Begoña Blasco Laffón
Mecánica Física Centros de gravedad
Ejercicios resueltos
Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos
1.
Centros de gravedad gravedad
Calcular las coordenadas del centro de gravedad del sistema de masas puntuales m1, m2 y m3 de la figura. solución1
Z m3 = 1kg C(0,1,6) cm m1 = 3kg
A(0,0,2) cm
Y
O
B(3,4,0) cm m2 = 1kg
X
Y M = λL
2.
Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la semicircunferencia, de radio R R y masa homogénea M , de la figura. solución2
R O
X
Y
3.
Calcular las coordenadas del centro de gravedad. del semicírculo, de radio R R y masa homogénea M , de la figura. solución3
M = σS R O
4.
X
Z
Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la semiesfera, de radio R radio R y y masa homogénea M homogénea M , de la figura. solución4
M = ρV = ρV R
Y
X
5.
Calcular las coordenadas del centro de gravedad del área de la figura, suponiendo que la masa específica es constante (distancias en centímetros). solución5
Y
B
1
C
D
1 2
I
H
J
G
2 F O
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3
E 1
2
1
X
2
Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos
6.
7.
Centros de gravedad gravedad
Calcular, mediante el primer teorema de Guldin, la superficie de una semiesfera de radio R, R, supuestas conocidas las coordenadas del centro de gravedad de un cuarto de circunferencia (calculadas en el ejemplo 2). solución6
Y
R
O
Calcular, mediante el segundo teorema de Guldin, las coordenadas del centro de gravedad de un cuarto de círculo de radio R radio R.. solución7
X
Z
S Y
X
8.
Una varilla delgada no uniforme de longitud L longitud L está está colocada sobre el eje OX con con un extremo en el origen. Su masa específica por unidad de longitud vale λ vale λ = λ0(1+x/2L). (1+x/2L). Hallar: a) la masa total. b) el centro de masas de la varilla. solución8
9.
Calcular el valor de “a “a” para que los ejes X ejes X e e Y pasen pasen por el centro de gravedad de la figura rayada. solución9
X
Y 30 cm
a 30 cm
a
10. Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la zona comprendida entre la parábola (y = 2x 2 ), ), las rectas (x = 1) y 1) y (x = 2) y 2) y el eje (OX), (OX), de la figura. solución10
Y
y = 2x2
8
O
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1
2
X
3
Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos
Centros de gravedad gravedad
2 cm
11. Calcular el centro de gravedad del perfil de la figura. solución11 8 cm 2 cm 8 cm
12. Una polea pesa 20 kp kp y tiene su centro de gravedad a 1 mm mm de su centro. Para corregir este defecto, se hace un taladro circular a 20 cm cm del centro de gravedad de la polea y en el mismo radio que su centro de gravedad. Hallar el peso de material que debe quitarse. solución12
13. Se tiene una superficie circular de radio R R a la cual se le ha cortado otra superficie circular de radio R/2 radio R/2,, como se muestra en la figura. Determinar la posición del centro de masas de la superficie resultante. solución13
14. Calcular los volúmenes de revolución de la superficie sombreada de la figura, al girar una vuelta alrededor de cada uno de los ejes coordenados. Las distancias en decímetros. solución14
Y O X
Y y = 6 y2 = 3x
O
X
15. Calculad x Calculad x con con la condición de que P que P sea sea el centro de gravedad de la figura. solución15
Y
x
3
P
3 X 8
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4
Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos
Centros de gravedad gravedad
16. Determinar el centro de gravedad de la figura rayada. Suponemos las distancias en centímetros y que la masa es proporcional al área. solución16
2
2 O
2
2
2
2
Z
17. Determinar las coordenadas del centro de gravedad de un cono recto de altura h y radio de la base R base R.. solución17
Y X
Y
18. Calcular, utilizando el cálculo integral, el centro de gravedad de la superficie rayada de la figura. Datos: R Datos: R = 5m, 5m, α = 60º . solución18
α = 60º
X
R
19. La chapa de la figura está sometida a las fuerzas que se indican, cuyos módulos valen: F 1 = 4N , F 2 = 6N , F 3 = 3N . Se pide: a) reducir el sistema de fuerzas al centro de gravedad de la chapa. b) momento mínimo del sistema. solución19
30º 30º F 2 2 Y(cm) 2
2
F 3 F 1
2 2
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2
2
2
X(cm)
5
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Centros de gravedad gravedad
Ejercicios resueltos: Solución 1:
X G
Y G
Z G
m1 x1
m2 x 2
m1
m2
...
m1 y1
m2 y 2
m1
m2
...
