Cálculo Integral y Aplicaciones [Francisco Granero]

senpn

en la mayoría de casos no se necesitará recurrir a las tablas. r (P)

IV:\:) ,,,

11

V

,,

~~~~~~~~~-4--+-----~p {\ --4 -3 -2 -1 o 1

,,

,,

2

3

f\ f\ Figura 1.12

(6)

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20

Cálculo integral y aplicaciones

La aplicación de (6) para p = pre positivo (xP- ¡ e - x> O, para todo n

E

't:j x),

~

[r(~)

da lugar a

resulta el valor

r(~) =

J

= n,

y

puesto que r(p) es siem-

Jn, con el que se obtienen los r(~)

N.

Ejemplo 9

Calcular el valor r(p) cuando a) p = 11, b) p = 0,32, e) p = 4,36, d) p = - . 2

RESOLUCiÓN

(véanse previamente valores aprox imados en la Figura 1.12)

al

Para un valor de p relativamente grande, e l cálculo de r(p) será difícil. Si no se requiere exactitud, puede utili za rse la fórmula aproximada (Stirling) p! ~ j2;;;c .pI'. e - P En este caso se tendrá:

r(l l) = lO! = 3.628.800 (exactamente)

,

r(ll)

~

0,8946 r(0,32) = - = 2,7956. 0,32

bl

r(0,32 < 1) : r(l ,32) = 0,32r(0,32)

el

r(4,36) = 3,36·2,36· 1,36· r(l,36) = 10,7842·0,8902 = 9,600l.

dI

9) {tablas} = 2'2'2 7 5 3 r (3) 105 0 ,8862 = 11 ,631375. r (2 2 = 8. r ( -9) {aplicando r(J /2) = 2

3.598.696 (Stirling)

=>

Jn} = -.72 -25 . -.23 -21 r (1) - = -105 Jn = 6,5625· 1,7724 = 2 16

II ,631375

•

Prolongación de la función Gamma En el caso de que p

~ O,

la integral r(p) =

LX)

XP-l e - Xdx es, como se ha visto, divergente.

No obstante, si r(p) se define exclusivamente a partir de la relación: 't:j P E

R : r(p

+ 1) =

pr(p)

=*"

r(p)

r(p

+

1)

= -- -

p

(7)

habremos realizado una extrapolación de la función Gamma, dado que si p > O su valor coincide con el de la integral, y si p < O resulta un valor finito. Veámoslo calculando, por ejemplo r( - 5/2).

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m-

21

Mediante la fórmula (7) se tiene:

~)

p=

--

p=

-

p=

--

1

2 3

-

2 S

2

r(-~)

=

2

=

r(l/2)

=~

-1/2

r(-~)

= 2

- 3/2

r(-~)

-2Jn

r(l/2)

= n-3/2)

2

Jn

3

= - ~

- 5/2

15

Jn

resultado al que se puede llegar mucho más rápidamente, escribiendo:

r(-~)= - ~ 2

15

Jn

tud,

Este método de obtener el valor de np) para p < 0, recibe el nombre de prolongación analítica de la función Gamma. La correspondiente prolongación gráfica puede observarse en la Figura l.12.

La función euleriana B(p, q) Empezaremos, como anteriormente, probando que la integral euleriana de primera especie:

•

°

converge cuando p y q son mayores que cero, y diverge en los demás casos (nótese que existe singularidad en ambos extremos de integración: en x = cuando p - 1 < 0, y en x = 1 cuando q - 1 < O) . Nos limitaremos a efectuar dicha demostración, estudiando únicamente la singularidad en x = 1 utilizando el criterio del límite, puesto que el proceso correspondiente al extremo inferior x = es totalmente análogo:

°

.

nte.

x=l

xP-l(l

1

: 11m x--+l-

X)q-l

.

11m

x->l-

(l - x)" (l-X)

1 -q

(l - x)"

(7)

y como la convergencia se da cuando ello, que: l-q~m
inciplo

m

< 1 Y este límite finito ~

l-q
de igual forma se probaría la convergencia con p > vergencia en los demás casos.

~

(m ?=

1 - q), resultará para

q>O

° en el extremo inferior, y asimismo la di-

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22

Cálculo integral y aplicaciones

Cálculo de B(p, q)

El valor de B(p, q), suele obtenerse, utilizando su relación con la función r(p) que en estos momentos tan bien conocemos. Dicha relación, que se demuestra con rigor (p, q E R +) en el Ejercicio resuelto 5 del Tema 3 (Integrales dobles) y que aquí probaremos parcialmente (en la tercera de las propiedades que siguen) viene definida por:

B(p, q) =

r(p)· r(q) r(p + q)

(8)

Ejemplo Consideremos la integral impropia convergente:

f

1

2

!=

-2

Efectuando el cambio de variable x na B(p, q). Hállese su valor.

=

.j(2 - x)(2

+ X)2

dx

4t - 2 (véase propiedad 4) se transforma en una integral euleria-

RESO LUCiÓN

Haciendo

x= 4t - 2 {xx = 2,-2, tt = Ol} el intervalo [ - 2, 2] se transforma en el [O, 1] Y consecuentemente =

=

podría resultar una integral B(p, q). Veámoslo:

+ X)2{X =

Como (2 - x)(2

con lo que al ser dx

=

4t - 2} = (4 - 4t)(4t)2 = 4 3 . tl(l - t), tendremos:

4 dt, resulta:

JI

!=-1 t- 2j3 .(I-t)-1/3· 4dt= 4 o

=

JI t - l /3(l _ t)-1 /3dt {P-1 o

=

q - 1=

-2/3} = -

1/ 3

B(~ ~) = r(lj3)r(2/3) = r(~)r(~) {(6)} = _n_ = 2J3n 3' 3 reI) 3 3 n 3 sen -

•

3

Propiedades de la función B(p, q)

1.

Existe la simetría B(p, q) = B(q, p), puesto que: B(p, q)

=

JI°

t}

x P - l (1 - X)q-ldX{X = 1 = dx = -dt

IlO (1

- t)p-l·tq -l dt

= B(q, p)

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23

1< / 2

2.

Cálculo de todas las integrales

B(p, q)

f

sen'" x· cos" X dx (m

o

~

O, n

~

O):

= ol xp- l(l - X)q-l dx{x = sen 2 t} = f~ o sen 2l'-=-2 t· cos 2 (J - 2 tL2 senLCüstdt) =

f

2P -l=m con lo que al ser { , resulta: 2q-l=n

f

1
o

1 (m + 1 n+ 1)

sen"'x·co s"xdx = - B - - - 2 2' 2

(9)

(es conveniente, aplicando la relación anterior, comprobar las fórmulas obtenidas en el Ejemplo resuelto 3 que posteriormente aparece en la Sección «La integral de Riemann»). 3.

Relación entre las funciones B(p, q) Y r(p)

En estos momentos, estamos en disposición de probar la relación (8) cuando, como se ha dicho, uno de los parámetros p o q sea natural y el otro real positivo. Para lograrlo, integraremos por partes B(p, q) rebajando el exponente q - ], y supondremos que q E N, P E R + (hacemos hincapié en que la demostración con p, q E R + se realiza en el tema de Integrales dobles):

= -xl' ( 1 - X)q-l ] p

1

q - 1 +-

f

P

o

q - 1 xl'(l - x)q- 2 dx{q = 1,2, oo .} = - - B(p + 1, q - 1) o P 1

con lo que aplicando esta ley de recurrencia, escribiremos : B(p, q)

q - 1

- B(p + 1, q - 1)

=-

P B(p

+

B(p

+q

1, q - 1)

q - 2

= - - B(p + 2, q - 2)

- 2, 2) =

p

+

1

1

p+q-2

B(p

+q

- 1, 1) puesto que q

E

N

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24

Cálculo integral y aplicaciones

habida cuenta además que: B(p

+q

- 1, 1) =

J1

Xp

+q -

2

dx = _ _1__

p+l-l

o

se tiene: (q - 1)!

(q - l)(q - 2) ···3·2· 1 B(p,q) =p-(P--+~1~).. -.(p~+-q----2)-(p-+--q---1-)

p(p

+

1) .. . (p

+q

- 1)

y multiplicando el numerador y el denominador del cociente anterior por (p - 1)!, resulta finalmente: (P-1)!·(q-l)! B(p, q) = (p _ 1)![P(P + 1) .. . (p + q - 1)]

4.

(P-1)!·(q-1)! (p + q - 1)!

r(p)T(q) r(p + q)

Cambios de variable

Las integrales eulerianas, en particular B(p, q), dan lugar al cálculo de numerosas integrales definidas. Este cálculo se basa generalmente en lograr, haciendo un cambio de variable adecuado en la integral 1, que ésta se transforme en una función B(p, q), es decir:

La transformación del intervalo de integración de cualquier integral en el intervalo [0, 1], se lleva a cabo mediante los siguientes cambios de variable, que darán lugar (o no) a una función B(p, q): Si el intervalo de 1 es [a, b] : x = (b - a)t Si es [a, (0) o (- 00, a] : x Si [O, (0 ) o (-

00 ,

+a

a También x t

= -.

O] siendo (a

a 1- t

(lO)

= -

+ bxPF divisor en

f(x) : a

a

+ bx P = -

t

A veces, a los cambios anteriores, hay que añadir el cambio t lll = u(m > O), cambio que transforma el intervalo [O, 1] en sí mismo, y que igualmente puede transformar también en funciones B(p, q) otras integrales enmascaradas cuyo intervalo de integración sea el [O, 1] (véase el cuarto y quinto de los Ejercicios resueltos correspondientes). Puede también suceder, aunque menos frecuentemente, que la integral enmascarada 1 sea una función r(p) . Si esto ocurre, los correspondientes cambios de variable (que dependerán de la apariencia de 1) son muy numerosos, aunque evidentemente todos ellos deberán conducir a la obtención del intervalo [0, (0 ) asociado a dicha función Gamma (véase el primero de los Ejemplos resueltos, y asimismo el primero de los propuestos).

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1.4.

25

INTEGRALES PARAMÉTRICAS Toda aquella integral (simple) que además de la variable de integración presente ciertos parámetros situados en su función subintegral o en sus extremos, recibe el nombre de Integral paramétrica o Integral dependiente de parámetros. Estas integrales, por tanto, son de la forma: leA) =

f

J( A, 11) =

¡(x, A) dx

f

¡(x, A, 11) dx , .. .

donde los citados parámetros se consideran constantes durante el proceso de integración, pudiendo suceder que los extremos de integración dependan también de estos parámetros. Estudiaremos el caso de la anterior integral leA), es decir, el caso de un solo parámetro. La generalización (Ejemplo resuelto 6 y propuestos 3 y 4) es inmediata. Previamente, para fijar ideas, resolveremos un ejemplo muy simple, que a parte de justificar la notación le A) (aunque resulta evidente que la integral l es función únicamente de A), presenta un resultado (que inmediatamente probaremos) y que corresponde a la más notable relación de esta sección.

Ejemplo

f

Consideremos la integral leA) =

f(x , A) dx

, f(x, A)

= 3}.x 2 + A2 + 2

al Resolver la integral, obteniendo su valor le },). Seguidamente derívese este valor respecto de A, es decir, hállese

bl

dl(},)

-;¡¡- .

Compruébese que también

dl(},)

-;¡¡- =

f3f~.(x, },) dx. 1

RESOLUCiÓN

al I U,) =

f

3

X3 (3h 2 + A2 + 2)dx = 3A -

3

1

bl

f

3f~(x, A)dx = f3 (3x 1

2

+ A2X + 2x

] 3

= 2},2 + 26), + 4

1

+ 2A)dx = x 3 + 2h

1

]

3

= 4 ), + 26 =

1

dl( A) ->--

dA

= 4}, + 26.

dl( A) -

-o

dA

Hacemos hincapié en que se ha realizado la siguiente comprobación (que como veremos, en ciertas condiciones, y siendo a y b constantes, siempre se verifica):

Si IV,) =

f

bf(x, },) dx

a

,

entonces

dl( A)

-;¡¡- =

fb f~(x, A) dx a

•

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26

Cálculo integral y aplicaciones

Propiedades de las integrales para métricas 1.

Continuidad

f

Consideremos la integral leA) = f(x, J,) dx, con a y b independientes, en pnncIpIO, del parámetro A. Si la función subintegral f(x, J,) (supuesta como una función de dos variables) es continua en el dominio D = {(x, J,) E R 2 / a ~ x ~ b, e ~ A ~ d} (subconjunto rectangular de R 2 ), entonces, elegido un e l E R + podrá lograrse (en D) que If(x, A + L1A) - f(x, J,)I < e l' Y por consiguiente: 't/ A E [e , d] : IIU,

=

Ir

+ L1A) -

IU,) 1 =

[f(x, A + L1 A) - f(x , J,)]

Ir

dxl ~ f

f

f(x, A + L1J,) dx -

+ L1J, ) -

If(x, J,

f(x, A) dxl =

f(x, A)I dx <

f

el

dx

de donde resulta que: 't/ A E [e, d] : II(A

+ L1A)

- I(A) < 1

el (b

- a) =

e

lo cual implica, en el intervalo [e, d], la continuidad (y continuidad uniforme por ser intervalo cerrado) de la función lCA). Por otra parte y debido a esta continuidad de leA) podemos escribir: 't/ J,o

E

[e , d] : lim leA) J.

=

-+ ;'0

IU,o) finito

l-+in:

=>

"-o

;.

fb f(x,

A) dx

=

a

fb f(x,

Ao) dx

a

con lo que aplicando (continuidad) lim f(x, A) = f(x, AO) finito , resulta: ), -+;'0 lim

A -+ .lo

fb f(x , A) dx = fb

lim f(x, A) dx

a A -+ ;'0

a

(11)

(el límite de la integral es igual a la integral del límite) . Cuando los extremos de integración dependan del parámetro J" y sean estas funciones a( A) y b(A) continuas 't/ A E [e, d] , de igual forma se probarían la continuidad de la función leA) y la anterior igualdad entre el límite de la integral y la integral del límite.

2.

Derivación bajo el signo integral

al Comencemos, como anteriormente, suponiendo que Si las funciones f(x, A) y A E [e, d] podrá escribirse:

f~(x,

a y b no dependen del parámetro A. A) son continuas en el mencionado dominio D, para todo b

dI U,) -- =

dA

. I( A + L1J,) - le A) hm LH -+ O L1A

=

. hm 6 .<-+ O

f

a

[f(x, J, + L1A) - f(x, A)] dx L1J,

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27

Integrales definidas simples

con lo que al ser (teorema de los incrementos finitos) : f(x , A + L1A) - f(x, A) = L1}, . f~, (x, ),

+ eL1 A)

resulta: dl(A)

lim

d},

Il. J,-+ O

=

fb f~(x,}, + eL1A)dx{(1l) } = fb a

a

f f~(x,

[lim Il.A-+O

f~(x, A + eL1},)] dx {continuidad} =

A)dx

Consecuentemente, como habíamos adelantado, cuando los extremos de integración a y b no dependen del parámetro, se tiene:

le A) =

f

bf(x , A) dx -+ -dl(,-Jt.) = fb f~(x, Jt.) dx d/,

a

(12)

a

Las integrales paramétrieas impropias (de uso más frecuente cuando a y b no dependen de A), heredan, bajo el condicionante convergencia uniforme (que denotaremos abreviadamente por c.u.) todas las propiedades anteriormente estudiadas. Al poderse descomponer en otras con una única singularidad, supondremos que ésta se da en b, bien por que b = 00, o bien porque If(b, A) I tiende a infinito(7). Sean por tanto a y b independientes de }" leA) impropia debido al extremo b, y convergente en un conjunto C ~ R, o sea, V A E C: Si le A) (c.u.) en [e , d] ~ C, y f(x, },) es continua en [a , b) x [e, d], entonces leA) es continua en [e, d] (continuidad uniforme por ser intervalo cerrado). Si J( A) =

f f~(x,

},) dx (c.u.) en (e, d) siendo f(x , },),

f~(x,

},) continuas en

[a, b) x (e, d), entonces, l(},) admite derivada en (e, d) y ésta es J(A).

b) Estudiemos ahora el caso de que uno o los dos extremos de integración a y b dependan del parámetro. Como repetir todo el desarrollo anterior de derivación sería ahora muy laborioso, para simplificar, supondremos a la integral l(},) función de tres variables: de A (debido a la función f únicamente), de a = aCJe) y de b = b(A), todo lo cual viene reflejado (recuérdese las funciones compuestas) en el esquema:

leA, b, a) =

f

f(x, A) dx

siendo:

A+-0

/' A (por f) -+

b

-+

A

"'a-+A (7) A los criterios de suficiencia y del resto R" sobre (c. u.) de series, que el alumno conoce, corresponden aquí los sigui entes:

1.

Si V A E C (subconjunto de R), If(x, },)I :( p(x) [función positiva en [a, b)] y además tonces la función f U) converge uniformemente en el conjunto C.

2.

f (A) =

Jbf(x, A) dx (c.u.) en C -= ti

lim_ p--'b

Jbf(x , },)dx = P

O V},

E

C.

f

p(x) dx converge, en-

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28

Cálculo integral y aplicaciones

del que, en las condiciones dadas, y siendo a'(A), b'(},) funciones continuas en [e, dJ, resulta: dI

al

-

dA

aA

al db

al da

ab d A

aa dA

+ - .- + -. -

(debido a f)

= -

de donde, recordando (2) «primer teorema fundamental del cálculo integral»: al ab = f(b, A)

al

- fea, A)

aa

resulta la fórmula general:

1=

bU ) f a( A) f(x,

dI A) dx ---+ ---, = dA

fb( A)

f~(x,

).) dx

+ f(b,

a( A)

db da A) ---, - fea, A) ---, dA dA

(13)

Un caso particular de esta fórmula, que aclararemos pues pudiera dar lugar a confusiones, se presenta cuando la función subintegral no depende del parámetro. En este supuesto la fórmula (13) se reduce a la siguiente: 1=

b(A)

dI db da f(x) dx ---+ - = f(b) - - f(a)dA d), dA

f

a (J,)

(14)

Ejemplo

f

}.3

Hallar la derivada respecto de A de la integral leA) =

A2

tg.?ex -

-

dx.

X

RESOLUCiÓN

Es aconsejable presentar todas las funciones que intervienen en (13). ASÍ: f(x , ),)

tg A.x = -

x

-'>f~(x,

.

A)

=

1 1 1 -·-· x = -2 X cos 2 l x cos )eX 2 _ 2 ' _ tg ), ' )' _ tg J.? fea - J.. , A) - ~ - y

Obteniendo ahora el primer sumando de (13):

f

b

f ~ (x,

),) dx

f;03 =

a

dx

1[

- 2 -'- = }. 2 COS /eX J..

tg )eX

J}.3 ;2

=

tgJ.. 4- tg),3 ,

A

resulta finalmente la siguiente derivada: dI

dA

•

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29

Aplicaciones de la derivación para métrica La derivación paramétrica, tiene como fin más importante resolver ciertas integrales que se consideran más complicadas de obtener por otros métodos. Consiste en incorporar hábilmente el parámetro a la integral en cuestión, para simplificar con ello su cálculo. Este proceso se basa en lo siguiente: Partamos ya de la integral transformada en paramétrica

cuya resolución consideramos dificultosa (frecuentemente, para un cierto valor )'0 dicha resolución es muy simple y consecuentemente el valor f(Ao) conocido). Inmediatamente derivamos (evidentemente la integral de 12 o 13 que aparezca, deberá ser más sencilla que la primitiva). Con ello (ejemplo anterior) una vez resuelta dicha integral derivada, se tendrá:

-df( Je) = h(Je) ~ df(A) = h(Je) d), ~ fU,) = d),

f

h(Je) d),

y la resolución de esta última integral (indefinida) dará por finalizado el proceso de cálculo. Con ello: f U,) =

f

hU,) dA = H( A)

+e

En el comentado supuesto de conocer fUco), el valor de ción A = Ao en la anterior ecuación, es decir:

e se obtendría de la particulariza-

En ocasiones, la derivación paramétrica de la integral fe A) marca una pauta a seguir para resolver dicha integral, sin llevar a cabo el desarrollo anterior (véanse los Ejemplos resueltos 2, 3 Y siguientes). Finalmente añadiremos, que la derivación paramétrica es también aplicable (Fórmula 12) a integrales indefinidas (véase el Ejemplo propuesto 5) .

1.5.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA SIMPLE Iniciaremos estas aplicaciones de la integral definida con el cálculo de áreas de regiones situadas en el plano, cuando las curvas que las encierran vienen expresadas en coordenadas paramétricas o en coordenadas polares. Para deducir las fórmulas correspondientes, a lo largo de toda esta sección, nos basaremos generalmente en el concepto de «elemento diferencial » de área, longitud, volumen, masa, momento de inercia, etc. Téngase presente (no lo demostraremos), que al suponer que el elemento diferencial (de área, por ejemplo) es exactamente un rectángulo (región sombreada en la Figura 1.13), el error que se produce resulta ser un infinitésimo de orden superior al del área de dicho rectángulo, y por consiguiente, despreciable.

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30

Cálcul o integ ra l y ap licaci ones

y

Y=f(x) ~

L -__

~

o

____________

-L~-L

____

~

________

{

X = x (t) y=y(t)

~x

x

XI=X(/I)

Figura 1.13

Areas planas en coordenadas paramétricas y polares • Paramétricas.

Sean dos funciones x = x(t), y = y(t) que, en un cierto intervalo 1, admiten

derivadas primeras dx = x'(t) , dy = y'(t) continuas. En estas condiciones (Apéndice 2), el si sdt

dt

tema: x y

= X(t)} tEI = y(t)

(15)

define a una curva plana (C), que en las citadas condiciones también es lisa (no tiene esquinas en punta)(8 l . Así, por ejemplo, si en la ecuación cartesiana y = f(x) = X2, parábola por todos conocida, se hace x = t, es evidente que el sistema

X {

=

t

y=t

2

(t

E

R) , representa a esa parábola, el cual

asimismo, da lugar por eliminación del parámetro t a la ecuación y = f(x) anterior. Recuérdese igualmente, la unicidad de la ecuación cartesiana, y que existen infinitas ecuaciones paramétricas. Nótese que eliminando el parámetro t en los sistemas:

= 2t} x = l / t } (t =F O) x = sen t } (t Y = 4t 2 y = 1/t 2 y = sen 2 t x

E

R)

se tiene en todos ellos y = f(x) = X2. Sin embargo, el último no define a dicha parábola puesto que -1 ~ x ~ 1, - 1 ~ Y ~ 1. Hecho este repaso, consideremos una curva e definida en cartesianas por y = f(x), y en paramétricas por el sistema (15). Razonando, como se ha dicho, con elementos diferenciales de área dA (área sombreada en la Figura 1.13) = [y = f(x) ] . dx, Y sin más consideraciones, se tendrá, que el área total (A) limitada por la curva y el eje x entre Xl y x 2 vendrá dada por: A

=

X

I

x

2

y dx I

= x(t) y = y(t)

{x

--t

si. x = x 2' t = t} 2 = SI

x

=

Xl'

t

= tI

1/

2

/I

y(t) . x'(t)dt

(16)

(8) Se dice que la curva e es lisa en el intervalo 1, si x' (t) e y'(I) son continuas en 1 y, además, no se anu lan simultáneamente excepto a caso en alguno de los extremos de dicho intervalo.

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Integrales definidas simples

31

• Polares. Repasemos en estas coordenadas los siguientes conceptos: p

=

La curva e, si se opera en coordenadas polares, viene definida por la ecuación pea), siendo (Figura 1.14) las fórmulas del cambio: x = p cos y = p sen

e}

---+

e

a= arctg (y/X) } p

= JX2 + y2

y

e

p = p (e)

o (polo)

o (polo)

x (eje polar)

x

x (eje polar)

Figura 1.14

tud

Teniendo en cuenta que el área (A) de un sector circular de radio R y ángulo o ampliviene dada por

e,

A =

"21 R

2 .

a(A nR

2

e)

= 2n

y asimismo, que cuando se toma como valor del área diferencial sombreada en la Figura 1.14 el área de un sector circular de radio R = p y amplitud de, se comete un error des-

preciable (infinitésimo de orden superior al de dicho elemento diferencial), resultará que: (17)

en donde A , es el área del sector OP 1 P 2 limitado por los radios vectores OP l ' OP 2 Y la curva e que suponemos continua en un intervalo 1 al que pertenecen e1 y a2 '

Ejemplos 1.

Consideremos la elipse de semiejes a y b.

al Obténganse unas ecuaciones paramétricas de esta curva plana, su ecuación cartesiana (canónica).

bl Calcular el área

(A) encerrada por la elipse.

y eliminando el parámetro, dedúzcase

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32

Cálculo integral y aplicaciones

RESOLUCiÓN

al

y y

b t=:rr/2 P(x,y)

~

____

~-L~

__j __

~

__

t=O a

~~

a

x

x

Figura 1.15

Aplicando que cada punto P(x, y) de la elipse, se genera de la forma expresada en la Figura l.l5 , resultan las relaciones: x = a cos

t} (paramétricas usuales)

X2

->

y = bsen t

2: a

y2

+ 2: b

=

1 (cartesiana)

bl

Aunque, como se observa, los ángulos intermedios t y IX son distintos, sin embargo el área sombreada (A /4) corresponde igualmente a los valores O ~ t ~ n/2, O ~ IX ~ n/2, pudiendo por tanto obtenerse haciendo variar t entre O y n/2. En consecuencia, escribiremos: A

=4

f

a'

o

Y dx

{x =_ acos t Y - b sen t

" /2

=

4ab

f

sen 2 t dt

=

{Si SI

->.

n 4ab . -

o

4

x= a, t = O} = 4 f O b sen t( - a sen t dt) _ X -

O, t - n/2

_

=>

A

=

nab

•

El gráfico de toda curva cuya ecuación polar es p = k(1 corazón y recibe el nombre de cardioide.

2.

al Dibújese la curva cardioide de ecuación bl

p = 4(1

=

,,/ 2

± cos e), p =

k(1

± sen e) , tiene

forma de

+ cos e).

Calcular el área interior a esta cardioide y exterior a la circunferencia

X2

+ y2

=

36.

RESOLUCiÓN

al Razonando con la ecuación -

p = 4(1

+ cos e),

se tiene entre otras cosas que:

e crece de O a n, p decrece de 8 a O. Al crecer e de n a 2n, p también lo hace de O a 8 (lo cual se desprende de la simetría existente

Cuando

respecto del eje polar x, puesto que al cambir

e por

-

e, p

no varía -> puntos (p,

e)

y (p, -

e).

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33

Integrales definidas simples

-

b)

+

Dando asimismo algunos valores a la coordenada

e (e

~

n) resultan los pares de valores:

Puesto que la ecuación de la circunferencia en coordenadas polares es p = 6(x 2 + y2 = p2 cos 2 p2 sen 2 e = p2 = 36), la intersección de ambas curvas se tendrá de la resolución del sistema: p = 4(1

+ cos

e)}

p=6

->

6 = 4(1

+ cos e) -> (e,

p)

=

e+

(± -,n 6 ) 3

con lo que (segundo gráfico de la Figura l.16), escribiremos: A

= Al (sector correspondiente a la cardioide) - A 2 (sector circular) =

= -1 2

f"/3 pi d8 -

Como A

1 2

- ,,/3

pi -

p~

f"/3 p~ d8 = -1 f"/3 (pi 2

- ,,/3

pD de {simetría} =

- ,,/ 3

f"/3(pi -

p~) de

o

= 16 (1 + cos 8)2 - 36 = 4 (4,cos 2 e + 8 cos e - 5), resulta finalmente:

"/3 (4cos

= 4 fo

2

e

+ 8cos8 -

5)de

f"/3

= 4 o [2(1 + cos2e) + 8cos8 -

5]de

= 18 )3 -

2n

n /2 n l3

2nl3

e=~

n l4

3

x (e

=

x

O)

e=-~ 3

5nl3

4nl3 3nl2

•

Figura 1.16

Longitud de un arco de curva Sea una curva plana (C) definida en cartesianas, paramétricas y polares respectivamente, por las ecuaciones:

= y =

X

y = f(x)

{

x(t) y(t)

p

=

p(e)

Consideremos un arco (porción de dicha curva) liso, comprendido entre los puntos de abscisa x = a, x = b (Figura 1.17), cuya longitud (s) se desea calcular.

