Análisis de límites y continuidad – Paso 4 Cálculo Diferencial
Estudiantes:
Estudiante 1 - Ana María Rodrígue C!ac"n Estudiante # - $enry %io&anni $ernánde Estudiante ' - (air Manuel )o&io
Director y )utor de curso: (uan %a*riel Ca*rera %ru+o Cola*orati&o 1,,41,1#.
/ni&ersidad 0acional A*ierta y a Distancia – /0AD ogotá2 3ulio de #,1
5ntroducci"n
El presente trabajo permite ondear en los temas propuestos bajo la metodología grupal. Esta propuesta permite a los estudiantes estructurar y reconocer la temática a través de solución de ejercicios propios del contenido, como lo son los límites y continuidad como base fundamental de la propuesta de esta unidad. El principal objetivo de estudio es comprender la teoría general de los límites y el análisis de una función, así como aprender a desarrollar este tipo de operaciones que permitan plantear una estrategia de análisis para llegar finalmente a la comprensión del verdadero sentido del cálculo diferencial y es poder entender la derivada.
Desarrollo de la acti&idad
Desarrollo Estudiante 1 – Ana María Rodríguez: o
Determinar el límite de los siguientes ejercicios: 1.
Por sustitución directa:
( x −9 )( x +2 x −3 x ) lim 2
3
2
2
x −3 x
x→ 3
=
3
¿ ¿ (¿ 3 + 2 (3 )2−3 (3) ¿ ) ¿ 2 ((3) − 9 ) ¿ ¿ lim ¿ x→ 3
( 9 −9 ) ( 27 + 18 −9 ) 0∗( 45−9 ) 0 = = Indeterminada 9−9 0 0 x→ 3 lim
( x −3 ) x ( x +2 x −3 ) 2
2
2
x ( x −3 )
=¿
( x −9 )( x +2 x −3 x ) lim = lim ¿ 2
3
2
2
x −3 x
x→ 3
x → 3
( x −3)( x + 3 )( x 2 +2 x −3) lim = lim ( x + 3 ) ( x2 +2 x −3 ) =¿ ( x −3) x→ 3 x → 3
( 3 +3 ) ( 32 + 2∗3−3 ) =6∗( 9 +6 −3 ) =6∗12=72
( x −9 )( x + 2 x −3 x ) =72 lim 2
R/
2
x→ 3
2.
Forma indeterminada:
3
x −3 x
2
3
lim u→0
2
3
2
+ 8 u = 5∗0 + 8∗0 = 0 + 0 = 0 Indeterminada 0− 0 0 3 u − 16 u 3∗0 −16∗0 5u 4
2
4
2
3
lim u→ 0
+ 8 u2 =lim 5 u + 8 =¿ 4 2 2 3 u −16 u u → 0 3 u −16 5u
5 ( 0 ) +8 3(0
2
)−16
= − = − 8 16
1 2
R/
+ 8 u2 − 1 lim = 4 2 2 u → 0 3 u −16 u 5u
3
3.
Límites al infinito: 2
∞ −4 ∞ =¿ ∞ −2 ∞
√
2
x − 4 =¿ √ ¿ Indeterminada x −2 lim
¿
x → ∞
√
√
√
2 2 2 ( x − 2)( x + 2 ) x − 4 x − 2 =¿ lim = lim =¿ x −2 x − 2 x →∞ x −2 x→ ∞
lim
¿
x→ ∞
√ x + 2 =√ ∞ + 2=√ ∞= ∞
R/
√
2
x − 4 =¿ ∞ x −2 lim ¿
x→ ∞
Límites de funciones trigonométricas:
4.
3 se n ( x −3 ) 2
lim x→ 3
3 se n ( x −3 ) 2
lim x→ 3
2
x −6 x + 9
2
x −6 x + 9
2
=
3 se n ( x −3 ) 2
=lim
3 sen ( 3 −3 )
x→ 3
( x −3 )2
2
3 se n 0 3∗0 0 = = = Indeterminada 2 0 0 3 −6∗ 3+ 9 9−18 + 9
[
sen( x −3 ) =lim 3∗ lim ( x −3 ) x→ 3 x → 3
Si t = x −3
]
2
x =3
t =0
lim 3∗lim x→ 3
t →0
sent =3∗1=3 t
3 se n ( x −3 ) 2
R/
lim x→ 3
2
x −6 x + 9
=3
o
jercicios !eoge"ra
Determinar el #alor de a $ara el %ue se &acen continuas las siguientes funciones:
1.
f
R/
La funciones se &acen continuas cuando a #ale 1.'(
2.
