1
CENTRO DE GRAVEDAD Es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo. En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, pueden coincidir entre sí. En estos casos se hace válido utilizar estos términos de manera intercambiable. El centroide es un concepto puramente geométrico mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo un campo gravitatorio uniforme.
CENTRO DE MASAS Es el punto el punto geométrico donde la resultante de las fuerzas gravitatorias ejercidas por todos los cuerpos del sistema se anula. De manera análoga, en un sistema continuo
es el punto donde la resultante de las fuerzas ejercidas por cada diferencial de masa se anula. Normalmente se abrevia como C.M. En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los cuales no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.
MOMENTOS DE PRIMER ORDEN Los momentos de primer orden se pueden calcular utilizando el Teorema de Varignon
Cálculo del C.M. de un sistema de masas discreto Las coordenadas del centro de masa de un sistema de masas discreto se calcula mediante la relación:
n
(r i m i ) R CM
i 1 n
mi i 1
2
Darwin Nestor Arapa Quispe
De aquí se desprenden las coordenadas: x CM y CM z CM
x 1m1 m1 y 1m1 m1 z 1m1 m1
x 2m 2 m2 y 2m 2 m2 z 2m 2 m2
x 3m 3 m3
... .. .
y 3m 3 m3
.. .
z 3m 3 m3
x nm n
mn ...
... .. .
mn z nm n mn
Las coordenadas del centro de masa de un sistema de masas continuo se calculan mediante la relación:
X
Y
Z
Donde
r dm
r dm
dm
M
r dm dm dm r dm
x dm M y dm
dm
M
r dm
z dm
dm
M
y CM
x 1L 1
es un operador de suma
infinitesimal denominado “integral” y “dm” es un elemento infinitesimal de masa. En el desarrollo de nuestra asignatura nos avocaremos solamente al cálculo de centros de gravedad y centros de masa de figuras discretas, en vista de que un sistema continuo es materia de estudio de cursos superiores de Física.
Cálculo del C.M. de cuerpos lineales Para una línea o conjunto de líneas se tiene:
x 2L 2 L1
y 1L 1
L2 y 2L 2
L1
y nm n
Cálculo del C.M. de un sistema de masas continuo
R CM
x CM
L2
x 3L 3 L3
... ...
L n
y 3L 3 L3
x nL n
... ...
y nL n
L n
Cálculo del C.M. de una superficie Para una superficie superficies se tiene:
o
x 1A 1
x 3A 3
x CM
y CM
x 2A 2
A 1 y 1A 1
A2 y 2A 2
A 1
A2
conjunto
A3
. .. ...
y 3A 3 A3
de
x n A n A n
. .. ...
y nA n A n
Se halla solamente 2 coordenadas en vista de que las superficies son bidimensionales.
Cálculo del C.M. de un volumen Para un volumen volúmenes se tiene: x CM
y CM
z CM
x 1V1 V1 y 1V1 V1 z 1V1 V1
x 2V2 V2 y 2V2 V2 z 2V2 V2
o
conjunto
x 3V3 V3
... ...
y 3V3 V3
V3
... . .. ...
x nVn Vn
...
z 3V3
de
y nVn Vn z nVn
Vn
Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el C.M. coincidirá con el centro geométrico del cuerpo.
3 CENTROS DE GRAVEDAD DE FIGURAS CONOCIDAS a.- Segmento horizontal.
e.- Arco de circunferencia. Y R
Rsen
X
C.G. Y
C.G. x
L
X
2
xc
X
c
R
X
L
Y
0
0
f.- Cuadrado, rectángulo. Rombo, paralelogramo.
b.- Segmento oblicuo. Y
Y
L cos
X
Y
C.G.
b
X
2
2 L
xc
h
yc
C.G.
yc
Lsen
Y
xc
2
X
c.- Semicircunferencia. Y
h
Y
X
2
f.- Triangulo cualquiera. X
C.G.
b
0
a
Y
a
X
b 3
C.G. h
R
yc
Y X
d.- Cuadrante de circunferencia. Y C.G.
X
yc
2R b/2
b/2
X
Y
h 3
f.- Semicírculo. Y
2R
X
C.G.
0
xc yc
R X
Y
2R
R
yc
X
Y
4R 3
4
Darwin Nestor Arapa Quispe
g.- Cuarto de círculo.
k.- Cono.
