Presentación para introducir a alumnos de tercer semestre de ingenieria civil en el concepto de Centro de gravedad
Descripción: Una descripcion de lo que es el centro de gravedad y su diferencia con el centro de masa, una explicacion con ejemplo de la torre de pisa
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Centro de gravedad de un cuarto de círculo de masa M y radio R El área del semicírculo es
A =
1 4
π R
2
y su masa M =
1 4
σπ R
2
.
Consideramos que el círculo está contenido en el plano XY.
1º Método. Integración Como el semicírculo tiene un eje de simetría, las coordenadas x e y del centro de gravedad del cuarto de círculo son iguales, por lo que sólo es necesario calcular una de ellas y G =
1 M
∫∫ ydm . A
La masa del elemento diferencial de área, se ha seleccionado a una distancia y que varía entre 0 y R, corresponde a un rectángulo de
x y
base x y altura dy por lo que dm = σ xdy ; además y puede expresarse en función del ángulo
ϕ ,
dy
el cual para el cuarto de círculo
varía entre 0 y π/2. π
xG = yG =
1
1
M
σ
2
∫∫ ydm = M ∫∫ yσ xdy = M ∫ Rsenϕ R cosϕ R cos ϕ d ϕ A
A
π
0
4 R σ R ⎛ 1 ⎞ 3 3 [ ϕ ]0 = − xG = yG = cos ⎜ − ⎟∫ d cos ϕ = − ⎛ σπ R 2 ⎞ M ⎝ 3 ⎠ 0 3π ⎟⎟ 3⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ σ R
3
2
3
π
2
2º Método. Aplicación del teorema de Guldin Cuando el cuarto de círculo de la figura gira en torno a un eje vertical, engendra una semiesfera de volumen V =
2 3
π R
3
mientras que el centro de
gravedad describe una circunferencia de longitud Lcircunferencia = 2π xG de forma que
⎛ π R 2 ⎞ 4 R ⎟ π R = ( 2π y G )⎜ de forma que la coordenada y del centro de gravedad es y = G ⎜ ⎟ 3 3π ⎝ 4 ⎠ 2