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34

Cá lculo integra l y aplicaciones

y

e

~------~--------------------~--------- x

o

a

b

Figura 1.17

Para ello, razonaremos de igual modo que anteriormente, es decir, partimos del elemento «diferencial de arco» (ds), teniendo presente que, si se supone dicho elemento rectilíneo, se comete un error despreciable (por ser este error un infinitésimo de orden superior al de ds) . Por todo lo, cual podrá escribirse ds = dX2 + dy 2, Y en consecuencia:

J

Cartesianas:

ds =

JI (:y +

dx

--+

s=

f JI

+ [f'(x)] 2dx

(18)

2

Paramétricas:

Polares:

ds

dX) + (dy - ) 2 dt--+ (-

=

dt

La diferenciación de las fórmulas dx

= cos edp - p sen ede}

e

dy = sen dp

(19)

dt

+ P cos ede

: ds

X {

y

= pcos e da lugar a = psen e

= J dx 2 + dy2 = J (dp)2 + (pde)2

y multiplicando y dividiendo por de , resulta:

(20)

En el caso de una curva en R 3 , recordando (repásese si es preciso el Apéndice 2) que toda curva del espacio (plana o alabeada) puede venir definida por los sistemas (entre otros): F(X, y, z) : O { G(x, y, z) - O

z = f(x , y)

y = f(x)

{ z = g(x, y)

{ z = g(x)

{~ : ~(t) z=

g(t)

X

= x(t)

y = y(t) {

.z

= z(t)

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y razonando, como anteriormente, a partir de la diferencial de arco ds cribiremos: Cartesianas:

ds =

J

y 1 + (d dx )2

2

+ (dZ)2 dx dx ---7 S = fX

Xl

J

y 1 + (d dx )2

2

Paramétricas:

ds =

dX)2 ( dt

+ (dy)2 dt + (dZ) dt

dx

---7

s =

J dX2

=

35

+ dy2 + dz 2, es-

+ (dZ)2 dx dx

1t2 JX'(t)2 + y'(t)2 + Z'(t)2 dt t

1

Ejemplos 1. Consideremos una circunferencia de radio r y un punto P(x, y) de la misma. Cuando esta circunferencia rueda sin deslizar sobre una recta, el punto P genera una curva plana denominada cicloide (Figura 1.18).

al Determinar unas ecuaciones paramétricas de la cicloide bl

y estudiar si es una curva lisa.

Calcular la longitud de un arco completo de esta curva.

y

o

• x fI

2:n:r

Figura 1.18

RESOLUCiÓN

al Tomaremos como parámetro el ángulo

t (en radianes) que en un tiempo (T) ha girado el punto P alrededor del centro de la circunferencia (C). De la observación de las Figuras 1.18 y l.19, se tiene:

x = OH

~ MC =

rt

+ rcos(3 n 2

- -

y=HC+CN=r+rsen

~ t) =

rt

+


(3n) =r+r(3n sen 2 ~ t

X =

r(t

y

r(1

=

~ ~

2

2·cost ~ 0

de donde resultan las siguientes ecuaciones paramétricas de la cicloide:

{

sen 3n. sent)

sen t) cos t)

)

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36

Cálculo integral y aplicaciones

y Posición inicial (T = O)

-1 -------------- -----------'--l-------"-..-=---___

-=------Jx~

rl _ _ _ _ _""'-____

o=p

H

Figura 1.19

Para discutir si la curva es lisa, consideremos sus derivadas: x'(t) = r(1 - cos t)

y'(t)

=

r sen t

Estas funciones derivadas son continuas en todo R, pero sin embargo, se anulan simultáneamente en los puntos t = 2kn, k E Z (véase Figura l.18). En consecuencia la cicloide no es lisa en 1 = R. Nótese, no obstante, que la curva es lisa en cada subintervalo (O, 2n), (2n, 4n), ... Cuando esto sucede, es decir, cuando el intervalo 1 puede di vidirse en subintervalos en los que la curva es lisa, se dice que ésta es lisa a trozos en el citado intervalo. b)

Aplicando la Fórmula (19), siendo:

se tiene:

2IT r J2 - 2costtdt {cost = cos 2 -t s= f o 2

[

=4r - cos

2.

-

sen 2

t} = 2r f 2IT sen -t dt = 2 o 2

-

tJ 2" =4r[ - (-[-I)]=8r

2o

•

Consideremos las curvas el y e 2 definidas por las ecuaciones:

al e¡ es una curva cerrada que recibe el nombre de Lemniscata de Bernouilli. Obténgase su ecuación en polares, dibújese su gráfica, hállese el área por ella encerrada y finalmente, su longitud. Expresar gráficamente e2 . Calcúlese el área encerrada por el eje de ordenadas y la porción de e2 comprendida entre el origen y su primer punto de corte con dicho eje. Obféngase por último la longitud de dicha porción de esta notable curva denominada Espiral de Arquímedes.

bl

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37

Integrales definidas simples

RESOLUCiÓN

al Aplicando las fórm ulas del cambio

pcos e, y

(x =

p sen e), resulta:

=

='

{p

=

O (origen)

p2 = cos 2e donde un razonamiento análogo al utilizado con la Figura 1.16, da lugar al primer gráfico de la Figura 1.20. y r y = (tg p) x

y

x x

p ='8 ' Figura 1.20

Habida cuenta de la simetría existente, escribiremos: 1 A = 4 .2

f"/4P

2

de = 2

o

f"/4cos 2e = 2 sen 2e J"/4 = 1 2

o

o

dp . Por tanto: de

Para calcular s deberemos obtener la derivada -

~

?

p- = cos 2e {derivando respecto de e} : 2p - = - 2 sen 2e de _

-

-

sen 2e

---->

(d P)2_ sen -

/4

s

=

_

- 2

)2 p2 + ( d: de d

f" /2 cos - .1 /2 (t) dt

=

4

p2

f"/4 o

en donde aplicando que 1(P)

2e _ sen 2 2e cmW sen

2

f"/4

2e

cos2e+--de =4 cos 2e o

{2P- 1 O

o

2

= p'( e) =

de ·

--- ----

@

p

r 4 Jo

-

~

--> -

de

~ y' cos 2e

{2e=t} =

(1 1) _

} -_ 2 . -1 B - - - 1(1/2)10/4) - - -2 2' 4 1(3/4)

=

2q - 1 = - 1/ 2

1(p

+

=

1) ,

y tablas (Figura 1.11), resulta:

P

1(l /4) = 41(5/4) = 3,6256 { 1(3/4) = (4/3)1(7/4) = 1,2254

-->

s =

Jn .2,9585 = 5,2438

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38

Cálculo integral y ap licacion es

Puesto que la recta genérica r «barre» el área pedida cuando fJ varía entre ser r : y = tg P . x) y n/2, tendremos:

b)

°

(se prueba fácilmente al

48

l

= - [1 ,571 J 3,467 + L(l,571 + J 3,467)] = 2,079 2

•

Volumen de un sólido de secciones conocidas Consideremos un cuerpo sólido del que se conoce el área de cualquier sección perpendicular a uno de los ejes coordenados. Sup'ongamos que el eje es el z, que dicha área es una función continua de la variable z definida por A = A(z), y finalmente, para centrar ideas, que el sólido en cuestión es el representado en el primer gráfico de la Figura 1.21. Si el elemento (diferencial) de volumen, sombreado en este gráfico, tiene además una altura dz, podrá tomarse como valor de su volumen (error despreciable) el valor dV = A(z) dz . Consecuentemente, y razonando como en los casos anteriores, resulta: ll

dV = A(z) dz --4 V =

f

I

Z?

o A(z) dz .

En general:

V=

(21)

A(z)dz

ZI

Las fórmulas correspondientes, cuando las secciones conocidas son normales a los otros dos ejes coordenados, son evidentes. La relación (21) se conoce COn el nombre de Regla de Cavalieri.

z z

A (z)

5

- / - ----..y

x

x

Figura 1.21

Y

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Integrales definidas simples

39

Ejemplos

Consideremos un sólido cuya base es la elipse X2 + y2 = 1. Obtener su volumen, sabiendo que toda 16 25 . sección normal al eje y es un triángulo isósceles de altura 6 unidades. 1.

RESOLUCiÓN

Una vez reflejados los datos (segundo gráfico de la Figura 1.21) y teniendo en cuenta que: 25 - y2 x2

=

16

4

-*x

25

= -

5

J 25 - y2 (cuando x ~ O)

escribiremos : ,

1

= 2· (Area triángulo sombreado) = 2· - 6x

A(y ) (triángulo ABe)

2

4

=

=

6· - J 25 - y2 5

A(y)

24

=

J 25 - y2

= -

5

En consecuencia: dV = A(y) dy

y realizando el cambio y

48 V=5

2.

=

fn/2

-*

24

V=5

f5 - 5

24 J 25 - y 2 dy {simetría} = 2· 5

f5

J 25 - y2 dy

o

n/2} , resulta:

y = 5, t = 5 sen t { y = O, t = O

f n/2

cos 2 tdt

J 25(1 - sen 2 t) (5 costtdt) = 240

o

=

o

X2 y2 Determinar el volumen del elipsoide 2: + -; a b-

n 240 - = 60 n 4

•

Z2

+ 2: = e

l.

RESOLUCiÓN

Intersecando el elipsoide con el plano z = O (por ejemplo), se tiene la elipse sabemos, es nabo Como la sección A(z) del elipsoide por un plano paralelo al z semiej es (dibújese el gráfico correspondiente): a - - a'=-Jc _z e 2

se tendrá que:

2

b b'

=

2

a

O, y distante z de él, es una elipse de

-Jc e

= -

x: + by: = 1, cuya área como

-

Z2

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40

Cálculo integral y aplicaciones

Por consiguiente: dV

nab

= A(z) dz ---+ V = - 2 e

fe

(e 2 - Z2 ) dz

2nab

= -2e

- c

fC

(e 2 - Z2) dz

4

=-

nabe

3

o

•

Volumen de un sólido de revolución Supongamos una curva e definida por la función y = f(x) continua en un cierto intervalo [a , b]. Al girar esta curva alrededor del eje x (por ejemplo) engendra un sólido de revolución (Figura 1.22) cuyo volumen, podrá calcularse aplicando (21) ya que se conoce el área de cualquier sección normal a dicho eje. y

y

y

y=: g (x) ~-""

R¡

o

~~----~L------J----~--------~------~ x

a

x x + dx

b

a

b

Figura 1.22

Aplicando pues la fórmula de Cavalieri, y como A(x) (área circular sombreada) es n[y = f(x)] 2, resultará que el volumen del sólido en cuestión comprendido entre a y b, vendrá dado por:

(22)

Las fórmulas correspondientes en paramétricas (obvias) y en polares por giro alrededor del eje polar (pruébese ésta), vienen expresadas por las siguientes relaciones: t2

V

=

n

f

[y'(t)]2 X '(t) dt

(23)

tl

En caso de que la curva e pueda expresarse por la ecuación x = g(y), el volumen del cuerpo de revolución engendrado por e al girar alrededor del eje y, resulta (22) evidente (véase Figura 1.24 y ejemplo correspondiente). Consideremos ahora la región R 1 de la Figura 1.22 (área limitada por la curva y el eje x entre a y b). Evidentemente el volumen engendrado por R 1 al girar alrededor del eje x vendrá dado por (22) pues el cuerpo generado es el mismo que cuando gira la curva y = f(x). Hecho este comentario, tratemos ahora de obtener el volumen engendrado por la citada región R 1 al girar alrededor del eje y, utilizando únicamente la ecuación y = f(x). Para ello, razonaremos, como siempre, con elementos diferenciales.

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Integrales definidas simples

41

El «rectángulo» sombreado en R 1 de base dx y altura y = f(x), genera, por giro alrededor del eje y , una corona cilíndrica (tubo de grosor dx), cuyo volumen diferencial (dV) es: dV

= V 1 (cilindro de radio x + dx) - V 2 (cilindro de radio x) = n(x + dX)2y - nx2y = =

n[2x dx

+ (dx)2 ]y

'" 2nx -j(x) dx

Asimismo, el elemento diferencial de volumen generado por el «rectángulo» de la región R 2 al girar alrededor del eje y, vendrá expresado por dV = 2nx[f(x) - g(x) ] dx. Consecuentemente, el giro alrededor del eje y de las secciones R 1 y R 2 (segundo gráfico de la Figura 1.22), generan sólidos de revolución cuyos volúmenes respectivos V(R 1 ) y V(R 2) son:

VeR 1)

= 2n

f

V(R 2)

xf(x) dx

=

2n

f

x [f(x) - g(x) ] dx

(24)

Área lateral de un sólido de revolución Supongamos que la curva anteriormente definida por la función continua y = f(x) (considérese el segundo gráfico de la Figura 1.22) gira alrededor del eje x, dando lugar a un cuerpo de revolución cuya área lateral (A) se desea obtener. Habida cuenta de que el elemento diferencial sombreado engendra un «tronco de cono» (r 1 y r 2 radios de sus bases, y generatriz rectilínea g '" ds) , cuya área lateral es, como sabemos:

resulta:

dA

= 2ny

JI

+ (~~y ·dx

-t

A

= 2n

f

f(x) J l

+

[f'(x) ]2 dx

(25)

Ejemplos 1.

Consideremos la circunferencia C de centro (O, 2) Y de radio 2.

al

Determínese el volumen generado por C al girar alrededor del eje x, y compruébese el resultado utilizando coordenadas polares.

bl

Traslademos la circunferencia C hasta que su centro sea el punto (O, 5). Calcular el área del cuerpo resultante (toro) al girar esta última circunferencia alrededor del eje x . RESOLUCiÓN

al Observando la Figura 1.23, es claro que el volumen (V) pedido será el generado por la semicircunferencia C 1 de trazo continuo (y ~ 2) menos el correspondiente a la C 2 (Y :S 2).

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42

Cálculo integral y aplicaciones

y r

Q (O, 4)

Toro

.,

"

,,"",, ~/,' I ()

-2

x

2

°

Figura 1.23

Como:

, y- 2=

-- {e

± J4

-

X2 ---->

+ J4

l

:

Y

=

2

e2

:

Y

=

2 -

J-4 X2 X2

y operando por la simetría con la región sombreada, escribiremos:

=

16n

2 fo J4 -

x 2 dx{x = 2sent} = 16n·4

f"/2 cos

2

o

n

tdt = 64n· - = 16n 2 4

En polares: del triángulo rectángulo OPQ se tiene de inmediato que p = 4 sen 8 es la ecuación de e (compruébese sustituyendo x = p cos 8, y = p sen 8 en su ecuación cartesiana). n Como para que r barra la zona sombreada, 8 debe variar entre O y - , aplicando la fórmula (23), se 2 tendrá:

2n V=2·3

f"/2(4sen8) 3 sen 8d8= -256n- f"/2sen 3

o

4

o

8de

1 4}

{2P = __ = 2q ]- 0

= 256n.~ B(~ ~) = 12Sn 1(5¡2)r(l ¡2) = 64n (~ ~ n) = 16n 2 3 2 2' 2 3 1(3) 3 2 2 Razonando como anteriormente se tiene que el : 5 + J 4 - x 2 , e2 : 5 - J 4 - X2 ; con lo cual, aplicando la fórmula (25) resulta (dibújese e y analícese el porqué del signo + que aparece en la relación que sigue):

b)

A = 2· 2n

2

f

o

[5

-

+J 4-

X2

+ (5

-

- J4 -

X2) ]

J

2dx 4 -

= SOn X2

f2 .

o

J

dx 4 -

= 40n 2 X2

•

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Integra les defini das simp les

2. La curva de la Figura 1.24, es parte del grafo de una función y ecuación x(4 - X)2 - y2 = O.

=

43

f(x) definida implícitamente por la

y

4

x

Figura 1.24

Hallar el volumen engendrado por la región sombreada al girar alrededor del eje y: a)

A partir de la fórmula (22) dV = rrx 2 dy.

b)

Mediante la relación (24) dV = 2rrxf(x) dx.

RESOLUCiÓN

De la ecuación x 3 - 8X2 - y2 + 16x = O dada, difícilmente podría despejarse x = g(y) para con ello aplicar la fórmula (22). Sin embargo, como se nos exige aplicar dicha fórmul a, consideramos que una so-' lución es escribir lo siguiente: a)

dV = rrx 2 dy {y = f(x) } = rrx 2 . f'(x) dx y en consecuencia:

V{simetría, y Obtengamos f'(x)

~ O} =

f:

2· rr

2 x f'(x) dx

dy = -:

dx dy 1 4 - 3x - = - - - (4 - x) - J x = - --dx 2Jx 2J x

-

Al ser (y ~ O) Y = J X(4 - x), con lo que:

I X2 f'(x) dx = - (4X 3 / 2 - 3X 5 / 2) dx

.

2

En consecuencia:

f4

1 [8 V = 2rr ' (4X 3 / 2 - 3X 5 / 2) dx = rr - X5 / 2 2 o 5

b)

V{(24)} =2·2rr

f4 4 fo xf(x)dx = 4rr o x. J x(4 -

-

J4

6 72 2.048 X / = - - rr (valor absoluto) 7 o 35

-

x)dx=4rr

f4 (4x o

3 2 /

2.048 _x 5 / 2 )dx=-- rr.

35

•

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44

Cálculo integral y aplicaciones

Teoremas de Pappus

En· el segundo gráfico de la Figura 1.22, se muestra un elemento diferencial de área dA = f(x) dx, que por giro alrededor del eje y engendra otro elemento diferencial de volumen dV = 2nxf(x) dx. Si lo anterior se expresa, escribiendo: dV

= 2nx· dA

podía este resultado, enunciarse en los siguientes términos: el volumen engendrado por la región sombreada (de área dA) al dar una vuelta alrededor del eje y, es igual al producto de dA por la distancia recorrida por dicha región. Lo anterior justifica los dos siguientes teoremas debidos a Pappus (300 a.e.) y que podrán probarse con rigor al estudiar centros de gravedad en la siguiente Sección. Consideremos una región A del plano situada a un solo lado de una recta (r ) de este plano: «El volumen del cuerpo engendrado por A al dar una vuelta completa alrededor de r, es igual al producto del área de la región A por la distancia que ha reconido su centro de gravedad». «El área de un sólido de revolución, es igual al producto de la longitud del arco que lo genera por la distancia recorrida al dar una vuelta completa el centro de gravedad de dicho arco». Ejemplo

al Aplíquense estos teoremas para comprobar los resultados del primer ejemplo anterior (véase la Figura 1.23).

bl Obténganse las fórmulas generales del vol umen y área del toro engendrado por una circunferencia de centro (0, a) y radio r (1' < a) que gira alrededor del eje x . RESOLUCiÓN

C(O, 2) y de radio r = 2, encielTa un área de 4n ¿¡2 (u == unidades). Al dar una vuelta alrededor del eje x, su centro de gravedad C reCOITe una distancia de 4n u. En consecuencia:

al La circunferencia de centro

V(pedido) = 4n . 4n = 16n 2 En el segundo apartado nos piden un área: cuando la circunferencia de longitud 2nr = 4n, gira alrededor del eje x, su centro de gravedad C(O, 5) recorre 2n' 5 = IOn. Por tanto: A(pedida)

=

4n · IOn = 40n 2

bl Teniendo en cuenta los siguientes datos del toro: área del CÍrculo cia

=

2nr, distanci a recorrida por su centro de gravedad C(O, a) = V(toro) = nr 2 ·2na = 2a(nr)2

A (toro)

=

nr 2 , longitud de su circunferen2na, resulta: =

2nr· 2na = 4a(n 2r)

•

Centros de gravedad o centroides Sean dos masas In 1 Y 1n 2 sobre las que actúa el campo gravitacional terrestre (para centrar ideas trataremos con fuerzas gravitatorias). Consideremos asimismo (Figura 1.25) una referencia, en

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Integrales definidas simples

x,

m)

dm m (C) 9

la

m

9 C(x,y,Z)

I IIX

x)

'n

O m)g

I 1IX

X

O

X

I I I I I I I I I

án

X

I I I I I I

t o:

t

mg

mg Figura 1.25

al e-

45

la que hemos representado el origen O (punto arbitrario) y únicamente uno de sus ejes (aunque se ha tomado este eje x normal a las fuerzas mig, el resultado que buscamos no depende de la dirección de dicho eje). . Recordando de mecánica elemental que la fuerza resultante mg, para producir el mismo efecto que las m1g Y m2g, además de verificar mg = m1g + m2g (m = m1 + m2) deberá tener el mismo momento estático M (respecto de cualquier punto, por ejemplo O) que ellas, tendremos (véase el primer gráfico de la Figura 1.25):

u-

x=

=> de

m1x1

+

m2x2

= m1 + m2

m

siendo en R3 inmediatas las siguientes relaciones (m = L m): _ _ _ C(x, y, Z) : x

Lm¡Xi

= --

LmiZ

z=--i

m

m

ar

Supongamos ahora (segundo gráfico de la Figura 1.25) un cuerpo de masa m. Razonando con elementos diferenciales, operando de igual forma que anteriormente, y prescindiendo de los límites de integración, escribiremos: e-

d(M)

= tdm- g)x ~ M (momento respecto de O) = g f x dm

y puesto que el momento de la fuerza

mg

es M = mg· X, resulta:

0-

M

•

= g f x dm = mg·

n

=>

f x dm

= m .x

En consecuencia:

_

as

x

C(x,

y,

z) :

fXdm

x=---

m

fYdm

y=--

m

fZdm

z=-m

(26)

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46

Cálculo integral y aplicaciones

I Este punto C (donde puede considerarse concentrada toda la masa del cuerpo) se denomina cefitroide o centro de gravedad del sistema de partículas o del cuerpo por ellas formado. Si el cuerpo es de densidad constante (p), al ser m = p' V(dm = p' dV) las relaciones (26) darán lugar a las: fYdV Y=-V-

_ _ _ fXdV C(x, y, Z) : x = -V-

_

fZdV

z=--

'(27)

V

De igual modo, cuando el cuerpo en cuestión fuese una superficie plana (en este caso p sería la masa por unidad de superficie) o una línea plana o alabeada (p sería la masa por unidad de longitud), se tendrían respectivamente para el centroide C las siguientes relaciones:

_

fXdA

C(x, y) : x

_ _

= --

IYdA

ji

= - - (A

y

=;= - -

A

A

fYdS

_ _ _ fXdS C(x, y, Z) : x = - s

s

es el área de la placa)

(28)

fZdS

z= -

s

-

(s == longitud)

(29)

Ejemplos 1. Calcular el centroide C(x, ji) de una placa plana homogénea (densidad superficial constante) en forma de triángulo rectángulo, siendo a y b la dimensión de sus catetos. RESOLUCiÓN

Para hallar la coordenada

x operaremos con el

primer triángulo de la Figura 1.26, en donde dA

=

Y dx =

1

=

f(x)dx, A = - ab:

2

1

X= A

f

2

fa

2

fa

bx

2a

xdA = x[f(x)dx] = X dx = abo aboa 3 y

y bx y= -

b - -- - --- --- --- -- ---- -- ---- --- -- --- -

a

b y -------- ---- -----

x

y

a

---- -- --- --- ---~======1

o

x

Figura 1.26

x

a

x

http://carlos2524.jimdo.com/ 'Integra les definid as simples

asimismo, observando el segundo triángu lo [dA

=

47

(a - x) dy], escribiremos:

fbo (ay - ba) b yZ dy = "3

1 Y dA { dA = ( a - b ay)} 2 ji = A dy = ab

Obtengamos nuevamente el resultado ji = b/ 3 integrando en la variable x (q ue en alguna ocasió n pudiera facilitar los cálculos): ji = -1 A

f {

y dA y = -bx , dA = (a - x) dy = (a - x) -b dx } = -2 a a ab

fa -bx (a oa

x) -b dx = -b a 3

Veamos otra forma de hallar el centroide C(x, ji) de placas planas que suele resultar más si mple que con las fórm ulas (28): Consideremos la Figura l.13, y supongamos que la superficie (A) es la limitada por la curva y = f(x), el eje x, y las rectas x = X l ' X = x z . Habida cuenta de que (x, y/2) es el centroide del elemento diferencial (de área dA) sombreado, se tiene: Los momentos de A respecto de los ejes x e y, son:

Los momentos de dA

=

f(x) dx respecto de dichos ejes, son:

I

X

2 y f(x) 1 _ d(M) = (dA)·- =f(x)d.x·- --+ M _= fZ(x)dx = A·y x 2 2" 2 x,

d(M) = (dA) . x = xf(x) d.x

en consecuencia:

Ix,

--+

My =

f,2

xf(x) d.x = A .

X

C(x, ji) : x =

-1

A

2

X

xf(x) dx

, )1

= -1

2A

aApliquemos (30) para obtener de nuevo la ordenada ji _ 1 y- 2A

Ix,

x

2

fZ(x) dx

b/ 3 (Figura 1.26):

=

Z fa(bX) Z _ 1 b fa Z _ b a b dx - - ' x dx--'- -3

_

O

a

ab a

Z

o

a

3

3

3

+ yZ

~ R2.

2.

Consideremos un cuadrante del círculo defi nido por la ecuación

a)

Hallar su centroide aplicando las fórm ulas (28), (30) Y el Teorema de Pappus.

XZ

Este cuadrante al girar alrededor de uno de sus ejes, engendra una semiesfera (x 2 Obténgase su centro de gravedad.

b)

(30)

• + y2 + zZ

~ R Z).

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48

Cálculo integral y aplicaciones

RESOLUCiÓN

(28). Puesto que

a)

C(x, ji = x),

calculemos

1 R3

_

x (primer gráfico de la Figura

4

R3

nR 2

3

x = -· - = - · -

A

3

4R

= -

1.27):

C(4R, 4R) 3n 3n

=>

3n

z

y R

/

/ / / / /

y

/ /

o

x

R

x

x Figura 1.27

(30). Calculemos ji que parece más sencillo:

ji

~

1 2A

= -

fb f2(X)dx a

2 nR 2

= -

iR (R 2 -

x2)dx

O

2 2R nR 2 3

3

= -. -

4R 3n

=-

(Pappus). El cuadrante sombreado al girar alrededor del eje y, genera una semiesfera de volumen 2 nR 3 , el cual deberá ser igual al área de cuadrante (n: ) por el camino recorrido por su centroide

C(2nx). En consecuencia:

=>

b)

-

4R

x=-

3n

Puesto que C(O, O, Z), escribiremos (segundo gráfico de la Figura 1.27): Al ser dV{ «cilindro»} = na 2 . dz = n(R 2 - Z2) dz, aplicando (27), se tiene:

• 3. Consideremos una región (R) limitada por la curva y = f(x) = 2x - x 2, y el eje x. Dicha región gira alrededor del eje y.

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Integrales definidas simples

al Pruébese aplicando Pappus

y la fórmula (24), que el volumen del cuerpo de revolución engendrado

es V = Sn/3.

