MOMENTO 3 - ACTIVIDAD COLABORATIVA ACTIVIDAD COLABORATIVA UNIDAD 3 - ANÁLISIS DE LAS DERIVADAS Y SUS APLICACIONES CÁLCULO DIFERENCIAL
Presentado por !"ONATAN LADINO MU#O$ CC No% &%'()%(*+%,3, LAURA ALEANDRA SE.URA REMICIO CC No% &%'(/%&/*%03* !OS1 LU2S TRIVI#O VAR.AS
.RUPO &'')&'/*' Presentado a !UAN PLABLO SOTO D2A$ 4T5tor de 65rso7
UNIVERSIDAD NACIONAL8 ABIERTA Y A DISTANCIA 9 UNAD ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS8 CONTABLES8 ECONOMICAS Y DE NE.OCIOS 9 ECACEN MAYO - /'&+ 1
INTRODUCCI:N A través del presente trabajo colaborativo, inicialmente se busca dar a conocer la importancia del trabajo en equipo y de la responsabilidad de cada uno de los integrantes de cara a la construcción del mismo. Por otra parte, se busca incentivar a la comunidad educativa de la Universidad Nacional Abierta y A Distancia, crear cultura de lectura, autoaprendizaje, compromiso institucional, emprendimiento y desarrollar capacidades de intelecto individual y colectivo que ayuden a consolidación del proceso de aprendizaje. a derivada es el resultado de un l!mite y representa la pendiente de la recta tangente a la gr"#ica de la #unción en un punto. a derivada de una #unción es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dic$a #unción matem"tica, seg%n cambie el valor de su variable independiente. a derivada de una #unción es un concepto local, es decir, se calcula como el l!mite de la rapidez de cambio media de la #unción en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez m"s peque&o. Por ello se $abla del valor de la derivada de una cierta #unción en un punto dado. Por lo anterior, se da a conocer que este trabajo se elabora con el #in de desarrollar las tres '()* #ases propuestas en la gu!a de actividades, las cuales necesitaron de la interacción de todos los integrantes del equipo de trabajo. a primera #ase consta en realizar + ejercicios concernientes a las tem"ticas de la unidad ) -An"lisis de las derivadas y sus aplicaciones, los cuales son propuestos por el /utor. a segunda #ase consta en gra#icar mediante el uso de la aplicación 0eogebra y siguiendo las indicaciones del video dado los 1 ejercicios propuestos. 2inalmente, la #ase tres est" encaminada a realizar un escrito, donde cada miembro del grupo e3ponga las aplicaciones de las derivadas en su pro#esión. Para el desarrollo de este trabajo se acuden a las distintas $erramientas y materiales que brinda el curso, lo cual ayuda a desarrollar una metodolog!a din"mica, as! como la posibilidad de guiarse con el apoyo de videos tutoriales disponibles en la 4eb.
2
OB!ETIVO .ENERAL 5ealizar una revisión e interiorización generalizada de la unidad ) -An"lisis de las Derivadas y sus Aplicaciones, con el #in de llevar a cabo el desarrollo de las tres #ases propuestas, teniendo en cuenta las directrices e indicaciones dadas para la elaboración de esta.
OB!ETIVOS ESPEC2FICOS •
6acer uso correcto del editor de ecuaciones de 7icroso#t 8ord.
•
Dar a conocer la solución a los + ejercicios propuestos por el /utor.
•
•
•
•
6acer uso correcto de la aplicación 0eogebra, para gra#icar los ejercicios propuestos. Adquirir las $abilidades, conocimientos y competencias que se proponen para el desarrollo de la actividad. 5econocer la importancia del An"lisis de las Derivadas y sus Aplicaciones para nuestro desarrollo pro#esional, personal y laboral. Dar a conocer las aplicaciones de las Derivadas en nuestras pro#esiones, teniendo en cuenta un conte3to posible y real en el cual podamos aplicar estos conceptos.