Y
X
4R 3
C.G.
h C.G. x
yc
Y
R X
4R 3
C.G.
R
Y
h 4
R
l.- Semiesfera.
h.- sector circular. Y
yc
c
X
2Rsen 3 R
2
R
X
xc
3R
0
CUERPOS SUSPENDIDOS.
i.- Cilindro.
Se muestra una placa en equilibrio. ¿Por qué esta en equilibrio? sencillamente porque sobre el cuerpo actúan dos fuerzas con la misma intensidad, en la misma línea de acción pero en sentidos contrarios, es decir que el centro de gravedad se encontrara en dicha línea recta.
T A
R
C.G.
C.G.
yc
Y
h 2
W
B
j.- Pirámide regular C.G.
A
También se muestra a la misma placa en equilibrio; pero en otra posición. Nótese que las dos fuerzas anteriores tienen ahora otra línea de acción que intersecándola con AB nos dará el centro de gravedad.
T
h C.G.
yc
Y
8
Y
R
Y
Y
h 4
W B
5 FUERZAS DISTRIBUIDAS
Finalmente:
Muchas veces un cuerpo se ve afectado por la acción de un conjunto de fuerzas que entre si forman una figura geométrica (rectángulo, triángulo, trapecio, etc.); este conjunto de fuerzas toma el nombre de fuerzas distribuidas.
Q
qL
L
L
2
2
A continuación se presentan algunos sistemas equivalentes.
ILUSTRACION: q
Sistema triangular. q L
Donde:
q=carga o peso por unidad de longitud. (N/m) L=longitud donde actúa “q”
L
q
R
RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS DISTRIBUIDAS Y PARALELAS Para resolver problemas sobre fuerzas distribuidas, se remplaza el sistema de fuerzas distribuidas por una sola fuerza (resultante), cuya línea de acción pasa por el centro de gravedad del el área formado por las cargas. El módulo de esta resultante es igual al área debajo de la gráfica, así:
R
L 3
Sistema trapezoidal. q1
q2
L
q
q1
L 3
q2
R 1
L
R 2
Reemplazando por una fuerza (Q=qL)
Q
L
qL
2
q
L
R
R1
R 2
1 qL 2
6
Darwin Nestor Arapa Quispe X C.M.
CENTROS DE GRAVEDAD. Tres esferitas idénticas de masa “m” se ubican en los tres vértices de un triángulo rectángulo de lados “3a” y “4a" cm. Hallar la distancia del centro de masa (C.M.) del sistema al origen de coordenadas. (a=3cm)
m1y 1
YC.M.
YC.M.
a
m 2y 2
m1 (m)(0)
3cm
m2
m 3y 3 m3
(m)(0) m
m
4a
YC.M.
(m)(4a)
3
m
4cm
Luego, la distancia del centro de masa
Y
(C.M.) al origen de coordenadas es: d
4a
d
C.M.
3a
X
Resolución:
Las coordenadas de posición de las esferitas son:
3
2
5cm
4
2
Rpta.
En los vértices de un cuadrado de lado 2m se ubican 4 esferitas. Hallar la razón YC.M. X C.M. de las coordenadas del centro de masa del sistema.
Y
Y
(3)
1kg
2kg
4a C.M.
2m (1)
(2) 3a
(x1 ;y1)
X
(0;0) ; (x 2 ;y 2) (x 3; y 3)
(3a;0) y
(0; 4 a)
X C.M.
m1x 1 m1
m2x 2 m2
3kg
X
Resolución:
Las coordenadas del centro de masa son: X C.M.
2m
4kg
m 3x 3 m3
(m)(0) (m)(3a) (m)(0) m m m
Las masas y las coordenadas de posición de las esferitas son: m1
1kg ; m2 m4
2kg ; m3 4kg
3kg y
7 (0;2) ; (x 2 ; y 2 )
(x1 ;y1)
(2;2) ;
(2;0) y (x 4 ;y 4 )
(x 3;y 3)
Y
(0;0)
1
R
X
2
Las coordenadas del centro de masa son: X C.M.
X C.M.
m1x 1
m2 x 2
m1
m 3x 3
m2
(0)(1)
m3
(2)(2) 1 2
X C.M.
YC.M.