bl Hállese nuevamente V utilizando la fórmula usual dV = nx z dy. Nótese ahora que en y = f(x) deberán considerarse dos ramas, la x = l - ~ a izquierda de x = 1, Y la x = 1 + ~ a derecha. Con ello, resultará: V= n

I J

+ ~)Zdy

(l

- n

o

JI

f

ydV= -3 Sn

JI o

(l - y)l /zdy =Sn -

3

o

R y del cuerpo tienen por coordenadas respectivas (1 , 2/5) Y

y, O), siendo:

y = -1 V

4.

(1 - ~fdy = 4n

o

el Compruébese que los centroides de (O,

JI

3) = -2 (también) y· 4n(l-y)l /zdy = -3 B ( 2,2 2 5

•

Repítase el anterior ejemplo con y = f(x) = senx (entre O y n/2), comprobando que: dV = nx z dy

-+

V= n

JI

o (n)Z "2 dy - n

JI

3

"4 -

o (arc seny)z dy = n

Z n (n "4 - 2 ) = 2n

Inténtese asimismo obtener V (entre O y n) = 2n z, utilizando únicamente la relación dV = nx z dy .

•

Centroides de sólidos de revolución

Consideremos nuevamente la Figura 1.13 y supongamos que el área (A) encen·ada por la curva y = f(x) , y el eje x entre Xl y xz' gira alrededor de dicho eje. En las condiciones dadas, resulta evidente que C(i, O, O) será el centroide del cuerpo de revolución engendrado. Como además dV (generado por la región sombreada) = nyz dx, sustituyendo esta relación en (27), se tendrá: C(i,O,O):i=-1 V

f

xdV = -1 V

f

IXl

n x · nyZdx=xf2(x)dx V x,

(31)

Ejemplo

al Suponiendo que un cuadrante de círculo (primer gráfico de la Figura 1.27) gira alrededor del eje x, compruébese mediante (31) que el centroide de la semiesfera engendrada es C(i, O, O)/i = 3R z/ S. bl Aplicando las fórmulas (27) y (31) transformada, obténgase el centroide C(O, O, Z) de un cono de revolución (cuyo eje es el z) de altura h y radio de la base r. RESOLUCiÓN

_

al C(x, O,

_

n

O) : x = -2-

- nR 3 3

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Cálculo integral y aplicaciones

b)

Habiendo situado el cono en la posición de la Figura 1.28, y puesto que:

dV

{r a} z

na 2 dz h

=

= -

=

(rz)2 dz

n 11

z

hy- rz = O r

-1 1

o

y

x Figura 1.28

siendo V =

1

- nr 2

3

.

11, se tiene:

Adecuación de (31): la curva

hy - rz

=

O (del plano

yz)

gira alrededor del eje

z.

El equivalente de

Xf2(X) dx, será obviamente:

Consecuentemente (31):

que coincide con la expresión integral anteriormente obtenida.

•

Momentos de inercia Consideremos una masa puntual m distante r de un punto o un eje (E) a.lrededor del cual gira con velocidad angular w (Figura 1.29). Su energía cinética (W) vendrá expresada, como sabemos, por:

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Int egrales definidas simp les

51

z

x In r-----~ , -- y --------~

,, , :

¡

d (y)

r

/

z

V -----------------------

---'j--- -___

y

/ / / /E

x

Figura 1.29

Si el cuerpo (de masa m) no es puntual, la igualdad anterior resulta válida para cada una de sus partículas de masa mi (m = L m) puesto que w es la misma para todas. Con ello, podremos escribir: 1 1 1 W = - (m r 2 )w 2 + - (m r 2 )w 2 + .. . = - (L m.r 2 )w 2 2 11 2 22 2" Por definición, los factores mr 2 , L mir~ se denominan momentos de inercia (de la masa puntual o del cuerpo en cuestión) respecto del elemento (E) alrededor del que giran. Los momentos de inercia suelen representarse por la letra mayúscula I. El momento de inercia respecto de un plano se define del mismo modo: producto de m (si es puntual) por el cuadrado de su distancia a dicho plano. Por otra parte, como el cuerpo, en general, estará formado por infinitas partículas, el cálculo de su momento de inercia deberá llevarse a cabo mediante integración. Razonando con elementos diferenciales, es decir: momento de inercia diferencial correspondiente a una masa dm que dista r del punto, eje o plano, escribiremos:

(32)

Nótese que para aplicar correctamente (32), la distancia entre cualquier punto de dm (dm puede ser un anillo delgado, una placa delgada circular, ...) y el punto, eje o plano considerado, debe ser constante e igual a r . Ejemplo Hallar en función de su masa CM) los momentos de inercia de los siguientes cuerpos:

al Un cilindro de masa M

y radio R respecto de su eje CE).

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52

Cálcu lo integral y aplicaciones

Una varilla muy delgada de masa M y longitud L respecto de un punto (o eje E) que pase por uno de sus extremos.

b)

RESOLUCiÓ N

a)

Supongamos que la altura del cilindro es h , y p su densidad (V = nR 2 h , M = pV): di = r 2 dm {dm = pdV, dV = 2nrdr · h} = 2nhp · r 3 dr :

i

1

R

I = 2nhp

r 3 dr = - nhp· R 4

2

o

Como se pide I en función de M , multiplicando y dividiendo por M = pV = p ' nR 2 h, resulta: 1 M I = - nhp . R 4 . - - 2 p · nR 2 h

1

I (cilindro) = - MR 2 2

=>

Si el cilindro fuese hueco de radio r (interior) y R (exterior), del mismo modo se probaría que: I(cilindro de radios r y R) y en el caso de ser hueco con pared muy delgada (R

~

1 = -

2

M(R 2

+ r2 )

r) , se tendría:

I (cilindro hueco de pared delgada

-->

tubo o anillo)

=

MR 2

Aunque se simplificará de igual forma que la h anterior, supongamos que la sección transversal de la varilla (Figura 1.30) es A (V = A . L , M = p V):

b)

di = r 2 dm {dm = p dV = peA dr)} = pA . r 2 dr :

I =

f

L

r 2 dm = pA

f

1

1

M

1

r 2 dr = - pAL 3 = - pAL 3 . - - = - ML 2 o 3 3 pAL 3

dm E .~=========::::¡I::::¡:I==:=J 1_ _ I~dr L

- - r - -__\

Figura 1.30

•

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Integrales defin idas simpl es

53

Relaciones entre momentos de inercia

A continuación, se presentan ciertas relaciones entre los momentos de inercia de un cuerpo, que facilitarán en gran medida el cálculo de éstos. Para fijar ideas, las deduciremos utilizando la masa puntual m (véase Figura 1.29), pues en el caso de un cuerpo, dichas relaciones, que también son válidas, se obtienen de forma totalmente análoga (operando con dm). Denotemos por lo, Ix, Ixy, ... los momentos de inercia de m (o del cuerpo en cuestión) respecto del origen, del eje x, del plano xy . ... Observando la Figura 1.29, las distancias expresadas en ella, y aplicando las definiciones dadas, escribiremos:

de donde son inmediatas, entre otras, las siguientes relaciones:

(33)

Ejemplo Consideremos una esfera maciza de radio R y masa M. Calcúlese: a)

El momento de inercia respecto de un eje que pase por su centro.

b)

El momento de inercia respecto de su centro, aplicando (32).

RESOLUCiÓN

a) Tratar de obtener este momento de inercia aplicando la fórmula (32) y operando en cartesianas, presenta gran dificultad. Mucho más sencillo resulta hallar el momento de inercia (l x) respecto de un plano que pasa por el centro de la esfera, y aplicar las relaciones (33). Basándonos en el segundo gráfico de la Figura l.27 (esfera completa), y t01~ando como dm el «cilindro» diferencial sombreado (todos los puntos de dm distan un constante r = z del plano horizontal), escribiremos:

multiplicando y dividiendo por M

=

PV =

4

p."3 nR 3 , se tiene: M

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54

Cálculo integral y aplicaciones

Y al ser IXY = I xz = IyZ =

1

"5

MR 2, aplicando (33) resulta:

=>

b)

Utilizando (33) es inmediato que: ? 3 1o = 31xy = -5 MR-

Comprobemos este resultado mediante integració n (32): para que la distancia entre cada punto de dm y el centro O (O, O, O) de la esfera sea constante e igual a r, el elemento dm deberá ser la masa de un globo esférico delgado (radio interior r, y exterior r + dr). Obtengamos pues la masa dm = p dV de dicho globo:

444 3

dV = - n(r

3

=

+ dr) 3 -

- nr = - n(3r 2

3

3

4nr 2 dr (diferénciese el volumen de la esfera V

Con ello se tiene (O

~

r

~

4

+ 3r dr + dr 2 )dr ~ -

3

=

n(3r 2 ) dr

~ nr

3

=

)

R):

Véase también el Ejemplo resuelto 6 en donde de nuevo se obtiene el momento Ix de esta esfera de dos formas relativamente simples mediante dos artificios : uno, general para todo tipo de cuerpos, y el otro, particular para cuerpos de revolución.

•

Teorema de Steiner. Radio de Giro

Si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto de un eje, este teorema permite calcular el momento de inercia respecto de cualquier otro eje paralelo al anterior. La fórmula de Steiner viene expresada por la siguiente relación : (34) siendo le :

1: Myd:

Momento de inercia respecto de un eje (e) que pasa por el centroide (e). Momento de inercia (que se busca) respecto de un eje Ce) paralelo al e. Masa del cuerpo y distancia entre dichos ejes.

Probemos esta relación (34) que se obtuvo por primera vez en 1783: Apoyándonos en que los tres puntos: P (punto cualquiera del cuerpo) e (centro de gravedad) y el punto donde está situada la masa puntual dm, definirán un plano, hemos dibujado plana la Figura 1.31. Se ha elegido una referencia cartesiana cuyo origen coincide con e, por lo cual, como se ha plasmado en dicha Figura,

f

x dm = O.

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Integrales definidas simples

55

y

Al ser Ce\' = O, y = O):

J dm x

>\' = - - = O => X

a

J dll1 X

=

~ :

r

a

O

c (O, O)

x

x

Figura 1.31

Sin más consideraciones, y teniendo en cuenta que 1 =

1=

f

r 2 dm {teorema del coseno} =

f

(a 2

+ d2

-

f

r 2 dm, l e =

f

a 2 dm, escribiremos:

2adcosrx)dm {ccosrx = x } =

Radio de giro: cualquiera que sea la forma de un cuerpo, siempre será posible encontrar un punto Q situado a una distancia (k) de un eje (e) dado (puede tratarse también de un punto o plano) en el que cabe imaginar concentrada toda la masa (M) del cuerpo, sin modificar el correspondiente momento de inercia l e. Dicha distancia k, recibe el nombre de radio de giro del cuerpo respecto del eje e. En consecuencia, le = Me. . Así por ejemplo, en una esfera maciza, el radio de giro respecto de su eje de revolución vendrá determinado por: 1=

2 MR 2 = Mk-?

~

S

Ejemplos 1. El momento de inercia de un cuerpo de masa M = 4 kg respecto de un eje (e) situado a 2 m de su centroide (C) es l e = 20 kg· m 2 . Probar que el momento de inercia respecto de otro eje paralelo que dista 3 m de C, es 1 = 40 kg·m 2 . 2. Consideremos un cuerpo de masa M cuyos momentos de inercia respecto de su centroide (C) y de un plano (n) que pasa por C, se conocen. Probar mediante las relaciones (33) que sus momentos de inercia con relación a otro punto C' u otro plano n' (paralelo al n) verifican también la fórmula de Steiner (se prueba de inmediato supon iendo C' situado en la posición m de la Figura 1.29).

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56

Cá lculo integra l y aplicaciones

X2

Sea el elipsoide 2:

3.

z = e/S,

Z2

1, de masa M. Compruébese que sus momentos de inercia respecto b e y respecto de su centroide, son respectivamente: a

del plano

y2

+ 2: + 2: =

6

1= -Me 2

•

25

Momentos de inercia de superficies planas

En resistencia de materiales, cuando se estudia la flexión, aparece frecuentemente un concepto denominado «momento de inercia de una sección transversal » (momento, que resulta ser inversamente proporcional a la flexión transversal de una viga cargada). Los correspondientes momentos de inercia de dichas secciones vienen definidos (Figura 1.32) por: (35)

y y

h

p

h

y = -x

a

y

o

x

x

a

b

x

Figura 1.32

. Ejemplo Los anteriores momento de inercia lo , Ix, Iy se denominan respectivamente momento de inercia polar (lo) y momentos de inercia axiales. Determínense estos momentos cuando la superficie en cuestión es la del triángulo escaleno de la Figura 1.32. R ESOLUCiÓN

Dividiremos este triángulo en dos triángulos rectángulos y obtendremos, en principio el Ix del triángulo sombreado (todos los puntos del elemento dA, distan, como siempre, una constante r = y del eje x respecto del cual queremos hallar el momento de inercia):

1 Ix (triángulo sombreado) = h

JI! (ahy o

2 -

1 1 1 ay3)dy = - ah 3 - - ah 3 = - ah 3 3 4 12

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Integrales definidas simples

eto

Expresemos este resultado en función del área Al

I,

-

1

2

ah del citado triángulo: 1

Al

ah3

12

1 =-

1

-

•

2 Resulta inmediato que en el segundo triángulo, L,

-

6

ah 1

= - A2 h2.

6

Al h2

En consecuencia:

epto verigu-

Del mismo modo se obtendría que: 1

(35)

y

I bhta? 12

=-

+ b2 + ab)

1 A(a2 6

=-

+ b2 + ab)

Este resultado puede lograrse muy rápidamente aplicando, además del resultado anterior, que el Iy de 1 1 un rectángulo (tal como el de vértices O, a, P, h) viene dado por Iy = - a3h = - Aa2

3

3

Consecuentemente: 1o

= 1x

+1

y

1 = -6

A(h2

+ a2 + b2 + ab)

• x

(lo) y

la del

ngulo pecto

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58

Cálculo integral y aplicaciones

La integral de Riemann

1. al bl

Calcular en el intervalo [ - 1, 1] el área CA) limitada por el eje de abscisas y la curva y

J~

Determinar el valor de la integral 1 =

1

=

fCx)

=

xix!.

f(x) dx.

el

Hállese en dicho intervalo, gráfica y analíticamente, el valor medio integral J1 punto intermedio e.

=

f(e) , e igualmente el

RESOLUCiÓN ¡;2

al

Al ser y = f(x) =

xlxl = { - , 2

si x? O

se tiene la curva representada en el primer gráfico de la si x < O Figura 1.33; Y habida cuenta de la simetría existente, escribiremos:

- x

,

A = área sombreada = 2

I

J

X2

o

JI

2 dx = - x 3 3 o

2 3 y I y=g(x)

I I x

x

Figura 1.33

bl

1=

JI

xlxl dx =

JO -

- 1

el J1

X2

dx

+

-1

JIo

X2

dx = O (concepto)

Por la simetría resulta evidente que el valor medio integral (valor medio de todas las ordenadas) es

= f( e) = O, Y asimismo que e = O. Comprobémoslo mediante la fórmu la correspondiente: {l

= fCe) = - 1 -

fb f(x)dx = -1 JI

b - a {/

2

- 1

xlxldx = O

=

e=O

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Integra les definidas simpl es

2.

59

Hallar el área de la región limitada por las curvas:

y = f(x) = - X2

+ 3x -

1

,

Y = g(x) = X3

2x 2

-

+X-

1

RESOLUCi ÓN

Después de haber dibujado la frontera de dicha región y obtenido los resultados plasmados en el segundo gráfico de la Figura 1.33, se tiene: A(área pedida)

=

fO

[g(x) - f(x)] dx

+

f2 [f(x) - g(x)] dx

°

-1

=

o

f

(x 3

X2 - 2x) dx

-

+

f2

-1

3.

Efectuando en las integrales (m, n

E

°

(-

5

8

37

12

3

12

+ X2 + 2x) dx = - + - = -

N):

f:

f:

'2

'2

[(m) =

x3

=

sen"'xdx

J(m, n) =

sen"'xcos"xdx

a) una única integració n por partes (hágase en ambas sen l1l - 1 x = u), se consigue obtener una senci lla ley de recurre ncia. Hallar con ella, el valor de [(5), [(6) y J(4, 5) que justificará n la siguiente fó rmula: (m - 1)!! (n -

f

"O/ 2

(m

1t

2

' m y n pares

sen"'x cos"x dx = (m - l )!!(n - I)!! -'------'--'-------, en los demás casos (m

b)

+ n)!!

l)!!

+ n)!!

e igualmente la relación:

f:

'2 sen"'x dx =

f:

'2 cos"'x dx

=

(m - 1)!!

1t

m!!

2

' m par

(m - 1)!! - - - - , m impar m!!

(véase el Ejemplo 4 que sigue).

RESOLUC iÓN

[ (m)

+ (m

sen"' - Ix = u . { sen x dx = dv "/2

- 1)

f

°

->

du = (m - I)Senl" - 2x.cOSXdx}

v = - cos x

=

-

.

sen,,, - Ix · cosx

J "/2

°

+

sen"'-2x ' cos 2x dx {cos 2x = I - sen 2x} = O + (m - 1)[/(m - 2) - [(m)')

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60

Cálculo integral y apl icaciones

de donde l(m)[1

+ (m

Haciendo igualmente en J(m , n) el cambio sem'" - 1x m - 1 1 - sen 2x, resulta J(m, n) = - - J(m - 2, n). m+n Consecuentemente:

al I(S) =

=

- 1)] = (m - 1)/(m - 2)

4 4 2 4 .2 - /(3) = -·-/(1) = S S 3 S·3

=

I(m)

m - 1

=

- -

m

/(m - 2)

u, y sustituyendo del mjsmo modo cos 2x por

f"/2sen x dx = -4 . 2 ·1 S·3

o

S S 3 S 3 1 S 3 1 1(6) = - /(4) = -·-/(2) = - · - · - 1(0) = -. - .6 64 642 642

f"/2dx 0

con lo cual:

l(S)

bl

=

411

" /2

f

o

sen 5 xdx

"/2

= -.:..:.

, 1(6)=

S!!

f

o

S!! n sen 6 xdx = - · 6!! 2

"/2 4 4 - 1 3 2- 1 3 . 1 f"/2 5 J(2 S)=-· - - J(O S)= cos 5xdx= f o sen xcos xdx=-4+S ' 92+S' 9·7 o

J(4 S)= ,

3·14·2·1

=-.- - =

9·7

Nótese que

f:'2

(4 - 1)!!(S - I)!!

S· 3

(4

sen 2x dx =

+ S)!!

f:'2

cos 2x dx =

¡,

resultado que es conveniente recordar pues estas dos

integrales aparecen muy frecuentemente.

4. al

Efectuando los cambios de variable x

n = - -

2

t, x

n = -

2

+ t,

respectivamente, demostrar las siguientes

igualdades:

1 f" "/2 f "/2 f o f(senx)dx = o f(cosx)dx = -2 o f(senx)dx

bl

Aplicando lo anterior calcular el valor del área del recinto limitado por los ejes coordenados y la curva y = L (sen x) en el intervalo [O, n/2]. Hágase para lograrlo el cambio x = 2t en la tercera integral (9).

(9 ) Aunque el estudio en el caso de que la funci ón subintegral f(x) no esté acotada en algún punto de [a, b1 (L sen x no lo está en x = O) ya ha sido realizado en la Sección 1.2, razónese para resolver este ejemplo sin tener en cuenta dicha singu laridad.

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61

RESOLUC iÓN

n Puesto que el cambio x = - - t, transforma el intervalo de integración [O, n/2] en el [n/2 , O] , escri2 biremos:

al

f

o" /2 f(se n x)dx = tr o/2f [ sen

(n)J "2 t

(- dt) =

r "/2 Jo f(cost)dt

De igual forma se probaría la segunda relación.

bl

Como Vx E [O, n/ 2] f(x) = Lsenx ~ O (mismo signo) , para hallar el área pedida deberá resolverse una integral (H) cuyo valor absoluto será dicha área (A) . En consecuencia: H =

"/2 i" {x 2t } i"/2 io Lsenxdx {indicación } =-2 o Lsenxdx dx, -_ 2dt o L sen(2t)dt = I

f:/ 2

=

f:/

L2

=

2

L(2 sen tcos t) dt

f:'

=

2

=

=

dt

+H+H =

(L2

+ L sen t + Lcost t) dt

n H = - L2 2

+ 2H

=

n

=

H = - - L2

2

=

n A = - L2 2

Integrales impropias

1.

I

oo

Consideremos la integral impropia 1 =

f

3

2

X

4x

-

+3

dx .

al

Calcu lar su valor. obteniendo para ello una función primitiva.

bl

Compruébese el resultado mediante estudio de la convergencia.

RESOLUCiÓN

al Puesto que 1 ti [3 , co ), dos son las singularidades de la integral 1: intervalo infinito y no estar acotada en x = 3. Para calcular esta integral a partir de su primitiva, podemos escribir: 1=

lim (H"j-( oo . O)

f

dx I = -. 2 3+, x -4x+3 2

1[ lim L (H--3) H - I

=-

2

H -oo

(2 +[;

Consecuentemente / diverge (el área relativa a x

bl -

(I1. ,j-( oo ,Oj

lim L - -

,-o

=

IX - 3IJ

E

x - I

)J = -1 2

3 es infinita) .

I ?

/1- -

4/1

+3

~

I

3+,

[O - ( -00 )] = co

Estudiaremos las dos singu laridades . Intervalo infinito (criteri o integral): 1 ~ I:

H

[ L --

lim

H

I: 2' (converge) . n

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62

Cálculo integral y aplicaciones

-

f(3)

= 00

(criterio del límite):

(x - l )(x - 3)

lim

1

2

x~3 +

(x - 3)/11

= - lim

x~3 +

X -

1

= - i= O, con

3

2

=

m = 1

1 diverge.

(x - 3)/11

2.

Consideremos la integral impropia:

al Determinense cuantas singularidades presenta. bl Estudiar su carácter utili zando siempre el criterio del límite.

RESOLUCiÓN

al La primera singularidad es evidente: intervalo infinito. Veamos también en qué puntos f(x) no está acotada (supuestamente serán aquellos donde su denominador se an ule): 3

x + 2x = O { x+5= 0

= {

X =

O

x

-

=

5 f/; [O,

00)

veamos si feO) = 00, pues pudiera existir en x = O discontinuidad evitable, con lo que la integral (por este moti vo) sería seudoimpropia y consecuentemente (1.2) convergente: (arct<> X)3 /2 lim f(x) = lim

x~o +

x~o + (x

6

4

b

+ 4x + 4x

2

)(x

= lim

+ 5)

X 3/ 2 -?-

x~3 + 4r· 5

1 1 lim = 20 x~o +

Jx

= -

Dos son, por tanto, las singularidades . Las di scutiremos haciendo 1 =

00

f~ + f X> (e > O) para que resul-

ten integrales con una si ngularidad (10) x"'(arct<> X)3 /2

f(x)

bl Intervalo infinito: lim - - = lim x~ oo

1

x~ oo

(x

6

4

b

+ 4x + 4x

2

)(x

+ 5)

n) 3/ 2 ="2 (finito), si In = 7 > (

=

(n)3 /2 .

2

lim

x ~ oo

x"' 6

x ·x

1 (convergencia).

(10) Podemos ahorrarnos este tipo de formalidades, pues el estudio de las singularidades de /, descompo ngamos o no esta integral, va a ser idéntico.

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f( O+) =

00 :

f(x)

lim

X'" ' X

lim

=

x~O +

.\" - 0 +

312

-

2

J

20

4x ·5

lim -

63

x"'

x~o + X 112

(x - O)'"

I = -

20

(fi nito), s i

1 In = -

2

< I (co nverge ncia) .

Po r co ns ig ui e nte, al existir converge nc ia respecto de todas las s ing ul arid ades, la in teg ra l 1 es co n vergente( I I) .

3.

Considere m os la f un c ió n y = f(x) , y la integral 1, definid as por: c uando x ::( I

f(x) = ( '" 1

vfx=l

si I < x ::( 2

,

4 - x,

r oo

f =

f(x)dx

< x ::( 4

si 2

Pro bar qu e 1 es con ve rgente y ca lc ul a r su valor.

RESOLUCiÓN

U na vez ex presada la fun c ió n y = f(x) gráfica me nte (Fig ura 1.34) es o bvio que aparecen dos s ing ul a rid ades. Compro be mos qu e e n a mbas ex iste co nverge ncia:

. hm

In tervalo in f inito:

f(x) --

1

x - - ce

= 11. m x"· e" = O (par a todo l

'

)

111 •

x - -::r..

XIII

A l ser e l lím ite 1 siempre nulo V 111, tomando, por ejem plo

1 = O (fini to), co n f( 1+)

= 00 :

(x -

f(x)

lim x-

=

l +

Iim

x~ l +

111 =

2 >

111 =

2, podrá escri birse:

(co nvergencia)

I

1)'"

(fini to), s i m =

J

(x - 1) 11-

2<

1 (converge nc ia) .

1)'"

(x -

Co n lo qu e 1 es co nvergente : E l á rea limitada po r la c urva y = f(x), y e l ej e x e n e l inte rva lo ( - 00 , 4], es finita. Calc ul e m os 1 y, por co ns ig ui e nte, di c ha área:

l = f 4 -

e Xdx+ f 2 (X - I) - ,12 .dX+ f 24 (4 - x) dx=

f (X) dX = f ' ífJ

lim ]-1 --1:,

-

1

00

JI eX dx+ lim f2 [J

1;--+ 0

(x - I ) - 112·dx +2

1 +t::

(11) Si ex istiera diverge ncia con re lació n a al menos una singul aridad, se dirá, e n cua lqu ier caso. q ue la integ ra l es el ivergen te.

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64

Cálculo integral y aplicaciones

y

=

f( x)

I ¡------;

"X -)

--------------------~------~------~--------------~------~x

o

4

2 Figura 1.34

Al saber que 1 es convergente, es válido obtener su valor integrando groseramente (prescindiendo de los límites). Con ello, se tendrá:

+2Jx"=l ]2+2 =e+2+2=4+e

I= eX]1

1

-00

4.

Consideremos las dos integrales impropias 1 y J definidas por: 1

f"o L(l + cosx) dx

=

Aplicando en la primera (x

=

,

J

f5 ~ dx

=

3

X -

(p

E

R)

P

n) la equivalencia de infinitésimos 1

1

+ cosx ~ -

2

(n - X)2, estúdiese el

carácter de ambas integrales.

RESOLUCiÓN

1 presenta singularidad en su extremo superior, dado que f(n) = LO - 1) = - oo . Teniendo presente en f(x) = L(l + cosx), además de lo indicado, que cuando A ~ B entonces LA ~ LB, escribiremos: L(l

+ cosx)

~ L[~ (n -

X)2 ]

=

L

~ + 2L(n -

x)

en con secuencia: f(n) = -

00 :

lim

L(1

x~"

+ cosx) =

1

lim

x~"

- L2

+ 2L(n

- x)

(n - x) - III

{L' Hopital} =

(n - x)'"

=

Iim

x~ "

-2/ (n - x) - 111-1

m(n - x)

2 = - -

m

lim (n - X)III

x~"

=

O (finito) si m = 2 > I (convergencia).

