ACTIVIDAD 2 “Trabajo Colaborativo Unidad 2 - Análisis de límites y Continuidad.”
Grupo: 100410_522
Presentado por: Herney Galvis Rivera Cód. 80177610 Wilder Alfredo Arias Javier Alexader Anaya Moreno Diego Fernando Fonseca Yespeter Ancervic Medina
Presentado a: Aldo Froilan Coy
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD Bogotá, D. C., MARZO de 2017
INTRODUCCIÓN El siguiente trabajo colaborativo dos tiene por objetivo desarrollar algunos ejercicios sobre análisis de límites y continuidad, vistos en el cálculo diferencial de la unidad 2, a través de un aprendizaje basado en problemas, en donde el estudiante desarrollará por fases un taller con el propósito de alcanzar un mayor o nuevo conocimiento en la solución de problemas de sucesiones y progresiones los cuales les servirá para darnos aplicación en nuestra área específica. Debemos comprender que los conceptos de límites y continuidades de una función son dos de los conceptos básicos del análisis matemático ya que entre otras cosas, nos permiten conocer mejor la forma y propiedades de las funciones reales. Además, el concepto de límite es básico en la definición del concepto de derivada de una función, acá en las primeras páginas resolveremos en grupo colaborativo, varios límites cuando la variable x tiende a cero, también hallaremos algunos límites de funciones trigonométricas, y por ultimo resolveremos algunos límites cuando x tiende al infinito, para luego presentar las experiencias del grupo, a manera de conclusión.
Desarrollo Estudiante 1
Ejercicio 1 principio de sustitución 2
lim
x→ 2
x −3 x+ 6 5(x )−1
2
2 −3(2)+6 lim 5(2)−1 x→ 2
lim
4−6 +6 10−1
lim
4 9
x→ 2
x→ 2
Ejercicio 2 forma indeterminada. lim
x→ 1
x 3−13 lim 2 2 x→ 1 x −1
x 3−1 x 2−1
lim x→ 1
( x−1 ) (x 2+ x+1) ( x +1 ) (x−1)
lim
x 2+ x +1 x +1
lim
1 + 1+ 1 1+1
lim
3 2
x→ 1
2
x→ 1
x→ 1
Ejercicio 3 límites al infinito. lim
x→∞
2 x +3 3 x +1
2x 3 + x x lim 1 x→∞ 3 x + x x 3 x lim 1 x→∞ 3+ x 2+
lim
x→∞
c =0 xn (n 0)
lim
x→∞
2+ 0 2 = 3+ 0 3
Ejercicio 4. Límites de Funciones Trigonométricas
lim
Sen ∅ 2∅
lim
Sen ∅ Sen (0) 0 = = Indeterminante 2∅ 2(0) 0
lim
1 Sen ∅ 1 1 = =1= 2 ∅ 2 2
∅→0
∅→0
∅→0
(
)
FASE 2 Resolver en Geogebra con base en el video indicado en la guía de actividades.
{
a x 2−4 f ( x )= x−2 , si x> 3 −x , si x <3
Figura 1.
}
Figura 2.
FASE 3
-
Cada estudiante deberá analizar y redactar un escrito de no más de (1) párrafo de extensión en donde argumente como aplicaría el uso de las
progresiones en su profesión, recuerde argumentar un contexto posible y real en el que usted en su profesión, pueda aplicar los conceptos de la unidad 2. Haga uso de una buena redacción y ortografía, sea breve y vaya al punto. Por favor, realizar el escrito con sus propias palabras, abstenerse de copiar y pegar información de la Web o de otras fuentes que no sean de su autoría sin realizar un uso correcto de citas bibliográficas según lo que se establece en la normatividad APA.
La aplicación de las progresiones en la rama de la ingeniería de sistemas, se implementaría en el desarrollo de software, donde permita realizar un programa de análisis financiero, se podría pensar en una solución, para una entidad bancaria, que permita obtener información de créditos, balances, análisis de riesgos e inversiones, teniendo como objeto su rentabilidad y crecimiento a futuro. El uso de las progresiones permite demostrar el comportamiento bancario en cuanto a su crecimiento y su desempeño en la actividad económica.
