 )
Para el siguiente paso, primero tenemos que fijarnos que dentro de la integral tenemos dos variables, el ´angulo phi y z. Tenemos que dejar solo una para poder continuar. Observemos la siguiente igualdad: tang(φ) =
z y
⇒ z = y ∗ tang(φ)
12
Ahora bien, si derivamos ambos lados con respecto al ´angulo phi obtenemos: dz = y ∗ sec2 (φ)dφ Lo que es equivalente a: dz =
ydφ cos2 (φ)
Luego podemos continuar, pero ahora integramos desde el a´ngulo cero hasta el ´angulo recto de 90 grados. λ Z cos(φ) ∗ y ∗ dφ ⇒E =2∗( ) 2 4ΠEo cos (φ)(y 2 + y 2 ∗ tang 2 (φ)) λ Z dφ ⇒E=( ) 2ΠEo y cos(φ)(1 + tang 2 (φ))
⇒E=(
λ Z dφ ) 2ΠEo y cos(φ)sec2 (φ)
⇒E=
⇒E=
λ Z cos(φ)dφ 2ΠEo y
Π λ (sin( ) − sin(0)) 2ΠEo y 2
⇒E=
λ 2ΠEo y
13
(16)
3
Cap´ıtulo 29: Ley de Gauss.
La ley de Gauss propone una f´ormula para calcular el flujo de campo el´ectrico que pasa a trav´es de una superficie cerrada, y nosotros aprovecharemos la simetr´ıa del ejercicio para calcular el campo E. φE =
I
E*dA
(17)
Observemos que esta integral cerrada es del producto punto entre el vector campo el´ectrico y la fracci´on infinitesimal del a´rea de la superficie que atraviesa. Ahora bien, habiendo aclarado esto, la ley de Gauss se expresa como: I
E*dA =
Q Eo
(18)
Donde Q corresponde a la carga neta encerrada por la superficie. Si una superficie no encierra ninguna carga, entonces el flujo neto en esa superficie es cero. (Notar que el flujo que sale de una superficie lo consideramos positivo y el que entra negativo, y al sumarlos obtenemos el flujo neto)
3.1
Teorema
Una carga en exceso en un conductor aislado se traslada por completo a la superficie exterior del conductor (no necesariamente uniforme). Ninguna de las cargas en exceso se encuentra en el interior del cuerpo conductor. Observemos que si el conductor no estuviera aislado, la carga se disipar´ıa en el medio.
3.2 3.2.1
Casos L´ınea infinita cargada.
En este caso contamos con una L´ınea infinita con una carga neta igual a Q. Esta situaci´on posee una simetr´ıa cil´ındrica tal como se muestra en la figura, ya que en todos los puntos a una distancia r de la l´ınea el campo es el mismo. Luego, usando la ley de Gauss podemos decir que: I
E*dA = 14
Q Eo
Figure 7: Ilustraci´on superficie de gauss para l´ınea infinita cargada. Ahora, como mencionamos antes, el campo es el mismo en todo punto del cilindro, por lo tanto, se considera como una constante dentro de la integral, as que podemos ”sacarlo”. (Recordar que dentro de la integral esta el producto punto entre el vector campo y el diferencial de a´rea, pero como son paralelos, su a´ngulo es 0 y por ende, como el coseno de 0 es 1, dentro de la integral queda el producto simple de ambas magnitudes.) ⇒
I
⇒E
EdA =
I
dA =
Q Eo Q Eo
Al integrar, obtenemos el rea superficial del cilintro (sin considerar las ”tapas”). E(2Πrh) =
Q Eo
Y utilizando la f´ormula (10) luego de integrarla y remplazando Q tenemos: E(2Πrh) = 15
hλ Eo
Figure 8: Ilustraci´on de una l´amina cargada y su superficie gaussiana. ⇒E = 3.2.2
λ 2ΠrEo
(19)
L´ amina infinita cargada.
