Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-1 y
Ejemplo 10.1:
Para el área área sombreada sombreada de la figura se pide calcular: a) Los momentos momentos de inercia y producto producto de inercia con respecto a los ejes coordenados. coordenados.
5 cm
3 cm
b) Los momentos de inercia y producto de m c 5 inercia con respecto a los ejes coordenados u m 4 c y v que se obtienen al girar respectivamente x los ejes x e y en 60 (sentido antihorario) O y en 30 (sentido horario). c) Los momentos momentos de inercia máximo y mínimo y la posición posición de los respectivos ejes principales de inercia. Solución:
a) Momentos y producto de inercia con respecto a los ejes x e y
y
I x
1 3
(5) 4 208,33 cm4
I y 208,33 cm4
m c 5
P x y x
O
1 4
(5) 4 156,25 cm4
5 cm
y
y2
m c 3 / 5
G1 G2 O
x2
1
b h3
1
36
(5)(3)3
(3)(5) 3 31,25 cm4
1 2
(3)(5)(6) 2 273,75 cm4
P x y P x y A2 x2 y2 2 2
x 5 cm
1
12 12 I y I y 2 A2 d 2
6 cm
m c 5
I x
3 cm
1 72
(5) 2 (3) 2
1 2
(3)(5) (6) (5 / 2) 71,88 cm4
y
I x
16
(4) 4 16
50,27 cm4
I y 50,27 cm4
R = 4 cm x
O
R 4
P xy
R4 8
(4)4 8
32 cm4
Ahora podemos sumar los resultados parciales obtenidos:
I I
I x
xi
I y
y
P x y
i
P
208,33 31,25 50,27 189,32 cm4 208,33 273,75 50,27 431,81 cm4
x y i
156,25 71,88 32,0 196,13 cm4
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-2
b) Momentos y producto de inercia con respecto a los ejes u y v para una rotación
:
I x I y I x I y cos 2 P I u x y sen 2 2 2 I u 310,565 (121,245) cos 2 196,13 sen 2
(1)
I x I y I x I y cos 2 P I v x y sen 2 2 2 I v 310,565 (121,245) cos 2 196,13 sen 2
(2)
I x I y sen 2 P cos 2 P uv x y 2 P uv (121,245) sen 2 196,13 cos 2
(3)
Si = 60°: y
u
I u 201,334 cm4 I v 419,796 cm4
v
P uv 203,066 cm4
60° 60°
O
x
60
Si = - 30°: y
v
I u 419,796 cm4 I v 201,334 cm4
-30°
O
P uv 203,066 cm4 x -30°
u
c) Momentos de inercia máximo y mínimo y ubicación de los ejes respectivos (ejes principales de inercia) tan 2 p
p en (1): p en (2):
y
2 P x y
I y I x
2 p 58,28º
2 (196,13)
I p 79,98 cm4 I q 541,15 cm4
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242,49
1,617
p 29,14º
q p p
( I min ) ( I max )
p
O
x
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-3
Notar que si hubiéramos usado un segundo valor que ofrece la ecuación (4) obtendríamos: 2 p 58,28º 180
y p
p 119,14º
p en (1):
I p 541,15 cm4
( I max )
p en (2):
I q 79,98 cm4
( I min )
P
De otra manera: I max
I min
q
P x
O
2
I x I y 2
I x I y P xy2 2
I x I y P xy2 2
I max 541,15 cm4
I min 79,98 cm4
2
I x I y 2
Una forma alternativa de hallar los ejes principales y los correspondientes momentos de inercia (que serán el máximo y mínimo) es utilizando las propiedades del círculo de Mohr:
P uv X
P xy
2 p
De la geometría del círculo:
C P
O
I y
I x
Q
I u
'
2 p
2
I x I y P xy2 2 en nuestro caso: R 230,58 cm4 R
-P xy Y I min
También:
tan 2 p
tan 2 p
Finalmente:
I max I min
I max
2 P x y
I y I y 2 (196,13) 431,81 189,32
I x I y 2 I x I y 2
1,617
p 29,14º
R
I max 541,15 cm4
R
I min 79,98 cm4
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-4 y
Ejemplo 10.2:
Para el área sombreada de la figura se pide calcular: a) Los momentos de inercia y producto de inercia con respecto a los ejes centrales paralelos a los mostrados. b) Los momentos de inercia principalescentrales y la ubicación de los ejes correspondientes. Solución:
a) Elemento
5 cm
m c 5
m 4 c
Ai [cm2]
xi [cm]
yi [cm]
xi Ai
yi Ai
25
2,5
2,5
62,5
62,5
7,5
6
1,67
45,0
12,5
(4)2
4 ( 4)
4 ( 4)
4
3
3
-21,33
-21,33
86,167
53,67
19,33
x
A y A A xi Ai
y
86,167
53,67
i
y
x
O
Primero calcularemos la posición del centroide de la figura:
(-)
de donde:
3 cm
i
i
i
19,93
19,93
4,32 cm
yG 4,32 cm
2,69 cm G
m 4 c
En el problema (10.1) ya hemos calculado los momentos y producto de inercia con respecto a los ejes x e y:
m c 9 6 , 2
O
xG
x
I x 189,32 cm4 I y 431,81 cm4 4 P x y 196,13 cm
Ahora podemos utilizar el teorema de Steiner para encontrar los momentos con respecto a los ejes centrales paralelos a aquellos: I x G I x A y 2 189,32 (19,93)(2,69)2
I x G 45,10 cm4
I y G I y A x 2 431,81 (19,93)(4,32)2
I y G 59,87 cm4
P xG y G P xy A x y 196,13 (19,93)(4,32)(2,69)
4 P xG yG 35,47 cm
Estos son los momentos de inercia centrales (respecto a ejes paralelos a los ejes x e y del inicio). Ahora podemos girar ejes con la teoría de Mohr para encontrar los ejes centrales principales de inercia.
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-5
Otra forma de determinar los momentos de inercia centrales I x G , I y G y P x y sería trasladando las inercias desde los ejes centrales de cada parte a los ejes centrales de toda el área, como se muestra a continuación: G G
y
y1
yG 1,82 cm
I x G I x 1 A1 (0,19) 2
G
m c 5
m c 9 1 , 0
xG x1
G1
(25) (0,19) 2 52,98 cm4
12 (5)(5) 3
(25) (1,82) 2 134,89 cm4
12
4 P P x y x y A1 (0,19)(1,82) 0 (25) (0,19)(1,82) 8,645 cm
x
O
I y G I y1 A1 (1,82) 2
(5)(5) 3
G G
1 1
5 cm
y
yG
I x G I x 2 A2 (1,023) 2
y2
1,68 cm
G
m c 5
m c 3 2 0 , 1
G1 G2
xG
O
5 cm
3 cm
(5)(3) 3
36
I y G 24,918 cm
2
(1,023) 2
(3)(5) 2
(1,68) 2
4
P P x y x y A2 (1,023)(1,68) G G
P x y G G
y
36
(3)(5)
I x G 18,625 cm
I y G I y 2 A2 (1,68)
x
4
2
x2
(3)(5) 3
2 2
(5) 2 (3) 2 72
(3)(5) 2
(1,023)(1,68) 16,01 cm4
yG
y3 2,622 cm
G
G3
I x G I x 3 A3 (0,992) 2 0,0549 (4) 4 m c 2 9 9 , 0
xG x3
I y G 100,447 cm
4 P P x y x3 y3 A3 (0,992)(2,622) 0,0165 (4)
G G
4
4
(4) 2 (0,992) 2
4
I y G I y 3 A3 (2,622) 2 0,0549 (4) 4
x
O
I x G 26,415 cm
4
(4) 2 (2,622) 2
4
(4) (0,992)(2,622) 28,45 cm 2
4
Ahora podemos sumar nuestros resultados parciales:
I 52,98 18,265 26,415 44,83 cm I 134,89 24,918 100,447 59,36 cm P 8,645 16,01 28,46 35,83 cm
I x G
xG i
I y G
yG i
P x y
G G
4
4
4
xG yG