Desarrollo Estudiante 3 Ejercicio 1 lim cos ( 3 x ) x→π
Se aplica la definición de limite directamente. lim cos ( 3 x )=cos (3∗180 ) =cos ( 540 )=−1 x→π
Ejercicio 2 lim x→ 1
Factorizamos para eliminar la indeterminación
√3 x−1 x−1
Se presenta indeterminación del siguiente tipo: lim x→ 1
√3 x−1 = 1−1 =0 /0 x−1
1−1
lim
x→ 1
√3 x −1 ( √3 x−1)(1+x 1 /3 +x 2/ 3)
Aplicamos la definición de limite
lim x→ 1
1 1 /3
(1+ x + x
2 /3
=
) ( 1+ x
1 1 /3
2/ 3
+x )
Ejercicio 3 lim
x→∞
5 x 2 +3 x+ 1 2 2 x −4 x−5
Hay indeterminación 2
lim
x→∞
5 x +3 x+ 1 5 ∞+3 ∞+ 1 = =∞ /∞ 2 x 2−4 x−5 2 ∞−4 ∞−5
Dividimos en
x2
−5 =0 x2
lim
x→∞
5 x2 +3 x +1 2 x 2−4 x
1 =0 2 x lim
x→∞
5 x 2 +3 x 2 x 2−4 x
Por lo tanto 3 x lim 4 x→∞ 2− x 5+
3 =0 x
lim x→ 1
1 1 /3
(1+ x + x
2 /3
1 ) (1+1 +1 ) 3 =
1
1 /3
2 /3
=
4 =0 x Entonces: lim
x→∞
5 x 2 +3 x+ 1 5 = 2 x 2−4 x−5 2
Ejercicio 4
lim θ→0
sin ( 3 θ ) 2θ
Hay indeterminación lim θ→0
sin ( 3 θ ) sin ( 0 ) = =0 /0 2θ 0
Sabemos que: lim θ→0
sin ( θ ) =1 θ
Ahora sin ( 3 θ ) 3θ θ →0 3∗1 = =3/2 2∗1 2θ 2 lim θ → 0 2θ
3 lim
(
)
( )
Tercera 3 En la ingeniería industrial, los límites pueden ser utilizados, por ejemplo, para saber el nivel de producción y encontrar el menor costo posible para generar mayor ganancia. el límite nos ayuda a conocer el valor máximo o mínimo que puede adquirir el dinero en el mercado financiero en un determinado periodo. Igualmente, los límites permiten hacer cálculos para conocer cuándo se agotará un recurso, como por ejemplo el petróleo según el consumo en un determinado periodo de tiempo, en fin, la utilización de los limites en nuestra profesión puede ser muy amplia y siempre muy aplicativo en pro de mejorar los procesos.
Desarrollo Estudiante 4 Fase 1 – Herney Galvis Rivera Ejercicio 1. Principio de Sustitución. x 3−2 x2 +2 1 lim =(x3 −2 x 2 +2) x −1 x−1 x→ 1
3
2
lim +((x −2 x + 2) x→ 1
1 ) x−1
lim + ( x 3−2 x 2+ 2 ) . lim +( x→ 1
x=1
1 ) x−1
lim + ( x 2 +2 x2 +2 ) =1 x→ 1
lim + x→ 1
1 ( x −1 )=∞
¿ 1. ∞=∞
Ejercicio 2. Forma Indeterminada
2
lim t→3
t −9 2 t −5 t +6
Aplicamos (3)2−9 lim 2 x→ 3 (3) −5 ( 3 ) +6 lim
9−9 9−15+6
lim
0 0
x→ 3
x→ 3
2
lim t −9 x→ 3 2
t −5 t +6 lim (x +3)(x−3) x →3
t 2−5 t+6 Factorizamos
t 2 −5 t+6 :(x−2)( x −3)
Factorizar la expresión =
Factorizar x de Factorizar
t (¿¿ 2−2)+(−3 x+ 6) ¿
x 2−2 x : x ( x−2 )
−3 de 3 x +6 :−3 ( x−2 )=x ( x−2 )−3( x−2)
( x +3)(x−3) ( x−2 ) = ( x−2 )( x−3 ) = Factorizar el termino común (x−2)(x−3)
Eliminar los términos comunes
x−3=lim x=3=
x+3 x −2
3+3 =6 3−2
Sustituir variables
Ejercicio 3. Límites al Infinito 4 x 5−6 x 4 + 3 x 2 lim 3 2 x →∝ 3 x + 5 x +6 x 5
4
2
4 x 6 x 3x − 5 + 5 5 x x x lim 3 2 x →∝ 3 x 5x 6x + 5 + 5 5 x x x
lim
x →∝
4 6 3 − + x x x3 3
2
3 x 5 x 6x + 3 + 4 x2 x x
6 3 + ∞ ∞ lim 3 2 x →∝ 3 x 5 x 6x + + ∞ ∞ ∞ 4−
lim
4−0+ 0 0+ 0+0
lim
4 =4 0
x →∝
x →∝
Ejercicio 4. Límites de Funciones Trigonométricas
lim
∅→0
sen 4 x 3x
(
sin ( 4 x) 1 = 3 . lim 3x x→0
)
cos ( 4 x ) .4 1 = 3 . lim 1 x→0
(
1 . lim ( 4 cos ( 4 x) ) 3 x→0 1 4 .4 cos ( 4 . 0 )= 3 3