X C.M.
m1y 1
(0)(4)
Las longitudes de los alambres en forma de semicircunferencias y las coordenadas de sus centros de gravedad son:
m 3y 3
m2
m3
m 4y 4 m4
L1
(2)(1) (2)(2) (0)(3) (0)(4) 1 2 3 4 YC.M.
(x 1; y 1)
(x 2 ; y 2 )
0,6m
0,6
X C.M.
R
L 2
2
; L 3
x 1L 1
x 2L 2
L1
R R ( )( ) 2 2
X CM
L2
R
2
2
YCM
. YCM
Y
y 1L 1
R
y 2L 2
L1
R R ( )( ) 2
)(
R
2
X
R
R
)
2R
(
)( R)
R
R
R
Piden: (X C. M. (X C. M .
YC. M . )
(R)(
Resolución:
Designemos cada uno de los alambres en forma de semicircunferencias.
L 3
2 R 2
YCM
2
y 3L 3
L2 R
(
R 2
L 3
(
X CM
alambre mostrado, si
x 3L 3
3R R )( ) (R)( R) 2 2 R R R 2 2
Rpta.
Hallar el producto de las coordenadas del centro de masa (X C. M . YC. M. ) del
R
R R ( ; ) (Ver tablas) Pág. 03. 2 3R R 2R ( ; ) y (x 3 ; y 3) (R; ) 2
X CM
Luego la razón de las coordenadas es: YC.M.
2
R
3
m4
1m
m 2y 2
m1
m4 x 4
(2)(3) 3 4
R
2
(X C. M .
YC. M.)
YC. M. ) R
)
2
2
Rpta.
2
8
Darwin Nestor Arapa Quispe
Para el sistema de coordenadas mostrado, encontrar el centro de gravedad del 4
alambre. R
Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la región sombreada.
m.
Y
Y R
2m
X
R
Resolución:
Se toma al sistema como si existieran dos cuerpos. O
1
Resolución:
R
2m
X
La figura sombreada se obtiene restándole al cuarto de círculo el triángulo AOB.
2
Figura 1: x1
4
R
2R
; y1
L1
(
4
8
)
2
Y ;
A
4 R
Figura 2: x2
2R
8
1
1
Cálculo de
x 1L 1
(
1)2
16
2
3
x1
m x2
: y 1L 1 L1
8
X Cuarto de circunferencia…………….(1) Triangulo AOB…………………….....(2)
L 2
YCG
YCG
8
4
(
2
x 2L 2
L1
Y
0 ; L 2
O
4 ( )4
Cálculo de
; y2
:
X
X CG
X CG
X
R
Y
2
)4 4
(0)2 2
y 2L 2
4R 3 R 3
; y 1
; y 2
3
2
( X CG
16 16 ; 2 3 3
Rpta
C.G.
x 2 A 2
A 1
3
)(
R
4 2 R
2R 3(
A 2
2
4
Finalmente: C.G.
2
x 1A 1
4R
4
R 2
R ; A 1 3
L 2 m
2
R
4R ; A 1 3
X CG
16
B
R
2)
)
(R)( R
R
2
2
)
2
2
1;1
Rpta
9 La figura mostrada es una lámina de acero de densidad uniforme, determinar las coordenadas del centro de gravedad.
Sobre una esfera maciza de radio “R” se ha colocado un cono cuya base circular tiene su radio igual al de la esfera. ¿Qué altura debe tener dicho cono para que el C.G. del sistema se encuentre en el punto de contacto?
10 cm 5 cm
R 10 cm
R
Resolución:
Dividimos el gráfico en figuras conocidas:
Resolución:
Sea el origen de coordenadas el centro de gravedad (punto de contacto). Y C.G. (x c , y c ) (0, 0)
Y
2 10 cm 5 cm
C.G.
Cálculo de Volúmenes:
1 12 cm
X
h
2
h
R h 3
Vcono
X
4
3
6 ;
x1
8 ;
x2
Cálculo de
X
y2
: x 1A 1
X CG X CG
Cálculo de
C.G.