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65

Al ser (en J) el intervalo de integración [3, 5] , la singularidad se presentará si acontece que x - p = O ¡en dicho intervalo! (para aclarar ideas razónese suponiendo que p sea 3, 4 o 5). Con ello, resultará claro que cuando 3 ~ p ~ 5, la integral J es impropia (y p es la singularidad). Estudiemos, pues, estas singularidades mediante el criterio del límite: lim x-p

f(x)

-

9)

x - p

x~p

- -(x -

(x - p)/11 (x 2

= lim

{si p

(x - p)/11

=1=

3} = (p2 - 9) lim -----'--x~p x-p

PY'

= p2 - 9 =1= O, si m = 1 (divergencia).

9

X2 -

Si p = 3, J es seudoimpropia (converge) pues f(3) = lim -

x~3 X -

Con todo, J diverge si p

5.

Determinar, cuando x

E

(3, 5] y converge cuando p

E

-

3

= 6.

R - (3, 5].

el verdadero valor (V) de la función:

--> 00,

2x

+

5)2. I X

f(x) = arc sen ( ~

+ e') dt

L(3t

I

RESOLUC iÓN

Fácilmente se observa (cuando x --> 00 la integral diverge por no verificar la condición necesaria de convergencia) que existe una indeterminación de la forma (O· (0 ). Por ello y aplicando la equivalencia entre infinitésimos: arc sen

(lA 5y ~ x:

exx:

resulta:

V=

:~~

4 X2 .

= 4 lim

x~ oo

I

x

L(3!

L(3x

+ e') dt = 4

+ eX)

2x

':~r:

5y ~ :2

r

L(3t

I

+ e')dt {L' Hopital} =

X2

L(e X)

x

= 4 lim - - = 4 lim - = 2 X-' OO

2x

x~ oo

2x

Integrales Eulerianas

1.

Mediante su conversión en funciones r(p) determínese el valor de las siguientes integrales convergentes:

al

J=

bl

J =

t oo

I

e - xl

dx (integral de Gauss),

(Lx)"dx

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66

Cá lculo int egral y ap li caciones

R ESOLUCiÓN

interva lO)} =fooo e - -,dx {x2x dx. t (igual =fooo e _ 2 dtjt = dt 2

al 1

=

x

t .--

=

=~f" '" t - I/Z. e - tdt{p 2 o bl J

¡

=- ~}=~r(~)= Jn . 2 2 2 2

= o (Lx)lI dX{Lxdx =--t~ = . e - t)} {[O, 1] e 'dt fl

(00 , O])

-->

=

LX, ( 2.

=f O( - t)"(-e - ' dt) = :Le

I.t)lI. e - 'dt=( - l)II . [ ' t"e - 'dt {p - I =n } =( - l)" · r(n+ 1).

Mediante su transformación en integra les eulerianas de primera especie B(p , q) , calcú lese el valor de las integrales:

=fo

1

f5

dx

U)

al

x3

JI +

bl

J

=

X2

'

+ X2

=

~t (2xdx =

-

-

f X,

(x. - 2) 3

2

~

-

~), [O, 00) t-

dx

el

,

H

=

3

dx

x-3-~ -3-x---3

RESO LUC iÓN

al 1:

Hac iendo [véase ( 10)] ¡

ypuesto que x

1

~ 3 ,,.f 1 X2

+

dx

=t

dI) =--tdt =-

l /2

3/2

(

-3

X

,

2xt-

2x-+

[1, O]

-->

t

l /2

2(1 - t)l

dt

'

se tiene :

1=

- ~ fo tI /2( 1 - t) - 2 dt =~fl 2

2

1

o

tI /Z( I - t) - 2dt{P - I = 1 /2}=~i~ , - 1) q - 1 = -2 2 \2

Al ser q = - 1 < O, la integral 1 di verge. Es aco nsejable (s iempre se debería hace r) comprobar previamente el carácter de la correspondiente integral improp ia propuesta.

bl J{ X=3 1+ 2} =f l dx=3dl

o [3(1 - I)JI / 2

= 27

l

3

27t

(3dt) = 27 J3 f

J3. r(4)r( 1/ 2) = 27 r(9/2)

t 3 (J o

_ t) - 1/ 2

dt {P - I = 3 q - I = - 1/2

}=

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Integrales definidas si,mples

el H: x = ~ (dX = t

3 ~) {x = 00 , t = O (x _ 3 = 3 1 2 x = 3, t = I

t

t

67

t)

en consecuencia:

H = -

f Ot4/3(1

l

3(:;

9~3

f 913 !

- t) - 1/3 dt {cambiando signo y extremos} =

1

¡

4 ) 913l (7 2)

p - I= 3

J

= --

t4 / 3 (1 -

t) - 1/3 dt

= -- B - 2' 3

! p-!=- 3

o

B(2)) = rG)r(D = ~.~[rG)rG)] = ~ [r(~)r(~)] = ~._n = ~ 33 r(3) 9 3 3 9 n/3 9 j3 2

sen

Con todo lo cual resulta:

3.

4n

4n

9j3

243

i3

Mediante su transformación en integrales eulerianas de primera especie, determínese el valor de las siguientes integrales convergentes:

al

1=

"/2

f

o

~dx , bl

J -

f oo

dx

Jx (X 3

4

,

4)

el

H

=

f oo .:y(x x 1

RESOLUCiÓN

al 1= f "/2 (senx)I /2dX = f "/2 senl /2x . cos - I/2x dX{2P - 1 o

=~ 2

cosx

B(~, ~) = ~. r(3/4)[( 1/4) = ~,_ n _ = J2 4 4

2

I - t

2 sen n/4

r(l)

bl J: Haciendo x = _4_ [dX =

=1-/21/2}=

2q - 1 =

o

4

( 1 - t)

2

dt]

,

x-

5

n.

2

4 = 4 _t_ l - t

1)4

dx

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Cálculo integral y aplicaciones

y sustituyendo en la función subintegral, se tiene: (l - t)3/2 (1 - t)I /2

dx

43 / 2

(4t) 1 / 2

4 I ----:- dt = - t- 1 / 2 dt (l - t)2 4

Con lo cual, resulta:

J

el

4.

= -I

JI

4 o

[t l/2Jl = -I (compruébese este resultado haciendo el cambio

t- 1 / 2 dt = -1 -

4

H: x = -tI (dX = -

1/2 o

2

x = 4/ t también aconsejado en (10)) .

ci!) {x = ro t = O} (x t 2 x= l---7t=1

I =

---7

~), con t

lo cual:

Mediante transformación de la integral en una función Beta, determinar, cuando n tiende a infinito, el verdadero valor de:

Compruébese que:

( 3)

rn+-

2

=

(2n + 1)" 2" + 1

(1)

r -

+

I)!!

t-

1

(2n

2 '

=

(2n + 1), -2'-' '- n-'-

RESOLUCiÓN

J 1

1=

o

(1 - x 2)" dx

l2 2 {X = t(x = t / )} l dx=-t - I/2dt 2

p - l = - 1/2} no varía) { q - 1= n

l

=

2:

J 1

o

/

2( 1 - t)" dt (el intervalo

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Integral es definidas simples

69

Probemos la relación dada:

r;.

=(2n+ 1)!! 2"+ 1 M ulti plicando y di vidi endo (2n

(2n

+

+

"'¡JL

I)!! por (2/1) !! = 2n(2n - 2) · ··4 · 2 = 2" . /1!, se tiene que:

(2/1 + 1)! 1) 1! = - - 2"·n!

=>

( 3)

f' /1+2

=

(2n + I)! , 2- 1I + 1 '/1!

Jnn

por consiguiente:

Jn

2211 +I · n ! l 2 211 (11!)2 2 211 (n!)2 I =-(n!) · .- = = - - -- 2 (2n + I )! (2n + 1)! (2n + 1) · (2n) !

Jn

Habida cuenta de que el verdadero valor de E es:

2 211 (/1!)2 lim ~ .l = lim ~ . -----1I ~ 00 11 .... 00 (2n + 1)· (2/1)! y aplicando la equivalencia de Stirling, escribiremos:

con lo cual:

Fn

211 2 n lim E= lim ~'---'-2-=J2n li m - - 11 .... 00 II ~ OO 2/1 + I 2 11 II ~X 2/1 + l de do nde res ulta:

Verdadero va lor

n

= lim E = ¡;:, /1 -

5.

Consideremos la curva ecuación:

e

(cerrada

y

00

y2

simétrica respecto de los dos ejes coordenados) definida por la

con a > O ,

11 E

N

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70

Cálculo integral y aplicaciones

Calcúlese el área encerrada por

e y supóngase (en

la expresión final de este cálculo) que:

RESOLUCiÓN

Habida cuenta de la simetría existente (la circunferencia es un caso particular de integrar en el cuadrante positivo, donde consecuentemente se verificará (y ?! O):

y = f(x) =

::ja 211 -

X211 , que corta al eje x(y

=

O) en x

e para n =

1), podremos

=a

con todo lo cual, se tiene: A

=

4

fo ::ja 211 a

X211 dx

{x _al} . = 4a fl (a 211 =

dx-adt

a 211 . t211) 1/ 2 11 . dt

=

o

como

(1 ) 1 (1)

r-+l - - r 2n

2n

2n

y sustituyendo la relación dada, resulta:

A

2a 2 n

~ [r (~)T

1 (1)

- r n

n

n

n

Integrales paramétricas

1.

Obtener el valor de la integral convergente:

sabiendo que el proceso más sencillo para su cálcu lo, consiste en efectuar dos derivaciones en la integral para métrica:

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Integrales definidas simples

I( A)

OO l cos lx o -x 2-::-e-X- dx .

f

=

71

le 1) = I Nótese que { 1(0) = O

d 21 Y reso lver, integrando por partes, la integral -;-;- resultante.

dA-

RESOLUCiÓN

Aunque solemos proponer los ejemplos y ejercicios e n el orden de menor a mayo r grado de dificultad, e n esta ocasión comenzaremos con éste (relativame nte dificultoso) debido a los conceptos que aporta.

dI (A)

--=

dA

f oo sen (Je.\:) . x dx = f oo sen)"", - dx x 2 ex

o

2

d 1

-

=

([}e2

o

xe

fC r.. cos(h

)·x

xe X

o

dI CA) nótese que -J = O [ (o. J. = O

X

e/x =

f oo e o

x

cos )"", elx

Resolvamos pues esta última integral: 2

cl 10 ,) d }e2

{COS h = u

e - Xdx = du

f ""

Joo

_, du = -ASen ü dx } -- e ·- x cos }""' o - A o e - x sen }"", dx v = -e -

~

X

=>

( 1)

J (}.)

=

J"" +

f

,," {sen },x = u du = AcOSXrdx} e-Xsen }..xclx ...... = - e -X sen },x o o e - Xdx = du u = -e - X

=>

de donde:

Calcu le mos esta constante

e

1

teniendo en cuenta que

Para }, = O,

dI (}.)

dl(}.

= O)

di,

=

O:

---;¡¡- = O = arctg (l. = O) + el=> el

=O

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72

Cálculo integral y aplicaciones

por tanto, escribiremos:

dl( A) = arctg }, · d}, -> I(A) =

= Aarctg A -

f

f

arctg Ad},

A

arctg },

=u

{

dv = dv

1+ A

=-

- 2} dA

1+A

=

v=A

1

--2

du ->

d}, = }, arctg }, - - L(l 2

+ A2) + C 2

con lo que al ser: 1(0)

resulta que C 2

=

~ L(l + A2) + C 2 ] 2

=O l=O

O, Y por consiguiente: 1=

2.

= O = [ }, arctg A -

lCA =

1

1) = arctg (1) - - L(l 2

n

1

4

2

+ 12) = - - -

L(2)

Calcular el valor de las integrales impropias convergentes:

RESOLUCiÓN

al

dl¡ (A) = dA

f

¡

(x;'Lx) (LX)5 dx

->

La integral resultante es aún más complicada (cada derivación aumen-

o

ta el exponente de Lx en una unidad), ello nos marca la pauta a seguir: Partir de la integral inmediata J (J,)

=

f:

Xl

dx y derivar cinco veces. Consecuentemente:

de donde se desprende que: 5!

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Integrales definidas simples

b)

dlz(},) = dA

f oo x"( -

xe - Ax)dx = -

73

oo fo x" +1e - ;,xdx.

o

Se da en esta integral la misma complicación que en el caso anterior. Por ello, razonando de igual modo, escribiremos:

f

OO

=

o xe -

J.x

1 dx = A2

de donde resulta evidente que:

f

OO

1 (}c) 2

=

o

x"e -J.x dx

n! = --

}," + 1

Se propone comprobar ambos resultados transformando / 1 e 12 en funciones r(p).

3.

Obtener, por derivación paramétrica, el valor de las integrales convergentes:

b)

12 (a) =

f

1

-

X

-

o cos 2 CI.x

dx

{a # O a # n/2

RESOLUCiÓN

a)

La

dificu~tad de esta primera integral , consiste en observar que la integral

diata, y que dA (senAx)

=

senA x · Lsenx.

Con ello, y sin más consideraciones, escribiremos:

f

sen;' x . cos x dx es inme-

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74

Cá lculo integra l y aplicaciones

consecuentemente:

de donde

[d d}.lU')] 4

11 =

3

4

128

1,=3

, ldI 2 (CJ.) es aun , mas ' d'f' C omo 1a ll1tegra 1 lCU ltosa que 12 (CJ. ) , d e b era' b uscarse, como en casos anten' ores , dCJ. una integral l (CJ.) que fac ilite esta resolución,

bl

¿Es complicado darse cuenta de que -d (tg co:) dCJ. Por consiguie nte, escribiremos:

l(CJ.) =

dl (CJ.)

---¡;-- = 4.

I J JI o

tg(CI.x)dx =

JI

= - -x2 - '

Y que la integral

sen CJ.X

1

o cos CJ.X

CJ.

- - dx = - - Lcos CJ.x CJ.

x o cos 2 CI.x dx

cos CI.x

cos CJ.

]

f

tg CI.x dx es inmedi ata ?

1

LcosCJ. CJ.

o

( - sen CJ.) - Lcos CJ.

CJ. tg CJ.

=

+ Lcos CJ. CJ.2

Considere mos las dos integrales paramétricas:

l ey) =

I se".Y eos \

d/ (y)

n

dx

X2

+ 2x + 2

F(x , y)

=

n/ 2

al

Obtener -

bl

Hall ar en un punto genérico (x, y) la derivada segunda

- para y

dy

= - ,

2

fXY [ f V v' cotg u dU] dl' n/ 2

Compruébese esta derivada reso lviendo l (y),

P;" ,

RESOLUCiÓN

al

Como la función subintegral no depende del parámetro (que en este ejemplo ha sido denotado por y : lo único no parámetro es la variable de integrac ió n), escribiremos ( 14) : dl()')

- ' - = f(b dy

db

= sen y) -

da - fea = cosv) - =

dy "

dy

l l , cos)' , (-seny) sen-y+2sen y+2 cos-y+2cosy+2

=

d/(v = n/ 2) dy

2

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Integrales definidas simples

I(y)

=

f

~y

1 2

dx

+ 2x + 2

cos)' X

= arctg(seny

=

f~ Y cos y

1 (x

+

2

1)

+

1

dx

= arctg(x +

I

)Jsen

75

y

cosy

+ 1) - arctg(cosy + 1)

Derivemos pues este resultado: cosy

dI (y)

1 + (sen y

dy

( - seny)

+

I

1)2

+ (cosy + 1)2

dI (y = n/ 2)

1

dy

2

-->

Después de razonar unos momentos con F(x, y), debiera ocurrÍrsenos empezar resolviendo la integral encerrada entre corchetes:

b)

u

J

[

n)

u f U cos U ( f ~/2 v . cotg u du = v ~/ 2 -sen-u du = v L sen u 1[/ 2 = v L sen v - L sen -2 = vL sen v

expresión que sustituida en F(x, y) da lugar a:

=

F(x, y)

5.

XY

f

~

vL sen v· dv

-->

F:< (x, y){(l4) } = f(h

= xy)

ah

fu

= xy L sen (xy)· y =

Mediante derivación paramétrica resolver la integral convergente:

IV,) =

f

oo

arctg V-x:) 2

o xCI + x )

dx

V, ~ O, 1, #- 1). Aplíquese que J(O) = O.

RESOLUCiÓN

que es una integral racional relativamente sencill a (Apéndice 1). En consecuencia:

-

----2-2

(1+x2)(l+ A X)

==

Mx

+N

I+x

2

+

Px

+Q 2 2

I+ ),x

I M=P=O N = - , I - ), 2

{identificando, se tiene}

Q=

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76

Cálculo integral y aplicaciones

con ello: dl(A)

-----;¡¡- =

f U)

l 1- A2

2

dx

A

o 1 +X2

-

1 - A2

f oo

dx

o 1 + (h)2

=1 -

1

[ JW },2 arctgx - Jcarctg(h) o

=

re

dl( A)

=

dA

Por tanto:

=

= -re

l eA)

2

f

-dA- = -re LO + 1 +},

2

+e

A)

con lo que aplicando la relación 1(0) = O, Y particularizando para }, = O el resultado anterior, se tiene: 1(0)

6.

= O=

re

"2 L(l + O) + e = e =

=

O

re IU,) = - L(I 2

+ A)

Consideremos la integral impropia convergente (con dos parámetros):

Loo e- h

I( A,a) =

2

cos(ax)dx

(A>O)

a)

Obtener el valor de la integral le A, O) mediante su transformación en una función Gamma.

b)

Aplicar el valor anterior al cálculo (mediante deri vación paramétrica) de la integral fU" a) dada.

RESOLUCiÓN

b)

dlC}c, a)

- - - {más aconsejable que derivar respecto de },}

=

f CO

2

e - Ax [ -xse n(ax)]dx

o

da

sen ax

du = acosaXdX}

= U.

Haciendo

-->

{ -xe -

h2

dx=dv

l

2A

df (A,a) 1 e _ /...\ -, sen (ax) - - = ----;da

2A

' resulta:

v= -e-.
J'" o

- -a 2J.

f oo e _'.' cos (ax) dx = AX-

o

- -a fU, 2),

'

a)

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Integrales definidas simples

dI

77

a

Hemos obtenido con ello, una ecuación diferencial: -

1 que resuelta, conllevará al cálculo de 2A la integral I(J" a). Dicha resolución, aunque el alumno no sea todavía ducho en el tema, resulta muy senciHa operando en la relación hallada de la sigu iente forma: da

dI 1

- - 1 (a da ) {integrando} :

2A

1 a2 =>LI = - - 22 2

+e

=

f

-

-1 dI 1

-

=

-1

-

2A

f

ada

=>

=>

Por consiguiente, y puesto que para a = 0,

leA, O) =

~ = k· eO = k

se tiene finalmente: a2

leA,

a)

=

f oo e - ?x

2

cos(ax)dx =

a

In e

~ 4j

4 },

Aplicaciones de la integral definida simple

1.

Determinar el área encerrada por cada una de las curvas de la Figura 1.35 , definidas respectivamente por las ecuaciones: 3

t}

al

x = 4cos 3 (astroide) y = 4sen t

bl

p = 4 cos 38 (rosa de tres pétalos)

y y 4

4

x

x

Figura 1.35

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78

Cálculo integral y aplicaciones

RESOLUCiÓN

al Del primer gráfico de la Figura 1.35, se tiene: A = 4

f 4ydx = 4 °fn'2

= 192

f' "

( 12)

{2P- 1 4} = 192·-B 1 (5- , -3)n/2=96 -rG} r(D ---=

sen 4 tcos 2 tdt

°

sen4 tcos 2tdt =

fO

4sen 3 t( - 12cos 2 tsen tdt) = - 192

2q - 1 = 2

[~. ~ r(~) . ~ r(~)J = 22 2

= 96 622

16

~8 n

2

=>

2 2

r(4)

A = 6n

bl Apoyándonos en el segundo gráfico dado, escribiremos: 1 f n'6 A=6· p2(e) de 2

2.

=

°

3

f n' 6

16cos2 (3e)de{3e=t} =16

°

f n' 2

cos 2tdt=4n

°

Cons ideremos las curvas el y e 2 definidas en cartesianas por las ecuaciones:

al Mediante las fórmulas de paso dadas en 1.5, obténgase en polares la ecuación de el' e igualmente, el área que encierra y su longitud.

bl Calcular la longitud de la porción de curva la recta y = 5.

e 2 en el primer cuadrante, comprendida entre el origen y

RESOLUCiÓN

al

(x 2 + y2)2 - 2xy = O

X {Y

= p cose} _ p4 - 2 p 2 cos e sen e = O = P sen e

y

=>

{p = o (polo O) p2 = sen 2e

y

x

o Figura 1.36

(12)

si x = 4 --> t = O Puesto que al ser x = 4 cos 3 t { . (como sabemos) SI x = O --> f = n/2

a

x

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79

Integrales definidas simples

Después de haber conseguido construir el gráfico de e 1 a partir de su ecuación p 2 = sen 2e, cuenta (compruébese) de que las rectas = o, = n/2 son tangentes a el en el polo, se tiene:

e

1 A = 2· -

e

f"/2p2((j) de = f"/2sen (2e) de =

2

o

y habida

1

o

J p2 + [p'(e)] 2 . dO, derivemos respecto de O la ecuación p2 = sen 2e: dp (dP)2 [p'(e) ]- 4cos 20 cos 20 2p 2cos O....... -

Como en polares, ds =

2

~

=

~

?

=

=

2

?

~-

sen2e

siendo: p2

y tomando S =

4

+

[p '(0)] 2 = sen 2e

t}

=

2

sen 2e

e 1 (lemniscata),

la cuarta parte de esta curva

"/4 de {2e = fo V~ sen 2e

cos 2 2e

+- -

f"/2sen

- 1/2

o

(t) dt

=

1

= -sen 20

escribiremos:

5,2438 (véase ejemplo correspondiente a la Figura 1.20).

bl Si se toma la relación ds = J I + ()")2. dx, surge de inmediato una gran dificultad para resolver la integral correspondiente. Apliquemos, por tanto, la relación ds = + (xY . dy:

JI

x

=

f(y)

O}

>X ;-{ y~ O

=

y3 /2

,

3 x'(y) = -2 y l /2 -> 1

+ (X')2

9y

=

1+-

4

9y

+4

= --

4

con todo lo cual resulta:

S =

3.

5 fo J

I + (x')2 dy

f5

1 (9y 2 o

= -

+ 4)1 /2dy

1 2 [ (9y 2 27

= - .-

+ 4) 3/2

J5

335

o

27

al El cilindro X2 + y2

= 9 es cortado por el plano (n) que pasando por el eje x forma un ángulo IX con el plano horizontal. Hallar el volumen de la cuña limitada por el plano n, el cilindro y el plano horizontal.

bl

Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje y, la región limitada por la curva y2 el eje x, y la recta x = 2.

=

x 3,

RESOLUCiÓN

al Los lados del triángulo sombreado (primer gráfico de la Figura 1.37) tienen por dimensiones y (base), 1

siendo la altura 11 = Y tg IX. Con lo que su área será A(x) (sección normal al eje x) = - y . y tg 2 temente:

IX.

Consecuen-

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80

Cálculo integra l y aplicac iones

y

,

,,."'

l

..... ------ - -- ------ ......

-- - --- -- -- -

-3

x

,, ,,

", ,

---- --- ---

x

x

Figura 1.37

V=

3 A(x)dx{simetría}=2· -1 tg a f 3y 2 dx{y2=9-x 2} =tg a f 3(9 -

f

2

- 3

Siendo en la región (y ~ O) Y = f(x) = ejemplo) la fórmula (24), se tiene: b)

o 3 2 X /

x 2) dx=18tg a

O

(segundo gráfico de la Figura 1.37), y aplicando (por

f2 2 32 J2: 2 fo xf(x) dx = 2n o X 5/ 2 dx = 2n· -7 [x 7/2] o = -7- n 2

V = 2n

4.

Dada la función y = f(x) = ;jx 2(x - 4). Calcular el volumen engendrado por la porción de curva correspondiente al intervalo [O, 4] al girar alrededor del eje x.

a)

Teniendo presente que el elemento diferencial del área de revolución engendrado por ds (diferencial de arco) de la curva p = p(8), viene expresado por dA = 2np· sen 8 ds, calcular el área engendrada entre 8 = O Y 8 = n, por la curva:

b)

p = eO l 2 (espiral), al girar alrededor del eje pol ar

RESOLUCiÓN

a)

V=n

f4 { X- 4t } 4 fo F(x)dx=n o ;jx (x- 4?dx dx -=4dt = 4

= 64n.

B(25 ' ~)3 = 64n . rG)1(4)rG) = 32n3 [~.3 ~3 r(~)3 .~3 r(~)J = 3

256n

n

81

sen n/3

=>

512 )3 2 V=-- - n 243

http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples

b)

Habida cuenta (20) de que ds

=

=

81

J p2 + (p')2 de, escribiremos (segundo gráfico de la Figura 1.38):

Js n fo"eO/2 . eO/2 sen ede = Js n f"o eOsen ede{eOsen--eude = dv } = -Js2- n(e" + 1) y I I I I I

O__- - - - - - - - - -r--.... x 4

......

----------------- -- - - 1---~--

:o

x (eje polar)

I

I I

Figura 1.38

5.

La Figura 1.24 representa la región R encerrada por una porción de la curva definida por la ecuación x(4 - X)2 - y2 = O.

En el ejemplo correspondiente, se obtuvo que el volumen engendrado por R al girar alrededor del eje y, era V = 2.048nj35. Compruébese este resultado aplicando el teorema de Pappus, obteniendo previamente, como es necesario, el área de R y su centroide.

RESOLUC iÓN

Área (A) de R.-Observando la citada Figura y puesto que y = f(x) = (4 - X)X 1/2 si y ;" O, escribiremos:

A

=

fo4f(x)dx

2

=

2

f4

(4X 1/ 2 -

X 3 / 2 )dx =

o

Centroide.- Puesto que (simetría) C(i, O), hallemos i =

f

xdA

=

En consecuencia:

2

fo4

X(4X 1 / 2 -

X 3 / 2 )dx =

2

f4 o

2 [ -8 3

X 3/ 2 -

2 5

- X 5/ 2

J4 256

=-

o

15

±f

(4X 3 / 2 -

x dA, teniendo en cuenta que dA = 2 -j(x) dx:

x 5 / 2 )dx

=

2 [85

X 5/ 2 -

2 7

- X 7/2

J 4

o

1 024 35

= -.-

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82

Cálculo integral y aplicaciones

Como al dar una vuelta,

12

e recorre 2n· -

7

24n = --,

7

aplicando el teorema de Pappus, resulta:

v = A(256). 24n = 2.048n 15

6.

7

35

al Hallar el momento de inercia de una esfera de masa M y de radio R respecto de uno de sus ejes, aplicando la siguiente fórmula (véase Figura 1.27):

I

=

f

dI

dI: momento de inercia del cilindro sombreado

(36)

E te método consiste en tomar elementos diferenciales de masa (dm) cuyos momentos de inercia (dI) son conocidos: I es la suma (integral) de aquellos.