R/
o
La funciones se &acen continuas cuando a #ale )(
scrito Indi#idual *i $rograma de estudio es +ecnología en ,limentos. n el $rocesamiento de alimentos los límites $ueden a-udar a determinar el #alor m/imo o mínimo de "acterias %ue se tendría en un determinado $eríodo de tiem$o0 en función de la forma como éstas se re$roducen tam"ién se $ueden utiliar $ara determinar cundo se agotar un cataliador0 una enima0 un aditi#o0 etc. en función de la a"sorción de éste en un $roceso. n un $ro-ecto $roducti#o los límites sir#en $ara conocer el ni#el ó$timo de $roducción al menor costo $osi"le.
Desarrollo Estudiante # – %io&anni $ernande ernal ESTUDIANTE
Principio de sustitución 3 lim √ 5 X + 7
%io&anni $ernande ernal
forma indeterminada
√ 2 h + 3−h
lim
X→ 4
límites al innito
h −3
h→3
lim x → ∞
límites de funciones trigonométricas
2 x + 3 3 x + 1
lim x→ 2
[
x −4
( x −6 x +8 ) cot ( x −2 ) 2
Solución: lim √ 5 X + 7 lim √ 5∗4 + 7= √ 27 =3 3
Principio de sustución
3
X → 4
lim
!orma indeterminada
3
X→ 4
√ 2 h + 3−h h −3
h→ 3
( √ 2 h + 3 −h )( √ 2 h + 3 + h ) h→3 (h− 3)( √ 2 h + 3 + h) lim
2
( √ 2 h + 3 ) − h2 lim h → 3 ( h− 3 )( √ 2 h + 3 + h )
−(h2−2 h −3) lim h → 3 ( h−3 )( √ 2 h + 3 + h )
2
lim
2 h + 3 −h
( h−3 )( √ 2 h + 3 + h ) −(h + 1) lim h → 3 √ 2 h + 3 + h h→ 3
¿
−(3 + 1 ) √ 2∗3 + 3 +3
−4 √ 9 + 3
−4 3+ 3
2 x "ímites al innito
+
−4 6
−(h− 3)( h + 1) h → 3 ( h−3 )( √ 2 h + 3 + h ) lim
−2 3
3
2 x + 3 x x 2 + 0 2 =¿ = = 3 x + 1 3 x 1 3 + 0 3
x
+
lim
x
¿
x →∞
límites de funciones trigonométricas
lim [ x→ 2
x −4
( x − 4 ) ( x −2 ) cot ( x −2 )
]
lim [ x→ 2
x− 4
( x −6 x +8 ) cot ( x −2 ) 2
]
]
lim [ x→ 2
1
( x −2) cot ( x −2)
]
Sea ! x −2
"erificamos a donde tiende ! Si
x → 2 entoncesu→ 2−2
u →0 #endríamos 1 lim u → 0 u cot u
lim u→ 0
1 cos u u sin u
sin u =¿ cos u u lim ¿ u→ 0
sin u
u
1 =1∗¿ u → 0 cos u lim ¿
∗lim
u →0
1 $%$$ cos0
E(ERC5C567 A0E86 # 9Ejercicios &eógebra
Ejercicio $
La funciones se &acen continuas cuando a #ale 2'.2
Ejercicio '
La funciones se &acen continuas cuando a #ale .3(
Escrito 5ndi&idual En todas las ingenierías se encuentra presente el cálculo por eso cada una de ellas está relacionada a la solución de problemas y a la innovación. (on ello puedo concluir que el límite nos ayuda a predecir cuál será el porcentaje de aumento de cualquier sistema en mi caso para observar las mejoras en el rendimiento a componentes en específico o su comportamiento en general.