...
...
3 0 1 3 1 0
3 11 3 0 1 4 11
3 5
5
m3 = 1kg C(0,1,6) cm
1 cm
B(3,4,0) cm m2 = 1kg
X
m2 z 2 ... 3 2 1 0 1 6 12 2,4 cm m1 m2 ... 3 11 5 G
Y
O
m1 z 1
Por tanto:
m1 = 3kg
A(0,0,2) cm
5
3 11
Z
0,6 cm
0,6;1,0; 2,4 cm
volver1
Solución 2:
X G
xdl
Y G
L
L
L
ydl
Y M
L
L
dl y
dl
x R cos
Rd ,
O
y R sen
X G
Y G
xdl
L
R cos Rd
0
L
ydl
L
L
0
L
R sen Rd L
R
R 2
Al resolver las integrales se obtiene,
2
R
dm
d
dl
x
dl
R d
X
cos d
0
R
0
sen d R
X G
Y G
0;
2 R
volver2
Solución 3: d
Y
dS r d dr ,
x
r cos cos
y
r sen
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M
dS
S
y
r
O x
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dm dS dS rd dr
X
6
Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos
X G
S
xdS S
R
0
0
Centros de gravedad gravedad
r cos rd dr S
R
0
r 2 dr
cos d
0
R
2
2
Y G
R
0
0
ydS S
r sen rd dr
S
S
R
0
r 2 dr sen d 0
R
2
2 X G
Al resolver las integrales se obtiene:
Y G
0
4 R
3
volver3
Solución 4: G
0,0, Z
Z
G
dm = ρ dV
M = ρV
Para calcular Z G, a una altura z se escoge como elemento diferencial de volumen, un cilindro de base r 2 y altura dz .
dV = πr 2 dz r z
R
Y
X Z G
z dV , siendo dV V
V
2
r dz ,
Las coordenadas r y z y z están están relacionadas entre sí:
Z G
R
z dV
V
V
z R
0
2
V
z
2
dz
R
2
R R
2
2
r
2 z
z dz
0
R
,
por tanto:
dV
R
2
2
z
dz
3
z dz
0
2 R
3
3
al resolver las integrales se obtiene el valor de
Z G
Z G :
3 R
8
volver4
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7
Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos
Centros de gravedad gravedad
Solución 5:
En la figura se muestra una posible descomposición de la figura total en figuras parciales más sencillas. La figura total se considera suma del triángulo ABF triángulo ABF , figura parcial 1, y el rectángulo CDEF , figura parcial 2, a las que restamos el rectángulo IJGH rectángulo IJGH , figura parcial 3.
B C
Y 1 1
2 O
D I H J G
2
2
E 1
1
2
X O
figura parcial 1
D
1
2
X O
Figura parcial 1, 1, triángulo ABF triángulo ABF :
1
F 3
E 1
2
1
X
figura parcial 3
figura parcial 2
S 1
J G
2
E 1
D
I H
2
F 3
B C
Y 1 1
I H J G
2
F 3
B C
Y 1 1
6 3 9 cm
2
2 2 cm
x g 1
y g 1 2 cm S 2
Figura parcial 2, 2, rectángulo CDEF :
X G
Coordenadas del c.d.g: Y G
X G Y G
98
25 56
25
5 4
x g 2
y g 2
S 3
Figura parcial 3, 3, rectángulo IJGH rectángulo IJGH :
5
2 2
cm
x g 3
5
cm
y g 3
3
cm
S 1 S 2
y g 1 S 1 y g 2 S 2 S 1 S 2
cm 2
cm
2 .5
x g 1 S 1 x g 2 S 2
20
4
cm 2
x g 3 S 3
S 3
y g 3 S 3
S 3
3,92 cm
2,24 cm
volver5
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8
Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos
Centros de gravedad gravedad
Solución 6:
En el ejemplo 2 se calcularon las coordenadas del centro de gravedad de una semicircunferencia, con lo que, por simetría, se pueden conocer las de un cuarto de circunferencia. Para calcular
Y G suponemos
alrededor del eje
un cuarto de circunferencia que gira
OY .
Y
L
Se aplica el primer teorema de Guldin: S revolución S revolución
G
L recorrido del c.d . g
O
L 2 xG
por tanto:
R 2
4
S revolución
2
X
2 R
2 R
2 R
2
,
volver6
Solución 7:
Z
Si se gira el cuarto de círculo S , respecto al eje OZ , obtenemos una semiesfera, como se muestra en la figura.
R
2º teorema de Guldin: superficie inicial:
S
V revolución R
S recorrido del c.d . g
Y
X
2
4
V revolución
volumen de revolución:
2 R
3
3
recorrido del centro de gravedad: 2πY G R 2
por tanto:
Y G
3
3
R 4
,
2
Y G
4 R
2
3
, resultado obtenido ya en el ejemplo 3.
volver7
Solución 8:
a) masa total de la varilla:
M
dm m
En la figura se muestra el elemento diferencial escogido para el cálculo de la masa de la varilla.
Y
dm = λ dx dx
M
dm dx m
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L
x
E.T.S. de Edificación. U.P.M
X
9
Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos M
L
dx
o
Centros de gravedad gravedad
2 1 L 5 0 L x 0 1 dx 0 L L L 2 2 2 4
L
0
b) Centro de gravedad de la varilla:
Para masas lineales no uniformes se tiene:
X G
x dm x dl dm dl m
L
m
L
en este caso:
X G
x dl
L
dl
L
0
L
dx 2 3 4 L 1 L 8 2 L L 5 0 L 5 L 2 2 L 3 15 x
x 0 1
4
volver8
Solución 9:
Y
En la figura se muestra el esquema para el cálculo del centro de gravedad.
30 cm
30 cm
Y
X a
30 a
S 1 x g 1
S 2 x g 2
S 1
S 2
30 - a
X a
a +(30 – +(30 – a)/2 a)/2
30 cm a
X G
Y X
a/2
Si
X G
a,
30 a 30 a a a a 30 a 30 a a 2 2
a
a 11,46cm
Y
Otra forma de calcular el c.d.g: X G
S 1 x g 1
S 2 x g 2
S 1
S 2
30 cm a
30 cm
,
30 a 2 2 30 15 30 a a 2 X g a 2 2 a 30 30
a
X
15
a + (30 – (30 – a)/2 a)/2
a 11,46cm
volver9
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Centros de gravedad gravedad
Solución 10:
Y
y = 2x2
Cálculo de la coordenada X coordenada X G:
xdS , Y S
X G
G
S
ydS
x
S
S
y
dS = y dx
Al sustituir: 2
X G
2
x 4 1 2
x y dx x(2 x )dx ydx 2 x dx 2 x 2
1
2
2
1
2
3
3
Cálculo de la coordenada
O
4
1
3(2 1 ) 4
4
4(2 3 13 )
Y G
2 ydx 1
Y G
y dx
Y G :
1 2
1
4
2 x
2
2
x dx x
4 x dx
4
1
2
2
y=2x
dx ;
2
1
dx
x
2
x
5
5 1
2 1
2
X
1,61
Y
y
1 dx2
1
2
x
3
3
1
y
3 (2 5 15 )
2,66 5 (2 3 13 )
g y/2 O
1 dx 2
X
G(1,61; 2,66) u.l.. u.l. . volver10
Solución 11:
Los centros de gravedad parciales son: 6 cm
8 cm
G1(4,4) cm; cm; G2(5,5) cm
-
G1
G2
G2 G
G1 X G
Y G
64 4
36 5
64
36
2,71 cm
volver11
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11
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Centros de gravedad gravedad
Solución 12:
Y
Como el centro de gravedad debe estar en su centro geométrico, si tomamos el origen de coordenadas en dicho centro, entonces G(0,0). G(0,0). X G
M X
O
m x
G
M
m
20cm X
Siendo M la masa de la polea; m la masa a quitar, X la distancia del centro de gravedad actual al origen de coordenadas y x y x la la distancia a la que se hace el taladro. Por lo tanto: X G
como X G
20 kg 1mm
0
(20 ;
20 1
m kg 200mm
