analisis matricial de estructuras Solucion Cap IV

EJERCICIOS PROPUESTOS En las siguientes estructuras con elementos totalmente flexibles, se pide: a) b) c) d)

Seleccionar el sistema de coordenadas Q – q. Obtener el vector de cargas generalizadas mediante trabajos virtuales. Resolver el problema primario. Indicar cuál es el problema complementario.

EJERCICIO Nº 01 2.0 T/m 1.5 T/m 1T

A

B

C

D

E

F 1.5 T/m

Solución a) Sistema de coordenadas Q – q 2

5 3

1

8 4

7 9

6



Cálculo de Q1 A

B

A'

D

E

Q1 

C



1*1

F



1T 

Cálculo de Q2 A'

A

B

D

E

C

F

4



Q2   1.5v( x)dx 0

  3 X  2 2 X  3    3  v( x)  v1 2 ( x)  1  2   L      L

  3 X  2 X    dx  3T  Q    1.51    L  L     4

2

2

2

3

3

0



Cálculo de Q3 A

B

D

E

C

F

4



Q3   1.5v( x)dx 0

   X   v( x )   1 3 ( x)   X 1      L  

2

2

4

   X   Q3    1.5 X 1   dx  2T     L   0 

Cálculo de Q4 A

B

D

E

Q4 



C

B'

F

0

Cálculo de Q5 B'

A

B

D

E

C

F

4

4





0

0

Q5   1.5v1 ( x)dx   2v2 ( x )dx

 v2 5 ( x) 

v1 ( x)

 X 

2

2

 L

  2 X   3    L    

  3 X  2 2 X 3   v2 ( x)  v1 2 ( x)  1  2  3   L      L   3 X  2 X     X    2 X   Q5   1.5 2  3  dx   21  2  3 dx  7T   L    L    L      L 0 0 4

4

2





2

3



Cálculo de Q6

A

B

D

E

4

C

F

4





0

0

Q6   1.5v1 ( x)dx   2v2 ( x)dx  X  2    X   v1 ( x)   2 6 ( x)   1    L    L  

   X   v 2 ( x)   1 3 ( x )   X 1    L    

2

4

4





2

 X  2    X      X   Q6  1.5 1  dx   2 X 1   dx  1T   L    L      L   0 0 

Cálculo de Q7

A

B

C

D

E

F

3



Q7   0.5 Xv( x)dx 0

  3 X  2 2 X 3   v( x)  v1 2 ( x)  1  2  3   L      L

C'

  3 X  2 X    dx  0.67T  Q    0.5 X 1    L  L     3

2

7

3

2

3

0



Cálculo de Q8 C'

A

B

D

E

C

F

4



Q8   2v( x)dx 0

v( x)

 v2 5 ( x) 

 X 

  2 X   3    L    

2

2

 L

4

 X  2   2 X   Q8   2 2  3  dx  4T   L  L     0





Cálculo de Q9

A

B

D

E

4

C

F

3





0

0

Q9   2v1 ( x)dx   0.5 Xv2 ( x)dx v1 ( x)

  2 6 ( x)  

 X 

2

 L

   X   1      L  

   X   v 2 ( x )   1 3 ( x)   X 1      L   4

3

2

2

 X  2    X    X   2   Q9  2 1  dx   0.5 X  1   dx  2.45T   L    L      L   0 0





b) Vector Q

1.00    3.00      2.00   0.00    Q    7.00    1.00      0.67      4.00   2.45  c) Problema Primario R8

R5 R2

2.0 T/m 1.5 T/m

R3

R4 B

A

1T

R7 C

R6

R1

D

E

R9

F 1.5 T/m



Equilibrio de elementos 2.0 T/m 1.5 T/m 3 T-m

A

2 T-m

B C

2 T-m 3T

3 T-m

4T

3T

4T 0.45 T-m 0.67 T

B

A

D

C

E

1.58 T

F 1.5 T/m 0.67 T-m



Equilibrio de juntas

Junta A R2

Junta B 3T

3T

Junta C

R5

4T

2 T-m R1

4T

R4

1T

R7

2 T-m

R3

R8

3 T-m 3 T-m

R6

R9

0.67 T 0.45 T-m

 R1



1T 





7T 

 R8





1T 

 R9



2.45T 



0

3T 

 R5





2T 

 R6

 