bl Aplicando la fórmula anterior I =

f

dI a un cuerpo de revolución, dedúzcase la fórmula de su

momento de inercia respecto de su eje de revolución. Aplíquese ésta para comprobar el resultado 2 (a) I = - MR 2 5 RESOLUCiÓN

al Observando la Figura 1.27 citada (esfera completa) en donde se ha tomado como

dm la masa del ci-

lindro sombreado, se tiene (momentos de inercia respecto del eje z): 1

d/(momento de inercia del cilindro) = - dm' a 2 {dm = p dV = p' na 2 dz} 2

=

En consecuencia:

bl Suponiendo que la curva y = f(x) de la Figura 1.39 gira alrededor del eje x, el área sombreada engendra un «cilindro» cuyo momento de inercia respecto de dicho eje (de revolución) es:

con lo que: (37)

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Integrales definidas simples

83

Ijjl

• C(x,y)

• (x'f)

ejes, O

x

a

(36)

x

b Figura 1.39

cuya aplicación a la esfera (curva circunferencia x2 + y2 = JR2 - x2), da lugar a:

(dI)

= R2

que gira alrededor del eje x

e su !tado que es la integral obtenida en el anterior apartado.

el ci-

La integral de Riemann

1.

Comprobar que los valores medios integrales de las funciones: y = f(x) = L(x + 2) en [- 1, 1]

,

Y

=

g(x)

=

cos2x ?

1+3cos-x

son, respectivamente: f(e)

gen-

2.

=

3L3 - 2 2

1

= (:;(e = arctg

,g(e)

Comprobar que el área de las regiones limitadas por las curvas:

al

y

b)

Y = x2, X = y2

=

x, x

= 2-

el x2 + 4y2 -

2y, x

= 1, x = 4

4 =O

son, respectivamente: (37)

33

1

4

3 Y 4n

j2)

en [O, n/2]

--+

y

= f(x)

=

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84

Cálculo integral y aplicaciones

3.

Aplicando la relación:

cotg

x

fi sen x

=

(sen!!:4 - x) + 1

comprobar que:

"/4 fo L(cotgx 4.

l)dx =

f"/4L(fi)dx = -n L2 o

8

El cambio de variable x = a - t, da lugar a las relaciones:

al bl

fa a fO f(x) dx = O fea -

f

a

f(x) dx

=

x) dx

f"'2fea -

1

fa

2

O

= -

[f(x)

+ fea

- x)J dx

x) dx

O

a/ 2

Aplicando lo anterior, comprobar: " /2

a)

que

f

o

bl

que

n Lsenxdx= - -L2 2

n

"8 L2 1=

(véase el correspondiente Ejemplo resuelto 4)

es el valor de las tres siguientes integrales:

"/4L(l+tg x )dx,

f

o

5.

J=

f"/2L (sen x+ cos x) dx sen x

,,/4

_ f1

,

H-

o

Sea y = f(x) una función continua en el intervalo [a , b J. Mediante el cambio de variable lineal = a + b - t:

x

Probar que si fea

+b

- x) = f(x),

entonces

f

a + b fb bxf(x) dx = - f(x) dx 2

a

a

Aplicando lo anterior obtener:

" xsenx n fo -1 +- cos----,-x dx 4 2

2

6.

LO + x) 2 dx 1+x

= -

En el ejemplo anterior puede haberse utilizado la relación:

f"

x f(sen x) dx {x

o

=

n - t} =

ni"

-

2

o

f(sen x) dx

http://carlos2524.jimdo.com/ Integra les definidas simp les

aplicando ésta conjuntamente con (Ejemplo res uelto 4): Lsenxdx =

n/2

f n/ 2

o

f

Lcosxdx =

o

~

f n

2

o

_?!.

L sen xdx =

L2

2

compruébense los res ultados:

I 7.

xLsen xdx

=

:2

-

n/2

X2

f

L2

-

-2-

sen x

o

dx = nL2 (por partes)

Compruébese, resolviendo la integral correspondiente, y siendo O < a < 1, que:

2

a

1

O

(l

f

+ X2 + X)2

dx=

f

I

1

O

(l

+ X2 + X)2

dx

2

- - + 2L(a + a + 1

~

1) - a = 1

+ L2

~

a=J2 - 1

Integrales impropias

1.

Comprobar los siguientes resultados (e. == converge, D . == diverge): 1

f

oo

-

o x11l

f

-00

2.

+ dx +8

X 1 - 3 --

3

x

----¡==1==:= dx (e.)

2

o

f

- 00

X2)

X4

l

(D.)

J X(4 -

l

n

3

(x + 1)

f

dx (D.)

2

-

2-

o cos x

dx (D .)

Pruébense los siguientes resultados: oo

f I

1 - cosx -

- 2-

x

f

f


1

f

3

- - --dx(C.) o 1 + x 3 cos 2 X

dx (e.)

n/2

o

3.

f

dx(D. para todo m)

Lx ~ dx(e.)

0v'3 - x

n/2

Lsen x dx (e.)

f

o

_ _L_x_ dx (C. si 1 < m < 2) [ I (x - 1)'"

Ltgxdx (e.)

Estúdiese el carácter de las integrales que siguen, y obténganse los valores indicados: n/2

f

o

f


--¡::.=:==x== dx (D .)

3

JX2 - X -

6

cosx ----r====dx=2 senx

JI -

f

1

oo

= 00

o

(x 2

n

+ l )(x + 1) dx = "4

85

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86

Cá lcu lo integra l y aplicaciones

4.

a)

Comprobar la convergencia y resultados siguientes:

f Jpx b)

f

oo

p

----;:::=1== dx = n

o

X2

1

---=---dx x(x 3 + 1)

1 = -

3

L2

Aplicando las relaciones:

f

f"/2f(senx) dx

f(senx).

OO

- -- dx (f Impar en sen x) o x

f

OO

f(senx) '---2-

x

o

=

dx (f par en senx) =

o

senx

f" /2f(senx) 2

o

sen x

dx

Compruébense la convergencia y resultados siguientes:

f

OO

sen5 x dx

o

5.

3n

=

x

16

Pruébese la convergencia de la integral con dos singularidades l

1=

Lx

fo~ dx

1 1 1 Recordando que 1 - - + - - - + ... = L2, efectuando el cambio de variable 1 - x = t 2 , y desarro234 llando en serie potencial la función subintegral que resulta, compruébese el valor 1 = 4(L2 - 1).

6.

Asimismo, como sucedía en series, si la integral impropia 1 = to) converge y además la integral

f

f:

f(x) dx

(~uyo intervalo puede ser infini-

If( x) 1dx es convergente (divergente), entonces se dice que 1 es abso-

lutamente convergente (semiconvergente). Sea una función y

f(x) cuyo gráfico (Figura 1.40) se ha obtenido situando en el centro de cada inter1 valo [n - 1, n] un rectángulo cuya base mide 2 y su altura h es igual a ( - 1)" + 1 . n. =

n

Pruébese: a)

Que no existe lim f(x) , y sin embargo 1 = x-+ co

b)

fooo f (x) dx es convergente.

Que esta integral impropia es semiconvergente.

http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simpl es

y 3 ---- - --- ---------- --- ---- - --- --- --- -,....

1-_ _ _--. Y =f(x)

o --------------

_ .... _ _-.1.. ...-

_ _---~ X

2

3

- 2 ---- -- ---- - --- ------"'-Figura 1.40

Integrales eulerianas

1. al

Transformándolas en funciones r(p) hallar el valor de las siguientes integrales:

1=

f

1

oo

2 (x - 1)2

bl

.yL(x -

1) dx

,

J =

f O -1- e -00

J4x4

2 x /

dx

Mediante prolongación analítica de la función r(p) calcúlese r( - 2,8).

SOLUCiÓ N

al l{L(x - 1) = t} = bl

rG) =

0,9182

J{~ =

,

-r} = ~ rG) =

1,3395

Partiendo de r(l ,2) = 0,2! = 0,2( - 0,8) ( - 1,8) ( - 2,8) r( - 2,8) = 0,9182, se tiene que: r( - 2,8) = - 1,1386 (compruébese en la prolongación gráfica de la Figura 1.12)

2.

Utilizando los cambios señalados en (10), compruébese que los valores respectivos de las integrales:

f°

2 _J -==X=2= dx ,

son:

64 15

-

2

J3

n

4 - 2x n

f

i>

- i>

,_f° ~

dx

.y(p - x )(x + p)2

ti (haciendo, como se ha dicho, X2 =

1

t).

x4

-

x 6 dx

87

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88

Cálculo integral y aplicaciones

3.

Compruébense los siguientes valores:

f f

1 _= X=2

=

o 1~ 1 -x 5

J(l

o

OO 12dx o x3 + 8 = L

4.

f oo

dx =

J

Ix + 21 2x

X2 -

dx =

X2

+ 4 + J3

~ B(~ ~) = 5

+X5)3

arctg

03591 '

10 ' 5

(xJ3- I)J OO

(2

o = B

1)

"3 '"3

2n

=

J3

La notable integral impropia, de múltiples aplicaciones:

recibe el nombre de Transformada de L' Aplace de la función f(x). Utilizando la integral euleriana r(p), obténganse las Transformadas de L' Aplace de las siguientes funciones (r > a, p > O): f(x) = k

, f(x) = x P , f(x) = eax

, f(x) = ax 3

, f(x) = kxPe"x

+ bX2 + ex + d

SOLUCiÓN

Si se calcula en primer lugar L(kxPe aX ) k L(k){P = a = O} = -

=

,

r

k

p! + l

(r - a)P

'

resulta:

L (xP){k = 1, a = O} =

p! -p + 1

r

1 L(eaX ) = - -

'

r - a

y asimismo de todo lo anterior:

L(ax 3

5.

+ bX2 + ex + d)

6a2b

= -4 r

e

d

r

r

+ - 3 + -2 + r

Teniendo en cuenta las relaciones: f(senx) - - - dx = o x OO

f

f

OO

o

f(senx) '----2-

x

dx

=

fn/2 f(senx) o

senx

f n/2 f(senx) 2

o

sen x

dx (siendo f impar en sen x)

dx (con

f par en sen x)

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Integrales definidas simples

89

Comprobar, mediante transformación de las integrales en funciones Beta, los siguientes resultados:

6.

Compruébense los resultados:

J 7.

I

X"'(LX)" dx = ( - 1)" . _ _ n_'__

o

(m+ 1)" + 1

Consideremos las integrales impropias convergentes:

! =

~

oo

f 1

(X2 - 1)" X211 + 2 dx

Calcúlense sus verdaderos valores V(!) y V(J) cuando n

~

oo .

SOLUCiÓN

a)

!{x

=~, t 2 = t

= ~.

b)

2"· n! (2n

J {x" = t} =

midades de p

u, o únicamente x

=

+

1) (2n - 1)!!

~ r(~) =

r(l

=

_1_} sen t

=~ .

=

~ ~.B(~, n + 2

2

(2"·n!)2 (2n

+

1)

~V(l)= hm ! = - n ; 11- 00

2

+~} Teniendo en cuenta la continuidad de la función r(p) en las proxi-

1 (Figura 1.12), podemos escribir:

11 -

00

+ ~) n

=

reI) =

1

(Compruébese este resultado dibujando la función subintegral cuando n correspondiente es la de un cuadrado de lado unidad.)

Integrales paramétricas Considerando las integrales paramétricas convergentes:

f

a

a)

J2

.

1) (2n) !

V(J) = lim r(l

1.

=

l ea) =

2

2a

sen D'-X - -dx, X

dx

2tg y

b)

J(y) =

J o

(x 2

+ 4)2

~ CIJ,

Y observando que el área

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90

Cá lculo integra l y ap li cac iones

df (a)

al Compruébese que - - = da

I -

a

(3 sen a 3

-

2 sen 2( 2 ).

dl (y) ' de una fUIlClOn " . .. va di ' - = -1 cos- y . Comprue' bese este resuId ta o a partu pnmltI e a lIltebl Ob tener ?

8

dy

gral l (y) .

el

2.

Hallar la derivada

H~

en función de la integral H(x).

Consideremos la función f(x, },)

al Pruébese, resolviéndola

l =

}, - cosx

y las integrales:

,

{x = tg !.-}2 que f (},) = ~. A 1 2 -

bl Aplíquese esta relación para obtener l eA)

3.

=

An

J(}e2 - V

, e igualmente, HU) .

Mediante deri vación paramétrica comprobar los siguientes res ultados:

J - - dx o Lx

l

f

l X -

al

l X" -

f

--dx=2 o Lx

f

=

L(n

+

1)

x3 3 - - - dx = L - (la desco mposición no es válida: resta de dos integrales di vergentes)

l X5 -

o

Lx

bl I (a, b) =

2

b

fl

JI' - x dx(a > O, b> O) = L(a o Lx b

+ +

1): 1

Resuélvase a partir de la obtención de d[I(a , b)] (diferencial de una función de dos variables). En el ejemplo que sigue (4), se calcula F(a, b) uti li zando este método (se obtiene F~ y F~), Y se indi ca la for ma de operar para conseguirl o.

4.

Calcular, medi ante derivación paramétri ca el valor de las integrales:

1t/2a

al

I (rx) =

f

o

X2

sen (O'.x) dx

,

bl F(a, b)

=

fooo L(a: + <) dx b +x

SOLU CiÓN

al 1(rx)

n - 2

= -3- '

rx

Derívese (dos veces) la integral

I "/2a o

sen (O'.x) dx.

(a > O, b > O)

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Integra les defini das sim ples

b)

91

Derivando respecto de a y b la integral convergente :

(1)

se tendrá: F~

=

'" f

2a -2--2

o a

+x

dx

= n. Del mismo modo

F~ =

-n

Calculemos ahora F(a, b). De Fa(a, b) = n, se desprende que:

+ f(b)

F(a, b) = a· n

Aplicando que F~(a,

b)

F~ =

n, y derivando (2) respecto de b, escribiremos:

= O + f'(b) =

con (1) y (2), F(O, O)

5.

-

- n

f(b)

=>

= O = e : F(a , b) = (a

=

-bn

+e

=>

F(a, b){2}

= an

- bn

+e

- b)n.

Incorporando el parámetro hábilmente y recordando, como se ha dicho (lA), que también puede aplicarse a integrales indefinidas la derivación paramétrica, obtener el siguiente resultado mediante derivación:

1=

Indicación.

e2 x

f

x e 2x sen (3x) dx = -

169

[(26x

+ 5) sen 3x

- (39x - 12) cos 3x]

+C

Tómese la integral:

J( J..) =

6.

(2)

Consideremos la función y

f

eJ,x

= f(x)

eh sen (3x) dx {partes} =

--2

9 + },

(J, sen 3x - 3 cos 3x)

definida por la integral paramétrica: f(x) =

fh(X -').Jl+LYdy

Comprobar que el polinomio de Taylor de grado dos, correspondiente al desarroll o en serie de f(x) en un entorno del punto x = 1, es:

7.

Sea la integral convergente (seudoimpropia): n/ 2

1=

f

o

L(l

+ sen 2 x) sen 2 x

dx

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92

Cálculo integral y aplicaciones

Introdúzcase un parámetro (A) para que mediante derivación paramétrica se elimine sen z x del denominador. En estas condiciones resuélvase la integral I( },) correspondiente y compruébese que I( A = 1) = l)n. = 1=

(Ji -

Indicación.

Partiendo de T(},)

dI( A)

=

- - = dA

"/Z L(l

+ hen z x)

o

sen x

f

Z

f"/2 o

dx

1 + Asen 2 x

Nótese, para calcular la integral I( A), que 1(0)

8.

=

{x

dx, se tiene:

1

= tg t} =

jl+):

n

-

2

O.

Sean las integrales II (A) e Iz(},) definidas por:

I/-l-+-~-Z-tg-Z-X 2

Iz( A) =

al Mediante derivación paramétrica, comprobar que

bl

Obtener Tz(A)

n =

2(A

+

1)

, y

11 (1) = -

1

32

(3n + 8).

aplicar este resultado comprobando la relación: "/z x n - d x = - L2 o tgx 2

f 9.

Consideremos la integral paramétrica impropia:

f

oo

I(a)

=

o

e -aXsenx dx x

~

O (pruébese este punto con a = O). dI(a) Obtener I(a) mediante el cálculo de - - con a > O. Nótese que I( 00) = O. da Es aconsejable descomponer previamente I(a) en dos integrales de extremos O y 1 (seudoimpopia) y 1, 00 (una singularidad), probando convergencias uniformes y validez de la derivación (aplíquese lo desarrollado en lA relativo a integrales paramétricas impropias).

que converge cuando a

Indicación .

dI

da (pruébese), se tiene:

oo

- fo

e - ax sen x dx. Integrando por partes esta integral que converge para A > O

dI da

=>

I(a) = -arctga+C

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Integrales definidas simples

al ser: I ( 00 ) = O = - arctg ( 00 )

I (C!.

1 O.

= O) =

f

n

+C

=>

C= -

2

=>

1(C!.)

n

= - -

2

arctg C!.

oo -sen-x dx = -. n f oo sen (ax) n De donde {x = at} : -- e/x = - (a > O) x

o

2

o

x

2

Dadas las integrales paramétricas convergentes:

_ f oo (sen lx)2 dx - -

I V,) -

,

x

O

l(C!.) =

faL ( I + CI.x) e/X 2

O

I +x

Compruébese mediante derivación paramétrica que:

l(C!.) =

1

2: L(l + C!.2) arctg C!.

sen h n - - dx = - (Ejemplo 9 anterior). o x 2 oo

Indicación.

Partid de

f

Aplicaciones de la integral definida simple

1.

La curva, primer gráfico de la Figura l Al , se denomina Astroide como ya dijimos. y

y

(O , a) {

a

y =x

cos: t

X

=

y

= a sen

t

-a

(a , O)

a

x

Figura 1.41

Compruébese que el área A encerrada por ella, y su longitud total vienen dados por: 3na 2

A = - - s=6a 8 '

x

93

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94

Cálculo integral y aplicaciones

2.

Consideremos las curvas

el y e2

definidas respectivamente por: sen 28 p= - -3 - - sen 8 + cos 3

p = 3 cos 38 (véase Figura 1.36)

e

Compruébense los siguientes resultados:

, Area encerrada por

3.

el

971:

(tres pétalos)

= -

, Area encerrada por

4

e

2

2 (lazo) = 3

Consideremos una circunferencia de radio r = 1 que rueda sobre otra de radio R = 4. El movimiento comienza en el punto más elevado de esta última. Comprobar mediante los gráficos de la Figura 1.42, que: = S sen t - sen St son unas ecuaciones paramétricas de la curva y = S cos t - cos St ambos gráficos hemos representado por P.

al

bl

X

{

e generada

por el punto que en

La distancia recorrida por P al dar una vuelta alrededor de la circunferencia base, es 40.

y

x

5 sen 1

x

Figura 1.42

4.

Sea una curva

e definida implícitamente (X - a)x 2

por la ecuación:

+ (x + a)y2

=

O (estrofoide recta)

Interprétese geométricamente (segundo gráfico de la Figura 1.41) y compruébese mediante coordenadas cartesianas y seguidamente utili zando coordenadas polares, que el área encerrada por dicha curva puede lograrse razonando del siguiente modo:

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95

Integrales definidas simples

cos 2e Mediante la ecuación cartesiana dada o medi ante la polar p = a - - , se tiene el gráfico citado, e cose . Igualmente:

,

Area = 2

5.

f ax (a---X)1 / 2 dx = a- fn/4 cos 2(2e) de = (4 ?

o

a

2

+x

o

cos 8

a2

n) 2

Compruébense los siguientes resultados:

al

Que la longitud de la porción de curva mente 9.

bl

Que en [1 ,

)3] la longitud del

{x = t:

entre A(t = O) Y B(t = 2) es aproximada-

y=t

arco de curva y

=

Lx es aproximadamente s

=

0,92.

el

Que el volumen y el área de revo lución generada por la curva «astroide» del primer ejemplo propuesto, son: 32

V=~na 3

A

105

dI

Que e l área de revo lución de la cardioide p ra 1.16), es A = 160n.

6. al

=

5(1

12

?

na-

= -

5

+ cos e)

(véase el gráfico de esta curva en la Figu-

Comprobar que el volumen engendrado al girar alrededor del eje y la región limitada por x

=

O,

e- 1

x = 1, Y = O, Y = e-x>, es V = - - n.

e

bl

Probar que el volumen generado por

- a2 x

el

=

f(x) definida implícitamente por la ecuación (a - X)y2 a3 O, al girar alrededor de su asíntota, viene dado por V = - n 2

2

Que el área engendrada al girar la curva (lemniscata) p2

A = 2(2 -

7. al

y =

=

cos 2e alrededor del eje polar, es:

)2)n. X2

Comprobar que el volumen encerrado por el plano

z=

10, Y el paraboloide

z=

16

y2

+ 25 '

es

V = 1.000.

bl

8. al

Obtener que el volumen limitado por los cilindros

X2

+ Z2 =

9,

y2

+ Z2 =

Comprobar que los centroides o centros de gravedad de: Cono de revolución y pirámide recta de altura h, · , l'ImIta ' d a por l a porclon . , (x S uperf ICle

~

O) d e e l'Ipse -X2 25

+ -y2

16

= 1.

son respectivamente: (sobre el eje a una distanci a h/4 de la base),

c(!~, O).

9, viene dado por V = 144.

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96

Cálculo integral y aplicaciones

bl Compruébese que los centroides de: Arco de la catenaria y = 2eh

x

2: en el intervalo

[ - 2, 2].

Mitad superior de la longitud de la cardioide p

=

1 + cos

e

son respectivamente: 2 + Sh2) el ( o, 2Shl

9. al =

Obténgase que el centroide de la superficie limitada por los ejes coordenados y la curva e(l, 1), en donde:

)5, es

Jx + JY =

5 25 f5 xdA fo f(x)dx=-= 6 o

A=

bl Compruébese que el centroide de la región plana limitada por la circunferencia rábola y = X2, es:

e(x, y) / x =

_

X2

+ y2

= 2, Y

la pa-

44

O , Y = 15n

+

10

10.

Considérese una placa cuadrada (delgada) de lado a y densidad superficial p. Compruébese que sus respectivos momentos de inercia respecto de un lado, una diagonal, su centroide, son:

11.

Sea un paralelepípedo rectángulo cuyos lados miden a, b y e metros. Compruébese que el cuadrado de su radio de giro respecto de un eje de simetría paralelo al lado correspondiente al valor e, es 1 2 2 2 k

12. al

= -

12

(a

+b

Las curvas y

).

=

1-

X2,

y

=

O, limitan una región plana. Compruébese que:

4

Que 1)'

=

15

bl Sabiendo que el momento de inercia de la línea y 1x

=

f

y2

ds

=

f(x) respecto del eje x, se define por:

(ds: diferencial de arco)

compruébese que el1x de la línea astroide (Figura l.35) es: n' 2

1x

=

12· 4 3

f

o

cos 7 esen ede

=

96

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Integrales definidas simples

13.

97

Cuando una región plana está situada en la zona positiva del eje y, son válidas (Figura 1.39) las siguientes relaciones:

Compruébese mediante la primera, que el momento de inercia de cualquier triángulo (altura h y 1 área A) respecto de un lado es 1= (5 Ah 2 . Se propone probar esta primera relación, aplicando que el centroide del elemento dA sombreado en la citada Figura, es C(x, y/ 2).

14.

Los gráficos de la Figura 1.43 representan una placa delgada, rectangular (a y b son sus lados y M su masa) y un cilindro macizo delgado de radio R y de masa M. El elemento sombreado en éstos, es una varilla delgada cuyo momento de inercia denotaremos por dI. Aplicando la fórmula I

f

dI, hállese el momento de inercia de ambos cuerpos respecto de un eje e

=

perpendicular a ellos y que pasa por sus centros.

e varilla r

e (eje)

a

L-------- b --------~

Figura 1.43

SOLUCiÓN

1 Como el d( de la varilla de masa dm es - dm. L 2 (ejemplo y Figura 1.30), se tiene: 12

Placa dI = dI e

1 dm . b 2 + dm . r 2 = + dm . r 2 = -12 e

l e = pb

f

"/ 2 - a/2

(b

2

pb 12

+ r 2)

(b 2 ) pab 2 1 - + r 2 dr = (a + b 2) = - M(a 2 12 12 12

dr

+ b 2)

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98

Cálculo integral y aplicaciones

Cilindro

(a

dIe = dIe + dm _x 2 = - 1 dm(2a) 2 + dm _x 2 = 2aph 12

= -4 phR 4 3

3

(112

cos 2 rdr

O

2

+ 2 f ~/2 O

+ X2 )

sen 2 tcos 2 {dr

dx

) = -1 pnhR 2

4

= -1 MR 2 2

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Integrales curvilíneas

2.1.

eapítulo

2

INTRODUCCiÓN Las integrales curvilíneas, también llamadas integrales de línea, son una generalización natural de la integral de Riemann, efectuándose ahora las correspondientes particiones e integraciones sobre curvas que cumplen ciertas condiciones. Como existen varios tipos de integrales curvilíneas, haremos un estudio completo de la que consideramos más intuitiva: la integral curvilínea respecto del arco s (en R2) pues a partir de ella las restantes definiciones tanto en R 2 como en R 3 , resultarán evidentes.

2.2.

INTEGRALES CURVILíNEAS EN R2 Sea una función z = f(x, y) acotada en una región D <;; R 2 que contiene una curva (C) lisa o lisa a trozos (1.5) de longitud finita L (Figura 2.1). Denotemos por s (véase Figura 1.17) la longitud de la curva desde su punto inicial A(s = O) hasta un punto variable pes). Razonemos de forma análoga que con la integral de Riemann, efectuando una partición de dicha curva en n sub arcos de longitudes ~Si' tomando en cada subarco un punto intermedio Pi(x¡, y) y considerando la suma (áreas): AII

=

I

f(x i , y) . ~Si

i= 1

Reiterando este proceso con particiones cada vez más finas , supongamos que se ha llegado a una partición tal que max (~s¡) ~ O (evidentemente n ~ 00). Pues bien: Si existe y es finito limA¡¡, y su valor no depende de la partición efectuada ni de la elección de los puntos Pi intermedios, entonces a dicho valor se le denomina integral curvilínea de f sobre e respecto del arco s, lo cual expresaremos por: lim

±

1I- 00 (6s¡-0) i=l

f(x i , y¡) .

~Si =

f

e

f(x , y) ds

(1)

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100

Cálculo integral y aplicaciones

z y

z = f(x,y)

Subarco típico

\

,, ,, J ___ _

-----------+-------)~y

L-----------------------~ x

O

////0 B(S = L) p/(x/,Y/) \ x

A (s

=

P (s)

s O)

\

Curva (C)

Subarco típico

Figura 2.1

Aunque en esta ocasión la trayectoria y los puntos inicial y final de integración están perfectamente definidos, en determinados casos será necesario usar otras notaciones. Aquí, podríamos precisar escribiendo: f(x, y) ds fe f(x, y) ds = fAR f(x, y) ds = feAR f(x, y) ds = fAR e

donde obviamente las dos últimas integrales son las que más puntualizan (integral curvilínea a lo largo de la curva e desde el punto A hasta el B). Una interpretación geométrica del valor que esta integral representa (lo cual se desprende de la relación (1) y Figura 2.1), es el área de la lámina de vértices AMNB. Nótese además de la anterior analogía con la integral de Riemann, la existente entre dicha relación (l) y la obtenida en 1.1. Razonando del mismo modo (véase segundo gráfico de la Figura 2.1), se definen la integral curvilínea respecto de x, e igualmente respecto de y, en la forma:

Propiedades Por lo expuesto, resulta evidente que estas integrales tendrán similares propiedades que la de Riemann; veremos algunas de ellas utilizadas frecuentemente y que surgen de las definiciones dadas. Supondremos en todos los casos que existen las integrales curvilíneas correspondientes (la monotonía o la continuidad de f a lo largo de e, son, como sucedía con la integral de Riemann en 1.1, condiciones que aseguran la existencia de estas tres integrales curvilíneas) :

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Integrales curvi líneas

1.

En principio y aunque

f f

f f

f dx = -

AB

f dx (igual con y), sin embargo, si convenimos en

BA

hacer corresponder siempre al extremo inferior de integración el valor s s = L al superior), entonces

101

f ds =

AB

=

O (evidentemente

f ds (concepto que aclararán los Apartados 2 y 3 del

BA

Ejemplo correspondiente a la Figura 2.3). Otras propiedades comunes a estas integrales que aquí expresaremos respecto de s, son las siguientes:

2.

L (j+ g)ds = L f dS + L gds

3.

L k'¡ ds = k L f ds

4.

f

f ds =

e

5.

Si en

f

f ds

+

el

L k ds = k L ds = k

f

f:

ds = k· L

f ds (e consta de C 1 y e 2)

e2

e es f ~ g, entonces

L f ds

~L

gds

Resolución de una integral curvilínea en R 2 El cálculo de la integral curvilínea (1), y asimismo el de las restantes, consiste en transformarla en otra integral de Riemann. Consecuentemente deberá expresarse f(x, y) ds en la forma F(u) du, lo cual puede lograrse de distintos modos. Veamos uno de ellos: Elijamos por ejemplo, x como variable de integración. Al ser y = y(x) la ecuación de la curva e, sucederá (Figura 2.1) que a lo largo de e, f(x, y) = f[x, y(x)] = g(x). Igualmente, aplicando (diferencial del arco en 1.5) que: ds = Jdx 2 + dy2 = J I

+

[y'(X)]2 ·dx = h(x)dx

se tendrá:

f

f(x , y) ds =

AB

f

g(x)h(x) dx =

AB

f

b

F(x) dx

a

{X(A) = a _ x(B) - b

Sin más consideraciones y para llevar a buen término dicho cálculo, ampliaremos lo expuesto hasta aquí sobre curvas planas, recordando del álgebra los conceptos que siguen: Además de las ecuaciones de la curva C en el plano (Figura 2.2): {y = y(x)

{x

=

x(y)

{F(x, y) = O

{

X

= x(t)

y

=

y(t)

(t cualquiera)

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102

Cálculo integral y aplicaciones

u

y

Curva (C) ______ recta tg en P _______ "d;: d ;:

ds

dI

di' (dx , dy)

=

tg a= [y'(x)]p

=(ddxY ) p

P(x(t),y(t))

¡ dx + J dy

dy "~--~----------~------------------~~ x

dx

Figura 2.2

vistas con anterioridad, en ocasiones también se utilizará { x = x(s), siendo s el parámetro defiy = y(s) nido en 2.2, que recibe el nombre de parámetro natural de la curva. Nótese asimismo, que dada la relación r(t) = x(t) T + y(t)], o la res) = x(s) T + y(s)], queda igualmente definida la curva C. Consecuentemente ambas son también unas ecuaciones (vectoriales) de dicha curva. Por otra parte y puesto que ds 2 = dX2 + dy2, tomando la determinación positiva, se tiene:

Finalmente (Figura 2.2) como también sabemos del álgebra,

Y) dr _ 7(dX) (dl+J dt dt p dt p 7

-

es un vector en la dirección de la recta tangente a la curva en P, con lo que asimismo lo será dr = T(dx)p + ](dy)p, e igualmente: di' = T(dX)

ds

ds p

+ ] (dY )

ds p

Resulta inmediato (Idrl = Idsl) que este último vector tiene por módulo la unidad.

Ejemplo Consideremos la función z = ¡(x, y) = 2X2 + 2y 2 - X + 2, Y la curva el == X2 + y2 = 9 situada en el primer cuadrante, limitada por los puntos A(3 , O) , B(O , 3) (véase Figura 2.1 y analícense exhaustivamente los tres gráficos de la Figura 2.3 , comprobando todo lo expuesto en ellos).

(1) Al haber tomado aq uí la determinación positiva, si estas tres relaciones se apli can durante la integración, s deberá crecer con x, y, t para que el signo de f(x , y) ds sea correcto. Si por ejemplo, cuando s crece x decrece, deberá y l + (e/ e/x)" Como se ha dicho, los Apartados 2 y 3 del primer ejemplo aclaran este concepto. escribirse e/s = e/x

)2 (-

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103

Integra les curvilíneas

y

s = 3n/2 B (O , 3)

(

e::::,: : ~

t = n /2

~\ = 3 cos "3

¡= y

3 sen

!.-

y

y

s =o B t

X

!.-

= 3 sen

í ¡= y

X

3 ------....

3 cos

~

s =O

{

B

= 3 sen t

y = 3 cos I

t =O

= n /2

P (X, y )

3

P (x, y )

CD S

= 3t (1 = s/3)

A (3, O)

C3

O

s = O, 1= O

Utili zando el Gráfico CD hall ar la integral curvilínea 1 =

al Integrando respecto de bl Respecto de s. el 2.

=

3n/2, f

=

A n /2

x

f

f

ds :

AB

t.

Respecto de x .

Probar, en el Gráfico

@, que

f

f

ds = l. Intégrese:

BA

al Respecto de s. bl Respecto de y . 3.

s

Cada parametrización dicta un sentido de integración.

Figura 2.3.

1.

s = 3n/2, t = O

O

Repítase el apartado anterior operando en el Gráfico

0.

4. Comprobar utilizando cualquiera de los gráficos e integrando respecto de cualquier vari abl e (t, s, x, y) que:

J

f

=

AB

5.

Sea

f dy = -

f

f dy = 60 - 9 ~

4

BA

e (Gráfi coCD) una curva cerrada que consta de las el ' e2 y e 3 · Calcular la integral

a lo largo de la curva

e en el

sentido indi cado (sentido positivo

== opuesto

+ 2y 2

f

H =

f

fdy,

AA

al de las agujas del reloj).

RESO LUCiÓN

1.

Puesto que 1 =

f

(2x 2

-

X

+ 2) e/s {x 2 + y2 =

9J =

AB

(20 - x) ds, utilizando las sugeren-

AB

cias del Gráfico CD, escribiremos:

/ 60t - J 9 sen' IT /2 = 30n - 9 al 1 { X _= 3 cos '} = f IT 2 (20 - 3 cos t) . 3 d, = [ s -

3t

o

o

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104

Cálculo integral y aplicaciones

el

Veamos dos formas de obtener 1 integrando respecto de x. s x 3~ • Como x = 3 cos - , s = 3 arc cos -, ds = - ~. En consecuencia: 3 3 y9 - X2 1=

JO (20 -

x)

3

= [60 arc sen

- 3~

~

= 60

f3

I

~ + 3~

dx

o~

- 3

f3

X ~=

o~

= 30n - 9

• Si aplicamos la relación ds 2 = ~2 + dy2 (véase la nota (1) de este apartado) y puesto que de A hasta B al crecer s la variable x decrece, deberá escribirse:

3dx

~

-

2.

y9 - X2

(como tenía que suceder)

al Siendo en 0 x = 3 cos t {s = 3n - 3t --> t = 2

f

BA

bl

LA

(20 - x) ds =

s) [

f

31(/2 ( o 20 - 3 sen"3 ds =

20s

S]31(/2 o = 30n - 9 = 1 (2)

+ 9 cos"3

2

(20 - X)dS{X= + J 9 - y ,s=3arccosn = o

=

~ - ~} = 3 cos (~ - ~) = 3 sen ~:

J

-3dy

(20 - ~) ~=30n-9 9 - y2

3

Obténgase de nuevo ds, aplicando como en l.c) la relación ds 2 = dX2 crecer s la variable y decrece (y que la x también crece). 3.

al

LA (20 -

x) ds {en

® x = 3 sen

n =

1:1(/2(20 -

3 sen

+ dy2 . Nótese en BA, que al

~) ds = 30n -

9

bl Como ésta es idéntica a la anterior, integraremos respecto de x utilizando la relación ds 2 = (de B hasta A al crecer s también crece x): (2)

Como se ha convenido, no es válido en el gráfico

f

fds A IJ

=

fO 3./ 2

fds

=-

G) el cálculo:

(30n - 9) ¡el intervalo (con ds) siempre será [O, L > O]!

~2

+ dy 2

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Integrales curvilíneas

f

(20 - x) ds

f°3(20 -

=

HA

4.

x)

J 1

+ (d-

y

)2 . dx = f3 (20 °

dx

Integrando respecto de t (que es lo más frecuente) y utilizando

J

=

(20 - x) dy{dy

f

= 3 cos tdt} =

AH

f°

105

3dx ~ = 30n - 9 V 9 - X2

x)

CD se tiene:

~

(20 - 3cost) · 3costdt

=

n 60 - 9-

4

Comprobaremos la igualdad integrando respecto de y, por ejemplo:

f

fO

= +.J9=Y2} =

(20 - x) dy {x

HA

.J9=Y2) dy {y = 3 sen u } = - J

(20 -

3

Recuérdese que

f°

~2

sen 2 (nx) dx =

f~ 2

°

n cos 2 (nx) dx = 4

En adelante, cuando se integre a lo largo de una curva cerrada las siguientes notaciones que no necesitan más comentarios:

5.

H

=

J.. f dy = ~

f

f f f el

+

e2

+

e3

=

e2

f

(20 - x)dy{en

e3 , y = k

n H = 60 - 9 - - 60

4

e3

- 60

=>

+ O=

dy

=

O}

=

O

n

- 9 -

4

e fuese la circunferencia completa, se tendría (sentido positivo):

H=

2.3.

e2

3

e3

Suponiendo que

¡+ f + f

f O20dy =

= O} =

(20 - x) dy {x

60 - 9

e en un sentido determinado, se usarán

~ (20 -

x) dy {gráfico

(D}=

J:"

(20 - 3 cos t)3 cos t dt

= - 9n

•

INTEGRALES CURVILíNEAS EN R 3 Consideremos ahora una función u = f(x, y, z) acotada en una región D S; R 3 que contiene una curva (C) lisa o lisa a trozos (plana o alabeada) de longitud finita L. Puesto que todas las definiciones, propiedades, resolución, etc., de las integraleS curvilíneas correspondientes (y combinaciones de ellas):

t

fdS

t t fdY

fdZ

tfdx

+ gdy

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106

Cá lculo integral y apl icaciones

son absolutamente análogas a las ya estudiadas, únicamente nos limitaremos a resolver un elegido ejemplo aclaratorio(3). Previamente debe verse la Sección 1.5 (Figura 1.1 7), donde se generaliza lo expuesto sobre curvas y diferencial de arco (ds) en R 2 . Asimismo, es imprescindible en este tema y aún más en el siguiente, conocer gráficos y ecuaciones de las superficies usuales (repásense las Secciones 2.5 y siguientes del Apéndice 2) .

Ejemplo

1. Dibujar aproximadamente, en el octante positivo, el contorno cerrado ABeA detemlinado por los cortes sucesivos (curvas el' e2 y e 3 ) de la esfera x 2 + y2 + Z2 = 16 con las tres supelf icies (x 2 + y2 - 4x = O), (z = 2), (y = O). Obtener igualmente unas ecuaciones cartesianas y paramétricas (lo más sencillas pos ible) de dichas curvas, y expresar sus intersecciones A , 8 , e en ambas coordenadas .

RESOLUCiÓN

Una vez obtenidas en cartes ianas las ecuaciones de las tres curvas y las coordenadas de los puntos A, 8 Y e (Fi gura 2.4) , veamos los resultados correspondientes en paramétricas: 4X +

= 16 -----> 4(2 + 2 cos t) + Z2 = 16

Z2

{ (x - 2)2

+ y2

=

4

-->

{

X -

2 = 2cost

y

2 sen r

=

Como

z- = 8 (1 ?

resultan para

el

cos r) = 8[ 1 -

(

cos 2 2:t

-

sen -?

2:t)]= 16 sen - 2:r --> Z = 4 sen 2:t (por ser Z > O en el) ?

las ecuaciones paramétri cas (sencillas):

e1 {

2

y

2 sen t

=

z=

operando de igual forma con

X

e2

+ 2 cost

X =

=

Y {

4 sen Ct/2)

=

2 + 2cos2t x.(; 1) -- 4 2 sen 2r ~ x( B ) = 3

z = 4 sen t

2j3 cos r

z= 2

{

tCA )

=

O

t(8 ) = n/6

e 2 y e 3 (más rápidamente), puede obtenerse:

y = 2 j3 sen t {

X =

-=

X

tCB)

=

n/6}

{ t(e)

=

n/2

= 4cos t

{

z=

t(C) = n/6

t eA) 4sen t

e3 ) , -- o

=

O

Aunque e l proceso de resolución de una integral curvil ínea en R 3 , más que análogo, es idénti co al de R 2 , la mayor dificultad, sin embargo, puede estri bar en la neces idad de disponer de unas ec uac iones paramétri cas sencill as de las curvas correspondi entes, que logren hacer poco labori osos los cálc ulos. No obstante , en la mayor pa rte de casos, será pos ible y hasta mu y simpl e di cha reso luc ión utilizando únicamente coordenadas cartesianas. (3 )

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107

Integ rales curvilín eas

z

,, ,

,,, ,, l -- -------- ---- - ---- ------ ---- -- -),--

.-,

(1

......

= ¡¡; / 2)

.. ,'

"

. ,,'"

.

.... '" :

- --

--

:

-/

: :, : :,,

" ,/

C(2J3 , O, 2)

(1 =

¡¡;

y

/ 6)

A (4, O, O) (1 = O)

x

Figura 2.4

2. Calcular en el citado contorno, partiendo del punto A(4, O, O) en sentido positivo y operando exclusivamente en cartesianas, el valor de la integral:

1=

~ x dx + y2 dy -

3xz dz

RESOLUCiÓN

rh x dx + y 2 dy -

Puesto que 1 =

':Y"

f f AB

+

AB

2

= X-

=

f f f: +

+

AB

x dx

=

3xz dz

f

y 2 dy - 3

AB

f

Be

x z dz =

AB

eA

f

3

x dx

+

f13 y 2 dy - 3 f2-16 -o

4

o

4

J3+ -y3J13 - -3 [ 8z 1 J2= - -49 + J3 2

2 4

304

f{

z=

Be

2}

dz = O

=

-

-

Z4

4

f Be

x dx

o

+

f Be

2

y2 dy = X2 2

J213 + - JO 3 J3 3 Ji 2 y3

3

= - -

Z2

-' z dz =

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108

Cálcu lo integra l y aplicaciones

f CA

2 4 2} = x J Y: O} = f XdX 3f X dZ{X = J 16 Z -3 fo J I6 -z2.ZdZ= Z { dy O CA CA 2 2 j3 2

Comprobemos este último resultado razonando en paramétricas:

t} ° 4 LAy = 4cos O = L cos t( - 4 sen t dt) =

X

6 [

{

z = 4 sen t

3 . 4 cos t . 4 sen t (4 cos t dt)] =

/

2

[COS

3

( 1)+ (

- 16 -sen - tJO - 3 ·64 - - -tJ O = - 8 - [ 2 ,,/6 3 ,,/6 4

64 l - -313) - = 66 - 2413 8

En consecuencia:

3.

Hallar J

=

49

1=

- - +

fJ

+ 4 ds:

2

x

13 + -23 - 13 + 66 -

=

2413

¡

= 43 - 24 13

AB

al Mediante coordenadas paramétricas. bl Integrando respecto de x. RESOLUCi ÓN

al Haciendo ( 1.5): X= 2

+ 2cos2t, ds

=

+

J(

2

dX dt )

+ (dy dt ) 2 + (dZ) dt 2 ·dt (t crece

con s)

y al ser:

dS = J(4 sen 2t)2 {

+ (4 cos 2t)2 +

Jx+4 = J 2 + 2

cos 2

t- 2

16 cos 2 t· dt = 4

sen 2

JI + cos

2

t· dt

t

+4 = J

4

2

t)dt = 4

f°r /6(3+cos2t)dt=2n+13

cos 2

t

+ 4 = 2 Jr-l-+-c-os--=2-t

res ulta:

J=

"/6 f"/6 f° Jx+4ds = 8 ° ( l +cos

bl Como (véase la nota

(1) de la Sección 2.2»:

ds

derivemos

4X

+

e 1 { (x 4

7

2

~ 2

=

= 16

2)

?

+ y-

=

4

-

Y 1 + ( -d ) dx

2

+ (dz - )2 . dx e/x

(x decrece)

respecto de x :

dz

dy

dz

2

dy

x - 2

e/x

dx

e/x

z

dx

y

+ 2z - = O , 2(x - 2) + 2y - = O =

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Integrales curvilíneas

2

dY) (dz)2 (x - 2)2 4 (x - 2)2 1 1+ ( + =1+ + - =1+ + - dx dx y2 Z2 4-(x - 2)2 4-x

Por consiguiente:

f

3

J = -

4

x+4

2

dx x = 4 sen t JX(4 - x) {

<

=>

ds= -

109

J

4 +x dx x(4-x)

n}

x = 3 : sen 2 t = -3 t = 4' 3

=

x =4:t=~ 2

=

2.4.

"/21 + sen

f ~3

2

t

sentcost

f"/2(l+sen 2 t)dt=4 f"/2(3-cos2t)dt =2n+ j3

8sentcostdt=8

~3

~3

•

INTEGRAL CURvíUNEA DE UNA FUNCiÓN VECTORIAL EN R 2 La propiedad de mecánica elemental (Figura 2.2) que recordaremos: el trabajo diferencial (dW) producido por un fuerza V cuyo punto de aplicación se desplaza una distancia Idrl a lo largo de una curva e, viene expresado por: dW

= IVI cos e'Idrl = V· dr (producto escalar)

puede servir como base de la siguiente definición: Consideremos una función vectorial V = P(x, y) l e lisa o lisa a trozos, de ecuaciones:

c{

x y

= x(t) ~ = y(t)

r (t)

La integral curvilínea de V sobre

+ Q(x, y)J definida sobre una curva plana

= x(t) l + y(t)]

e se define por

fe V· dr

(2)

En consecuencia (véase Figura 2.2), como V (P, Q), dr(dx, dy), resulta:

f f e

U·dr=

e

(P, Q)·(dx, dy)

=

f

e

(Pdx

+ Qdy),

siendo {dX = _ x'(t)dt ' dy - Y (t) dt

Propiedades y cálculo Aunque obviamente las propiedades y cálculo de esta integral son idénticas a sus correspondientes en las integrales curvilíneas respecto de x e y, añadiremos aquí las siguientes y necesarias puntualizaciones:

fe AB

P dx

+ Qdy = -

fe BA

P dx

+ Qdy

(en ésta, no interviene ds)

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110

Cálculo integral y aplicaciones

e/ //' 2 /

/ /

I I I I I

I I I

I I I I

~,~c' Figura 2.5

En general (Figura 2.5)

C!

f

=1=

AB

Denotando por tiene que

Jc =

(4)

AB

e la curva cerrada de la Figura 2.5, compuesta por las curvas el y e 2' se

Pc = - Pc' ~

fCZ

En efecto:

~c

f C2

fC! =

J:A

AB

+

_ fC! _ fCZ

BA

BA

AB

Ejemplo Hallar el trabajo realizado por la fuerza variable U(xy, 1) al desplazarse desde el punto A(O, O) hasta el B(I, 1):

al Por el camino C l (y = X2). bl Por el C 2 (y = x) . el A lo largo de la curva cerrada C compuesta por C 1

y C z, en el sentido positivo.

RESOLUCiÓN (hágase un gráfico orientativo)

Como P

al

=

W(C l )

(4)

xy, Q

=

1, W

=

y - X2 } { dy -_ 2x dx =

fc xy dx + dy. Integrando respecto de x, se tiene: fC ! x·x 2 dx+2xdx= JI AB

o

5 (x 3 +2x)dx=4

Aunque en ocasiones omitamos la función subintegra l, se sobreentenderá que ésta es siempre P dx

+

Q dy .

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Integrales curvilíneas

x} fe

2

JI

bl

W(C 2 ) { y -_ ~-~

el

cR = ~A = f~ + J:~ = ~ + ( - i) = - /2

=

~

x ' xdx

+ dx

=

(x 2

o

+

l)dx

111

4 3

= -

Independencia del camino. Función potencial Como acaba de ponerse de manifiesto, en general (véase Figura 2.S):

f

l

e =1=

fe2 (el valor de la integral depende del camino). También Pc =1= O.

AB

e

AB

Se dice que 1 =

Definición.

f

P dx

+ Q dy

no depende del camino en ,un dominjo D del

AB

2

plano R , cuando dados dos puntos A y B de este dominio el valor de l es el mismo a lo largo de cualquier camino e (incluido en D) que pase por ambos puntos. Evidentemente, en este supuesto, el valor de l a lo largo de todo camino cerrado incluido en D (Figura 2.S) será cero. Asimismo, el citado valor sólo dependerá del punto inicial A y del punto final B, es decir, l = leA, B). _ Antes de enunciar un importante teorema, consideramos conveniente justificarlo haciendo las siguientes puntualizaciones a algunas cuestiones ya estudiadas: Cuando f(x) = F'(x) , puede escribirse (segundo teorema fundamental del cálculo): dF(x)

= F'(x) dx = f(x) dx ---+

fb f( x ) dx = fb dF(x) = F(x) Jb = F(b) a

a

F(a)

a

Para que exista una función z = F(x y) con diferencial primera P dx + Q dy, es necesario y suficiente que sean iguales las derivadas cruzadas (concepto estudiado), o expresado de otro modo: dF(x, y )

= (F:" = P)· dx +

(F~ = Q) . dy =- ~: = ~: (F~y = F~x)

Supongamos finalmente, que P, Q y sus derivadas primeras son funciones continuas (en todo R 2 para simplificar conceptos) verificándose además la citada igualdad de derivadas cruzadas. En estas últimas condiciones que aseguran la existencia y diferenciabilidad (~ continuidad) de la función F(x , y), la aplicación de las otras dos primeras cuestiones conjuntamente con 2.2 (Resolución de una integral curvilínea), nos permite escribir: l

=

f C Pdx + Qdy = f C dF(x, y) = F(x, Y)JB ~ AB

obviamente si la curva

AB

e es cerrada (B =

l

= leA , B) = F(B) - F(A)

A

A) el valor de l es cero.

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112

Cálculo integral y aplicaciones

Teorema 1. Consideremos un dominio D c;; R2 cuya frontera (que lo encierra), es una única curva cerrada simple(5). Sean P(x, y), Q(x, y) y sus derivadas parciales primeras funciones continuas en dicho dominio. Es condición necesaria y suficiente para que en D la integral 1 no dependa del camino (y sea nulo por tanto su valor a lo largo de cualquier curva cerrada incluida en D), que exista una función F(x, y), tal que:

dF(x, y) = P dx

+ Q dy, o lo que es lo mismo,

ap

aQ

ay

ax

(3)

Esta función z = F(x, y), cuyo proceso de cálculo (conocido por el alumno) viene desarrollado en los ejemplos que siguen, y que aconsejamos inmediatamente repasar, recibe el nombre de Función potencial de V. (En adelante, cuando en un dominio se den las exigencias del teorema (continuidades e igualdad de derivadas cruzadas), lo expresaremos con el símbolo c(6). Únicamente resta tratar de un importante concepto: ¿cómo cambia el enunciado del teorema caso de existir puntos Sl' S2' ... E D en los que P, Q o sus derivadas no son continuas? Previamente, resolveremos un ejemplo cuyo segundo apartado adelantará en gran medida dicho concepto. Ejemplo Consideremos la integral: 1=

f

ydx - xdy X2

C

+ y2

'

donde P =

y X

x

Q=

- 2--2

+Y

Es inmediato observar que P, Q y sus derivadas parciales primeras son continuas en el dominio - {(O, O}, en el que asimismo se verifica la igualdad de derivadas cruzadas.

D = R2

1.

Obtener en el sentido indicado en la Figura 2.6(1) el valor de 1:

al Entre los puntos A y B a lo largo de la porción L de circunferencia. bl Entre A y B a través de los dos catetos del triángulo dibujado. el Entre A y B a lo largo de la hipotenusa x = j3 (2 - y) del triángulo. dI A lo largo de la curva cerrada formada por dicho triángulo (sentido positivo). el Razonar los resultados y comprobarlos utilizando la función potencial. RESOLUCiÓN

r

L

al

J

AB

bl

{x: 2cost} = Y - 2 sen t

f f{ =

AB

(5)

AC

f1
f {x CB

=

O}

dx = O

=

f

¡¡;

3

4

1
1} +

y= dy = O

=

-

l·dx

AC X2

-- =

+1

arc tg x

JO = J3

Curva simple es la que carece de puntos múltiples (nunca se corta a sí misma).

¡¡;

3

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Integrales curvilíneas

+y,

única onti-

+y,,

B (O, 2) :

,, ,, ,,

F(-2, \)

y sea

una

t

f

'/"/C(O,

E (2, \)

y=\

(13, 1)

•.. -~\A

,

"

,, ,, ,, ,

(3)

1)~-,

"

:n:/6:

s (O, O) (1)

r

,

V "

arrombre

2

",

x +

i

r

,, ,, ,r

s (O, O)

x x=2

x=-2

//,,)t'

y =-1

M(-2, \)

N(2, -1)

=4

Figura 2.6

es e rema evra-

el

f { AB

con-

f

x=J3(2-Y)} dx = - J3 dy

= - arctg CYfi

=

-2J3dy AB

4(y2 - 3y

2 f2

+ 3) = - J3

3) I= - arctg fi + arctg (-

fi)

dy

I

CYfi

3y

(impar) = -

+1

2 arctg fi =

ti

3

el

minio

Elijamos, por ejemplo, el dominio DI = {(x, y) E R2 / y ~ 1/2} donde están incluidos todos los caminos anteriores. Puesto que en él se verifican las exigencias (~) del Teorema expuesto (continuidad e igualdad de derivadas cruzadas), los resultados obtenidos no necesitan más comentario. Hallemos ahora la función potencial F (x, y) :

M Y 1~ x Al ser P = - = -2--2 = 2 (si y # O), se tiene que F = arctg ax x +y (x/y) + 1 Y Con lo que derivando F respecto de y, e igualando a Q, resulta: aF

-

ay

=

-X/y2 1 + (X/y)2

x

y en consecuencia, F = arctg -

y

f

e AB

(C incluido en DI)

=

+ h'(y) = Q = --2 x

-x

+ y2

=>

h'(y) = O

+ h(y).

