UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMA CENTRO REGIONAL DE CHIRIQUI FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE PRODUCCIÓN LICENCIATURA EN INGENIERIA INDUSTRIAL
“AUTOEVALUACIÓN, PREGUNTAS DE ANÁLISIS Y PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 16 DE RENDER” ESTUDIANTE: YISSEL QUIEL 4-760-722 4-760-722 PROFESORA: RUBIELA DE QUINTERO FECHA DE ENTREGA: 26 NOVIEMBRE DEL 2013 II SEMESTRE 2013
AUTOEVALUACIÓN 1. Si los estados de un sistema o proceso son tales que el sistema solamente puede encontrarse en un estado a la vez, entonces los estados son:
a. Colectivamente exhaustivos
b. Mutuamente c. Absorbentes d. Desvanecidos 2. El producto de un vector de probabilidades de estado y la matriz de probabilidades de transición producirá:
a. Otro vector de probabilidades de estado. b. c. d. e.
Un desbarajuste sin sentido La inversa de la matriz de estado de equilibrio. Todas las anteriores Ninguna de las anteriores
3. En el largo plazo, las probabilidades de estado son de 0 y 1
a. En ningún caso b. En todos los casos c.
En algunos casos
4. Para encontrar las condiciones de equilibrio
a. Debe conocerse el primer vector de probabilidades de estado. b. No es necesaria la matriz de probabilidades de transición c. Los términos generales del vector de probabilidades de estado se utilizan en dos ocasiones 5. ¿Cuál de las siguientes no es un supuesto del análisis de Markov?
a. Existe un número limitado de estados posibles. b. Existe un número limitado de periodos futuros c. Un estado futuro puede predecirse a partir del estado anterior y la matriz de probabilidades de estado. d. El tamaño y composición del sistema no cambian durante el análisis. e. Todos los anteriores son supuestos del análisis de Markov.
6. En el análisis de Markov, las probabilidades de estado deben:
a. Sumar 1 b. Ser menos que 0 f. Ser menores que 0.01 g. Ser mayores que 1 h. Ser mayores que 0.01 7. Si las probabilidades de estado no cambian de un periodo al siguiente, entonces:
a. El sistema se encuentra en equilibrio. b. Cada probabilidad de estado debe ser igual a 0. c. Cada probabilidad de estado debe ser igual a 1. d. El sistema se encuentra en un estado fundamental. 8. En la matriz de las probabilidades de transición,
a. La suma de las probabilidades de cada fila debe ser igual a b. La suma de las probabilidades de cada columna debe ser igual a 1. c. Por lo menos debe haber un 0 en cada columna. d. Debe haber por lo menos un 0 en cada columna. 9. Es necesario utilizar la matriz fundamental
a. Para encontrar las condiciones de equilibrio cuando no existen estados absorbentes. b. Para encontrar las condiciones de equilibrio cuando hay uno o más estados b. Para encontrar la matriz de probabilidades de transición c. Para encontrar la inversa de la matriz. 10. En el análisis de Markov, la matriz de probabilidades de transición nos permite pasar de un estado actual a un estado futuro. 11. En el análisis de Markov, se supone que las probabilidades de estados son tanto colectivamente exhaustivos como mutuamente excluyentes. 12. El Vector de probabilidades de estado es la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado específico.
PREGUNTAS PARA ANÁLISIS 16.1 Presente los supuestos en los que se basa el análisis de Markov.
R/ El análisis de Markov se basa en cuatro supuestos: 1) Existe un número limitado o finito de estados posibles. 2) La probabilidad de que los estados cambien permanece igual a lo largo del tiempo. 3) Se puede predecir cualquier estado futuro a partir del estado anterior y de la matriz de probabilidades de transición. 4) El tamaño y constitución del sistema (por ejemplo, el número total de fabricantes y clientes) no cambian durante el análisis. 16.2 ¿Qué son el vector de probabilidades de estado y la matriz de probabilidades de transición y cómo pueden determinarse?
R/ El vector de probabilidades de estado es la recopilación o vector de todas las probabilidades de estado de un sistema o proceso determinado. Las probabilidades de vector de estado podrían ser el estado inicial de un estado futuro. Una vez que se han identificado los estados, el siguiente paso es determinar la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado particular. Esa información se coloca en un vector de probabilidades de estado. La matriz de probabilidades de transición es la matriz que contiene todas las probabilidades de transición de un cierto proceso o sistema. Permite pasar de un estado actual a un estado futuro. La matriz de probabilidades de transición se determina por medio de una matriz de probabilidades condicionales que se determinan de manera empírica. Las probabilidades en cualquier fila de una matriz de probabilidades de transición deben sumar 1. Después de determinar las probabilidades de estado junto con la matriz de probabilidades de transición, es posible predecir probabilidades de estados futuros. 16.3 Describa cómo se puede utilizar el análisis de Markov para hacer predicciones.