 R2





 R3





0.67T 

 R7

 R4

4T 

d) Problema Complementario 3 T

7 T

4 T

1 T

0.67 T 2 T-m

1 T-m

2.45 T-m

EJERCICIO Nº 02 W A

C

B

P

D

Solución a) Sistema de coordenadas Q – q 3 1



5

2 4

6

Cálculo de Q1

A

B

D

4



Q1   Wv( x)dx 0

C

   X   v ( x )   1 3 ( x )   X 1      L  

2

2

4

4W     X   Q1    WX 1   dx   3    L   0 

Cálculo de Q2 A

B

C

B'

D

Q2

 Pv( x)

 

  3 X  2 2 X  3    3  v( x)  v1 2 ( x)  1  2   L  L    

  3 X  2 2 X 3   Q2   P 1  2  3   0.5 P   L      L 

Cálculo de Q3 B'

A

C

B

D

4

4





0

0

Q3   Wv1 ( x)dx   Wv2 ( x)dx v1 ( x)

 v2 5 ( x) 

 X 

2

2

 L

  2 X   3    L    

  3 X 2 2 X 3   v2 ( x)  v1 2 ( x)  1  2  3   L      L   3 X  2 2 X 3    X  2   2 X   Q3   W  2  3  dx   W 1  2  3 dx  4W   L  L  L          L 0 0 4

4







Cálculo de Q4

A

C

B

D

4

4





0

0

Q4   Wv1 ( x)dx   Wv2 ( x)dx  Pv2 ( x) v1 ( x)

  2 6 ( x)  

 X 

2

 L

   X   1      L  

   X   v 2 ( x )   1 3 ( x)   X 1      L   4

2

2

4

2

 X  2    X      X      X   Q4  W  1  dx   WX 1   dx  PX 1    0.38 P   L    L      L      L   0 0







Cálculo de Q5 A

C' B

C

D

Q5 



0

Cálculo de Q6

A

B

D

C

4



Q6   Wv( x)dx 0

v( x)

  2 6 ( x)  

 X 

   X   1      L  

2

 L

4

 X  2    X   4W  Q6  W  1  dx   L    L   3 0



b) Vector Q

 4W  / 3   0.5 P       4W   Q    0.38 P   0.00     4W  / 3 

c) Problema Primario R3 W R1

R5 C

R2 B

A

R6

R4

P

D



Equilibrio de elementos W

W

A

B

4W/3 2W

4W/3 2W

0.38P 0.5P B

P

0.5P

D 0.38P

4W/3

B 2W

C

4W/3 2W



Equilibrio de juntas Junta A

Junta B R3

2W 4W/3 R1

Junta C 2W 4W/3

R2 R4

4W/3

R5 R6

4W/3

0.5P 0.38P

 R1



4W  / 3

 R4





0.5 P 

 R5



0

4W 

 R6



4W  / 3



 R2





 R3





0.38 P 

d) Problema Complementario 4W 0.5P 4W/3

4W/3 0.38P

EJERCICIO Nº 03 W

B

A

C

Solución a) Sistema de coordenadas Q – q 2 3

1



Cálculo de Q1

B

B' B''

B'

B

B''

A

Q1

C

3Wsen37º u 2 ( x)  3W  cos 37º v 2 ( x)  3Wsen37º u1 ( x)  3W  cos 37º v1 ( x)



u 2 ( x )

v 2 ( x)



u 2 4 ( x )

3 X  

5 L

 v 2 5 ( x)  

u1 ( x )  u1 1 ( x) 