Finalmente utilizaremos la teoría de Mohr para determinar los momentos de inercia principales-centrales y sus ejes respectivos:
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Pág. 10-6
La posición de los ejes principales (en este caso además centrales) está dada por: tan 2 p
2 P x
G yG
I y G I x G
2 p 78,24º
2 ( 35,47)
4,80
59,87 45,10
(1)
p 39,12º
Reemplazando en las expresiones de Mohr: I x G I y G
I u G
I u G
I x G I y G
(2)
I x G I y G
(3)
cos 2 p P xG yG sen 2 p 2 2 52,095 ( 7,265) cos ( 78,24º ) ( 35,83) sen ( 78,24º )
I u G 15,54 cm4
I v G
I x G I y G
cos 2 p P xG yG sen 2 p 2 2 I v G 52,095 ( 7,265) cos ( 78,24º ) ( 35,83) sen ( 78,24º )
I v G 88,65 cm4
P u P u
0
G vG G vG
G vG
I x G I y G
sen 2 p P xG yG cos 2 p 2 ( 7,265) sen ( 78,24º ) (35,83) cos ( 78,24º )
P u
(4)
(lo cual era de esperar)
Tenemos, para comprobar los resultados, otras expresiones que permiten determinar directamente los momentos de inercia máximo y mínimo: I max
I min
I x G I y G 2
I x G I y G 2
2
I x G I y G 2 P xG yG 2
I x G I y G 2 P xG yG 2
I max 88,65 cm4
2
I min 15,54 cm4
Recordar que la expresión (1) también provee de otro valor para p que debe conducir a la misma solución. Veamos: de (1):
2 p 78,24º 180 101,76
de (2):
I u G
I u G
I x G I y G
I x G I y G
I u G 88,65 cm4
I v G
p 50,88º
cos 2 p P xG yG sen 2 p 2 2 52,095 ( 7,265) cos (101,76) ( 35,83) sen (101,76)
I v G
de (3):
I x G I y G
I x G I y G
cos 2 p P xG yG sen 2 p 2 2 52,095 ( 7,265) cos (101,76) ( 35,83) sen (101,76)
I v G 15,54 cm4
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-7 y
Observar que si giramos el eje xG en un ángulo p 39,12 (en sentido horario), obtenemos el eje de inercia mínima uG. Si giramos el eje xG en un ángulo p 50,88 obtenemos el eje de inercia máxima vG. Está claro que ambos ejes son conjugados y son los ejes principales de inercia (en este caso principales-centrales).
yG vG
’
p = 50,88°
G
xG
p = -39,12°
x
O uG
Como sabemos, una forma alternativa de hallar los ejes principales y los correspondientes momentos de inercia (que serán el máximo y mínimo) es utilizando las propiedades del círculo de Mohr. Para ello hacemos un esquema del círculo de Mohr correspondiente: P uv Y
-P xy
I x O
V
U
2 p = 78,24°
I u
I y
C
’
2 p = 101,76°
P xy X
I min
I max
2
De la geometría del círculo: R en nuestro caso: además:
R 36,56 cm4
tan 2 p
P x
G yG
( I x G I y G ) / 2
2 p 78,24
Finalmente: I max I min
I y G I x G 2 P xG yG 2
I x I y 2 I x I y 2
35,47 (59,87 45,10) / 2
4,80
p 39,12º
R 52,095 36,56
I max 88,65 cm4
R 52,095 36,56
I min 15,54 cm4
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-8 y
Ejemplo 10.3: Para el área mostrada en la figura se pide hallar los momentos principales de inercia, así como la ubicación de los ejes respectivos (girando alrededor del origen de coordenadas O). La parte curva corresponde a una semicircunferencia.
