Cálculo vectorial
M.C. Alicia E. Pérez Yebra
__________________________________________________
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Índice
Presentación
3
Introducción Unidad I
5
Actividades Actividades Unidad I
6
Introducción Unidad II
23
Actividades Actividades Unidad II
24
Introducción Unidad III
37
Actividades Actividades Unidad III
38
Introducción Unidad IV
65
Actividades Actividades Unidad IV
66
Introducción Unidad V
84
Actividades Unidad V
89
Comentarios
99
Bibliografía
100
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Presentación. La siguiente antología está diseñada para que el alumno que cursa la asignatura de CÁLCULO VECTORIAL, aprenda los contenidos temáticos que abordaremos durante el semestre. Cada actividad aborda una competencia que será una herramienta para cursos posteriores, por lo que es de vital importancia que el estudiante las realice construyendo su propio conocimiento. Una parte fundamental del presente trabajo se refiere a la resolución de problemas como un aprendizaje significativo realizado por descubrimiento, exige la transformación y reintegración del conocimiento existente para adaptarse a las demandas de una meta específica, es decir, el solucionador relaciona intencionalmente una proposición potencialmente significativa del planteamiento de un problema a su estructura cognoscitiva, con el propósito de obtener una solución significativa.
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UNIDAD 1 Álgebra de Vectores
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1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.
Vectores en el plano:
es el conjunto de vectores con números reales. Como cualquier punto en el plano se puede escribir en la forma es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector en y viceversa, sin embargo para muchas aplicaciones en física es importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y “dirección”. Definición Definición geométrica de un vector: El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se llama una representación del vector. Definición Definición algebraica algebraica de un vector: un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales . Los números a y b se llaman elementos o componentes del vector
v. El vector cero es el vector Vectores en el espacio:
Cualquier punto en el espacio se puede representar como una terna ordenada de número reales . Para representar un punto en el espacio, se comienza por elegir un punto en . Se llama a este punto el origen, denotado por 0. Después se dibujan tres rectas perpendiculares entre sí, a los que se llaman el eje x, eje y y eje z.
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Los tres ejes en nuestro sistema determinan tres planos coordenados, que se llaman plano xy, plano xz y plano yz. Teniendo nuestra estructura construida de ejes coordenados y planos podemos describir cualquier punto en de una sola manera:
Sitios sugeridos: http://www.uaq.mx/matematicas/c2/
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1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales.
¿QUÉ ES UN CAMPO? Se denomina CAMPO en general, a toda magnitud física cuyo valor depende del punto, del plano o del espacio, y del instante que se considere. Si la magnitud definida así en un punto del espacio es escalar, el campo es escalar; si fuera vectorial, sería un campo vectorial. Por ejemplo, si en invierno, se tomara la temperatura en diferentes puntos del aula de Física, se observaría que en cada instante, la temperatura de ciertos puntos, los que se encuentran próximos a los radiadores, sería diferente de la que tomamos junto a la puerta o ventanas. El aula se convertiría así en un CAMPO ESCALAR DE LA TEMPERATURA. Si en un río echamos corchos a diferente distancia de la orilla, observaríamos que la velocidad con que se moverían debido a la corriente, sería distinta, mayor hacia el centro e inferior cerca de la orilla. Estas velocidades variables con la distancia a la orilla, representarían el CAMPO VECTORIAL DE LAS VELOCIDADES. 1.3 La geometría de las operaciones vectoriales.
Muchas cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la masa y el tiempo, se pueden caracterizar por medio de un número real en unidades de medición apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares, y al número real se le llama escalar. Otras cantidades, como la fuerza, la velocidad, y la aceleración tienen magnitud y dirección y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo número real. Para representar estas cantidades se usa un segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es P y el punto final es Q y su longitud (o magnitud) se denota por .