3
FASE & ESTUDIANTE ) 9 !"ONATAN LADINO MU#O$ E!ERCICIO & 4
x f ( x )= x e
Para derivar colocamos la constante de derivación 4
d x ( ) dx e x '
Aplicamos la regla del cociente
'
f f . g− g . f = 2 g g
x e (¿¿ x )2 d d (¿¿ 4 ) e x − ( e x ) x 4 dx dx
¿ ¿ Derivamos directamente teniendo en cuenta el e '9uler* e (¿¿ x )2 3 x
3
e −( e ) x x
x
4
¿ :e puede simpli#icar en ambas partes, arriba #actorizamos con la ley de los e3ponentes y temimos comunes. e (¿¿ x )2 3 x x e (− x + 4 )
¿
4
A$ora en el denominador usamos la ley de los e3ponentes y cancelamos en los temimos comunes en el numerador con el denominador y obtenemos el resultado #inal. e
(¿¿ x )2= e2 x ¿ x (− x + 4 ) 3
x
e
5/A; 4 x x (− x + 4 ) f ( x )= x = x e e 3
E!ERCICIO / Aplicando las reglas de derivación calcular las siguientes derivadas
f ( x )= x ∗2
x
2
Aplicamos ley de los e3ponentes x
xln ( 2)
h =2 = e
Por ende la derivada de $ ser!a u= xln ( 2 ) e d (¿¿ u )=u' ∗e u du
¿
'
u = ln (2) e d (¿¿ u )=ln (2)∗e u du
¿
x
2
5
d x ( 2 ) =e xln( 2)∗ln (2) dx d x ( 2 ) =2 x∗ln (2 ) dx
Derivamos utilizando regla de la derivación de productos f ' ( x )=2 x∗2 + 2 ∗ln ( 2 )∗ x x
x
2
f ' ( x )=2 x ( xln ( 2 ) + 2 ) x
E!ERCICIO 3 =alcula las siguientes derivadas impl!citas 2
2
x + y =16 2 x + 2 y . y ´ = 0
Despejamos y> prima 2 y − y ´ =−2 x
y ´ =
−2 x 2 y
=ancelamos y ´ =
y ´ =
−2 x 2 y
− x y
2
y =16 − x
2
y =± √ 16− x
5?
y ´ =
2
− x 2 ± √ 16 − x 6
E!ERCICIO ) 4 ¿ f ( x ) =4 x
3
− x ; f '' '' ( x )
f ' ( x )=12 x −1 2
f ' ' ( x )=24 x ' ' ' ( x )
=24
f
f ' ' ' ' ( x )= 0
E!ERCICIO , Ca;65;a ;as s<=5
adas de orden s5per
2
=alculamos la primera derivada f ( x )=3 x + 6 x + 3 2
'
=alculamos la segunda derivada f ( x )= 6 x + 6 ' '
=alculamos la tercera derivada f ( x )=6 ' ' '
=alculamos la cuarta derivada ' ' ''
f
( x ) =0
ESTUDIANTE / 9 LAURA ALEANDRA SE.URA REMICIO E!ERCICIO & Aplicando las reglas de la derivación calcular las siguientes derivadas
7
x 2
x +¿
¿ f ( x )=¿
5
( 2 x + x )
2
x
2
2
x
2
f ( x )=6 ( x + x ) 2
E!ERCICIO / x
f ( x )= x∗ e
2
x
f ´ ( x )=e + 2 e ∗ x∗ x
x
f ´ ( x )=e + 2 e ∗ x
2
E!ERCICIO 3 =alcula las siguientes derivadas impl!citas 2
2
x − y =16
dy =( 2 x . y ´ −2 y . y ´ )=16 dx
dy = y ´ ( 2 x −2 y )=16 dx
y ´ =
16 2 x − 2 y
E!ERCICIO ) 8
=alcula las siguientes derivadas de orden superior f ( x )=2 ; hallar f ´ ´ ´ ( x ) x
f ´ ( x )=2 . ln ( 2) x
f ´ ´ ( x )=2 . l n ( 2) 2
x
f ´ ´ ´ ( x )=2 . ln ( 2) x
3
E!ERCICIO , f ( x )= ln ( x ) ; hallar f ´ ´ ( x )
1
f ´ ( x )= x
−1
−2
f ´ ´ ( x )= x = x
¿−
1
x
2
FASE / ESTUDIANTE ) 9 !"ONATAN LADINO MU#O$ 6aciendo uso de la Aplicación 0eogebra y siguiendo las indicaciones del video -2ase @ /rabajo =olaborativo ), cada estudiante deber" escoger un ejercicio y presentar una captura de pantalla siguiendo los requerimientos que se establecen en el v!deo. :e debe especi#icar en el #oro de la actividad el ejercicio escogido por cada estudiante, este, no se podr" cambiar en el transcurso de la actividad y debe ser desarrollado %nica y e3clusivamente por el estudiante que lo $a escogido.