Ahora bien, utilizando la superficie gaussiana de la figura y la ley de Gauss obtenemos: I Q E*dA = Eo Observemos que el campo interact´ ua con la superficie del cilindro de tres formas distintas. Con la tapa de la derecha, con el borde y con la tapa de la izquierda. Para facilitar el entendimiento del ejercicio dividiremos el c´alculo para cada uno de estos casos. ⇒
I izq
E*dA +
I
E*dA +
der
I borde
16
E*dA =
Q Eo
Partiremos analizando que sucede en el borde. En esta parte el campo es perpendicular al diferencial de a´rea, y como el coseno de 90 es 0, entonces este producto punto se anula. Ahora bien, para los siguientes casos el an´alisis es muy similar. El caso de la derecha tenemos que el campo y el diferencial de ´area son paralelos, por lo tanto su a´ngulo es cero y su producto punto resulta ser el producto simple de la magnitud de sus vectores. Por otra parte, en el caso de la izquierda, posiblemente sea un poco m´as complicado de digerir, pero ocurre ex´actamente lo mismo que en la derecha. El vector campo el´ectrico ”sale” de la superficie, y el vector del diferenci´al de a´rea tambi´en, por lo que son paralelos. Entonces, el problema nos queda as: ⇒
I
EdA +
izq
⇒E
I izq
I
EdA + 0 =
Q Eo
dA + 0 =
Q Eo
der
dA + E
I der
⇒ EA + EA + 0 =
Q Eo
Remplazamos Q al igual que antes, solo que ahora con la f´ormula (11). ⇒ EA + EA + 0 =
⇒E = 3.2.3
σ 2Eo
Aσ Eo (20)
Cascar´ on esf´ erico cargado.
Aunque en este caso tengamos que calcular dos campos el´etricos (adentro y afuera del cascar´on), resulta ser mas sencillo que los anteriores. Partamos por el interior del cascaron. Utilizaremos una simetr´ıa esf´erica e intentaremos usar la ley de Gauss. Sin embargo, no tenemos una carga neta en el interior, por lo tanto concu´ımos que el campo en el interior del cascar´on es cero. E = 0 17
Figure 9: Ilustraci´on de un cascar´on cargado su superficie gaussiana.
Ahora, para un punto cualquiera en el exterior, utilizaremos de nuevo una esfera como nuestra superficie gaussiana, debido a que el campo solo tiene componentes radiales (realizar el mismo an´alisis que hicimos con la l´ınea cargada). I
E*dA =
I
Q Eo Q Eo
EdA =
dA =
Q Eo
E(4Πr2 ) =
Q Eo
E
I
Con r mayor a R. E(4Πr2 ) =
Q 1 4ΠEo r2
(21)
Finalmente, observemos que en el exterior, el cascar´on cargado se comporta igual que una part´ıcula cargada. 18
4 4.1
Cap´ıtulo 30: Potencial El´ ectrico. Energ´ıa potencial.
Destaquemos que la fuerza electroest´atica es conservativa y podemos representarla por la siguiente regla: Fe = Eq
(22)
Y el trabajo realizado por esta desde un punto a a un punto b es: Wa→b = q
Z
Eds
(23)
a→b
Y este est´a relacionado a una diferencia de energ´ıa potencial: ∆U = −Wa→b ⇒ Ub − Ua = −q
Z
(24)
Eds
a→b
Ahora imaginemos que el punto inicial a lo tenemos a una distancia que tiende al infinito en donde Ua es igual a cero, e intentamos arrastrar un part´ıcula de prueba de carga q hacia el punto b cercano a la fuente emisora del campo el´ectrico de carga Q. Entonces, podemos calcular la energ´ıa potencial que ”necesitamos para mantener” la part´ıcula en el punto b con la siguiente f´ormula: ⇒ Ub = −q
Z oo→b
⇒ Ub = −qkQ
kQdr r2
Z oo→b
dr r2
1 1 ⇒ Ub = qkQ( − ) b oo
U (r) =
1 qQ 4ΠEo r 19
(25)
4.2
Energ´ıa potencial en un sistema de carga.
La energ´ıa potencial total en un sistema de cargas es la suma algebraica de cantidades escalares. Es decir, si tenemos tres part´ıculas (Q1, Q2 y Q3), la energ´ıa potencial de carga del sistema estar´a dada por la suma entre la energ´ıa potencial entre la carga 1 y 2, m´as la 2 y 3, mas la 3 y 1. Ut = UQ1Q2 + UQ2Q3 + UQ1Q3 ⇒ Ut =
4.3
(26)
1 Q2 Q3 1 Q1 Q3 1 Q1 Q2 + + 4ΠEo r 4ΠEo r 4ΠEo r
Potencial elctrico. (V)
Definimos el potencial el´ectrico como la energ´ıa potencial por unidad de carga de prueba. Anteriormente hab´ıamos definido la formula de energ´ıa potencial seg´ un la f´ormula (25) con una carga de prueba q. A partir de esto, el potencial el´ectrico estar´ıa dado por: V
V
U q
(27)
1 Q 4ΠEo r
(28)
=
=
Donde Q es la carga puntual que estudiamos. Notar que V es un escalar, por lo tanto para calcular el potencial el´ectrico total entre m´ ultiples cargas puntuales hay que hacer la suma algebraica. X
VT =
4.4
Vi
(29)
Otras formulas relacionadas.