⃗⃗
Definición de un vector en el plano mediante sus componentes:
Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es , entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siguiente manera:
〈〉
Las coordenadas son las componentes de v. Si el punto inicial y el punto final están en el origen, entonces v es el vector cero y se denota por
〈〉
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⃗ 〈〉〈 〉 ‖‖ 〈〉 ‖‖
1. Si y son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido, el vector v representado por , dado mediante sus componentes, es . La longitud o magnitud de v es:
2. Si , v puede presentarse puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la posición canónica o estándar, que va de a . A la longitud de v se le llama norma de v. Si , es un vector unitario
Evidencia 1:
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En los siguientes ejercicios se dan los puntos inicial y final de un vector v a) Dibujar el segmento de recta dirigido dado. b) Expresar el vector mediante sus componentes. c) Dibujar el vector con su punto inicial en el origen. Punto inicial
Punto final
Punto inicial
Punto final
(1,2)
(5,5)
(2,-6)
(3,6)
(10,2)
(6,-1)
(0,-4)
(-5,-1)
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1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades. Definición de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar:
Sean
〈〉 〈〉
1. 2. 3. 4.
y
vectores y sea c un escalar:
〈 〉 〈 〉
La suma vectorial de u y v es el vector El múltiplo escalar de c y u es el vector El negativo de v es el vector La diferencia de u y v es
Cualquier conjunto de vectores junto con un conjunto de escalares que satisfagan estas ocho propiedades es un espacio vectorial. Propiedades de las operaciones con vectores (axiomas del espacio vectorial):
Sean u, v y w los vectores en el plano y sean c y d escalares:
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‖‖ ||‖‖ || ‖‖ ‖‖
Longitud de un múltiplo escalar:
Vector unitario en dirección de
Sean v un vector y c un escalar. Entonces
v: Si v es un vector distinto de cero en el plano, entonces el
vector
Evidencia 2:
1. Calcular y dibujar cada uno de los múltiplos escalares de v:
〈〉
a) 2v; -3v ; ; b) Anotar observaciones.
〈〉
c) 4v; - ; ; d) Anotar observaciones. 2. Usar
la
figura
para
representar
gráficamente
el
vector.
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3. Hallar a) b) 4. a) b) c) d)
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, , 2u+5v; en forma gráfica y analítica
〈 〉 〈 〉 〈〉 〈〉 〉 〈 〉 〈 ;
;
Hallar el vector v donde
;
5. Se dan el vector v y su punto inicial. Hallar el punto final.
〈〉 〈〉
Punto inicial (4,2) Punto inicial (3,2)
6. Encontrar la magnitud de v
〈〉 〈〉 7. Hallar
a) b) 8.
‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ 〈〉 〈〉 〈 〉 〈〉
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Vectores en el espacio:
〉 〉 〈〈〉〈
En el espacio los vectores se denotan mediante ternas ordenadas . El vector cero se denota . Usando los vectores unitarios , , en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los vectores canónicos o estándar para v es:
〉 〈 〈〉
〈 〉 〈〉〈 〉 〈〉 〈〉 〈〉〈 〉 ‖‖ ‖‖ ‖‖ 〈〉 〈 〉
Las componentes de v se obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final, como sigue:
Sean
y
vectores en el espacio y sea c un escalar:
1. Igualdad de vectores: si y solo si , y 2. Expresión mediante las componentes: Si v se representa por el segmento de recta dirigido de a entonces , 3. Longitud:
4. Vector unitario en la dirección de v: 5. Suma de vectores: v 6. Multiplicación por un escalar:
Nota: Son válidas las propiedades dadas en vectores en el plano Definición de vectores paralelos: algún escalar c tal que
Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay
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Evidencia 3:
1. Hallar las coordenadas de los puntos mostrados en las figuras 1 y 2. 2. Hallar las coordenadas del punto a) El punto se localiza tres unidades detrás del plano yz, cuatro unidades a la derecha del plano xz y cinco unidades arriba del plano xy. b) El punto se localiza siete unidades delante del plano yz, dos unidades a la izuquierda del plano xz y una unidad debajo del plano xy. c) El punto se localiza en el eje x, diez unidades delante del plano yz d) El punto se localiza en el plano yz, tres unidades a la derecha del plano xz y dos unidades arriba del plano xy. 3. Hallar las longitudes de los lados del triángulo con los vertices que se indican, y determinar si el triángulo es rectángulo, isosceles o ninguno de ambos. a) b) c) d)
4. Hallar las componentes y la magnitud del vector u, dados su punto inicial y final. Después hallar un vector unitario en la dirección de u y graficar (ambos). Punto inicial Punto final
5. Se dan los puntos inicial y final de un vector v. a) Dibujar el segmento de recta dirigido Página 14 de 55
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b) Hallar las componentes del vector c) Dibujar el vector con su punto inicial en el origen. Punto inicial Punto final
6. Se dan el vector v y su punto inicial. Encontrar su punto final. vector Punto inicial
〈〉 〈 〉 7. Hallar cada uno de los múltiplos escalares de v y representar su gráfica.