A 1
(6)(60) 60 Y
Y CG
Y CG
5 ; A 1 60 2 35 ; A 2 30 3
y1
4 R
Vesfera
Fig.
yi
1
h 4
x 2A 2 A 2
(8)(30) 30
Vi 2
R h
2
A 1
y 2A 2 A 2
5 35 ( )(60) ( )(30) 2 3 60 30
yc
50 9
20 50 ; cm Rpta 3 9
3
2 2
h 12 2 R h 3
3
debe ser cero: 4
4 R 3 3 4 R 3
2
h 4
4
4 R
3
yc
2
12
4 R
–R
R
2
R h
La coordenada y 1A 1
y i Vi
3
20 3
:
R
3
4R h
2
R
h 12
0
h
4R
2 2
2
2
16R
Rpta.
4 R 3
4
10 Darwin Nestor Arapa Quispe APLICACIONES A LA ESTÁTICA. Se tiene un alambre semicircular que cuelga de uno de sus extremos. ¿Qué ángulo hace la línea AB y la vertical cuando el alambre adopte su posición de equilibrio?
Un semicilindro que pesa 33 encuentra en equilibrio apoyado pasador en A y por una pared calcular la reacción de la
N se en un en B. pared.
22 ) 7
Despreciar el rozamiento. (
A
B
B A
Resolución:
En el equilibrio, el C.G. del alambre quedará en la misma vertical que pasa por el punto de suspensión A
Y
Resolución:
Haciendo el DCL del semicilindro observamos que está afectado por tres fuerzas.
A r
R
O
CG
4r 3
R B
O
B 2R
R
P
C r
C.G.
B
A
Luego utilizando el cuadro “ c” (pág. 03) y el triángulo AOC, tenemos: tan
CO
2R
AO
R
2
tan
R A
Tomando momentos respecto al punto A, y aplicando la segunda condición de equilibrio tenemos: MR MP M A 0 B
2
arctan( )
Rpta.
r.R B
(
4r )P 3
RB
RB
14N
4 3(22 7)
Rpta.
.33
11 Una barra homogénea se dobla en dos partes iguales formando un ángulo recto. Se suspende de un extremo, hallar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.
En la posición de equilibrio el peso W y la reacción R son colineales, por consiguiente los puntos P y G se encuentran en una misma línea vertical. R
Del triángulo sombreado se tiene:
P
3L 4
L 4
1
3L 4
3
tan
G
L 4
37
W
2
Rpta.
FUERZAS DISTRIBUIDAS.
Resolución:
Determínelos previamente la posición del centro de gravedad G de la barra homogénea doblada en forma de L. Y
En la distribución de fuerzas mostradas sobre la barra de peso despreciable, determine la reacción en “A”. 40
0;
L 2
N m
B
A G1
3m
3m
Resolución: G2 O
L ;0 2
Reemplazando las cargas triangular y rectangular por sus equivalentes.
X
120N
60N
X CG
x 1L 1 L1
x 2L 2 L2 X CG
YCG
y1L 1 L1
(0)(L) (L)(L 2)
y 2L 2 L2 YCG
L
L
1m
1,5m
B
A
L 4
(L)(L 2) (0)(L) L L L 4
3m
R A
Fy
0
R A
R A (6)
3m
R B
RB
180 ………….(1)
MB
0
60(4) 120(1, 5)
12 Darwin Nestor Arapa Quispe R A
70N
Rpta. A
Una viga sobre la que actúa la carga triangular de la figura, esta sostenida por una reacción distribuida uniformemente. Hallar “W”. 3m
3m
300N / m
3m
B
60kN / m
Resolución:
Hacemos el DCL para un poste, y reemplazamos la fuerza distribuida por su equivalente. W 1m
1m
Resolución:
Reemplazando las cargas triangular y rectangular por sus equivalentes. 3m
3m FR 1m
R B
3m
MB
180kN
Primera condición del equilibrio. Fx
0
1m
FR
1 (300)(3) 2
RB
2W
RB
RB
450N
1m
Segunda condición de equilibrio. Fy W
0
180kN
90kN / m
MB
2W
(FR )(1) M B
Rpta.
MB
Los postes de madera utilizados para retener un muro de contención tienen 3 m de alto. Si la presión del suelo a lo largo de un poste varía uniformemente desde cero en la parte superior A hasta un máximo de 300 N/m en la parte inferior B. determine las reacciones en el punto B. Desprecie el peso de los postes.
0
0
450N.m
Por lo tanto las reacciones en el punto B son: RB
MB
450N
450N.m
Rpta.
