Baroody Arthur - Matematica Informal

EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO

Baro dy, Arthu J. (1997 , “Matem tica infor al: el pa o intermedio esencial”, “Técnicas para ontar” y “Desarrollo del número”, en El pen samiento atemático de los ni os. Un m rco evolutivo para m estros de preescolar , ciclo inici l y educación espe ial, Genís Sánchez arberán (trad.), 3ª.e ., Madrid, Visor (Apr endizaje, 2), pp. 3 -47, 87-1 6 y 107-148.

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Digitalizado por: Alfredo T llez Carranza


Matemática inf rmal: El p so intermedio esenci l

¿Llegan los niños a la escu la con nos con cimientos matemáti os signif icativos? ¿Qué papel ha desem eñado la e xperiencia concreta, specialmente el co tar, en el desarrollo histórico del conocimiento m temático? ¿ Cuál e la natur leza y el alcance e la mat mática natural de l s niños? ¿Por qué es impo tante que los niños d minen la atemática formal y c ál es la me jor manera de abor ar la instr cción inici l? ¿Cuáles son las onsecuen ias de pa ar por alt la mate ática de l s niños? A)

EL CONOCI CONOCIMIENTO ATEMATI ATEMA TICO DE L S PREESCOL ARES

Toda compr nsión teórica de u a materia debe basarse en la realida y verifi arse en la práctica. Para que te ría y práctica estén sólidament enlazada , a lo lar o de este libro se pre entarán diversos est dios de casos concretos. Por ta to, el ex men de los conocimientos de l s preescolares se inicia con un mirada a un caso real. El caso de A lison Alison, que c ntaba con tres años medio de edad, se allaba cel brando el segu do aniver ario de su hermana.

ADRE: LISON: ADRE: LISON: ADRE: LISON:

Alison, ¿cuántos años hace hoy Arian e? [Leva ta dos de os.] ¿Cuá tos años tiene Alison? [Leva ta tres de os.] ¿Cuá tos años tiene papá? [Tras nos insta tes, levanta cuatro d dos.]

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Varia semanas más tarde se produjo la siguiente convers ción [Leva tando tres dedos.] ¿ uántos dedos hay? [Va s ñalando c n un dedo mientras uenta.] 1, , 3. [Leva tando dos dedos.] ¿ uántos dedos hay? Es co o Eanne la edad de Arianne ] ¿ Cuántos dedo son? 2. [Saca tres mone as.] ¿Me uedes decir con los dedos cuántas mone as tengo quí? LISON: [Leva ta tres de os y se pone a contar.] 1, 2, 3, . Aunque sin erfeccionar, las aptit des mate áticas de esta niña preescolar ya tiene cierta importancia. Alisan es m y experta n contar c lecciones de uno, do y, con f ecuencia, asta tres bjetos. Lo ci rto es que hasta pue e reconocer automáticamente olecciones de uno o os objet s como uno» y « os», respectivamente. Si se l presenta un pequ ño conjunto de obj tos como, por ejempl , tres mo edas, es capaz de cr ar un modelo con us dedos. En realidad, para lison los dedos son un medio natural para expresar ideas matemáticas (los us ba, por e jemplo, para representar edad s). Ade ás, parecía escoger deliberada ente cua ro dedos ara repre entar la e ad de s padre, e una repr sentación distinta d la empleada para l edad de su herm na y la suya propia. Aunque de maner inexacta, pudo haber elegido un número mayor ara indicar una comparación ntre edad s: papá es mayor. Es Aliso una niña preescolar típica? ¿Llegan a la scuela la ayoría de los niños on técni as mate áticas bá icas com contar, econocer, empareja y comp rar conjuntos? ADRE: LISON: ADRE: LISON: ADRE: LISON: ADRE:

La matemáti a de Alis n se bas en expe iencias c ncretas, c mo contar y empl ar los de os. ¿Qué importanci tienen estas experi ncias con retas par el desar rollo mat mático d los niños? La m temática de Alison tiene claras limita iones. P r ejemplo, contaba con exactitud y re onocía c njuntos uy pequ ños, per no conj ntos ma ores. ¿C áles son las limita iones de la mate ática concreta de los niños? La matemática de Alis on es muy práctica. or ejem lo, conecta las representacion s con los dedos con aconteci ientos im ortante en su vida (usaba dos dedos ara representar la edad de su hermana) y los empl a para c municar us ideas y necesidades. ¿Q é importancia tiene la nece idad práctica para el desarrollo atemátic ?

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Do s puntos e vista s bre el niñ o preescol ar La teoría de la absorció parte del supuesto e que los iños llega a la escuela como pizarras en blanc sobre las que pueden esc ibirse directamente las mate áticas es olares. Aparte, quizá, de algun s técnicas de contar prendidas de mem ria, se co sidera qu los preescolares ca ecen de t cnicas ma emáticas. De hech , el famos o teórico sociacioni ta E. L. T horndike (1922) con ideraba a los niños pequeños tan inept s, matem ticamente hablando, que afirmaba: «Par ce poco probable q e los niño aprendan aritmética antes de segundo cu so por mu ho tiempo que se dedique a ello, aunque hay much s datos ar itméticos que se pue en aprender durante el primer curso» (p. 198). Ade ás, la teo ía de la ab sorción indica que l técnica p ra contar ue tienen los niños c ando se incorporan a la escuela es esen ialmente irrelevante o constitu e un obstáculo para llegar al ominio d la mate ática for al. Con la instrucción formal, la adqui sición del conocimiento mate ático real vuelve a partir básicamente desde cero. La teoría cog itiva sosti ne que los niños no ll egan a la scuela co o pizarras en blanco. La reci nte investigación co nitiva de uestra que, antes de empeza la escol rización ormal, la mayoría e los niños adquiere unos onocimientos consi erables s bre conta , el númer o y la arit ética. Ad más, este conocimiento adquirido de manera infor al actúa c mo funda ento par la comprensión y el dominio de las matemáticas i partidas n la escuela. En poc s palabras, las raíces de las aptitudes atemática llegan hasta la é oca pree colar y el éxito de la ense anza esc lar se fun a en este conocimiento aprendido de ma era infor al. Para apreciar m jor la importancia de este elemento básico, examinar mos cómo ha evolucionado el conocimie to matem tico en el t ranscurso de la histo ia humana. B) BREVE HISTORIA STORIA DE LA MA EMÁTICA Ini cios conc etos Sentido num rico básic . El ser h mano, co o alguna otras especies, par ce

estar dotado d un senti diferencia entre n conjunt incluso entre una colecció quita algo de na colec deter inadas circunstanci band da de ocho aves de

o numéri o primitiv . Podem s percibir fácilmente la de un ele ento y un colección de mucho elemento , o pequeña y otra gra de. Pode os ver si e añade o se ión. Esta percepció directa puede ser muy útil en s pero no en otras, como en l caso de distinguir na tra de nueve.

ara llevar la cuent del tiempo y de us perte encias, n estros antepasados prehistóric s idearon métodos asados e la M todos co cretos de contar.

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equivalencia y la corresp ndencia iunívoca. La equivalencia podía ofrecer un registro de los días transc rridos, por ejemplo, esde el últ imo plenilunio: añadir un guijar ro cada no he hasta ue la luna llena volviera a apare er. De la misma man ra, para llevar la c enta de u a colección de piele animales, un cazad r podía ta llar una uesca en n palo o u hueso po cada piel ñadida al montón. E te proceso de equivalencia crea una corr spondencia biunívoc : ni más ni menos qu un elemento del c njunto de muescas or cada elemento del conjunto de pieles. ás adela te, para comproba si todavía estaban todas la pieles ( i seguía abiendo na corre pondenci biunívoca), éstas po ían empa ejarse una a una con ·las mues as del p lo para contar. asado. N estras le guas tod vía tiene restos d las épo as prenuméricas. Por ejemplo, en castell no hay varias forma de expresar «dos»: ar, parej , dúo, do le, día da, etc. En é ocas más primitivas , estos tér inos pue en Restos del

habe se usado para designar una pluralidad de objetos o categorí s de objetos espe íficos: un ar de ojos, una pareja de personas, un dúo musical, u a bifurcación. De la misma m nera, los iversos tér minos par expresar «muchos» (por ejem lo, multit ud, masa, banda, m nada) describían en su día colecciones specíficas de más e dos o tr s element s (por eje plo, un c rdumen d peces, una bandada de aves). Inicialme te, el núm ero no era más que una cualidad o una ca acterística de un ob jeto deter inado (Ch rchill, 1961). M s allá de l o purame te concr e o A edida qu las sociedades caza oras-recolectoras da an paso a comunida es sede tarias bas das en la agricultura y el come cio, llevar la cuenta del tiempo ( por ejem lo, las est ciones) y las posesiones fue haciéndose cada vez m s importa te. En c nsecuencia, también fue en au ento la n cesidad de métodos más preci os de numeración medición asados e contar. C ntar es la ase sobre la que he os edific do los si temas nu érico y ritmético, de papel an esenci l en nue tra civilización ava zada. A s vez, el d sarrollo d contar e tá íntima ente ligad a nuestros diez d dos. Dantzig (1954, p. 7) afirma: A s us diez dedos articulados debe e! ombre su xito en e! c álculo. Estos dedos le an enseñado a contar y, en cons ecuencia, a extender infinitamente e! alcance e! número. Sin este i strumento, la aptitud numérica del hombre no podría haber ido muc o más allá del sentido rudiment rio del nú ero. y es razonable venturar q e, sin nue tros dedos, el desar ollo del nú ero y, en onsecuencia, el de las ciencias e actas a las que debe os nuest o progreso material e in telectual, s hubiera vi to irremedi blemente enguado.

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Contar con l s dedos s el tram olín que ermite su erar las li itaciones de nuestro sentido numérico natural. onde los antropólo os no han encontr do señales del em leo de lo dedos p ra contar, la percep ión del número es uy limita a (Dantzi , 1954). Por ejemplo, en unos studios realizados c n aboríge es de A stralia qu no habían alcanza o la etap de contar con los edos sólo se enco traron unos pocos que pudieran identificar el 4 y ning no que pu iera distin uir el 7. n este estado natural, los aborí genes no esarrollan conceptos básicos d la canti ad y la me dida (Das n, 1972; De Lemos, 1 969). Número abst racto. Es

robable q e contar uera el medio por el que nue tra civilización des rrolló un oncepto abstracto d l número: un concepto que h ce posible la mate ática (Dantzig, 1954). El matem tico Bertr nd Russell afirmaba ue pudieron haber transcurri o eras antes de qu se reco ociera qu las distintas duali ades (por ejemplo, un par de o os, una p reja de p rsonas, una bifurcación) eran asos del úmero 2. uestros d dos constituyen la b se común para designar distin as dualidades concr tas como casos del úmero 2. Los dedos proporcio an modelos fácilm nte aseq ibles de oleccione de uno a diez objetos. Pue en levan arse dos dedos, po ejemplo, para indic r un par e ojos o una yunta de caballos. Con l tiempo, el nombr de esta colección modelo (
orde ar. El aspecto nomi al, o cardinal, trata e los ele entos qu contiene un conjunto dado. Nombrar n conjunt no requiere contar necesariamente. Como acab mos de v r, un conjunto puede clasificars como «ci co», por e jemplo, si us elem ntos se correspond n exacta ente (es decir, pueden formar una corr espond ncia biuní oca) con los elemen os de una colección modelo (p r ejemplo, los dedo de una mano) de ominada «cinco». or tanto, nombrar conjuntos sólo requi ra colecci nes modelo como lo ojos para represent r dos, una hoja de trébol para epresenta tres, las p atas de un caballo para el cuatr , etc. El aspecto de orden, u ordinal, del número, está rela ionado con contar y se refier a colocar colecciones en sucesión por ord n de mag itud. Cont r proporci na

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una ecuencia rdenada e palabra (la serie numérica) que pued asignars a colecciones ca a vez ma ores. Par contar una colecci n, una p rsona asi na suce ivamente términos d la serie n mérica a c ada elemento de la c lección hasta que ha asignad un nombr e a cada u no de los lementos. El número asignado la colección especifica la ma nitud relativa del conjunto. Por jemplo, si e ha cont do una olección se le h asignado la palabr a «cinco», será ma or que otras designadas con uno, dos, tres o cuatr y menos que las de ignadas c n seis o m ás. C ntar con l s dedos p ede enlazar los asp ctos cardi al y ordin l del núm ro. Para represent r una col cción co o, por ej mplo, el número cardinal 4, na persona sólo ti ne que l vantar cu tro dedos simultáneamente. Para conta la misma colecció , la perso a levanta cuatro de os en suc sión. Los resultados de contar son id nticos a los de l vantar si ultáneamente cuat o dedos (la representación ardinal). or tanto, uestros d dos son n medio para pasar sin esfuerzo de un specto del número al otro (Dantzig, 1930-1954). El desarrollo d un siste a de num eración eración c n órdene de unidades de base diez A medida que las sociedades las eco omías s fueron haciendo ás .com lejas, aumentó la pre ión encaminada a co cebir sist mas de re resentación y de c lculo que pudieran aplicarse con efic cia a gr ndes cantidades. Para repre entar un rebaño de 124 ov jas, el empleo de un siste a de co tar estableciendo correspond ncias es muy incó odo. Las tareas c n cantida es grandes inspirar on la idea e hacer agrupamient s, y nuest os diez de os ofrecieron una base natural para ello Churchill, 1961). Por ejemplo, cuando una oveja pas ba junto al pastor, éste la contaba co los ded s. Cuand llegaba diez, podía repre entar est cantidad con un g ijarro. Co las man s libres otra vez, podía proseguir el rec ento. A m dida que e iban ac mulando l s guijarro , podía haber simplificado aú más el p roceso su tituyendo diez guijar ros por una piedra. or tanto, la piedr pasaría a represe tar 10 d cenas, o sea 100. Como estos agrupamientos e basan en el 10 y e n múltiplos de 10, el sistema e pleado por el pastor se deno ina sistema de base diez. Si tu viéramos oce dedo , es probable que hubiéramos hechos e tas agrup ciones de doce en d ce y hoy tendríamos un siste a de base doce. Nuestro sistema de base iez es, simplemente, un «accidente fisiológico» (Da tzig, 1930-1954). El primer sistema num rico cono ido apareció hacia l año 35 0 a. de C . e incor oraba un concepto e base di z (Bunt, Jones y Bedient, 197 ). El sistema cunei orme de l s sumerios y el siste ma jeroglí ico de los egipcios e pleaban na colec ión de tra os para representar los números del 1 al (véase la fig. 2.1.A). Un

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agrupamiento d decenas se representaba con un símbolo especial. ás adela te, los gr iegos y lo romanos esarrollar n sistemas diferentes. Sin emb argo, ning no de estos sistem s numéric s antiguos se presta a con facilidad al cálculo aritméti co, como demostrar á rápidam nte el inte to de realizar la sum de la figu ra 2.1.B. Aunque los ímbolos escritos se han usad para rep esentar n meros de de tiempos prehist ricos, el d sarrollo de unos procedimientos de cálculo eficaces t vo que esperar has a la invenc ión de un s istema de umeració posicional. En un siste ma posicional o de órdenes e unidades, el lugar de una cifra define su valor. or ejem lo, en el n mero 37 el 3 ocupa e l lugar de l s decena y de ahí que represente tres decenas, y no tres uni ades. Est elimina l necesida de símbolos especiales para epresenta 10 y múlti plos de 10, como oc rre con los jeroglífico egipcios. En un si tema con órdenes de unidade , pueden sarse die cifras (del 0 al 9) p ara repre entar cualquier núm ro, aun lo números randes, d una man ra compa ta. ¡Pién ese, por ejemplo, n lo que haría falt para representar 9.999.999 on jeroglíficos! Fi ura 2.1 Comparación de distinto s sistemas numérico

*

El sist ma babilonio se adoptó a p rtir del anterior sistema su erio. Obsérv se que la numeración babil nia

empez como un sistema de base diez pero juego pero juego cambió a agr pamientos b sados en 60 y múltiplos de 0. et al., 1976). La posición se usaba para indicar el Nótese que los símbolos para 1 y 6 son idénticos (Bunt et al.,

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valor ( or ejemplo, 6 se escribía Ῡ Ῡ Ῡ Ῡ). Al igual que el siste a babilonio, la numeración romana no era un sist ma puro de base diez.

Con todo, la numeración osicional es una id a relativa ente abstracta y no se improvisó con r pidez. Es robable q e el impul o para un sistema p sicional fuera producido por la necesidad de anotar por escrit las opera iones realizadas con un ábac . El ábaco ilustrado en la figura 2.2 utiliza n modelo e base di z: la colu na de la derecha r presenta l s unidades, la sigui nte representa grupos de diez la sigui nte grupo de cien. e acuerdo con esto, la figura 2. .A representa el número cuatr cientos tr inta y dos (432) Y la igura 2.2. el cuatrocientos dos (402). Los usuarios de ábacos no debier n tener dificultades on las col mnas vacías hasta que tuvier on que hacer un registro perma ente de s s cuentas. El registro de la fig ra 2.2.C, or ejempl , ¿repres nta 42,40 ó 4.002? Parece s r que el 0 se inven ó para si bolizar u a column vacía y vitar esta confusión (por ejem lo, Englehardt, Ashlock y Webe, 1984). Parece que, al principi , el O signif icaba algo acío o en blanco, no la na a (ningún objeto). C n la invención del O fue posibl la conc pción de un sistema umérico p sicional (con órdene de unidades). Esto hizo posible la elabo ación de algoritmos aritméticos que podía ser apren idos por casi todo el mundo. La invención del O s uno de los mayor es logros de la hist ria humana, y fue n hito cru ial que hi o posible la ciencia el comer cio moder os (Dantzig, 1954). En realidad, los procedimientos de cálculo scrito sól se han venido usa do durante los últimos trescie tos años de la histori a de la hu anidad. Hace sólo u os centenares de a os, lo nor al en Eur pa Occide tal era co tar con los dedos. En los libros y las univ rsidades e enseña a a hacer cálculos a itméticos c on los dedos. «El arte de em lear los d dos para contar y r alizar las operacion s aritméti as sencillas era, en aquellos tiempos, uno de lo logros de la persona cultiva a» (Dantzig, 1954, . 11). .

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Fi ura 2.2 R presentaciones conc etas y esc itas de nú eros en un ábaco.

El desarrollo de la mat emática fo rmalizada Como la hist ria del nú mero, la hi storia de l matemática en general (véas la tabla 2.1) indica que los étodos y las formulaciones de cariz infor al o intuit ivo preceden a la matemática exacta y formalizada y actúan c mo base ara la misma (Kline, 1974). Lo normal s que las pruebas deductivas rigurosas el empleo de principios gener ales para emostrar proposicio es de una manera l gica) siga a ideas inductiva (descubrimiento de relacione mediant el exam n de cas s). Básicamente, lo matemáti os utilizan pruebas para compr bar sus id as intuitivas o infor ales. Las ruebas pueden dete minar si u a idea es lógicamente coherente o no. También pueden dem strar si u a idea se aplica a n caso ai lado o a na amplia gama de casos. La perspecti a histórica indica qu la matemática se e cuentra e permanente evolución. Nuestros sistemas numérico y aritmético on la culminación de

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literalmente mil s de añ s de inv ntiva y p rfecciona iento. El conocimiento mate ático se ha construido lentamente, idea tras idea. El conoci iento qu el adult medio de nuestra cultura da por sentado n estaba di ponible h ce unos miles de a os y ni siquiera cientos de año atrás. Con frecuencia se inventaban nue os méto os a partir de necesidades prácticas y se a optaban a causa de u utilidad. or ejem lo, los egipcios se ieron forz dos a in entar la aritmética y la geome ría elem ntales par a poder volver a colocar las hit s que ma caban los límites de los campos que el ilo inunda a cada primavera (Bunt et al., 976). La verdad es que, como se muestra en la t bla 2.1, n o era frec ente que los nuevo métodos se adoptaran de i mediato y que no caían bie », es de ir, no enc jaban en las pautas de pens miento propias de la época.

T bla 2.1 Br ve historia del desarr ollo de la

atemática

3.000-300 a. de C.

Egipcios y ba ilonios co ciben los rincipios senciales de la atemátic : rudimen os de ARITMETICA (NUMER S EN EROS P SITIVOS Y FRAC IONES), LGEBRA Y GEOMETRIA. Los resultados se a eptan pur mente so re un BASE E PIRICA. Los números negativo y el 0 no se conocen.

600-300 a. de C .

La recia clásica es la p imera civilización en la que flore ce la atemátic . Los griegos clásic s son los primeros en concebir la ATEMATI A DEDU TIVA. Los Element os (pr ebas geométricas) de Euclid s son el producto de tre cientos años de ensayo intuitivo y error. Los griegos de Alejandría, los hindúes y los árabes conciben y mplean UMEROS IRRACIONALES ( or eje plo, √2 ) ue son aceptados g adualmente a causa de su tilidad (por ejemplo, 2 = la dia onal de un cuadrado de lad s = 1).

600 d. de C.

Los hindúes i troducen los NUME OS NEG TIVOS, que no son acept dos duran e mil año a causa e su falta de soporte intuitivo. Por ejemplo, lo grandes matemáticos De cartes y Fermat r chazaron trabajar con númer os ne ativos.

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700 d. de C. apr ox.

Los hindúes i ventan, o adoptan, par a indicar na colum a vacía o ad ptan la nu eración hindú y, de añ s, las cifras arábigas llegan a s

n símbolo para el «0» en blanco. Los árabes pués de c ntenares de r de uso c mún.

1540 d. de C. a rox.

Ap recen los NUMERO COMPL JOS (por jemplo, √ 1) per o no son a eptados h sta cerca de doscien os años más tar e.

1650-1725 d. de C.

Ne ton y Leibniz crean l CALCUL O. Cada u a de las tr es edi iones de The Ma hematical Principies of Natural Philosophy d Newton frece una explicació distinta el concepto básico (las erivadas). El primer artículo de Lei niz recibió el no bre de enigma» en vez de «explicación». A pesar d sus fund mentos vagos e inclu so inc rrectos, el cálculo encontró uchas a licaciones a tra és de enfoques intuiti vos.

Final s del s. XI

Se establece los fundamentos l gicos del sistema umé ico, el lgebra y el análisis (el cálculo y sus am liaciones).

Véase en Burn et all (1976, pp 2 6-230) una xplicación más detallada.

C) D SARROL O MATE ÁTICO D LOS NIÑ S En muchos spectos, l desarrollo matemá ico de los niños cor re paralel al desar rollo histó ico de la matemáti a: el con cimiento atemátic imprecis y concr eto de los niños se v haciendo cada vez ás precis y abstrac o. Parece ser que, l igual qu los seres humanos primitivos, los niños oseen alg n sentido del número. Con el tiempo, lo preescol res elabor an una amplia gama de técnicas a partir de su mat mática int itiva. Rec pitulando la historia, la matemática no esc lar o matemática in ormal de l s niños se desarrolla a partir de necesidades práctic s y exper iencias co cretas. C mo ocurri en el desarrollo hist rico, cont r desemp ña un p pel esencial en el esarrollo e este c nocimient informal. A su vez, el cono imiento in ormal de l s niños pr para el ter reno para la matemáti ca formal ue se imparte en la escuela. Además, y r eproduciendo la histo ia cultural, el dominio de la nu eración posicional y de los algoritmos de cálculo b sados en ste concepto constituye un p so gigant sco para los niños. n realidad, los niños no aceptan y

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aprenden de in ediato la atemática formal que se imparte en la escuela ya que, en gene al, choca on sus pa tas actual s de pens miento. Cono cimiento i ntuitivo S ntido natural del nú ero. Dura te mucho tiempo se ha creído que los ni os

pequeños care en esencialmente d pensami nto mate ático. En una ocasión, William J ames aracterizó el mundo infantil co o una confusión res landeciente y rumorosa. Sin embargo, investigacio es recientes (por ejemplo, Star ey y Coo er, 1980; Starkey, pelke y Gelman, en prensa) in ican que incluso los niños de seis mes s de edad pueden distinguir en re conjunt s de uno, dos y tres elemento , y entre conjuntos de tres y c atro elem ntos. ¿ ómo pueden determinar los psicólogos q e los niño pequeño poseen este senti o numéri o básico? Para ver si un niño pequeño puede dis riminar e tre conjuntos de ca tidades di tintas, el sicólogo le presenta, por ejempl , una ima en con tres objetos (por ejem lo, Starkey y Coope , 1980). Interesado por este nu vo estímulo, e be é fija su mirada e la imag n. Sin e bargo, tras varias resent ciones se uidas de t es, la nov dad desa arece y l atención isminuye. En este momento, el psicólogo introduc un conju to de cua ro (o dos) objetos. Si el niño no se percata de la d iferencia, eguirá sin prestar at nción. Sin embargo, los niños tienden prestar tención otra vez, in icando q e se dan cuenta de la difer ncia. ¿ ealmente presta ate ción el ni o a los c mbios de cantidad? n el ejemplo anter ior, los niños se van aburriendo paulatina ente con el «tres» a un cuando se intro uzcan objetos distintos o se odifique l posición de los tres objetos. La distri ución de los objetos no influye en la atención. En r alidad, y tras ver va ios ejem los de tre objetos, l s niños se interesan enos en ír una sec encia de t res sonidos que un secuenci de dos o c uatro. Par ce que es la cualidad de tres lo ue deja de encon rar interes nte. Al pa recer, los iños pequ ños pose n un proc so de enumeració o correspondencia que les permite di tinguir entre peque os conjuntos de ob etos. El alcance y la precisió del sentido numéric de un niñ pequeño son limitad os. Los iños pequ ños no p eden disti guir entre conjuntos mayores omo cuatr o y cinco. Además, el hecho de que p rezcan c paces de tratar, por ejemplo, los conjuntos de tres y cu tro elementos de na mane a distinta, no signi ica nece ariamente que sep n que 4 s más q e 3. Es ecir, aun ue los ni os pequeños distinguen entre números equeños, quizá no p edan ord narlos por orden e magnitu .