)
Fase 2 – Herney Galvis Rivera Resolver en Geogebra con base en el video indicado en la guía de actividades ¿ a x 2+ 2 3x ¿ f ( x )=¿ si x >−1
si x <−1
Fase 3 – Herney Galvis Rivera
En todas la ingenierías se encuentra presente el cálculo diferencial, cada una de ella está relacionada a la solución de problemas y a la innovación, en ingeniería de sistemas una de la ramas que más se utiliza los limites es en la realización de gráficas para presentación de proyectos e implementación de software empresarial, el cálculo diferencial se utiliza en todo lo que contenga gráficas y quieras saber el área o la pendiente de manera que se de unos resultados que se puedan aplicar en un problema en particular, los limites matemáticos sabemos que son para predecir el comportamiento de una función matemática cuando tiende a un número o al infinito.
Desarrollo Estudiante 5
Fase 1 – Yespeter Ancervic Medina Becerra Ejercicio 1. Principio de sustitución
√
x2 −1 x−1
lim
√
4 2−1 4−1
lim
√
15 3
lim x→4
x→4
x→4
lim √ 5 x→4
Ejercicio 2. Forma indeterminada 2
lim
3 m −3 m−1
lim
3 ( m+ 1 )( m−1 ) m−1
m →1
m →1
lim 3 (m+ 1)
m →1
=3(1+1) =3(2) =6
Ejercicio 3. Límites al infinito lim
X→∞
(
x 2−2 x+ 3 3 x +1
)
( X1 − X2 + X3 ) lim 1− ( x1 )
lim
2
X →∞
3
X →∞
lim X→∞
lim X→∞
lim
X→∞
( X1 )− lim ( x2 ) X →∞
( x2 )=0 2
( x3 )=0 2
=0-0+0=0
(
lim 1−
X→∞
1 3 x
lim ( 1 )=1
X→∞
2
)
2
lim 1
X →∞ 3
=0
x
0 =0 1
Ejercicio 4. Límites de funciones trigonométricas lim
θ→0
sen 2θ θ
d ( sin ( 2 θ ) ) =cos ( 2θ ) 2 dθ d ( θ ) =1 dθ
lim
θ→0
( cos ( 2θ1 ) .2 )
lim (2 cos ( 2θ )) θ→0
2 cos(2 . 0)
¿2
Fase 2 Yespeter Ancervic Medina Becerra Resolver en Geogebra con base en el video indicado en la guía de actividades
{
2 f ( x )= ax + 2, si x >−1 3 x , si x<−1
Fase No. 3 (Fase de desarrollo Individual) Cada estudiante deberá analizar y redactar un escrito de no más de (1) párrafo de extensión en donde argumente como aplicaría el uso de las progresiones en su profesión. Párrafo Las progresiones tienen un amplio campo de aplicación en nuestra profesión como ingenieros y se extiende a nuestras experiencias personales toda vez que el conocimiento de las progresiones nos sirven como herramientas para identificar variables para la solución de problemas, así mismo las progresiones tiene aplicabilidades pueden modelar en una función los sistemas bancarios, y financieros entregándonos herramientas que nos ayudan a la toma de decisiones asertivas dentro de una
organización en la que tengamos que solucionar problemas de esta naturaleza, por otra parte tienen aplicaciones muy importantes en la biología sirviéndonos como herramienta para determinar el nivel de bipartición de las bacterias o que tan invasivas son en un sistema, en el área tecnológica hacen posible que los protocolos de funcionamiento de circuitos integrados a través de cálculos matemáticos, por lo que es estudio de estas progresiones son de vital importancia para nuestra formación personal y profesional como futuros ingenieros.