R/ Uno de los propósitos del análisis de Markov es predecir el futuro. Si se cuenta con el vector de probabilidades de estado y la matriz de transición, no es muy difícil determinar las probabilidades de estado en una fecha futura. Mediante este tipo de análisis es posible calcular la probabilidad de que una persona vaya de compras a alguna de las tiendas de abarrotes en el futuro. El Análisis de Markov hace predicciones del tipo: la probabilidad de encontrar un sistema en un estado particular en cualquier instante dado, las probabilidades de cada estado a la larga (equilibrio), etc. Este tipo de predicciones son de gran valor para la dirección de sistemas (movimientos de personal, inventarios, comportamiento de clientes, etc.) 16.4 ¿Qué es una condición de equilibrio? ¿Cómo se sabe que existe una condición de equilibrio, y cómo pueden calcularse las condiciones de equilibrio con base en la matriz de probabilidades de transición?
R/ Una condición de equilibrio o estabilidad: es la que existe cuando las probabilidades de estado de un periodo futuro son las mismas que las probabilidades de estado de un periodo anterior.
La condición de equilibrio existe si las probabilidades de estado o participaciones de mercado no cambian después de un gran número de periodos. En consecuencia, en equilibrio, las probabilidades de estado de un periodo futuro deben ser las mismas que las probabilidades de estado del periodo actual. Una forma de calcular el estado estable de mercado, o sus probabilidades, es mediante el uso del análisis de Markov de un gran número de periodos. De esta forma es posible ver si los valores futuros se aproximan a un valor estable. Se calcula mediante la siguiente fórmula: 16.5 ¿Qué es un estado absorbente? Dé varios ejemplos de estados absorbentes.
R/ Estado absorbente es el estado al que si se ingresa, no se puede salir. La probabilidad de ir de un estado absorbente a cualquier otro estado es de 0. También, se llama estado absorbente cuando un proceso o sistema pasa de un estado a cualquier otro entre dos periodos cualesquiera. Sin embargo, en algunos casos, cuando se está en un estado determina se encuentra “absorbido” por él, y se permanecerá en ese estado. De una cadena de Markov que consta de estados transitorios y absorbentes se dice que es una cadena absorbente de Markov. Ejemplos:
Ejemplo #1 La aplicación de cuentas por cobrar: por lo general los sistemas de cuentas por cobrar colocan las deudas o cuentas por cobrar de sus clientes en una o varias categorías de estados, que se agrupan según el grado de retraso de la cuenta más antigua que no se haya pagado. Por supuesto, las categorías o estados exactos dependen de la política fijada por la compañía. Cuatro estados o categorías típicos de la aplicación de cuentas por cobrar son
las siguientes: Estado 1 ( : pagado, todas las facturas. Estado 2 ( : deudas incobrables, vencido más de tres meses. Estado 3 (: vencido menos de un mes Estado 4 (: vencido entre uno y tres meses.
Ejemplo #2
Aquí podemos ver que al llegar al estado 5 no se puede salir del él, porque la probabilidad de volver a él es 1, para todos los periodos, mientras la matriz de transición se mantenga constante. Ejemplo #3 Ejemplo de una matriz de transición absorbente La Universidad Libre ha estudiado la trayectoria de sus estudiantes y ha descubierto que: A) 70% de los estudiantes de nuevo ingreso regresan al año siguiente, de segundo año el 15% volverá como estudiante de nuevo ingreso y el resto no regresara. B) El 75% de los estudiantes de segundo año volverán al año siguiente como estudiantes de tercer año, el 15% volverán como estudiantes de segundo año y el resto no regresara. C) El 80% de los estudiantes de tercer año regresaran al año siguiente como estudiantes de último año, 10% volverá como estudiante de tercer año y el resto no regresara. D) El 85% de los estudiantes de último año se graduaran, y el 10% volverá como estudiante de último año y el resto no regresara. Nota: Supongamos que la U no permite que un estudiante que se ha dado de baja, vuelva y tampoco permite que se cambie de curso a mitad de curso. 1) Escriba la matriz de transición de estos datos.