Diferencia de potencial el´ectrico entre dos puntos, a y b. ∆V
Ub − Ua q
=
(30)
Relaci´on entre el trabajo y la diferencia de potencial el´ectrico. ∆V
=
−Wa→b q
20
(31)
⇒ ∆V
= −
Z
Eds
a→b
Y cuando a tiende al infinito tenemos: ⇒ ∆V
= −
Z
Eds
oo→b
4.5
Potencial el´ ectrico para una distribuci´ on de carga continua.
Como mencionamos anteriormente, la f´ormula (28) es para una carga puntual. En este caso tendremos que hacer un trabajo similar al campo el´ectrico, usando la misma metodolog´ıa, es decir, dividiremos el cuerpo cargado en part´ıculas, calcularemos el potencial asociado a cada una y luego haremos una suma algebraica de las magnitudes (recordemos, el potencial es un escalar y no un vector). V
=
Z
dV
(32)
1 Z dq ⇒V = 4ΠEo r Veamos que sucede con el caso part´ıcular de un anillo cargado. (Ver figura 4). En esta situaci´on tenemos que: 1 Z dq V = 4ΠEo r Observemos que r es constante para todo dq, por lo tanto podemos ”sacarlo de la integral”. 1 Z ⇒V = dq 4ΠEo r ⇒V =
⇒V =
1 q 4ΠEo r
1 q √ 2 4ΠEo R + z 2 21
(33)
4.6
Superficies equipotenciales.
Las superficies equipotenciales, como su nombre lo indica, son aquellas que tienen el mismo potencial el´ectrico en todos sus puntos. Algunas propiedades importantes para el curso son: 1. Cuando una carga de prueba se mueve a lo largo de una superficie equipotencial, el campo electrico no realiza ning´ un trabajo sobre ella. (Revisar f´ormula 31) 2. Debido a que el potencial el´ectrico es independiente a la trayectoria, la diferencia de potencial para dos puntos cualquiera dentro de una misma superficie potencial es cero. 3. La superficie equipotencial es perpendicular a las l´ıneas de campo.
4.7
Relaci´ on entre campo y potencial.
El negativo de la rapidez de cambio del potencial con la posici´on en cualquier direcc´ıon (ds) es la componednde de E en esa direcci´on. Es =
−dV ds
(34)
Un caso particular es cuando la direcci´on ds es perpendicular a la superficie equipotencial, en ese caso tenemos que: E =
22
−dV ds
(35)
5
Cap´ıtulo 31: Capacitores y Diel´ ectricos.
Un capacitor es un dispositivo que almacena energ´ıa en una campo electroest´atico, y est´a compuesto por dos conductores con cargas iguales y opuestas, aislados el uno del otro y de su entorno, sin importar la forma de estos. La f´ormula que relaciona a la carga de las placas con su diferencia de potencial es: q = CV
(36)
Donde C es la capacitancia que se mide en faradios (coulomb/volt). (La campacitancia es la constante de proporcionalidad, y esta si depende de la forma del capacitor)
5.1
C´ omo calcular la capacitancia
1. Calculamos el campo el´ectrico entre las placas utilizando Gauss. 2. Utilizando E calculamos la diferencia de potencial. ∆V
= −
Z
Eds
a→b
Observaci´on. Hasta ahora habiamos elegido trayectorias hacia el emisor del campo (de carga positiva). Para facilitar el c´alculo, y evitar el signo negativo, para los casos de capacitores siempre vamos a elegir la trayectoria que indique el campo el´ectrico (de + a -), y entonces la f´ormula quedar´ıa de la siguiente forma: ∆V
=
Z
Eds
+→−
3. Finalmente, con la f´ormula (36) obtenemos la capacitancia.
5.2 5.2.1
Casos particulares. Capacitor de placas paralelas.