13 e)
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la siguiente figura homogénea. a)
6,38; 1,13
b)
6,38; 2,13
c)
4,38; 0,13
d)
6,38; 0,13
e)
5,38; 0,18
3
Hallar la coordenada Y C del C.G. de la placa mostrada.
2 2 2
5
3
a) d)
Hallar la suma de las coordenadas del centro de gravedad de la varilla doblada en U, que se muestra en la figura: De como respuesta la suma de estas. a) 4 b) 5
2a
a
a
2
2
b)
3 5a
e)
4
3a
c)
2
2a
3a
Determinar la posición del C.G. de un carril de vía férrea curvada según se muestra en la figura. Si se sabe que el radio de curvatura es igual a 154 m. Considere:
5 cm
c) 4, 5
5 2
22
7
.
A
d) 6
a) 150 m
e) 4, 8
b) 145 m
154 m 5 cm
c) 147 m
O
60º
d) 152 m Una varilla de 20 cm de largo se dobla en dos partes iguales formando un ángulo de 60°. ¿A qué distancia del vértice “O” se encuentra el centro de gravedad de la varilla doblada? a) b) c) d)
7
3
O
3
60º
2 5 2 3
e) 125 m
B
Un alambre rígido homogéneo de 25 cm de longitud es doblado como se indica en la figura. ¿Cuánto debe medir “x” para mantener equilibrio? O
3
2
7 8
154 m
3
5 cm
x
14 Darwin Nestor Arapa Quispe a) 10 cm d) 12 cm
b) 15 cm e) 16 cm
c) 10 cm
a) 7,5 cm
y
b) 7,125 cm 1
c) 7,150cm Determinar la coordenada gravedad de la figura. R a) b) c) d) e)
Yc
d) 7,75 cm
4 cm .
6 cm
2R 5 R
R
a)
6
17 19 ; 7 7
Y
18 19 b) ; 7 7
3R 8
3N y P4
5N .
17 18 ; 7 7
6 cm
2 cm
d) 17 ; 19 5 7 e)
4 cm
17 17 ; 7 7
2
Calcule la abscisa del C.G. de la lámina con respecto a los ejes X e Y.
50 cm
26,5 ; 23
3
1
Y 6
53º
25,5 ; 50
X
4
3
a)
2
densidades por cm son: 3gr
;
0,6gr .
X
2 cm
Y
28.5 ; 46
Hallar la ordenada del centro de gravedad de la lámina cuadrada, formada por 4 láminas de distintos materiales y cuyas
4
x
6 cm
Hallar el C.G. de la figura con respecto al sistema xy mostrado en la figura.
5
6
1
6 cm
R
d) 17,5 ; 20 e)
4
4
b) 17,5 ; 15 c)
3
e) 7,05 cm
R
Determinar el centro de gravedad del sistema mostrado, si se sabe que los pesos para cada elemento son: P1 4N ; P2 8N ;
a)
6 cm
del centro de
c)
P3
2
2
2,5gr ;
3
1,9gr
y
d)
5
3
5 6 63 4 2 30
9 9
1
9
O
b) e)
3(4 9) 63 4 5 5(12
6 )
c)
4 23
X
9
15 Hállese la abscisa del C.G. de la placa metálica con respecto a los ejes que se muestran.
Encuentre las coordenadas del C.G. de la lámina homogénea y uniforme. a) (3,8; 2,8)
Y
Y 6
b) (1,8; 3,8)
3
c) (3,8; 1,8) 4
7
X
d) (2,8; 3,8) e) (4,8; 3,8)
3
a)
25 4
9
b)
3
2(25 9) d) 8 3
23 3 3(2 )
c)
4(25 9 ) 3(8 3)
b) 3,2 c) 4,2
Y 8
X
Hallar “y” con la condición de que el C.G. de la placa se halle en “D”. a) 4 m b) 2 m c) 6 m d) 5 m e) 3 m
A
8m
D y
16m
4
a) O
8
12
X
b) c)
Hallar el C.G. del alambre homogéneo de la figura: L1 L 2 L 3 20 cm . a) (6; 10) cm
9
B x
Calcular la coordenada “x” del (C.G.) para una placa triangular cualquiera colocada en la posición mostrada.
