Calculo Sup 2012

Universidad Los Ángeles de Chimbote

CÁLCULO SUPERIOR

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN __________________________________________________________________________________________________________

Jaime Paredes Sánchez

UNIVERSIDAD CATÓLICA LOS ÁNGELES DE CHIMBOTE ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS

CÁLCULO SUPERIOR

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ÍNDICE Pag. CAPÍTULO 1: FUNCIONES REALES

4

1.1.

Función.

4

1.2.

Dominio y rango de una función.

6

1.3.

Evaluación de una función.

8

1.4.

Funciones reales.

9

1.5.

Funciones reales especiales.

11

1.6.

Aplicaciones de las funciones.

19

1.7.

Autoevaluación 1

21

CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

23

2.1.

Noción intuitiva de límite.

23

2.2.

Definición formal de límite.

24

2.3.

Teoremas para calcular límites.

26

2.4.

Cálculo de límites para formas indeterminadas

29

2.5.

Límites laterales.

30

2.6.

Límites infinitos

32

2.7.

Límites al infinito.

37

2.8.

Continuidad de una función.

38

2.9.

Discontinuidad.

39

2.10. Autoevaluación 2 CAPÍTULO 3: DERIVADAS

43 45

3.1.

Introducción.

45

3.2.

Derivada de una función.

46

3.3.

Deducción de reglas de derivación.

48

3.4.

Reglas de derivación.

51

3.5.

Derivadas de orden superior.

55

3.6.

Aplicaciones de la derivada.

57

3.6.1. Razón de cambio.

57

3.6.2. Análisis de crecimiento y decrecimiento.

57

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3.6.3. Valores extremos de una función.

59

3.6.4. Concavidad y convexidad de una función.

68

3.7.

3.6.5. Aplicaciones a las ciencias económicas. Derivadas parciales.

70 72

3.8.

Autoevaluación 3

74

CAPÍTULO 4: INTEGRALES

76

4.1.

Antiderivada de una función.

76

4.2.

La integral indefinida

80

4.3.

Reglas básicas de integración.

80

4.4.

Métodos de integración: Integración por partes

83

4.5.

La integral definida.

86

4.6.

Aplicaciones de la integral definida.

91

4.6.1. Áreas de regiones planas.

91

4.6.2. Aplicaciones a las ciencias económicas.

95

4.7.

Autoevaluación 4

BIBLIOGRAFÍA

100

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CAPÍTULO 1 FUNCIONES REALES 1.1.

FUNCIÓN

Una función de A en B es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto A, con un único elemento de un conjunto B. Las funciones se denotan por: f, g, h,… Simbólicamente: f

f =

{ ( x, y ) ∈

:

A

B

x

y = f (x)

AXB / ∀ x ∈ A, ∃ / y ∈ B, y = f ( x)}

Donde: A = Conjunto de partida B = Conjunto de llegada Y= f(x): Se llama regla de correspondencia de la función. Decimos que “y” es la imagen o valor de x por f. Además, x es la variable independiente e y es la variable dependiente. Ejemplos: 1) De las siguientes gráficas, establecer cuales son funciones de A en B. g

f A

B

A

B

1

2

1

2

3

4

3

4

5

6

5

6

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h A

B 1

2

3

4

5

6

Solución f y h son funciones de A en B, pues a cada elemento A le corresponde un único elemento de B. g no es función de A en B, pues a 3 ∈ A le corresponden 4 y 6 ∈ B; es decir, más de un elemento. 2) Establecer cuales de los siguientes conjuntos son funciones: f = {(2;3), (4;5), (6;7), (8;9)} g = {(2;4), (3;6), (5;8), (3;10)} Solución f es función, pues las primeras componentes no se repiten. g no es función, pues la primera componentes 3 se repite en dos pares ordenados. 3)

Si f representa a una función dada por: f = {(2; x + y), (4;8), (2;6), (4;x - y)} Hallar el valor de: 2x - y Solución

En una función, si dos pares ordenados tienen la misma primera componente, entonces las segundas componentes deben ser iguales Por lo que: x+y=6 x–y=8 De donde; resolviendo la sistema se obtiene: x=7 ,

y=-1

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Luego: 2x – y = 2 (7) – (-1) = 15 4) R1 y R2, dadas al inicio, ¿Son funciones? ¿Por qué? 1.2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Sea la función: f

:

A

B

y

y = f (x)

Luego: Dominio de f. Denotado por Dom(f) ó D(f) esta dado por:

D( f ) = { x ∈ A / ∃ / y ∈ B, y = f ( x)} Conjunto de las primeras componentes, de los pares ordenados de f. Rango de f. Denotado por Ran(f) o R(f), esta dado por:

R ( f ) = { y ∈ B / ∃ x ∈ A, y = f ( x)} Conjunto de las segundas componentes, de los pares ordenados de f. Gráficamente: f A

B 2

x

D(f)

4 y=f(x 6)

R(f)

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Ejemplos: Sean los conjuntos: A = {1; 3; 5; 7}

y

B = {2; 4; 6; 8}

Hallar dominio y rango de: f = {(1;4), (3;2), (5;6), (7;8)}

1)

Solución Gráficamente: f

A

B

1

2

3

4

5

6

7

8

g=

2)

De donde: D(f) = {1; 3; 5; 7} R(f) = {2; 4; 6}

{ ( x, y ) ∈

AXB / x + y = 11}

Solución (x, y) ∈ A X B, entonces la función g está definida de A en B, por lo que x ∈ A e y ∈

B. Luego los pares ordenados que cumplen la relación de

correspondencia: x + y = 11 son: g = {(3; 8), (5; 6), (7; 4)} De donde: D(g) = {3; 5; 7} R(g) = {4; 6; 8} Gráficamente:

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g A

B 1

2

3

4

5 7 x

6 8 y

h=

3)

{( x , y ) ∈

}

A2 / x = y

Solución: A2 = A x A, entonces h es una función definida de A en A. de donde: h = {(1;1), (3;3), (5;5), (7;7)} Luego: D(h) = {1; 3; 5; 7} R(h) = {1; 3; 5; 7} 1.3. EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN Consideremos una función f con regla de correspondencia: y = f(x)

,

x ∈ D(f)

Si x toma el valores específicos, por ejemplo x = x0, entonces se tiene: y0=f(x0). Se dice que la función f ha sido evaluada en x0. En otras palabras: Cuando x = x0, el valor de la función es f(x0) Ejemplos: 1)

Si f(x) = 2x2 – 3x + 6, el valor de f en el punto x = 1 es: f(1) = 2(1)2 - 3(1) + 6 = 5

2)

Sea f(x) =

x3 − x , hallar f(2) 5

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Solución Como x = 2 entonces f ( 2) =

( 2) 3 − 2 6 = 5 5

6 es imagen de 2 por f. 5

También se dice que f(2) = 1.4. FUNCIONES REALES

Llamadas también funciones reales de variable real, son aquellas funciones definidas de R en R, donde R es el conjunto de los números reales. Dominio y Rango Sea la función real: f

:

R

R

x

y = f (x)

Luego: Dominio de f: D ( f ) = { x ∈ R / ∃ / y ∈ R, y = f ( x )} Rango de f: R ( f ) = { y ∈ R / ∃ x ∈ R, y = f ( x)} En otras palabras, el dominio es el conjunto de x ∈ R para el que existe un único y∈ R y el rango es el conjunto de y∈ R que corresponden a x ∈ R. Criterio para el cálculo del dominio y rango de una función El dominio de una función f se determina analizando los valores posibles que pueda tomar x, de tal manera que y=f(x) sea un número real, salvo que dicho dominio sea especificado. El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de “y”, luego se analiza todos los valores posibles que pueda tomar “y”, de tal manera que x sea un número real. Ejemplo: Hallar dominio y rango de la función:

f ( x) =

6 − x − x2

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i)

Calculando el dominio Como y = f(x) entonces:

y = 6 − x − x2

Luego “y” es real si 6 – x - x2 ≥ 0 pues no existe raíz cuadrada de un número real negativo. De donde, por propiedad de las desigualdades: x2 + x – 6 ≤ 0 Aplicando puntos críticos para inecuaciones: (x + 3) (x -2 ) ≤ 0

-∞

-3

2 D(f) = [ − 3,2]

Luego el dominio es: ii)

+∞

Calculando el rango Como

y=

6− x − x2 ,

y ≥ 0

Despejando x en función de y: Al elevar al cuadrado ambos extremos se obtiene: y2 = 6 – x + x2 De donde, ordenando y cambiando de signo: x2 + x – (6 – y2) = 0 Por formula general para una ecuación cuadrática:

x=

− 1 ± 1 − 4(1)(− (6 − y 2 )) 2

De donde: __________________________________________________________________________________________________________


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x=

− 1 ± 1 − 4(6 − y 2 )) 2

Luego x es real si: 1 + 4 (6 – y2) ≥ 0 De donde obtenemos. − −

25 ≤ y≤ 4

25 4

5 5 ≤ y≤ 2 2

 5 5 y ∈ − .   2 2  5 5 Por lo tanto: R(f) = 0,+ ∞ ∩  − ,   2 2  5 De donde: R( f ) =  0,   2 1.5. FUNCIONES REALES ESPECIALES Son aquellas funciones reales que por sus características toman el nombre de funciones reales especiales o solamente funciones especiales. Entre ellas tenemos: a. Función constante. Se define por: f ={(x,y) ∈ R x R /y = c, c=Constante} Su dominio es D(f) = R, su rango R(f) = {c} y su grafica es una recta horizontal. Esto es: y c

f(x) = c

X

b. Función identidad: Se define por: f = {(x, y) ∈ R x R /y = x} Su dominio es D(f) = R, su rango R(f)= R y su gráfica es la recta de pendiente uno que divide al primer cuadrante del plano cartesiano en dos partes iguales. __________________________________________________________________________________________________________


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y y=x

X

c. Función valor absoluto. Se define por: f = {(x, y) ∈ R x R /y = |x|} Su dominio es D(f) = R, su rango R(f) = [0, + ∞] y su grafica es la unión de dos rectas simétricas respecto al eje y. y y = |x|

X d. Función Lineal Su gráfica es una línea recta y se define por:

f =

{ ( x, y ) ∈

RXR / y = a + bx}

Donde: a y b ∈ R; b ≠ 0 y y = a + bx b

D(f) = R

a

R(f) = R x

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Además: Si b > 0 la función lineal, es una función oferta. Si b < 0 la función lineal, es una función demanda. e. Función Cuadrática Su grafica es una parábola con eje perpendicular al eje x:

{( x, y ) ∈ RXR / y =

f =

}

a 2 + bx + c ......(1)

Donde: a, b y c ∈ R; a ≠ 0

Si a > 0

y

Si a < 0

V(h,k)

a h

y

V(h,k)

k x

x

h

De donde: Si

a > 0 la parábola se abre hacia arriba.