Ejemplo #4 La empresa jurídica Angie Montero, emplea 3 tipos de abogados: subalternos, superiores y socios. Durante cierto año el 10% de los subalternos ascienden a superiores y a un 10% se les pide que abandonen la empresa. Durante un año cualquiera un 5% de los superiores ascienden a socios y a un 13% se les pide la renuncia. Los abogados subalternos deben ascender a superiores antes de llegar a socios. Los abogados que no se desempeñan adecuadamente, jamás descienden de categoría. a) Forme la matriz de transición T b) Determine si T es regular, absorbente o ninguna de las 2. c) Calcule la probabilidad de que un abogado subalterno llegue a socio d) ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en su categoría un abogado subalterno recién contratado? e) ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en la empresa un abogado subalterno recién contratado? f) Calcule la probabilidad de que un abogado superior llegue a socio. a) Se hace la matriz T y nos queda:
b) Nótese que la parte azul cielo tiene probabilidades iguales a 1, por lo tanto esta es la parte absorbente de la matriz. Por esta razón es una matriz absorbente. Ahora se procede a restar la matriz normal de la identidad y se halla la inversa para ver los tiempos entre estados, para posteriormente esta última ser multiplicada por la matriz absorbente y saber las probabilidades de cambios de estado.
c) Al multiplicar la matriz inversa por la Absorbente se puede hallar dicha probabilidad, esta es 0.14 d) Al simplemente hallar la matriz inversa se es posible hallar el tiempo en años que debería permanecer normalmente un abogado subalterno en su compañía, serían 5 años. e) Cuando piden el tiempo que debería permanecer un abogado subalterno pero durante la empresa sería sumar el tiempo en que se queda como subalterno con el tiempo en que permanece como superior: esto es, 5+2.77= 7.77 años. f) Por último la probabilidad de que pase de subalterno a socio es mostrado en la última matriz, sería 0,28. 16.6 ¿Qué es la matriz fundamental y cómo se utiliza para determinar condiciones de equilibrio?
R/ La matriz fundamental es el tipo de matriz inversa a la matriz I menos B. Es necesaria para calcular condiciones de equilibrio cuando se involucran estados absorbentes. Ésta es una matriz de probabilidades condicionales de llegar a un estado futuro si se encuentra en un determinado estado actual. Los valores individuales de Pij generalmente se determinan de manera empírica. Las probabilidades en cualquier fila de una matriz de probabilidades de transición deben sumar 1. Después de determinar las probabilidades de estado junto con la matriz de probabilidades de transición, es posible predecir probabilidades de estados futuros.
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 16-1 George Walls, director de Bradley School, se encuentra preocupado por el número decreciente de inscripciones. Bradley es una universidad técnica que se especializa en capacitar programadores y operadores de computadoras. A lo largo de los años, ha habido mucha competencia entre Bradley School, International Technology y Career Academy. Las tres compiten por proporcionar educación en las áreas de programación y operación de computadoras, así como en la de habilidades secretariales básicas. Para comprender mejor cuál de estas escuelas será la líder en el área, George decidió llevar a cabo una encuesta. En ella analizó el número de estudiantes que se cambiaban de una escuela a otra durante sus carreras académicas. En promedio, Bradley School fue capaz de retener 65% de sus estudiantes inscritos originalmente. Sin embargo, 20% de los estudiantes que al principio se inscribieron en ella se fueron a Career Academy y 15% a International Technology. De estas dos, Career Academy tuvo la tasa de retención más alta: 90% de sus estudiantes se quedaron en ella hasta terminar totalmente su programa académico. George estima que alrededor de la mitad de los estudiantes que abandonan Career Academy entran a Bradley School y la otra mitad a International Technology. Esta última pudo retener 80% de sus estudiantes después de que se inscribieron. Por otra parte, lO% de los estudiantes inscritos originalmente se cambiaron a Career Academy y el otro lO% se inscribió en Bradley School. Actualmente, Bradley School tiene 40% del mercado. Career Academy, la cual es mucho más nueva, tiene 35o/o del mercado. La participación de mercado restante (25%) consiste en estudiantes que asisten a International Technology. A George le gustaría determinar la participación de mercado de Bradley en el próximo año. ¿Cuáles son las participaciones de mercado en equilibrio de las tres escuelas? Solución
Los datos de este problema se resumen de la siguiente forma: Estado 1 participación inicial = 0.40-Bradley School Estado 2 participación inicial = 0.35-Career Academy Estado 3 participación inicial = 0.25-International Technology Los valores de la matriz de transición son: A DE 1 Bradley 2 Careff 3 International