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Nociones int itivas de magnitud

equivale cia. A pesar de to o, el sent ido

numérico básic de los niños consti uye la base del desarrollo ma emático. os preescolares p rten de ste sentido del nú ero y desarrollan onocimientos intuiti os más s fisticados. Es a parti r de la experiencia c ncreta de la percepción directa que los iños empi zan a co prender nociones como la mag nitud relativa. Conc etamente, se da una diferencia evidente ntre el un y colecci nes mayores (Von Glasersfel , 1982). n niño, p r ejemplo, puede tomar un bl que con na mano. Tomar d s bloques requiere l s dos manos o dos i tentos su esivos co la misma mano. res bloqu s no se ueden to ar simult neamente con las os manos. Aunque estas dife encias pu den pare er triviales para un adulto, son de impor tancia fundamental ara el ni o pequeño que juega, y ofrece otra b se concr eta para distinguir y o rdenar el 1, el 2 y mu hos. Cuando empiezan a a dar, los iños no sólo distinguen entre conjuntos de tama o diferent sino que ueden ha er compar aciones gr uesas entr magnitudes. A los dos año de edad aproxima amente, los niños prenden alabras p ra expresar relacio es matemáticas (Wagner y Walters, 1982) que pued n asociarse a sus experiencia concretas. Pueden omprender «igual», diferente» y «más». or ejem lo, Alfred Binet (1969), el pad e de las odernas pruebas d inteligen ia, preguntó a su hi ja de cuatr o años de edad, Mad leine, que comparar los tama os de c njuntos parecidos a los dos ue se m estran e la figura 2.3. Aun ue Madeleine sólo podía contar hasta tres, pudo señalar con mucha exactitud los conjuntos que t nían más lementos. Posteriores pruebas de ostraron que los juici s intuitivo s de Madeleine sobre los conjuntos que t nían más elementos se basab n en indi ios perceptivos com la zona abarcada or cada c njunto (Gi sburg, 19 2). De manera intuiti a, Madele ine esco ía como más» el conjunto que abarcaba más extensión. tros indicios perceptivos, como la lo gitud, ta bién pueden ofrec r una b se para las evaluaciones intuitivas. En muchos casos, la m s larga d dos hiler s suele te er más bjetos. In estigaciones recientes confirman los resul ados de Binet. Cuan o se les pide que determinen cuál de do conjunto tiene «más», los niñ s de tres ños de edad, los preescolare atrasados y los ni ños pequ ños de c lturas no alfabetiza as pued n hacerlo rápidamente y sin co ntar (Baro dy y Gins urg, 1982 ). Casi to os los niños que e incorpor an a la e cuela de erían ser capaces de distinguir y nombrar como más» el ayor de d s conjunt s manifie tamente distintos. (Usar corre tamente «menos» es mucho m s difícil y p uede que no se aprenda antes d la escu la). El niño que no pu da usar « ás» de esta manera intuitiva pu ede prese tar consi erables p oblemas educativos.

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Fi ura 2.3 El mentos d una prue a para la oción «m s»

Si embarg , como l s niños basan su juicios n las ap riencias, las comparaciones que hacen entre magnitudes pueden ser incorrecta . Aunque es frecu nte que el aspecto r fleje fielm nte la can idad, los i dicios per eptivos como el área y la longi ud no siempre son in icadores precisos de la cantidad. Por ejem lo, dos andejas e caramelos puede ocupar la misma superficie pero pue en contener cantid des diferentes porq e los car melos est n agrupa os más d nsamente en un que en o ra. Por ot a parte, p demos te er dos bandejas co el mismo número de caramelos pero que ocupan una superficie distinta porque los cara elos está más juntos en una q e en otra. La tarea de c nservació de la cant idad (por e emplo, Pi get, 1965) demuestra de form concluye te las limit ciones del conocimiento intuitiv de los ni os. En pri er lugar, se establ ce la igualdad de d s conjunt s por equivalencia. l examina or form una hiler de, diga os, siete loques blancos y pide al niño q ue coloqu la misma cantidad de bloques azules. e insta al niño a que haga co responder un bloque azul a ada bloq e blanco. Una vez establecida esta co respondencia biuní oca (véas la fig. 2.4. A) se pide al niño que confirme i las dos hi leras tiene el

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mismo número e objetos. Puesto qu la longitu proporcio a una bas precisa p ra apreciar las ca tidades relativas, aun los niños de tres años de edad están de acue do en que ambas hileras tienen la misma c antidad. A ontinuación se modif ica el aspecto de uno de los con juntos par ver si el n iño conti úa creyendo o no q e los dos conjuntos son coordinables (tienen la misma canti ad). Mientras el niño observa, se alarga se acort una de la s hileras. or ejem lo, en la fi gura 2.4.B se observa que se a alargad la hilera zul. Una ez modi icada la lo gitud se v elve a pre untar al ni o si las do s hileras ti nen la misma canti ad. Como la longitud a no reflej a fielmente la cantida , los niños que se ba an en el aspecto p ra juzgada se equivocan. ¡En realidad, los niños peq eños insis en en q e la hilera más larga tiene má ! Parecen estar con encidos d que los os conjuntos de lo gitudes di tintas no s on equival ntes. Pia et (1965) enominó no cons rvación» a este fenó eno porque el niño n mantiene (conserva) la relación de equivalencia inicial tras una trans ormación del aspecto (irrelevante para la canti ad). Es evidente que la comprensión in uitiva que tienen lo niños de la magnitud y de l equivalen ia es Impr ecisa. Nociones int itivas de l adición y la sustracc ión. El sentido del nú mero también

permite a los niños reconocer si una c lección ha sido alter da. Los ni os recono en muy ronto que ñadir un objeto a una colección hace que sea «más» que quitar un objet hace qu sea «menos». En un estudio (Brush, 1978) se mostraban os recipientes a unos preesc lares. Se olocaban antallas delante de los recipientes para que el niño examinado no los pudier a ver. M diante un proceso de corre pondenci , se coloc ba el mis mo númer de objet s en cada recipiente: al tiempo que se c olocaba u objeto en uno de lo recipient s se coloc ba otro e el otro r ecipiente. Cuando el niño habí manifest do que lo dos recipientes ocultos contenían la mi ma cantid d de objetos, se le h cía obser ar cómo se añadía o se quita a un obje o de uno e los reci ientes. Los niños no tenían dificultades para reconocer que l adición o la sustracción de o jetos modificaba la cantidad de un recipiente y, co o resulta o, modific aba la rel ción de e uivalencia entre am os recipientes. Por ejemplo, los niños ide tificaban f ácilmente omo «más» el recipie nte al qu se había ñadido un objeto. Parece que los preescol res ya po een una b se intuiti a para co prender l adición y la sustrac ión. Si embargo, la aritmét ica intuitiv se limita a modificaciones evi entes. Si los recipientes con ienen inicialmente cantidades desiguale , la aritmética intuit iva fraca a. Por ejemplo, si al principi se colo an cinco objetos e uno de los recipientes y nueve en el otro, los niños identif icarán corr ectamente a este últi mo como «más». P ro si a co tinuación se añaden dos objet s al recipi nte que ti ne nuev y cuatro l que tien cinco, los niños piensan que a ora es éste el que ti ne

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más. Para los niños pequeños, 5 + 4 es «más ue» 9 + 2 porque ha visto que se añad an más o jetos al primer recipi nte. Evid ntemente, la aritméti a intuitiva es imprecisa.

Cono cimiento i nformal U a prolong ción prácti ca. Los ni os encue tran que l conocimiento intuiti vo,

simple y llanam nte, no es suficiente ara abord r tareas c antitativas. Por tanto, se apoy n cada ve más en i strumento más prec isos y fiables: numer r y contar. En realidad, poco espués d empezar a hablar, los niños empiezan a aprender los nombres de los números. Hacia los os años de edad, e plean la alabra «d s» para designar t das las pl ralidades: dos o más objetos ( agner y alters, 19 2). Haci los dos a ños y medio, los niñ s empiez n a utilizar la palabr a «tres» p ra designar «muchos» (más de dos objetos). Al igu l que Allis n, mucho niños de t res años usan «uno», «dos» y «tres» co rectament y emplean un térmi o mayor ue tres (por ejemplo, «cuatro ) para in icar «muc os». Al e iquetar colecciones on

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números, los ni os poseen un medio reciso pa a determinar «igual», «diferente o «más». Los preescolares incluso lle an a descubrir que ontar pue e servir p ra deter inar exac amente lo efectos d añadir o sustraer ca tidades, al menos si on pequ ñas, de u a colección. Por tanto, co tar se basa en el co ocimiento intuitivo y lo comple enta en g an parte. Por ejem lo, contar proporcio a una etiq ueta común «
fundamentalme te importante de la matem tica intui iva, también presenta limita iones prá ticas. El contar y la ritmética informal se hacen ca a vez me os útiles a medida ue los nú eros se hacen may res. El tie po y el es fuerzo me tal requ ridos par~ contar o calcular de u a manera informal s hacen en rmes y lle an a ser prohibitivo . A medid que los números aumentan, lo s métodos informales se van haciendo cada vez má propensos al error. n realidad, los niños pueden lle ar a ser completa ente incapaces de sar procedimientos informales con números gran es. Más ún: aunq e los mét odos infor males proporcionan una solución inme iata, no p eden proporcionar registros a largo plazo.

Co nocimient o formal La matemáti a escrita simbólic que se i parte en las escuel s supera las limita iones de la matemática informal. La mat mática fo mal pued liberar a los niños de los c nfines de su mate ática rela ivamente concreta. os símbolos escritos ofrecen un medio para anot r número grandes trabajar on ellos. os procedimientos escritos roporcion n medios eficaces para realizar cálculos aritm ticos con úmeros g andes. Más aún, los ímbolos y las expresiones escri

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tas p eden ofre er registros claros y ermanent s que pueden ampliar enor emente l capacida de la me oria. Es esencial que los niños aprenda los conceptos de los órdenes d unidades de base diez. Para tratar con antidades mayores es importan e pensar en términos de unidades,' dece as, cente as, etc. (Payne y Rathmell, 1975). Pensar en decenas y múlti los de die ofrece a los niños fl exibilidad facilidad ara abordar una am lia gama de tareas matemáti as, incluy ndo orde ar (comp rar) núme os grandes y realizar aritméti a mental on númer s de vari s cifras. Los órdene de unida es prop rcionan el razonamie to subyacente a mu has técnicas básicas como escr ibir números de varias cifras y sumar restar c n acarre («llevando») (Resnick, 1982 1983). En pocas palabras, la m temática f rmal permite a los ni os pensar de una anera má abstracta y poderosa, y abord r con eficacia los pro lemas en los que i tervienen números g andes. Aunque la m temática f rmal pue e potenciar mucho la capacida de los niños, comporta aprender nuevas técnicas y conce tos que, l principio, les pue en parecer extraños y difícile s. Los niños llegan a acostumbrarse a ensar en los números y en a aritméti a en términos de c ntar. Un número c mo el 14 se contempla com 14 unidades o como 13 unidad es y una ás. Los ni os peque os no c ptan de i mediato la notación posicional. Como ocurrió en la historia, la comprensión de la notaci n posicional en los iños es el resultado de una lenta evolución. Así, l s niños p eden tard r bastante tiempo en ver, por ej mplo, que 14 es una decen y cuatr unidades. La idea del 0 omo cifr significativa (repr sentante e una columna vacía puede tar dar mucho tiempo en desarrollar se. De h cho, muc os niños p ueden con inuar aferr ándose a los método informales o concr etos bastante despu s de habérseles pre entado lo órdenes e unidades y los al oritmos p ra realizar operaciones con acarreo. D)

I PLICACI NES ED CATIVAS: LOS CO OCIMIEN OS I FORMAL ES COMO BASE

La teoría cognitiva indic que los niños que acaban de i corporars a la escu ela no son simples r ecipientes vacíos que deben lle arse de conocimientos. La may ría de lo niños, incluyendo los procedentes de famil ias de bajo nivel económico, llega a la es uela con una gran ca tidad de c nocimientos matem ticos infor ales (Rus ell y Gi sburg, 19 4). En re lidad, mu hos niños de educ ción espe ial tienen, al menos, algunos conocimi ntos infor ales (Bar ody, 198 a; Barood y Ginsb rg, 1984; Baroody y Snyder, 1983). Lo preescol res aprenden much matemática infor al de la fa ilia, los compañeros, la TV y los juegos antes de llegar a la escu la.

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. La matemática informal de los niños es el paso intermedio cr cial entre su cono imiento intuitivo, limit ado e impr eciso y ba ado en s percepción directa, la mate ática poderosa y precisa basada en símb los abstra tos que se imparte e la escu la. Como currió en l historia, l experiencia práctica y relativamente concr eta de contar ofrece a los niños una base para adqui ir técnicas numéricas y aritmétic as. Puesto que el aprendizaj implica una const ucción a partir de onocimientos anteriores, el conocimiento informal esempeña un papel rucial en l aprendizaje significativo de la matemática formal. Como el a prendizaje es un proceso activo de asimilar nueva i formación a lo que y a se cono e, el cono imiento in ormal es na base fundamental para co prender y aprender l s matemáticas que se imparten en la es uela. La i vestigación cognitiva indica qu , indepen ientement de cómo se introduzcan las técnicas, símbolos y c nceptos atemático en la esc ela, los ni os tiend n a interp etar y a abordar la m temática f ormal en f nción de su matemática infor al (Hieber t, 1984). Por tanto, l matemáti a informal es funda ental par el domi io de las t écnicas básicas y pa a enfrentarse con éxito a la ma temática ás avan ada. A co tinuación e describ n dos implicaciones ducativas de este punto de vi ta que tien en una im ortancia clave. 1. La ense anza for al debe basarse en el co ocimiento matemático infor al de lo niños. Es esencial que la lanificaci n educativa tenga en cuen a el cono imiento matemático informal e los niñ s. Los maestros de en expl tar las p tencialidades infor ales par que la nseñanz formal ea signi icativa e interesante. Además de aumentar la robabilid d de que el apre dizaje es olar teng éxito, la xplotació de los p ntos fuert s informales puede tener importantes consecue cias afec ivas. El p incipio de relaciona la instr cción for al con el conocimiento informa es aplicable a tod la gama de temas de nivel primario, desde el dominio e las co binacion s numéri as básicas hasta l aprendizaje de co ceptos y procedimi ntos rela ionados on los ó denes de unidades como el álculo co acarreo. También eremos ue este rincipio se aplica a niños con una gran ariedad de aptitude , incluye do los q e tienen roblemas de apren izaje y los que pre entan retr aso ment l. 2. En gener al, las la unas existentes ent re el con ocimiento informal y la instru cción for al puede explicar las dificul ades de aprendizaj . Cuando la

ense anza for al se int oduce co demasiada rapide y no s basa en el cono imiento informal qu ya pose n los niñ s, el resultado es un aprendizaje mem rístico y la aparición de pr blemas e aprendizaje y/o de creencias destr ctivas. In apaces d conectar la matem tica form l con alg significativo, muchos niños s limitan a emorizar y utilizar mecánicamente las ma emáticas ue se imparten en la escuela. Muchos iños inclu o llegan no poder memoriza ni

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datos ni técnica . Otros pierden inter s en la ma teria, desarrollan un entimiento de rechazo hacia la misma e i cluso lleg n a temerla. Sobre todo e muy prob ble que la lagunas xistentes ntre la inst ucción for al y el c nocimiento informal e los niño provoquen dificultad es de aprendizaje de las técni as y los c nceptos, r lativamente abstract s, relacionados con l s órdenes de unidades de ba e diez. Co mo conse uencia, m chos niños tienen pr oblemas para captar la notación posicion l y experi entan dificultades co las técnic s de acarr eo. Otros tienen problemas co la repres ntación e base diez y no pueden desarrollar técni as eficac s para m nejar números gran es. Sobre todo, son los niños de educ ción especial los que pueden tener gra des dificultades par franquea la transición entre a aritmétic a informal asada en contar y la aritmética ormal bas da en la notación p sicional.

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Técnicas para contar Contar oralmente, ¿implica aptitu es numér icas? ¿Qué técnicas de contar se suelen desarroll r durante los años pr eescolares? ¿Podem s suponer que los ni os de e ucación special adquirirán técnicas bá icas para contar de una man era infor al? ¿Qué técnicas uelen req erir instrucción durante los primeros cur os escolares? A) E DESARROLLO DE TECNICA PARA C NTAR El caso de Ale i Hacia los vei tiséis meses de edad, Alexi podía contar de palabra del 1 al 1 0 y había empezad a experi entar con los númer os hasta el 20. Cuan do se le pi dió que contara los tres puntos de una f rmación t iangular, lexi señal los punto s y soltó a toda prisa: «1,2, 3, 4, 5, 6, 7, , 9, 10.» uando se le pidió qu e contara tres puntos en fila, señaló al a ar y varias veces e conjunto mientras dec a: «8, 9, 1 0.» Aun espués de poder contar con ex ctitud con untos de hasta cinco objetos, Alexi se d sconcertaba cuand se le pr eguntaba cuántos había cont do. Si se le ense aban dos conjuntos (por ejem lo, una ta rjeta con ueve puntos y otra on ocho) también le sorpren ía que se le pidiera que señalara la tarj ta que te nía «más». La técnica d Alexi par a contar o almente no garantiz ba una c pacidad para contar con exactitud conj ntos de bjetos o ara el e pleo de tras técni as numéricas. Sin mbargo, hacia los ci co años de edad 1, l os niños n sólo pue en contar de palab a casi hasta 29, sino que inme iatamente determinan que ••• y ••• son tres». Además, para un niño tí ico de cin o años es evidente ómo se d be resol er el problema de determinar cuál de d s conjunt s (por ejemplo, uno de nuev y otro de ocho) tiene más ele entos: sólo hay qu contar cada conjunto y comparar las ca tidades resultantes. espués d contar ca a conjunt de puntos, la solución del pro lema también es fácil mente visi le para los niños de cinco años: «El conjunto con 9 s más.» Por tanto, e n cuestión de pocos ños los niños apren en una variedad de técnicas p ra contar muchas aneras de aplicarlas (Fuson y Hall, 1983 . Lo complicado que ueda ser ste desarr ollo, o en qué medida llegan a d rlo por s ntado los adultos, q eda revel do por un examen etallado d las técni as mencionadas e el párrafo anterior. 1 Las conducta que se de criben más adelante se basan en la normas de la prueba Early Mathematical Abilit (Ginsburg y Baroody, 1983) y represe ntan la capa idad -media de un niño e 4 años 11 meses d e edad.

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Una j erarquía e técnica En su mayor parte, la capacidad d contar se desarrolla erárquica ente (Kla r y Wall ce, 1973). Con la p áctica, las técnicas ara contar se van aciendo ás auto áticas y s ejecución requiere enos atención. Cuando una téc ica ya pu de ejecutarse con ficiencia, puede proc sarse sim ltáneame te o integr rse con otras técni as en la emoria de trabajo (a corto plaz ) para for ar una técnica aun ás compleja (por e emplo, Sc aeffer, Eggleston y cott, 1974). Conside emos qué se nece ita para r alizar la tarea aparentemente s ncilla de d eterminar i un conju nto de n eve punto es «más" o «menos que otro e ocho. R alizar esta comparación entre magnitudes numéric s requiere la integración de cua ro técnica . En primer lugar, la técni a más bá ica es generar siste áticament los nombres de lo números en el ord n adecuado. A los os años e edad, lexi ya había empezado a do inar la ser ie numéric oral y, a eces, podía contar h sta 10 de no en uno. Sin embargo, cuan o se le pe ía que co tara objet s, aún no odía decir los números en el rden corr cto de for ma coher nte. Por e emplo, a eces no mpeza a a contar desde «uno". Hacia l s tres año de edad, los niños suelen empe ar a co tar un con junto a partir de «uno» y al e pezar pár ulos ya p eden usa la secu ncia correcta para c ntar conj ntos de 1 elementos como mínimo (Fus on, Richards y Briar s, 1982). En segundo lugar, las palabras etiquetas) de la secuencia nu érica de en aplic rse una p r una a ca a objeto de un conjunto. La ac ión de con tar objetos se deno ina enumeración. Aunque Ale i podía g nerar la erie numérica hasta 10 corre tamente, o podía e umerar un conjunto de nueve el mentos, y ni siquiera de tres, orque tod vía no había aprendi o que deb aplicarse una, y sólo una, etiqueta a cada element de un con unto. La e umeració es una té nica complicada por ue el niño debe co rdinar la v rbalizació de la seri e numéric con el se alamiento de cada elemento e una cole ción para crear una orrespondencia biuní oca entre las etiqu tas y los o jetos. Co o los niño de cinco ños pueden generar orrectamente la se ie numérica y señalar una vez ada uno e los elem entos de na colección, pued n coordin r con efic cia las do técnicas ara ejecutar el acto complejo d la enumeración (al menos co conjunto de hasta 0 elementos). En tercer lu ar, para acer una comparaci n, un niñ o necesita una man ra conv niente de represent r los ele entos qu contiene cada con nto. Esto se consi ue media te la regla del valor c ardinal: la ltima etiq eta numérica expres da durante el proc so de enu eración r presenta el número total de el mentos e el conjunto. En otr s palabra , un niño d e cinco añ s puede r sumir la s rie «1,2, 3 , ... , 9", on «nuev » y la serie «1, 2, 3, ... , 8" co n «ocho». Como Ale i no podí ni enumerar conju tos, no h bía descubierto que la última tiqueta de este proc so

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tiene un signific do especi l. A sus d s años de edad, Ale i todavía o asociab la serie numérica on la defin ición de la cantidad d un conju to. En cuarto lugar, las tres técnicas acabadas d describir son indisp nsables p ra comprender qu la posició en la secuencia de ine la magnitud. A lo dos años de edad, los númer os no definían tamañ s relativo para Alexi. Sin emb rgo, los ni os pequ ños llega a aprend r, tarde o temprano, que la ser ie numérica se asoci a una agnitud relativa. Aun los niños uy peque os puede realizar c mparacio es gruesas entre magnitudes omo «10 es más gra de que 1», quizá por ue saben ue el 10 iene muc o más tar e en la se uencia de enumeraci n. Hacia l s cinco añ os, los niños pueden llegar a hacer con rapid z compar aciones precisas e tre magnitudes de úmeros seguidos co o el 8 y el 9, porque están muy familiariza os con l s relaciones de suc sión num rica («cua do me pongo a contar, el 9 vi ne desp és del 8, sí que el 9 es más gr nde»). Por tanto, co tar para determinar q e un conj nto de nueve puntos s más que un conjunto de oc o no es, ognoscitiv mente hablando, un acto trivial. Aunque los adult s pueden dar por sentadas las cuatro téc icas impli adas, ést s constitu en un re o intelectual imponente para los niños de dos años de edad. Cu ndo lleguen a los cinco años, la mayoría de los niñ s habrán dominado estas técnicas básicas y estar n listos p ra enfrent rse a nue os desafíos. Al unos de ellos -sobre todo los que procede de entorn s con carencias, los ue tiene lesiones erebrales los ment lmente atr asados- p eden no h ber llegado a domi ar estas t cnicas básicas y nec sitarán una atención especial. n lo que re sta de capítulo se describirán on mayor detalle las cuatro téc icas básic s para co tar y otras técnicas más elaboradas que se desarrollan durante las primeras etapas de la es olarizació . Co ntar oral ente Serie numérica. A una edad tan corta como los diec iocho meses, los ni os empi zan a con ar oralme te de uno n uno («1, 2, 3 ... »). La mayoría de los ni os de dos años pu den conta «1, 2» pero luego e piezan a mitir términos (Fuso et al., 1 82). Al pri cipio, los iños pueden aprend r partes d la serie n mérica hasta 10 p ra unirlas ás adela te. Por ej mplo, Ale i (hacia lo veinte m ses de edad) empezó a usar, de una ma era regul r, la serie 8, 9, 10». Más adela te añadió «2, 3, 4» para hace «2, 3, 4, 8 , 9, la». De spués añadió el 5 y e l 6 y, final ente, el 1 el 7 par completar la serie h sta 10. A l os veintiséis meses, lexi añadi los números de dos cifras 19 y 20 r' muy poco después, insert ba la ristr «11, 12, 13» entre el 10 y el 9.