9
E!ERCICIO ) f ( x )= x
2
f ' ( x )= x
2
x = 3
f ( x )=9 f ' ( x )=2 ( 3 )= 6 f ' ( x )=6 → pendiente delarectatangente enese punto dela función
De?ostra6<@n en .eo=era
ESTUDIANTE /- LAURA ALEANDRA SE.URA REMICIO E!ERCICIO / f ( x )=√ x 1
'
f ( x )=
2 √ x
x =4 f ( 4 )= 2 10
'
1 4
f ( 4 )= =0,25 f ( 4 )=0,25 Es la pendientede la tangenteen el punto '
E!ERCICIO & f ( x )=sin ( x )
De?ostra6<@n en .eo=era
11
E!ERCICIO 3 f ( x )=cos ( x )
De?ostra6<@n en .eo=era
Eer6<6
3
12
f ( x )=3 x '
2
x =1 f ( 1 )=1 '
f ( 1 )=3 ( 1 )
2
f ( 1 )=3 → Pendiente de larectatangenteen ese puntoen la función '
x =2 f ( 2 )= 8 '
f ( 2 )=3 ( 2 )
2
f ( 2 )=12 → Pendiente dela rectatangente enese puntoenla función '
De?ostra6<@n en .eo=era
13
FASE 3 - '#ase de desarrollo individual* =ada estudiante deber" analizar y redactar un escrito de no m"s de '+* p"rra#o de e3tensión en donde argumente como aplicar!a el uso de las derivadas en su pro#esión, recuerde argumentar un conte3to posible y real en el que usted en su pro#esión, pueda aplicar los conceptos de la unidad ). 6aga uso de una buena redacción y ortogra#!a, sea breve y vaya al punto. Por #avor, realizar el escrito con sus propias palabras, abstenerse de copiar y pegar in#ormación de la 8eb o de otras #uentes que no sean de su autor!a sin realizar un uso correcto de citas bibliogr"#icas seg%n lo que se establece en la normatividad APA. 9l tutor asignado de#inir" el tiempo en el que se deber" abordar esta #ase de la actividad, este tiempo deber" estar acorde con el tiempo establecido en la agenda.
ESTUDIANTE ) 9 !"ONATAN LADINO MU#O$ 5/A; desde mi proceso de #ormación como administrador de empresas y #uturo pro#esional administrativo, aplicar!a el uso de las derivadas para $allar los m"3imos y m!nimos de producción de la empresa, al igual para veri#icar si la distribución de los datos '#lujo de in#ormación contable* es normal y acorde a lo 14
que proyecta. /ambién las aplicaciones de las derivadas las utilizar!a para determinar el incremento relativo de la empresa, determinando de esta manera el crecimiento o decrecimiento económico de la empresa. as derivadas son una $erramienta muy %til puesto que por su misma naturaleza nos permiten realizar c"lculos marginales, es decir $allar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando; costo, ingreso, bene#icio o producción. Por otra parte, es #undamental e importante destacar y reconocer que las aplicaciones de las derivadas juegan un papel #undamental en la administración de empresas, puesto que nos permiten obtener resultados concretos, en tiempo real que nos llevan a conocer el estado de la empresa, a tomar decisiones correctas y a conocer sus posibles cambios a corto, mediano y largo plazo.