m) kg
m 200 0 ;
m
0,1 kg
volver12
Solución 13:
Y
Figura 1
Y Y
Figura 2
O X
X
O X
O
S 2 = π(R/2)2 (x2 ,y2 ) = (R,-R/2)
S 1 = πR2 (x1 ,y1 ) = (R,0)
X G
G
Y G
R
S 1 y1 S 2 y 2 S 1 S 2
G R ,
R
6
volver13
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12
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Centros de gravedad gravedad
Solución 14:
V revolución
X G
S recorrido del c.d . g
Y
xdS dS
6 y dx
1
12
x 6 y dx
V OY
dx
(6-y)
S
X G
Y G
0
x(6 3 x 2 )dx
12
0
24 2 3,6
1
(6 3 x 2 )dx
542,9 dm
86,4 24
3,6 dm
O x
12 X
y2 = 3x dS = (6-y)dx
3
ydS dS S
Y dy
Y G
xdy
yx dy
6
y
3
0
6
y
0
V OX
3
2
3
y
dy
108 24
dy
4,5 dm O
24 2 4,5
678,6 dm
x
12
X
y2 = 3x dS = xdy
3
volver14
Solución 15:
Y(cm)
4
Y(cm)
3
3
P
8
X(cm)
S 1 = 48 48 cm cm x g1 = 4 cm
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P
3
3
Condición:
x+2(8-x)/3
X G
8 S 2 = 1/2(6 (8-x)) cm 2 x g2 = 8-x/3 cm
X(cm)
x
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Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos
4 48 8 X G
48
x 1
3 2
1 2
6 8 x
Centros de gravedad gravedad
x
6 8 x
Al resolver la ecuación anterior, queda:
X G
6,87 cm
volver15
Solución 16:
fig.1
X G
Y G
fig.2
fig.3
xi S i S i
y i S i
X G
4 32 3 4 6 4
2,63 cm ,
32 4 4
S 3 =4π =4π cm cm2 Xg 3 =6 cm yg 3 =2 cm
S 1 =4 cm2 xg 2 =3 cm yg 2 =3 cm
S 1 =32 cm 2 xg 1 =4 cm yg 1 =2 cm
S i
Y G
2 32 3 4
32 4
2 4
4
1,74 cm
volver16
Solución 17:
Z 2
dV =πr dz r/(h-z) = R/h
zdV Z G
V
r
dV
z
V
Y
X h
h
z r dz z 2
Z G
h
2
r
R
2
h
2
0
dz
0
dz
0
h
0
R
2
h
2
h
h z
2
z h
dz
h z
2
dz
2
z 2hz dz 2
0
h
h
2
z 2hz dz 2
h 4
0
volver17
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14
Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos
Centros de gravedad gravedad
Solución 18:
dS
X G
R
/ 3
0
0
xdS
S
S
r cos rd dr R
0
Y
/ 3
rdrd
dα
dS = r dα dr
0
dr
x = r cosα R
/
3
ydS rsen rd dS rdrd
Y G
0
S
0
2
0
R
0
R
O
α
x
X
0
cos d
/ 3
rdr
0
y
y = r senα
3
/ 3
r dr
R
dr
dS
R
Y G
/
R
S
X G
0
r
d
/
0
0
R
R
sen d /
R
3
rdr
0
2 2
R 3
2 3
3
r dr
3
3
0
2
3
d
0
3
1
3 2 R
2
R
2 3
Para R Para R = 5m: 5m:
X G
R
3
2,76 ,
Y G
R
1,59
volver18
Solución 19:
a) Cálculo del centro de gravedad:
Y
S 1 = 12 cm
X G Y G
3
2
2,67
S 2 = 24 cm
X
2,67 12 6 24 5
12 24 2 12 3 24 3 12 24
g 3
g 2
g 1 2
F i .3
Fig.2
Fig.1
6
2
3
X
S 3 = π cm2
5
X
4,89 cm
2,63 cm
G(4,8 (4,89 9 ; 2,63; 0) cm
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Mecánica Física. Física. Ejercicios Ejercicios resueltos
Centros de gravedad gravedad
Reducción del sistema al centro de gravedad: F 2 2cos30
Y 2 2
R(0;
F 2 sen30 sen30º º F 1
M G
F 3
G
1,2; 0) cm
k (4 ( 4,89 2) 6 sen30º(6 2,63)
6 cos 30º(8 4,89) 3 (4 2,63)) 33,73k
2 2
2
2
2
X
Comprobación: k (4 2 3 4 6 sen30º6 6 cos 30º8)
M O
M G
M O GO R
39,57k
39,57k (4,89;2,63;0) (0,1,2,0) (39,57 5,87)k 33,70 k
volver19
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