〈〉
a) 2v; -v ; ; b) Anotar observaciones.
〈〉
a) -v; 2v ; ; b) Anotar observaciones.
〈〉 〈〉 〈〉
Hallar el vector z dado que, ; ; a) b) c) d) e) f) 9. Demostrar que los puntos son vértices de un paralelogramo. a) b) 10. Determinar los valores de c que satisfacen la ecuación. Sea 8.
‖‖
y
a)
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b)
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‖‖
Definición del producto escalar:
El producto escalar de
El producto escalar de
〉 〈〉 〈 〈〉 〈〉 y
es:
;
es:
Propiedades del producto escalar:
Sean u, v y w los vectores en el plano o en espacio y sea c un escalar:
‖‖ 1.5 Descomposición vectorial en 3 dimensiones. Angulo entre dos vectores:
Si θ es el ángulo entre dos vectores distintos de ceero u y v,
entonces:
‖‖‖‖ Definición de vectores ortogonales:
Los vectores u y v son ortogonales si
Cosenos directores:
‖‖ ‖‖ ‖‖ ;
;
Definición de proyecciòn y de las componentes vectoriales:
Sean u y v vectores distintos de cero. Sea es ortogonal a v, como se muestra en la figura.
, donde
, es paralelo a v y
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1. A se le llama la proyección de u en v o la componente vectorial de u a lo largo de v, y se denota por . 2. A se le llama la componente vectorial de u ortogonal a v.
Proyecciòn utilizando el producto escalar:
Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyecciòn de u en v esta dada por:
‖‖ Evidencia 4:
‖‖〈〉 〈 〉 〈〉 〈〉 〈〉 〈〉 ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ 1. Hallar
;
;
;
;
2. Calcular
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3. Calcular el àngulo entre vectores:
〈〉 〈〉 〈〉 〈〉
4. Determinar si u y v son ortogonales:
〈〉 〈〉
〈〉 〈 〉
5. Encontrar los àngulos de dirección del vector: a) b) c)
〈〉
6. Calcular la proyecciòn de u en v y la componente vectorial de u ortogonal a v:
〈〉 〈〉 〈〉 〈〉
〈〉 〈 〉 〈〉 〈 〉
Definición del producto vectorial (producto cruz) de dos vectores en el espacio:
〈 〉 〈 〉
Sean y vectorial de u y v es el vector:
vectores en el espacio. El producto Página 18 de 55
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Propiedades algebraicas del producto vectorial:
Sean u, v y w vectores en el espacio y sea c un escalar:
Propiedades geométricas del producto vectorial:
Sean u y v vectores distintos de cero en el espacio y sea el ángulo entre u y v:
‖ ‖ ‖‖‖‖ ‖ ‖ El triple producto escalar:
〈 〉 〈 〉
Para ; triple producto escalar esta dado por:
y
〈 〉
el
El volumen V de un paralelepípedo con vectores u, v y w como aristas adyacentes está dado por:
| | 〈〉 〈〉
Evidencia 5:
1. Calcular: a)
;
y
;
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b) c) d)
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〉 〈 〉 〈 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 ;
;
;
2. Calcular y probar que es ortogonal tanto a u como a v ; a) ; b) ; c) ; d) 3. Usar los vectores mostrados en la figura para dibujar en un sistema dextrògiro un vector en la direcciòn del producto vectorial indicado.
a) b) c) d) 4. Usar el triple producto escalar para encontrar el volumen del paralelepìpedo
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1.6 Ecuaciones de rectas y planos.
En el plano se usa la pendiente para determinar la ecuación de una recta. En el espacio, es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta.
〈 〉
Una recta L paralela al vector y que pasa por el punto expresa por medio de las ecuaciones paramétricas
se
Ecuaciones simétricas (o cartesianas) de la recta:
〈〉 () ‖|‖‖|‖
Planos en el espacio: El plano que contiene el punto y tiene un vector normal puede representarse en forma canónica o estándar, por medio de la ecuación Reagrupando términos, se obtiene la forma general de la ecuación de un plano en el espacio Angulo entre dos planos:
Por consiguiente, dos planos con vectores normales 1. Perpendiculares si 2. Paralelos si es múltiplo escalar de
son
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Evidencia 6:
1. Hallar conjuntos de ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta por el punto paralela al vector o recta dado (para cada recta escribir los números de dirección como enteros). a) b) c) d) 2. Hallar conjuntos de ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los dos puntos (para cada recta escribir los números de dirección como enteros). a) b) c) d) 3. a) b)
〈 〉
Determinar si las rectas se cortan, y si es así, hallar el punto de intersección y el coseno del ángulo de intersección.