6 cm
m c 6
m c 9
x
O
Solución: y
12 cm
yG 6 cm
m c 9
Para el rectángulo:
1 1 4 I x b h3 (12)(9)3 2916 cm 3 3 1 1 4 I y h b 3 (9)(12)3 5184 cm 3 3 4 P xy P xG yG A x y 0 (12) (9) (6) (4,5) 2916 cm
xG
G
m c 5 , 4
x
O
(+)
12 cm
y
yG
6 cm
Para el triángulo:
2 cm
10 cm
I x I x G A y
6 cm m c 2
m c 6
G m c 9
xG
m c 7
P xy P xG yG A x y y
b h
2
72
(6)(6) 3 36 2
(6) (6) bh x y 2 72
36
(6)(6)
2
36 2
2
y 2 4
h b3
(6)(6)
bh
(7) 2 918 cm
2
I y I y G A x
12 cm 2
36
b h3
2
2
x
O
(6)(6)3
(-)
bh 2
x 2 4
(10) 2 1836 cm
(6)(6) 2
4
(10)(7) 1242 cm
yG x
Para el semicírculo: (-)
x' G
6 cm
y' G
I xG 45°
m c 9
m c 6
xG
G
y O
4 R 3
= 1,801 cm
8
127,235 cm4
8 4 R 35,561cm4 I y G 8 9 P yG 0 xG
x
12 cm
R 4
c m 3 4 2 4 , c m 4 4 0 6 ,
donde: R 6 2 2 4,243 cm x 7,726 cm y 4,726 cm
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-9
Ahora giramos 45º , es decir, un ángulo negativo ( 45º ) en las expresiones de Mohr: I x G I y G I x G I y G 4 cos 2 P I x G yG sen 2 81,398 cm xG 2 2 I x G I yG I x G I y G 4 cos 2 P I y G yG sen 2 81,398 cm xG 2 2 I xG I y G 4 sen 2 P P y G cos 2 45,837 cm xG yG xG 2
R 2
I x I x G A y 81,398
Ahora:
2
2 R 2
I y I y G A x 81,398 2
2
(4,726) 2 712,907 cm4 (7,726)2 1769,123 cm4
P A x y 45,837 x y P x y G G
R 2
2
4 (4,726) (7,726) 986,546 cm
Para todo el conjunto: I x 2916 918 712,907 1285,093 cm4 I y 5184 1836 1769,123 1578,877 cm4 4 P xy 2916 1242 986,546 687,454 cm
Por el círculo de Mohr: C
I x I y 2
P uv X
1431,985 cm4
2
R
I x I y 2 4 P x y 702,972 cm 2
Ahora: I max C R 2134,957 cm4
O
Q
y
O
P xy C I x
4,68
q (eje de mín. inercia)
C
I u
Y I min I max
I min C R 1424,688 cm4 tan
P
77,94º
102,06º
Es decir, el eje x debe girar
2
51,03º
x /2 = 51,1°
p (eje de máx. inercia)
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-10 y
Ejemplo 10.4:
Para el área sombreada mostrada en la figura se pide: a) Calcular los momentos y producto de inercia con respecto a los dos ejes mostrados.