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Contar oralm nte suele equiparars con «contar de me oria». Com ilustra el caso de Al xi, contar de memor ia es una uena descripción de las primeras técnic s orales q e emplea los niños para cont r. Su manera de co tar era, simplement , una cantinela verb l sin sentido. La serie numérica inicial de Al exi parecía no ser más que na caden de asociaciones a rendidas e memori y enlazadas grad almente e tre sí. Sin embargo, contar de emoria e una descripción menos adecuada d los post riores int ntos de ontar. Con demasi da frecu ncia, este término se emplea para indicar ue los niñ s aprende toda la s rie numérica por emorización. Aunq e la me orización desempeña un papel deter inado, sobre todo durante las e apas iniciales, el apr ndizaje re ido por reglas tiene una importancia fund mental para ampliar esta serie. Aunque es probable ue los t rminos hasta el 15 se apren an de m moria, la mayor par e de la s rie numérica posterior pued generar e mediante reglas (Ginsburg, 1982). os resta tes núme os hasta l 20 pue en generarse contin ando con la secuencia original (6, 7, 8, 9) Y anteponiendo «l y>; (por jemplo, « ieciséis, diecisiete ... »). Los números de la segund decena ( 1,22, 23, ... , 29) se pueden generar mediante la regla de ante oner «20, a cada u a de las u idades (d l 1 al 9) un a por una. En realidad, para c ntar de u o en uno asta 99 el niño sólo tiene que prender esta regla y el orden de las dec nas (10, 20, 30..., 90 ). Los rrores que cometen los niños al contar s n una buena señal de que existen regla que subyacen a su cuenta oral, sobre to o de 20 p ra arriba. Muchos ni os -incluyendo los que presentan re raso mental- se inventan términos como «diecicinco» por 15, «die idiez» por 20, o «veintidiez, v intionce», para 30 y 31 (Baroody y Ginsburg, 1984; Baroody Snyder, 983; Gins urg, 1982 ). Estos e rores i dican clar mente qu los niños no se limitan a imita r a los adultos, sino ue trata de constr uir sus propios siste as de reglas (Baroo y y Ginsb rg, 1982). Se trata e errores azonables porque so ampliaci nes lógica , aunque i correctas, de las pautas de la serie n mérica q e el niño ha abstraído. Así, un los ni os ment lmente atrasados p recen ser capaces e ver, em lear y, a eces, aplicar mallas pautas d la serie numérica.

2 En el original se hace refe ncia al número 13. Debido a las cara cterísticas q e presentan los nombr es de los números 11 a 19 en in lés, se ha optado por adaptar la traducción a las caract rísticas de l s nombres d e estos núme ros en castel lano. Véase también la no a número 12 (N. del T.).

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Aunque la mayoría de los niños ue se acaban de in orporar a la escuela ya hace progreso con la pa te de la s rie numéri a regida por reglas, uchos no se dan cuenta de q e las decenas (<<10, 20, 30,... , 90») siguen una paut paralela la secu ncia de la unidades (Fuson et al., 1982). Aún no se sabe con certeza cómo llega los niños resolver l «problema de las d cenas», e decir, su rden correcto para ontar hasta 100 de no en uno. Una hipót esis es qu los niños aprenden las dece as de me oria en f rma de extremos fin les de ca a serie (p r ejemplo, el niño forma la asociación entre «2 -30» o «39-40»). ay algun s datos ue respaldan esta conjetura. Algunos niñ s no pueden contar or decena pero pue en contar hasta 30 ó 39 porq e parece haber aprendido que 30 va d spués de 29, pero no han aprendido qué va después de 39 (Baroody y Ginsbur , 1984). tra hipót sis es que los niños aprenden las decenas (contar de iez en die ) de mem ria y em lean este conocimie to para rellenar la s cuencia de contar d uno en uno. Otra ipótesis, completamente distint , es que lo niños apr nden las ecenas como una versión modificada de l a secuencia del 1 al 9 y emplean esta pauta (repetir la secuen ia de las nidades y añadir -en a) para rellenar la cuenta de u o en uno. Un ejem lo de esta última hipótesis es el aso de Teri, una niña levemente atrasada ue cuan o llegaba al final de na decen (por ejemplo, «..., 5 , 59») se onía a co tar para sí para av riguar la iguiente decena (po ejemplo, «1,2, 3, 4, 5, 6 -ah, . .. , sese ta») (Bar ody y Ginsburg, 19 4). Luego iba repitiendo este rocedimiento hasta llegar a 1 0. En realidad, la mayorí de los niños pued n aprend r de me oria algu as dece as (hipótesis 1 y 2) emplear r eglas para generar el resto (hip tesis 3). Esto tiene sentido p rque la m yoría de las decenas sigue una pauta y sería inefi az apre derlas todas de me oria. Sin embargo, se puede tener que aprender de mem ria la primera parte, i cluyendo uizá algu os casos r egulares c mo 40, an tes de d scubrirse la pauta. Por tanto, aprender la decenas (contar de diez en diez) pued ser algo arecido a aprender contar de uno en u o: al principio, los ni os adquieren una arte por memorización y luego mplean u a pauta p ra amplia la secu ncia. El boracione s de la se ie numéri a. Con la experienci , los niño s aprende

usar su representación ental de la serie flexibilidad (Fus n et al., 1 82). A me ida que s la serie numéri a correct , los niño s pueden sigui nte a un número dad . A los veintiséis me «dab el pie».

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umérica on más laboració van familiarizando más y más citar auto áticamen e el núm es, Alison ya podía acerlo si s

a y on ro le



MAD ALIS MAD ALIS

E: N: E: N:

Alison, ¿qué núm ro va des ués del 9? [No responde.] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y ... 10.

De n ser así, Alison no lo podía hac r sólo lo h cía a veces. MAD ALIS MAD ALIS MAD ALIS MAD ALIS MAD ALIS

E: N: E: N: E: N: E: N: E: N:

¿Qué número va espués d l ocho? El ocho. El ocho. ¿Y des ués del d s? El nueve ¿Y des ués del s is? [No responde.] (Un po o más tar e): ¿Qué a después del ocho? Nueve, diez ¿Y des ués del d s? El cuat o.

Hacia los cuatro o cinco años de e ad, los ni os ya no necesitan e pezar de de el 1 para resp nder de anera coherente y automática pregunt s relativa a números seguidos, al me os hasta erca del 8 (Fuson et al., 198 ; Ginsbur y Baro dy, 1983). Uno de los desarrollo que pueden produci se un poc más tarde es la ca acidad de citar el n mero ant rior. Cuando los niñ s captan las relacio es entre un núme o dado y el anterio , ya está preparado el terren para co tar regresivamente. Además, los niños de edad scolar aprenden gr dualment a contar por grup s. Entre l s más precoces de stas nuev s pautas e encuent an contar por parej s, de cinc en cinco de diez en diez. Nu meración Enumeración . Los niños deben apr nder que ontar objetos implica algo más ue

agita un dedo señalando un conju to o desli ado por ncima de otro mientras pron ncian con apidez la serie numér ica. Aunque los niños pequeños aprenden on rapid z al men s la parte memorísti a de la s rie numérica (véase, por ejem lo, Fuso y Hall, 1 83) Y no ti enen problemas para señalar los objetos e uno en no (Bec with y Res tle, 1966), coordinar stas dos t cnicas para enumer r un conjunto no es una tarea fácil. En re lidad, la enumeració -sobre to o de conj ntos con ás de c atro elementos- sól llega a acerse a tomática e una m nera gradual (Bec with y Re tle, 1966; Gelman y allistel, 1 78, y Schaeffer et al., 1974). on

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colec iones gra des y, sobre todo, esordena as, los ni os tienen que apren er estrategias para llevar la c uenta de los elemen os que han contado y los que no. Cuando los ele entos se onen en fila, hace falta poco esfuerzo par no perde la cuenta si se empieza desde uno de l s extremos. Si la col ección est colocada en círculo, el niño s ólo necesita recordar el elemento por el qu ha empe ado a con ar. Con distribucio es desordenadas, el niño debe recordar qué elementos ha etiquetado y cuáles quedan or etiquetar. Esto s ve facilitado por el mpleo de un méto o sistemá ico (por ej mplo, con ar de izquierda a der cha y de rriba abaj ) o sepa ando los lementos etiquetados de los no etiquetados. Fuso (en prensa) enco tró que muchos de us sujeto de párvulos no em leaban la estrategia de crear un montón aparte co los eleme ntos ya contados. Regl del valor cardinal. Al principio, los niños pueden no darse cuenta de qu la enumeración sir ve para numerar. Cu ndo se le pide que cuenten u conjunto, los niños se limitan a enumer rlo y esperan que esto, en sí ismo, sati fará al ad lto (cosa que ocurr e a veces). Si se les pregunta cuántos o jetos acaban de con ar, vuelv n a enum rar todos los elemen os del con unto. Por jemplo, Id , una niña de tres años de ed d, enume ó cuatro e trellas (« , 2, 3, 4») sin hacer ingún intento serio de emplea o recordar la inform ción. Cua do se le p eguntó cu ntas estrellas había acabado e contar, alzó los ho bros y vol ió a enum rarlas otra vez. Com la enumeración se contempla como un fi n en sí mis ma y no c mo un me io para lle ar a un fin, los ni os muy p queños p eden no llegar a c mprender el sentido de preguntas como « ¿Cuánt s hay?» ni preocupa se de recordar los re ultados d lo que han contad . Cuando tien n cerca de dos años, muchos niños de arrollan u a conciencia primitiva de qu contar e un proc dimiento mpleado ara asign r número a colec iones (para respon er a preg ntas del tipo « ¿Cuántos hay »). Ahora ya realizan el inten to de reco dar lo que han cont do. Sin e bargo, co o no se an cuenta de que el proceso e enumer ción se puede resumir, responden a este t ipo de pr guntas re itiendo la erie numérica. Desp és de «soltar» varios términos («7, 8, 9» o de repetir el mism («9, 9, 9 ) ante un onjunto d tres objet s, un niño de dos años puede designar ste conjunto volvien o a contar (por ejem lo, «7, 8,9 » o «9, 9, 9») (Wag er y Walters, 1982). un después de hab r aprendid .a enum rar corre tamente, los niños p eden no darse cuenta de que e s innecesario recitar tra vez toda la se uencia cuando se l s pregunta por una cantidad. Por ejem lo, desp és de enu erar cuat o estrellas que había en una tarjeta, George (sin volv r a mirar la tarjeta) espondió la pregunta ¿«Cuántas estrell s hay»? c n: «Pues ay 1, 2, y 4 estrellas.» Sin e bargo, a na edad t n corta co o los dos años y medio de edad, algunos niños de cubren el atajo» consistente e recitar la ltima etiqu eta del p oceso de numeraci n para ind icar la cantidad. En el fondo, la egla del v lor

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cardi al traduce el término aplicado un elemento determinado de un conjunto (el últim ) al términ o cardinal ue repres nta el con unto enter . Regla de la c enta cardi al. La regla inversa a la del valo cardinal e la regla d la

cuenta cardinal Esta regla específi a que un término cardinal co o «5» es la etiqu ta asigna a al últim o element cuando se enume a un conj nto de ci co objet s (Fuson y Hall, 19 3). Parec que los iños tien n que apr nder que un térmi o como ci co es al ismo tiem o el nomb e de un conjunto (nú ero cardi al) y un úmero par a contar. Consideremos el caso de un niño al que se a un conjunto de ci co canica junto con la consign : «Aquí h y cinco ca icas; pon inco ca!1i as en la taza.» El niño que no aprecia la egla de la cuenta car inal tiene ue ponerse a contar las canic s a medid que las va soltando en la taza. Este niño o puede rever que la etiqueta cinco mpleada ara desig ar el conj nto es la isma que se debe aplicar al resultado de contar el conjunt . En cambio, el niñ o que da por sentada la regla de la cue ta cardinal se limita a colocar todo el conjunto en la t za sin c ntar. ontar (se arar) un n mero con reto de ob jetos es u a técnica ue empl amos a diario (por jemplo, « ame tres lápices», Me quedaré con cu tro cami as», «Toma cinco clavos»). Sin mbargo, no se trata e una tare cognoscitiva sencilla porque implica: a) bservar y recordar el número d elemento solicitado (el objetivo); b) eti uetar cada element separad con una etiqueta numérica, c) contr lar y det ner el proceso de separación. En otras palabras, se requiere alma enar el o jetivo en l memoria de trabajo, un proceso de enu eración y, al mismo tiempo, ir compar ndo los números d l proceso de enumeración con el número almace ado y det ner este roceso cu ndo se llegan a igualar (Resnick y Ford, 1981). La regla de la cuenta car dinal ofrec al niño u a razón p ra tomar nota del o jetivo en l memoria e trabajo constituy la base p ra detener el proceso de enumeración (B roody y Mason, 1984). Por eje plo, si se p ide a un ni o que separe tres lápices tie e que dar se cuenta de que p ra realiza la tarea s importante recor ar «tres» y que de e parar d contar l pices cua do llegue a la etiqueta «tres . Separación.

Com aración aración d e magnitu des Cuando tienen unos tres años de e ad, los niños descub en que los términos para contar más alto se asocia a magnit des superiores (Wagner y Walt rs, 1982). sí se dan cuenta d que «dos» no sólo s igue a «un » sino qu también r presenta na canti ad mayor. Hacia los 3 años y edio, los iños suelen apreciar que «tres» es mayor que «dos (Shaeffer et al., 197 ). Partiendo de estos datos, los iños de cerca

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de cuatro años de edad p recen descubrir una regla gen ral: el tér ino numé ico que iene desp és en la ecuencia ignifica « ás» que l término e un número anterior. Aun an es de entr r en la escuela, los niños parecen usar su r presentación ment l de la ser ie numéric para hac r compar ciones toscas, pero ficaces, e tre magnitudes, es decir, para comparar con rapide y exactit d dos números bastante sepa ados entr sí dentro de la secuencia (por ejemplo, l 3 y el 9, o el 2 y e l 8) (Res ick, 1983 . A medi a que la relación el siguien e de» se va hacie do auto ática, los niños pue en llegar ser capaces de ha er compar aciones e tre magnitudes más próximas entre núm ros segui os). En re lidad, cua do la may ría de los niños e piezan a asistir al parvulario ya pueden realizar con bastante preci ión comparaciones e tre númer os adyace tes hasta l 5 e inclu o hasta el 10. I PLICACI NES EDUCATIVAS: DIFICUL ADES PA A CONT R Y S LUCION S Cont r oralme te B)

Serie numérica. La m yoría de los niños, incluyend los que pertenece

a mino ías y a cl ses sociales desfav recidas, r ciben una exposició intensa la primera parte -l memorística- de la serie numér ica por par te de famili ares, amigos, personal de guardería, la t levisión, e c., antes de llegar a l escuela. i un niño ue acab de incorporarse al j rdín de in ancia ma ifiesta inc pacidad p ra generar la secu ncia memorística ha ta un mínimo de 10, puede d r señal de un problema grave y de la necesidad de una i tervenció de apoy inmediata e intensiva (Baroody y Gin burg, 198 b). Aunque se dan randes di erencias i dividuales, el domi io de la p rte memor ística de la serie numérica no d bería darse por sent do en ni os atrasa os del cicl medio (B roody y Gi sburg, 19 4). La ma oría de los niños de cuatro y edio a seis años de dad pued n llegar a contar hasta 29 ó 39. Sin embargo, y dad que toda ía no han resuelto el problema de las dec nas, muc os de ellos son inc paces de mpliar la p arte regida por reglas más allá d e estas cifr as. Muchos niños p queños con retraso ental nec sitarán ay da para llegar a dominar inclu o la primer a parte de l a secuencia regida p r reglas (d l 16 al 19 del 20 al 9). A artir del 1 , aproxim damente, la enseña za de la s rie numérica no deb ría insistir en la me morización. En cambio, se deb ría animar a los niñ s a buscar y discu ir las pautas subyac ntes a la erie numérica. En al unos cas s, el mae tro pued tener que dar «pista » o ayuda a que las autas se hagan explí itas (véas el ejem lo 6.1). A emás, es positivo que los niño cometan errores al aplicar reglas como sustituir 3 por «veintidiez». Se trata de u a señal pr metedora porque indica el reconocimiento de una p uta numé ica y constituye un intento activo, por parte del niño, de tratar c n lo desconocido en función de las reglas o de la co prensión ue

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ya tiene. Cuando un niño comete un error al aplicar una regla, el maestro pu de apro echar el c nocimient que ya tie ne diciénd le, por eje plo: «Otr nombre p ra veintidiez es 30 . Se trata e una manera const uctiva de orregir al iño porqu el maestro apreci su capa idad para pensar sin dejar de ofrecerle el feedb ck nece ario para u desarrollo posterior . Ejem lo 6.1 Em leo de pa tas para enseñar las decenas Aun los niño algo retrasados pue en benefi iarse de l instrucción que explota las p utas suby centes a la serie nu érica. To emos el caso de Mi e, un hom re de veinte años de edad co un el de 4 . Mike trataba de apr ender cóm decir la h ra ajust ndola a los cinco mi utos más próximos, ero como no conocí las dece as supe iores a 3 , no podía pasar de 35. Después de 5 se limitaba a repetir expresiones us das previamente (por ejemplo, , 10, 15, 2 0, 25, 30, 5, 30»). P ra establecer una conexión ntre la s cuencia de las unidades y la decenas, la educ dora de ike escribi los núm ros del 1 l 6 en una tarjeta. D bajo de c da cifra scribió la decena correspondiente y le e plicó que podía usa los primeros números que e pleaba p ra contar para averiguar las decenas. «¿Ves? El 1 es como el 10, e! 2 como el 2 , e! 3 como el 30, el como el 0, el 5 co o el 50 y l 6 como el 60». Mi e usó la li ta numérica de esta tarjeta para contar de inco en ci co y al ver que con ella podía expresar todas las horas del reloj se pus tan conte nto que idió más copias de l tarjeta para usarlas en clase y en casa. os siguientes paso se enca inaron a acer que ike deter inara la siguiente d cena usa do ment lmente la secuencia ara conta y a que p acticara c ntando de diez en diez y de ci co en cin o hasta q e estas técnicas se hicieran a tomáticas. Al final, M ike decía en seguid la hora sin necesita la tarjeta. La educación de Mike y la recop ilación del caso se deben a Cathy A. M ason.

Los obstácul s más frec uentes par a los niños, sea cual ea su cap cidad mental, son l s nombres irregulare de los nú eros 14 y 15 Y de la decenas 3 (por ejem lo, Baro dy y Snyd r, 1983, y Fuson et al., 1982). C mo 14 y 15 son una xcepción la pauta de elabor ción, es fr ecuente q e sean los últimos n meros qu se apren en hasta 19. Algun s niños si plemente se los salt n («…,13, 16,...) o lo cambian or 3 Se ha hecho una adapt ción al ca tellano de las dificulta es que, en el original, se refier en al nombr de ciertos números en inglés. Véa se también la nota nú ero 12. (N. del T.)

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otro («…,13, 16, 16, 16,… Un diag óstico expeditivo, el empleo de modelos la práctica pueden establecer la secuen ia adecuada como u hábito antes de que se insta re una se uencia inc mpleta o incorrecta. Elab raciones de la seri numéric . Cuando están en párvulos, los niños no deberían tener problemas para citar el númer siguiente a otro, y ni siquier el anter ior, al me os hasta lla (Fuson et al., 1982; Ginsbur y Baroody, 1983). os niño de bajo rendimiento con retra o mental uede que o sean capaces de citar el nú ero sigui nte y quiz deban empezar a contar desde ello hacer onjeturas. Es prob ble que citar el nú ero anterior sea rel tivamente difícil por ue los ni os deben operar s bre la serie numéric en dirección opuest a la seguida durante su apre dizaje. A emás, puede que el concep o de ant rior sea ás difícil de com render qu el de sig iente. Por tanto, al p incipio lo ejor sería concentrar la enseñanza de apoyo en el número si uiente. Esta enseña za debería empezar on la parte más fa iliar de la ecuencia numérica ( el 1 al 4 o al 5). Ade ás, si el n iño puede leer las ifras se puede empe ar con actividades e las que i tervenga na representación concreta d la serie numérica ( na lista nu mérica). U a vez el niño ha c mprendid la cuestión relativa al númer siguient (anterior) y puede dar resp estas con facilidad mediante el empleo de una lista umérica, uede pas r a actividades sin lista numér ica que le xijan dete minar me talmente l respuest . C ntar regresivamente desde 10 depende el conoci iento de las relacio es exist ntes entre un númer y su ante ior, y es u a técnica oral relativ mente difí cil. Con todo, suele ser domin da por los niños cua do llegan primer curso (Fuso et al., 1982; Gins urg y Bar oody, 198 ). Contar regresiva ente des e 20 es na técni a especialmente difícil y no suel dominarse hasta poco antes d tercer cur so. Los aestros d educació especial eben esperar mucha dificultad s con las os técni as. La enseñanza de apoyo puede empez r haciend que el niñ lea una lista numérica hacia atrás (de erecha a izquierda). Con los niños que d minan o an domi ado el nú ero siguiente, se pu de tapar la lista num rica dejan o a la vist el número de partida. Enton es, a me ida que el niño va c ontando h cia atrás, se pued n ir destapando sucesivament los núm ros menores. Este rocedimie to confir ma las res uestas co rectas y of rece un feedback corr ctor para l s respues as incor ectas. Para contar a intervalos e cinco como mínim , puede a imarse a l s niños a q ue empl en la se uencia fa iliar de contar de no en uno, pero s surrando los números intermedios y d stacando los que forman la p uta. Por jemplo, p ra apre der a cont r de dos e dos, pue e decirse l niño que cuenta así: «uno [en oz baja], dos [en voz alta], tr s [en voz baja], cuatro [en voz alta]... ». Si hace falta, pued empezar e con un lista num rica para aligerar el esfuerzo de expresa el térmi o correcto y permitir ue el niño se concentre en la pauta. En el e jemplo 6.2 se

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muestra otro m todo para contar a intervalos a partir de la secuencia familiar p ra contar de uno e uno.