ESTUDIANTE /- LAURA ALEANDRA SE.URA REMICIO 5/A; las derivadas en mi pro#esión la administración de empresas me permitir!a resolver situaciones que tienen muc$o que ver con las ganancias, el costo o gasto, el ingreso de productos o servicios. 9n el costo mido la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida, podemos ver también la variación de la demanda por cambios en la variación de los precios, puedo calcular la utilidad marginal, producto marginal, bene#icio marginal, en si un an"lisis marginal donde como administradora e3amino los e#ectos incrementados en la rentabilidad, si mi empresa est" produciendo determinado n%mero de unidades al a&o, el an"lisis marginal se ocupa del e#ecto que se re#leja en la utilidad si se produce y se vende una unidad m"s.
CONCLUSIONES •
a derivada de una #unción y #'3*, es el incremento relativo de dic$a #unción,
•
cuando el incremento de la variable se $ace muy peque&o, casi cero. 9l #undamento de la derivación es la ocurrencia de un cambio, cuando se tiene
•
una constante no sucede un cambio, luego la derivada en este caso es cero. a derivada de la variable, también se le conoce como la derivada de la #unción
•
identidad, ya que la #unción identidad es donde la variable es la misma #unción. Una de las muc$as aplicaciones de las derivadas es en la econom!a, en esta "rea se utiliza el c"lculo para calcular costos m"3imos o m!nimos, también para la b%squeda de la optimización de gastos sujeta a restricciones se utiliza la derivación de las #unciones. 15
•
a derivada de una suma de #unciones, es igual a la suma de las derivadas de
•
las #unciones. a derivada de una resta de #unciones, es igual a la di#erencia de la derivada
•
de las #unciones. a derivada surge inicialmente por una necesidad de la 0eometr!a; Determinar
•
la tangente de una curva en un punto. a interpretación geométrica de la derivada se identi#ica como la pendiente de
•
la tangente a una curva en un punto dado. Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una #unción es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instant"neo. As! pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la
•
#unción en las pro3imidades del punto. 9ste concepto de derivada est" estrec$amente ligado a la recta tangente, a la velocidad instant"nea y en general a la razón de cambio de una variable con respecto a otra.
REFERENCIAS BIBLIO.RÁFICAS •
5ondón, B. '(+(*. +((1+( @ ="lculo Di#erencial. Unidad ) @ An"lisis de las derivadas y sus aplicaciones. P"g. CC)+. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. 5ecuperado de; $ttp;??$dl.$andle.net?+(EFG?1C(G
•
Departamento de 7atem"ticas. Hntroducción al ="lculo Di#erencial @ Derivadas y sus Aplicaciones. Dr. Bosé u!s D!az 0ómez. 9dición del +C de abril
de
(+G.
5ecuperado
de;
$ttp;??444.mat.uson.m3?Ijldiaz?contenidoJDerivadas.$tml •
Desarrollo 2ase /= ) =D, Derivadas. @ +((1+( 'video*, =alculo Di#erencial. Universidad 5ecuperado
Nacional Abierta y de;
a
Distancia
@
UNAD.
$ttps;??444.youtube.com?4atc$K
vU7abLcy1MM#eatureyoutu.be
16
•
:yllabus =alculo Di#erencial (+G. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.
5ecuperado
de;
$ttp;??campus(G.unad.edu.co?ecbti(E?plugin#ile.p$p?C(1L?modJresource?co ntent??:yllabusO(=aO==OC+lculoO(Di#erencialO((+G +G(+.O(<.pd#
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