Si

a < 0 la parábola se abre hacia abajo

V(h, k) se llama vértice de la parábola. El dominio de la función cuadrática es: D(f) = R El rango se determina completando cuadrados en la variable x: Como: y = ax2 + bx + c

 2 b b2  b2  + c −  y = a x + x + a 2a  4a  2

b  4ac − b 2   y = a x + +  2a  4a  Luego: y - k = a (x - h)2…………..(2) Obteniéndose el vértice de la parábola: V(h, k) __________________________________________________________________________________________________________


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b Donde: h = ; 2a

4ac - b 2 k= 4a

La expresión (2) es equivalente a expresión (1) Luego: Si

a > 0 se tiene D(f) = R

y R(f) = [ K ,+ ∞

a < 0 se tiene D(f) = R

y R(f) = − ∞ , K ]

Además teniendo en cuenta ecuaciones (1) ó (2) y la gráfica de la función cuadrática, se tiene: i) Si a > 0 entonces la parábola se abre hacia arriba y tiene un valor mínimo en y = k, cuando x = h. La curva es cóncava (el vértice es el punto más bajo de la curva). Se dice también que es una función de oferta parabólica. ii) Si a < 0 entonces la parábola se abre hacia abajo y tienen un valor máximo en y = K, cuando x = h. La curva es convexa o cóncava hacia abajo (el vértice es el punto más alto de la curva). Se dice también que es una función de demanda parabólica. Ejemplos 1. Sea la función f(x) = x2 – 6x + 13 Para hallar el valor máximo o mínimo (vértice de la parábola) tenemos dos procedimientos: Sabemos que

i)

y = ax2 + bx + c, de la cual mediante

completar cuadrados se obtiene el vértice de la parábola: V(h,k) donde: h= −

b 2a

y

4ac − b 2 k= 4a

Luego, de la ecuación dada: y = x2 – 6x + 13 Se obtiene: a = 1; b = -6 De donde:

h= −

y c = 13

−6 = 3 2(1)

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4(1)(13) − (− 6) 2 k= = 4 4(1) Entonces vértice de la parábola: V(3,4) Finalmente, como a = 1 > 0 entonces la parábola se abre hacia arriba y tienen valor mínimo en y = 4 cuando x = 3. Gráficamente: y y = x2 - 6x + 13 V(3,4)

4

x

3

ii) Expresando y = x2 + 6x + 13 en la forma (2) dada anteriormente: y – k = a (x - h)2 Completando cuadrados en la variable x: Como: y = x2 – 6x – 13 Dividimos el coeficiente de x entre 2 y el resultado elevado al cuadrado sumamos y restamos, esto es: 2

 6  6 y = x 2 − 6 x +   + 13 −    2  2 De donde:

2

y = x 2 − 6 x + 3 2 + 13 − 9 Luego: y = (x – 3)2 + 4

Finalmente: y – 4 = (x + 3)2: forma deseada De donde vértice: V (3,4) Luego, como a = 1 > 0 entonces la parábola se abre arriba y tienen valor mínimo en y = 4 cuando x = 3. __________________________________________________________________________________________________________


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2. Sea

y = 16 – 8x – 2x2. Hallar su valor máximo o mínimo. Solución

Expresaremos y = 16 – 8x – 2x2 en la forma: y – k = a (x - h)2 Como :

y = 16 – 8x – 2x2

Ordenando: y = -2x2 – 8x + 16 Multiplicando por – 1 ambos extremos: - y = 2x2 + 8x - 16 Dividiendo entre 2 a toda la ecuación, para que el coeficiente de x2 sea 1: −

y = x 2 + 4x − 8 2

Completando cuadrados en la variable x: −

y = x 2 + 4 x + ( 2) 2 − 8 − (2) 2 2

de donde: y = ( x + 2) 2 − 12 2 − y = 2( x + 2) 2 − 24 −

Cambiando de signo: Y = -2(x + 2)2 + 24 Ordenando: y – 24 = -2 (x + 2)2 : forma deseada De donde el vértice es: V (-2, 24) Luego, como a = -2 < 0 entonces la parábola se abre hacia abajo y tiene valor máximo en y = 24 cuando x = -2. Gráficamente

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y V(-2,24)

24 y = 16 - 8 – 2x2 x

-2

3. Dadas las siguientes ecuaciones: a) y = 2x + 6

b) y = | x | + 2

c) y = 3

d) y = x2 – 4

Para cada caso: - Asignar nombre que le corresponda según las funciones reales especiales - Graficar y hallar dominio y rango Solución a) y = 2 x + 6

: Función lineal

Gráfica: D(f) = R R (f) = R

6 -3

Para graficar: En la ecuación si x = 0 entonces y = 6 y si y = 0 entonces x = -3. Luego unir los puntos por la línea recta.

X

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b) y = | x | + 2

: Función valor absoluto

Gráfica: y

D(f) = R 2 -1

R (f) = [2, + ∞ }

x

Para graficar: X ... -2 y = |x| + 2 …. 4

c) y = 3

-1 3

0 2

1 3

2 ... 4 ...

: Función constante, donde constante c = 3

Gráfica: y 3 -2 -1

y=3

D(f) = R X

d) y = x2 – 4

R (f) = 3

: Función cuadrática

Grafica:

y

D(f) = R R (f) = [-4 , + ∞ } -2

2 -4

Vértice V (0, -4) la función tiene un valor mínimo relativo en y = -4 cuando x=0

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Para graficar: X ... -2 y = x - 4 …. 0 2

0 -4

2 ... 0 ...

1.6. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CONCRETOS 1.

Un agricultor dispone de 80m. de alambre y desea cercar un

terreno de forma rectangular. Si uno de los lados no necesita cerco, ¿Cuáles serán las dimensiones del terreno para que el área sea la máxima? Solución Sean x e y dimensiones del terreno Área del terreno: A = x.y… (1)

x

x y

Perímetro por cercar: 2x + y por dato: 2x + y = 80 ….(2) Despejando y en (2): y = 80 – 2x ….. (3) (3) en (1) :

A = x . (80-2x)

De donde: A(x) = 80x – 2x2: A(x) es una función cuadrática Luego completando cuadrados se obtiene: A(x) – 800 = - 2 (x - 20)2: Expresión similar a: y – k = a (x - h)2 Por lo tanto vértice : V(20, 800) De donde, como a = -2 < 0 entonces la función A (x) tiene un valor máximo de 800 cuando x = 20(ancho). Luego en (3): Y = 80 – 2(20) = 40 (largo) Rspta. Las dimensiones del terreno deben ser ancho 20 m. y largo 40m, a fin de obtener un área cercada máxima de 800 m2. 2.

Una pequeña empresa puede producir ciertos artículos a un costo de S/. 20 cada uno. Se estima que si el precio de venta de cada

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artículo es x soles, entonces se venderán al mes 80 – x artículos. ¿Cuál deberá ser el precio de venta de cada artículo, para obtener la máxima utilidad mensual? Solución Sea x = Número de artículos por producir y vender. Como : Utilidad = Venta – costo Entonces U(x) = V(x) – C(x) …… (1) Hallando venta: como se venden 80 – x artículos a x soles cada uno, entonces: V(x) = x (80 - x) …………….(2 Hallando costo: Es igual al producto del costo de cada artículo por el número de artículos vendidos(los que debieron ser producidos) , esto es: C(x) = 20 (80 - x) …………. (3) Reemplazando (2) y (3) en

(1):

U(x) = x(80 - x) – 20(80 - x) De donde se obtiene: U(x) = -x2 + 100x -1600 Luego, completando

cuadrados obtenemos:

U(x) – 900 = -(x - 50)2 Expresión similar a: y – k = a (x - h)2 Por lo que, como a = -1 < 0, entonces la función U(x) tienen un valor máximo en U(x) = 900 cuando x = 50. Rspta. Deberán producirse y vender 50 artículos al mes para obtener una utilidad máxima de S/. 900 3.

En una empresa se obtiene los siguientes datos: x unidades

0

C(x) soles

10 35

20 85

30 135

40 185

235 Donde :

C(x) = costo

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Se pide: a) Determinar la función lineal de costo b) Hallar costo para 10 000 unidades Solución a)

Por definición de función lineal: C(x) = a + bx …………(1)

Donde: a es intercepto con eje vertical, cuando x = 0, entonces en este caso: a = 35 …… (2) b es pendiente, entonces: b=

∆ C ( x) 85 − 35 = = 5 ∆x 10 − 0

Como la pendiente de una función lineal es constante, entonces: b = 5 ………. (3) Finalmente (2) y (3) en (1): C(x) = 35 + 5x : Función lineal de costo b)

Como: C(x) = 35 + 5X y

x = 10000

Entonces: C(10000) = 35 + 5 (10 000) De donde: C (10 000) = 50035 Por lo tanto, el costo para 10 000 unidades es de S/. 50035.

AUTOEVALUACIÓN 1 1. Hallar dominio y rango de la siguiente función:

f ( x) = A) [-2, 0]

B) [-2, -1]

− x2 + 2x + 8 C) [-2, 4]

D) [3, 4]

E) [1, 2]

2. Si f representa una función dada por: __________________________________________________________________________________________________________


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f = {(2, x + y), (3,4), (2,10), (3,x-y)} ¿Cuál o cuáles de los siguientes conjuntos son funciones? g = {(x, 3), (y, 5), (x+y, 4) h = {(x-y, 4), (x, 2), (4,3)} i= {(8,2), (y, 4), (x, 2)} A) g y h

B) sólo g

C) todas

D) g e i

E) N.A.

3. Sea M = {x ∈ Z / 1 < x < 10} Si f = {(x, y) ∈ M x M / x + y = 12} y si a es la suma de todos los elementos del D(f) y

b es la suma de todos los

elementos del R(f). El valor de E = a + b es: A) 42

B) 50

C) 84

D) 60

E)N.A.

4. La utilidad obtenida al vender X artículos es descrita por U(x)=30X+1200 soles. Si en el último mes se obtuvo una utilidad de 16200 soles. ¿Cuántos artículos se vendieron? A) 630 5. Sea

B) 50

C) 1300

D) 820

E) 500

f (x) = ax + b una función tal que:

f (1) = -2

y

f (3) = 1

Hallar el valor de: a + b A) -1

B) 2/3

C) 0

D) -2

E) 4

6. Para la función cuadrática f ( x) = x 2 + 4 x + 6 su valor mínimo está dado en: A) y = -2

B) y = 4

C) y = 2

D) y = 5

E) y = -4

7. Hallar el valor de E = m + n, sabiendo que el conjunto: {(n; m+n), (n; 12), (m; m-n), (m; 2)} es una función A) 10

B) 11

C) 12

D) 15

E) 20

8. Graficar en el plano cartesiano: a) 3 y = 8 − 4 x

b) y = x 2 − 9 x + 2

c) y = − x + 2 + 3

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CAPÍTULO 2 LÍMITES Y CONTINUIDAD 2.1. NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE Es nuestra vida cotidiana se presenta situaciones tales como: llegaste cerca de la hora de ingreso al trabajo, estás muy cerca de culminar tus estudios universitarios, estuvimos cerca de la producción máxima de conservas en la empresa. Ahora, traslademos estas ideas al lenguaje matemático: Sea la función: f ( x) = x + 2

;

x∈ R

;

x≠ 3

Si asignamos valores a X cercamos a 3 ¿Qué sucede con f ( x ) ? Del enunciado planteado se desprende que la función

f ( x ) = x + 2 está

definida para todo número real, excepto para x = 3 , lo cual nos llevará a la siguiente tabla:

X

f ( x) = x + 2

2 2,5 2,9 2,99 3 3,01 3,1 3,5 4 4 4,5 4,9 4,99 5 5,01 5,1 5,5 6

De donde se deduce que, al aproximar los valores de X cercamos al valor 3, se tiene que las imágenes f (x) se aproximan al valor 5. Simbólicamente: Cuando x → 3 ,

se tiene que f ( x ) → 5

f ( x) = 5 y se lee: “El límite de f (x) es 5, Escribiendo, luego: lim x→ 3 cuando x se aproxima o tiende a 3”

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2.2. DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a x0 . El límite de dicha función f(x) cuando x tiende a x0 es L y se escribe lim x→ x 0

f(x) = L

0 < |x − x0| < δ

, si y solo si ∀ ∈ > 0 ,

⇒

∃ δ > 0 tal que

| f(x) − L| < ∈

Nota: No es necesario que f este definida en x0 para que el límite exista Al aplicar esta definición al ejemplo dado anteriormente, se tiene:

lim f ( x) = 5 x→ 3

Si y solo si

∀ (Para todo) ∈ > 0 ,

∃ ( Existe)δ > 0

tal que 0< x− 3 < δ

⇒

f ( x) − 5 < ∈

APLICACIÓN DE LA DEFINICIÓN DEL LÍMITE Para demostrar la existencia del límite de una función deberá aplicarse adecuadamente la definición del límite. Ejemplos: Demostrar que:

Solución Por definición del límite: lim x→ x 0

f(x) = L

0 < |x − x0| < δ

, si y solo si ∀ ∈ > 0 ,

⇒

∃ δ > 0 tal que

| f(x) − L| < ∈

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


Luego:

Demostrar que:

Solución

Por definición del límite: lim x→ x 0

f(x) = L

0 < |x − x0 | < δ

, si y solo si ∀ ∈ > 0 ,

⇒

∃ δ > 0 tal que

| f(x) − L| < ∈

Luego:

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


2.3. TEOREMAS Y PROPIEDADES PARA CALCULAR LÍMITES Teorema 1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema 2: Para cualquier número dado a,

Teorema 3: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema 4:

__________________________________________________________________________________________________________


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Teorema 5:

Teorema 6: Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema 7: Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema 8:

2.4. Cálculo de límites. Calcular el límite de una función, requiere aplicar los teoremas y propiedades en forma adecuada. Ejemplos:

Solución

Solución

__________________________________________________________________________________________________________


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Solución

Solución

Solución

__________________________________________________________________________________________________________


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2.5. CÁLCULO DE LÍMITES PARA FORMAS INDETERMINADAS Cuando al calcular el límite de una función se obtienen formas indeterminadas: 0 c , , c = cte. Se presentan dos casos: 0 0

a)

Cancelación

de

factores

comunes:

Factorizar

numerador

y/o

denominador, luego cancelar los factores comunes. Ejemplo Calcular: lim x→ 4

x 2 − 16 x− 4

Solución Al evaluar se obtiene lim x→ 4

0 , factorizando el numerador se obtiene: 0

x 2 − 4 2 = lim ( x − 4 )( x + 4 ) simplificando: x–4 x→ 4 ( x − 4) x− 4

= lim( x + 4 ) finalmente evaluando x→ 4 = 4+ 4 = 8

b). Por racionalización: Para expresiones con radicales multiplicar numerador y denominador por la conjugada de cada una de las formas con radicales, luego simplificar factores comunes. Ejemplo Calcular: lim x→ 1

x−1 x −1

Solución Al evaluar se obtiene

0 ; por lo que, multiplicamos numerador y denominador 0

por la conjugada de

x −1

lim x→ 1

x−1 x−1

= lim x→ 1

(

= lim x→ 1

)

x+1 =

(

( x − 1) (

)(

x−1

que es

)

x+1

)

x+1

x +1

= lim x→

( x − 1) (

)

x+1 x−1

1+ 1= 2

__________________________________________________________________________________________________________


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2.6. LÍMITES LATERALES Límite lateral derecho Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe

Límite lateral izquierdo Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

Teorema 9

Ejemplos Para los siguientes casos calcular los límites indicados, si existen:

Solución

__________________________________________________________________________________________________________


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Gráficamente:

Solución

Gráficamente

__________________________________________________________________________________________________________


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Solución

Gráficamente:

2.7. LÍMITES INFINITOS Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado. Crecimiento infinito

__________________________________________________________________________________________________________


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Decrecimiento infinito

Teorema 13:

Teorema 14:

Teorema 15:

Teorema 16:

__________________________________________________________________________________________________________


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Teorema 17:

Asíntotas Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Trazar las asíntotas, tanto verticales como horizontales, es de gran ayuda para dibujar la gráfica de una función. Asíntota vertical Una asíntota vertical es una recta paralela al eje y. Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

Ejemplos Calcular los siguientes límites:

__________________________________________________________________________________________________________


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Soluciones 1. Solución:

2. Solución:

__________________________________________________________________________________________________________


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3. Solución:

4. Solución:

__________________________________________________________________________________________________________


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5. Solución:

6. Solución:

2.8. LÍMITES AL INFINITO Teorema de límite18:

Asíntota horizontal Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x. __________________________________________________________________________________________________________


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Teorema de límite19:

Ejemplos: Calcular los siguientes límites  x 2 + 1 x 2 + 10   1. lim  − x→ ∞ x + 1   x+ 2

2. lim x→ ∞

9. 8 x + 5 x + 3 x + 4 8x + 3

2.9. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Noción intuitiva de continuidad Intuitivamente una función es continua, si su gráfica se traza sin levantar el lápiz de la hoja de papel como en la figura No 1 y no como en la figura No 2. __________________________________________________________________________________________________________


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4 4

3 3

2

2 1

1

-1

1

2

-1

1

2

3

-1

-1 -2

-2

-3 -4

-3

Fig. Nº 01

Fig. Nº 02

Función continua

Función discontinua

Definición de continuidad La función f es continua en el número a si f está definida en algún intervalo abierto que contenga a a, y si para cualquier ε > 0 existe un δ > 0 tal que: Si x − a < δ

entonces

f ( x) − f (a ) < ε

Criterios de continuidad de una función en un punto Se dice que una función f es continua en el punto o número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

2.10. DISCONTINUIDAD Una función que no es continua en un punto, se dice que es discontinua en dicho punto o número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. (Ver Fig. 2, anterior)

__________________________________________________________________________________________________________


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Clases de discontinuidad: La discontinuidad puede ser evitable o esencial. La discontinuidad evitable se denomina también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cartesiano cuyas coordenadas son (a, f(a)). La discontinuidad esencial también recibe el nombre de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites laterales existen pero son diferentes. (Ver Fig.2) Además, podemos mencionar a la discontinuidad infinita, la cual sucede cuando el límite de la función es infinito, para x que tiende al número a. Teoremas de continuidad

Ejemplos

Solución

x -4 0 2 f (x) -6 -2 0 f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión: __________________________________________________________________________________________________________


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f es discontinua en -3.

Solución

x -6 -1 0 2 3 h(x) -0.5 -1 -1.25 -2.5 -5

5 5

6 2.5

9 1

f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión: f es discontinua en 4.

__________________________________________________________________________________________________________


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Solución

x y

4. f ( x) =

-4 -0.5

{

-3 -1

3 x − 1 si x < 2 4 − x 2 si 2 ≤ x

-2 0

-1 1

0 0.5

8 0.1

}

Solución

__________________________________________________________________________________________________________


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5. Analizar si la función: x+ 2

f (x ) =

3

,

,

si

si

4x − 1

,

x<1

x=1 si

x>1

Es continua en X0 = 1 Aplicando los criterios tenemos: i) f (1) = 3

f ( x) = 3 ii) lim x→ 1

pues

lim f ( x) = lim− ( x + 2) = 3

x → 1−

x→ 1

lim f ( x) = lim+ (4 x − 1) = 3

x → 1+

x→ 1

f ( x) = 3 = f (1) iii) lim x→ 1 Se cumplen los tres criterios o condiciones, por lo tanto la función dada es continua en X0=1 AUTOEVALUACION 1. Al calcular el siguiente límite: x 2 + 4 x − 21 x→ 3 x− 3

lim A) 10

B) 12

, se obtiene: C) 0

D) 3

E) 7

2. Aplicando la definición del limite demostrar el siguiente limite, calculando el valor de δ lim (4x + 7) = -5, si ∈ = 0,04 x→-3 A) 4

B) 0,02

C) 0,01

D) 1

E) 2

__________________________________________________________________________________________________________


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3. Calcular el siguiente limite:

x2 + 3 − 2 1− x

lim x→1 A) 0

B) -0,5

C) 0,5

D) 1

E) 2

4. En los paréntesis escriba V si el enunciado es verdadero y F si es falso. a) El limite de una función, si existe, no siempre es único ( b) Evitable y esencial son clases de discontinuidad (

) )

5. Dada la función: 4 x − 2, f ( x) =  2  x + 1,

siχ ≤ 3 siχ > 3 Analizar continuidad en χ 0 = 3 6. Calcular el siguiente límite: lim (x2 – 4x + 3) x→-2 A) 10

B) 12

C) 14

D) 15

E) -8

7. Sea la función:  ax 2 + bx + 1, siχ ≤ 1 f ( x) =  2ax − b, si 1 < χ ≤ 2 siχ > 2  x + 1, Hallar los valores de a y b para que existan los limites de f(x) en x = 1 y x = 2. Dar como respuesta el valor de a+b. A) 2/3

B) 5

C) -1/5

D) 4/7

E) 0

8. Calcular el siguiente límite: 4 x3 − 3x 2 + 2 lim 4 2 x→ + ∞ 2 x + 5 x + 3 A) 0

B) 2

C) 4

D) 1

E) N.A.

9. Sea la función: g (t ) =  4 + at ,  12 − t ,

si t < − 2 si t ≥ − 2 Calcular el valor de a para que la función sea continua en t 0 = − 2 A) -2

B) -5

C) 0

D) 4

E) 3

CAPITULO 3 __________________________________________________________________________________________________________


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DERIVADAS 3.1. INTRODUCCIÓN Analicemos el siguiente gráfico:

y

D A

B

E C

GRÁFICO Nº 01

X

En el gráfico Nº 01 se ha trazado una recta tangente a los puntos: A: Donde el valor del ángulo es menor de 90 º (primer cuadrante) y el valor de la pendiente de la recta, es positiva, pues la tangente de los ángulos menores de 90 º toman valores positivos. La recta está inclinada a la derecha del gráfico de la función dada. B: Donde el valor del ángulo es mayor de 90 º (segundo cuadrante) y el valor de la pendiente de la recta, es negativa, pues la tangente de los ángulos mayores de 90 º toman valores negativos. La recta está inclinada a la izquierda del gráfico de la función dada. C y D: Donde el valor del ángulo es igual a 0 º y el valor de la pendiente de la recta, es cero, pues la tangente de 0 º es también cero. La recta es horizontal al gráfico de la función dada. E: El valor del ángulo es menor de 90°, el valor de la pendiente de la recta es positiva. Tal como en el punto A. De otro lado, dados los gráficos: __________________________________________________________________________________________________________


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Y Y B A

B (x1 y1)

∆Y ∆X

A (x y)

C

y1

Y

x x

X

x1 GRÁFICO Nº 02 GRÁFICO Nº 03

En el gráfico Nº 02: Se ha trazado una secante que corta a la curva en los puntos A y B, cuyas coordenadas respectivas son: A (X, Y)

y B (X1, Y1)

En el triángulo rectángulo ABC del gráfico Nº 03 formado, se obtiene: ∆ x = x1 - x

Es la variación de las abscisas y se lee: “Delta de x”

∆ y = Y1 - Y Es la variación de las ordenadas y se lee: “Delta de y” 3.2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN La derivada de una función, se expresa como el límite de ∆y / ∆x

cuando

∆x se acerca o tiende a cero y cuya expresión es la siguiente: f ' ( x) =

dy ∆y = lim ∆ x → 0 dx ∆x

__________________________________________________________________________________________________________


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Interpretación geométrica. En el gráfico siguiente, se observa que cuando el punto B imaginariamente se aproxima al punto A, la secante se transforma en tangente y ∆x en cero, es decir los puntos A y B se confunden. B

Y

∆Y

A C

∆X

x Reemplazando

∆y por su valor: ∆ y = Y 1 - Y; obtenemos en la expresión

matemática de la derivada: dy ∆y = lim = dx ∆x ∆x → 0 Además por ser

f (x 1) = y1

y

lim

y1 − y

∆x ∆x → 0

f (x ) = y

según el gráfico Nº 02 y

reemplazando en la ecuación anterior, obtenemos: f ( x1) − f ( x ) dy = lim dx ∆x ∆x → 0

∆x = x1 - x

Pero además Despejando x1:

x1 = x + ∆x

. Obteniendo finalmente la

definición de la derivada: f ( x + ∆ x) − f (x ) dy = lim dx ∆x ∆x → 0

…(1)

__________________________________________________________________________________________________________


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Por lo que, geométricamente, la derivada se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto determinado. Notación. La derivada de una función se denota por: f '(x) =

dy dx

3.3. DEDUCCIÓN DE REGLAS DE DERIVACIÓN Para deducir algunas reglas de derivación aplicaremos la definición de la derivada (Expresión 1). Esto es: a.

