DEBER 6 CABLE COLGANTE 1. Un cable flexible de peso despreciable soporta un puente uniforme cuyos extremos están separados 200 pies. Los soportes están a 60 pies sobre el puente y el punto más bajo del puente está a 40 pies sobre el puente. Determine la ecuación que adopta el cable.
Tomando el eje horizontal x, con origen en P:
Componentes de la tensión en P:
Dirección vertical:
Dirección horizontal:
Como el cable está en equilibrio:
Derivando:
En el puente colgante:
EDO:
Integrando:
∫ ∫ ∫ ∫ *
Condición:
2. Un cable de un puente colgante tiene sus soportes al mismo nivel, separados a una distancia de 500 pies. Si los soportes están a 100 pies más altos que el punto más bajo del cable. Encuentre la forma que adopta el cable y la pendiente de los soportes.
Ecuación del cable que soporta un puente:
En el puente colgante:
EDO:
Integrando:
∫ ∫ ∫ ∫ *
Condición:
2. Un cable de un puente colgante tiene sus soportes al mismo nivel, separados a una distancia de 500 pies. Si los soportes están a 100 pies más altos que el punto más bajo del cable. Encuentre la forma que adopta el cable y la pendiente de los soportes.
Ecuación del cable que soporta un puente:
Donde
Entonces:
Pendiente de los soportes:
Como
3. Un cable pesa
*
, cuelga de dos soportes que están a un mismo nivel y a
de separación. Si la pendiente pendiente del cable en uno de los soportes es
a. Encuentre la tensión del cable en su punto más bajo Ecuación del cable:
En los extremos:
+
* * * + √ +
b. Determine una ecuación para la curva en la cual el cable cuelga
4. Un cable tiene una densidad constante de mismo nivel separados
. Si la tensión en el punto más bajo del cable es
muestre que la tensión en los soportes está dada por:
Entonces: Además:
Ecuación del cable:
Por lo tanto:
y cuelga de dos soportes al ,
Por identidades trigonométricas:
5. Un cable de
de largo tiene una densidad constante de
. Cuelga de
dos soportes que están al mismo nivel y separados . Los soportes están por encima del punto más bajo del cable. Muestre que la tensión en el punto más bajo es:
Ecuación del cable:
+
∫ ∫ ∫ ∫ | * * +
Longitud del cable
, donde S: mitad del cable (derecha)
Tensión en el punto más bajo: En los extremos:
De (1):
En (2):
Por definición de
y
* *
Entonces:
6. Un cable de densidad
cuelga de dos soportes que están al mismo nivel y
separados 50 pies. Los soportes están a 10 pies por encima del punto más bajo del cable. Encuentre: a. La longitud del cable Ecuación del cable:
+ * ∫ ∫
Longitud del cable
, donde S: mitad del cable (derecha)
∫ ∫
| * *
b. La tensión en el punto más bajo
c.
La tensión en los soportes Por el ejercicio 6:
DEFLEXIÓN DE VIGAS
7. Una viga en voladizo uniforme de longitud L y de peso despreciable tiene una carga concentrada S en el extremo libre. Encuentre la ecuación de la curva elástica y la deflexión máxima.
S
Lado derecho:
EDO:
Condiciones:
Deflexión máxima
}
8. Una viga de longitud L y de peso despreciable está apoyada simplemente en ambos extremos. Una carga concentrada S actúa en su centro. Encuentre la ecuación de la curva elástica, la deflexión máxima, y el valor numérico de la pendiente en los extremos.
Cada soporte resiste la mitad del peso Lado izquierdo:
Momento flexionante:
* * * * * { * * * * Por simetría: lado derecho:
EDO
Integrando
si
si
Puesto que los dos valores de continuidad), tenemos
Integrando nuevamente:
Condiciones iniciales:
deben ser iguales en
(condición de
* * * * ** * * * ** * * { * * { * * * *
Condición de continuidad:
Deflexión máxima
Pendiente en los extremos
9. Asuma que además de la carga concentrada, las vigas de los ejercicios anteriores pesan w por unidad de longitud. Encuentre la ecuación de la curva elástica y la deflexión máxima, en cada caso.
