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CABLES
5.1. Tipo y características de los cables: Los cables son miembros estructurales largos, esbeltos y flexibles; a menudo son usados en estructuras de ingeniería para soportar y transmitir cargas de un miembro a otro. En algunos medios de transportes se utilizan como ascensores, teleféricos etc.. y también como conductores en las líneas de transmisión eléctricas. Para facilitar los cálculos el modelo del sistema estructural supone que los cables son perfectamente flexibles e inextensibles. Flexibilidad: no ofrece resistencia a la flexión y sólo actúa la fuerza de tensión directa tangente en puntos localizados a lo largo de su longitud, por lo tanto sólo se dispone para su análisis de la ecuación de condición ec → ∑ M = 0 respecto a cualquier punto del cable. Inextensible: longitud constante antes y después de aplicarse la carga Analizaremos los cables que estando sujetos en sus extremos soportan cargas que pueden ser concentradas o distribuidas, bien sea uniformemente a lo largo de la horizontal o a lo largo de su longitud. Una vez aplicada la carga, la geometría del cable permanece fija y el cable o segmento de él pueden ser tratados como un cuerpo rígido.
5.2.- Cables de elementos rectilíneos: Cuando el cable soporta varias cargas concentradas (cargas discretas) , toma la forma de varios segmentos de línea recta, cada uno de los cuales está sometido a fuerza de tensión constante
Existen dos alternativas de solución: determinar la configuración (forma) del cable calculando las distancias verticales yC, yD, …yi. que especifican las posiciones de las cargas. Determinar las tensiones en cada uno de los segmentos del cable. T 1, T2…..Ti En cada caso es necesario también determinar las componentes de reacción, y saber algo sobre la geometría del cable. Al efectuar un análisis de equilibrio para este caso la fuerzas en los cable se pueden obtener escribiendo las ecuaciones de equilibrio para el cable entero o cualquier porción de él. Primero consideramos el DCL para todo el cable : ∑M(apoyo izq. ó der.) = 0 ∑FV = 0 Dibujamos DCL ,cortando el cable en sus puntos izquierdo de conexión justamente a la derecha del peso P1, descomponiendo la tensión del cable en el punto de conexión izquierdo en sus componentes Th y TV y haciendo: M ( puntoC )
Yc.Th
L1 .TV
0
El siguiente paso es dibujar DCL pasando planos por el cable en su punto izquierdo de conexión justamente a la derecha del peso P1, Sumando momentos respecto de D, obtenemos: M ( puntoD)
Yd .Th
( L1
L2 ).TV
L2 P1
0
Así, al cortar el cable justo a la derecha de cada uno de los N pesos, obtenemos N ecuaciones.
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TEOREMA GENERAL DE LOS CABLES. En cualquier punto z del cable que soporta cargas verticales, el producto de la componente horizontal H de la tensión del cable y la flecha h del cable es igual al momento flexionante en el mismo punto de una viga simplemente apoyada que soporta las mismas cargas en la misma posición que el cable. El claro de esta viga es igual al del cable. H.hz = Mz H : componente horizontal de la tensión del cable. Hz: flecha del cable en el punto z donde se calcula Mz. Mz: momento en el punto z de una viga simplemente apoyada que soporta las cargas que se aplican al cable.
Si los apoyos extremos del cable tienen diferentes elevaciones:
ΣMB=0 0= AyL – ΣmB + H(L tan α ) ….(1) donde ΣmB representa el momento alrededor del Apoyo B de las cargas verticales (de P1 a P4) -aplicada al cable. Las incognitas son Ay y H ; por lo tanto formamos otra ecuación. ΣMz=0 0 = Ay. x + H. (x tanα – hz) – Σmz ….(2) donde Σmz representa el momento alrededor de z de las cargas en un cuerpo libre del cable a la izquierda del punto z.
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Resolviendo (1) y (2); y despejando Ay de la primera ecuación y sustituyendo en la segundo obtenemos: Hhz = (x/L) ΣmB – Σmz …….(3) A continuación calculamos el momento flexionante Mz en el punto z de la viga. Mz = RA .x - Σmz ΣMB = 0 0 = RA.L – ΣmB
……..(4)
꞉ RA = ΣmB / L
sustituyendo (5) en (4) : H.hz = Mz
……(5)
Mz = (x/L) ΣmB - Σmz
y la expresión 3 queda:
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CABLE CATENARIO: (flecha pequeña en comparación a su longitud ) Catenaria es la curva que adopta un cable flexible de sección transversal constante, que se encuentra suspendido de sus extremos y bajo la acción exclusiva de su propio peso Procedimiento general de solución: la carga es una función de x: ∑Fx= 0
-Tcosθ + (T + ΔT)cos(θ + Δθ) = 0