Sea

f(x)= x

:

Función identidad

Luego, al aplicar la definición de la derivada (Expresión 1), obtenemos: dy (x + ∆ x ) − x ∆x = lim = lim dx ∆x ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 Después de simplificar y calcular el límite, se obtiene: dy = 1 dx ¿Cuál es la interpretación del resultado? Que si la función es b)

Se

f(x) = x

su derivada es

dy = 1 dx

f (x) = x2

Reemplazando en la fórmula general (1).

( dy x + ∆ x ) 2 − x2 = lim dx ∆x ∆x → 0 Desarrollando el binomio y simplificando x2: __________________________________________________________________________________________________________


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2 2 2x ∆ x + ∆ x 2 dy x 2 + 2x ∆ x + ∆ x − x = lim = lim dx ∆x ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 Factorizando ∆x en el numerador y simplificando con el denominador. ∆ x (2 x + ∆ x) dy = lim = lim 2 x + ∆ x dx ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 Calculando el límite obtenemos finalmente: dy = 2x dx Interpretación: Si la función es f (x) =

x2 su derivada es

2x

Ahora se puede llevar a una generalización : Si f (x ) = x 3

Si

su derivada será

f (x ) = x 4

dy = 3x2 dx

su derivada será

dy = 4x3 dx

De donde: f ( x ) = xn, entonces dy/dx = nxn - 1

Si

c) Derivada de una función Constante. Si

f (x ) = c ;

c= Constante, entonces:

f ( x + ∆ x ) − f (x ) c− c dy 0 = lim = lim = = 0 dx ∆x ∆x ∆x ∆x→0 ∆x→0 Esto significa que la derivada de una constante o número, por ejemplo: - 3, - 5, 1, 10, 50, siempre será cero. Puesto que, el gráfico de una función constante es una recta paralela al eje x, por ser su ángulo cero, su tangente cero, su pendiente cero y por lo tanto su derivada. d) Derivada de una Constante por x __________________________________________________________________________________________________________


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Sea la función f (x ) = c x ; donde: c= Constante Aplicando la fórmula general y realizando operaciones: c (x + ∆ x) − cx c x + c∆ x − cx dy = lim = lim dx ∆x ∆x ∆x→0 ∆x→0 c∆ x dy = lim = c dx ∆x ∆x→0

Simplificando cx

Simplificando Δx

Interpretación: Esto significa que si una función es por ejemplo: - 3x, 8x, 10x, 12x, sus derivadas respectivas serán: - 3, 8, 10, 12. Resolvamos, ahora, el siguiente ejercicio: Aplicando la definición de la derivada, hallar la pendiente de la recta tangente a la función f(x)=4-x2 en el punto xo=3;

es decir, hallar f'(3)

En Efecto Definición de la derivada: f ' ( x 0 ) = lim h→ 0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h

También se usa: h = ∆x Luego, para el caso solicitado se tiene: f ' (3) = lim h→ 0

f (3 + h) − f (3) ............(1) h

Como: f ( x ) = 4 − x 2 , entonces f (3) = 4 − 9 = − 5....................( 2) f (3 + h ) = 4 − (3 + h ) 2 = 4 − 9 − 6h − h 2 = − 5 − 6h − h 2 ...............(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1): f ' (3) = lim h→ 0

− 5 − 6h − h 2 + 5 , de donde h

__________________________________________________________________________________________________________


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f ' (3) = lim h→ 0

h( − 6 − h) = lim = − 6 h→ 0 h

Por lo tanto: f ' (3) = − 6 3.4. REGLAS DE DERIVACIÓN

Sean u(x) , v(x) y w(x) funciones de x; c una constante, luego se tienen las siguientes reglas de derivación: 1)

2)

3) 4)

d ( x )=1 dx d (c ) = 0 dx d n n-1 (X ) = n x dx d (cx) = cx dx

d (u ) = nu dx n

5)

n− 1

du = n u n− 1 u ' dx

Función Compuesta

Donde u ' es la derivada de u respecto de x 6)

d (u ) d (v) d ( w) du dv dw + − = + − dx dx dx dx dx dx

7)

dy dy du = . dx du dx

8)

d (uv) dv du = u + v = uv'+ vu ' dx dx dx

__________________________________________________________________________________________________________


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La derivada de un producto de dos funciones: es la primera función, por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera". Ejemplo

y = (4 x + 1)(10 x 2 − 5)

Derivar Solución u = (4 x + 1)

→ u'= 4

v = (10 x − 5) → v ' = 20 x Aplicando la fórmula No 08, del producto de dos funciones : dy = uv '+ vu ' = (4 x + 1)20 x + (10 x 2 − 5)4 dx Efectuando operaciones y simplificando dy = (4 x + 1)20 x + (10 x 2 − 5)4 = 80 x 2 + 20 x + 40 x 2 − 20 dx dy = 120 x 2 + 20 x − 20 dx 2

9)

d (u / v) = dx

v

du dv vu '− uv' −u = 2 dx dx

v

2

v

La derivada de un cociente de dos funciones es: la segunda función (v) por la derivada de la primera, menos la primera función (u) por la derivada de la segunda, entre la segunda función (v) al cuadrado. Ejemplo Derivar:

y=

(4 x 2 + 1) (2 x − 3)

y=

u v

Solución

__________________________________________________________________________________________________________


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u = (4 x 2 + 1) → u ' = 8x v = (2 x − 3) → v' = 2 Aplicando la fórmula No 09, del cociente de dos funciones : dy vu '− uv ' (2 x − 3)8 x − (4 x 2 + 1)2 16 x 2 − 24 x − (8 x 2 + 2) = = = dx v2 (2 x − 3) 2 (2 x − 3) 2 Efectuando operaciones y simplificando dy 8 x 2 − 24 x + 2 = dx (2 x − 3) 2

10)

d (ln u ) 1 = dx u

du 1 = u' dx u

ln: Logaritmos Neperianos Ejemplo Derivar:

y = ln(3 x 2 − 4)

Solución

y = ln(3x 2 − 4) → u = (3x 2 − 4) → u ' = 6 x Aplicando la fórmula No 10 del log aritmo natural : dy 1 du 1 1 6x = = u'= (6 x) = 2 2 dx u dx u (3x − 4) (3x − 4)

d (e ) du = e u u' = e dx dx u

11)

u

e: Base de los logaritmos naturales (2,718) Ejemplo Derivar:

y = e− 3x

Solución

__________________________________________________________________________________________________________


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y = e− 3x

→ u = − 3x

→ u'= − 3

Aplicando la fórmula exp onencial No 11 dy = eu du = eu u ' = e − 3 x (− 3) = − 3e − 3 x dx

Ejemplos de aplicación Derivar y verificar la solución aplicando las reglas respectivas: 1)

y = 3 x 5 − 2 x − 3 + 4 x1

2

+1

Derivada de un polinomio

Solución: y ' = 15 x 4 + 6 x − 4 + 2 x − 1 / 2

Por sup uesto que : dy y' = → Es p r imera derivada o f '( x) dx 2

x −1 2) y = x2 + 2

Derivada de un cociente

Solución:

y' = 3)

6x ( x 2 + 2) 2

y = ( x 2 + 1)( x 2 − 1)

Derivada de un producto

Solución:

y ' = 4x 3

4)

y = ( x2 −

2 x)( x 2 + 1)

Derivada de un producto

Solución:

y' = 4x3 − 6x 2 + 2x − 2 __________________________________________________________________________________________________________


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FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN __________________________________________________________________________________________________________ −3x 5) y = exponencial

e

2

Derivada

de

una

función

Solución: y ' = - 6 xe − 3 x 2

x2 + 4x f ( x) = x− 7

6)

Derivada de un cociente

Solución: x 2 − 14 x − 28 y' = ( x − 7) 2 3.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Al aplicar las derivadas es necesario hallar más de una derivada de una función. Esto es, si queremos hallar la segunda derivada entonces debemos derivar otra vez la primera derivada. Si derivamos otra vez la segunda derivada, se obtendrá la tercera derivada y así sucesivamente. Así tenemos: Sea la función y = f(x) , luego: y'=

dy dx

: Primera derivada

y '' =

d2y dx 2

: Segunda derivada

d3y y ''' = dx 3

: Tercera derivada

. . . . yn =

dny = f n(x) ; n-ésima derivada n dx

Evaluación de derivadas Para evaluar derivadas tener en cuenta la siguiente notación: __________________________________________________________________________________________________________


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f n (x )

o

f n(xo)

x=x0 Cuyo significado es, evaluar la n-ésima derivada de la función f ( x ) en el punto x = x0 Ejemplo 1 Sea:

f ( x) = x 4 − 2 x 3 + 4 x

Hallar:

f ' ' ( x)

X = -1 Solución Hallamos primera derivada: f ' ( x) = 4 x 3 − 6 x + 4

Hallamos la segunda derivada: f ' ' ( x ) = 12 x − 6

Finalmente, evaluamos la segunda derivada en x = -1 f ' ' ( − 1) = 12( − 1) − 6

Ejemplo 2 Para cada función hallemos su segunda derivada: a)

f ( x) = 2 − 2 x 3 y” = -12x

b)

f ( x) = 3 x 3 − 3 x y” = 18x

c) f ( x ) = 2 x 3 + 2 x 2 − 16 x + 1 y” = 12x + 4 = − 18

__________________________________________________________________________________________________________


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3.6. APLICACIONES DE LA DERIVADA 3.6.1. Razón de cambio Sea la función

y=f(x),

la relación funcional establece una cierta noción

dinámica, en el sentido que, si la variable independiente x sufre un cambio, esto determina un cambio también en la variable dependiente y. Estos cambios son posibles de medición y comparación, como resultado de aplicar la derivada. Ejemplo La relación entre las ventas V y el costo de publicidad P para un producto está dado por: V = 4 (P2 - P) Hallar la rapidez de cambio en las ventas, para un costo de publicidad P = 5000 soles: Solución Relación entre V y P: Razón de cambio:

V(P)=4 (P2-P)

dV dP

Nos piden, calcular la primera derivada y evaluar en P= 500. Esto es: dV dP

P = 500

= 4(2 P − P )

P = 500

= 4(2(500) − 1) = 39996

Rspta. Para un costo en publicidad de 5000 soles la rapidez de cambio en las ventas es de 39 996 soles. 3.6.2. Análisis de crecimiento y decrecimiento Esta aplicación está orientada a reconocer cuando y dónde una función es creciente o decreciente, lo cual es importante para el tema de máximos y mínimos, que será abordado más adelante. Consideremos las siguientes gráficas:

__________________________________________________________________________________________________________


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f(x)

f(x)

(1)

x

(2)

x

f(x) (3)

f(x)

x

(4)

x

Al trazar las gráficas de izquierda a derecha, se observa que en (1) y (4) la función crece en un cierto intervalo. Mientras que en (2) y (3) la función decrece en un cierto intervalo. Definición. Si la función f(x),

derivable en un

intervalo, crece en dicho

intervalo, entonces su primera derivada es positiva; y si la función decrece, entonces la primera derivada es negativa. Ejemplo Sea f una función definida por

f(x)=x2

Hallar los intervalos en donde f es creciente o decreciente. Solución Bastará encontrar la primera derivada, esto es: f’(x)=2x Aplicando la definición, tenemos: 1) f’(x) > 0 si 2x>0 de donde x > 0 Entonces f es creciente en (0,+ ∞ ) 2) f’(x) < 0 si 2x<0 de donde x < 0 Entonces f es decreciente en (- ∞ ,0) __________________________________________________________________________________________________________