Ejercicio 11:
Considerando el lado derecho:
w
S
Fuerza
Extremo Peso
Condición:
Deflexión máxima:
Distancia
Ejercicio 12:
Primer caso Lado izquierdo:
Fuerza
Distancia
Soporte Peso
Condición:
Segundo caso: Lado derecho:
Fuerza
Soporte Peso
Distancia
* * * * * * * * * * * * * * * * Condición:
Por continuidad en (1) = (3)
(2) = (4)
tenemos:
(5) = (6)
* * * * *
Primer caso:
Deflexión máxima:
Segundo caso:
10. Una viga en voladizo de longitud L y peso despreciable tiene una carga concentrada en su centro. Encuentre la ecuación de la curva elástica.
Lado derecho:
Integrando:
Condiciones iniciales:
Entonces:
* * *
11. Una viga de longitud L y peso uniforme de w por unidad de longitud tiene sus extremos horizontalmente fijos empotrados. Determine la ecuación de la curva elástica y encuentre la deflexión máxima, cuando: a. no tiene cargas externas
P
Considerando el lado izquierdo:
* * * Fuerza Distancia
Extremo Peso
Desconocido
Condición:
Condición:
Deflexión máxima:
b. actúa una carga concentrada en el centro de la viga
Primer caso: Lado izquierdo:
Fuerza
Distancia
Fuerza
Distancia
Extremo Peso
Desconocido
Condición:
Condición:
Segundo caso: Lado derecho:
Extremo
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Peso
Carga
Desconocido
Por continuidad en (1) = (3)
(2) = (4)
Condición: En (1):
* * * * * * * * Primer caso:
Deflexión máxima:
Nótese que es válido sólo para
Segundo caso:
; para
la deflexión máxima no ocurre en
12. Un extremo de una viga de longitud L y de peso uniforme de w por unidad de longitud está simplemente apoyado, mientras que el otro extremo está horizontalmente fijo. a. Encuentre la ecuación de la curva elástica
L
P
Fuerza
Soporte Peso
Condición:
Condición:
Considerando el lado derecho:
Condición:
Distancia
* * (√ )
* *
b. Muestre que la deflexión máxima ocurre a una distancia
aproximadamente, del extremo fijo y tiene una magnitud aproximada de Deflexión máxima:
Pero
√ √ √ (√ )
Deflexión máxima del extremo fijo:
Magnitud:
PÉNDULO SIMPLE
13. Las oscilaciones pequeñas de un péndulo simple tiene un período de . Determine la longitud del péndulo. Encuentre la longitud correspondiente de un péndulo simple que tiene dos veces este período. Para oscilaciones pequeñas:
Para un péndulo con el doble de período
14. El medallón de un péndulo simple de 2 pies de longitud se desplaza de manera que la cuerda del péndulo forma un ángulo de con la vertical. Si el péndulo se suelta de esta posición:
A
B
O
a) Encuentre el ángulo que la cuerda forma con la vertical en cualquier tiempo
En este caso
Solución:
Condiciones iniciales:
(√ )
b) Determine la frecuencia de la vibración
̇ ̇
c) Calcule la distancia recorrida por el medallón del péndulo durante un período
Pero:
d) Encuentre la velocidad y aceleración del medallón en el centro de su trayectoria
En el centro de su trayectoria:
MOVIMIENTO ARMÓNICO
15. Un resorte suspendido de un techo tiene una constante de
. Un peso de
se coloca en el resorte, y cuando se alcanza el equilibrio, el peso se eleva por encima de la posición de equilibrio y se suelta. Describa el movimiento dando la amplitud, período y frecuencia.
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
Cuerpo: EDO:
Problema a resolver:
Solución:
Amplitud: Período:
Frecuencia:
16. Cuando un peso al extremo de un resorte se pone en movimiento, el período es . Después de añadirle un peso de , el período es de . ¿Cuánto peso estaba originalmente en el resorte?