4 X  2   2 X   3    L   5 L2  

4    X   1   5    L  

3   3 X  2 2 X  3    3  v1 ( x)  v1 2 ( x)  1  2 5    L  L   Q1  3Wsen37º

Q1 



0

Cálculo de Q2

3 X  5 L

 3W cos 37º

4 X 2   2 X   4    X   3   3 X 2 2 X 3   1  2  3  3 3 37 º 1 3 cos 37 º Wsen W           L   5    L   5   5 L2    L  L  

B'  

B''

B'''

B

A

Q2

C

3Wsen 37 º u 2 ( x)  3W  cos 37 º v 2 ( x)  3Wsen 37 º u1 ( x)  3W  cos 37 º v1 ( x)



u 2 ( x)



u 2 4 ( x)

3 X  

5 L

4 X    2 X   v2 ( x)  v 2 5 ( x)  3    L   5 L2   2

u1 ( x)

3    X    u1 1 ( x)   1   5    L  

4   3 X  2 2 X  3   1   3  v1 ( x)  v1 2 ( x)  2 5    L  L   Q2  3Wsen 37 º Q2 

3 X  5 L

2 3  X   3   4   3 X  2 X      2 X     Wsen W        3 3 37 º 1 3 cos 37 º 1     2 2 3   L    L   5   5  L  L 5 L      

4 X 

 3W  cos 37 º

2

3W 

 

Cálculo de Q3 B

A

Q3

C

3W  cos 37º  2 ( x) 3W  cos 37º  1 ( x)

 



 2 ( x)   2 6 ( x)  

2

 X  

 L

   X    1      L  

   X    1 ( x)   1 3 ( x)   X 1      L   Q3  3W  cos 37º

Q3



 X  2  

2

 X  

   X   1    3W  cos 37º  X 1    L    L      L  

0

b) Vector Q

 0.00    Q   3W     0.00 

2

c) Problema Primario R2 W R1 B R3

A



C

Equilibrio de elementos 0.90W

1.50W

1.50W

B

1.20W 1.20W

0.90W

B

   7  º   S  33      C  O W    s  e      W 3 n  3    7    º   

3  W  

   º c  o s 3      7 7  º      3   n   s  e    W    3 3W

A

C

1.50W 0.90W



1.50W 1.20W

1.20W

Equilibrio de juntas Junta B R2 R1 1.20W

R3

1.50W 0.90W

1.20W 1.50W

 

d) Problema Complementario 3W

0.90W

0.90W

EJERCICIO Nº 04 W2 W1 C B

A

Solución a) Sistema de coordenadas Q – q 3 4

2

5

1



Cálculo de Q1 C

B

A

 W1L21  Q1  1*     12  Q1   

W1 L21 12

Cálculo de Q2 C B

A

B'



Q2



Q2



1* 0 0

Cálculo de Q3 B' C B

A

  W1 L 1

Q3  1*   



W2 L 2  

2   2 W L W L  Q3    1 1  2 2  2   2 

 

Cálculo de Q4 C B

A

 W L

2

Q4  1*   

1

1



2 W2 L 2  

 12     12 W L W L  Q     12 12   2

1

2

1

2

2

4



Cálculo de Q5 C B

A

 W2 L2 2  Q5  1*     12  Q5  

W2 L22 12

b) Vector Q

 WL   12  0    W L  W L  2 Q  2   W L W L    12  12    WL    12 2

1

1

1

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

              

c) Problema Primario R3

W2

W1 R2

C R5

B R4

A



R1

Equilibrio de juntas Junta B W1L1 /2

B (W1L1)^2/12

W1L1 /2

A (W1L1)^2/12

W2L2 /2

B (W2L2)^2/12

W2L2 /2

C (W2L2)^2/12

W1 L1

 R1



 R2

0

 R3

12

W L W L   2  2 W L W L   12  12 1

1

2

2

 R4

1

1

2

2

2

2

     