58


CÁLCULO SUPERIOR


3.6.3. Valores extremos de una función Una de las aplicaciones más importantes de la derivada es el estudio de los valores extremos (máximos y mínimos) de una función. Lo cual es gran utilidad, como por ejemplo para determinar el costo mínimo de cierto producto o calcular una utilidad máxima. Valor máximo. La función f(X) tiene un valor máximo en x1, si su valor aquí es mayor que en cualquier otro punto x de cierto intervalo que comprenda el punto x1. Valor mínimo. La función f(X) tiene un valor mínimo en x2, si su valor aquí es menor que en cualquier otro punto x de cierto intervalo que comprenda el punto x2. Criterios para determinar los valores extremos: Criterios de análisis de los máximos y mínimos de una función: A. Criterio de la primera derivada Sea la función derivable

y=f(x), luego:

1. Hallar f'(x) 2. Hallar los puntos críticos c de f'(c) = 0 3. Efectuar análisis del signo de la derivada, tal como sigue:  f ′ ( x) > 0, para x < x1 i ) Si  ⇒ enx1 , la función tiene máximo ′ f ( x ) < 0 , para x > x 1   f ′ ( x) < 0, para x < x1 ii ) Si  ⇒ enx1 , la función tiene mínimo  f ′ ( x) > 0, para x > x1 1. Calcular los valores de la función f(x) para cada punto crítico. B. Criterio de la segunda derivada Supóngase que existe f''(x) en algún intervalo abierto que contiene al punto crítico c y que f'(c)= 0 entonces: i) Si f''(c) > 0 , entonces f(c) es un valor mínimo relativo en x=c __________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


ii) Si f''(c) < 0 , entonces f(c) es un valor máximo relativo en x=c Consideraciones para hallar valores extremos de una función Cuando un punto, en el grafico de una función es un máximo o un mínimo su derivada es cero. Esto es: a) En un Máximo: La derivada

dy = 0 pues la pendiente de la recta tangente dx

es m = 0 Recordemos que: “La derivada de una función, representa la pendiente de la recta tangente al gráfico de una función en un punto dado”

Máximo m=0 m =⊕

m=-

x

Izquierda

Derecha

Punto Crítico

Grafico Nº 01 __________________________________________________________________________________________________________


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En el gráfico Nº 01 a la izquierda del punto crítico (x) donde hay un máximo, la pendiente de la recta es positiva m = + y a la derecha del punto crítico (x), la pendiente es negativa m = -

b) En un Mínimo: También

dy = 0 pues la pendiente de la recta es m = 0 dx

Mínimo

m=-

m =+

m=0

x

Izquierda

Derecha

Punto crítico

Grafico Nº 02 En el gráfico Nº 02, a la izquierda del punto crítico (x ), la pendiente de la recta es negativa m = - y a la derecha del punto crítico (x ), la pendiente de la recta es positiva m = + Ejemplo Hallar los valores máximos y mínimos de la función: 4 y = x 4 + x3 − 4 x2 3 Solución Aplicando criterio de la primera derivada. 1er paso: Derivar la función dada: dy 4 = 4x 3 + ( 3 ) x 2 − 4 ( 2 ) x dx 3

y = x4 +

4 3 x − 4 x2 3

Efectuando las operaciones

__________________________________________________________________________________________________________


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dy = 4 x 3 + 4 x 2 − 8x dx

Derivada de la función

2do paso: Igualar a cero la derivada dy = 0 dx Pues en los máximos y mínimos de una función sus derivadas son cero, luego: 4 x 3 + 4x 2 − 8x = 0 3er paso: Hallar los puntos críticos Para ello, resolvemos la ecuación anterior: 4 x 3 + 4x 2 − 8x = 0 Factorizando

4 x (por ser factor común)

2 4x ( x + x − 2 ) = 0 4 x ( x + 2 ) ( x − 1) = 0 Igualando a cero cada factor:

De donde

4x = 0 ↓

( x + 2 ) ( x − 1) = 0 x + 2 = 0 x − 1= 0 ↓ ↓

x1 = 0

x2 = − 2

x3 = 1

Ahora debemos formular las siguientes preguntas: ¿Qué representan x = 0, x = -2, x = 1? ¿Máximos ó Mínimos? El siguiente paso permite responder a las preguntas 4to paso: Para cada punto crítico, se dan valores supuestos: a) Primero ligeramente menor (a la izquierda). b) Luego ligeramente mayor (a la derecha). Para x = 0 Menor que cero: x = − 0,5

(Negativo)

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


Se reemplaza en la derivada y se determina su signo (valor de la pendiente). dy = 4 x ( x + 2 ) ( x − 1) dx

dy = (4)(− 0,5)(− 0,5 + 2)(− 0,5 − 1) dx dy = (− 2)(+ 1,5)(− 1,5) dx El producto resultante de los signos es positivo: dy = ( − )( + )( − ) dx

Por lo que, pendiente = Mayor que cero: x = 0,5

dy = ⊕ dx

(Positivo)

dy = 4 x ( x + 2 ) ( x − 1) dx

dy = (4)(0,5)(0,5 + 2)(0,5 − 1) dx dy = (2)(2,5)( − 0,5) dx El producto resultante de los signos es negativo: dy = (+ ) (+ ) (− ) dx dy = (− ) Por lo que, pendiente = dx Tener presente que sólo interesa el signo y no el valor Conclusión: Según el gráfico Nº 01, la pendiente cambia de más a menos y por lo tanto x = 0 representa un máximo.

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


Para x = 1, siguiendo el mismo procedimiento, consideremos valores menor y mayor que 1. Menor que 1:

x = 0,5

Se reemplaza en la derivada y se determina su signo (valor de la pendiente).

dy = 4 x ( x + 2 ) ( x − 1) dx dy = (4)(0,5)(0,5 + 2)(0,5 − 1) dx dy = (2)(2,5)(− 0,5) dx

Por lo que, Mayor que 1:

x

dy = (+ ) (+ ) (− ) dx dy = ( − ) Negativa pendiente= dx

= 1,5 Se reemplaza en la derivada y se determina su signo (valor de la pendiente).

dy = 4 x ( x + 2 ) ( x − 1) dx

dy = (4)(1,5)(1,5 + 2)(1,5 − 1) dx dy = (6)(3,5)(0,5) dx dy = (+ ) (+ ) (+ ) dx dy = ( + ) Positiva Por lo que, pendiente = dx

Conclusión: Según el gráfico Nº 02, la pendiente cambia de menos a más y por lo tanto x = 1 representa un mínimo.

Para x = - 2, de igual forma tomando valores menor y mayor que x= -2 Menor que -2:

x = − 2,5

__________________________________________________________________________________________________________


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dy = 4 x ( x + 2 ) ( x − 1) dx dy = 4 ( − 2,5 ) ( − 2,5 + 2 ) ( − 2,5 − 1) dx dy = ( − 10 ) ( − 0,5 ) ( − 3,5 ) dx dy = (− ) (− ) (− ) dx dy Pendiente = = (− ) dx Mayor que -2:

x = − 1,5

dy = 4 x ( x + 2 ) ( x − 1) dx dy = 4 ( − 1,5 ) ( − 1,5 + 2 ) ( − 1,5 − 1) dx dy = ( − 6 ) ( 0,5 ) ( − 2,5 ) dx dy = (− ) (+ ) (− ) dx Pendiente =

dy = (+ ) dx

Conclusión: x = - 2, representa un mínimo, pues la pendiente cambia de menos a más. 5to paso: Después de hallar los puntos críticos es necesario hallar la ordenada, reemplazando los puntos críticos en la función original: 4 4 3 2 y = x + x − 4x 3 4 4 x 3 − 4x 2 = 0 Si x = 0 entonces y = x + 3 4 4 (1) 3 − 4 (1) 2 = − 5 Si x = 1 entonces y = ( 1) + 3 3 Si x = - 2 entonces

y = (− 2 ) 4 +

4 32 ( − 2 )3 − 4 ( − 2 ) 2 = − 3 3

6.- Finalmente tenemos que: (0, 0)

Es un máximo

__________________________________________________________________________________________________________


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(1, - 5/3) ( - 2, - 32/3)

Es un mínimo Es un mínimo

7.- Su gráfica es: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11

Aplicando el Criterio de la Segunda Derivada Resulta muchas veces engañoso hallar valores mayores y menores que los puntos críticos, por lo tanto, se puede aplicar la segunda derivada, para hallar los máximos y mínimos de una función. Trabajemos con el mismo ejemplo anterior: 4 4 3 2 Hallar los máximos y mínimos de la función y = x + x − 4 x aplicando 3 criterio de la segunda derivada. Solución 1º

Derivar la función dada: 4 y = x 4 + x 3 − 4x 2 3

__________________________________________________________________________________________________________


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dy = 4x 3 + 4x 2 − 8x dx 2º

Igualar a cero la derivada hallada: 4 x 3 + 4x 2 − 8x = 0

3º

Hallar los puntos críticos de x, resolviendo la ecuación resultante: 4 x 3 + 4x 2 − 8x = 0 4 x  x 2 + x − 2  = 0   4 x ( x + 2 )( x − 1) = 0 = −2 x= 1 2 Hasta aquí los pasos son los mismos que en la primera derivada. x1 = 0

4º

x

Hallar la segunda derivada de la función: d2 y = 12 x 2 + 8 x − 8 2 dx

5º

Reemplazar los puntos críticos en la segunda derivada: a) Si el signo resultante es POSITIVO es un MINIMO b) Si el signo resultante es NEGATIVO un MAXIMO.

Para d2y dx 2

x= 0 = 12 x 2 + 8 x − 8 = 12(0) 2 + 8(0) − 8 = − 8

d2y = − 8 (Signo Negativo) dx 2 Por lo tanto, para x = 0 tenemos un máximo. Para d2y dx 2

x = -2 = 12 x 2 + 8 x − 8 = 12(− 2) 2 + 8(− 2) − 8 = 24

__________________________________________________________________________________________________________


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d2 y = ⊕ dx 2

(Signo Positivo) Por lo tanto, para x= -2 tenemos un mínimo.

Para x = 1 d2y = 12 x 2 + 8 x − 8 = 12(1) 2 + 8(1) − 8 = 12 dx 2 d2 y = ⊕ dx 2

(Signo Positivo) Por lo tanto, para x= 1 tenemos un mínimo.