Ej mplo 6.2 nseñanza de contar

intervalos

Se puede h cer que contar a intervalos tenga sig ificado para los ni os relacionándolo con el proc dimiento f miliar de c ontar objetos reales de uno en u o. Josh, un adoles ente con etraso mo erado, estaba apren iendo a c ntar de ci co en ci co. Su ed cadora le abía dicho que coloc ra unos discos de pl stico de color que l gustaban mucho en pilas de a inco y de pués le ayudó a cont rlos de ci co en ci co. Luego, hizo que osh los desparramar y los cont ara de uno en uno. J sh se quedó muy sorprendido al ver que obtenía el mismo resultado. Luego comprobó la validez gene al de este descubri iento con distintos úmeros d pilas. En la sesión siguiente, Josh insi tía en rep tir el expe imento po su cuenta. Dura te la tercera sesión, osh pidió arjetas co números (5, 10, 15,20, 25, etc.) y las e parejó co sus pilas. A continu ción añadió una nue a etapa a u proceso de comprobación: l er los números de la tarjetas a medida qu iba conta do los dis os de uno en uno. omprobó l resultado de contar la primera pila de uno en uno co el número de la primera tarjeta y encontró que, en ambos casos, el resultado era «5». Al continuar co tando de uno en uno la segunda pila, e contró qu el result do coincidía con el número d la segun a tarjeta (10), y así ucesivam nte. Mient ras Josh iba contando de uno en uno, la educadora recalcaba el número final de c da grupo (5, 10, 15, etc.) dicié dolo en v z alta con él. Luego, osh se inv entó un ju go de a ivinar en l que se tapaba los ojos, la educadora omaba una tarjeta ( or ejem lo, la del 15) y Josh tenía que adivinar d qué número se trataba. Haci la cuart sesión y podía co tar hasta 30 de cinco en cinc y sin ayu a. El uso de objet s reales la secue cia para ontar de no en uno hicieron que contar a intervalos fuera, para Josh, algo com rensible e interesant . La educación de Josh y la recop ilación del caso se deben a Cathy A. M ason

Num ración Enumeración . Cuando los niños ll gan al jar ín de infa cia suele ser bastante

competentes para contar c njuntos d uno a cin o objetos, y la mayor a de los ni os de ci co años e umera co exactitud asta 20 o jetos (Fus n, en prensa). Por ta to, si un niño que empieza el urso de p rvulos presenta dific ltades co conjuntos de uno a cinco ele entos, es ue necesita de inme iato una atención individual. El n iño que o haga ni gún intento de etiqu tar cada bjeto de un conjunto, por pequ ño

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que ste sea, con una palabra para contar (soltando al a ar palabr s para co tar mientras desliz el dedo or encima de los ob etos) ni d llevar la cuenta de los objet s contados y sin contar (etique ando los bjetos del conjunto d una manera total ente asist mática) p esenta graves problemas (Baro dy y Gins urg, 1982 ). C mo la e umeració requiere la coordinación d dos subtécnicas, los error s pueden deberse a tres caus s: a) gen rar una s rie numér ica incorrecta (erro es de sec encia); b) llevar un ontrol ine acto de los element s contados y no c ntados (errores de artición), y c) no coordinar la elaboraci n de la s rie num rica y el proceso de control de los elementos c ntados y no conta os (erro es de c ordinació ) (Gelma y Galli tel, 1978 . En la f igura 6.1 se mue tran algu os ejempl s de cad tipo de error. En o asiones, l s niños p eden tener un desliz al enerar u a serie umérica, pero si los errores de secu ncia son sistemátic s (por ejemplo, etiquetar sistemáticame te conjuntos de 1 y 14 ele entos co «13») es señal de que hace alta una enseñanza de apoyo orientada a reforz r la técni a necesa ia para c ntar oralmente. El niño que omete co regularid d errores de partici n como p sar algún elemento or alto contarlo más de na vez, ebe aprender estr tegias de control ás efica es. E la figura .1 se pue e observ r que hay tipos de e rores muy distintos ue pueden produ ir las mi mas respuestas. Por ejemplo, el doble etiquet do (señ lar un objeto una vez y asig arle dos tiquetas), al igual que contar un mismo objeto ás de una vez, aumenta en una unidad l número e elementos de u conjunto. Sin embargo, el do le etiquet do es un error de c ordinación y no d partición. En realidad, se pu den com inar varios errores ara prod cir una r espuesta orrecta. omo las r spuestas incorrectas pueden roducirse de varias manera y como, matemáticamente, dos erro es no equivalen a un acier o, es imp rtante qu los mae tros observen la ac ividad de enumeración de los alumnos que tengan alguna ificultad. Si u niño ti ne problemas par ejecutar con eficacia algu a de es as subtécnicas, es probable que se d n errores de coordi ación. Por ejemplo, un

niño ue tiene que detene se y pens r qué viene después del 3 cua do cuenta un conjunto de cin o elemen os, puede olvidar p r dónde i a: «1 [se ala el pri er elem nto], 2 [s ñala el segundo], 3 [señala el tercero], a ver, a ver , 4 [señala el quint elemento ». Igualmente, si un iño tiene que dedicar mucha atención para no perderse, puede equivocarse (por ejemplo, saltarse un númer o). Fuson y Mierkiewicz (19 0) encontr aron que l s niños p queños tendían a cometer erro es de coordinación a medio c ntar.

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Los errores e coordinación tam ién pued n darse al principio o al final del proc so de e umeración (Gelman y Gallistel, 1978). Algunos niños tie en dificultades par empezar las dos su técnicas l mismo ti mpo. En onsecuen ia, señalan el prim r element , pero no l etiquetan o empiez n a etiquetar demasi do pronto (por eje plo, dicen «1» sin s ñalar el pr imer elem nto, que a continuación recib la etiquet «2»). A v ces, los ni os tienen dificultade para acabar con las os técni as coordi adas y se alan, pero no etiquetan, el últi o elemento o contin an etiqu tando después de h ber señalado el últim elemento. Los niños mentalmente retra ados parecen ser pr opensos a cometer errores de oordinaci n (Barood y Gins urg, 1984). El «frenesí» «pasar de largo» s n dos gra es errore de enum ración. E el prim ro, el niño empieza con una co respondencia biunív ca, pero no la manti ne hasta el final, y n el segundo no inten ta estable er la corre pondenci al empez r o acab r el proceso de enumeración Fuson y all, 1983). El frenesí puede darse como resultado de no cont olar los elementos etiquetados y no etiquet dos (error de partición), no coordinar la uenta oral y la acción de señala (error de oordinaci n), o am os a la ve (véase la fig. 6.1). P sar por alto comport no hacer ingún intento de controlar o c ordinar la serie num rica con la acción de señalar ca a elemento. C n los niñ s que «pasan por alto» algú element , la enseñanza de la· enumeración d be destacar: a) contar despa io y con tención; ) aplicar na etiqu ta a cada elemento; c) señalar cada elemento una v ez r sólo u a, y d) co tar orga izadamente para ahorrar esfuer o en el co trol. Con lementos ijos, el con rol de l s objetos contados y los que quedan or contar se puede facilitar on estra egias de prendizaj como empezar por un lugar ien definid o y contin ar siste áticamen e en una dirección (por ejem lo, de izquierda a derecha). na estra egia adecuada para contar el mentos óviles es separar claramente los elem ntos cont dos de los que qued n por contar. Regl del valor ardinal. C ando lleg n a párvulos, los niñ s aplican r utinariamente

la regla del valor cardinal a conjuntos ún mayor s (Fuson, ergament, Lyons y Hall, 1985 . Si un ni o de esta edad no l puede h cer es señal de que tiene gra es probl mas. Au que muc os niños mentalmente retrasados pue en aprender espo táneamente la regla del valor cardinal, otros necesitan una enseñanza explícit . Si un niñ simplemente adivin el valor c rdinal de un conjunto que acaba de contar o vuelve a enume ar el conj nto, se le puede e plicar la r gla del v lor cardi al de la m anera siguiente: «Cu ndo cuen es, recuer da el últim número ue dices porque así sabrás cuántas cosas has contado.» Si u niño repit toda la s rie numérica empleada en el roceso de enumeración, se le p uede decir que existe un atajo: «Deja que te enseñe una manera más fácil. Después de contar, me vuelves a

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decir el último n úmero que hayas dic o y así sabré cuántas cosas has contado. A vece es útil qu el maestr o demuestre el proceso mientra «piensa n voz alta : « ¿Cuántos dedo tengo lev ntados? oy a cont rlos, a ve . Uno, dos , tres, cua ro. Vaya, el último número ue he di ho es cu tro, así que tengo cuatro de os levantados.»

” In ica la acción de señalar. • In ica una combinación de errores de se uencia y par tición. •• Indica una co binación de errores de p rtición y coo dinación.

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Regla de la uenta card inal. Los niños que empiezan l escuela suelen dar por

sentada esta noción más vanzada el valor cardinal; mu hos niños de educación espe ial no lo acen así Baroody y Mason, 1984). Esta regla puede enseñarse medi nte un pr cedimiento de dos tapas co cebido por Secada, Fuson y all (198 ) (Véase l fig. 6.2). L a primera tapa consiste en pre entar un c njunto al n iño e indicar (verbalmente y ediante u número scrito) la designación cardinal del conjunto. El ma stro pide l niño que cuente el onjunto y observe que el result do de contarlo coin ide con la designaci n cardinal. Para la s gunda eta a, el mae tro presenta otro conjunto. Se le vuelve a dar al niño la designación cardinal y se le pide que cuente los elementos el conjunt . Sin emb rgo, antes de que ac be de con ar, el maestro le pi e al niño q ue prediga el resultado. Separación. os niños suelen llegar a párvulos pudiendo separar c n precisió al menos conjunto de pequeño tamaño. Si un niñ es incapaz de separ ar hasta ci co objet s cuando se le pide, es que ecesita u a enseña za de ap yo intensiva. Muchos niños c n deficien ias mentales tienen ificultades con esta t rea (Baro dy y Ginsburg, 1984; Barood y Snyder , 1983; Sp adlin, Cott er, Steven y Friedman, 1974 Y necesit n una enseñanza es ecial.

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Uno de los er rores más omunes c ando se r tiran objetos de un c njunto es no parar se», es de ir, no dete er el proc so de contar cuando se ha llegado al objetivo. A Ma t, un niño eficiente ental, se l enseñaron ocho lápices y se le pidió: « To ma cinco para dárs los al mae stro; recue da, saca sólo cinco.» Sin embar go, se limit ó a contar los ocho lápices. Cabe atribuir este tipo d errores a un fallo de memoria (por ejem lo, véase esnick y ord, 1981 . Según u a de las hipótesis que atribuye el error a un fallo de memoria, los niños no mantienen e! o jetivo en l memoria de trabajo, es decir , no toman nota de la cantidad solicitada. tra propu sta es que, al estar tan ocupa os con e! proceso d contar, s olvidan de! objetivo. Por ejem lo, cuan o se le p eguntó a att cuántos lápices debía tomar, respondió: «No s é.» Com no recordaba e! obje tivo o no lo tenía en su memoria de trabajo, Matt se li itó a contar todos l s lápices ue tenía d lante. Al igual que uchos otros niños (véase Flavell, 1970), es posible qu Matt supiera que ace falta n esfuerz especial para memorizar infor mación, e decir, qu a vece necesita os ensayar o repetir na inform ción para acilitar e! r cuerdo. Para este niño, la e señanza e apoyo debe recalcar la im ortancia de recorda el objeti o de la tar ea y, de ser necesari , debe también ense arle cómo recordarlo. Se debe estimular al niño a ensayar ( epetir) e! objetivo p ra que q ede grab do firme ente en su memoria de trabajo antes de c ntar los o jetos. Si h ce falta, s le pued instar a que anote el número a tes de empezar a contar. Los iños que ienen la edad de e pezar a ndar (Wa ner y Walters, 1982 ) y algunos niños deficientes entales (Baroody y Ginsburg, 1984) tienen proble as con sta tarea un cuand parecen recordar el objetivo. Por ejemplo, cuando se pidió a un niño, Fred, que quitara tres objetos e un montón de cin o, se limit a contarlos todos: «1,3,4,6, 11 [y despu s, volvien o a señal r e! último elemento] 3», pareciendo que había recordado e! objetivo. ste niño deficiente había vuelt a etiqu tar el últi o elemento con la p labra «tres». Cuand se le pidi ó que retir ara cinco elementos de un total de nueve olvió a co eter el er or de no d tenerse, pero acab la cuenta con la eti ueta corr cta: «1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 5.» unque no se detuvo cuando e encontr por prim ra vez co la etiquet buscada, Fred parecía recor arla e hiz que el últi mo eleme to tuviera la etiqueta apropiada. Este error de «finalizar on el objetivo» pued explicars mediante otra hipót sis referi a a la m emoria. A nque alg nos niños guardan el objetivo y lo pue en recor ar más ta de, el pro eso de co tar objeto absorbe tanto su at nción que no pued n compar r la serie numérica d l proceso e separación con el objetivo. Como la memoria de tr abajo de F ed estaba an copada por el pro eso de se aración quizá no fu capaz de atender simultáneamente a los procesos e contar y de compa ar. Una ez liberad su atenci n del proc so de con ar, Fred p do record r el objetiv o y enmendar su conducta.

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Cuando un niño no tien e problem s para re ordar el o jetivo, la nseñanza de apoy debe cen rarse en el proceso de comparación. Prim ro, se deb hacer qu el niño anote el o bjetivo. A continuaci n, sacam s nosotro el prime elemento (o deja os que lo aga el niño). Luego le preguntamos (señalando el número anot do si es ecesario): « ¿Es la c ntidad cor recta? ¿H y que pararse aquí?» Continua os así h sta llegar la cantida d solicitad . Debemos explicar laramente por qué se ha detenido el proc so de contar: «Nos hemos parado en N [d cir el número desea o)] porque N [señ lar el obj tivo] es l cantidad que nece itamos.» obre tod a principio, se debe ayudar al niño a en ontrar la anera má fácil posi le de ejec tar el pr ceso de c ntar. Por jemplo, s puede si plificar el proceso d controlar los elem ntos que e han con ado y los ue no, apartando lo primeros es un montón clara ente sep rado. Hay otra explicación par a este tipo de errores y es que l s niños m y pequeños y algunos escolar es con de iciencias entales n poseen la base co ceptual para comprender la tarea. Quizá los niño que no comprende la noción de la cuenta cardi al no se d n cuenta de que deb n compar r lo que cuentan con l objetivo. sí pues, cuando u maestro esea sub anar las dificultades que tiene n niño co la separ ación, pri ero debe á compro ar que p sea la té nica necesaria para la cuenta cardinal Baroody y Mason, 1984). Co mparació entre magnitudes Cuando lleg n al curso de pár ulos, casi todos los niños pueden realizar comparaciones ntre números separados y entre números eguidos p queños (d l 1 al 5), y la gran mayoría ya habrá llega o a domin r estas últimas con los números del 1 al 10. Los niños de edu ación esp cial durante la prime ra enseña za y muc os niños deficientes de nivel intermedi pueden llegar a t ner probl mas con las comparaciones entre núm ros separ dos y ent e número seguidos pequeños. La educ ción de a oyo debe á empezar con objetos concretos y números familiares que sean manifiestamente diferentes en cuanto a magnitu (comparar 1, 2 ó 3 on números mayor s como 9 10; comparar núme os seguid s como 1 2, o 2 y 3). Pueden con eguirse v rios juegos en los q ue intervi nen modelos concretos (véase el ejemplo 6.3). En el juego Invasores de la luna, p r ejemplo, los jugadores comparan la longitud o la a ltura de dos conjunto de cubos que encaj n entre sí. De esta anera, la comparaci n de núm ros se conecta con indicios perceptivos claros y queda reforza a por ellos: «Tú tienes ocho na es espaci les en la l na y yo te go dos. ira qué l rga es la f ila de nav s que tien es. Ocho aves es ás que dos.» Grad almente, l niño irá a prendiend la idea de que los n meros se socian co la magnitud y que los números que vien n despué en la seri numérica son mayor es. Una ez hayan arraigado estas ide s básicas, el niño eberá ser apartado de

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activi ades con objetos oncretos se le p dirá que resuelva l s proble as ment lmente.

Ejem lo 6.3. Ju gos de co paración entre núm ros concr tos INVASO ES DE L LUNA

O jetivo:

Comparacion s entre números del 1 al 10 se arados o seguidos. Material:

1. Varias lun s (círculos de papel) de distinto color. 2. Dos conju tos de cubos encaja les de distinto color. 3. na peonz con los n meros del 1 al 10 (p ra compar ciones en re números sepa ados) o un conjunto de tarjetas n las que e listen comparacion s específi as para ada objeti o. Instruccione :

Es arcir los círculos por la mesa. ar un conjunto de cubos a cad uno de lo s dos j gadores. Explicar q e los círc los son l nas y que los cubos son naves espa iales. El jugador que haga «alu izar» más naves en na luna s queda con ella y el que con uiste más lunas gan la partida. Usar la pe nza o las tarjetas par a deter inar la ca tidad de naves que puede hace alunizar cada jugador. Pregunt r a un de los ni os qué ju ador ha h cho aluni ar más, p r ejemplo: «Tú tiene s cinco naves y Billy tiene tr s. ¿Cuánto es más, cinco o tr s?» De ser necesari , señalar las distintas longitudes (o alturas) de los dos conjunto de cubos encajables. OMINO M S (MENOS) UNO Objetivo: Comparar nú eros seg idos (más o menos uno) de! 1 a l 10. Mater ial: Fichas de do inó. Instr cciones: Es e juego, b sado en no propuesto en e! c urrículo de Wynroth ( 969-1980 , se ju ga como ! dominó ormal per o con una excepción. En vez d emparej r conjuntos numé icamente quivalentes para ir a adiendo fichas, las fi has que se añad n deben tener un c njunto de puntos m yor (o menor) en una unidad l conjunto de la fi ha de! ext emo de la hilera. La f igura que sigue ilustra un caso de «Do inó meno uno». Un jugador va a añadir na ficha c n «8» al xtremo que tiene «9».

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C n los niño de educa ión especial puede s r muy útil indicar la estrategia p ra cont r que puede usarse para com arar números seguidos y cómo se relaci na esta strategia on las téc icas básic s para sa er el número «que viene después». Explicar, por ejemplo: «P ra saber qué núme o es may r, contemos a ver ué núm ro viene después. P ra los números 3 y 4 contamos "1, 2, J" Y como desp és del 3 viene el 4, e14 es mayor.» Tam ién puede ser útil de ostrar el rocedimie to para el niño y e plear una lista numé ica o bloq es encaja les para c ntar. Lleg do el m mento, el rocedimie to de contar se pued interrumpir para pre untar al ni o: «¿Q é es más, 4 ó 3? Qué núm ro viene espués c ando contamos?» tra man ra de hac r explícita la conexió entre la c mparació y la técni a del núm ro «que viene de pués» es continuar las pregu tas sobre el númer «que vi ne después» con preguntas d l tipo «cuál es mayor . Por ejem plo, se pu de preguntar: «¿Q é viene ju to despué del 3 cua do conta os? Deci os 3, ¿y lu ego... ?» na vez aya respondido el ni o, pregun arle: « ¿Y cuál es más, 3 ó 4? (nótese ue para forzar al iño a pen ar realmente en la omparaci n, el núm ro mayor se men iona en p imer lugar o «sin seguir el orden usual» la mitad d e las veces, apro imadame te). C)

IMPLICACIONES ED CATIVAS: LA ENS ENS ÑANZA DE TECNIC S PARA ONTAR

A continuaci n se resu en algun s directric s general s para la enseñanza. 1. L s niños d ben dominar cada técnica para contar asta que llegue a ser

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automática. E to es ese cial porq e las téc en l otra y sir en de ba e para té nicas má dev lver cam ios. Si las técnicas ásicas n inte rarse bie con otra técnicas para la ej complejas. 2. La enseña nza de ap yo debe b sarse en

icas para contar se basan la na complej s como h cer sumas o son eficaces, no p eden cución d funcione más

xperiencia s concreta . Para qu la

enseñanza de na técnica básica para contar sea signific tiva, debe á basarse en actividades co cretas. A emás, y sobre tod con po laciones e educación especial, puede ser importante enlaz r explícitamente acti idades co cretas co la técnica que se nseña. 3. La enseñanza de ap yo debe o recer, dur nte un lar o período de tiempo, un ejercicio regula con activi dades de i nterés par el niño. ormalmente, el domi nio

inco pleto de las técnic s básicas para contar suele atribuirse a una falta de experiencia o i terés. Si los ejercici s no son interesant s, alguno niños no se sentirán compr metidos c n ellos y no alcanzar án la expe iencia necesaria par el dominio de la té cnica. Por ejemplo, los niños se cansan en seguida de los ejercic ios de r petición o al para ap ender a c ntar. Los niños se sienten más dispuesto a generar la serie numérica n el conte to de enu erar objet s porque se trata de na actividad que ti ne más s ntido para ellos (Fuson et al., 1982). La f rma concr ta que eberá tener el ejercicio depen erá del ni o. Mucho niños res onderán on entu iasmo a distintos tipo de juego que se ba san en contar; otros p eferirán ju ar con n títere de «Barrio sé amo» y ot os podrán disfrutar c n el contac to de un tut or, sea niño o ad lto, interesado y en usiasta. Lo esencial es que el ejercicio no necesita -es m s, no debe- carecer de interés para el niño. A continuaci n se pres ntan otros juegos y a tividades ara enseñar a contar de pala ra, a num rar y a co parar ma nitudes.

Jueg s y activi dades ESTRELL AS ESCO DIDAS O jetivos: 1. Enumerar . 2. egla del v lor cardin l. M teriales:

Tarjetas con strellas u tros objet s dibujad s (de 1 a para principiantes ). In trucciones :

Explicar: <
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una carta con e trellas y cuentas cu ntas hay. uando hayas acaba o de contar, esco deré las estrellas y, i me dice cuántas stoy esco diendo, h brás ganado un p nto.» Lev ntar la primera tarjeta y hacer que el ni o cuente las estrell s. Tapa las con la mano o u trozo de cartulina y preguntarle: « ¿Cuá tas estrellas estoy escondiendo?» El ni o deberá r sponder citando únicamente el alor cardi al del c njunto. Si el niño e pieza a c ntar desd 1, pregu tarle si ha alguna o ra manera más fá il para indicar las es rellas que se han contado. Si s necesar io, ense ar al niño directamente la regla del valo cardinal emostran o la tare y «pen ando en v z alta» (d scribiendo el procedi iento y el razonamie to en que se basa). PREDE IR LA CA TIDAD O jetivos:

Concepto de cuenta car inal. Materiales:

O jetos pequeños que se puedan ontar como bloques fichas. In trucciones :

Dar al niño un conjunto de bloque (por eje bloques. ¿Cuán os habría si los cont ras?» De conjunto para q e compru be su res uesta. Ta Desp és de una tirada, no permitir que el niño c seguir, en cambio, el procedimiento d scrito ant

plo, cinco) y decirle: «Toma cinco pués, hac r que el niño cuente el bién puede hacerse con un da o. ente inmediatament los punto y riormente.

CARR RA DE C CHES O jetivos: 1. Enumerar . 2. eparar. M teriales:

1. Un tablero con pista e carreras (una hiler de casilla en espiral). 2. n dado (c n O a 5 pu ntos al prin cipio; 5 a 1 0 para niñ s más av nzados). 3. Coches en miniatura. In trucciones :

Hacer que lo niños escojan los coches que ás les gu ten. Coloc r los coches al pri cipio de la pista. Tirar el dado por turnos y hacer avan ar los coches el núm ro corre pondiente de casilla . Hacer q e los juga ores cuenten los pu tos del da o (enu eración) las casillas cuando avanzan los coches (separ ción). Estas técni as también pueden racticarse con otros juegos de tablero b sicos de temática diversa, e acuerdo con los int ereses de los niños.

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ELLENA O jetivos: 1. Enumerar . 2. Separar. M teriales: 1. Tableros de juego o pistas de arreras in ividuales. 2. Fichas. 3. Baraja de cartas co puntos (1 a 5 para p incipiante ; 6 a 10 p ra niños más

avan ados). 4. Bandejas equeñas ( or ejempl , tapas de plástico). In trucciones :

D r a cada niño un tablero o una pista de c rreras. Decir: «Vam s a ver qu ién rellena primero su tablero (pista de arreras).» Hacer qu cada niño, por turnos, levan e una carta de la ba raja y cue te los puntos para d terminar uántas fic as debe tomar. De irle al niñ que tom esta cantidad. Hacer que el niño separe las ficha que le han tocado e una ban eja peque a (este pr ocedimiento hace qu la corre ción de lo errores d separaci n sea me os confus ). Si se co ete un er ror, vacia la bandej . Hacer que el niño lo vuelva a i tentar o, si es necesa io, ayudarle a extra r el núme o correcto. Una vez xtraído el número correcto, hacer que el n iño coloque las fich s en su ta lero. Gan el niño q e llena antes su table ro. EL NU ERO TAP ADO O jetivos:

D terminar e número a terior o p sterior a u número ado (del 1 al 9). M teriales:

Tarjetas numeradas del 1 al 9. In trucciones :

La versión básica de este juego se describe con más detalle en Ble y Thomp on (1981) junto con otros juegos como alk On [« igue andando»] y Pe k [«Echa na ojeada,,] que s n útiles p ra enseñ r número posterior s a otro ado. Par la versi n básica de El núme o tapado, xtender las tarjetas umeradas, boca arriba y por o den, enci a de la me sa. Decir al niño que ierre los ojos, poner na carta b ca abajo y decir al niño que ya puede mirar para averiguar q é carta e la que se ha puesto boca ab jo. Señala la carta a terior (po terior) a la carta tapa a y decir, por ejem lo: « ¿Qu carta es ésta? ¿Qué viene just después antes] del ?» Continuar hasta que se ha a tapado cada númer o una vez. La versión básica es specialmente útil p ra los niñ s que no ueden re ponder a sta pregunta empez ndo a co tar desd el 1 y par los que c nfunden el número anterior con el posterior. Una versión más vanzada comporta eliminar los indicios visibles de la erie numé ica y requiere

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que l niño res elva el pr blema me talmente. Para ello, no hay más que colo car todas las tarjetas boca ab jo y levantar una de ellas, pidiéndosele al niño que diga qué número va ntes o de pués del l vantado. CARRERA DE NUMEROS O jetivos:

Comparaciones entre n meros se arados del 1 al 10. M teriales:

1. Una hilera de casillas (de 15 x 75 cm, aproximadamen e) con los úmeros d l 1 al 10 (véase la fig. 6.3). 2. Coches en miniatura

Instrucciones :

Hacer que cada jugador escoja el coche que guste. Colo ar los coc es en la lí ea de salida (unos 15 cm a la izquierda de la casilla con e! n mero « 1») . Decir a los niños que sus c ches van echar un carrera y que ganar e! coche que vaya ás rápid . Hacer q e los niño den un e pujón a s s coches lo largo de la pista. os coch s que se salgan por el otro xtremo o por los lados de la pista que an desc lificados. i un coche se detien sobre un línea de eparación entre casillas, se colocará en la casilla e la que descanse la ayor parte de! coch . Cuando los dos j gadores h n empuja o sus coc es, pregu tar a uno e ellos: «Tu coche se ha ido a 5 y e! de ane se ha ido al 3. ¿ Qué es m s, 5 ó 3? Quién ga a?» Varia e! orde en que se menciona los númer os para qu e! mayor se encuentre unas ve es al pri cipio y otr s al final. i es necesario, corre ir al niño e nsenándol sobre la li sta de números que un númer mayor implica recor er más ca illas. JUEGO E PERS CUCIÓN Ob jetivos:

Comparaciones entre n meros seguidos. M teriales: 1. Tablero c n casillas n espiral. 2. Dos ficha .