d) 5,2 e) 6,2
6
y
23 9 e) 2(1 2)
Calcular la abscisa del C.G. de la lámina homogénea y uniforme con respecto a los ejes que se muestran. a) 2,2
O
d) d)
Y
b) (8; 12,66) cm
A
B 2
A
B
A
3 A
y
B 6
A
B 4
A
B
B
x
4
L 3
c) (8; 14,3) cm d) (5; 9,35) cm e) (7; 8,4) cm
L 1
L 2
37º
X
Determinar el centro de la abscisa del grafico 22 mostrado, considerar . 7
16 Darwin Nestor Arapa Quispe a) 7,4 cm
A
B
20 cm
b) 8,4 cm
b) 45°
c) 9,4 cm
c) 16°
7cm
d) 10,4 cm e) 7,9 cm
a) 30°
d) 37° D
C
7cm
e) 53°
¿A qué altura sobre el borde inferior está el C.G. de la sección T de la figura?
La figura muestra una barra uniforme de peso despreciable en equilibrio. Determine
a) 3,8 cm
la fuerza de tensión en (N) en la cuerda que la sostiene.
2 cm
b) 3,6 cm
j
c) 3,5 cm
4 cm
i
d) 2,8 cm e) 1,8 cm
2 cm 2 cm 2 cm 53
30
Una lámina de forma triangular está colgada de un punto D del lado AB, mediante un hilo. ¿Cuánto debe medir AD para que en la posición de equilibrio AB quede horizontal? Se sabe además que la altura relativa al lado AB divide a este lado en dos segmentos de 27 cm y 9 cm.
2m
N m
1m
a) 60i 80j
b) 80i 60j
c) 30i 40j
d) 30i 40j
e) 40i 30j
a) 20 cm b) 21 cm c) 17 cm
A
D
B
d) 4 cm e) 23 cm
El peso de un bloque trapezoidal es 3600 N que actúa de acuerdo a la figura mostrada, la reacción del suelo varia uniformemente de una intensidad P A (N/m) en “A” a P B (N/m) en “B”. Determine P A y PB.
C
1.5m
2.1m
3600N
Una barra homogénea se dobla en tres partes iguales formando ángulos rectos. Se suspende de uno de los extremos, hallar la medida del ángulo “ θ” que define la posición de equilibrio.
P A
a) 1500 y 500 c) 1000 y 1500
PB
b) 500 y 1500 d) 800 y 700
17
3
Calcular la posición del centro de gravedad del grupo de pesos que están distribuidos. Siendo m1=6kg; m2=8kg; m3=6kg y m4=8kg.
a) y
b) y
R
a)
c) y
R 3
d) y
R
28.5 ; 46
b) 17,5 ; 15 c)
6m
2
3
26,5 ; 23
d) 17,5 ; 20 e)
Y
1
4
25,5 ; 50
32R ;0 21
3R ;0 22
32R R ; d) 21 4
e)
3R R ; 12 2
Y
C M
3
R
y
2 2
A
D
x
X
X
Y
Hallar el centro de gravedad de las varillas mostradas, si son homogéneas. a) 0 ; 0 Y b) 1 ; 1 8m
c) 1 ; 1
X
d) 1 ; 0 4m
8m
e) R
R
R
B
3 2
e) NA
R b) ;0 4
c)
3 2
2m
Se tiene una placa circular de radio “R”, a la cual se le extrajo dos trozos circulares de radios iguales a (R/2) y (R/4). Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la parte que queda. a)
R
4m
-1 ; 0
4
X 2
Hallar la ordenada del centro de gravedad de la figura mostrada. y
R
2
2R
En la figura se tiene una placa, ABCD, la cual era cuadrada y de lado “R”, se le extrae un trozo triangular AMD, calcular la coordenada “Y” del punto M de manera que el centro de gravedad de la parte que queda, se encuentre sobre el punto M.
2R R
x 4
a)
2
1
2 R
3 4
b)
2 4
1 R
18 Darwin Nestor Arapa Quispe a) 2a;
a 2
b) 2a;
e) NA.
d) 2a;
13a 5
e) 2a;
Determine la abscisa del C.G. de la siguiente figura plana y homogénea con relación al plano X-Y.
Determine las coordenadas del C.G. de la figura sombreada.