Desarrollo Estudiante ' – (air Manuel )o&io a;uero E(ERC5C567 A0E86 1 4 E3ercicios desarrollados
)rincipio de sustitución
3
2
x −2 x + x lim x + 1 x→ 1 lim
1
x→ 1
lim x→ 1
lim x→ 1
3
Sustituimos los valores de * por $
−2 (1 )2 + 1 1 +1
1− 2 + 1 2 0 2
lim ¿ 0
)odemos decir que el valor de la función dada tiende a + cunando * se
x→ 1
apro*ima a $
orma indeterminada
lim x→ 2
lim x→ 2
x − 2 2
x + x −6
Sustituimos los valores de * por '
2− 2 2
( 2) + 2−6
0 4 + 2 −6
0 0
Este resultado es lo que es una
indeterminación, lo cual -ay que -acer algo a la e*presión para solucionar este problema. lim x→ 2
x − 2 2
x + x −6
x −2 x→ 2 ( x −2)( x + 3 ) lim
lim x→ 2
1
x + 3
empla/amos el valor de * por '
lim x→ 2
1 2 +3
lim x→ 2
1 5
0ímites al infinito
lim x → ∞
)ara
−6 x 4 + 3 x 2 3 2 3 x + 5 x + 6 x
4 x
5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) − + − + ( + + ) ( + + ) lim
x→ a
f ( x ) g ( x )
x→ a
lim
4 x
5
3 x
3
6 x
4
3 x
2
6 x
5 x
f ( x ) g ( x )
, si
f x g x
lim
entonces
x → ∞
)ara la solución aplicamos el teorema:
lim
x→ a
2
x → ∞
x→ a
f ( x ) g ( x )
≠∞ , ≠∞
f ´ x g ´ x
4 x
lim
lim
+ o
5
3 x
3
6 x
4
3 x
2
6 x
5 x
2 ,
d ( 4 x 5− 6 x 4+ 3 x 2 ) dx
20 x
4
−24 x 3 + 6 x
Se aplica la regla de la suma1diferencia:
( f ≠ g ) ´ = f ´≠ g´
d ( 4 x 5 ) − d ( 6 x 4 ) + d ( 3 x 2) dx dx dx d ( 4 x 5 ) =20 x 4 dx
2-ora sacamos la constante: 3a % f45 a % f5
¿4
d 5 ( x ) dx
2plicamos la regla de la potencia:
4
d a ( x ) =a∗ x a−1=4∗5 x 5−1=20 x 4 dx
2plicamos la regla de la potencia:
6
d a ( x )= a∗ x a−1=6∗4 x 4−1=24 x 3 dx
2plicamos la regla de la potencia:
3
d a ( x )=a∗ x a−1=3∗2 x 2−1=6 x dx
esultado del numerador
¿ 20 x 4−24 x 3 +6 x
d ( 3 x3 + 5 x 2+ 6 x ) dx
9 x
24
+ 10 x + 6
Se aplica la regla de la suma1diferencia:
( f ≠ g ) ´ = f ´≠ g´
d ( 3 x3 ) + d ( 5 x 2 ) + d ( 6 x ) dx dx dx d ( 3 x3 ) =9 x 2 dx
2-ora sacamos la constante: 3a % f45 a % f5
¿3
d 3 ( x ) dx
2plicamos la regla de la potencia:
3
d a ( x )=a∗ x a−1=3∗3 x3 −1= 9 x2 dx
2plicamos la regla de la potencia:
5
d a ( x ) =a∗ x a−1=5∗2 x 2−1=10 x dx
2plicamos la regla de la potencia:
6
d a ( x )= a∗ x a−1=6∗ x 1−1=6 dx
¿ 9 x 2+ 10 x + 6
esultado del denominador
lim x → ∞
(
− 24 x3 + 6 x 2 9 x + 10 x + 6
20 x
4
)
a-ora simplificamos
10 x
¿
3
¿ 4 −12 x + 3 x 2 (¿ ¿ 9 x + 10 x + 6 ¿) ¿ ¿ lim ¿ 2
x → ∞
2-ora aplicamos el siguiente teorema: )ara
lim x→ a
entonces
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) f ( x ) g ( x )
lim
x→ a
, si
f x g x
f ( x ) g ( x )
lim
x→ a
+ o
f ´ x g ´ x
lim x→ a
( ) f ( x ) g ( x )
≠∞ , ≠∞
0a condición cuando es
∞ ∞
10 x
¿
3
¿ 4 −12 x + 3 x 2 (¿ ¿ 9 x + 10 x + 6 ¿) ¿ ¿ lim ¿ 2
( 2 ( 10 x −12 x + 3 x ) )´ 4
lim x → ∞
3
( 9 x 2+ 10 x + 6 ) ´
x → ∞
d 4 3 3 2 ( 2 ( 10 x −12 x + 3 x ) ) =2 ( 40 x −36 x + 3 ) dx
Sacamos constante donde 3a % f45 a % f5 2
d ( 10 x 4 −12 x 3 +3 x ) dx
2plicamos la regla de la suma1diferencia:
( f ≠ g ) ´ = f ´≠ g´
2plicamos la regla de la potencia:
10
d a ( x ) =a∗ x a−1=10∗4 x 4 −1=40 x 3 dx
2plicamos la regla de la potencia:
12
d a ( x ) =a∗ x a−1=12∗3 x 3−1=36 x 2 dx
2plicamos la regla de la potencia:
3
d a ( x )=a∗ x a−1=3∗ x 1−1 =3 dx
40 x
esultado del numerador
¿
2¿
¿¿ d ( 9 x 2+10 x +6 ) =18 x +10 dx
2plicamos la regla de la suma1diferencia:
( f ≠ g ) ´ = f ´≠ g´
d a ( x )= a∗ x a−1= 9∗2 x 2−1 =18 x dx
2plicamos la regla de la potencia:
9
2plicamos la regla de la potencia:
10
d a ( x ) =a∗ x a−1=10∗ x1−1=10 dx