6º

Hallar los valores de la ordenada para cada punto crítico, en la función original. y = x4 +

4 3 x − 4x 2 3

Si

x = 0 entonces

SI

x = -2 entonces

Si

x = 1 entonces

y = 0 32 y= − 3 5 y= − 3

7º

Su Gráfica Sería la misma dada anteriormente. Nota. A fin de orientar el uso de los criterios es necesario tener presente lo siguiente: Si la función es de tercer grado o mayor, debe utilizarse de preferencia el criterio de la segunda derivada y, si es de segundo grado, debe utilizarse el criterio de la primera derivada. 3.6.4. Concavidad y convexidad de una función. Punto de inflexión La curva y=f(x) es cóncava hacia arriba en el intervalo (a, b), si todos los puntos de la misma están por debajo de cualquier tangente a la curva en dicho intervalo La curva y=f(x) es cóncava hacia abajo en (a, b), si todos los puntos de la misma están por arriba de cualquier tangente a la curva en dicho intervalo __________________________________________________________________________________________________________


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Si la segunda derivada de la función f(x) es negativa en todos los puntos del intervalo (a, b) es decir f''(x)<0, entonces la curva es cóncava hacia arriba( llamada cóncava) en dicho intervalo. Si la segunda derivada de la función f(x) es positiva en todos los puntos del intervalo (a, b) es decir f''(x)>0, entonces la curva es cóncava hacia abajo(llamada convexa) en dicho intervalo. El punto que, en una curva continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la curva. Teorema. Sea y=f(x) la ecuación de una curva. Si f''(a)=0 ó f''(a) no existe, y la segunda derivada f''(x) cambia de signo al pasar por el valor x=a, entonces el punto de la curva de abscisa x=a es el punto de inflexión. En la siguiente gráfica 7 6 5 4 3 2 1 −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

−1 −2 −3 −4 −5 −6

Apreciamos que: -La curva es cóncava hacia abajo en el intervalo (-2,0) -La curva es cóncava hacia arriba en el intervalo (0,2) - (0,1) es el punto de inflexión. Ejemplo Para la función f(x)=12-12x+x3, hallar los intervalos de concavidad y su punto de inflexión. Además graficar: Solución Primera derivada: f’(x)=-12+3x2 __________________________________________________________________________________________________________


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Segunda derivada: f’’(x)= 6x Luego, la curva es cóncava hacia arriba o cóncava si: f’’(x)>0 ⇒ 6x > 0

⇔ x〉 0

De donde, el intervalo donde la curva es cóncava es: (0, + ∞ ) Además, la curva es cóncava hacia abajo o convexa si f’’(x)< 0

⇒

6x < 0

⇔

x<0

De donde, el intervalo donde la curva es convexa es: (- ∞ ,0) La función si tiene un punto de inflexión, pues hay un cambio de concavidad, obteniendo dicho punto de inflexión: f’’(x)=6x=0

⇔ x = 0 . Reemplazando en la función se obtiene y =

12 Por lo tanto, el punto de inflexión es (0,12) Gráficamente:

y -2 f

- 12

-2

0

2

-x

-4

Además ¿Será cierto que (-2,2) es su punto máximo y (2,-4) es su punto mínimo? ¡Verifíquelo! 3.6.5. Aplicación a las ciencias económicas __________________________________________________________________________________________________________


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En las ciencias económicas el sinónimo de derivada es marginal; de allí que, si definimos por: Costo total: C(x)

entonces C’(x)

es costo marginal

Ingreso Total: I(x) entonces I’(x) es ingreso marginal. Además el costo __

promedio o costo por unidad se define por C ( x) =

C ( x) x

De otro lado, el valor mínimo del costo promedio es obtenido de la igualdad: __

C ( x) = C ' ( x)

Ejemplo 1 Dada la función costo total: C ( x) = 50 x + 200 Hallar costo marginal y costo promedio. Solución Costo Total: C ( x) = 50 x + 200 Luego, Costo Marginal: C ' ( x ) = 50 __

Costo Promedio: C ( x ) =

C ( x ) 50 x + 200 = x x

Ejemplo 2 Para la siguiente función de costo promedio: __

C ( x ) = 25 − 8 x + x 2

Hallar costo total, costo marginal y valor mínimo del costo promedio Solución __

Dato: C ( x) = 25 − 8 x + x 2 __

Como C ( x) =

__ C ( x) Entonces el costo total: C ( x) = x. C ( x) x

C ( x ) = x (25 − 8 x + x 2 )

= 25 x − 8 x 2 + x 3

Luego, costo marginal: C ' ( x ) = 25 − 16 x + 3 x 2 Hallando valor mínimo del costo promedio __________________________________________________________________________________________________________


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FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN __________________________________________________________________________________________________________ _

Como C ( x ) = C ' ( x ) Reemplazando: 25 − 8 x + x 2 = 25 − 16 x + 3 x 2 De donde

2 x 2 + 8x = 0

2 x( x − 4) = 0

⇒ x1 = 0 x2 = 4

Evaluando en función costo promedio: __

C ( x) = 25 x1 = 0

y

__

C ( x)

= 9 x2 = 4

Por lo tanto Valor mínimo del costo promedio es 9 3.7 DERIVADAS PARCIALES (Derivadas de funciones de varias variables) Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función z = f(x, y) con respecto a la variable independiente x al siguiente límite, si existe y es finito: f ( x + ∆ x, y ) − f ( x , y ) ∂z = lim = f x' ( x, y ) ∆ x → 0 ∂x ∆x Suponiendo y constante. Se llama derivada parcial de una función z = f(x, y) con respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito: f ( x , y + ∆ y ) − f ( x, y ) ∂z = lim = f y' ( x, y ) ∆ y → 0 ∂y ∆y Suponiendo x constante. Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando. Ejemplos 1. Aplicando la definición, hallaremos las derivadas parciales de la función f(x, y) = x2 y3 __________________________________________________________________________________________________________


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Solución Considerando y como una constante, tenemos: f ( x + ∆ x , y ) − f ( x, y ) ∂f = lim = ∆ x → 0 ∂x ∆x

lim h→ 0

( x + h) 2 y 3 − x 2 y 3 = h

lim h→ 0

(2 xy 3 + hy 3 ) = 2 xy 3

Considerando x como una constante, tenemos: f ( x , y + ∆ y ) − f ( x, y ) lim x 2 ( y + h) 3 − x 2 y 3 ∂f = lim = h→ 0 = ∂ y ∆ y→ 0 ∆y h 2. Dada la función z definida por:

lim h→ 0

(3 x 2 y 2 + 3x 2 yh + x 2 y 3 ) = 3 x 2 y 2

z = x 3 − 3 y 2 + 5 xy + x − 2 y + 5 ∂z ∂z y aplicando las reglas de derivación, que es la forma ∂x ∂y más práctica de calcular las derivadas parciales. Hallaremos

Solución Considerando y como una constante, tenemos: ∂z = 3x 2 + 5 y + 1 ∂x Considerando x como una constante, tenemos: ∂z = − 6 y + 5x − 2 ∂y Evaluación de derivadas parciales Dada la función: ∂ nz ∂ xn ∂ nz ∂ yn

, y0)

o

f xn ( x0 , y 0 )

, y0)

o

f yn ( x0 , y 0 )

( x0

( x0

z = f(x, y),

las siguientes notaciones:

__________________________________________________________________________________________________________


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Expresan las enésimas derivadas parciales de la función dada con respecto a x y con respecto y evaluadas en el punto (xo, yo), respectivamente. Ejemplo Para la función z = x 3 − 3 y 2 + 5 xy + x − 2 y + 5 dada en el ejemplo 2 anterior, 1 y b ) f y2 (− 2, 3) calcularemos: a ) f x (1, 2) Solución 1 a) Nos piden f x (1, 2) , es decir hallar la primera derivada parcial con respecto a x, y evaluar el resultado en el punto (1, 2).

1 Como: f x =

obtenemos:

∂z = 3x 2 + 5 y + 1 , ∂x

luego evaluando el resultado en (1, 2)

f x1 (1, 2) = 3(1) 2 + 5(2) + 1 = 14 2 b) Piden f y (− 2, 3) : evaluar la segunda derivada parcial con respecto a y en el punto (-2, 3).

Primera derivada parcial:

∂z = − 6 y + 5x − 2 ∂y

2 Segunda derivada parcial: f y =

2 Finalmente: f y (− 2, 3) =

∂ 2z ∂ y2

( − 2 , 3)

∂ 2z = − 6 ∂ y2 = −6

AUTOEVALUACIÓN 1.

Dada la función: Calcular A) 2

2.

f (x) = x2 - 2x + 1 f ′(2) B) 5

C) -2

Respecto a la función g(t) = t3 + 2t2 + 4t Se afirma que: 1) g′ (2) = 24 2) g′′(1) = 4) Con ciertas:

D) 4

E) 3

3) g′′′ (0) = 6

__________________________________________________________________________________________________________


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3.

A) 1 y 2 B) Solo 1 C) 1 y 3 D) Todas Dada la función: g(t) = e 2t (t 2 − 4t ) La primera derivada evaluada en t = 0 es igual a: A) 2

4.

C) -2

D) -4

E) 3

D) 40

E)-30

Dada la función: Calcular A) 20

5.

B) 5

E) N.A.

D( p ) = 100 − 5 p 2 + p 3 D′′(10) B) 50

C) -10

Para una pequeña empresa manufacturera, la utilidad de producir y vender diariamente x artículos, es descrita por: U(x) = 1800 + 40x – 4x2. Luego ¿Cuántos artículos deberán producirse y venderse diariamente para obtener la máxima utilidad? y ¿Cuál es esa utilidad?

A) 6 y 1900 B) 5 y 2400 6. Dada la función:

C) 5 y 1900

D) 4 y 2800

E) 10 y 1600

z= f(x, y)= 2x3y2 – 4x2 + 3y2 – 4xy ∂ 2z Calcular: ( − 2,1) ∂ y2 7. En los paréntesis escriba V si el enunciado es verdadero y F si es falso. a. f(x) = x2 es creciente en (- ∞, 0) ( ) 2 b.f(x) = -x es decreciente en (0, + ∞) ( ) 8. Respecto a la función f(x) = 10 – 12x + x3 se afirma: 1. Tiene valor mínimo en x = 2 2. Tiene valor máximo en x = 3 3. Su punto de inflexión es (0, 12) Son ciertas: A) 1 y 2 B) 1 y 3 C) 2 y 3 D) Sólo 1. E) N.A. 9. Para una pequeña empresa el ingreso diario de vender x artículos es descrito por la función: I(x) = 24x – 3x2. Luego ¿Cuántos artículos deberá vender diariamente y así obtener el ingreso máximo? A) 3

10.

A) 10

11.

B) 5

C) 4

D) 8

E) 10

Para la función costo promedio: C(x) = 25 – 8x + 2x2 Calcular el valor mínimo del costo promedio. B) 15

C) 20

D) 25

E) 17

La demanda de cierto producto es una función descrita por: D(t) = 10 + 80t – t2 , donde t = años. Calcular la rapidez de cambio en D cuando t = 10 A) 100

B) 60

C) 20

D) 40

E) 30

12. La oferta de cierto producto es descrita por p = 4 + 3q . Calcular el excedente del productor para q 0 = 2 2

A) 10

B) 15

C) 20

D) 16

E) 17

__________________________________________________________________________________________________________


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13. La función demanda para cierto producto está dada por p = 8 − 3q 2 . Calcular el excedente del consumidor para p 0 = 5 . A) 3

B) 2

C) 4

D) 10

E) 5

CAPITULO 4 INTEGRALES 4.1. ANTIDIFERENCIACIÓN O ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN La adición y sustracción son operaciones inversas, así como la multiplicación y la división. “La operación inversa de la diferenciación se llama antidiferenciación” Ejemplo Sea la función: y = x3 + 2x + 5 Su derivada es:

dy = 3x 2 + 2 dx

Que se puede expresar en términos diferenciales de dy, dx es decir, despejando dy: dy = (3x2 + 2) dx

............. (1)

Que representa una ecuación diferencial. La antiderivada, se representa mediante el símbolo: de” En nuestro ejemplo la antiderivada de (1) será:

∫ dy = ∫ (3x

2

∫

y se lee “antiderivada

)

+ 2 dx

y = x3 + 2x + 5 Que representa la función original Ejemplo Si se derivan las funciones: __________________________________________________________________________________________________________


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a) y = x2 + 5

b) y = x2 - 3

Se obtiene: dy = 2x dx

dy = 2x dx

Observar que sus derivadas son idénticas, pues las derivadas de 5 y -3 son cero (constantes). Al expresar en términos diferenciales, se obtiene: dy = 2x dx

dy = 2x dx

y sus antiderivadas:

∫ dy = ∫ 2 xdx

∫ dy = ∫ 2 xdx

y = x2 + c

y = x2 + c

Un valor particular de c (constante) se obtiene cuando se da una condición inicial. “En general, cada vez que se obtiene una antiderivada se debe agregar una constante” ¿Por qué? Pues al derivar una función que tienen constantes, es decir números libres de variables, se obtiene cero. Estas constantes deben reponerse en la antiderivada. De allí que, la antidiferenciación es el proceso de encontrar la antiderivada más general de una función dada. Ejemplo La antiderivada de:

∫ 3x dx = 2

x3 + c

d 3 ( x + c) = 3x 2 dx

Pues la derivada de:

Lo cual nos lleva a la siguiente expresión general:

∫

f ( x )dx = g ( x) + c

__________________________________________________________________________________________________________


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Donde: al derivar g (x) se debe obtener la función f (x) Algunas fórmulas de antiderivadas: 1. Antiderivada de la diferencial de una variable Si: y=x

... (1)

dy d Pues =1 ( x) = 1 dx dx En términos diferenciales: (despejando dy) dy = dx Luego aplicando la antiderivada a cada término:

∫ dy = ∫ dx y=x+c Siendo y = x

según (1), entonces c = 0 En general se deduce:

∫ dx =

x+ c

Se lee: “La antiderivada del diferencial de x, es igual a x” 2. Antiderivada de una constante por una función: Se encuentra primero la antiderivada de la función y luego se multiplica po la constante

∫ af ( x)dx = a ∫

f ( x) dx = ag ( x) + c

Donde: a y c son constantes, y g (x) es la antiderivada de f (x) Ejemplos a.