1 Bradley 0.65 0.05 0.10
2 Careff 0.20 0.90 0.10
3 International 0.15 0.05 0.80
Para que George determine la participación de mercado de Bradley School durante el próximo año que multiplicar las participaciones de mercado actual por la matriz de probabilidades de continuación se muestra la estructura general de estos cálculos: (0.40 0.35 0.25) 0.65 0.20 0.15 0.05 0.90 0.05 0.10 0.10 0.80 En consecuencia, la participación de mercado de Bradley School, International Technology y Career Academy puede calcularse multiplicando las participaciones de mercado actual por las probabilidad es la matriz de transición, tal como se muestra. El resultado será una nueva matriz con uno de los cuales representa la participación de mercado de una de las escuelas. Los cálculos detallados de la matriz son los siguientes: Participación de mercado de Bradley School = (0.40) (0.65) + (0.35)(0.05) + (0.25)(0.10) = 0.303 Participación de mercado de Career Academy = (0.40)(0.20) + (0.35)(0.90) + (0.25)(0.10)= 0.420 Participación de mercado de International Technology = (0.40)(0.15) + (0.35) 0.05+ (0.25)(0.10)= 0.278 Ahora, a George le gustaría calcular las proporciones de mercado en equilibrio de las condiciones de equilibrio, la participación de mercado futura es igual a la participación tente o actual multiplicada por la matriz de probabilidades de transición. Si la variable X diversas participaciones de mercado de estas tres escuelas, es posible desarrollar una relación general que permita calcular las participaciones de mercado en equilibrio. Si, X1 =participación de mercado de Bradley School X 2 =participación de mercado de Career Academy X 3 = participación de mercado de International Technology En equilibrio,
El siguiente paso consiste en hacer las multiplicaciones apropiadas en el lado de hacerlas será posible obtener tres ecuaciones con los tres valores de la incógnita X. Además, se sabe que la suma de las proporciones de mercado en cualquier periodo debe sumar l. De esta forma, es posible generar cuatro ecuaciones que se resumen como: X1 =0.65X1 +0.05X 2 +O.lOX3 X 2 =0.20X1 +0.90X2 +0.10X3 X3 =0.15X1 +0.05X2 +0.80X3 X1 +X2 +X3 = 1
Debido a que hay cuatro clasificaciones y sólo tres incógnitas, se puede borrar una de las tres ecuaciones superiores y dejar así tres ecuaciones y tres incógnitas. Estas ecuaciones pueden resolverse mediante procedimientos algebraicos estándar para obtener los valores de las participaciones de mercado en equilibrio de Bradley School, International Technology y Career Academy estos cálculos se muestran en la siguiente tabla: Escuela X1 (Bradley) X2 (Career) X3 (International)
Participación de Mercado
0.158 0.579 0.263
Problema 16-2 Central State University administra exámenes de competencia en computación cada año. Estos exámenes permiten a los estudiantes "exentar" la clase de introducción a la computación que se imparte en la universidad. Los resultados de los exámenes pueden clasificarse en uno de los siguientes cuatro estados: Estado 1: aprobación de todos los exámenes de cómputo y exención del curso Estado 2: no se aprueban todos los exámenes de cómputo en el tercer intento y se requiere tomar el curso Estado 3: reprobar los exámenes de cómputo en el primer intento Estado 4: reprobar los exámenes de cómputo en el segundo intento El coordinador de los exámenes del curso a anotado la siguiente matriz de probabilidades de transición
Actualmente hay 200 estudiantes que no aprobaron todos los exámenes en el primer intento. Además, 50 alumnos no pasaron en el segundo intento. En el largo plazo, ¿cuántos estudiantes estarán exentos del curso debido a que pasaron los exámenes? ¿Cuántos de los 250 alumnos tendrán que tomar el curso de computación? Solución
Los valores de la matriz de transición se resumen de la siguiente forma: A DE 1 2 3 4
1 0 0.8 0.2
0 1 0 0.2
0 0 0.1 0.4
0 0 0.1 0.2
El primer paso para determinar cuántos estudiantes tendrán que tomar el curso y cuántos lo exentarán consiste en dividir la matriz de transición en cuatro matrices. Éstas son las matrices J, O, A y B:
El siguiente paso es calcular la matriz fundamental, la cual se representa por la letra F. Esta matriz en determina al restar la matriz B de la matriz I para luego tomar la inversa de los resultados:
Primero se encuentra que r = ad - be = (0.9) (0.8) - ( -0.4)( - 0.1) = 0.72- 0.04 = 0.68
Ahora se multiplica la matriz F por la matriz A. Este paso es necesario para determinar cuántos estudiantes estarán exentos de tomar el curso y cuántos lo tendrán que tomar:
El paso final consiste en multiplicar los resultados de la matriz FA por la matriz M, como se muestra a continuación:
Como puede observarse, la matriz MFA consta de dos números. El número de estudiantes que se encuentra en el curso es de 231. El número de alumnos que finalmente tendrán que tomar el curso es de 19.