2

 R5

W2 L



2

12

d) Problema Complementario R3 (W1L1+W2L2)/2 R2

W2L2 /2 R5 (W2L2)^2/12

(W1L1)^2/12 - (W1L1)^2/12

R1 (W1L1)^2/12

EJERCICIO Nº 05

2500 k

C

2000 k

4500 k-m

1500 k

 A0

A=œ

 I0

I0

1500 k

1000 k

3500 k

B

D 1000 k-m

5000 k-m

A=œ  A0

I0

 I0

A

E

Solución a)

Sistema de coordenadas Q – q 4 5

2 1

7

6 3



Cálculo de Q1 C

B

D

B'

A

E

Q1  1*1000 Q1  1000



Cálculo de Q2

3000 k

C

B'

B

D

A



E

1*

Q2



Q2

 



6876





6876

Cálculo de Q3 C

B

D

A

E

Q3  1*160 Q3  160 

Cálculo de Q4



C'

C

B

D

A

E

tan  

Cálculo de Q5 

Q4



Q4





1*

a





0.4

3124



3924







0.4 * 2000

C

B

D

A



E

Q5



Q5



1*5460 5460

Cálculo de Q6 C

C'

B

D

A



D'

E

Q6

 

Q6

 

2000



3000

5000

Cálculo de Q7 C

D B

A

E

Q7  1*5000 Q7  5000 b) Vector Q

 1000   6876     160    Q   3924   5460    5000     5000    c) Problema Primario R4

2500 k 2000 k

C R5 4500 k-m

R2 1500 k 1500 k

1000 k

3500 k

R1

B

R6

1000 k-m

D

3000 k

5000 k-m

R3

A

E

d) Problema Complementario 3924 5460

6876 1000 160

EJERCICIO Nº 06

5000

5000

R7

1000 k/m

C

B

 A0

A=

 I0

œ

I0

6000 k

B

D

1000 k-m

A=  A0

œ

I0

 I0

A

E

Solución a) Sistema de coordenadas Q – q 5

4

6

2

8 9

1 7 3

D

b) Problema Primario R5 1000 k/m R4 C

B

R6 R2 R8

6000 k

R1

R7

B 1000 k-m

D R9

R3

A

E



Equilibrio de juntas 2500 5000 C 2083.41

5000(2/ 29) 5000(5/ 29)

198.6 2500 1120.5 C 384

D 2083.41 2500

198.6 6000 k

4879.5

C 2083.41

B 1536

2500 D 2083.41

 4879.5   198.6     1536    1120.5  Q   2301.4     1699.41   0    2500   2083.41    c) Problema Complementario 2301.4 1120.5

198.6 4879.5 1536

EJERCICIO Nº 07

2500 2083.41

2.5 T/m

B

3T

C  A0  I0

 A0  I0

A

D

Solución a) Sistema de coordenadas Q – q 2 3

1

4



Cálculo de Q1 B'

B

C' 37º

 3/4 37º

C

 A0  I0

A

Q1 

Cálculo de Q2



3 1* (0) 5*( ) 4 

D

Entonce : Q1

 

3.75

B'

B

C

A

5*(1) 5*(1)

Q1 

D

 



Entonce : Q1

10

 

Cálculo de Q3 B

 5

53º

C

A

Q3 



33.3*(1) 5*( 

D

25 4

) 33.3*(1)

Entonce : Q1



Cálculo de Q4 B

C  37º

A

Q3 b) Vector Q

D

3 3* (1) 5 * ( ) 4

 



Entonce : Q1

6.75

 

31.25

 

 3.75   10   Q  31.25    6.75  c) Problema Primario R2 2.5 T/m R1 B R3

R4

3T

C

A

D

d) Equilibrio de Elementos 5 3.33 10

6

8

5

3.33

e) Problema Complementario 5T

3.33

3T

EJERCICIO Nº 08

1500 k

A

3000 k-m

A=œ I0

A0  I = œ

2000 k

1000 k

B

C

 A0  I = œ

D

2500 k-m

A=œ

A=œ

A=œ

I0

I0

I0

E

F

G

Solución a) Sistema de coordenadas Q – q 4

3

1



2

Cálculo de Q1 A

B

C

B'