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arjetas co diferentes comparaciones (del 1 al 5 para principiantes; númer s mayores para niños más a elantados). 3.

Instrucciones :

Decirle al niñ que nuestra ficha v a perseg ir a la suy por el tablero de juego. Saca una tarjet y leer los os númer s escritos en ella. De cirle al niño que escoj el número mayor. a elección del niño in dica cuánt s casillas debe avan ar su ficha; el otro número indica la canti ad de casillas que d be avanzar la nuestr . Después de cada turno, comentar las posiciones e las fich s diciend , por ejemplo: «Pues sí, éste s el que tiene más. u ficha to avía va p r delante», o «No, é e no es más. Mira, mi ficha ya está pillando a la tuy ». Si e! ni o tiene dificultades, pueden usarse bloques o una li ta de números para ilustrar la c mparació . D) RESUME Generar de palabra la s rie numérica sólo es un primer aso hacia e! dominio de un complejo de écnicas importantes ue los ad ltos emplean de manera rutinaria y auto ática. Cuando llegan a la escuela, los niño s suelen s r capaces de generar la parte memorísti a de la ser ie numéric y un poc de la part basada e la aplicación de reglas, además de poder enumer r y separ r conjuntos de objet s, emplea r la regla de valor c rdinal par resumir una enume ación e in luso empl ar relacio es de or den numé ico (núme os anterior y posterior a otro ado) para determina la mayor de dos cantidades. Algunos niños, so re todo l s deficien es mentales, pued n necesit r una edu ación de poyo para dominar stas técni as inform les básic s. Durant los primeros años de escuela, los niños r esuelven el problema de las d cenas y a plían su c pacidad d contar de palabra h sta 100 y ás. A med ida que se van familiarizando con la serie numéric , aprende a contar por interv los (por jemplo, p r parejas) y a contar regresiva ente. La nseñanza especial o de apoy debe asegurar que e llegue al dominio e cada co ponente ucesivo d la jerarquía de técnicas para contar. L enseñanza deberá ser concr ta, intens e interesante.

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D sarroll o del úmero La capacidad para c mprender y emplear el nú ero, ¿ se desarrolla directamente a partir de l experiencia de co tar que ti nen los niños? ¿ O el desa rollo de una manera ignificativa de contar necesita u a adquisición previa de conc ptos y actitudes necesarias? ¿Qué puede aprender un niñ acerca el número a partir de su experienci de contar? ¿Qué papel d sempeña el reconocimiento de pautas n el desa rollo mate ático? El enfoque c rdinal (teo ía de c njuntos) d la Mate ática Moderna o la f ormación l gica de l s programas piagetianos, ¿s n útiles co n los niño pequeño ? ¿Qué p pel deben desempe ar las experiencia de contar en la e señanza de conceptos numér icos a niños pequ ños? A)

OS PUNT S DE VISTA SOBR EL DES RROLLO DEL NUM RO

Probl emas de onservaci ón: el cas o de Peter Peter, un niñ de edad preescolar, olocó siet fichas az les en fila rente a sí. o coloqué otra fil de siete fichas bl ncas en orrespondencia biunívoca con la anterior y, mientras Peter iraba, añ dí otra fic a blanca. Entonces j nté las oc ho ficha blancas p ra que la ilera fuera más corta y pedí a P ter que co tara para er si ha ía el mis o número de fichas en cada hilera o si h bía algun que tuvi ra más. Peter resp ndió: «Mi hilera tiene [contando las fichas azules] 1, , 3, 4, 5,6, 7. La tu a tiene [c ntando las fichas bla cas] 1, 2, 3,4, 5, 6, , 8. ¿Ves? ¡La tuya sólo tiene ocho: la mía tiene má s!» A pesar de haber co tado los dos conjuntos, Pet r seguía respondie do incor ectamente a la pregunta de con servación e la no eq uivalencia. Al parecer , la capa idad para contar d palabra enumer r no implica necesariamente na comprensión de número bi n desarrollada. ¿Por qué conta no ayudó a Peter, y ué tipo de enseñan a podría ejorar su omprensi n del núm ro? El punto de ista de lo requisit s lógicos Los psicólogos ofrece dos explicaciones distintas e la comprensión el significado de lo nombres de los números y del cto de co tar. Desde uno de estos puntos de vista, los niños, antes de ll egar a tener «uso de razón» (h cia los si te años de edad), son inca aces de omprend r el núm ro y la ar itmética ( or ejem lo, Piaget, 1965). La uriosa res uesta de eter se atr ibuye a un incapacidad de pensar lógic mente. Es decir, se upone qu Peter car ce de raz namiento y

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los c nceptos lógicos ne esarios p ra un co cepto del número y para con ar significativamen e. Como c ontar no i plica tener éxito en tareas· de conservación de la desiguald d o la de igualdad, algunos p icólogos (por ejemplo, Wohlwill y Lowe, 1962) ha llegado a la conclusión de que la experiencia de contar tiene poco o na a que ver con el de arrollo de un conce to numéri o. Por ejemplo, Pia et (1965) afirmab que los niños apr nden a r ecitar la serie numérica y datos aritm ticos a m y corta ed d y que s trata de a ctos completamente erbales y in significado. Ni iquiera la numeraci n garanti a una co prensión del núme o. Desd este pu to de vist , el desa rollo de u concept del núm ro y de u na manera significativa de contar depen e de la ev lución del pensamie to lógico. El modelo c rdinal. Se ún uno d los modelos que establecen l

lógica como requi ito previ , los niñ s deben entender la clasifi ación ant s de poder comprender el ignificado esencial d l número. Esto implica aprend r a definir un conjunto, es de ir, a clasif icar objetos para po er asignar cada uno de ellos a un conjunto correcto. Por eje plo, un conjunto de ormas cur as puede incluir c, C, u, U, s, S y O, per no L, v, V , F Y #. C mprender la lógica e clases también requiere co prender l clasificación erár uica o «in lusión de clases»: un clase es la suma de sus partes (subclases) y, por t nto, es ma yor que cu lquier sub lase. Por jemplo, si a un niño s le presentan tres r osas y cin o violetas se le pre unta «¿H y más violetas o hay más flores?», debe ía respon er que la clase (flores) es m s que la subclase violetas). Sin emb rgo, los ni os peque os tienen dificultade con esto problemas de inclusión de clases (por ejemplo, Piaget, 1 65). Esto resultad s se han consider do evidencias de ue los niños peque os no ca tan la lógi ca de clases y que, en cons cuencia, son incapaces de comprender verdaderamente el núm ero. Además, la lógica de clases c mporta comprender la idea de conjuntos equivalentes. a equivalencia de dos conjuntos se define ediante na correspondenci biunívoca: Dos conj ntos pertenecen a la misma cla e si se pu de establecer una correspon encia biunívoca entre sus el mentos respectivos. La equivalencia y la corres ondencia biunívoca, que so el fundamento de la mate ática for al, se con ideran el undament psicológi o del aprendizaje de las mate áticas. El modelo de Piaget. Según Piaget (por ejem lo, 1965), l os niños d ben entender

la ló ica de las relacion s (seriación) y la lasificación para comprender las relaciones de equivalenci y, a con ecuencia de ello, el significad del núm ro. Piag t estaba d acuerdo n que la e quivalenci (la correspondencia biunívoca) es el fu damento sicológico de la comprensión del número. Sin emba go, creía ue

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comprender la correspondencia iunívoca implicaba compren er tanto la clasif icación co o la seriación. Por ejemplo, igualar im lica obse var el pri er elem nto de ca a conjunt , y luego l segundo, el tercero, el cuarto, etc. En ot ras palabras, para stablecer na iguald d, los niño s tienen q e llevar la cuenta de los elem ntos que an empar jado medi nte la imp osición de un orden. D la misma anera, Pi get consi eraba que el número es la unión de conceptos de s riación y e clasificación. Por jemplo, enumerar u conjunto implica tr tar todos sus ele entos co o miemb os de la misma cl se y al ismo tie po difer nciar dentro del conjunto el primer elem nto, el se undo, etc. Además, los núm ros forma un orden constituy n una jera quía de cl ses. Por ejemplo, tres es una lase que contiene co o subcla es uno y os (y, a su vez es un a subclase de los números mayores). En resume , Piaget afirmaba q e el núm ro no pu de ente derse ~n t rminos de un único c ncepto ló ico sino q e constituye una sínt sis única de conce tos lógicos (Sinclair y Sinclair, en prensa). Para Piaget (1965), el d sarrollo d la compr nsión del úmero y de una manera signif icativa de contar est ligada a la aparició de un estadio más avanzado del pens miento. os requi itos lógicos del n mero (c nceptos e seriación, clasificación y correspond ncia biuní oca) apar ecen con l «estadio operacional» del d sarrollo m ntal. Los n iños que n han llega o al estadio operacional no pue en comprender el úmero ni contar signi icativame te, mientr s que los iños que an llega o a él sí ueden hacerlo. Por tanto, el número es un concep o de «tod o nada . Pi get (1965) afirmaba ue la con ervación de la cantid d tenía u a importa cia extra rdinaria orque señalaba la llegada al estadio operacional, es decir: la adquisición del ensamiento lógico; l comprensión de las clases, la relaciones y las c rrespondencias biuní ocas; un erdadero oncepto d l número; y una manera signif icativa de contar. M s concret mente, s gún Piag t la conservación d la canti ad indica a la comprensión de que una ez establ cida la eq ivalencia (no equivalencia) d dos conju tos, los c mbios en la configur ción de lo conjuntos no modi ica la rela ión de eq ivalencia (no equivalencia). Es decir, las relaciones de equivalencia ( o equivalencia) s conser an a tr avés de cualesquiera trans ormaciones no relev ntes en la aparienci física de un conjunt . El niño ue cons rva se da cuenta de que el n mero de lementos de un conjunto no v ría cuan o varía su aspecto fí ico. El punto de ista basa o en cont ar Un punto de ista alternativo considera que l dificultad de Peter c n la tarea de cons rvación es el resultado de un co ocimiento incomplet de cómo se debe co tar

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y no de una co pleta incapacidad p ra pensar lógicamente. Alguno psicológi os (por jemplo, Gelman, 19 2; Zimiles, 1963), h n llegado a la conclusión de ue contar es esen ial para el desarrollo de la comprensión el número por parte del niño. El númer no se co sidera un concepto ipo «todo o nada» que es posible graci s a un ca bio gener l en la ma nera de pensar de lo niños (un nueva et pa de d sarrollo m ntal). En ambio, el odelo qu basa su xplicación en la manera de c ntar aduce que la omprensi n del nú ero evoluciona lent mente como resultado direct de las ex eriencias e contar. Desde este punto de vi ta, los co ceptos nu éricos y ontar significativamente se d sarrollan e manera gradual, paso a p so, y son el resulta o de aplicar técni as para c ntar y con eptos de na sofistic ación cad vez mayor. Al princi io, los p eescolare suelen aprender a e plear los números de una manera mecánica para descubrir construir gradualmente signifi ados cad vez más profundos del número y de c ntar (por jemplo, B roody y insburg, en prensa; Fuson y Hall, 1983; von Glas rsfeld, 19 2; Wagne y Walters, 1982). A medida que aumenta su comprensión del número y de c ntar, los niños aplican el número y los procedimientos ara conta de una m nera cada vez más sofisticada. su vez, esta creci nte sofisti ación des mboca en una com rensión m yor, etc. n el fondo , el desa rollo de té nicas y co ceptos es á entrelaz do y, de h cho, dura te los últi os años algunos iagetianos (por eje plo, Elkind, 1964; iaget, 19 7; Sinclair y Sincl ir, en prensa) han lle ado a la c onclusión e que un nálisis del desarrollo del número sería psicológicamente incompleto si no se tuviera n cuenta l contribución de la actividad s de contar. Conc eptos relacionados con conta Al principio, los niños se limita a recitar nombres de númer os. En estos mom ntos, contar no parece ser na a más qu un sons nete care te de sentido (Ginsburg, 1982). Por ejemplo, Arianne, a los 22 meses, canturrea «d s, cinco, d os, cinco mientras baja salta do cuatro escalones. Ha oído sus herm nos gemelos de 3 años de dad recitar nombres de númer os mientras bajan la escalera o juegan a algo. l parecer, Arianne a aprendi o que ciertas activi ades pue en verse acompañ das por la ecitación e nombres de númer s. Imita el rocedimiento (y sólo una parte de la serie numéri a correcta) seguido or sus hermanos. « os nombres de los números s n palabra y, como curre con otras pala ras, los ni os pued n aprend r a decirlas mucho ntes de f rmar [imá enes mentales], por no hablar ya de co ceptos ab tractos que asociar las mism s ….» (von Glasersf ld, 1982, p. 196).

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Al principio, los niños pueden acer enumeraciones sin inte tar numerar conjuntos. Por ejemplo, rianne p rece disf utar, a s s dos años de ed d, etiqu tando obj tos mientr as busca ntre sus j guetes; n hace ningún intento de empl ar una etiqueta par cada ele ento o d resumir la cuenta. uando se le hace preguntas del tipo «¿Cuántos hay?», s be que el procedimiento correcto impli a respond r con un número, per o todavía o parece preciar qu los núme os se e plean par a designar el valor cardinal de un conjunto y para iferenciar un conjunto de ot os conjuntos con istintos v lores car inales. C nsidérese la sigui nte conve sación ent e Arianne y su padre:

PAD E: ARIA NE: PAD E: ARIA NE: PAD E: ARIA NE:

[Señalando un dibujo on dos gatos.] ¿Cuá tos gatos hay en est ibujo? os. [Señalando un dibujo on tres pe ros.] ¿ Cu ntos perros hay en e te ibujo: os. [Señalando un dibujo on un gat .] ¿Cuánt s hay? os.

Parece que «dos» es la respuesta «comodín» para Arianne la hora de responder a pre untas del ipo «¿Cuántos hay? . En estos momentos, contar es un acto nteramente verbal y sin signific do. Obsér vese, no obstante, q e ya trata los números como na clase especial de palabras. ólo emplea números cuando s le pregunta cuántos hay o cu ndo se le pide que cuente. Los niños parecen distinguir muy ronto entr las palab as que so para cont r y las qu no (Fuso et al., 1982). Los preescolares sólo emplean letras muy rara ez cuando se les pid que cuenten (por jemplo, G lman y Gallistel, 197 ). Incluso los niños l vemente eficientes el ciclo edio rec nocen sie pre los n meros co o una clase especial de palab as aplic bles a acti idades de contar (Baroody y Gi sburg, 19 4). Principio del orden est ble. Con

l tiempo, a medida ue los ni os usan sus técni as para c ntar y refl xionan so re ellas, aprenden a descubrir egularidades impo tantes en sus accio es de contar y en los núme os. Los niños parecen apre der los pri eros términos de la s erie numér ica de me oria. Al principio, puede que o empleen los mism s términos o el mismo orden cuando recit n número o

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cuentan objetos. Por ejemplo, cuando Alexi te ía tres años de eda no siem re empezaba desde el uno para contar conjuntos. arde o te prano, los niños se dan cuenta implícita mente, o hasta explí itamente, de que contar requiere repetir los nombres de los úmeros e el mismo orden cad vez. El pr incipio del rden esta le estip la que par a contar e indispensable el est blecimien o de una ecuencia ohere te. Los niños cuyas acciones están guiadas por este principio p eden utili ar la se uencia n mérica co vencional o una se uencia' pr opia (no convencion l), pero siempre d manera coherente (Gelman y Gallistel, 1 978). Por jemplo, B th siem re usa la secuencia correcta del uno al diez en tanto q ue Carol u a siempre su propi versión ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 1 0, 18») para contar diez objetos. Principio de corresponden ia. Como

r esultado de la imitaci ón, al principio los niños pued n recitar úmeros -como Arian e- mientr s señalan objetos y asta pueden llegar a desarrollar una ci rta eficaci en la en meración e conjunt s pequeñ s. Más delante, pueden darse cuenta de la necesidad de eti uetar cada elemento de un conjunto una vez y sólo na. El prin cipio de corresponde cia subya e a cualqu ier intento genuino e enumer r conjuntos y guía lo esfuerzos de constr ir estrategias de control de los elementos contado y por co tar, como separar lo unos de los otros. A una e ad tan co ta como l s tres añ s, los niños parece emplear un principio como ste para detectar err res de enumeración como contar dos veces un mismo objet o saltarse alguno (Gelman y M ck, en prensa). Principio de unicidad. Co

o una fun ión de contar es asignar valore cardinale a conjuntos para iferenciarlos o compararlos, es important que los iños no s lo gene en una se uencia estable y asig nen una etiqueta, y sólo una, a c da eleme to de u conjunto, sino también que empleen una secuencia de etiquet s distinta o únicas. Por eje plo, un niño puede usar la s cuencia 1, 2, 3, 3 de man ra siste ática y emplear estas etiquet s en una correspo dencia biunívoca, p ro como no todos us elementos están iferenciad s, etiquet rá de la m isma man ra conjuntos de tres y cuatro elementos (con la de ignación ardinal «3 ) (Barood y Price, 1983). In luso cuan o un niño tiene que recurrir al empleo d términos no conv ncionales, la aprecia ión del principio de nicidad (c mprender la función diferen iadora de contar) le impediría escoger tér inos empleados pre iamente. or ejem lo, el empl eo sistemático de la secuencia no convencional «1, 2, 3, diecionc e» etiqu taría erróneamente conjuntos de cuatr element s pero al menos los diferenciaría de conjunto con me os elementos. Por tanto, ad más de l os principios de orden estable y de corre pondenci , es importante que los niños sigan el pri cipio de u icidad.

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Los niños también deben ap ender có o definir un conjunto para p der contar lo. El principio de abstracción s refiere a l cuestión de lo qu puede a ruparse p ra formar un conjunto (Gelma y Galliste l, 1978). A la hora e contar, n conjunto puede estar formado por objetos similares (por ejemplo, bolas: ● ● ●) o distintos ( or ejempl , bolas, e trellas y palos: ● ⃰ --). Para incl uir elem ntos distintos en un c onjunto, el niño debe asar por alto las difer encias físicas de lo elemento y clasificarlos como cosas» (por ejemplo, una bola, una estrell y un bl que se pueden considerar como una, dos y tres cos s). En el f ndo, cuando crea os un conjunto de el mentos di tintos enc ntramos ( bstraemo ) algo común a tod s los elementos. Pri cipio de abstracción.

Media te la imit ción, los niños pue en aprender fácil ente la técnica de co tar denominada regla del valor cardinal, es decir, basarse en el último nú ero conta o en resp esta a un pregunta sobre una cantidad. Sin embargo, el e pleo de la regla del valor car inal no g rantiza una apreciación adec ada del v lor cardin l en sí (F son y Hall, 1983; Von Glasersf ld, 1982). Es decir, no significa necesari mente qu el niño se dé cuenta de que el ltimo térm ino designa la canti ad del co junto y que un conjunto tendrá la misma antidad si se vuelv a contar espués d modificar la distribu ión espacial de sus elementos. or ejem lo, un niñ deficient empleab correcta ente la corresponde cia biunív ca para numerar uince objetos, pero empleaba l siguiente secuencia numérica: «1, ...5, 19, 14, 12, 10, 9, 20 ,49, 1,2,3 (Barood y Ginsbu g, 1984). Cuando s le preg ntó la cantidad de elementos r espondió atisfecho: «¡Tres!» l parecer, ¡la noción de «tres no excluí conjuntos cinco vec s más grandes! Los niños pu den const uir el principio del valor cardinal reflexiona do sobre us activi ades de ontar. Cuando, por e jemplo, un niño cuenta una col cción de t res juguetes, los de parrama los vuelv a contar, puede descubrir que una colección cons rva la mis a design ción (cardinal) a pes r de su as ecto («tre »). Principio del

alor cardinal.

arece qu al reflexio nar sobre la actividad de contar también e descubr e el princi io de la ir elevancia del orden
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interesante propiedad de la s acciones de contar: la distribución de los lementos el orde de su enumeració no tení n importancia a la hora de determinar la designación car inal del co njunto. Conceptos d equivalen ia, no equ ivalencia y magnitud

Una vez el ni o ha llega o a dominar estos conceptos b sicos para contar que se refier n a un s lo conjunt , la acció de conta puede a licarse a contextos ás complicados co o la com aración d dos conjuntos. Tam ién puede emplears la acció de conta para desc brir que la aparienci no es pert inente par determinar si dos onjuntos son iguales o no. Si n niño cuenta dos onjuntos los núme ros resultantes son idénticos, puede llega a la conclusión de q e los conj ntos tiene el mismo número de objeto a pesar de sus dif rencias en cuanto aspecto. Es prob ble que lo niños de cubran esta noción umérica f ndamental jugando on conjuntos pequ ños de u o a cuatr element s. Por ejemplo, los niños pue en etiqu tar con la alabra «d s» varios ares de c sas (por ejemplo, blo ues o dedos) inclu endo pare naturales de cosas por ejemplo, ojos, br zos, gem los). Com el niño uede ver n seguida que estos conjuntos compuestos de cos s distintas se corre ponden ntre sí, pueden lle ar a la onclusión de que los conjuntos etiqu tados con la palabra «dos» son equivalentes a pesar de las dif rencias de su aspe to físico por ejem lo, Schae fer et al., 1974). E ta compr nsión pu de aplic rse posteriormente a conjuntos ayores q e el niño no puede c mparar visual o me talmente on facilidad. Antes de llegar a la escuela, los n iños tambi n aprend n que el úmero pu de espe ificar diferencias e tre conjuntos (no equivalen ia) y emplearse para espe ificar «má » o «menos» (ordenar conjunto según su magnitud). También e sto es pr bable que provenga e jugar con conjunto de pocos elementos. Por ejem lo, un ni o puede encontrarse ante la op ión de escoger entre tres cesto con uno, os o tres caramelo . El niño p uede ver f cilmente ue 3 es más que 1 ó 2, y que 2 es más que 1. Al contar cada conjunto, se asocian etiqu tas numéricas a estas diferencias perc ptibles en cuanto a agnitud. tro niño, p r ejemplo, podría co tar dos bloques («u o, dos-do bloques» , luego añ dir uno m s y llegar a la conclusión de q e hay «m s». Luego puede volver a contar los bloques «uno, dos tres-¡tres bloques!») y en ontrar que ahora, la tiqueta numérica es «tres». A partir de ca os repetidos de es os dos tip s de exp riencias c ncretas, un niño puede llegar la concl sión de que: a) se socian di tintos nú eros a m gnitudes istintas; b el mayor de dos n meros sie pre viene después n la secuencia de co tar, y c) c da térmi o para co tar es má que el tér ino que l precede n la serie umérica.