2plicamos la regla de la potencia: 6erivada de una constante
d ( a )= 0 dx
d ( 6 )=0 dx
¿ 18 x + 10
esultado del denominador
lim x → ∞
lim x → ∞
(
2 ( 40 x
(
( 40 x 3 −36 x2 + 3 )
−36 x 2 + 3 ) 18 x + 10 3
9 x + 5
)
2l simplificar
lim x → ∞
(
2 ( 40 x
−36 x 2 + 3 ) 18 x + 10 3
)
queda que el
)
7uevamente aplicamos el teorema:
lim
)ara
x→ a
entonces
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) f ( x ) g ( x )
lim
x→ a
lim x → ∞
(
, si
f ( x ) g ( x )
f x g x
lim
x→ a
)
( 40 x −36 x +3 ) 3
2
9 x + 5
lim
+ o
x→ a
≠∞ , ≠∞
f ´ x g ´ x
( 40 x −36 x +3 ) 3
lim
( ) f ( x ) g ( x )
x → ∞
2
( 9 x + 5 )
2plicando la regla de la suma1diferencia:
( f ≠ g ) ´ = f ´≠ g´
d ( 40 x 3−36 x 2+ 3 ) dx
2plicamos la regla de la potencia: 8+ 2plicamos la regla de la potencia:
36
d a ( x )= a∗ xa−1= 40∗3 x 3−1=120 x 2 dx d a ( x )= a∗ x a−1=36∗2 x 2−1= 72 x dx
2plicamos la regla de la potencia: 6erivada de una constante
d ( a )= 0 dx
d ( a )= 0 dx
d ( 3 )=0 dx
¿ 120 x 2 + 72 x
esultado del numerador
2plicando la regla de la suma1diferencia:
( f ≠ g ) ´ = f ´≠ g´
d ( 9 x +5 ) dx
2plicamos la regla de la potencia: 9
d a ( x )= a∗ x a−1= 9∗ x1−1=9 dx
2plicamos la regla de la potencia: 6erivada de una constante d ( 5 )=0 dx
esultado del denominador
lim x → ∞
(
120 x
2
−72 x
9
)
¿9
2-ora simplificamos, sacando tercera así:
x → ∞
5 x
lim x → ∞
(
40 x
2
−24 x 3
)
¿ ¿ 2−3 x 8 (¿¿ 3 ¿) ¿ ¿ lim ¿ x → ∞
lim c∗f ( x ) =c ∗lim f ( x )
x→ a
x→ a
lim
8 ∗lim ( 5 x 2−3 x ) 3 x → ∞
2plicamos las propiedades para los limites infinitos 1 en el infinito:
(
120 x
2
−72 x
9
)
lim ( ax
n
x → ∞
+ … + bx + c )=∞ ,
a > 0, incluso
a > 5, n =2
8 ∗∞ 3
0ímites de funciones trigonométricas
lim X → 0
Sen 4 x 3 x
4 x lim
(
X → 0
Sen 4 x 4 x 3 x
)
El numerador lo dividimos por el ángulo que es 8* y también lo multiplicamos por el mismo ángulo, para que no se afecte la ecuación.
4 x lim X → 0
4 lim
(
(
Sen 4 x 4 x 3 x
Sen 4 x 4 x
X → 0
)
(ancelamos las * del numerador con la del denominador
2plicamos ormula que dice:
3
X → 0
lim
)
SenX =1 X
2-ora rempla/amos
lim X → 0
4 (1) 3
4 3
lim X → 0
4 3
E(ERC5C567 A0E86 # Ejercicios &eogebra
Ejercicio $
f ( x )=
{
2
3 ax −4 ,si x > 2 4 x −7 ¿ 4 x , si x < 2
Ejercicio '
{
2
f ( x )= ax −2, si x >−2 2 x , si x <−2
A0E86 '
Escrito 5ndi&idual En nuestra vida cotidiana la funciones de cálculos, -a sido muy importante, para nuestro medio, lo cual en mi área de trabajo estas funciones de limite me -an sido de gran ayuda, para la organi/ación de infraestructuras y para la elaboración de proyectos de trabajos que tienen que ver con medidas, para cálculos determinados que se necesita para ejecución de cortes de materiales, la cual ayuda a evitar cortes no deseados, lo cual me da muc-o más tiempo para la reali/ación de otras actividades, es decir que con los límites de función puedo determinar el valor que se adquiere al determinar un punto.
Conclusiones
En relación con los ejercicios planteados se identificaron los tipos de límites con respecto a una función.
(omo resultado de la evaluación de límites se procedió a través de métodos algebraicos
para
identificar
la
solución,
cuando
se
presentaron
indeterminaciones.
(on el desarrollo de esta actividad se pudo lograr los conocimientos fundamentales sobre límites, que es la base con la que se construye el cálculo.
Se adquirieron las -abilidades para comprender los conceptos de límites y continuidad con sus aplicaciones.