4. Hallar una ecuación del plano que pasa por el punto y es perpendicular al vector o recta dado. a) b) c) d) 5. Hallar una ecuación del plano que pasa por 6. Hallar una ecuación del plano que pasa por 7. Hallar una ecuación del plano que pasa por el punto
y es paralelo al plano
yz.
8. Hallar una ecuación del plano que pasa por el punto
y es paralelo al plano
xy.
9. Determinar si los planos son paralelos, ortogonales o ninguna de las dos cosas. Si no son paralelos ni ortogonales, hallar el ángulo de intersección. a) b) c)
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1.7 Aplicaciones físicas y geométricas .
Evidencia 8:
Sobre un sólido puntual en P actúan las 3 fuerzas coplanarias que se muestran en la figura, hallara la fuerza que es necesaria aplicar en P para mantener en reposo al sólido dado. 200N
P
30
150N
100N Un avión recorre 200 km hacia el oeste y luego 150 km oeste 60 norte. Hallar el desplazamiento resultante
a) Gráficamente. b) Analíticamente. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos
,
y
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UNIDAD 2 Curvas en R2 y Ecuaciones Paramétricas.
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2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta. 2.2 Curvas planas. 2.3 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica.
Hay situaciones en las que se emplean tres variables para representar una curva en el plano, por ejemplo, la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45 , si la velocidad inicial es de 48 pies por segundo, el objeto recorre una trayectoria parabólica , sin embargo esta ecuación no proporciona toda la información, si dado por bien dice donde se encuentra el objeto, no dice cuando se encuentra en un punto dado (x,y) , para determinar este instante se introduce una tercera variable t, conocida como parámetro. Expresando x y y como funciones de t se obtienen las ecuaciones paramétricas:
√ √
A partir de este conjunto de ecuaciones se puede determinar que en el instante t=0 el objeto se encuentra en el punto (0,0) En este problema en particular de movimiento, x y y son funciones continuas de t y la trayectoria resultante se le conoce como curva plana. Definición de una curva plana: Si f y g son funciones continuas de t en el intervalo I, entonces las ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama parámetro. Al conjunto de puntos (x,y) que se obtienen cuando t varia sobre el intervalo I se le llama gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas, es a lo que se llama curva plana que se denota como C.
Eliminación del parámetro: Ecuaciones Paramétricas
Despejar t de una de las ecuaciones
Sustituir en la otra ecuación
Ecuación rectangular
Definición de una curva suave: Una curva C representada por en un intervalo I se dice que es suave si son continuas en I y nos simultáneamente cero, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición de I.
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Evidencia 1:
1. Considerar las ecuaciones paramétricas a) Completar la tabla t
0
1
√ 2
3
4
x y
b) Trazar los puntos (x,y) generados en la tabla y dibujar una gráfica de las ecuaciones paramétricas, Indicar la orientación de la gráfica. c) Hallar la ecuación rectangular mediante eliminación del parámetro y dibujar su gráfica. Comparar las gráficas del inciso b) y c). 2. Considerar las ecuaciones paramétricas a) Completar la tabla t
0
1
2
3
4
x y
b) Trazar los puntos (x,y) generados en la tabla y dibujar una gráfica de las ecuaciones paramétricas, Indicar la orientación de la gráfica. c) Hallar la ecuación rectangular mediante eliminación del parámetro y dibujar su gráfica. Comparar las gráficas del inciso b) y c). d) Si se seleccionaran valores de θ en el intervalo para la tabla del apartado a)¿sería diferente la gráfica de b) Explicar razonamiento. 3. Considerar las ecuaciones paramétricas a) Completar la tabla
* +
t x y
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b) Trazar los puntos (x,y) generados en la tabla y dibujar una gráfica de las ecuaciones paramétricas, Indicar la orientación de la gráfica. c) Hallar la ecuación rectangular mediante eliminación del parámetro y dibujar su gráfica. Comparar las gráficas del inciso b) y c). 4. Considerar las ecuaciones paramétricas d) Completar la tabla
t x y
e) Trazar los puntos (x,y) generados en la tabla y dibujar una gráfica de las ecuaciones paramétricas, Indicar la orientación de la gráfica. f) Hallar la ecuación rectangular mediante eliminación del parámetro y dibujar su gráfica. Comparar las gráficas del inciso b) y c).
2.4 Derivada de una función dada paramétricamente.
Forma paramétrica de la derivada: Si una curva suave C está dada por las ecuaciones pendiente de C en es
[ ] [] [ ]
, entonces la
Evidencia 2:
1. Hallar a) b) c) d)
√ Página 27 de 55
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2. Hallar así como la pendiente y la concavidad (de ser posible) en el punto correspondiente al valor dado del parámetro.
t=3 t = -1 θ=π/4
/6 θ=π θ=π/4
2.5 Coordenadas polares.
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo u origen, y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar. A continuación a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares como sigue.
̅
Las coordenadas y representan el mismo punto También, como r es una distancia dirigida , las coordenadas y representan el mismo punto. En general, el punto puede expresarse como: y O y Donde n es cualquier entero. Transformación ( o cambio) de coordenadas: Las coordenadas polares de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares de ese punto como sigue. 1. 2. Evidencia 3:
1. Representar gráficamente el punto dado en coordenadas polares y hallar las coordenadas rectangulares correspondientes. a) b) c) d)
(√ )
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e) f)
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2. Se dan las coordenadas rectangulares de un punto, localizar gráficamente el punto y hallar dos conjuntos de coordenadas polares del punto con a) b) c) d) e) f)
(√ ) (√ )
2.6 Graficación de curvas planas en coordenadas polares.
Una manera de trazar la gráfica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas rectangulares para luego trazar la gráfica de la ecuación rectangular. y
r = 2
x
Dibujar la gráfica de
Para empezar, se expresa la ecuación polar en forma paramétrica ;
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r = 2cos(3t); 0.00 <= t <=y pi/6
r = 2cos(3t); 0.00 <= t <=y pi/3
x
x
r = 2cos(3t); 0.00 <= t <= y2pi/3 r = 2cos(3t); 0.00 <= t <=y pi/2
x x
r = 2cos(3t); 0.00 <= t <=y pi
r = 2cos(3t); 0.00 <= t <=y 5pi/6
x
x
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r = 0.5cos(2t); 0.00 <= t <= 2pi y
r = 2sin(5t); 0.00 <= t <=y pi
x
x
Evidencia 4: Investigar 1.
y resolver
Graficar las rectas tangentes horizontales y verticales a una cardioide;
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r = 2-2cos(t); 0.00 <= t <= 2pi
y
x
2. Dibujar la gráfica de la ecuación polar y hallar las tangentes en el polo a)
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y
x
b)
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y
x
c)
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y
x
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UNIDAD 3 Funciones vectoriales de una variable real.
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3.1 Definición de función vectorial de una variable real. 3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t.
Una función de la forma O
Es una función vectorial en donde las funciones componentes f,g y h son funciones del parámetro t . Algunas veces las funciones vectoriales se denotan como o
〈 〉
〈 〉
Se considera que el dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes f,g y h . Dibujar
la
curva
plana
representada
Dibujar
la
curva
en
el
espacio
por
representada
la por
función la
función
vectorial vectorial
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Representar la parábola mediante una función vectorial Dibujar la gráfica C representada por la intersección del semielipsoide Y el cilindro parabólico
Definición del límite de una función vectorial 1. Si r es una función vectorial tal que
‖ ‖
entonces siempre que existan los límites de f
y g cuando . 2. Si r es una función vectorial tal que
Si decir,
entonces
siempre que existan los límites de f, g y h cuando . tiende al vector L cuando , la longitud del vector
Definición de continuidad de una función vectorial Una función vectorial r es continua en una punto dado por existe y cuando
tiende a cero. Es
si el límite de
Una función vectorial r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo. Analizar la continuidad de la función vectorial cuando
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Evidencia 1:
1. Hallar el dominio de la función vectorial a) b) c) ; d) ; 2. Evaluar si es posible, la función vectorial en cada valor dado de t a)
√ √ b)
3. Dibujar la curva representada por la función vectorial y dar la orientación de la curva. a) b) c) d) e) f) 4. Asociar cada ecuación con su gráfica [marcadas con a),b),c) y d)]
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5. Una partícula sigue una trayectoria recta que pasa por los puntos (2, 3,0) y (0, 8,8). Hallar una función vectorial para la trayectoria. (hay muchas respuestas correctas). 6. Mostrar que la función vectorial se encuentra en el cono .Dibujar la curva. 7. Evaluar el límite.
a) b)
〈 〉
c) 8. Determinar el (los) intervalo(s) en que la función vectorial es continua a) b) c)
3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.
La derivada de una función vectorial r se define como
Para toda t para el cual existe el límite. Sí existe para todo c en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.
Derivación de funciones vectoriales: 1. Si donde f y g son funciones derivables en t , entonces,
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2. Si entonces,
donde f , g y h son funciones derivables en t ,
Propiedades de la derivada: Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, f una función real derivable de t y c un escalar 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Si
Evidencia 2:
1. Dibujar la curva plana representada por la función vectorial y dibujar los vectores y . Colocar los vectores de manera que el punto inicial de este en el origen y el punto inicial de este en el punto final de . ¿Qué relación existe entre y la curva? a) b) c)
〈 〉
d) 2. Hallar a)
y
b) c) 3. Hallar el (los) intervalo(s) abierto(s) en donde la curva dada por la función vectorial es suave. a) b) c) d)
3.4 Integración de funciones vectoriales.
Definición de la integral de una función vectorial: 1- Si donde f y g son continuas en indefinida ( o antiderivada) de r es
∫ ∫ ∫
, entonces la integral
Y su integral definida en el intervalo
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∫ *∫ + *∫ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ *∫ + *∫ + *∫ + 2- Si donde f , g y h son continuas en integral indefinida ( o antiderivada) de r es
, entonces la
Y su integral definida en el intervalo
Evidencia 3:
1. Hallar la integral indefinida a) b) c) d) e)
∫ ∫ ) ∫( √ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ √ √
f) 2. Evaluar la integral definida a) b) c)
d) 3. Hallar a) b) c) d) e)
para las condiciones dadas.
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3.5 Longitud de arco.
Longitud de arco de una curva en el espacio: Si C es una curva suave dada por entonces la longitud de arco de C en el intervalo es:
‖ ‖
en un intervalo
,
3.6 Vector tangente, normal y binormal.
Definición del vector unitario tangente Sea C una curva suave e un intervalo abierto I, representada por r. El vector unitario tangente T(t) en t se define como:
‖ ‖
Definición del vector unitario normal principal Sea C una curva suave en un intervalo abierto I, representada por r. Si el vector unitario normal principal en t se define como:
entonces
‖ ‖
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Evidencia 4:
〉 〈 √ √
1. Hallar el vector unitario tangente y hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva en el espacio en el punto P. a) b) c) 2. Hallar (si existe) para un objeto que se mueve a lo largo de la trayectoria dada por la función vectorial . Usar los resultados para determinar la forma de la trayectoria. ¿Es constante la rapidez del objeto o cambiante? a) b)
3.7 Curvatura.
Fórmulas para la curvatura: Si C es una curva suave dada por
‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖
, entonces la curvatura K de C en t está dada por:
3.8 Aplicaciones.
Evidencia 5:
1. Dibujar la curva y hallar su longitud sobre el intervalo dado. a) b) c) d)
〈 〉 * +
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2. Hallar la curvatura K de la curva en el valor dado del parámetro. e) f) g)
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UNIDAD 4 Funciones reales de varias variables.
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4.1 Definición de una función de varias variables. 4.2 Gráfica de una función de varias variables.
4.3 Curvas y superficies de nivel. 4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica.
4.5 Derivada direccional. 4.6 Derivadas parciales de orden superior.
4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena. 4.8 Derivación parcial implícita.
4.9 Gradiente. 4.10
Campos vectoriales.
4.11
Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física.
4.12
Valores extremos de funciones de varias variables.
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UNIDAD 5 Integración.
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5.1 Introducción. 5.2 Integral de línea. 5.3 Integrales iteradas dobles y triples 5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema. 5.5 Integral doble en coordenadas polares. 5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas.
COMENTARIOS La presente antología está destinada al aprendizaje significativo de los contenidos del programa de matemáticas I, contiene actividades presentadas como evidencia para que el alumno reafirme sus conocimientos. Podrá ser complementada, mejorada o modificada de acuerdo a los cambios generados en los contenidos didácticos de la asignatura. Deseo que este trabajo fortalezca y cumpla con los objetivos para los cuales fue hecha.
Alicia Enriqueta Pérez Yebra Docente de Ingeniería Mecatrónica.
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