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Contar con l s dedos p ede dese peñar un papel cla e en este desarrollo del número. Cuand los niños cuentan con los de os (exten iéndolos ientras di en «uno, dos, tres...) pueden er que el úmero de edos es cada vez m yor a medida que van contan o. De esta manera, l s niños pueden reco ocer que l magnitud va asoci da a la p sición den ro de la s rie numéri a. Al cont r con los edos, incl so pued n llegar a darse cue ta de que 2 es 1 (u dedo) m s que 1, que 3 es 1 (un dedo más que 2, etc. En resumen, omo resul ado de sus experien ias conta do conjuntos pequeños con lo dedos, lo niños pueden apren er reglas de numeración para eterminar «cantidad s iguales», «cantida es distinta » y «más . Conservació de la cant idad. Con l tiempo, l s reglas numéricas para evaluar la

equivalencia, la no equival ncia y la agnitud p rmiten a lo s niños po er conser ar. Estos criterios uméricos precisos li eran a lo niños de tener que depender de indici s perceptivos como la longitud cuando hacen com araciones cuantitativas. Com resultado, los niño dejan de despistar e cuando una hilera de fichas se alarg o se aco rta durante una tarea de conse vación de la cantida . Quizá P ul, que llegó a la c nclusión de que su ilera larga (con siete fichas) tenía más fic as que tra, más corta, con ocho fichas, no ha ía tenido experiencias de co tar sufici ntes para comparar con exactitud dos nú eros seg idos. En otras palabr as, pued que este reescolar no hubiera aprendido métodos o técnicas n méricos p ra calibr ar la magnitud relativ de dos c njuntos relativament grandes. Aun después de haber aprendido r glas numéricas para eterminar equivalencias o no quivalencias y hacer comparaci nes entre magnitudes, los niños pueden d jar de e plear est s reglas en una tar a de conservación de la cantid ad por var ias razones. En pri er lugar, ueden no pensar en contar y, por tanto, arecen d la base para emplear reglas numérica . Cuando una hilera se ha transformado física ente (por ejemplo, largándol ) los niños pueden no estar seguros de la relación inicial de los conj ntos (quiz las dos h ileras no eran iguale de entra a). Ante esta incertidumbre, pueden ver e abruma os por los indicios vi suales de las hileras de longit d desigual, pueden echar mano del criterio perceptivo de la longi ud y lleg r a la con lusión de ue la hiler más larga tiene más (Acredolo, 1982). Pu de ser, pues, que l s niños que no cons rvan crea en realid d que alar gar una hil ra añad algo a la isma. Ad más, la no conservación sólo es una contradicción lógica si se cree que as dos hil ras son i uales al principio, c sa que si contar y sin números específicos es una proposición dudos para los iños pequeños. La f lta de c nservación no implica neces riamente que un iño no p eda razo ar lógic mente so re las rel ciones d equivale cia si cu nta y em lea números (Gel an y Galli tel, 1978).

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En segundo lugar, y au si piensa en contar , puede que los niños pequeños no tengan suficiente confianz en sus r eglas numéricas par basarse en un crit rio numérico en vez de perceptivo ( or ejemplo, Gelma , 1982). La tarea de cons rvación de la cantida provoca un conflicto entre la re la que tien un niño para comparar cantidades («Si una hilera es más larg que la otr es que tiene "más") el desar rollo de u a regla basada en contar («Si se cuenta dos hiler s y tiene la misma etiqueta numérica, es que ti nen canti ades iguales»). Un iño pequ ño pued resolver el conflict simplemente recurriendo al cr iterio perc ptivo familiar para él. Un niñ con algo más de e periencia uede ver e dividido entre los os criterios y respo der de manera incoherente. Tarde o temprano, los niños resuel en el conflicto ideando una regl nueva y ás sofisticada que i tegra la regla numéri a y la bas da en la p rcepción. n el fondo , la nuev regla es ecifica: « i una hilera es más larga qu otra, puede tener na canti ad mayor a menos q ue al cont r se obtenga la mis a etiqueta numérica, en cuyo caso se trata de hileras con la misma antidad.» Básicame te, los ni os parecen resolver el confli to cognoscitivo reor anizando la informa ión existente para arle una f rma más istemática. De esta anera, lo niños pueden continuar empl ando indi ios perceptivos cuan o las difer encias son evidentes (por ejem lo, distin uir entre n conjunto de seis velas y otro de dos) (Zi iles, 1963). En casos en que l s diferencias no son claras (por ejemplo, dos colas p ra el cine en donde na de ellas es larg pero con los integra tes separ dos y la otra es cort pero con los integr antes mucho más ag upados), l regla indica la nece idad de contar y realizar un juicio numéri o. Ot os niños i siquiera tienen qu contar p ra conser ar. Dan por sentad la cons rvación d la cantid d. En realidad llega a pensar que es e traño que un adult plantee una pregunta cuya re puesta es tan obvia. A partir d experiencias repetidas de co tar, sabe que si n se añad ni se quit a nada a os conjuntos equivalentes, e ta equivalencia per anece c nstante por mucho que varíe la distri ución esp cial (Lawson, Baron Siegel, 1 74). Es d cir, tarde o temprano los niños infieren una regla de equivalencia relati amente a stracta b sada en na corre pondenci biunívoc que co plementa sus regla de equi alencia, ás concr etas, basa as en nú eros específicos (Gelman y Gallistel, 1978 ). En realidad, hay mu hos dato que indican que la regla abstracta de equivalencia/no equivalencia se des rrolla en l s niños a partir de su experiencia concr eta de contar. Los ni os peque os suelen ponerse a contar co o base para realizar sus jui ios sobre la conser ación de la cantidad (por eje plo, Gelman, 1972). Además, la enseñanza o el d sarrollo d técnicas de numer ción preci as facilit la adquisición de la conservación de la c ntidad (Bearison, 19 9; LaPointe y O'Do nell, 197 ; Starkey y Cooper, 1977). Ciertamente, parece ue los ni os

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pequ ños suele pasar po una etap en la que se basan n contar para conser var (conservación con «verificación empírica») antes de conservar por comprensión (conservación con «certeza lógica» (Apostel, ays, Morf y Piaget, 1957; Greco, Grize, Papert y iaget, 1960; Green y Laxon, 19 0). Así pues, según el punt de vista c ntrado en la manera de contar, la experiencia de c ntar es la clave par a hacer e plícitas y ampliar las nocione intuitivas de equivalencia, n equivalen ia y orden de magnitud (Baroo y y White, 1983). Como vimo en el c pítulo n, i cluso los niños de seis mes s pueden inspeccionar visualmente y d eterminar de maner intuitiva si unos co juntos pe ueños (hasta cuatr elementos) son equivalentes o no. Contar proporcio a etiqueta verbales ue pued n adjunta se a estos conjuntos pequeños. Es la exp riencia de contar lo ue prop rciona la ase para formular r glas num ricas explícitas y, p steriorme te, regla más abstractas (basadas en la equival ncia) para razonar en torno a las relaciones num ricas exist ntes entre cantidade mayores. Por tanto, l principio los niños suelen de ender de ontar par averiguar relaciones de equivalencia com la representada p r la tarea d e conserv ción de la cantidad, y sólo desp és depen en de reglas relativamente abstractas. En pocas p labras, parece que contar es, ás que i ualar, la ía natural de los niñ s para lle ar a comprender las relaciones de equivalencia, no equivalen ia y orden con números no intuitivos. Conc eptos arit éticos b sicos M diante las experiencias de co tar, los niños tambi n descub en qué h ce cambiar un nú ero. Si los cambios de orden o distribución no alteran el v lor cardi al de un c njunto, ciertos tipos de transfor ación sí q e lo hacen (por ejem lo, añadir o quitar objetos). Cuando los niños llegan a er competentes en la enumeración o pueden ca tar direct mente1 p utas num ricas, están prepara os para arse cuenta de relaciones aritméticas imp rtantes. Un niño pue e determi ar o ver con rapide que añadir un bloqu a otro es «dos» y q e añadir otro más ha en «tres , etc. (Bar oody y White, 1983; insburg y Baroody, 983, y Va Glasersf ld, 1982). De manera similar, n niño puede determinar o ver en seguida ue si se q ita una galleta de u conjunto e tres, qu dan dos. o hay má que una fina línea e tre contar y aumentar o disminuir en una unidad. D scubrir los efectos de añadir o quitar una unidad dep nde de un s técnica num ricas eficaces. 1 Subitize en el origina!. S trata de u n neologismo que podrí a traducirse literalmente por «subitizar»/ «subitización» (derivado de úbito) y que, en ocasiones, se h traducido por «repe tizar»/ «repentización». Dado que significa captar d irectamente l número de puntos que ti ene un e tímulo visual no estr cturado sin tenerlos ue contar, se traduci á por «ca ptar [directamente]»/«c ptación [directa]». (N. del T.)

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A artir de sus experien ias inform les de contar, los niñ os constru en conceptos aritm ticos básicos, pero enerales. Más concretamente, como res ltado de us expe iencias informales los niños consideran la adición como un proc so aumentativo (añadir algo a una cantidad dada) y la sustrac ión como n proceso de disminución (quitar algo de una cantidad dada). or ejemplo, cuando Aaron empezaba a asistir al j rdín de inf ancia se l preguntó cuánto pe saba que eran cuatr o y cinco (4 + 5). R plicó: «Si lo tuviera ue adivinar, diría qu cuatro o inco. Esp ra, éstos son los números. Seis o siet .» como onsiderab que la adición era un proceso aumentativo, Aaron sabía qu dar uno e los sum ndos com resultado no estaba bien. A ca sa de su concepto inf ormal de la adición, A ron reajustó su cálculo mental p ara que, al menos, uera algo ayor que cinco. C nsiderem s también la reacción de unos preescolare a la tarea de la «sesión de magia» des rrollada p r Gelman (Gelman, 1972; Gelman y Gallistel, 1978). La prim ra etapa de la tarea stablece la importancia de un úmero determinado. Se ense an a un niño dos bandejas con istintas c ntidades de figuras d plástico (por ejem lo, una b ndeja con tres raton s y otra con cuatro). A continuación, el e xamina or señala una de la bandejas (por ejemplo, la qu tiene tres ratones) la designa como la ganadora». Aunq e no se les indica ue lo hagan, los ni os suelen contar darse cuenta de l cantidad de ratones en las andejas. as band jas se colocan detr s de una pantalla, e tapan, e mezcla y vuelve a most arse al niño. Entonces, el niño t rata de es oger la ganadora. Si destapa la no gana ora (por e emplo, la andeja co cuatro ratones) se d al niño otr a oportuni ad y, na uralmente, encuentr la ganad ra. Este proceso se repite hasta que el n iño espe a encontrar a la gana ora, si no n el primer intento, s guro que n el segundo. La segunda etapa de la tarea ide la re cción del niño a v rios tipos de trans ormaciones. A veces el examinador realiza transfor aciones tr as la pant lla que o afectan la cantid d: cambia la posición de las fig ras (por ejemplo, col ca en fo mación tri ngular tre ratones q e estaban en fila), alt era el colo de un obj to, o su tituye un ratón por n objeto iferente. veces, r aliza en ecreto transform ciones pe tinentes p ra la cantidad: añadir o sustraer figuras e la bandeja gana ora (por jemplo, añ adir otro r tón de juguete a la bandeja de tres para ue ninguna bandej sea la ga adora). Luego se registraba la r acción de los niños a estas tran formacion s pertinentes y no pertinent s para la cantidad. Los niño ignoraban la transformación no perti ente para la cantidad: la ganadora (por ejemplo, tres») seguía siendo la gana ora. Sin mbargo, l s niños s sorprendían mucho cuando d stapaban las dos andejas y no podían encontrar la ganadora. Cuand se les pr guntaba ué habí ocurrido, los niños d cían que e había a adido (o quitado) alg a la bandeja

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gana ora. Cuando se les reguntaba cómo pod ía arreglar se la situa ión, los ni os indic ban que debía quitar e la figura sobrante (reponerse la figura q e faltaba). P ede que e tas pauta de respuesta no par zcan un l gro extrao dinario a o jos de u adulto, p ro indican la existencia de unas aptitudes importante en los ni os de pr eescolar. pesar 'de ue un niñ puede no conservar la cantidad, el éxito e la tarea «mágica» implica u a compre sión de l s transfor aciones ue son o no impo tantes par variar la antidad (p r ejemplo, la adición y la sustra ción varía la canti ad y una nueva distribución n lo hace) al menos con númer os familiar es. Ade ás, parec n comprender que la adición y la sustr acción so operacio es inver as: la una deshace la otra. or tanto, aun los iños pequeños que no cons rvan tienen alguna c omprensió de la arit mética y pueden, de tro de cier tos límites, razonar lógicamente sobre la relacione numéricas. El papel del reconoci iento de autas La « aptación irecta» im lica el rec nocimiento automático de pautas numéri as • • (por ejemplo, identificar sin conta que • • ó • • so «tres»). El lugar del reco ocimiento automático de pautas numéricas en el desarrollo del número es na cuestión que to avía qued abierta. Algunos teóricos (por jemplo, Kl hr y Wallace, 1973; Von Gla ersfeld, 1 82) indica que los niños pue en captar directame te pequ ñas canti ades ante de poder contar. Desde el pun o de vista de Piaget, los • niños muy pequeños reco ocen simplemente u a pauta c mpleta. P r ejemplo, • • se considera una configuración global que se as ocia a «tre »; • • • se onsidera na confi uración global distinta que sim lemente también se socia a «t es». Ning na de e tas «totalidades» s reconoce como un colecció de elem ntos que se pued n contar, es decir, una col cción co puesta d unidade (elemen os individuales). Desde este punto de vista, la captación directa no implica na comprensión d l número. Los niño no reconocen simultáneamente una pa ta num rica como una totali ad (una unidad en í misma) un conju to de par es (unid des individuales) hasta que llegan al estadio del p nsamient operacio al. Con ste logro intelectual, un niño puede cont mplar el úmero y l s pautas uméricas como una unidad compuesta de unidades (p r ejemplo, Steffe, on Glas rsfeld, Richards y Cobb, 1983). Según otro unto de vista, conta precede la capta ión direct (Beckmann, 1924 . En otras alabras, l s niños ap enden a e umerar colecciones orrectamente antes de poder reconoce conjunto con pre isión y rapidez. En realidad, ay algunas eviden ias (por ejemplo, Baroody y Ginsburg, 1 84; Gelm n, 1977) ue indic n que el reconoci iento automático de las p utas nu éricas suele desa rollarse después de una intensa experiencia de conta objetos. Esto puede ser

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espe ialmente cierto para iños deficientes (Bar ody y Gin burg, 198 ). Desde este punto de vista, incluso lo preescol res pued n reconocer que el número y las pautas numéric s son, a l vez, una olección completa y un compu sto de par tes indivi uales, es decir, una nidad co puesta de unidades. En cualquier caso, los dos modelos indica que la captación directa es na técni a fundam ntal en el desarrollo de la comprensión del número por parte del niño. Cuando l s niños pueden rec nocer automáticam nte una pauta, pue en desc brir aspectos import ntes del úmero. P r ejemplo, un niño ue tome t res • objet s con una distribució triangular y los colo ue en fila, reconozc que tanto • • como • • • son asos de «tres», pue e formula de mane a explícita o implícit el sigui nte princi io: «La dis tribución de las canicas no varí la cantid d de cani as que t ngo.» La aptación directa también puede esempeñ r un papel esencial e el apre dizaje de reglas nu éricas pa a apreciar equivalencias. Si a un niño s le muestran grupos de tres lementos con una distribución triangular en hilera , y. pued reconocer inmediatamente que ambos co juntos son «tres», pu de inferir ue dos conjuntos p eden tene la misma antidad a n cuando tengan asp ctos distin tos (Von Glasersfel , 1982). B)

I PLICACI NES EDUCATIVAS: DIFICULT ADES CO LOS NU EROS y SOLUCIO ES

Cu ndo tiene la edad e entrar en la escuela, los niñ s son mu expertos en contar (Gelman y Gallistel, 1978; G elman y eck, 198 ). Práctic mente todos parecen dar po sentados los divers s principios que sub acen a contar o que lo rigen: los principios de orden esta le, de corresponde cia, de unicidad y de abstr cción. La ayoría hasta parece apreciar el principio r elativamente sofisticado de la irrelevancia del 'ord n. Esto n ocurre c n los niñ s muy pe ueños o eficien es. Estos iños, por e jemplo, pueden no decir los números siguiendo un orden coher ente. Un e rror mucho más com n es decir los primer os números en el orden corre to y luego «soltar» otros términ s sin orde ni concie to. Por ejemplo, un ni ño podrí empezar sistemátic mente co «1, 2, 3» luego seguir con «6, 8, 12, 9» u na vez y con «12, 3, 6, 6», l siguiente. Nótese ue en el egundo c so aparecen térmi os repetidos. «Tres» ya se ha ía empleado en la p rimera par e correcta, y «seis se empl a dos ve es seguid s para te minar la uenta. Esta manera de contar no sólo viola claramente el principio de orden estable, sino también el principio de uni idad. (Aunque decir términos si sentido y repetir otr s no cum le los p incipios d orden estable y de unicidad, estos errores no siempre indican nece ariamente que estos rincipios no se conoz can. Por ej emplo, los niños pueden cono er estos principios, pero olvidarse de que ya an usado un término

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previ mente). Si los niños o han tenido la opo tunidad d descubrir estos principios, se les debe brindar bundantes experiencias de co tar, sobre todo en el contexto de juegos o activid des de int rés. En re lidad, pue e ser útil p resentar e tos principios explí itamente (por ejemplo: «Cuando contamos cosas, debemos c mprobar ue deci os los nú eros de l misma m nera cad vez» o « uando contamos cosas, debe os com robar qu usamos un número nuevo para ca a cosa ue señalamos»). T mbién podría ser útil iscutir historias como las del eje mplo 7.1 o las que aparecen r gularment en los pr ogramas i fantiles de televisión como «Ba rio sésa o». Ejem lo 7.1. His torias para contar Una ez y sólo na

Cuentamal e taba muy ontento. orría y da a saltos p r todo el c stillo. ¡Pronto era s cumplea os y querí organizar una gran f iesta! El cocinero vino a pregunt rle cuántas personas iba a i vitar para poder ha er comida y pasteles para todos. Cuentamal sac su lista d invitados y empezó a contar los nombres que había en ella. unque ha ía perdido la cuenta e los nom res que h bía conta o, Cuenta al sigui contando. Le salier on 27. En tonces vol ió a cont r para asegurarse le salier on 22. Estaba muy confundido. El cocine o le dijo q ue no podía prepara la fiesta hasta que no supier cuánta gente iba a venir. ¡Po re Cuenta al! Se sentó con l cabeza entre las m nos. Just en aquel momento, su herma o Cuentabién acab ba de llegar de visit . «¡Eh! ¿ ué te pas ? ¿No estás contento por la fie sta que as a dar?», le preguntó. Cuenta al le respondió: «Pues sí que l estaba, pero no p edo saber cuánta ge te va a v nir. Cada ez que cuento me s le un núm ero difer nte.» Cue tabién to ó la lista y dijo a su ermano q e podrían contar juntos. Sacó un rotulad r mágico empezar n a contar la lista desde el principio. Cada ez que contaban u nombre, uentabién le ponía u a marca. e esta ma era, contaron cada nombre de la lista sólo una ez. ¡Habí 25 nom res! Cue tamal se fue corri ndo a decírselo al co inero. El or en no imp orta

Cuentamal h bía planifi ado un dí muy dive tido, pero o se atrevía a salir d la cama y bajar las escaleras. La mañana anterior abía contado los esc lones cua do habí bajado a desayunar y le habí n salido 1 . Pero cu ndo volvi a subir p ara dormir, había contado 11. i había menos escalones al bajar que al su ir, ¡a lo m jor hoy se iba a dar un tortazo! Así que se quedó se tado mira do cómo s lía el sol. ra un día muy her oso. El c cinero se acercó al ie de la e scalera y l gritó que su

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desa uno se estaba enfriando. Sus amigos también se acercaron para decirle ue se ib n de excursión. Pero Cuentam l no querí bajar y todos se fueron. Enton es llegó Cuentabién y subió orriendo escaleras arriba para preguntar su herm no Cuentamal si le pasaba algo. Cuando oyó que C entamal t nía miedo de caerse por las e caleras, Cuentabién exclamó: ¡ o puede er! ¡Las e caleras tienen el mis mo núm ro de escalones tant si subes omo si baj as!» Arrastró a Cuentamal fuera,de la cama y lo ll vó hasta las escaleras. Cuentamal esta a asustado, pero d ba graci s a su he rmano por arriesgarse a caer. Cuentabié bajó por las escaleras contando cada scalón: «¡10!» Luego volvió a subir contando otra vez l os escalones, y también le salieron 10. « s la misma escalera, así que ti ne el mis o número de escalones», dijo Cuentabién. Cuenta al se puso a dar saltos de alegrí , dio miles de graci s a su he mano, y b jó corrien o las escaleras para salir del castillo y pill r a sus amigos par ir con ello s de excur ión. Estas historias fuer on escritas e colaboración con Cathy A. Mason.

Equi alencia, n o equival ncia y «m ás que» qu e» Los niños aprenden a basarse en conta o en captar directamente para deter inar «cantidades iguales» ( quivalenci a) y «cantidades istintas» (no equivalencia) b stante pronto, al me nos con n meros pequeños. Si los niños no empl an espontáneamente el número para definir equivale cias y no quivalencias, suelen tener ba tantes difi ultades con estas tar as. Desp és de comprobar que un niño osee técnicas numér icas precisas, puede ser útil indicar explícitamente cómo pued usarse el contar par determin r «igual que», «distinto de» y «más que». Esto pued hacerse n el conte to de jueg s como lo s descritos en el ejem plo 7.2. Se ha empl ado con é ito juegos como la L tería con iños defici ntes (Carison y Wer er, 1943; Descoeudres, 1928).

Ejem lo 7.2 Juegos para e señar los conceptos de equivalencia, no equivalenci y or en OTERIA Objetivo:

Equi alencia y no equivale cia. Mater ial: 1. Tableros par cada jug dor. 2. C adrados c n distintas cantidades de punto .

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Instrucciones :

Cada jugador toma un t blero con, por ejemplo, tres pa tas numér icas (véas la figura). Por turnos, los niñ s tratan de encontrar un cuadr ado que tenga la misma canti ad de pun os que un de las pautas numéricas de su tablero. Si se encue tra un c adrado, s coloca e cima de la pauta n mérica correspondie te. El pri er ugador que co plete su tablero (tapando todas las pa tas numér icas) gan la partida. Cada v z que emp ieza un tur o, todos l s jugador s pueden ugar a la ez. Con sto se eli ina la ventaja de se el primer en jugar, y se permite que pu da habe más de u ganador. DOMINO D L MISMO N MERO Ob jetivo:

Equivalencia no equiv lencia. Material:

Fichas de do inó. Instrucciones:

Es e juego es una adapt ción del ju ego de do inó descrito por Carr ison y Wer ner (1943) y Wynr th (1969-1980). Se colocan las fichas boca abajo. Todos los

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jugadores toma la misma antidad d fichas. Sa le el jugad r que teng el dos do le. Gana el jugador que coloq e antes to das sus fichas. El juego con fichas de dominó norm les se ilu tra más a ajo. Para estimular na mayor dependencia de con ar, Wynr th (1969- 980) usa ichas cuy s puntos resentan na distrib ción irreg lar para ue el reconocimiento de las pa tas sea m nos fácil.

LA ESCALER Ob jetivo: 1. a serie n mérica c mo representante e cantida des cada ez mayo es (introducción al concept de orde ).

2. l siguient término d la secue cia numérica es una unidad (o no), más grande (conc pto más a anzado). Material:

Bl ques enca ables. Instrucciones:

Ay dar al niñ a construir una esc lera con c bos encaj bles. Emplear cubos de color s diferent s para destacar los i crementos en unidades. A medi a que el n iño va construyend la escaler , indicar que el prim r escalón ólo tiene n bloque y no es m y grande, que el siguiente tiene dos bloqu s y es un poco (un bloque) ma or, que el siguiente iene tres b loques y e aún mayor (un bloque más que dos), etc. na vez construida la escalera (hasta cinco e incluso 10 escalones) hac r que el n iño «sub » por la e calera con sus dedo y que va a contand cada esc lón a med ida que l toca. La scalera ta bién puede construir se con una lista numérica. También se debe indicar ue, a medida que el iño avanza por la lista numéric , los números (escalones) son mayores (cada nú ero o es alón sucesivo es u bloque ás grande).