m c 3
b) Calcular el momento de inercia mínimo posible así como la ubicación del eje respectivo (mostrar la ubicación del eje mediante un esquema). Solución: a)
I x I y
m c 3
6 0 1 ,
4 cm
y y
R 4
P xy
x
y
x
O
4 cm
Para el triángulo:
y
O
c m , 5 2 R =
b h3
4 (3) 3
12
h b3 b h
3 (4)3
12 2
12
2
24
12
9 cm4 16 cm4
(4) 2 (3) 2 24
6 cm4
Para el semicírculo inclinado:
I x 0,1098 (2,5) 4 4,289 cm4
3
G m c 3
I y
x
36,87
x
Ahora giramos los ejes x e y en 36,87 hasta la posición dada por x e y , respectivamente:
x
O
8
15,34 cm4
P x y 0
C
m c 5 , 1
(2,5) 4
2 cm 4 cm
I x I y I x I y 4 cos 2 P I x x y sen 2 8,268 cm 2 2 I x I y I x I y 4 cos 2 P I y x y sen 2 11,362 cm 2 2 I x I y 4 sen 2 P P x y x y cos 2 5,305 cm 2
Nota: también podemos girar los ejes x e y utilizando el círculo de Mohr: Del círculo:
P uv Y ( I y , P xy )
-P xy
R R C
O
X
2 = 73,74°
4,289
P xy
Y
C I u
15,34 9,817 2 15,34 9,817 2
5,526 cm4 9,815 cm4
Ahora calculamos: I x C R cos 73,74 8,268 cm4
X ( I x , P xy ) C = 9,815 15,34
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I y C R cos 73,74 11,362 cm4 4 P x y R sen 73,74 5,305 cm
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-11
Trasladamos mediante teorema de Steiner a los ejes x e y: I x I x A y 2 8,268 9,817 (2,349) 2
I x 62,436 cm4
I y I y A x 2 11,362 9,817 (2,637) 2
I y 79,627 cm4
P x y P x y A x y 5,305 9,817 (2,637) (2,349)
Para el área completa:
4 P xy 55,505 cm
I x 9 62,436
I x 71,436 cm4
I y 16 79,627
I y 95,627 cm4
P xy 6 55,505
4 P xy 61,505 cm
b) Ahora podemos trasladar los momentos de inercia calculados en a) al centroide del área total. Previamente determinaremos la posición de dicho centroide:
y
G2
Área Ai [cm2] xi [cm] yi [cm] Ai xi 3(4)/12 = 6 2
2,5)
/ 2 = 9,82
1,33
1,0
7,98
2,64
2,35
25,92 23,07
15,82
x
33,9
A x A A y A i
i
i
y
i
i
i
Ai y i
33,9 15,82
m c 3
6,0
2,0 1,33
O
5 , 1
x 4 cm
29,07
x 2,14 cm
1,84 cm
y 1,84 cm
15,82
G1 0,64 0 , 1
2,14 cm
29,07
6 5 0 8 , 1 , 0
I x I x A y 2 71,436 (15,82)(1,84) 2
I x 17,785 cm4
I y I y A x 2 95,627 (15,82)(2,14) 2
I y 23,178 cm4
P x y P x y A x y 61,505 (15,82)(2,14)(1,84)
4 P x y 0,788 cm
Ahora podemos determinar los ejes principales – centrales de inercia:
Usando las expresiones analíticas de la teoría de Mohr: tan 2 p
2 P x y
I y I x
2 p 16,29
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2 (0,788) 23,178 17,785
0,292
p 8,145º
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-12
I x I y I x I y cos 2 p P I u x y sen 2 p 2 2 I u 20,48 (2,697) cos (16,29º ) ( 0,788) sen (16,29º )
I u 17,67 cm4
I x I y I x I y cos 2 p P I v x y sen 2 p 2 2 I v 20,48 (2,697) cos (16,29º ) ( 0,788) sen (16,29º )
I v 23,29 cm4
Usando el círculo de Mohr: C
P uv
I x I y 2
20,48 cm4 2
R C
U
O
Y ( I y , P x y )
R
V
2 p
I u
I x I y 2 4 P x y 2,81 cm 2
I max C R 23,29 cm4 I min C R 17,67 cm4
X ( I x , P x y )
tan 2 p C = 20,48
| P x y |
C I x
2 p 16,3º
0,29
p 8,15º
y
y
G m c 4 8 , 1
x u
Es decir, el eje x debe girar p 8,15º (sentido horario) para ubicar el eje u para el cual el momento de inercia es mínimo.