Como vimos en el punto anterior, tenemos que partir por calcular E. En este caso tenemos dos cuerpos que generan un campo el´ectrico, entonces, para 23
Figure 10: Capacitador de placas paralelas. obtener el campo neto, tenemos que hacer la suma vectorial de los campos generados por ambas placas. E = E+ + E− Ambos tienen la misma direcci´on y sentido, por lo tanto: q q ⇒E= + Eo (2A) Eo (2A) Luego calculamos la diferencia de potencial: ⇒ ∆V
Z
=
Eds
+→−
Ahora bien, el campo es constante, por lo tanto lo podemos sacar de la integral. ⇒ ∆V
= E
Z
ds
+→−
⇒ ∆V
= Ed
⇒ ∆V
=
qd Eo A
Ahora podemos calcular la capacitancia. q C= V ⇒C=
Eo A d
24
(37)
Figure 11: Secci´on transversal de un capacitador cil´ındrico o capcitador esf´erico. 5.2.2
Capacitor cil´ındrico.
Del mismo modo, partimos por calcular E. I
⇒
E*dA =
I
⇒E
EdA =
I
dA =
⇒ E(2ΠrL) =
⇒E =
Q Eo Q Eo Q Eo Q Eo
Q Eo (2ΠrL) 25
Luego el potencial: ∆V
=
Z
Edr
+→−
⇒ ∆V
Z dr Q = Eo (2ΠL) a→b r
⇒ ∆V
=
Q b ln Eo (2ΠL) a
Y finalmente la capacitancia: C= 5.2.3
Eo (2ΠL) ln ab
(38)
Capacitor esf´ erico.
De igual forma en este caso procedemos a calcular el campo. I Q E*dA = Eo ⇒
I
EdA =
⇒ E(4Πr2 ) = ⇒E =
Q Eo Q Eo
Q Eo (4Πr2 )
Luego el potencial. ∆V
=
Z
Edr
+→−
⇒ ∆V
q Z dr = 4ΠEo a→b r2
q 1 1 ( − ) 4ΠEo a b Y finalmente obtenemos la capacitancia: 4ΠEo (ab) C= (b − a) ⇒ ∆V
=
26
(39)
Figure 12: Capacitadores en paralelo.
5.3 5.3.1
Capacitores en serie y en paralelo. En paralelo
Propiedades: 1. La diferencia de potencia de la bater´ıa es igual a la diferencia de potencial de cada uno de los capacitores. Vbat = Vi
(40)
2. El potencial de las placas de la izquierda es igual al potencial en a, y el potencual de las placas de la derecha es igual al potencial en b. 3. Los elementos comparten la carga total que la bater´ıa proporciona a la combinaci´on. qbat =
X
qi
(41)
4. La capacitancia equivalente corresponde a la suma de las capacitancias individuales. Ceq =
27
X
Ci
(42)
Figure 13: Capacitadores en serie. 5.3.2
En serie
1. La diferencia de potencia de la bater´ıa es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada capacitor. X
Vbat =
Vi
(43)
2. la carga q, entregada a cada elemento de la serie, tiene el mismo valor. qbat = qi
(44)
3. La capacitancia equivalente se calcula seg´ un: X
Ceq =
5.4
1 Ci
(45)
Almacenamiento de energ´ıa en un campo el´ ectrico.
Supongamos que en un tiempo t se transfiere una carga q’ de una placa a la otra. La diferencia de potencial V’ entre las placas en ese momento es: q0 V = C SI ahora se transfiere un incremento de carga dq’, el peque˜ no cambio dU resultante en la energ´ıa potencial el´ectrica es: 0
q0 0 dU = V dq = dq C Si este proceso contin´ ua hasta que se haya transferido una carga q, la energ´ıa potencial total es de: 0
U=
Z
0
dU =
Z 0→q
28
q0 0 dq C
q2 2C
(46)
CV 2 2
(47)
U= Que es equivalente a decir: U=
5.5
Capacitores con diel´ ectricos.
Un diel´ectrico es una sustancia aislante entre las placas de un capacitor, lo cual aumenta la capacitancia de este en un factor K. C Co
Ke =
C = Ke
Eo A d
Donde C es la capacitancia con diel´ectrico, y Co sin ´el. El diel´ectrico ayuda a aumentar la capacidad de almacenar energ´ıa en un capacitor, pero al mismo tiempo lmita la diferencia de potencial que puede mantenerse entre las placas. La resistencia o rigidez del diel´ectrico propio de cada uno define el valor m´aximo que puede soportar sin perforarse. Adem´as, el campo el´ectrico se debilita en presencia de un diel´ectrico.
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