=>

h(y) = k

+ k es la función potencial. Con ella:

F[B(O, 2)] - F[A(J3,

1)]

=

arctg -O 2

+ k - ( arctg -J3 + k ) = 1

tt

3

Como la constante k siempre desaparece, prescindiremos de ella en los cálculos. (Si quieren obtenerse otros resultados, es aconsejable repasar la función arctg x en la Figura 1.8.)

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Cálculo integral y aplicaciones

2.

al Hall ar 1 entre A y B a lo largo de la circunferencia (camino V de puntos) . bl Medi ante anteriores resultados hallar 1 a lo largo de la curva cerrada constituida por toda la circunfe rencia (sentido positivo) .

el

Hall ar

cR siendo e e

e e { e

El rectá ngulo (Figura 2.6.(2)) La elipse (x 2 /4) + (y 2/ 1) = I Cualquier circunferencia de centro S

dI ¿Qué conclusiones pudieran aventurarse de los sorprendentes resul tados de este segundo apartado?

RESOLUCiÓN

al Utilizaremos para simplificar los cálculos la Figura 2.3(3). Con ella: v {x=2sen t} = f2 X4COs2f+4sen2f dt = f2 1< dt= 5n i= AB Y = 2 cos t 1
_'!!.?(6)

I bl

el

rh (circunferencia) = f L + IV ~

AB

P

(rectángulo)

I {y 1} f =

=

EF

I f

dy = O

~.dx

=

EF

BA

EF X

+

2

I

5n

3

3

FM

{xdx == O-2} +

dx

2

+

= f -2

1

n

+x

I

- 2n i= O?

-1}

{ y=

MN

3.

dy = O

I {x

+

NE

=

2}

dx = O

:

= arctg( - 2) - arctg2(impar) = -2arctg2

Operando del mismo modo, se tendría inmediatamente: l

-2 arct o "'2

y en consecuencia

1 Aplicando que VA > O, arctg A + arctg A

n = -,

2

frecuentemente), de la relación arctgx + arctgy

p . P

(rectángulo) = -

(elipse)

(6)

p

= -

4(

arctg 2 + arctg

lo que también puede deducirse (aunque no se utilice

x+y 1 - xy

arctg - - -, resulta:

=

4(arctg 2 + arctg ~) = - 4~ = - 2n.

dI {x = 2 cos t} f21< sen t( - 2 sen t dt) - 2 cos t(cos t dt) f 21< = = - 2 - - - :2 2 2 y =sen f o " 4cos t+sen t o 1 +3cos (

Medi ante la Figura 2.3( 1):

IV{X: 2 cos t} AB

Y - 2sen t

=

_

~)

IV BA

-

2X

lI

~2

( - d,)

+

f X/6 o

(-

dt)

]

5n

=-

3

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Integrales curvilíneas

Haciendo un gráfico aproximado de f(t) = 1 + 3 cos l t, se tiene el de

1 1

1 + 3 cos t

(período n), que

justifica lo siguiente: l1< _ _d_t__?_ = 4 f" /l o 1 f o 1 + 3 cos - t

dt

+ 3 cos

f

oo

1

t

l

l-l} =

(par en seno y coseno) {tg t = u, dt = _ d_u_ , cos t = __ 1 + ul 1+ u

du

= 4 o 4 + u l = 2 arc tg

u

2:

]00

n

o = 2·

2:

=>

P

(elipse) = - 2n

Finalmente, el valor de la integral a lo largo de cualquier circunferenci a (radio r) vendrá dado por:

P{ ?

r+yl=rl->

d)

X = rcos t} y = r sen t

=

l l fl1< - r l sen l t - r cos t fl1< dt= dt= - 2n o rl o

Parece (pues se ha verificado con infinitas curvas) que si se dan las condiciones (<(6) excepto en un

punto S (al que llamaremos punto singular), el valor de

~ P dx. + Qdy

a lo largo de cualquier curva

cerrada e en cuyo interior esté S, no varía. Lo anterior, que como veremos en una regla general, justifica inmediatamente el resultado obtenido

fABL # fVAB. Compruébese de nuevo dicho resultado con la Figura 2.5, suponiendo: que se dan las condiciones (<(6) exceptuando en un punto singular S interior a la curva por el y el' -

que~ =

k#O.

e compuesta •

Independencia del camino con puntos singulares Sea D un dominio que con relación a la integral curvilínea: 1=

f

P(x, y)dx

+ Q(x,

y)dy

presenta, como se observa en la Figura 2.7, los puntos singulares S 1> S 2' ... (7). Consideremos asimismo una curva cerrada e que incluye a las el' e 2, ... , las cuales no intersecan entre sí, pudiendo incluir a su vez cada una de éstas a uno o más puntos singulares (SJ (7) Llamaremos aquí Puntos singulares o Agujeros de un dominio D , a aquellos donde las fu nci ones P, Q, o sus derivadas parciales primeras no son continuas.

Si D no tiene agujeros, se dice que es simplemente conexo; y obviamente en todo él las mencionadas funciones son S'1 adem á s, se ven'f'lca en D que -ap = -8Q , entonces la 'IIltegra I 1 es 1Il . d epen d'lente d i' . contllluas. e camlllo y consecuente-

ay

ax

mente, nula a lo largo de cualquier curva cerrada incluida en D. Cuando D tiene agujeros, suele decirse que es múltiplemente conexo (doblemente si tiene uno, triplemente si tiene dos, cuádruplemente si tiene tres, ... ).

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Cálculo integra l y aplicaciones

D

Figura 2.7

Teorema 2.

Si en D - {Sl' S2' ... } se verifican las condiciones

(~ ),

entonces:

(4)

Para probarlo, supondremos en principio que únicamente hay en D un punto singular S l ' Sin más consideraciones (Figura 2.8) y habida cuenta de que los subdominios Dl y D 2 sombreados son simplemente conexos (independencia del camino), escribiremos (sentido indicado) : En (D 1 )

:

AB

En (D 2 )

:

BA

(puntos)

+

AM

fe = f

fe + f

(puntos)

fe + f

(puntos)

l

fe = f

MN

NB

l

(puntos)

BN

+

NM

MA

B

e A

Figura 2.8

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117

con lo que sumando, se tiene:

pues los sumandos encerrados entre paréntesis son nulos. Razonando y operando de modo análogo, la demostración correspondiente al caso de dos o más puntos singulares, resulta inmediata. (Para dejar perfectamente fijados todos estos conceptos es muy recomendable analizar, en este momento, los resultados del Ejercicio propuesto 7.)

2.5.

INTEGRAL CURVILíNEA DE UNA FUNCiÓN VECTORIAL EN R 3 Consideremos ahora la función vectorial V = P(x, y, z)T + Q(x, y, z)J + H(x, y, z)k, definida sobre una curva (C) de R 3 , lisa o lisa a trozos y plana o alabeada. La correspondiente integral curvilínea, generalización de la anterior, vendrá expresada por: 1=

LV. L dr:

=

P(x, y, z) dx

+ Q(x,

y, z) dy

+ H(x,

y, z) dz

Esta integral, cuando e es cerrada, suele denominarse «Circulación del vector V a lo largo de la curva e» (en 4.1 volveremos a tratar sobre ello). Como todas las definiciones, cálculo, propiedades, etc., son totalmente análogas a las ya estudiadas, nos limitaremos a resolver un ejemplo; y aún cuando en él se repetirán algunos conceptos, sin embargo en otros (condiciones de existencia y cálculo de la función potencial), es muy aconsejable tratar de las generalizaciones correspondientes.

Ejemplo 1.

Hallar entre

1=

A(O, 2, O) Y B(j2,

f

e

1, 1) a lo largo de la curva C, el valor de:

{

X2

(yz+y-1)dx+(xz+x)dy+(xy+3z 2 )dz,

C:

+ y2 + Z2

4

=

y+z=2

y en el sentido definido o fijado por las ecuaciones paramétricas que se obtengan. RESOLUCiÓN

1.

X2

C {

+ y2 + (2

-

y)2

X2

(y - 1)2

2

1

= 4 --> - +

X

= 1



y+z = 2

sustituyendo estas relaciones conjuntamente con las dx la integral, y operando ordenadamente, resulta:

{

=

-

=

j2cost {teA) = ~

y - 1 = sen t z = 1 - sen t t(B)

j2 sen t dt, dy =

=

cos t dt, dz

2 O =

-

cos t dt, en

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Cálculo integral y aplicaciones

f

o ( - 3 J2 cOS 2 t sen t - 3 sen 2 t cos t

1=

+ 2 J2 cos 2 t + 3 sen 2t - 3 cos t -

J2) dt

=

,,/2

[ J2 cos 3 t - sen 3 t

=

+ 2J2(-~) 4

~ cos2t -

-

2

3sent - J2tJ O

=

~2

1 + J2

2. Demostrar que en el dominio D = R 3 existe en este caso independencia del camino, y utilizando la función potencial comprobar el valor anterior.

RESOLUCiÓN

Traslademos a este ejemplo, la generalización de las condiciones (<:(6 ) para que el valor de la integral 1 no dependa en D = R 3 del camino: Las funciones P = yz + y - 1, Q = xz ras .son ,continuas en todo R 3 (polinomios). a)

b)

+ x, H = xy + 3z 2 , al igual que sus derivadas parciales prime-

Respecto a la igualdad de derivadas cruzadas, deberá verificarse: Q

Q

ap = a ) ( ap = aH) ( a = aH) ( ay ax az ax az ay

que efectivamente sucede, con lo que queda probada dicha independencia y asimismo la existencia de una función F(x , y, z) I dF = P dx + Qdy + H dz.

Cálculo de la funciÓn potencial F(x, y, z) Como

(

P

aF = -

ax

=

yz

+y

- l aF

-

ax

Q=

~; = xz + x

,

H=

~: = xy + 3z

2 ):

= yz + y - 1 --> F = (yz + y - l)x + h(y, z)

Derivando esta expresión de F respecto de y e igualando a Q , se tiene: (z

+

l)x

+ h~(y, z) =

Q = xz

+x

=

h~(y,

z) = O

=

h(y, z) no depende de y

Puede escribirse por tanto h(y, z) = g(z) + k o simplemente h(y, z) = g(z). Consecuentemente F(x, y, z) = xyz + xy - x + g(z) Derivemos finalmente esta nueva expresión respecto de z e igualemos a H: xy

+ g'(z) =

por lo que F(x, y, z) = xyz 1=

f

AH

H = xy

+ Z3 + xy

+ 3z 2

- x

=

g'(z) = 3z 2

=

g(z) =

Z3

+k

+ k es la función potencial. Con ella:

= F(B) - F(A) = F(J2, 1, 1) - F(O, 2, O) = J2 + l + 1 - 1 - (O) = 1 + J2

•

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1.

Determinar el valor de la siguiente integral curvilínea:

(por intervenir ds, no es necesario indicar el sentido de integración).

y

y

A

B

e , ,, ,,

, ,,,

B

x

A Figura 2.9

SOLUCiÓN

Si elegimos, por ejemplo, el primer gráfico, resultan para

t} < s

x = 2 sen y = 2 + 2 cos t

=

2t >

{x = 2 sen (s/2) } A(t = 0, s = O) y = 2 + 2 cos (s/ 2) B(t = n, s = 2n)

con ellas:

1=

f

21< [

o

8 sen 3

S+ 4 (S cos 2

-

2

-

2

e las ecuaciones:

-

sen 2

s) + s+ 1

-

2

8 cos 2

4 ds = -64 3

Obténgase de nuevo mediante el segundo gráfico e integrando respecto de t (ds

2.

Sean 1 =

al bl

t

xydx

+ (x 2

-

y2)dy

,

Obtener el valor de la integral a lo largo de toda la curva cerrada C. Hallar 1 a lo largo de e entre los puntos A(3 , O) Y B(O, 3/ 2).

+ 8n

=

2 dt).

119

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Cálculo integral y aplicaciones

SOLUCiÓN

X

1 {

= 3 cos

3

t}

243

=

--

y = - sen t 2

= AB

xydy

+

f

AB

=

3.

f

f

~

0, y

J3

f~

5y2)dy

AB la porción de la elipse X2 + 4y2

- 4=

al Hallar 1 operando en paramétricas (dibújese un gráfico orientativo). bl

Obtener 1 a lo largo de la recta que une A con B.

el Justifíquense los resultados calculando la función potencial, si existe. SOLUCiÓN

al I{X =2cost}= - 3 y

bl

sent

=

I{x = 2 - 2y } = dx = - 2 dy

ap

aQ

el - = -

ay

ax

fl

f

" /2

o

1 ( ,,/ 2 dt = - L 1 + 3 cos 2 t = - L(2) 3 cos t 2 o 2

/y - 4 dy = ~ LI5y2 - 8y o 5y - 8y + 4 2 1

->

J

sen t cos t 1+

F(x, y) = - L(x 2 + y2) 2

+ k:

+ 41J

I-

L(2)

o

F[B(O, 1)] - F[A(2, O] = - L(2)

(nótese que existe un punto singular S en el origen de coordenadas .)

4.

Consideremos la integral curvilínea (véase Ejemplo en 2.5):

1=

f

(yz + y - l)dx + (xz + x)dy + (xy + 3z 2)dz

Comprobar nuevamente el valor obtenido 1 = 1 +

{

A(O, 2, O)

r:.

B(v 2, 1, 1)

AB

j2:

al A lo largo de la recta r l que une A con B. bl

=

o

2

863 = 827

A

AB

1 = 27/8

fO~ x~dx + f 3/2 (9 3

X2)3 /2 o +

1=0

O) que:

(x 2 - y2)dy =

dx + dy, siendo x +y x +y entre los puntos A(2, O) Y B(O, 1).

Dada 1 =

~

AB

61 (9 -

{al

27 sen 2 tcostdt+costdt bl e 2 e

8

Obsérvese asimismo (entre A y B, x

f

f

A lo largo de la recta r 2 entre A y M(j2, 1, O) Y de la r 3 entre M y B.

°

comprendida

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Integrales curvilíneas

SOLUCiÓN

A(O, 2, O) } x y - 2 z r 1{ B(J2, 1, 1) J2 = ----=-1 ="1

r {A(O, 2, O) {x = J2(2 - y) 2 M( 'Í 1 O) = O V ¿'" Z



x= J2 z { y=2-z

{ x : fi(2 - t) . Y O , z=



r3



{

X = J2t y=2-t

z=

t

{x = J2 {M} B Y 1 -



=

{xy == J2 1

z=

t

Integrando respecto de la variable que en cada caso consideramos más conveniente:

al

bl

J J

5. al

(dz = O)

=

AB

+

AM

J

{dx: O} = dy O

MB

JI

J2(3 - 2y)dy

+ JI (J2 + 3z 2)dz = 1 + J2.

2

o

Estudiar si a lo largo de todas las circunferencias de centro (O, O) es constante:

x2ydx - x 3 dy [ =

Pce

2

(x

+y

2 2

)

(sentido negativo)

bl Hallar el valor de la integral a lo largo de la recta y = 1 entre A( - 1, 1) Y B(1, 1). ¿Coincide este valor con el que resulta a lo largo del camino X2 + y2 = 2? el Justificar lo anterior probando que existe función potencial. Calcular ésta. SOLUCiÓN

al Utilizando, por ejemplo, el tercer gráfico de la Figura 2.3, [{

x =rsent}

y

=

rcos t

=

y partiendo de B(t = O):

J2"r4sen2t(cos2t +sen2t) n 4 dt = 4·- = n (no depende de r) o r 4

2

2

x dx JI (1+x )-1 bl [ { y= l} = JI 2 2 = 2 2 dx {métodos de integración en Apéndice 1} = dy=O - 1(1+X) - 1 (1+x) 1[ x ] 1 n - 2 J" /4 = - arctgx - - - 2 = - - = [{x 2 + y2 = 2} = sen 2 tdt 2 1 + x _1 4 - ,,/4

el Se verifican las condiciones

(~) excepto en (O, O), lo cual justifica estos resultados (los dos caminos del Apartado b están incluidos en un dominio simplemente conexo).

1(

F(x, y) = -

2

xy) + k

arctg x- - - - Y X2 + y2

(y # O)

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Cálculo integral y aplicaciones

6.

Consideremos las seis curvas cerradas de la Figura 2. 10: Rectángulo (R), circunferenci as (el' elipse (E) y curva frontera (F) del dominio sombreado, la cual consta de las F ¡ y F 2 .

e2 , e3 ),

R

G e¡ ~ E

Figura 2.10

Sea 1 =

f

P dx

+ Q dy

una integral curvilínea respecto de la cual, a excepción de ciertos puntos sin-

gulares (Si)' se verifican las condiciones

(~).

a)

Suponiendo que existen los tres puntos singu lares de la Figura, determinar los valores de las integrales

~

y

rf.. , sabiendo que rf.. = 6, rf.. = 3, rf.. = 4. '1:~{'fc2 'fc,

Supóngase ahora, que existiesen únicamente los puntos singulares S¡ y S2 (táchese S3 en la citada Figura). Sabiendo que:

b)

rf.. = 'fc, calcular las integrales

f -f:~ e3

1,

y que

=

2 (en los sentidos indicados con flecha)

AB

~ , cA ' ~ , f~

y

f~

SOLUCiÓN

7.

a)

rf.. = h

b)

rf.. = rf..

3,

~{h

rf.. = h = 4,

l.

rf.. = 3, f = fe, = 2, h AB AB FI

F2

f

-l.

AB

Sea de nuevo la integral 1 del Ejemplo correspondi ente a la Figura 2.6. Analizando previamente nomenclaturas (Figura 2.11), obténganse los siguientes resultados (¿cuáles son impredecibles?):

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Integrales curvilíneas

123

y=2

J3

x

~-~-~~~ --- --- -

-- -- - -----~,------ -----' e¡ (L) ¡ /-'

-----

_ 1

~_~_::

","

___ __________

-'

___ ____ _, A

, I

ydx - xdy x2

+l

F(x, y) = arctg "; + K

r¡

,/'\

,

,-"'N

- J312 -,/S

J312

:rr/6

---_i_'>_'::~-l;;~ ~~:::~~ 1_______ 1_ -,-,-,,-,

a (A) =.::.., a (N) =_.::.. 6 6

x

s

e: x' + y' =4 e, : x' +(y _l)' =

¡

r

M\ ,

r

- Je

.-

//

M"

¡

D¡

____________ __ ___ _____ ___ ;*-"__:l~ ___ __

~_ =_

J-

A

/

,

/ /

r

2

L : En apartado e

/

"""

Circunferencia lq~// ' ---Figura 2.11.

al

Siempre el sentido positivo.

V A, B / rx(A) < rx(B) : fe = rx(A) - rx(B) ___ AB

bl

rh = ~

-

2n.

rh = {O, si r < l (concepto). Si r = 1 (el en la Figura 2.11): ~, - 2n , r> 1 SI

f

e,

1

=-

f "
2

AB

"(A)

[rx(A) - rx(B)] ---

~

- n (impredecible)

e,

2

el

Siendo L una curva cerrada que consta de la porción de circunferencia el con trazo continua y de la recta r l' se tiene (resultado predecible):

~

= - -2n (porción de

el)

3

L

+

f" {y

= _ 1/2}

dy -

MN

°

=

2n

- -

3

+ -2n = 3

(asimismo, el valor de esta integral a lo largo de la curva L cOITespondiente a

°

e, será 1 =

- 2n).

dI

En los dominios D y DI sombreados, se dan las condiciones Cf6. Consecuentemente existe en ambos independencia del camino y las correspondientes integrales a lo largo de las curvas frontera de D y DI son nulas (compruébese en D). A pesar de ello, veremos seguidamente en D, algún resultado que más que impredecible, será sorprendente: En DI :

e,

f

= NA

En D : fe NA

nótese que F

=

fSl

n =

-

arctg -

6

NA

fS =

- = F(A) - F(N) =

-

NA

= arctg(x/y)

!!. #- F(A) 3

F(N)

= arctg

1

13

- arctg

13

n

.n

= - -

-

6

3

13 - arctg ( - 13) = 2n (sorprendente)

es continua en DI pero ¡no en D!

3

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Cálculo integral y aplicaciones

Puntualización Habida cuenta de que F tiene que ser obligatoriamente continua (por ser diferenciable) en los puntos (a, O) donde «sus derivadas» P y Q lo son; ¿en qué lugar reside el error? La respuesta surge al recordar (ejemplo correspondiente a la Figura 2.6), que en el cálculo de la función F se dividió por y, dando por supuesto que y ,¡ O. Por ello, P y Q no son realmente derivadas de F = arctg (x/y) , pues por ejemplo:

F'x =

l/y 1

+ (x/y)

2

=

y 2/y

- 2- 2

x

+y

( ' no contmua en y = O) = P (SI. Y ,¡ O)

Como esta división o simplificación, aunque raras veces, puede utilizarse en el cálculo de F, consideramos conveniente (agiliza razonamientos) presentar aquí el siguiente enunciado: Si en un dominio D (cuya frontera es una única curva cerrada simple) se dan las condiciones escribirse: V A, B,

e (puntos y curva en D)

:

f:B

Pdx

~,

puede

+ Qdy = k --+ ~ (en D) = O

Si además, existe un dominio convexo (D lo es, si VPI' P 2 E D, PI P 2 E D) donde F (obtenida aún con divisiones o simplificaciones) es continua, y en el que D está incluido, entonces: VA, B,

e (puntos y curva en D)

:

fe

P dx

+ Q dy

=

k = F(B) - F(A)

( 8)

AB

La existencia de este convexo es condición suficiente, pues aún sin ello, obviamente podría suceder que e ¡cualquier camino! (cortando o no a la parábola),

(8)

1 = F(B) - F(A ). Se propone comprobar con A( - 2, - 2), B(O, 2) y

que:

al

e dx

f

AB

x

+ 2y dy 2 = +y

L2 = F(B) - F(A). Váyase de A a B a través de M(2, - 2) Y H(2 , 2) (rectas), y directamente.

bl No existe ningún convexo (que contenga a un

D simplemente conexo) en el que F

=

Llx

+ y21 sea continua.

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Integrales dobles

3.1.

LA INTEGRAL DOBLE Prescindiendo en esta ocasión de dar definiciones y gran parte de sus propiedades puesto que exclusivamente se utilizará la integral simple de Riemann concepto de integral doble

(D,

presentamos a continuación el

(fDresolviendo para ello, las dos siguientes cuestiones (supondre-

mos en todos los casos la existencia de las integrales de Riemann correspondientes).

Cálculo de áreas planas Si consideramos el recinto R de área A (primer gráfico de la Figura 3.1) en el que entre a y b cualquier recta genérica r normal al eje x (x = k) siempre corta en primer lugar a la curva C l : Y = Jl(X), y seguidamente a la C 2 : Y = J2(X), se tiene (Riemann): dA (área rayada)

= [J2(X) - J1 (x)] d.x

~A =

f

[J2(X) - J1 (x)] dx

y puesto que:

f

f 2(X)

J f 2(X)

= J2(X) - J1(X)

dy = Y

fl(X)

fl(X)

podríamos escribir: A

=

f

b[J2(X) -

a

Jl (x)] d.x =

fb a

[ff

2

(X)

fl(x)

]

dy d.x

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126

Cálculo integral y aplicaciones

y

y

r

y = Ji (x) -------

d

---- ---- ---- ----- --- ----- --:::.;--._-.,. - ->---c:::----

,,

,,

\

)X= g2 (y)

N I I / / /

Y = k

f--- --{::=======?'----r-

e ---------¡---- --="'--....=-'-------

,, ,

o

a

x= k

o

x

b

x

Figura 3.1

lo cual abreviadamente expresaremos por cualquiera de las notaciones:

J2(X) dy dx = JI I

A (área de R) = fb a

dy dx =

R

I¡(x)

JI

dA (dA = dy dx)

(1)

R

Razonando de igual forma (segundo gráfico de la Figura 3.1) con otra recta genérica r normal al eje y (y = k), resulta: 2

A = fd [g 2(y) - gl(Y)] dy = fd f9 e

e

(Y)

9¡(Y)

dxdy =

JI

dxdy =

R

JI

dA

(2)

R

Dado que el correcto cálculo de los límites de integración es el fundamento de cualquier integral doble (o triple), antes de seguir adelante, aconsejamos estudiar la Figura anterior y analizar el recorrido de las dos rectas genéricas al barrer totalmente ambos recintos, lo cual justifica los resultados de las expresiones (1) y (2). Cuando por su forma, al recinto R no puedan aplicarse las relaciones (1) o (2) (culpable la recta genérica), deberá particionarse en otros donde dichas relaciones sean aplicables (concepto que ponemos de manifiesto en el ejemplo que sigue) . Ejemplo Aplicando las relaGiones (1) y (2) determinar el área del f.ecinto cuya frontera es el triángulo de vértices 0(0, O), A(6, O) , B(4, 2). RESOLUCiÓN

Orden yx(dy dx). r normal al eje x (relativo a la última integración): Aplicando lo expuesto es claro que debe particionarse R en dos recintos, el segundo de los cuales (R 2 ) hemos sombreado (Figura 3.2):

(1)

A =

ft

dydx =

ftl

dydx

+

ft2

dydx (evidente propiedad aditiva) =

4 rJo4Jor 2dydx+ J64 fo6-X dy dx = Jor4[y ]Xo/2dx + J64[y ]6-X r o dx= Jo 2: dx + J6 4 (6-x)dx=6 X

/

=

x

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Integrales dobles

y

y

127

x=6-y

I

x=2y

r r

..

B (4, 2)

~

11'11 o (O,

O)

(4, O)

x

x

A (6, O)

x

A (6)

O (O)

x

Figura 3.2 r

(2)

Orden xy (dx dy).-Segundo

Ir

A=

(1)

or-

(2)

gráfico de la Figura 3.2:

f?o I6-Y

dxdy= R

f? [ x J6-Y

dxdy=

o

2y

f2

dy=

(6-3y)dy=6

o

2y

Obviamente, en esta ocasión, es más aconsejable elegir el orden (2) para el cálculo. Se propone repetir este ejemplo (en los dos órdenes), comprobando que las áreas encerradas por las curvas (y = x2, y = 4) Y por las (y2 = 32x, y = x3) son 32/3 y 20/3, respectivamente.