p 8,15
x 2,14 cm
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Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-13 y
Ejemplo 10.5: Para el área mostrada en la figura se pide calcular los momentos principales-centrales de inercia y la ubicación de los ejes correspondientes. Solución:
Para el sector circular:
yG
y
x
O
m c 0 2 =
x xG
G
2 R sen
I x I xG R
R
4
R 4
I y G
1
(
4 1
(
0 P x y
30°
x
O
4
A R 2 209,44 cm2
12,73 cm
3
I y
x
R
2
4
sen 2 ) 3623,44 cm
cm4
sen 2 ) 38264,46
2 I y A x 2
;
P x
4 I y G 4311,325 cm
G yG
0
Usamos teoría de Mohr para girar 60º : y
yG
I xG I y G I xG I y G cos 2 P I xG yG sen 2 xG 2 2
xG
yG
0 2
xG
G 3 0 , 1 1
I x G I y G I xG I y G cos 2 P I yG yG sen 2 xG 2 2
30° 3
7 , 30° 2 1
x
O
I xG 4139,35 cm 4
60°
I yG 3795,41 cm 4
6,37
I xG I y G sen 2 P P yG cos 2 xG yG xG 2
P x
G yG
297,63 cm4
Trasladando los momentos de inercia a los ejes x e y: 4
I x I x G A (11,03)2 4139,35 209,44 (11,03)2 29620,01 cm I y I yG A (6,37)2 3795,41 209,44 (6,37)2 12293,84 cm4
4 P xy P xG yG A (11,03) (6,37) 297,63 209,44 (11,03) (6,37) 15013,12 cm y
yG
0 1
3 3 , 3
30°
G
O
xG x
11,55 b = 17,32
I x
b h3 12
(17,32) (10) 3 12
I y I y G A (11,55)
P xy P xG yG A (11,55) (3,33)
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A
Para el triángulo:
2
b 2h 2 72
hb3 36
1 2
2
(17,32) (10) 86,6 cm
1443,42 cm4 86,6 (11,55) 12995,91 cm4
A (11,55) (3,33) 3747,41 cm4
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-14
Para todo el conjunto:
4
I x 29620,01 1443,42 31063,43 cm
I y 12293,84 12995,91 25289,75 cm4 4
P xy 15013,12 3747,41 18760,53 cm
Ubicación del centroide del conjunto:
6,37 (209,44) 11,55 (86,6)
x y
AT 209,44 86,6 296,04 cm2
7,89 cm
209,44 86,6 11,03 (209,44) 3,33 (86,6)
8,78 cm
209,44 86,6
Momentos de inercia centrales, usando teorema de Steiner:
y
I x I x A y 2 31063,43 296,04 (8,78) 2
y
v
I x 8242,18 cm4
u
I y I y A x 2 25289,75 296,04 (7,89) 2 2 P
x
G
P x y P x y A x y 18760,53 296,04 (8,78) (7,89)
y O
I y 6860,64 cm4
x
x
4 P x y 1747,40 cm
Momentos de inercia principales-centrales:
tan 2 p
2 P x y
I y I x
2 (1747,40) 6860,64 8242,18
2,53
2 p 68,43
p 34,22º
I x I y I x I y cos 2 p P I u x y sen 2 p 2 2 I u 7551,41 690,77 cos (68,43º ) ( 1747,40) sen (68,43º )
4 I u 9430,39 cm
I x I y I x I y cos 2 p P I v x y sen 2 p 2 2 I v 7551,41 690,77 cos (68,43º ) ( 1747,40) sen (68,43º )
o también:
I max
I min
I x I y 2
I x I y 2
4 I v 5672,43 cm
2
I x I y 2 4 P x y 9430,39 cm 2
I x I y 2 4 P x y 5672,43 cm 2
2
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Cap. 9 Momentos de inercia