D

E

F

Q1 

Cálculo de Q2

  1000 Kg 



G

A

B

C

E

F

Q2 



C'

D

G

0

Cálculo de Q3 A

A'

C

B

D

E

F

Q3 

G

  1500 Kg  

Cálculo de Q4 A

B

C

E

F

Q4 b) Vector Q

D

G

 

3000 Kg 

 

D'

 1000   0.00   Q  1500      3000  c) Problema Primario R4 A

1500 k

R3

3000 k-m

2000 k

1000 k

C

B R1

R2

D

2500 k-m

E



F

G

Equilibrio de elementos N4 v

A

v   + v   5   '  

D v'

v   + v   5   '  

N4 u

N2 B

N2

u+u'

5

5 N3

B

C

E

F

N1

Equilibrio de juntas

u'

u+u'

N1



C

N3

N5

G

N5

N4 Junta C Junta B

1000 Kg

u+u' 5 N2

B R1

u+u' 5 C

N2 u'

u

2500 Kg-m

N3

N1

Junta A

R2

R4

1500 k

A

R3

v'

v  +  v   Junta D 5   '  

3000 k-m 2000 k

v

v  +  v   5   '  

D

N4

N5

 1000   0.00   Q  1500     3000 d) Problema Complementario 1500 Kg 3000 Kg-m

1000 Kg

EJERCICIO Nº 09

A

   k   0  0   1  0

B  A0

 A0  A0

 A0  A0

C 2000 k

D

A0

E

 A0

1000 k

Solución e) Sistema de coordenadas Q – q f) 2

1

5

3



4

Cálculo de Q1 A

C



Cálculo de Q2

A'

D

Q1



Q1



1000 * cos 45º 707.11 Kg 

B

E

A'

A

C



B

D

Q2



Q2



E

1000 * sen45º 707.11 Kg 

Cálculo de Q3 A

C

D

C'

Q3 

B

E

  2000 Kg 



Cálculo de Q4 A

C

B

D

Q4

D'



0

E



Cálculo de Q5 A

B

D'

C

E

D

Q5

1000 Kg 

 

 

g) Vector Q

707.11 707.11   Q   2000     0.00   1000 h) Problema Primario R2

R1

   k   0  0   1  0

B

A

R5 C

1000 k



E

R4

R3

2000 k

D

Equilibrio de elementos A r r+r' 5

A

u'    '   u   u  +   5

A p +

x  +   5    x  '    p '

C

u    '   u   u  +   5

p' +

p 5 p '

C

q q+q' 5

D

q'

q+q' 5

A x

p 5

D

D y

D

   '   y   y  +   5

v v+v' 5

B r' r+r' 5

B y'    '   y   y  +   5

x' E

x  +   5    x  '   

E v' v+v' 5



Equilibrio de juntas Junta A r+r' 5

   k   0  0   1  0

A

Junta B

r+r' 5

B r 

r 

   '   u   u  +   5

x  +   x   5    '   

p u

p + 5

x p '

   '   u   u  +   5 Junta C

Junta D    '   y p   y  +   5 + y' p

p

u

   '   y   y  +   5 y'

5

x  +   Junta E 5    x  '   

x

'

q+q' 5

q+q' 5

D

2000 k

B

q

v+v' 5

q

1000 k

707.11 707.11   Q   2000    0.00    1000 i) Problema Complementario 700.11 Kg 700.11 Kg

2000 Kg

1000 Kg

v+v' 5 E

v

v

EJERCICIO Nº 11 W1

B A=

œ

I0

A

A=

œ

I0

A=

C

œ

I0 A=

œ

I0 A=

œ

I0

W F D

A=

E

œ

A= I0

I0

A=

œ

I0

G

œ

A =œ

A =œ

I0

I0

H

I

Solución a)

Sistema de coordenadas Q – q 6 4

3

8

2

1

5

7

Problema Primario W1

B

R3

R6

A

R4

C R8

W

R1

F D

E R5

R2

G

R7

H

I