Pero
Entonces, la masa original:
Peso añadido:
Igualando:
√ √
17. Si se taladra un hueco a través del centro de la Tierra, uno encontraría que un objeto colocado en él está bajo la influencia de una fuerza de atracción que varía directamente con la distancia entre el objeto y el centro de la Tierra. Asumiendo que la Tierra es una esfera de 4000 millas (6436000 m) de radio: a) Encuentre el tiempo para que un objeto que se deja caer en el hueco regrese
⃗ ⃗
Desplazamiento:
En
√
Por identidades trigonométricas (
En
Pero
):
, entonces:
Período:
b) Encuentre su velocidad al pasar por el centro de l a Tierra
Pero se sabe que:
En el centro de la Tierra:
y
⁄ +
Entonces:
Pero se sabe que:
18. Un peso de de
y
está suspendido de un resorte vertical en el cual tiene una constante
. Si el peso se eleva
por encima de su posición de equilibrio y se
suelta: a. Encuentre la posición del peso en un tiempo
después y determine en cual
dirección y qué tan rápido se está moviendo el peso en este tiempo Cuerpo: EDO:
Problema a resolver:
Solución:
+ + + * Entonces:
Posición:
por encima de la posición de equilibrio.
moviéndose hacia arriba.
b. Encuentre la amplitud, período y frecuencia de la vibración
Amplitud:
Período
Frecuencia
∑
19. Una partícula se mueve a lo largo del eje x hacia el origen bajo la influencia de una fuerza de atracción en la cual varía directamente con la distancia de la partícula de la partícula está a 4 cm de O y se mueve hacia con velocidad de . En y aceleración de
a. Encuentre la velocidad y posición como una función del tiempo
Cuando
Posición:
Velocidad:
b. Encuentre la amplitud, período y frecuencia del movimiento. Amplitud:
Período:
√
Frecuencia:
20. Una partícula parte del reposo a 20 cm de un punto fijo O. Se mueve a lo largo de una línea horizontal hacia O bajo una fuerza de atracción en O la cual varía directamente con su distancia de O. En O su velocidad es a. Encuentre su velocidad y aceleración a 10 cm de O
Cuando
Entonces:
En O
Si
Entonces: Posición:
, entonces por identidades trigonométricas:
[] [] √ * *[] * Velocidad:
alejándose de O
Aceleración:
b. Determine la amplitud, período y frecuencia del movimiento Amplitud:
Período:
Frecuencia:
c.
Encuentre su posición, velocidad y aceleración después de
21. Un resorte se estira por una fuerza de 1250 dinas. Una muestra de se suspende del resorte y, después de que está en equilibrio, se hala hacia abajo y se suelta. Asumiendo que hay una fuerza amortiguadora numéricamente en dinas igual a . Encuentre la posición y velocidad en cualquier tiempo. En equilibrio:
Raíces:
+ + √ √ } *
Condiciones iniciales (
):
22. Un peso de 2 lb en un resorte lo estira . El peso se hala por debajo de su posición de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza amortiguadora en libras numéricamente igual a . Encuentre la posición del peso en cualquier tiempo. ¿El movimiento es sobreamortiguado o críticamente amortiguado? En equilibrio:
Raíces:
√ *
Condiciones iniciales (
):
El movimiento es críticamente amortiguado, ya que el amortiguamiento es tal que al disminuir se producen oscilaciones.
23. Si en el ejercicio anterior al cuerpo se le da una velocidad inicial hacia abajo de
cuando está en la posición de equilibrio. Encuentre la posición y velocidad
en cualquier tiempo y el desplazamiento máximo. En equilibrio:
Raíces:
} √ √ √
Condiciones iniciales (
):
24. Un resorte vertical con constante de
tiene suspendido un peso de 16 lb. Se
aplica una fuerza externa dada por . Se asume que actúa una fuerza amortiguadora dada numéricamente en libras por . Inicialmente el peso está en reposo en su posición de equilibrio. a. Determine la posición del peso en cualquier tiempo
EDO homogénea:
