Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal
Enunciado Dada la estructura de la Figura, idealizada mediante un marco con vigas rígidas y columnas inextensibles, sometida a una carga armónica lateral de 8 t, se pide: 1) Determinar desplazamientos máximos en ambos niveles 2) Momento flector, corte y esfuerzos normales máximos debidos a carga lateral en todos los elementos.
11 tn
2
EI=977 t m2
2.9 m P(t)=8 t sin (30rad/s t)
11 tn
1
t (s)
EI=977 t m2
2.9 m
4.75 m Figura 1. Idealización estructural
Procedimiento 1) 2) 3) 4) 5)
Determinación de modos y frecuencias naturales Determinación de coordenadas modales Determinación de desplazamientos máximos Determinación de diagramas para modos 1 y 2 Determinación de momento flector, corte y esfuerzo normal máximos para columnas de planta baja.
1) Determinación de frecuencias y modos naturales Considerando que las columnas y vigas son inextensibles, y que las vigas son infinitamente rígidas a flexión. 24E⋅ I 48⋅ E⋅ I − 24E 3 3 h h 1921.973 −960.987 t K := K = 24E 24E⋅ I 24E 24E⋅ I −960.987 960.987 m −
h
3
h
3
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal
12EI/h
3
12EI/h
2
1
12EI/h
3
12EI/h
3
K 21 = - 24EI/h
3
12EI/h3
12EI/h3
12EI/h3
12EI/h3
K 11 = +48EI/h
12EI/h
2
12EI/h
3
3
3
3
K 22 = + 24EI/h
3
K 12 = - 24EI/h
3
Figura 2. Determinación de la matriz de rigidez condensada La matriz de masa, por otra parte, es obtenida dividiendo los pesos por la gravedad:
11 M := 0
0 t
1.122 M= 0
⋅
11 g
t⋅ sec 2 1.122 m 0
En primera instancia, se determinan las frecuencias naturales resolviendo la ecuación característica que resulta de igualar el determinante de K- ω2M a cero:
1921.973 −960.987 − ω2⋅ 1.122 −960.987 960.987 0
1.122 0
0
2
923521 − 3235⋅ ω
+
4
1.2589⋅ ω
0
La soluciones de la ecuación bi-cuadrática son las frecuencias naturales del primer y segundo modo:
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal
ω1 := 18.088
rad
ω2 := 47.353⋅
rad
sec
sec
f1 :=
ω1 2⋅ π
f1 = 2.879Hz T1 :=
f2 :=
ω2 2⋅ π
f2 = 7.536Hz T2 :=
1 f1 1 f2
T1 = 0.347s
T2 = 0.133s
Puede verse que el período fundamental es 0.347 s, mientras que el segundo modo tiene un período de 0.133 s. Las formas modales son obtenidas resolviendo el sistema singular que resulta de reemplazar las frecuencias naturales en las ecuaciones de equilibrio dinámico para vibraciones libres: Para el modo 1 se plantea:
1921.973 −960.987 − ω 2⋅ 1.122 1 −960.987 960.987 0
⋅ φ1 1 1.122 φ1 2
1554.882 −960.987 ⋅ φ1 1 −960.987 593.915 φ1 2
0
0 0
Dado que el sistema es singular, se establece el valor de una de las componentes del vector φ1, para así obtener un sistema determinado. De esta manera, se elige la segunda componente (piso superior) con un valor unitario para obtener la forma modal del primer modo:
φ12 := 1 φ11 :=
960.987
φ1 =
1554.882
0.618 1
La forma modal está graficada en la Figura 3.
Modo fundamental 2
1
Segundo modo 1.000
0.618
2
1.000
-1.618
1
Figura 3. Modos naturales de vibración El segundo modo puede obtenerse en forma análoga al primero, utilizando la frecuencia circular correspondiente al segundo modo: 1921.973 −960.987 − ω 2⋅ 1.122 0 ⋅ φ2 1 −593.915 −960.987 ⋅ φ2 1 0 2 −960.987 960.987 0 1.122 φ2 2 −960.987 −1554.882 φ2 2 0
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal Dado que el sistema es singular, se escoge el valor de una de la componente del piso superior con valor unitario:
φ21 := 1 φ22 :=
593.915
φ2 =
−960.987
1 −0.618
2) Determinación de coordenadas modales Modo 1
La masa y rigidez generalizadas del modo 1 resultan: m1 :=
∑ (φ1i)
2
⋅ Mi , i
m1 = 1.55
s
2
m
2
k1 := ω1 ⋅ m1
t
k1 = 507.171
1 m
t
i
La amplitud del vector de cargas generalizado del modo 1 resulta: P :=
8 ⋅ tonne 0
T
Q1 := φ1 ⋅ P
Q1 = ( 4.944) tonne
Dado que se trata de una carga armónica, la solución en régimen viene dada por:
γ1⋅
q1( t)
Q1 k1
⋅ sin ( Ω ⋅ t − θ1)
donde: 30
β1 :=
rad sec
β1 = 1.659
ω1
(1 − β12)
2
4
γ(β )
θ(β ) deg
0
1
β
γ1 = 0.569 De esta manera: q1( t)
+ (2⋅ ξ⋅ β1)
:= 0.0055m⋅ sin ( 30t − 174.588deg)
2
120
60
0
0
( 2⋅ ξ⋅ β1)
(1 − β1 )
2
180
2
0
θ1 := atan
1
γ1 :=
1
β
θ1 = 174.588deg
2
2
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal Modo 2
La masa y rigidez generalizadas del modo 2 resultan: m2 :=
∑ (φ2 ) ⋅M , 2
i
i i
m2 = 1.55
s
2
m
t
1 k2 = 3475.852 t m
2
k2 := ω2 ⋅ m2
i
La amplitud del vector de cargas generalizado del modo 2 resulta: T
Q2 := φ2 ⋅ P
Q2 = ( 8 ) tonne
La solución en régimen viene dada por:
γ2⋅
q2( t)
Q2 k2
⋅ sin ( Ω ⋅ t − θ2)
donde: 30
β2 :=
rad sec
β2 = 0.634
ω2
(1 − β2 ) 2
4
γ(β )
2
+ ( 2⋅ ξ⋅ β2)
( 2⋅ ξ⋅ β2)
(1 − β2 )
2
2
180
θ( β )
2
0
θ2 := atan
1
γ2 :=
deg
0
1
β
γ2 = 1.661
2
120
60
0
0
1
2
β
θ2 = 6.041deg
De esta manera: q2( t)
:= 0.0038m⋅sin ( Ω ⋅ t − 6.041deg )
3) Determinación de desplazamientos máximos Los desplazamientos se obtienen multiplicando las coordenadas modales por los respectivos modos:
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal U( t)
:= q1( t ) ⋅ φ1 + q2( t) ⋅ φ2
u1( t)
:= 0.0055m⋅0 .618⋅ ( sin( 30t) ⋅ cos ( 174deg ) − cos ( 30t) ⋅ sin (174deg ) ) + 0.0038m⋅ 1⋅ ( sin ( 30⋅ t) ⋅ cos ( 6⋅ deg ) − cos ( 30⋅t ) ⋅ sin (6⋅ deg ) )
u1( t)
:= 0.0004m⋅sin ( 30t ) − 0.00075m⋅ cos ( 30t)
u2( t)
:= 0.0055m⋅1⋅ ( sin( 30t) ⋅ cos ( 174deg ) − cos ( 30t) ⋅ sin (174deg ) ) + 0.0038m⋅ −0.618⋅ ( sin ( 30⋅ t) ⋅ cos ( 6⋅ deg ) − cos ( 30⋅ t) ⋅sin (6⋅ deg ) )
u2( t)
:= −0.0078m⋅ sin ( 30t) − 0.0003m⋅ cos ( 30t)
u1max:=
u2max:=
( 0.0004m)
( 0.0078m)
2
2
+ ( 0.00075m)
+ ( 0.0003m)
2
2
u1max = 0.0009m
u2max = 0.0078m
4) Determinación de diagramas de esfuerzos para modos 1 y 2 Las fuerzas elásticas en los miembros pueden calcularse para cada modo utilizando la matriz de rigidez multiplicada por los desplazamientos en los nudos. Esto es numéricamente equivalente a obtener las fuerzas como el producto de la masa de cada grado de libertad por el cuadrado de la frecuencia circular del modo, por la amplitud modal y por la coordenada modal: 2
ω1 ⋅ q1⋅ M⋅ φ1 = 2
ω2 ⋅ q2⋅ M⋅ φ2 =
1.257 t 2.034
K⋅ q1⋅ φ1 =
1.258 t 2.035
9.614 t −5.942
K⋅ q2⋅ φ2 =
9.617 t −5.943
La Figura 4 muestra las fuerzas elásticas para cada modo. Los diagramas de esfuerzo pueden ser directamente obtenidos para cada modo resolviendo la estructura mediante métodos ya vistos.
1er Modo 2
1
2do Modo 2.034 t
1.257 t
5.943 t
9.617 t
Figura 4. Fuerzas elásticas en primer y segundo modo
Los diagramas de esfuerzos pueden ser determinados mediante alguno de los métodos ya vistos en el curso. Sin embargo, para el caso en consideración, los mismos pueden ser obtenidos considerando que se trata de columnas biempotradas en los distintos niveles. De esta manera, los diagramas de momento flector resultan triangulares, con valores opuestos en los extremos e iguales al producto del corte por la mitad de la altura (ver 1ra columna de matriz de rigidez de viga).
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal Los momentos flectores en las vigas resultan iguales a los momentos desequilibrados en los nudos con las columnas. Los esfuerzos normales en las columnas son los necesarios para equilibrar los momentos de extremo en las vigas. Por último, los esfuerzos de corte en las vigas resultan del equilibrio vertical de los distintos nudos, iguales a la diferencia de esfuerzos axiales en las columnas de los distintos pisos. Las reacciones para cada modo se obtienen de los diagramas determinados en el punto anterior, considerando el extremo inferior de las columnas.
0.621 t t 7 1 0 . 1
1.626 t
t 5 4 6 . 1
7 1 0 . 1
t 5 4 6 . 1
m t 5 7 4 . 1
1.475 tm
3.861 tm m t 6 8 3 . 2
Corte
Momento
m t 5 7 4 . 1 m t 6 8 3 . 2
2.034 t t 1 2 6 . 0
t 1 2 6 . 0
t 6 4 2 . 2
t 6 4 2 . 2
1.257 t
1.645 t
1.645 t 2.386 tm 2.246 t
Normal
Figura 5. Diagramas resultantes y reacciones del primer modo
2.386 tm 2.246 t Reacciones
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal
4.309 tm t 1 7 9 . 2
t 1.814 t 1 7 9 . 2 t 7 3 8 . 1
m t 9 0 3 . 4
0.693 t t
7 3 8 . 1
1.645 tm m t 4 6 6 . 2
Corte
m t 9 0 3 . 4
m t 4 6 6 . 2
Momento
5.943 t t 4 1 8 . 1
t 4 1 8 . 1
t 7 0 5 . 2
9.617 t
t 7 0 5 . 2
1.837 t
1.837 t 2.664 tm 2.507 t
2.664 tm 2.507 t
Normal
Reacciones
Figura 6. Diagramas resultantes y reacciones del segundo modo
6) Esfuerzos máximos en columnas Los esfuerzos finales pueden determinarse por superposición de los modos de la siguiente manera: E( t)
:= E1⋅ sin 30⋅
rad⋅ t sec
− 174⋅ deg +
E2⋅sin 30⋅
rad sec
⋅ t − 6⋅ deg
Siendo E1 el esfuerzo (normal, corte o momento) en el modo 1 y E2 el esfuerzo en el modo 2. Desarrollando el seno de la diferencia de ángulos, la expresión anterior puede reescribirse como:
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal
E( t)
:= ( E1⋅ cos ( 174⋅ deg ) +
E2⋅ cos ( 6⋅ deg ) ) ⋅ sin 30⋅
rad⋅ t sec
− ( E2⋅ sin ( 6⋅ deg ) +
E1⋅ sin ( 174⋅ deg ) ) ⋅ cos 30⋅
rad⋅ t sec
De esta manera, el valor máximo instantáneo del esfuerzo resulta: Emax:=
( E1⋅ cos ( 174⋅ deg )
+
E2⋅c os ( 6⋅ deg ) )
2
+
( E2⋅ sin ( 6⋅ deg )
+
E1⋅ sin ( 174⋅ deg ) )
2
Reemplazando de los diagramas, los valores máximos de los esfuerzos en las bases de las columnas resultan: 2
Nmax:=
( 2.246⋅ cos ( 174⋅ deg )
+ −2.507⋅ cos ( 6⋅ deg ) ) + ( −2.507⋅ sin ( 6⋅ deg ) +
Mmax :=
( 2.386⋅ cos ( 174⋅deg )
+
2.664cos ⋅ ( 6⋅deg ) )
Qmax:=
( 1.645⋅ cos ( 174⋅ deg)
+
1.837cos ⋅ ( 6⋅ deg ) )
2.246sin ⋅ ( 174⋅ deg ) )
2
+
( 2.664sin ⋅ ( 6⋅ deg )
+
2.386⋅ sin ( 174⋅ deg ) )
2
+
( 1.837sin ⋅ ( 6⋅ deg )
+
1.645⋅ sin ( 174⋅ deg ) )
2
Nmax = 4.727
2
Mmax = 0.596
2
Qmax = 0.411