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C nceptos aritméticos básicos N es proba le que se esarrolle na compr nsión fun amental d la aritmét ica sin u as técnicas eficaces y unas ex eriencias uficientes de contar. Si un niño no ha tenido expe iencias de numeraci n abundantes y precisas, no prenderá los efect s de añadir un elem nto a un c njunto: lo incrementos en una unidad var ían siste áticamente la designación ca dinal de n conjunt para convertirla en el sigui nte númer o de la se ie numéri a. Por tan o, la enseñanza de poyo par la aritm tica no d be realiza se hasta ue el niño no tenga soltura co las técni as básicas para contar como la enumer ación, la r gla del v lor cardin l e incluso la sepa ación. Par a los niños de educación esp cial pued ser especialmente útil destacar los ef ctos de a adir o quitar una unidad en sit aciones c tidianas. or ejem lo, a la h ra de desayunar, el maestro puede dar os galleta a un niñ y preg ntarle cuántas tendr ía si se a adiera una más a las dos que ya tiene , o preg ntarle cuá tas le que an cuand se ha co ido una d las tres q e tenía. E el ejem lo 7.3 se presentan varios juegos que impli can llevar la cuenta d incremen os y dis inuciones en una unidad. Ejem lo 7.3 Juegos que implican aña ir o sustraer una uni ad LANZAMI NTO DE ICHAS O jetivo:

Sumar de 1 a 5. Material:

1. Fichas, m nedas u otros objeto pequeño que se puedan cont r. 2. Bandejas (de colores distintos). Instrucciones :

El objetivo del juego es lanzar un úmero determinado e fichas a una band ja. Cada jugador elige una b ndeja de olor distinto. Para principiantes, hacer qu e! núm ro de fichas a colocar en la bandeja sea 5. or turnos, los jugador es lanzan na sola icha. Si u niño tien éxito, cu ndo le toc a el turno, se le dice: «Tenías tres ficha en la ban eja y ahor tienes un más. ¿ C ánto es tres y una más?» Si un n iño es in apaz de ncontrar una respue ta, añadir: «Para ve cuántas son tres y na más, cuenta las fichas de tu bandeja.» Gana e! primer ju ador que oloque ci co ficha en su ba deja. La di icultad de! juego pue e modific rse varian o la distan cia entre el jugador y la band ja o aumentando la antidad d fichas necesarias p ra gana .

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EL JUEG DEL MO STRUO D E LAS GA LETAS

O jetivo:

Restar una u idad. M terial:

1. Montón de tarjetas con 1 a 5 gal letas (punt s, círculo o dibujos de galletas ). 2. Objetos re ondos qu se pueda contar. In trucciones :

El objetivo de! juego es reunir 10 galletas (objetos que s puedan contar). Por t rnos, los jugadores levantan u a tarjeta y pueden pillar tantas galletas como indic la tarjeta menos una. Explicar : «Las tarj tas nos dicen cuánt s galletas se pueden pillar ca da vez. Si embargo, el monstr o de las galletas sie pre se come una cuando las tiene que s rvir." Cua do un niño, por ejem lo, ha eleg ido una tarjeta con t es puntos, se le dice: «Ahora tendrías que tomar tres alletas, pe o e! monst ruo se c me una. ¿ uántas q edan para ti?» Si e! iño da la espuesta orrecta, s le dice: «Pues toma dos gall tas.» Si n puede re ponder, h cer que tape uno de los punt s con un dedo y que uente e! resto. Para algunos niñ s, puede acer falta na dem stración más concreta: cuando un niño ha sacado tr s galletas y e! monstruo se h comido u a, hacer que cuente las que le uedan. Resumir e! h cho diciendo: «Había tres galletas, se han llevado una, y han uedado d s.» Pau as numér icas y digi tales Cuando lle an a la e ad de entrar en la escuela, los niños uelen ca tar dire tamente onjuntos e hasta uatro ele entos (Bjonerud, 1 60; Gelman, 197 ). Alguno niños d sfavorecidos y muchos niños deficientes todavía no dominan esta técnica básica (Baroody y Gin burg, 1984). Captar directamente conj ntos de cinco o seis elementos, o incluso de tres o cuatro, en r alidad pu de dep nder de u as técnicas de numeración pre isas y unas experien ias de co tar abu dantes. P r tanto, la deficienci s en esta áreas de en subsanarse antes de pret nder que el niño do ine el reconocimiento de paut s. El reco ocimiento de pautas regular s puede c ltivarse m diante juegos con d dos. Para los nú eros del 1 al 5 al men os, mucho niños apr enden esp ntáneamente pautas digitales automáticas ante de inco porarse a la escuela (Siegle y Robinson, 198 ; Siegler y Shrager, 1984). Esta écnica no puede darse por sent da en oblacione especial s. En el ejemplo .4 se detallan varias activida es ade uadas par fomentar el aprendi aje de pa tas digital s.

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E emplo 7.4 Actividade para apr nder paut s digitales HA ER TITE ES CON L OS DEDOS Objetivo:

R presentación autom tica con los dedos de los númer os 1 ala. Material: 1. Títeres hechos con c nutillos d papel par deslizar l s dedos d ntro de ell os, o pegatinas co el dibujo e una car para peg rlas en la ema de lo s dedos. Instruccione :

Mostrar al ni o los ded s correcto a levanta colocánd le los títer s de canutillo o la pegatinas. HAC R CONT RNOS DE LAS MAN S Objetivo:

R presentación autom tica con los dedos de los númer os 1 a 10. Material: 1. Pizarra. 2.

Tiza.

Instruccione :

A udar al ni o a levant r los dedos correcto para vari s número y a trazar su cont rno en la izarra. Pe irle a continuación q e nos mu stre varios números on ded s. El niño puede co probar s s respues as compa ándolas c n las for as traz das o con rontándolas con las nuestras, q e deberán tener la forma correc a.

C) IMPLICACIONES EDU ATIVAS: ATIVA S: LA NATU AL EZA D LA INST INST UCCION B SICA Disti tos punto s de vista: distintas implicaci nes L s puntos de vista que establecen como requisitos previos l lógica y las técnicas para contar pres ntan impli aciones e ucativas sustancialmente distint as. Seg n la primera, es in til dedica directam nte los esfuerzos i iciales de la enseñanza al número y a técnica para co tar. Van Engen y rows (19 5) observan: «La noción de que cont r es la id a básica de la aritm ética ha s ido aceptada y fav recida dur ante much tiempo p r muchas personas i teresadas en la m temática scolar ele ental. ¡C ntar no es la idea más básica d la aritméti ca! Idea como la corresp ndencia biunívoca y "más que" son mucho ás fund mentales y, de hecho, son requisitos pre ios para un desarrollo significativo

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de contar» (pp. 252-253). Sin los re uisitos psicológicos enerales, la enseña za de ontar y d l número está con enada a carecer d sentido. Por tanto, la enseñanza de la matem tica debe fomentar, en prime lugar, el desarrollo de conceptos lógi os y del r zonamiento. Según l otro punt o de vista, la instrucción inici l debe c ntrarse di ectamente en el d sarrollo d técnicas y conceptos específicos par contar y stimular s aplicació . En poca palabras, la cuestión es si la nseñanza de las matemáticas elementales debe imp rtirse form lmente sobre la base de unos conceptos lógicos m s básicos informal ente medi nte el con ar. La matemáti a moderna. Durant

el siglo XIX y la ayor par e del XX, la ense anza de las mate áticas a los niños pequeños empezaba por co tar (Brai erd, 1973 . Según ewey (18 8) y Tho ndike (19 2), por ej mplo, co tar debe ía abarcar la formación matem tica inicial del niño. Russell (1 17) denu ció este nfoque inf ormal. Afir aba que rimero de ía enseña se el concepto lógico de las cl ses y que el número debía ens ñarse des ués como colofón a stas ideas. El «enfoque cardinal a la en eñanza d la matemática elemental» de ussell ac bó toma do cuerpo con «La atemática Moderna» (Brainerd, 1973). El enfoque cardinal, o Matemática oderna, destaca la enseñanza e la teoría de conjuntos. En l figura 7.1 se muestra la prim ra lección de este e foque. ¿ ué conc ptos se pretenden cultivar con los ejercicios de la página 5 ¿Cuál e el objeti o de los e jercicios d la página 6? ¿Y cuál es el de l s de la pá ina 7? Co mo muestra la figur 7.1, la inst rucción ini ial se cent a en cultiv r los conc ptos de cl se (clasi icación e i clusión de clases) y quivalencia (corresp ndencia biunívoca). Si embargo, y como se afirma en el capítulo 11, este ti o de enfo ues form les son a enos a los niños pequeños. Con idérese el caso de A ron, un niño inteligent e y vivaz que acababa de empezar el pri er curso. l año ante rior, yo ha ía seguido su rápid desarroll de la adi ión informal. En cuestión de meses ya h bía llegado a domi ar la adición de bloques con sus dedo . Luego continuó in entando rocedi ientos de álculo me tal. Intrigado por sus avances, l pregunté si le gusta an las m temáticas de este cu so. Alzó lo s hombros sin mucho entusiasm . Le pregunté qué cosas estaba aprendiendo con la matemáticas.

AAR N: INTE LOCUTOR: AAR N:

[Sin interés.] Pu s no estoy muy segu o. Tenem s que traz r líneas y cosas a í. Oh, c mparáis c njuntos p ra ver si s n iguales. Supo go que í. [Entonces, todo su comportamiento se transf rmó en u a explosi n de entu iasmo.] ¿ abes cuá to son 1.000 más 1.000? ¡Pues 2.000!

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INTE LOCUTOR: AAR N:

¡ And ! ¿Y eso l has apre dido en la clase de matemática ? No, ¡pero es que soy muy listo!

Com Aaron no parecía e tender el bjetivo de los ejercicios de corr spondencias, prest ba poco i terés a este enfoque ormal. Sin embargo, ra capaz de comprender la ari mética bá ica y ampliar una relación que había aprendido con sumandos de una sola cifra a suman os de c atro cifra . Esta o servación informal era signif ivativa y e timulante ara Aaron. La enseñanz piagetian . Algunos educadores piagetianos afirman que, como las

primeras etapa del des rrollo intelectual li itan la c pacidad el niño p ara comprender el número, la enseña za inicial de las atemática debe e tar conc bida para fomentar l desarrollo del pen amiento operacional (por ejem lo, Copeland, 1979 . Se han iseñado v rios currículo s (por ejemplo, F rth y Wachs, 1974; Maffel y uckley, 1980; Sharp, 1969) co el objetiv general de fomenta la capa idad para el pensamiento gener al (lógico). D sde el pu to de vist a piagetia o, es inú il enseñar el númer (contar la aritm tica) directamente. rimero se deben de arrollar lo requisitos psicológicos: comprender las clases, las relaciones y la corres ondencia biunívoca. Este punto de vista queda reflejado por Gibb y C stañeda (1975) en un anuario del National Council of Teac ers of Ma hematics: «Clasificar [establecer correspo dencias] ordena son tres procesos ue subya en al con epto de número.... e ahí qu la expe iencia de lasificar, c mparar y ordenar pr oporcione l fundamento neces rio para el nivel m s elevado de abstracción nec sario par el númer » (p. 98). El desa rollo de contar y del significado los nomb es de los úmeros sólo debe darse desp és de mu has experiencias de clasificación, ordenación y esta lecimiento de corre pondenci s (Gibb y astañeda, 1975). Figur 7.1. Primeras págin s de un c aderno de matemáti a element l.

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Si embargo, hay poc s datos que justifiq en este e nfoque piagetiano a los inicio de la en eñanza elemental. n realidad, hay datos (Almy, 1971; Dod ell, 1960, 192; Gon har, 1975; Hood, 19 62) que p recen apo ar la idea (Macnam ra, 1975 de que el número no depende del desar ollo de la clasificación formal o de técni as de seri ción como describe Piaget. Ade ás, la capacidad de omparar con junto contand no depe de del dominio de la corresp ndencia iunívoca (por ejem lo, Wang, Resnick y oozer, 19 1). Los ni os puede aprender ucho acerca de c ntar, del úmero y e la arit ética antes de poder conserv r (Mpiang y Gentile, 1970). En realida , la nece idad de postular estadios para el desarr llo lógic ha sido p esta en d da muy seriamente ( éase, por ejemplo, Groen y Kier an, 1982 . En resu en, no se ha demos rado empíricamente que sea n cesario tener

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éxito en tareas «operaci nales» como la inc lusión de clases, la seriación, el establecimiento de corres ondencias biunívocas y la con ervación e la canti ad para lcanzar u a compre sión básic del número, de contar y de la ritmética. Con todo, es e destacar que la po tura de Pi get prese ta muchas implicacio es educ tivas de i portancia. Por ejem lo, hace f lta una n ción elem ntal de « ás que» para el desarrollo el concepto de nú ero y de una man ra de co tar significativa. Ad más, el número pres nta a la vez significa os de ordenamiento y de clasificación, y contar implica real ente un correspondencia biunívoca. Sin embargo, es po ible que l s niños lleguen a alcanzar esto conceptos en su for ma básic antes de lo que pensaba Piag t y que el úmero y c ontar sólo requieran na comprensión informal de estos co ceptos. iertamente, el desa rollo de na comprensión más elabor da y for mal de l clasifica ión, la s riación y la corre pondenci biunívoca puede depender, en l fondo, d l desarroll del núme o y de contar. Impli caciones urriculares Es indudable la import ncia del bjetivo de la Matemática Mod rna y de los currículos piagetianos par ayudar a los niños a pensar l gicament . Razonar en torno a clases y relaciones debe ser u aspecto e los currí ulos de la matemáti as elem ntales. Si embargo, la enseña za inicial d e las matemáticas debería tener en cuenta qué tiene significad para los n iños pequeños. Siguen a continu ación algu as reco endacion s: 1. Introducir las mate áticas d una ma era infor al en ve de hac rlo form lmente m diante la teoría de conjuntos. Las defi iciones formales de la

equivalencia numérica, etc., puede ser demasiado abstractas p ra los ni os pequ ños. Contar ofrece una base c ncreta y ignificativa para comprender id as esen iales como equivalencia, no quivalencia y conservación d la cantid ad, espe ialmente on conju tos no intuitivos. D hecho, contar pue e tener ás significado que establecer correspo dencias para deter inar la eq uivalencia de conjuntos, sobr todo si tie nen más d cinco obj tos. 2. No aplaza las experi encias y la enseñanz de conta . Hasta los preescolares parecen estar p icológica ente equi ados para empezar aprender el número. A exce ción de l s nocione básicas de «más», no hay ecesidad e retrasa la ense anza de ontar res ecto a técnicas ge erales co o clasific r, ordenar o establecer correspondenci s. Es imp rtante enseñar estas técnicas por sí mismas, pero ay pocas razones p ra creer q e sean necesarias p ra la enseñanza del número y de cont r. Tampoc hay nec sidad de plazar la enseñanza de contar, del número y de la ritmética a los niños ue no conservan.

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3. Fomentar el desarr llo del re onocimien to automá ico de pa utas y de las pautas digitales . A veces e ha desestimado la captación directa por consider da

una écnica aprendida d memoria que se btiene con más fa ilidad que la enumeración o un concep o numéric (por eje plo, Strauss y Lehti en, 1950). El reconocimiento de rauta numéric s desem eña un apel imp rtante en el desa rollo de n mero y de la aritméti a. Se debe instar a l os niños a que domi en pautas numéric s regulare como las e los dad s. Además, necesitan experime tar con distribucion s irregular es de uno cinco ele entos. M diante el r conocimiento auto ático de arias paut s numéricas como casos del ismo número, los ni os pued n aprend r que el n mero y lo conjuntos equivalentes no se efinen por su aspe to. Las pautas digita les tambié desemp ñan un papel import nte en el desarrollo del nú ero y, co o verem s en el c pítulo VIII, en el de sarrollo d la aritm tica. Por tanto, se d be instar a los niños pequeños a contar c n los dedos y empl ar pautas digitales. D) RESUME La experiencia de c ntar es esencial para que los niño desarrollen paulatinamente la compr nsión del número lleguen a dominar aplicacio es numéricas. Salvo en el ca o de corr gir el aprendizaje de nociones básicas como «más», no hay inguna ra ón para a lazar la enseñanza de contar y el númer . A partir de experiencias concretas de c ntar y de r econocimi nto de pa tas, los ni os apre den que los cambios de aspect y del ord n de contar no afectan al valor ardinal, y que añadir o quita elemento sí que lo hace. La xperiencia de contar es impo tante para ampliar las nociones intuitivas de equivalencia, no quivalencia y orde . La ense anza formal y lógica de la teor a de conj ntos es útil por dere ho propi , pero la enseñanza del número basa a en contar es inicialmente ás significativa par los niños.

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ritmé ica inf rmal Antes de do inar las combinacio es numér icas básic s, ¿qué procedimientos empl an los niños para calcular sum s, diferen ias y productos en problemas on números de una sola cifr a? ¿Cómo se explic a el desa rollo de procedimientos aritm ticos infor males? ¿Por qué a lo s niños le cuestan ás unos problemas ue otros ¿Cómo t atan los niños de mi imizar, de manera n tural, las d ificultades del cálculo? ¿Qué problemas suelen e contrar l s niños con el cálc lo aritmético infor al? ¿Cómo se pueden subsanar estas difi ultades? A)

B ASES PA A L A ADI A DICION y LA SUSTRA CION IN ORMALE

Cuando em ezaba a asistir al jardín d infancia, Aaron podía calc lar rápid mente las sumas de problemas tipo N + 1 como 3 + = - y 5 + 1 = - . Para otros probl mas, incluyendo los e tipo 1 + como 1 3 =___ y 1 + 5 = ___, A A ron tenía ue empl ar objeto concreto para calcular la s ma. Tom mos, por ejemplo, us respuestas durante nuestr cuarta en revista, re lizada en oviembre:

EXA INADOR: AAR N:

EXA INADOR: AAR N:

EXA INADOR: AAR N: EXA INADOR: AAR N:

1 + 7. [Pausa. Luego cu nta para sí: «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7»] . Tengo qu e hacerla con los bl ques. [Pri ero coloca un bloqu , luego si te más, c enta todo los bloqu s y expr sa la sum correcta]. 2 + 3. [Cuent rápidamente] 1, 2, 3 [pausa]. Casi lo teng , pero ya o puedo ensar má . [Primero coloca do bloques, l ego tres más, y cuenta tod s los bloq es para d terminar l suma]. 2 + 4. 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 0. Pues n sé... [vue lve a usar l os bloques para calcular la su ma]. 1 + 3. 1, 2, 3, 4, 5 [en vo z baja]. [E aminador: Venga, ac ba.] Cuatr o.

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La capacida de Aaron para sumar mental ente fue aumentan o de man ra gradual. Con pr blemas d tipo 1 + N, al principio empeza a a conta a partir d l 1 (por jemplo, 1 3: «1, 2, 3, 4»). Ha ia la prim vera, ya r solvía aut máticamente probl ma de tip 1 + N diciendo el n mero siguiente a N n la serie umérica (por ejem lo, 1 + 3 = «4»). A fin les de cur o, Aaron había refinado el procedimiento para calcular los resultados de umas con sumandos distintos de uno: em ezaba co el cardi al del sum ando mayor y contab progresiv mente a partir de él ( or ejempl , 2 + 6 = t6; 7, 8»). Aaron casi n recibió ni guna ens ñanza aritmética for al. ¿Qué explica, pu es, su capacidad ar itmética inf ormal y sus progresos durante l curso? ¿Por qué tenía que calcular el resultad de pro lemas 1 + N cu ndo podía determinar inme iatamente el resultado de probl mas N + 1? En contr aste con s soltura e el cálculo de sum s con el auxilio de objetos c ncretos, sus primeros intentos de cálculo mental no tuvier n éxito. Qué explica la dif icultad pa a desarrollar procedimientos de cálculo menta pa a problemas 1 + N y sumas con suman os distin os de un ? A lo lar go del cur so, Aaron inventó e pontánea ente nue os procedimientos e cálculo. ¿Qué motivó este de arrollo? El fundamento: contar C mo vimo en el capítulo VII, los niños desarr ollan una comprensión fundamental de la aritmética mucho antes de llegar a la escuela a partir de us primeras experi ncias de ontar. Los concepto informales de la adi ción (en tanto que añadir más) y de la su stracción ( n tanto q e quitar al o) guían l s intentos de los niños para onstruir p ocedimien os aritméticos infor ales. Por ejemplo, para sumar uno más a tres, m uchos niñ s empiez n contando hasta tr s y luego se limita a contar una unida más («1, 2, 3; 4»). En realida , hasta p eden lleg r a tratar de abord r problem s más difíciles de la misma m nera. Con ideremos los primeros intentos de Aaron para calcular mental ente las s mas de pr blemas 1 N y de roblemas con suma dos distintos de uno (M + N). omo consideraba qu la adici n es un pr ceso aumentativo, s s intentos iniciales, a unque infr ctuosos, i an por b en camin . Para 2 + 3, por eje plo, pare ía saber q e la suma tenía que ser mayor que dos. or tanto, n seguida contó hast dos y lue o contó u a unidad ás (aun ue no sabía bien cómo continuar): «1,2,3, ... Casi lo t ngo, pero... ». La soltura co las técnicas para contar permite a los niñ os resolve mentalmente probl mas con 1» muy pr onto. Los iños desc bren con bastante r pidez que las relaciones entre un númer y su siguiente se a lican a pr blemas N + 1 y que las relaciones entre un número y su anter ior pueden aplicarse problema N - 1. De hecho, muchos preescolare pueden usar su r epresenta ión menta l de la s rie

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numérica para esolver pr blemas c n «1» se cillos (N 1 y N - ) como «tres pastelillos y uno más» o « inco muñecas meno una que te quedas» (por ejem lo, Baro dy, 1984a; Court, 19 20; Fuson y Hall, 19 3; Gelma , 1972, 1977; Ginsb rg, 1982; Groen y esnick, 1 77; Ilg y mes, 1951; Resnic , 1983; R snick y F rd, 1981; Starkey y Gelman, 1982). En el anterior problema d adición, n niño pu de entra en la serie numérica por el punto especificado or el pri er términ o sumando (tres) y dar como respues a el núm ro siguien siguien e en la s rie numérica: «Cua ro». En el anterior pr oblema de sustracción, un niño puede ent ar en la s rie numérica por el punto esp cificado p r el minuendo o cantidad mayor (cinco) y dar como respuesta el número anterior en la serie n mérica: « uatro.» C mo el empleo de e ta repres ntación m ntal de l serie nu érica par determin r respuestas relacionadas con el número anterior o posteri r a otro ado es tan automático, muchos preesc lares pue en dar mentalment , y con r pidez, las respuesta a probl mas sencillos con «1». La di icultad relativa de p roblemas 1 + N ¿Por qué Aa on podía esolver pr blemas N + 1, pero no proble as 1 + N El conc pto informal que tien n los niño de la adición puede hacer que los proble as N + 1 sean más fáciles de resolv r que los problemas 1 + N. Como Aaron consi eraba qu la adición era un pro eso aume tativo, int rpretaba el problema 3 + 1 = _ como tres y uno más, cosa que se puede esolver fá ilmente contando («1, 2, 3; 4.,) o emplea do las rela iones entr e un núme o dado y el que le sig e («3, 4»). En cambio, interpr taba que + 3 = __ era uno tres más, cosa que no se pu de resol er fácilme te con est s método . En otras palabras, omo los ni os peque os consi eran que la adición es un proce o aument tivo, pued n present r la tende cia a co siderar que N + 1 = __ y 1 + N = __ s n problemas diferent es y la suma consi uiente no es equiv lente. Por tanto, pu eden no darse cuen a de que su méto o centrad en la rela ión existe te entre u número d do y el qu le sigue, ue es tan eficaz p ra responder en seguida problemas de tipo N + , también es aplic ble a problemas de ti o 1 + N. En un momento dado, los niños escubren que las r laciones entre números cons cutivos se aplican por igual a p oblemas de tipo N + 1 y de tipo 1 + N. Jenny, una niña de jardín de infancia, descri ió este im ortante d scubrimie to (Baroody y Gins urg, 1982 ). Mientra jugaban a un juego atemátic , la niña q e se sent ba al lado de Jenny sacó un tarjeta c n el problema 1 + = __. M nifiestamente perpl ja y deso ientada ante este pr blema, la iña se quedó sin de ir nada. Tras una ausa, Jenny se le cercó y le dijo en voz baja: «¡Eh! ¡Que es muy f cil! ¡Siempre que veas un 1, es el número que viene después!» A dif rencia de su

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compañera, Jenny había a straído una regla ge eral de nú eros con ecutivos para probl mas con 1»: «La su a de N + ó 1 + N e el número que sigue a N en la s rie numérica." Con esta regla eneral, Jenny podía sar su representació mental d la serie numérica para responder con igual efica ia a probl mas de tipo N + 1 a probl mas de ti o 1 + N. El desarrollo de una regla general de númer s consecutivos para los proble as con 1" puede er un primer paso m y importa te hacia una capaci ad de cálculo gene a más flex ible. Por ejemplo, Aa on aprendió primero que podía pasar por lto sin pr oblemas el orden de l s sumandos en problemas con «1». Unas semanas ás tarde empezó hacer lo mismo en problemas con su andos distintos de y calculaba las s mas de tipo M + N contando a partir del sumando mayor (por ejem lo, 2 + 6: « 6; 7, 8»). A demás, los niños sólo llegan a c nsiderar la adición como la unión o reuni n de dos conjuntos e una manera gradual. Desde este punto de vista, el orden de los nú eros carece de importancia: 3 + 2 = 2 3. En ot ras palabras, la uni n de un c onjunto de tres objet s con otr de dos, tiene el mis mo resultado que la unión de dos objetos y tres objet os. Esta c ncepción unionista» de la adición es m s abstracta que la c ncepción aumentativa familiar ara los ni os pequ ños. La comprensión de que el rden de lo sumando no altera la suma en los probl mas con «1» pue e ser u primer aso muy importante hacia na comprensión m s profund de la adic ión (Resni k, 1983).