∫ 3dx = 3∫ dx = 3x + c

b.

∫ − 5dx =

− 5∫ dx = − 5 x + c

3. Antiderivada de la Función Identidad x n+ 1

x __________________________________________________________________________________________________________ n Jaime Paredes Sánchez

∫

x dx =

n+ 1

+c

78


CÁLCULO SUPERIOR


d n ( x ) = nx n − 1 dx

Pues:

En la derivada de xn, el exponente multiplica a la variable x, disminuyendo en uno su exponente. En la antiderivada de xn, al exponente de la variable x se suma uno y se divide entre este nuevo exponente. Donde n ≠ -1 Ejemplos: x2 a) xdx = +c ∫ 2

Pues la derivada de

x3 b) ∫ x dx = +c 3 4 c) x 3dx = x + c ∫ 4

d x2 ( + c) = x dx 2

De igual forma

2

También

d) ∫ 3x − 2 dx = 3∫ x − 2 dx =

3x − 1 + c = − 3x − 1 + c −1

d  x3    = x 2 dx  3   d  x4  + c  = x 3 dx  4 

4. Antiderivada de una potencia

∫

n+ 1 u n u du = + c n+ 1

Donde

n ≠ 1

Esta fórmula se aplica siempre y cuando exista la derivada de la base u Ejemplos a)

∫

( x + 1 )2 d x

=

2+ 1 ( x + 1) + c 2 + 1

=

( x + 1) 3 + c 3

En este caso u = ( x + 1 ) y la derivada de u respecto de x es: __________________________________________________________________________________________________________


79


CÁLCULO SUPERIOR


du En términos de diferenciales = 1 du = d x ∴ dx Existiendo su derivada, por lo que se aplica la fórmula.

∫

b)

( 3 x + 1 )2 d x

=

En este caso u = (3 x + 1) y la derivada de u respecto de x es: du = 3 dx

∫

por lo tanto se debe multiplicar y dividir por 3 a la antiderivada:

( 3 x + 1 )2 d x

=

1 1 (3 x + 1)3 (3x + 1)3 2 (3 x + 1) 3 dx = + c = +c 3∫ 3 3 9

c) En el siguiente ejemplo:

u = (5x2 - 3)

En la Antiderivada existe: xdx .

∫

( 5 x − 3)− 4 x d x 2

=

y

du = 10x

Faltando 10, por lo tanto se multiplica y divide por 10, quedando así:

1 1 (5 x 2 − 3) − 3 1 2 −4 (5 x − 3) 10 xdx = + c= − (5 x 2 − 3) − 3 + c ∫ 10 10 (− 3) 30

4.2. LA INTEGRAL INDEFINIDA Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I, o sea F’(x)=f(x), entonces a su antiderivada más general G(x)= F(x)+C se denota por: G(x) =

∫

f ( x ) dx = F ( x ) + C ,

C = cte ⇔ F ' ( x ) = f ( x )

A la cual se llama la integral indefinida de f(x) Donde:

∫

= Signo integral

f(x)= Integrando dx = se lee diferencial de x e indica que x es la variable de integración 4.3. REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Sean u y v funciones de x; k y c denotan constantes, luego se tienen: 1)

∫ dx =

x+ c

__________________________________________________________________________________________________________


80


CÁLCULO SUPERIOR


∫ ku( x)dx = k ∫ u( x)dx

2)

∫ (u ± v )dx = ∫ udx ± ∫ vdx

3)

4)

∫

x n dx =

5)

n ∫ u du =

6)

∫e

7)

∫

8)

∫u

9)

∫u

10)

∫a

u

x n+ 1 + c, n ≠ − 1 n+ 1 u n+ 1 + c, n ≠ − 1 n+ 1

du = e u + c

du = lnu + c u 2

du 1 u = arctg ( ) + c 2 a a + a

2

du 1 u− a = ln + c 2 2a u + a − a

2

du 1 u+ a = ln + c 2 2a u − a −u

Ejemplos de Aplicación Calcular las siguientes integrales 1) 2) 3)

∫

x 2 dx =

x 2+ 1 x3 +C= + c . Se aplicó regla 4 2+ 1 3

4 4 ∫ 3x dx = 3∫ x dx =

∫ (x

2

)

+ x 3 dx = =

4)

∫ ( 2 x − 3)

2

x 2 dx +

∫

x 3 dx =

x3 x4 + C1 + + C 2 Por 3 y 4 3 4

x3 x4 + + C , donde C = C1 + C 2 3 4

dx = =

∫

3.x 5 + C . Por reglas 2 y 4 5

∫ (4 x

∫ 4x

2

2

)

− 12 x + 9 dx , desarrollando el cuadrado

dx −

∫ 12 x

= 4 ∫ x 2 dx − 12 ∫ x

dx +

∫ 9dx , por regla 3

dx + 9 ∫ dx

, por regla 2

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


= 4

x3 12 x 2 + c1 − + C 2 + 9 x + C3 , por reglas 4 y 1 3 2

4x3 − 6 x 2 + 9 x + C , donde C = C1 + C 2 + C 3 3

=

Otra forma de resolver el ejemplo 4 es aplicando adecuadamente la regla 5. Esto es:

∫ ( 2x − 3)

2

dx = ∫ μ 2 du = =

1 2 μ .2dx 2∫

1 µ3 1 3 . + C = ( 2 x − 3) + C 2 3 6

Explicación de lo efectuado: Hacemos: µ = 2 x − 3 , luego derivamos µ con respecto a x: dµ d = ( 2 x − 3) = 2 dx dx

De donde dµ = 2.dx lo cual debe estar junto a µ2. Como falta 2 agregamos y quitamos este valor. A

continuación aplicamos regla 4, finalizando al

reemplazar µ por 2x-3 Nota: Solamente se puede agregar y quitar una

constante o número, más

no variables

5.

∫e

2x

dx =

1 1 e 2 x .2dx = e 2 x + C ∫ 2 2

Explicación: Al igual que lo efectuado en el ejemplo anterior, Derivamos

dµ = 2.dx

hacemos: µ = 2x

.Como falta 2 agregamos y quitamos

este

valor,

por que así lo exige al aplicar la regla 6. 6. ∫

dx 1 3dx 1 = ∫ = ln(3 x − 4) + C 3x − 4 3 3x − 4 3

Explicación: Al igual que el ejemplo 5 hacemos: µ=3x - 4 __________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


Derivando: dµ = 3dx. Como falta 3 agregamos y quitamos este valor; pues en el numerador debe estar la 7.

∫

dx = x − 4 x + 13 2

dx

∫ ( x − 2)

2

+ 9

derivada del denominador, según la regla 7. =

1 x− 2 arctg ( )+ c 3 3

Explicación: Como en el denominador se tiene una expresión cuadrática, entonces se completó cuadrados, para luego aplicar la regla 8. 4.4. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN: INTEGRACIÓN POR PARTES Método que se utiliza para expresar una integral en otra expresión que se puede integrar más fácilmente. Para ello: Consideremos dos funciones

fyg

derivables

en x

Luego, por medio del diferencial de un producto se tiene que:

Integrando ambos miembros se tiene:

de donde

esta es la fórmula de integración por partes. Utilizando los diferenciales de las funciones, si

y

si

entonces

entonces

.

__________________________________________________________________________________________________________


83


CÁLCULO SUPERIOR


Sustituyendo en la igualdad anterior obtenemos:

Expresión final a usar No existe reglas fijas para elegir u y dv, pero es necesario tener en cuenta que al hacer una elección apropiada de u y dv, la fórmula anterior expresa la integral

en términos de otra integral

, que puede resultar más fácil de

integrar.

Si fuera más complicada que la integral dada, probablemente la selección hecha no ha sido la más adecuada. Nota. Es recomendable utilizar el método de integración por partes en integrales del tipo:

así como en las que contienen en su integrando funciones trigonométricas inversas. Ejemplos de aplicación

1. Solución

si

entonces

si dv =

dx entonces

v=

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


Note que sin afectar el resultado final, la constante C de integración puede adjuntarse cuando se lleva a cabo la última integración, y no cuando se determina v a partir de dv. En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se muestra en el siguiente ejemplo:

2. Solución si si

entonces entonces

Luego:

Ahora

y Por tanto:

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


3.

si

entonces

si

entonces v = x

Luego:

si

4.

si

entonces

entonces

Luego:

4.5. LA INTEGRAL DEFINIDA

INTRODUCCIÓN: Problema del cálculo de un área

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


Si A es el área buscada se tiene SD < A < SE Cuando el número de divisiones del intervalo [a, b] crezca indefinidamente las áreas por defecto, SD, y por exceso, SE, coincidirán y ese valor común será el área encerrada. Supongamos que f es una función continua y positiva en el intervalo [a, b].

Definición. Se llama partición de [a, b] a todo conjunto ordenado de puntos de [a, b], donde el primero es a y el último b. Es decir P={p0, p1,......,pn}

a= p0
Llamaremos diámetro de una partición P a la mayor de las diferencias pipi-1, i=1,2, ..,n Sean mi = mín f(x)], Mi = máx f(x),

x [pi-1, pi]

Definición. Llamaremos suma inferior de f para la partición P de [a, b] y escribiremos s(f.P), a:

s(f,P)=

,

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


es decir a la suma de las áreas de los rectángulos que quedan por debajo de la gráfica de f, que es una aproximación del área que encierra f (área por defecto) Análogamente suma superior, S(f, P)

S(f, P)= que geométricamente representa la suma de las áreas de los rectángulos de base (pi-pi-1) y altura Mi (área por exceso)

Proposición. Para toda partición de [a, b] se verifica

s(f,P)

S(f, P).

Demostración Evidente ya que siempre se verifica mi

Mi

Definición. Una partición Q se dice que es más fina que otra P, P Q, si todo punto de P lo es de Q.

Proposición. Si P es más fina que Q s(f, P)

s(f, Q)

S(f, Q)

S(f, P)

es decir, al aumentar el número de puntos de la partición el área por defecto aumenta y el área por defecto disminuye. (Trivial)

Definición de integral definida Consideremos una sucesión de particiones P1 diámetro (

P2 .... Pn.......donde el

) de Pn tiende a cero. Por la proposición anterior se sigue:

s(f, P1)

s(f, P2)

.....

s(f, Pn) ,,,,,

S(f, Pn)

..... S(f, P1)

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


Estas dos sucesiones al ser monótonas y acotadas son convergentes y tienden a un mismo número real, al que llamamos la integral definida de f en [a, b], se denota:

Geométricamente la integral definida mide el área comprendida entre la curva y= f(x) el eje de las X y las rectas x= a y x= b.