BILBIOGRAFIA
WIKIPEDIA (2017). Progresión aritmética. Recuperado https://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica
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Viutor (2014). Progresión aritmética. Recuperado http://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc1_Contenidos.html
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Recursostic (2016). Progresiones. Recuperado de: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_ progresiones/3eso_quincena5.pdf
Julioprofe (2011). Progresión aritmética. https://www.youtube.com/watch?v=4mx-H3aKJvM
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Julioprofe (2011). Progresión aritmética. Recuperado http://julioprofe.net/lesson/progresiones-aritmeticas-ejercicio-2/
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Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 2 – Análisis de Límites y Continuidad. Pág. 39-85. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/4806
Cabrera, J. (2015). Continuidad en Geogebra. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/4808
Galván, D., Cienfuegos, D., & Romero, J. (2011). Cálculo Diferencial. Un enfoque constructivista para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. Unidad II Límites y Continuidad. México, Distrito Federal, México: Cengage Learning Editores S.A. de C.V. Retrieved from. http://hdl.handle.net/10596/6993
CONCLUSIONES
En este segundo momento de cálculo diferencial, hemos aprendido que es indispensable tener claros los conceptos fundamentales de la matemática básica vistas en los cursos anteriores, para incursionar en matemáticas más complejas, tales como el manejo de sistema numérico, de las expresiones algebraicas, de las funciones y sus correspondientes gráficas y de la Trigonometría. Este segundo trabajo colaborativo, nos permitió reconocer la importancia del cálculo, como un resultado natural de la aplicación del algebra y de la geometría analítica a ciertos problemas de la física y de la geometría, en nuestro quehacer profesional y cotidiano. Es entonces el cálculo diferencial una rama de la matemática que tiene mucho que aportarle a nuestras carreras profesionales, a través del uso de herramientas virtuales y herramientas de ecuaciones matemáticas, para ayudarnos en el desarrollo y comprobación de los ejercicios.
GRUPO DE EJERCICIOS A SELECCIONAR De la Fase 1 los 4 ejercicios para estudiante 1 y de fase 2 ejercicio a) De la Fase 1 los 4 ejercicios para estudiante 2 y de la fase 2 ejercicio b) De la Fase 1 los 4 ejercicios para estudiante 3 y de la fase 2 ejercicio c) De la Fase 1 los 4 ejercicios para estudiante 4 y de la fase 2 ejercicio d) De la Fase 1 los 4 ejercicios para estudiante 5 y de la fase 2 ejercicio e) Nombre del encargado de subir archivo final
NOMBRE COMPLETO DE ESTUDIANTE. Javier Alexander Anaya Moreno
HERNEY GALVIS RIVERA Yespeter Ancervic Medina
CONCLUSIONES
El presente trabajo nos da la posibilidad de realizar un recorrido por el contenido de la Unidad 1del curso de Calculo Diferencial, reforzando de manera práctica los
conceptos por medio de la aplicación de su contenido en el desarrollo de los problemas y en general de todos los requerimientos de la guía de trabajo, esto haciendo un especial énfasis en el desarrollo de ejercicios basados en los diferentes tipos de sucesión y progresión. Por otro lado, el sistema de aprendizaje estimula no solo la participación sino el intercambio de conocimientos y aportes entre los integrantes del grupo, base fundamental de la cooperación y dela intención formativa de los trabajos colaborativos, esto no solo estimula el desarrollo de nuevos conceptos sino su aplicación en aspectos de nuestra cotidianidad.
BIBLIOGRAFIA
Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad I. Pág 7 - 38. Universidad NacionalAbierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/4806
Cabrera, J. (2015). Progresiones en Geogebra - 100410. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/4807 Cabrera, J. (2015). Aportes Significativos. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/4805