∑Fy = 0
-Tsenθ + (T + ΔT)sen(θ + Δθ ) – w(x).Δx = 0 .(2)
∑Mo =0
w(x).Δx.k(Δx) – Tcos θ.Δy + T sen θ. Δx )= 0 ..(3)
w(x): carga media sobre el intervalo Δx k(Δx): distancia fraccional del punto O;
…(1)
0
dividiendo (5.3.1) y (5.3.2) por Δx y tomando límite cuando Δx→ 0 , ΔT→ 0, Δ → 0 , tenemos: lim x
(T
T ) cos(
) T cos x
0
0
(T T ) sen( ) Tsen lim w( x) x x 0 w(x).Δx.k(Δx) – Tcos θ.Δy + T sen θ. Δx )= 0 Δx Δx Δx de acuerdo con el calculo elemental, los términos situados a la izquierda de las igualdades anteriores, son derivadas, por lo tanto podemos escribirlos mediante:
d (T cos ) dx d (T sen ) dx dy dx
tan
0
......(4) w( x) ...................(5)
..........(6)
Ecuación de la curva del cable: Integrando (.4) Tcos θ = TH (constante )
……(.7)
: componente horizontal de la fuerza de tensión en cualquier punto a lo largo del cable:
integrando (5)
Tsen
w( x).dx
dividiendo (.8) entre (.7):
C1
.....(8)
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dy dx
tan
1 TH
w( x).dx C1
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(9)
integrando nuevamente, resulta:
y
1 TH
w( x).dx)dx] c1 x c2
.....(10)
esta ecuación define la curva que define la forma del cable, y = f(x),
La componente horizontal de la fuerza T H y las dos constantes de integración, C1 y C2, los encontramos aplicando condiciones de frontera. Condición de frontera: a) x = 0 b) x = 0 c).- x = L
→ y=0 → dy/dx = 0 → y=h
tomando (.9) y considerando que la carga distribuida w(x) = wo:
y
1 TH
wo.dx dx
Integrando dos veces:
y
1 wo.x 2 TH 2
C1 x C2
Aplicando la C:F: (a):
(11)
C2 = 0;
Aplicando la C,F. (b) a la ecuación (9)
dy dx
1 TH
dy dx
1 wo x C1 TH
wo.dx C1
C1= 0
Regresando a la ecuación (11), obtenemos:
y
1 wo.x 2 TH 2
(12)
Sustituyendo C.F. (.c) en (5.3.12) y simplificando:
h
wo. L 2TH
2
TTHH
2 wo wo..LL2 22hh
(13) (13)
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Sustituyendo (13) en (12), y simplificando:
yy
hh 22 xx LL22
(14) (14)
ecuación ecuación parabólica parabólica del del cable cable
Calculo de la Tensión máxima del cable: Tmax, ocurre cuando x = L: Derivando la ecuación (12): y buscando sus valores máximos:
dy dx
x L
wo x TH
tan
x L
conociendo tan entonces;
max
tan
TH
Cos
TH 2
wo L TH
1
wo 2 L2
(15)
De la ecuación (7) encontramos la tensión máxima del cable:
T max
TH Cos max
TH TH TH 2
T max
TH 2
wo 2 L2
wo 2 L2
(16)
Sustituyendo TH ecuación (13) :
Tmax Tmax
w wooLL
11
LL 22hh
22
(17) (17)
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CABLE PARABÓLICO: Son cables que soportan una carga uniformemente repartida horizontal y se suspende de sus extremos; adopta una curva que es una parábola (ejemplo: cable principal de un punto colgante) fig. (a) y (b)
Aquí, los ejes X-Y tienen su origen en el punto más bajo del cable; de manera que la pendiente del cable en su punto más bajo es CERO, y como resultado, la componente vertical de fuerza en ese punto será CERO Procedimiento de solución: DCL. cortando al cable en su punto más bajo y tomar una posición arbitraria x. Th : tensión en el punto más bajo del cable T: tensión en la posición dx w(x).dx : carga distribuida. Tcos θ = Th ………(1) T sen θ = w(x).dx ………(2) Dividiendo (1) /(2) tan θ = w(x).dx /Th … ……(3)
Ec. de equilibrio:
Podemos resolver este problemas y determinar las incógnitas, tomando la mitad del cable (por simetría) y la ecuación que define la forma del cable mediante la ecuación (9), observando que: dy/dx = tanθ
…………(4)
Sustituyendo en (3)
𝑑𝑦 𝑤(𝑥). 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑇𝐻 𝑑𝑦 =
1 (𝑤(𝑥). 𝑑𝑥) 𝑇ℎ
Separando variables e integrando dos veces:
𝑦=
1 ∫ (∫ 𝑤(𝑥). 𝑑𝑥) 𝑑𝑥 𝑇ℎ
y 𝑑𝑦
1 TH
= 𝑑𝑥
wx 2 2
1 𝑇ℎ (
𝑤𝑥 + 𝑐1)……………….(6)
Condiciones de frontera: (a)
x=0 →y=0
(b)
x = 0 → dy/dx = 0
C2 = 0 C1= 0
Sustituyendo las constantes obtenemos la ecuación de la parábola:
y
wx 2 ...........(7) 2TH
TH
wx 2 ........(8) 2y
c1 x c2 ...................(5)
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TH se obtiene aplicando la condición de frontera: wL2
TH
(c.)
x = L/2 → y = h
……….(9)
8h
4hx 2 L2
y
y por lo tanto :
………(10) ;
como TH es conocida, la tensión del cable se determina, usando la ecuación (8): T = TH/cosθ
tomando la ecuación (1):
para 0 ≤ θ ≤ π/2 ;
la tensión máxima ocurrirá cuando θ sea máximo (en el apoyo)
dy dx x
tan
wx TH x L /2
(max)
L /2
max
Tmax
tan
1
wL 2TH
……….(11)
…………………………(12)
TH cos
………….(13)
max
Por lo tanto: usando la relación triangular: Tmax
4TH2
………(14)
w2 L2 2
sustituyendo TH y factorizando:
Tmax
wL 1 2
L 4h
2
(respuesta) …….(15)
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