2
c)
2
1
2
c)
R
4
Y
2
1 R
4
a 3
c) 2a;
a 5
15a 2
6cm
a) 38/7 cm b) 19/3 cm
6cm
c) 21/5 cm d) 36/7 cm
a)
2; 2
b)
0; 2
c)
2; 0
d)
2; 4 3
e)
2; 3
Y 4
6cm
e) 19/7 cm X
12cm
Si el triángulo ABC es equilátero, entonces determine la ordenada del C.G. de la región sombreada. B(0;2 3)
4
X
El alambre que se muestra tiene la forma de la letra “M”. Determine el C.G. de dicha letra.
a) 2 3 3 b) 2 3 5 c)
3 2
d)
3 4
e)
3
( 2;0)A
C(2;0)
Determine el centro de gravedad de la figura mostrada. Y
2a
2a 45
45
45
45
45
2a
2; 1
b)
0; 2
c)
2; 0
d)
2; 4 3
e)
2; 3
X
2m
45
45 2m
2m
Se hace girar el sistema mostrado en torno al eje “X”. Hallar la abscisa del centro de gravedad del solido que se genera. a) 1,5 a b) 2 a c) 3 a d) 2,5 a e) 1,75 a
2a
45
a)
Y
a X 2a
4a
19 Determine la coordenada “z” del C.G. del solido hueco mostrado en la figura. a) R/2
Determinar el C.G. de la figura sombreada. R
z
Hueco
Hemisferio compacto
b) R/3
Y R
2
30
30
30
30
X
c) R/4 d) R/7 y
R
e) R/9
a)
x
3R
b)
;0
Determine la coordenada “z” del C.G. del solido mostrado en la figura. (R=1 m) a) b) c) d) e)
b)
e)
;0
9R ;0 5
Determinar la posición del C.G. de la figura sombreada.
3 11
4m
a) R 1;
4
10 7 11
4m
3 12
R
Y
2
b) R
1 1 ; 2 2
c) R
1 2 ; 2 3
R
d) R 1;0
1m
e) R 1;1
5
R
1
R
R
0
X
Calcular el valor de la masa
d)
Y
e)
para que el
Y
a) 11 kg
3R 2
R
R
60
2
m4
centro de masa se ubique sobre el eje de ordenadas (y). sabiendo que: m 1=8 kg, m2=4 kg, y m3=m4.
c)
2R ;0 3
10
Determinar la abscisa del centro de gravedad de la figura sombreada. a)
R
c)
;0
d)
5R
3
b) 12 kg X
c) 15 kg
2R
d) 14 kg
5
e) 17 kg
5m
1
2
4m
4
2m
4m
X
20 Darwin Nestor Arapa Quispe Una barra de peso despreciable es sometida a la acción de fuerzas distribuidas, tal como se muestra en la figura. Determinar la reacción en el apoyo “A”. 200N m 100N m
A
En la figura se muestra un aro uniforme y homogéneo, cuyo peso está representado por fuerzas distribuidas, y esta sostenido por cuatro cuerdas tal como se muestra en la figura. Determinar la tensión en una de las cuerdas que lo sostiene.
B 2m
a) 150 N d) 300 N
2m
b) 200 N e) 350 N
c) 250 N
1m
W
Una tabla de peso despreciable es sometida a la acción de fuerzas distribuidas, tal como se muestra en la figura. Determinar la suma de las reacciones en los apoyos.
200
y
N/m
x
1m
a) 25 5 N
b) 15 5 N
d) 35 5 N
e) 5 5 N
c) 10 5 N
9kN m 6k N m
3k N m
2m
a) 24 kN d) 54 kN
4m
2m
b) 34 kN e) 64 kN
c) 20 kN
La tabla AB está sometida a una carga uniforme de 200 N/m. si el coeficiente de fricción estático en todas las superficies en contacto es s 0,5 . Determine la fuerza P necesaria para iniciar el movimiento el bloque “m” (m=10 kg, g=10 m/s2)
La figura muestra dos tablas de peso despreciable. Determine la reacción en el apoyo “A”.
100N / m
20kN / m
m
P
4m
A
a) 150 N d) 300 N
B 2m
2m
4m
a) 25 kN d) 20 kN
b) 30 kN e) 60 kN
c) 10 kN
b) 200 N e) 350 N
c) 250 N