Pág. 10-15
Ejemplo 10.6: Hallar los valores de la distancia d y del ángulo que definen la ubicación del eje u, para el cual el momento de inercia I u de la sección compuesta mostrada es el mínimo posible. Además, obtener el valor del momento de inercia mínima correspondiente. También se muestran las características individuales de cada uno de los perfiles ( G indica la posición del centroide en cada uno de los casos). Referir todos los cálculos al sistema xy que acompaña a la sección compuesta. Todas las dimensiones están en pulgadas. y
y
y 10,42 2 2 , 1
5 1
G 0,80
O
8 4 , 4
x
0,76
x 3,40
u
d
G
x
Área = 9,96 pulg 2 I xG = 315 pulg 4 I yG = 8,13 pulg 4
Área = 16,5 pulg 2 I xG = 28,6 pulg 4 I yG = 118 pulg 4
Solución: I 1 x I x 1 A1 y12 8,13 (9,96) (3,1) 2
y
,85 pulg4 I 1 x 103
15 pulg
y
1
0 4 , 3
0 8 , 0
G1
I 1 y I y1 A1 x12 315 (9,96) (7,5) 2
x
1
,25 pulg4 I 1 y 875
0 7 , 5
P x y A1 x1 y1 0 (9,96) (3,10) (7,5) 1 xy P 1 1
x
O
y
y
I 2 x I x 2 A2 y22 28,6 (16,5)(1,22) 2
2
15 pulg
8 4 , 4
0,76
G2
0 7 , 5
2
x
Para el conjunto:
,98 pulg4 I 2 y 4020
P 2 xy P x y A2 x2 y2 0 (16,5) (1,22) (15,38) 2 2
10,42
,16 pulg4 I 2 x 53
I 2 y I y 2 A1 x22 118 (16,5)(15,38) 2
x
2 2 , 1
O
,57 pulg4 P 1 xy 231
,60 pulg4 P 2 xy 309
I x I 1 x I 2 x 157,01 pulg4 I y I 1 y I 2 y 4896,23 pulg4 541,17 pulg4 P xy P 1 xy P 2 xy
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Cap. 9 Momentos de inercia
Posición del centroide del conjunto: x y
Pág. 10-16
x1 A1 x2 A2 A1 A2 y1 A1 y2 A2 A1 A2
7,5 (9,96) 15,38 (16,5) 9,96 16,5 3,1(9,96) 1,22 (16,5) 9,96 16,5
12,41 pulg
1,93 pulg
Momentos de inercia centrales: I x I x A y 2 157,01 26,46 (1,93) 2 58,45 pulg4 I y I y A x 2 4896,23 26,46 (12,41) 2 821,18 pulg4 4 P x y P xy A x y 541,17 26,46 (1,93) (12,41) 92,58 pulg
Momentos de inercia principales-centrales: teoría de Mohr. tan 2 p
I u
I v
2 P x y
I y I x I x I y
2
821,18 58,45
0,243
( I min )
I I 4 x y cos 2 p P x y sen 2 p 832,26 pulg 2
( I max )
Momentos de inercia principales-centrales: círculo de Mohr. P uv
tan 2 p
Y
-P xy I min
I x
O
I max C
2 P
P xy
I y
I u
P x y ( I y I x ) / 2
0,243
2 p 13,65º p 6,83º 2
R
X
Ahora:
2 p 13,66º p 6,33º
I I 4 x y cos 2 p P x y sen 2 p 47,37 pulg 2
2
I x I y
2 ( 92,58)
( I y I x ) 2 4 P x y 392,44 pulg 2
I x I y R I max 2
,26 pulg4 I max 832
I x I y R I min 2
,37 pulg4 I min 47
Ubicación del eje de mínima inercia: y
tan p
y
P
G
y d x
tan 6,83º
x
1,93
d 12,41
y P
O
x d
Pontificia Universidad Católica del Perú
x u
d 28,55 pulg
Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