Observación. Para las funciones de signo no constante se llegaría a la misma definición de integral definida, aunque en esos casos la integra no representa un área. Por convenio se define

, con lo cual tiene sentido la integral

para b
Propiedades de la integral definida 1) Aditividad respecto del intervalo Si f es continua en [a, b]y c (a, b)

2) Si f es continua en [a, b] 3) Linealidad de la integral definida Si f y g son continuas en [a, b] a) __________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


b) 4) Teorema del valor medio (para integrales) Si f es continua en [a, b]

tal que:

Cálculo de la integral definida. Regla de Barrow Segundo teorema fundamental del cálculo Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y sea F una función tal que

F’(x)=f(x) ∀ x ∈ [ a, b] , entonces la integral definida de la función f desde

x=a hasta x=b, se define por

∫

b

a

b f ( x) dx = F ( x) | a = F (b) − F ( a )

Interpretación geométrica Geométricamente la integral definida se interpreta como el valor numérico o área debajo de la gráfica de la función f, desde x=a hasta x=b

y f

[ a

] b

x

Ejemplos __________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


Calculemos las siguientes integrales definidas: 1)

∫

2

1

x 3 dx =

x 4 2 ( 2 ) 4 (1) 4 1 15 |1 = − = 4− = 4 4 4 4 4

Explicación: Primero aplicamos la regla

de integración adecuada, luego

evaluamos los extremos, comenzando con el superior menos el inferior y finalmente efectuamos la diferencia. 2)

∫ ( 2

−2

)

4 x 3 5x 2 4 x − 5 x + 2 dx = − + 2 x | 2− 2 3 2 2

4 ( 2) 3 − 5 ( 2) 2 + 2( 2) −  4 ( − 2) 3 − 5 ( − 2) 2 + ( − 2 )  3 2 2 3  32  32  = − 10 + 4 −  − − 10 − 4  3  3  32 32 64 88 = − 6+ + 14 = + 8= 3 3 3 3 =

Explicación: Primero aplicamos las reglas de integración adecuadas, luego evaluamos los extremos, comenzando con el superior -que se reemplaza para toda la expresión (Recomendable) - menos el inferior también para toda la expresión -

que se reemplaza

y finalmente efectuamos diferencias y

adiciones. 3) =

∫ (e 1

0

2x

− e − 4 x )dx =

1 1 e 2 x .2dx − e − 4 x ( − 4 ) dx ∫ 2 − 4∫

1 1 1  1 2x 1 − 4x 1 1 e + e | 0 = e2 + e− 4 −  e0 + e0  2 4 4  2 4 2

1 2 1 −4 e + e − 2 4 1 e− 4 =  e 2 + − 2 2 =

1 1 1 2 1 −4 1 − = e + e − 2 4 2 4 4 1  2 

__________________________________________________________________________________________________________


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CÁLCULO SUPERIOR


Explicación: Similar a lo efectuado en el ejemplo anterior. Si se quiere un resultado numérico reemplazar е por su valor aproximado de 2,72. 4.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 4.6.1.Áreas de regiones planas 1. Sean las funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [a,b] tal que f(x) ≥ g(x)

∀ x ∈ [ a, b ]

El área de la región R limitada por las curvas y = f(x); y = g(x); las rectas x = a y x = b está dado por: AR =

∫ ( f ( x) − b

a

g ( x) ) dx

y f(x) R [ a

g(x) ] b

x

2. Si la región R es limitada por las curvas x= g(y) y x = h(y) tal que g(y) ≥ h(y) ∀ y ∈ [ c, d ] y las rectas y=d, y=d entonces el área de la región R está dada por: AR =

∫ ( g ( y ) − h( y ) )dy d

c

y d

R

c h(y) g(y)

x __________________________________________________________________________________________________________


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Nota: Para el cálculo de áreas, deberá tener muy en cuenta con respecto a que eje coordenado la encuentra. En el caso 1, se hace con respecto al eje x u horizontal y cualquier sección o parte rectangular que se tome de la región R debe ser perpendicular a dicho eje y estar dentro de la diferencia: f(x)-g(x). En el caso 2, la sección rectangular debe ser perpendicular al eje y, estando siempre dentro de la diferencia: g(y)– h(y).

Ejemplo 1 Calcular el área de la región limitada por las gráficas de: y = x2, x = 1, x = 4 y eje x Solución Al graficar las ecuaciones en el plano cartesiano se obtiene:

y

y=

R x X=1

X=4

El área de la región limitada R será calculada tomando secciones rectangulares perpendiculares al eje x (caso 1 de la definición). Dichas secciones tienen en su parte superior y = x2 y en su parte inferior y = 0 (Ecuación del eje x). Su intervalo de integración es desde x = 1 hasta x = 4, luego el área de la región limitada será igual a calcular la siguiente integral definida: __________________________________________________________________________________________________________


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AR =

∫

4

1

( x − 0)dx = 2

4

∫

1

x3 x dx = 3 2

4 1

|

4 1

=

( 4) 3 3

−

(1) 3 3

= 21

Rspta: El área de la región limitada es 21 u2 Ejemplo 2 Calcular el área de la región limitada por la parábola y=x2+4x, eje x y las rectas x=-2, x=2 Solución

y

y = x2+4x

R2

-2 R1

x

2 4

Observando la gráfica, se tiene que la región limitada es: R = R1 + R 2 Es decir necesitaremos de dos integrales; la primera de -2 a 0 y la otra de 0 a 2 Entonces: AR = AR1 + AR 2 = =

∫ (0 − ( x + 4 x ))dx + ∫ ( x + 4 x − 0)dx ∫ (− x − 4 x )dx + ∫ ( x + 4 x )dx 0

2

2

−2 0

2

−2

De donde: AR = 16 µ

2

0

2

2

0

2

(verifique)

__________________________________________________________________________________________________________


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Rspta. El área de la región limitada es: 16 µ 2

Ejemplo 3 Calcular el área de la región limitada por: y 2 = 2x − 2

y = x− 5

y

Solución

Y 4 y = x-5 R 1

5

X

-2 y2=2x-2 Al

calcular

el

área

de

la

región

R,

observamos

que

al

hacerlo respecto al eje x, se necesitaremos de 2 integrales. Con respecto al eje y, solo es necesario una integral. Calculemos el área con respecto al eje vertical o eje y Hallando intervalo de integración Despejamos x en función de y en ambas ecuaciones: x=

Igualando los resultados. De donde:

y=4 y

y2 + 2 2

,

x= y+ 5

y2 + 2 = y+ 5 2

y = -2

__________________________________________________________________________________________________________


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Luego: AR =

 y2 + 2   dy = 18 (Verifíquelo) y + 5 − ∫− 2  2  4

Rspta: El área limitada es 18µ 2 4.6.2. APLICACIONES A LAS CIENCIAS ECONÓMICAS Excedente consumidor 2 Si la función demanda es P = 11 − q

y

P0 = 2

Hallar el excedente del consumidor: Solución Para graficar estas ecuaciones en el plano cartesiano tendremos en cuenta las siguientes notaciones: P = Precio: Variable dependiente y corresponde al eje vertical q = Cantidad demandada u ofertada: Variable independiente y corresponde al eje horizontal. Por lo que, la gráfica correspondiente es la siguiente:

p P=11-q2

11 EC P=2

3

q

Al calcular el área de la región limitada EC(Excedente consumidor) con respecto al eje horizontal q, hallemos intervalo de integración: Si P=2 entonces 2=11-q2 De donde: q=3 Por lo tanto intervalo de integración desde q=0 hasta q=3 __________________________________________________________________________________________________________


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Luego: EC =

∫ (11 − 3

0

)

q 2 − 2 dq =

∫ (9 − 3

0

)

q 2 dq

q3 3 ( 3) | 0 = 9(3) − 3 3

= 9q −

3

= 18

Rspta. El excedente del consumidor es de 18 Excedente productor 2 .Si la función oferta es p = 4 + 3q

y

q0 = 2

Calcular el excedente del productor. Solución p P=4+3.q2 16 EP 4 2

q

Similar al procedimiento del problema anterior, obtemos el excedente productor (EP)por: EP =

∫ [16 − (4 + 3q )]dq 2

2

0

= 16 (Verifíquelo)

Rspta: El excedente del productor es 16. Proyección de precios

__________________________________________________________________________________________________________


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Aplicando la integral definida podemos determinar precios a un tiempo futuro conociendo los precios actuales, es decir podemos proyectar el precio de tal o cual artículo. Ejemplo Actualmente el precio de un artículo es de 620 soles. Se espera que dentro de t meses, el precio estará cambiando a una tasa de 6t2+1 soles por mes ¿Cuál será el precio del artículo dentro del 10 meses? Solución Sea P el precio Por dato:

∫ (6t 10

0

2

dP = 6t 2 + 1 entonces dt

)

+ 1 dt es el aumento del precio dentro de 10 meses.

Luego, para responder a la pregunta: P = 620 +

∫ (6t 10

0

2

)

+ 1 dt = 620 + 2010 = 2630

Rpta: El precio del artículo dentro de 10 meses será 2630 soles

AUTOEVALUACIÓN .1 Al calcular la integral : 5 3 2 2 x − 3x + x dx ∫− 2 x2 Se obtiene: A) -2 B) 5 C) 0

D) -4

E) 4

2. El precio actual de una maquinaria es de $.16400, se estima que dentro de t meses dicho precio variara a una tasa de 3t2+10 dólares por mes. Calcular precio de la maquinaria a 5 meses. A) 10850

B) 5450

C) 16575

D) 18640

E) 12460

__________________________________________________________________________________________________________


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3. Para un cierto artículo, su demanda es la descrita por p = 10 − 2q . Calcular el excedente del consumidor para p 0 = 4 A) 9

B) 5

C) 10

D) 8

E) 12

4. En los paréntesis escriba V si el enunciado es verdadero y F si es falso. .1f(x) = x2 es creciente en (- ∞, 0)

(

)

.2f(x) = -x2 es decreciente en (0, + ∞)

(

)

5. Respecto a la función f(x) = 10 – 12x + x3 se afirma: 1. Tiene valor mínimo en x = 2 2. Tiene valor máximo en x = 3 3. Su punto de inflexión es (0, 12) Son ciertas: A) 1 y 2

B) 1 y 3

C) 2 y 3

D) Sólo 1.

E) N.A.

6. La oferta de cierto producto es descrita por p = 4 + 3q 2 . Calcular el excedente del productor para q 0 = 2 A) 10

B) 15

C) 20

D) 16

E) 17

7. La función demanda para cierto producto está dada por p = 8 − 3q 2 . Calcular el excedente del consumidor para p 0 = 5 . A) 3

B) 2

C) 4

D) 10

E) 5

8. Calcular el área de las regiones limitadas por: a) y = x 2 − 2x − 3 , eje

x,

b) y = x 3 − 2x 2 − 5x + 6 , eje

x=1 y x,

x= 3

x = −1

y

x= 2

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BIBLIOGRAFÍA 1. ESPINOZA R., Eduardo. 2004. Análisis Matemático I. Editorial Servicios Gráficos J. J. Lima – Perú. 2. ESPINOZA R., Eduardo. 2004. Análisis Matemático II. Editorial Servicios Gráficos J. J. Lima – Perú. 3. FONG L., Alejandro. Matemática para Administración y Economía. Universidad Ricardo Palma. Lima – Perú. 4. HASSER, Norman y otros. Análisis Matemático I. Editorial Trillas. México. 5. HASSER, Norman y otros. Análisis Matemático II. Editorial Trillas. México. 6. LEITHOLD, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla S. A. de C.V. México. 7. MITACC, Máximo y TORO, Luis. 2004. Tópicos de Cálculo – Volumen I. Imprenta Impoffot. Lima – Perú. 8. MITACC, Máximo y TORO, Luis. 2004. Tópicos de Cálculo – Volumen II. Imprenta Impoffot. Lima – Perú. 9. RUDIN, Walter. Principios de Análisis Matemático. Mc Graw – Hill. México. __________________________________________________________________________________________________________


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Calculo Sup 2012

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