•

Cálculo de volúmenes En general, una integración doble aparecerá expresada por cualquiera de las formas:

fL

f(x,

y)dxdy

fL

=

f(x,

y)dydx

cuyo valor (suponemos f continua y no negativa en el recinto R) representa el volumen (V) del cuerpo cilíndrico de la Figura 3.3(a) con base dicho recinto y comprendido entre la superficie z = f(x, y) y el plano horizontal. Véamoslo: Teniendo en cuenta (I.S), que V =

fb

[A(x): área sombreada]

A(x)dx

a

y como (Riemann): ces

f'(X)

= f(x, y) dy

dA(x) (área rayada)

resulta: V

=

fb

A(x) dx

a

=

fb a

ff J

--+

A (x)

=

. 2(X) f(x, y) dy dx =

f

f(x,

y) dy

f¡(x)

If

f(x, y) dy dx R

,(x)

nótese que f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy es el volumen (diferencial) de la columna vertical dibujada en la Figura 3.3(a) cuya base, de área dx dy, está en el plano horizontal, y cuya altura es f(x, y). Consecuentemente puede escribirse: dV

= f(x, y)dxdy

--+

V

=

fL

f(x,

y)dxdy

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128

Cálculo integral y aplicaciones

z

y

a

--- --- -----

-

x

r-

, \

I I /

-

/ / /

/

b

y=f2(x)

f(x ,y)

b dy

x

Figura 3.3.(a)

y <:n:/2

z

r

z =h(x,y)

,

y =:n:/2

z = f¡(x,y):

,, Or-____-r__________r-____+-________~:--~y->-:n:-/2----~----~ z =f¡ (x,y)

y

ar---------~----

,, ,,

__ ,,

xr-----------~~-------+--'~-

y= f¡ (x)

R

,, \

I

b r-------- --

- --

----="'"-- -

y = h (x)

~¡ ~

x

Figura 3.3.(b)

Lo anteriormente expuesto, dará lugar al cálculo del volumen de todo tipo de cuerpos que cumplan ciertas condiciones . Así, el volumen de los dos cuerpos definidos por las relaciones plasmadas en la Figura 3.3.(b) vendrá expresado (resta de volúmenes de dos cuerpos cilíndricos) por: (3)

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Integrales dobles

129

En el Ejemplo de la Figura 3.7, se obtendrá mediante cierto artificio el volumen de una esfera. Aconsejamos, aplicando únicamente lo visto hasta aquí sobre integrales dobles, tratar de calcular dicho volumen. En caso necesario consúltese esta llamada (1). Ejemplos

l/2 f2Y Y f o y x- 2 -+- -y2 dx dy

1. Consideremos la integral doble 1 =

al Calcular su valor integrando en el orden indicado. bl Dibujar el correspondiente recinto de integración (R). el Plantear 1 cuando se invierte el orden de integración. RESOLUCiÓN

al

1=

fl/2 [IY o

l/2

=

f

o

l/y 2 dx ] dy (x/y) + 1

y

=

fl/2 o

[1-. y arctg -XJ2Y . dy y Y y

1 (arctg 2 - arctg 1) dy

= -

2

= (2)

1

(arctg 2 - arctg 1)

1 arctg 2 3

= -

resultado este último que se obtiene aplicando la relación: arctgx - arctgy

=

x-y arctg - - - (vista en el Ejemplo de 2.4) 1 + xy

bl Razonando con rectas x

= 2y,

(r) normales al eje y, puesto que los límites de la segunda integral son x = y, resulta evidente que el recinto R pedido corresponde a toda la zona sombreada de la Figura 3.4.

el Apoyándonos en la Figura 3.4 y trazando ahora rectas normales al eje x (dos recintos

R 1 y R 2 en este

caso), escribiremos: 1 = I(R 1 )

+ I(R 2 )

=

l/2 fX

f

o

x/2

Y - 2- 2

x

(compruébese que extraer de aquí el resultado 1 =

(1)

8"v (Figura 3.7) =

II

~ = f3

X2)

R

[J9 - (x 2

+ y2)

+Y

dydx

+

JI 1/2

fl/2

Y

-2--2 x/2 X Y

+

dydx

1

1 arctg - , es ahora más laborioso.) 2 3

-

- (z = O)] dxdy =

f3f~ o o J9 -

(x 2

+ y2) dydx

(9 !!. dx = !!. ~J3 => V = 36n. 8 o 4 4 3 o (2) Aunque en el Capítulo l se han resuelto numerosas integrales de estos tipos (dos o más variables componentes de la función subintegral), recordaremos no obstante el siguiente concepto: "Si la expresión subintegral presenta la forma f(x, y, z, ... ) dx, la variable de integración es x, con lo que las restantes y, z, ... permanecerán constantes (durante esa integración)>>.

Con todo:

[9X -

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130

Cálculo integ ral y aplicaciones

x

=

2y

1-------"r--------::;;;.>1""'~-------y =

1/2

--r---~~--~

y= k

o

1/ 2

x Figura 3 .4

2.

Calcul ar el valor de la integral 1 =

f: f:v

eX> . dx

•

dy.

RESOLUCiÓN

Respetando el orden dado, sería necesario obtener

f 2e

X2 •

dx que como sabemos (Apéndice 1), es

2y

una integral irresoluble. Veamos si invirtiendo el orden de integración puede calcul arse: Una vez dibujado el recinto R correspondi ente (primer gráfico de la Figu ra 3.5 ) y razonando con la recta r normal al eje x (orden )'x), se tiene:

En consecuencia:

Para concluir con la inversión de los límites de integración (que en ocasiones, como se ha puesto de manifiesto, es imprescindible) se propone el ejercicio que sigue.

y

ro

,.

'"

.r = -'.} 1- y - /--

x = 2y (y = x/2)

y=1

-

.

, ,, ,,

y = k l-_--l~

o

/'

_----

x

x =k

2

x

Figura 3.5

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Integrales dobles

131

Cambiar el orden de integración de las integrales:

1

fl

=

fJ17 a

f(x,

y)dxdy

,

J

=

f2 fJlli o

y- I

f(x,

y)dydx

x3

La obtención gráfica de los recintos se facilita lanzando varias rectas horizontales entre y = O, Y = 1 en el caso 1 (segundo gráfico de la Figura 3.5) y rectas verticales entre x = O, x = 2 en el caso 1. Disponiendo de ambos recintos resulta inmediato que:

f

1= a

•

•

~ 1

1

f(x,

f1 fft=? f(x,

+

y)dydx

a

a

y)dydx

1=

,

1°

f8

O

f(x,

y)dxdy

y2/32

O

•

Cambio de variables en una integral doble En numerosas ocasiones se facilita la resolución de una integral doble, mediante cambios adecuados de las variables x, y de integración. Como ya se ha estudiado, cuando se hacía el cambio (aplicación F de R2 en R2): es

V)}

Ix~ x~1igual signo y" yv

111 =

teniendo el jacobiano

x: x(u, y - y(u, v) la

(aquí lo deberá tener en el correspondiente recinto de integración), resultaba que los elementos diferenciales de área (dA) en una u otra referencia, venían relacionados por: dA (en el plano xy) =

111· dA

(en el plano uv)

--t

dxdy =

111 dudv

Son muy comunes los siguientes cambios en polares:

de

pcose

=

X {

y =

p

e

sen .

= y - b =

X

(111

= p)

{

-

a

e (111 = p) p sen e

p

cos

xla = p cos { y lb = p sen

e (111 = pab) e

y si consideramos más aconsejable realizar, por ejemplo, el primer cambio, con lo que f(x, y) = f(p cos e, p sen e) = g(p, e), dx dy = p dp de, se tendrá (Figura 3.6): f(x,

If

=

y) dx dy

R

If

g(p, e)· p dp de R'

=

IP2(O)

01

p¡(O)

f

O?

g(p, e)· p dp de (orden usual)

y

~--""f I

I

,

I

I

/p =PI (e I I

I

!.,e2 ,

~~

/_---\-~el

o

\ \

fl

P =P2 (e) r

\

R

I

(e)

\

I

,

= P2

, \

I

I

r

P

F

,, ,, , ,

,I

•

~

I

r-,

e,=; k

,, ,, ,, ,

.------~~

.•.•.

-, \

/

p=PI(e)

o

x Figura 3.6

el Ii=k

e2

e

http://carlos2524.jimdo.com/ ,I

132

Cálculo integral y aplicaciones

En la Figura 3.6 aparece el primitivo recinto de integración R, habiendo en él sustituido las ecuaciones cartesianas de su frontera por las polares. En este primer gráfico, también se han añadido otros conceptos, con el fin de que podamos prescindir del recinto imagen R' para el cálculo de los límites de integración. Aconsejamos, como anteriormente un detenido examen en R y R' de la recta genérica r.

Ejemplos

,

1.

Comprobar que los dos enunciados que siguen son equivalentes:

j, .

• Hallar mediante integrales dobles el volumen de la esfera x2

I IR J9

• Hallar el valor V = 8

+ y2 + Z2 = 9 .

- x2 - y2 dx dy, R (cuadrante de x2

+ y2

=: 9).

RESOLUCiÓN

i, "

La mejor forma de realizar esta comprobación, consiste en observar las Figuras 3.3 y 3.7 planteando posteriormente, en cartesianas, el volumen de la esfera. Veámoslo, obteniendo de paso dicho valor V = 4/ 3 (nr3) = 36n (r = 3): Basándonos únicamente en el primer gráfico (los otros se han añadido para fijar ideas) y sin más consideraciones, calculemos el volumen dibujado:

f fLf(X, =

y)dxdy

=

fL

J9 - x2 - y2dxdy

=

fL,

g(p,8)·pdpd8

=

z

y F:

<"

J,y)

=

{x = p

CQS

y = p sen

r

e é

Jo-<' - y'

x•

p=o r y

3~P=3 F

x

•

'L~'o o

r

Figura 3,7

n/2

e

•

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133

Integrales dobles

o las

2.

Calcular la integral 1 en el recinto R, siendo:

han a el

fL

1=

r.

+ y)dxdy

(x

RESOLUCiÓN X

Utilizando polares (usuales)

{

Y

= p cos e e = P sen

:

{x

+ y2 2 +y

2 2

x

-

2x = o

- 2y

,,'

e = o p = 2 sen e --->

p = 2 cos

(3)

-->

y apoyándonos en la Figura 3.8 (el segundo gráfico, como siempre, repetitivo), intentemos en principio obtener 1 razonando en cartesianas (dos recintos en el orden yx):

1=

1 fo

fl+J1=Yí

(x +y)dxdy

=

f1 o

J2y_y2

fl-~

f2 f~

(x+y)dydx+

o

1

(x+y)dydx(4)

o

operemos pues con polares (usuales) y veamos si simplifican este cálculo: oste=

1

=

4/

f"/4o [f2

cos

o

P (cos

e + sen 8)· p dp ]

d8

=

f"/4

[1] d8

o

2senO

Cálculo de 1: onsip3J2COSO 3 8

'3 [cos 8

=

4 =-

3

8

+ sen8) -

J = (cos 8

4

- sen4e

cos 28 (2

= - (cos 8 + sen e)(cos3

+ senecos8(cos28

+ sen 2e)

e-

e)

serr'

=

3

2senO

2 =-

3

(4 cos ze

- sen28)] =

8

'3 (cos 8 2

- sen28)(1

+ sen cos é

é) =

+ sen 4e)

y

p

r

2

p=2sen8

" " -, ,

,,

p=2sen8 \ \

,

" -,

p

"

--

=

2 cos 8

8=0 O

e (1,

I

O)

Q (2, O)

!'

x

I I I /

o

8=k

:rrJ4

8

Figura 3.8

Que al igual que p = 2 sen e, también puede obtenerse relacionando las p, e del punto genérico P(OP = OQ, cos e). Como en x2 + y2 - 2x = O, x = 1 ± ~, y puesto que en esa zona del recinto x > 1, es evidente que deberá tomarse el signo + (lo contrario sucede en x2 + y2 - 2y = O), (3)

•

(4)

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134

Cálculo integral y aplicaciones

de todo lo cual resulta:

3.

f"/4

-2

1=

(4 cos 2e

3 o

+ sen 4e) de = -2 [ 2 sen 2e 3

1 4

- - cos 4e

J"/4

= -5

o

3

•

Sea R el recinto limitado por: x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 2, Y = O, Y = 1. Hallar su área utilizando integrales dobles y coordenadas polares (en los dos órdenes).

RESOLUCiÓN

Apoyándonos en el primer gráfico (Figura 3.9) y sin más consideraciones, se tiene: y y=x(li=n/4) ,,

r

,,

p

,,

,

e (1)

p=J2

A'

r

I

F

e

D'

•

p=l

.> p=l

o

p=J2 D(1)

p=k

o

x

A=J2

n/4

n/2

Ii

Figura 3.9

Orden pe (dos recintos):

A

=

=

"/4 fo

te

fJ2 1[

8" - 2

Orden ep: A

P dp de

+

=

f"/2 fl/seno

.

"/4

1

cotg

fJ2 1

G)

Haciendo {arcsen

pdp=dv

e+e

J

"/2 "/4

[farCSen(I/Pl o

=

=

p dp de

1

t:

J

f"/4

pdp =

1

-

de

+

2

f"/2 ,,/4

1(1

-

-2-

2

sen

e

-

)

1 de =

( 1 + 4n)J = 21

[n

8" - 2 2 -

de

=

o

1

fJ2 1

p·arcsen

(1)P

dp.

u ~ du = Jl -\ljP)2( - ~)}: v=p2j2

•

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Integrales dobles

135

Teorema de Green

e es una curva cerrada, lisa o lisa a trozos.

Consideremos una región R del plano cuya frontera Sean P(x, y), Q(x, y) y sus derivadas

oP oQ

-o ' -o funciones continuas en un cierto dominio D S;; R l Y

x

que incluye a dicha región. En estas condiciones (repásese previamente 2.4):

ft (~~ -~:)dXdY

cR P(x, y)dx + Q(x, y)dy =

Para probarlo, supongamos en princIpIO que R es un recinto similar al de la Figura 3. 1 (véanse las condiciones exigidas entonces). Aplicando además:

f

oP(x y) o: dy = P(x, y)

~

)

R

f fz (X)

oP(x y)

o' y

f ¡( x )

y observando que

fI

+ h(x)

e (primer

7 (X )

fb

OP ] dy dx =

~ f ¡ (xl O)

1I

ra

f

J

(/ P[x, fl (x)] dx -

[fe¡

y

el'

se tiene:

[P[x, f2(X)] - ,?[x, fl(X)]dx =

{/

b

= -

el

gráfico de la Figura 3.1) consta de

aoPY dx dy = fb[ff -

dy = P[x, f l (X)] - P[x, fl (x)]

P[x, f2(X)] dx =

b

l

P(x, y) dx

+

fe P(x, y) dX] =

MN

-

NM

~

~

P(x, y) dx

De idéntico modo se probaría (Figura 3.1, segundo gráfico) la otra igualdad. Supongamos ahora que el recinto no cumple las condiciones exigidas, pero puede descomponerse en otros recintos que sí lo hacen. Tomemos para fijar ideas el recinto R de la Figura 3.10 (dos recintos en integración doble orden yx: RI cuya frontera es el y R 2 con frontera e 2 ). Aplicando lo anteriormente probado a cada uno de estos dos recintos (simples) resulta:

f 1 fI 1 1 f 11 (

~ P dx + Q dy = f ~1

~ P dx + Q dy ~l

=

+

AN

+

NM

+

NB

=

AJA

~P)

( oQ dx dy OX oy

O?)

-oQ - -:;- dx dy

=

+

BM

R¡

OX

Rl

MN

oy

cuya suma miembro a miembro nos conduce asimismo a la relación:

1 f 1 .f + - t

+

AN

.,

NB

B A'

"· _· MA

=

Pce Pe/x + Q e/y

~

II

R

( -.,oQ - -OP) e/x dy ox oy

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136

Cálculo integral y aplicaciones

y M Y

/

M

:I B

x

x

Figura 3.10

'1~ ' ~

Las notables consecuencias que conlleva la igualdad de estas derivadas parciales (derivadas cruzadas), han sido exhaustivamente tratadas en el tema anterior. Consideremos finalmente, en las condiciones dadas de continuidad, un recinto R múltiplemente conexo (los sombreado s en la Figura 3.11 lo son, como sabemos, triple y doblemente) cuya frontera consta, además de e, de las curvas cerradas el> e2, oo. en el interior de e y que no intersecan entre sí. En este caso, la relación entre las correspondientes integrales viene dada por:

1, " \

I !I ~L

~

Pdx

+ Qdy

(~l

-

---Pdx

+ Qdy +

~2

+ Qdy +

Pdx

l'

oo.)

=

fL (~:-

~~)dXdY

:'

1;

00 Figura 3.11

Como la generalización es obvia, lo probaremos con relación al segundo gráfico. Dividiendo el recinto R (línea de puntos) y aplicando Green en Rl y R2' resulta:

(en R1)

:

fC

(sentido indicado)

+

AB

(en R2)

:

f

(puntos) AM

f

(puntos) BN

+ fCl + f MN

+ NB

+ fCl + NM

fC BA

f

= MA

(sentido indicado)

=

f1

Rl

f1 R2

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Integrales dobles

137

cuya suma miembro a miembro da lugar a:

~ + y cambiando el sentido en x

vadas

fLl + fL2 fL

(sentido negativo) =

~l

el se tiene

=

la relación buscada.

Ejemplos 1.

Consideremos el recinto R del Ejemplo 3 anterior cuya área era 1/2.

a)

Aplicando el Teorema de Green y el citado ejemplo, comprobar que:

ltipleente) ue no

1=

b)

Pc

(x2

+ y2 - y) dx + 2xy dy

= ~

C

,

== Frontera de R (Figura 3.9)

Obténgase de nuevo el resultado resolviendo esta integral curvilínea.

RESOLUCiÓN

dy a)

rh

(P

= x2 + y2 - y)dx +

(Q

= 2xy)dy =

~

b)

Q

(a

fu

R

- ap)dXdY

~

=

11

R

dxdy = ~ 2

Particionando la frontera 'e'en los tramos AB, BC, CD Y DA, escribiremos:

1{ .1 {y AB

11

X= J2cost} Ir, Y = V 2 sen t

BC

dy

= =

=

1}

O

=

f"/4

(2-J2sent)(-J2sentdt)+4sentcost(J2costdt)=

°

I

5 - 4J2

6

x2dx

=

I

1

3'

f {

X =

CD

Y

=

t}

cos sen t

1

=

tt

+-

4

n

3' - ¡,

En consecuencia:

Como ha sucedido con la anterior integral 1, también resulta que:

J

=~

Pc

(-ydx

+ xdy) =

ft

dxdy = Área de R

Pruébese, resolviendo las correspondientes 1 y J y aplicando Green para recintos múltiplemente conexos, que el área de la corona circular de radios 1 y 2 es 3n.

•

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138

Cálculo integral y aplicaciones

2.

Aplicando el Teorema de Green a la integral curvilínea:

1=

Pc

x2y2 dx

e:

+ ey2 dy (sentido negativo),

+ 4y2

x2

- 8y

= o

hallar su valor mediante el cálculo de la integral doble correspondiente. RESOLUCiÓN

,) ! I

j

Deberá obtenerse: 1= -

If (O~ox R

~P)dXdY

=

oy

If

2 2x ydxdy R

En la Figura 3.12 se han plasmado las consecuencias de dos cambios adecuados!". Utilizando por ejemplo la transformación F 2 que parece ser la más simple, se tiene:

'f

,

y

P

r

B (O, 2)

0::;8::;n D(-2,1)

F]

---------------

---

{x = 2 P cos 8 x = p sen 8

A (2,1)

R

O (O, O)

y

Y = O (8 = O)

..

.r

B'

2

O'

n/4

n/2

3n/4

n

8

r

P F2

y=1

{ x = 2 P cos f)

8=0

O (O, O)

.-

P= l

y-I = P sen 8

x

Rí C(O)

2n

()

Figura 3.12

(5) En la referencia Oxy. hemos representado, con el fin de precisar los límites de integración. verdadera magnitud.

como siempre Evidentemente

p, O Y la ecuación p = p(O) de la frontera del recinto R, en esta referencia, ni p ni O muestran, en general, su

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Integrales dobles

Comprobemos el resultado, habida cuenta de que

rh

{X

= 2cost} 1= _';YcX 2y2 dx y= 1 +sent e O ~ t < 2n

=

~ f(u) du =

O:

f 2" 4cos 2 t(l +2sent+sen

-

139

2

t)( - 2sentdt)

o

haciendo sen 3 t = (l - cos 2 t) sen t, 4 sen 2 tcos 2 t = (sen 2t)2 y operando, resulta: 1= 8

f

2"

(1 - 4t

o

cos 4

4

)

+ cos t sen t dt

=

4t)

5

t]

[1 ( sen cos 2" 8 - t - -- - -= 4n 4 4 5 o

•

Simplificaciones en el cálculo de una integral doble Consideremos la integral doble 1 =

fIR

f(x, y) dx dy, siendo 2R un recinto simétrico respecto

del eje x. Denotemos por R a cualquiera de sus mitades simétricas:

ft

1.

Si f(x, - y) = f(x, y) (f par en y), entonces 1 = 2

2.

Si f(x, - y) = - f(x, y) (f impar en y), entonces 1 = O.

f(x, y) dx dy.

El enunciado de estos resultados cuando exista simetría respecto del eje y, siendo a su vez par o impar en x, resulta evidente.

f

Ejemplo Denotando por 2R al recinto sombreado de la Figura 1.20 (limitado por la curva lemniscata, cuya ecuación en polares es, como se vio, p2 = a 2 cos 28, a > O), Y por R a su mitad derecha, calcular el valor de las integrales 1 y J siguientes:

al 1 =

JI

bl

JI

J =

2R

R

~dXdy +y

x

x

2

xy

+y

2

dxdy

RESOLUCiÓN

al

I{2R simétrico respecto del eje y, siendo

eje x, con

f par en y} = 2 · 2

JI

JI ~ R

x

+Y

dx dy {R simétrico respecto del

~ dx dy (R(2 : porción del recinto, mitad de R , donde x ~ O, Y ~ O).

R/2 X

Con todo (Figura 1.20):

f par en x} = 2

+Y

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140

Cálculo integral y aplicaciones

1= 4 .

"/4 f aJcos 20p2 sen 2 8

fo

= a2

2

sen 2 8· cos(28)d8=

P

o

"/4 fo (1

f "/4

·pdpd8=2a 2

o a2

- cos 2e) cos 2e de = -

f "/4cos 2 (2e) de {2 e = t} =

- a2

2

o

b) J : Puesto que el recinto R es simétrico respecto del eje x, siendo además f (x, - y) = - f (x, y) (f impar en y), se tendrá que J = O. Comprobémoslo:

f2

f aJcos 20 P

" /4

J {Figura 1.20} =

2

a = 8

(sen e. cos e) 2

- ,,/4

a = 2

2

f"/4 - ,,/4

f"/4

.

P dp de =

P

o

2 f"/4

a 1 (sen 8 . cos e) cos 2e de = - . 2 2 sen (48)d8 =

(sen 28) cos 2e de =

-,,/4

o

- ,,/4

Se propone finalmente, comprobar que a 2 es el área del recinto 2R.

•

Cálculo de áreas de superficies Una vez utilizada la integral doble para hallar áreas planas y volúmenes, sólo nos queda aplicarla al cálculo del área de una superficie cualquiera: Con las integrales hasta aquí estudiadas ¿cómo podría determinarse el área de una superficie que no fuese cilíndrica (curvilíneas) o de revolución? Dicho cálculo se llevará a cabo mediante una nueva integral doble denominada:

Integral de superficie.-Nos basaremos para presentar y definir a esta integral, en un razonamiento análogo al empleado en el cálculo de la longitud de una curva mediante el elemento diferencial de arco (1.5). En consecuencia: Expresemos por S (Figura 3.13) tanto a una porción lisa de la superficie z = f(x, y) , como al valor del área de dicha porción. Consideremos un punto cualquier P (a , b, e) de esta porción y el plano tangente (n) a la superficie en P. Recordando (Apéndice 2), que n :Z- e =

:~ (x -

a)

+

:~ (y -

b) --+

v(vector director)

= ( -

:~,

-

:~,

1)

y una vez particionada S en elementos de área (al ser el valor de toda integral de Riemann, independiente de la partición, supondremos que ésta, con norma que deberá tender a cero, es la de la Figura 3.13 cuya proyección sobre R se ha dibujado), denotemos por dCJ el elemento diferencial de área que contiene al punto P, y por dS su proyección ortogonal (según v) sobre el plano n (téngase en cuenta, que si se toma dS como valor de dCJ, el error que se produce es un infinitésimo de orden superior al de dCJ).

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z

::J

v

k

141

Integrales dob les

'/

v

k

n

= !v!

ñ

z

dS ~

'.

p~+---~------~ y

a

y dA =dS· cosy

ñ = (cos a, cos{3, cosy) x x

Figura 3.13

Por otra parte y puesto que sabemos resolver cualquier integral doble (3.1) cuyo recinto R de integración esté en el plano xy (o en los otros dos planos coordenados), únicamente resta trasladar los cálculos a R , proyectando dS sobre dicho plano horizontal, dando lugar a otro elemento diferencial de área que expresaremos por dA (dA = dx dy) y tal que (Figura 3.13) dA = dS . cos y. Con todo, y aplicando el producto escalar (concepto sobradamente conocido), escribiremos: az az ) _ v ( - ax' - ay' 1 . k(O, 0, 1) = 1 =

_

!Vl·lkl . cos y

- 1-

=>

cos y

= Ivl =

J

z 1 + ( -a )2 ax

+ ( -az )2 ay

En consecuencia (véase también(6)):

s=

JI JL dS =

1 C0 SY · dA

=

JL

+

JI

(~~Y + G;Y ·dxdy

(4)

Si se proyecta sobre xz o yz (dx dz = dS . cos /3, dy dz = dS . cos ex) se tendrá:

s~

SL}

+

G~), + (iz)'dxdZ ~

St }

+

(~~)' + G:)'dydZ

(5)

Ejemplo

al La ecuación del cono (ilimitado) circular recto (Figura 3.14) es X2 + y2 ral (sombreada) es S

= nrg.

-

tg 2
=

O. Su área late-

Compruébense ambos resultados.

J I (az/ax)2 (az/ay)2,

(6) Como Ivl = + + denotando por ñ (cos ex, cos {J, cos 1' ) al correspondiente vector director unitario del plano tangente (Figura 3.14), se tiene:

1 (cos ex,cos{J,cos 1')=-:-

Ivl

( - -az, ax

az ) ay

1 1 = - - , 1 ->cos 1' = -:-->---

Ivl

cos l'

J

1+

(az)2 + (az - )2 ax ay

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142

Cá lculo integral y aplicaciones

z z

F{Z2+ 6y - 36 =O x= O

r-------~~~~~~t-------~

y

y

x

x

Figura 3 .14

bl Hallar el área del cilindro X2 + y2 - 6y =

O interior a la esfera X2

+ y2 + Z2 =

36.

RESOLUCiÓN

al Para hallar esta ecuación, deberán relacionarse las x, y, z del punto genérico P:

~

Como (z

O) z =

-

1

tg
~ + y-

az

Vr

Adoptando la notación (se hará frecuentemente)

Ivl 2

=

X2 +y2 1 1 + --. tg 2