B) A DICCION INFORMA Proc dimiento concreto s Ini ialmente, los niños emplean ob jetos conc etos para calcular sumas. A ca sa de s inJj1ediata disponibilidad, suelen usar lo s dedos p ra sumas de hasta 10. Desd el punto e vista de! desarrollo, la estrateg ia más básica es la c enta concr eta global (CC) que se ilustra en la colu mna 1 de la figura 8.1. Los blo ques (u otros objet s 'que se uedan contar, como l s propios edos) se uentan un por uno p ara repre entar un sumando; e! proces se repit con e! otro suman o. Luego se cuentan todos l s objetos ara deter inar la su a. Los niños inven an espont neament atajos pa a el labori so procedimiento c . Uno de l s favorito es la estr tegia de pautas digitales» que se ilustr en la col mna 2 de la figura 8.1 (Barood , en pren a). Nótes que, en e sta estrategia, cad sumando se repre enta con una pauta digital. A í se evita e! laborioso proce o de contar los dedos uno por u o para re resentar c da sumando. Medi nte la estr tegia de l pauta digital, e! niño sólo tiene ue contar una vez (para Invención de atajos.

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deter inar la suma). La estrategia de «reco ocimiento de pautas» (Siegler y Robi son, 1982; Siegler y hrager, 1 84), que s ilustra en la column 3 de la fig ura 8.1 e aún más conómica. Esta estr tegia com orta la creación de p utas digita les

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para cada sum ndo para, a continua ión, recon cer la suma inmediat mente, quizá de anera vis al (media te una ca tación dir cta), quiz cinestésica. Para 4 5 =__ , por ejem lo un niño puede e plear pautas digitale s para rep esentar c da sumando, sentir que se h n extendi o todos lo dedos salvo uno, y r esponder 9» sin t ner que c ntar. Hasta los ni os deficie tes invent n atajos C C espontá eamente ara ahorrarse trab jo. Durante veintiun semanas se obser aron uno niños co deficiencias leve y moder das que e basaba en un pr ocedimien o CC por ue lo habían descubierto o porque se les había enseñado. Si que se le dijera na a, muchos de los articipant s en el e tudio empezaron a emplear u a estrate ia de pautas digit les y unos pocos em learon un estrategi de recon cimiento de pautas para problemas con sumando muy peq eños. Po tanto, pa ece que l tendenci a inve tar atajos para el cál ulo es co ún a niño con una amplia gam de aptitu es men ales. A tocontrol, inventiva

flexibilidad. Mediante el contr l de sus tentativas, los

niño pueden daptar procedimientos existentes a nueva demandas y, por ta to, pue en inventar nuevos procedimientos. C nsidérese el caso de Mike, un muc acho de einte año de edad con un CI de 46. M ike se en ontró en na situación norm l en los ni os: Su procedimiento concreto l iba muy ien siempr e y cua do los nú eros fuer n pequeñ s. Para pr oblemas c n sumandos de cinc o men s, Mike e pleaba un procedimi nto de pa tas digital s (por eje plo, para 3 + 5 for maba las autas digitales para tres y cinco con cad mano y l uego cont ba todo los ded s). Sin e bargo, e te procedimiento n puede e plearse on facilidad para problemas como 2 + 8 6 + 3, en los que un de los su andos no se pue e represe tar fácilmente con una mano. P reciendo darse cue ta de las limitacion s de su procedimie to de pautas digit les, Mike lo modificó. Cuando s le presentaban problemas com 2 + 8 y 6 3, prim ro formaba la pauta igital de s mando m s pequeño (por ejem lo, dos de os para 2 + 8). C n un modelo cardin l del sum ndo más pequeño ya formado, el siguiente paso que daba ra empez r desde 1 e ir conta do hasta llegar a la esign ción cardi al de sumando may r. Por eje plo, «1, 2, 3, 4, 5, 6, , 8» para 2 + 8. A continuaci n, Mike si plemente continuab contando mientras señalaba c da elemento del m odelo cardinal creado en el paso anterior (p r ejemplo, para 2 + 8: «9 [señ lando un de los d s dedos l vantados], 10 [señal ando el otro dedo]». La maniobra planificada de antemano por Mike para representar únicamente el sum ndo más equeño le permitía e frentarse problemas con núm ros mayor es. El procedimiento concr eto relativ mente sofisticado de Mike tom otras for as inge iosas. Algunos niño usan mo elos cardi ales ya p esentes e el aula p ra

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cont r. Otros san las p utas de l s cifras 2,3,4 (por e emplo, 2 + 4: «1, 2; 3 [señ lando la unta supe ior izquier a del cua ro], 4 [señalando la unta superior derecha], 5 [señalando la punta del medio], 6 señalando la punta de abajo], »). Mie tras hacen sus ejerci ios de arit ética en clase, algu os niños miran much el reloj (por razones distinta a saber c ánto falta para el recreo). El rel j proporci na un odelo par contar (p r ejemplo, 2 + 4: «1, 2; 3 [mira ndo el 1 d la esfera , 4 [mir ndo el 2 d la esfera], 5 [mirand el 3 de la esfera], 6 [ irando el de la esf ra] - 6» . Otros ni os hasta pueden llegar a crear un mod lo mental para lleva la cue ta. Por ej mplo, par a 2 + 4 u niño puede imaginar cuatro untos en las esq inas de una caja y co tarlas «3, 4, 5, 6» mi ntras «se ala» o «mi ra" los puntos ima inarios. L s procedi ientos b sados en estos mo elos «qu se tiene a man » pueden ser la bas para la in ención de procedimi ntos efica es de cálculo men al (Fuson, 1982). A emás, este control ermite a los niños legir de anera int ligente e tre proc dimientos informales de adición (Siegler y obinson, 1982). Kath , una niña de quince años de edad con n CI de 4 , empleab una estrategia de p utas digita les para problemas como 2 + 3, 4 + 2 y 5 + 4. Cu ndo se encontraba con proble as como 2 + 8 ó 6 + 3, recon cía inmediatamente los límites e su estrategia digita l y, sin que se le dijera nada, pasaba a calcular l respuest con bloques (volví al empl o de un rocedimie to CC). A emás, cu ndo se le presentaban proble as como 1 + 2 y 3 1 (combi aciones q e, según pruebas realizadas de antemano, ya sabíamos que conocía), K thy no co tinuaba e pleando procedimie tos concretos mecánicamente (persever ción), sin que res ondía de manera a tomática. sí pues, parece ser que inclu o niños c n deficien ias mentales importa tes controlan su ej cución ari mética y muestran flexibilidad a la hora de elegir proc dimientos de cálculo. Pr ocedimie tos mentales C n el tiempo, los niños aban onan espontáneam nte los p ocedimientos conc etos e in entan procedimient s mentales para c lcular su as (Groe y Resnick, 1977). El procedimiento m s básico e adición mental es contarlo t do emp zando por el primer sumando ( TP) (por ejemplo, 2 + 4: «1, 2; 3 [es uno m s], 4 [son dos más], 5 [son tr es más], [son cuatro más] - ») (Baroo y, 1984a, en pren a; Baroody y Gann n, 1984). La técnic CTP es una invención bastante sofisticada porque no refle a directa ente el pr ceso concreto y global de cont rlo todo comporta la enumer ación del segundo su ando a medida que el niño cue nta a pa tir del pri ero (un p oceso de control si ultáneo) (Baroody y Ginsburg, en pren a; Carpenter y Moser , 1983).

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Ll var la cue nta. Este proceso de llevar la cu enta hace que el cálc ulo mental de

problemas con términos di tintos de 1» sea m s difícil que el de problemas en los que no de los érminos e «l». Para calcular N + 1 ó 1 + , un niño ólo tiene ue cont r hasta N decir el n mero que le sigue en la serie n mérica (por ejemplo, 1 + 4: «1, 2, 3, 4; [ uno más son] 5»). on proble as sin «l , el niño debe continuar cont ndo más allá de N un número d terminado de veces. n cálculo mental exacto de pr oblemas sin «l» exige métodos reviamente planifica os para llevar la cue ta. Esto es lo que i pedía a Aaron calcular con éxito problem s sin «1» principios de curs . Con el ti mpo, Aaron ideó esp ntáneamente métod s para lle ar la cuenta. S bre todo al rrincipio, l s niños usan objetos concretos para llevar la cuenta, el empl o de los dedos es u o de los m étodos favoritos (por ejemplo, 2 + 4: <<1, ; 3 [un dedo exten ido es un más], 4 [dos dedo extendid s son dos más], 5 [t res dedos extendid s son tres más], 6 [c atro dedo extendid s son cuatro más] - »). Si un niño pued reconoce automáticamente pa tas digital s, el procedimiento p ara lleva la cuenta requiere poca atención y pued ejecutarse con gra eficacia. or ejem lo, para 2 + 4, en cu nto ha em ezado el roceso de contar el niño se limit a a ir contando hasta que «sie te» la exte nsión del cuarto dedo. Conocer la pauta dig ital para el cuatro dice el niño uándo tie e que det nerse. Con el tiemp , los niños pasan de ontar objetos a conta cosas me os concretas para llevar la cu nta (Steff et al., 1983). En realidad, los ni os emplean una vari da gama de medi s (por ejemplo, véase Fuson, 1982). Al unos niñ s van da do golpecitos con l s dedos o el lápiz cuando cuen an. Hasta pueden llegar a expl tar pautas como «t c-tac-tac-tac» es cuatro (por ej mplo, 2 + : «1,2; 3, [tactac]; , 6 [tac-t c] - 6»). Los niños t mbién pu den llevar la cuenta on otra c enta verb l o subv cal: una d ble cuent (por ejemplo, 2 + 4: 1,2; 3 es no más, 4 son dos más, 5 son tres más, 6 son cuat o más»). uando los niños está muy familiarizados on la ser ie numéric , este pro eso de do le cuenta puede lleg r a ser extremadamente auto ático y re lizarse mentalmente. In ención de atajos. Contar a p artir del p rimer sumando (CC ) abrevia el

procedimiento TP al empezar desd el términ cardinal correspondiente al pri er sumando (por ejemplo, 2 + 4: «2; 3 [+ 1], 4 [+ 2], 5 [+ 3, 6 [ 4] - 6»), p ero no red ce el nú ero de pasos neces rios para l procedimiento de llevar la cue ta (Baroody y Ganon, 1984). anto el pr cedimiento CTP co o el CPP implican un proceso de cuatr pasos para llevar la cuenta. Como el pr cedimient CPP no horra mu ho esfuerzo, es ra o que los niños lo i nventen y lo empleen (Barood , en prensa; Baro dy y Gins urg, en pr nsa). Ll var la cue ta es muy xigente e el plano c gnoscitivo y se pued aligerar si se empi za por el término mayor. Una e trategia q e permite hacerlo es contarlo t do

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empezando por el término mayor (C M) (Baroo y, 1984a). El métod CTM impl ica contar hasta el cardinal d l número mayor a partir de 1 luego se uir conta do mientras se enumera el tér ino menor (por ejemplo, 2 + 4: «1, 2, 3, 4; 5 [+ 1],6 [ 2] - 6»). Nótese que, al empe ar por el t rmino ma or, el proceso para ll var la cuenta en 2 4 se red ce de cuatro a dos p sos. Obs rvese tam ién que el método C M requi re un proceso extra i necesario con el CT : ver cuál de los dos umando s es mayor. Los niños adoptan l CTM por que ver cuál de los s mandos e mayor ya se ha h cho auto ático y e ige un e fuerzo in preciable en compa ación con el proceso de llevar la cuenta. Contar a partir del térmi o mayor ( PM) abre ia el procedimiento CTM ya que se empi za a cont r desde la designación cardinal el término mayor y, por tanto, e el procedimiento i formal de dición mental más e onómico (por ejempl , 2 + 4: « , 5 [+ 1], 6 [+ 2] - 6» . Durante l cálculo, l s niños p eden dars cuenta d que contar el primer sumando es innece ario y bas a con enu ciar el car dinal que l correspo de (Fus n, 1982; esnick y N eches, 1984). Como result do, adopt n el mét do abre iado de empezar con el término ardinal del sumando ayor en v z de cont r a partir de 1. Por tanto, el pr cedimient CTM se bandona n favor del CPM por ue aún ahorra más trabajo. Autocontrol, i ventiva y f lexibilidad. Al igual qu con los p ocedimien os concretos,

el a tocontrol ace que los niños inventen espontáneamente p ocedimientos ment les ayudándoles a s ntir cuándo hace falt a reajustar los métodos existentes. Considérese el jemplo de Casey, u niño de p rvulos (B roody y G nnon, 19 4). En n estra primera entrevista, Casey se basó e xclusivam nte en el rocedimiento CTP. En la segunda, se le presentó el problema 3 + 6 en u a tarjeta. mpezó como de costumbre, c ntando el primer su ando a medida que i a dando g lpecitos e la tarjet : «1, 2, 3 . Esta vez, sin emba rgo, se detuvo y comentó: «Cre que cont ré hasta 6. 1, 2, 3, , 5> 6 [pa sa] 7, 8, 9. » Al parec r, Casey había previsto la dificul ad de q e, para llevar la cue ta con su procedimi nto CTP, hacían falta seis pasos. Para ahorrarse trabajo, ad ptó su método. Emp zó por co tar el sumando may r e inventó un proc dimiento nuevo, CT , de más f ácil ejecución 1. Al ig al que ocurre con l s procedi ientos co cretos de álculo, pa ece que los niños están motiva os por la idea de minimizar su esfuerzo ognoscitiv . 1 P dría parece que si los n iños inventa procedimie tos de adici ón que no d n importancia al orden de los suma dos (CTM o CPM) es qu e comprend n la propiedad conmutativa (por ejem plo, Groen y Resnick, 1977). Sin e bargo, Casey no parecía darse cuen a de que 3 6 y 6 + 3 ran equivalentes y dab n el mismo r esultado. En posteriores ntrevistas, Casey indicó que 6 + 4 y 4 + 6, por ejemplo, darían resultados distintos (Baro dy y Ganno , 1984). Los niños puede sumar núm ros en cualquier orden orque creen que obtendr n una respu sta correcta (aunque no n cesariamen e la misma). Parece qu ciertos facto res no conce ptuales, como el impulso a ahorrar esf erzo mental, así como algunos co ocimientos conceptuale , pueden explicar el desarrollo de procedimie tos inform les de cálculo.

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El auto cont ol también permite los niños escoger e manera flexible e tre diver os procedimientos entales. asey, al i ual que uchos otr os niños ( por ejem lo, Carpe ter y Mos r, 1984), no usaba si temática ente este rocedimiento nuev y más av nzado. Aunque usaba el CTM c on proble as como 2 + 6 = -- , 2 + 8 =__ , y 3 + 6 = _, que comportaba un proceso exigente para lle ar la cue ta, conti uaba em leando el CTP en roblemas como 2 4 = _, q e exigen un procedimiento para llevar l cuenta menos com licado. C) SUSTR CCION IN ORMAL Pr ocedimien tos concr tos to s Para proble as con sustraendo (número menores) mayores que uno, al principio los niñ os emplean modelos concretos que repr sentan dir ectamente su conc pto informal de la sustracción omo «quitar algo» ( or ejempl , Carpent r y Moser», 1982). Este procedimient «extracti o» comporta: a) r presentar el minu ndo (el número may r); b) quitar un númer o de elem ntos igual l sustraendo, y c) contar los elementos r stantes p ra determinar la respuesta. Por ejemplo, 5 - 2 impli aría conta cinco dedos u otros objetos (hacer cinco marcas), contar y retirar dos de los elem ntos (tachar dos de las marcas y, por últi o, contar los elementos (las arcas) restantes: «Tr es.» (Véase la fig. 8. .)

Se e plean 5 bloques, de os o marc s, se quit n dos y se cuenta el esto

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Proc dimiento mentales Retrocontar: na ampliación natur l del cono imiento existente.

Com ocurre c n la adici n, cuand los niños están pr parados abandonan los procedimientos concretos n favor d procedimientos me tales. Un rocedimiento ment l muy usu l es conta regresiva ente o re rocontar, ue tambié parte de na conc pción ext activa de la sustra ción com ocurría con los procedimientos concr etos men ionados anteriormente (Carpe ter y Moser, 1982). Retroco tar implica expresa el minue do, contar hacia atrás tantas u idades como indiqu el sustr endo y d r el últim número ontado como respuesta (por ejemplo, 5 2: empezar desde 5, 4 [quita do una], 3 [quitando os] - la re puesta es «3»). Aun ue retrocontar es na amplIa ión natur l del proc dimiento ental qu emplean los niños para calc lar diferencias N - 1, es más c mplicado n el plano cognoscitivo. Para esolver pr blemas d l tipo N - 1, el niño sólo tiene que saber qué número vi ne antes de otro en la serie nu érica. Co sustraen os mayores, el niño d ebe ser ca az de c ntar haci atrás u número determina o de unidades de de un pu nto espe ífico de la serie num rica. Por t nto, retrocontar com orta un m todo de lle var la cu nta que debe ejecut rse mient as el niño va contando hacia a trás (véas la fig.8. ).

U procedimi ento exige te. El mét do de retr contar pa a la sustracción también

es más difícil para los ni os que lo métodos informale para la adición me tal (Baroody, 1984 ). Con los procedimientos de adición ment l, tanto la suma com el proceso de llev r la cuenta son progr sivos, es decir, se dirigen haci adelante. En

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cambio, retroco tar exige ontar regr esivament , que es ás difícil ara los ni os pequ ños que ontar pro resivamente (Fuson et al., 19 2; Ginsbu g y Baroody, 1983). Además, esta cuenta regresiv , ya difícil de por sí, ebe ejecutarse mientras se ej cuta una cuenta progresiva, e decir, ¡e dirección contraria! La natural za abru adora de este procedimiento puede ay dar a ex licar la fr se que, on frecu ncia tan alarmante, stá en bo a de muc os niños de la prime a enseñanza: «No e gustan ada las restas; son ucho más difíciles q e las sum s» (Stark y y Gelman, 1982). La dificultad del procedimiento de retrocontar está rela ionada con el proble ma del tamaño de l s números. El tamañ del sustr endo es u factor cla e. En el c so de 9 - 2, el proc so de llev r la cuent es relativ mente manejable pu s sólo con sta de dos pasos (« ; 8 [- 1], 7 [- 2] - 7»). En el cas de 9 - 7, in embar o, el proc so de llevar la cue ta es mu difícil por ue const de siete asos («9; 8 [- 1], 7 [- 2], 6 [ - 3], 5 [- 4],4 - 5],3 [- 6],2 [- 7], - 2»). Para 19 - 17, el proceso de ll var la cuenta llega a ser pr ácticamen e imposi le a causa de los diecisiet pasos ue comporta (« 19; 18 [- 1], 17 [- 2], 1 [- 3], ..., 3 [- 16],2 [- 17] - 2» . Además, el tama o del minuendo pu de contri uir a las ificultade de los ni os. Para los niños del ciclo i icial, contar hacia atrás desde 20 suele ser más difícil que de de 10 (Fuson et al., 1982; Ginsburg y aroody, 1983). Por tanto, cua do los ni os se encuentran on proble as cuyos minuend s son ma ores que 0, los que se basa en retro ontar se en forzad s a empl ar una secuencia inversa me os auto ática y familiar.

medida que en sus tareas de sustr cción intervienen números cada vez ma ores, los iños deben aprender o desc brir por s cuenta otros métod s de sustr acción. En realidad, lgunos datos (Woods, Resnic y Groen, 1975) indican que, al rincipio, muchos niñ s emplean un procedimiento de retrocue ta y que, más adel nte, inventan un pro edimiento de cuenta progresi a. Contar progresiv mente se parece al enfoque el «suma do ause te", pero aplicado a l sustracci n (Carpen er y Moser , 1982). Implica partir del sustr endo y contar hacia delante h sta llegar al minuendo, al tiemp que se ll va la cu nta del nú ero de pasos dados (por ejem lo 19 - 17: «17, 18 [es uno], 19 [ on dos] la respue ta es dos,,). Aunque contar pr gresivam nte no ref leja la noción extra tiva infor al que tiene un niño de la sustracción, en determina as circu stancias es cognoscitivamente más fácil q ue contar egresivamente. Cua do el sustraendo s relativa ente grande, com en el c so de 19 - 17, co tar progr esivament reduce normeme te las exigencias d la cuent doble o de cualquier otro p ocedimiento para lle ar la cuenta (dos pa os en contraste con los dieci iete que son necesa ios si se cuenta hacia atrás). uando el inuendo el El desarrollo de procedimientos flexibles.

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sustr endo están relativa ente próximos, com en 9 - 7, contar progresivamente también minimiza el proceso de llevar la cuenta ( os pasos n contrast con los siete nece arios si se cuenta hacia atrás). Sin e bargo; c ando el sustraendo es pequ ño y el inuendo y el sustr en do están relativamente s parados (por ejem lo, 9 - 2) , retrocont r tiene ventaja en cuanto a f cilidad de ejecución (el proceso de llev r la cuent consta d dos pas s, mientras que si s contara rogresi amente harían falta siete). C ando llegan a terc r curso, uchos ni os desc bren esta pauta y ligen el p rocedimiento más e onómico n cada c so (Woods et al., 1 75). D) M LTIPLIC CION INF RMAL C ando a lo niños se les presenta la multi licación por primera vez, muc os ya h n adquiri o una ba e sólida ara comprenderla y calcular roductos. La multi licación puede defi irse como la adición repetida e término iguales ( or ejemplo, 5 x 3 = 5 + 5 + ). Como l multiplic ción se basa en ex eriencias de adici n familiar es para lo niños, la asimilan on rapide . Durante los primeros curs s, los niñ s se enfrentan muc as veces a sumas e dos o más conjuntos igual s como l s siguient s:

Ya han aprendido varios pr cedimient grupos de cuatr . Pueden ontar a int 4 son 4;5,6,7,8 8 +4 son 8;9,10,11,1 + 4 on 8 y 8 + 4 son 12»), o co intervalos y calcular: «4,8; ,10,11,12

s para determinar, p r ejemplo, el total de t res rvalos («4,8,12»), hacer cálculos informales + »), emple r sumas c nocidas(p r ejemplo, «4 binar estos método (por eje plo, contar a ).

Proc dimiento mentales Al principio, los niños e basan n procedi ientos in ormales d contar p ra calcular productos (por ejemplo, Ko ba, 1986 . Como e plicaba u a niña, p ara calcular 3 X 3 te ía que «c ntar tres, t es veces» (Allardice, 1978). La ayoría de los niños que acaban de empe ar a apre der a multi plicar poseen las técnicas de co tar y de llevar las cuentas ne esarias p ra calcula producto mentalmente. Consi eremo la explic ción que aba un niño para c lcular 3 X 3: «Bueno, pues dig e

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primer número t es en voz alta, luego digo los dos números siguientes en voz baja y luego digo el siguiente en v z alta, así : tres [susu rando, 4, ], seis [susurrando, 7, 8], nuev ... » (Allardice, 1978, p. 4). De hecho, el rocedimiento mental e informal de los ni os para la multiplica ión implic ba contar tres veces, incluyendo dos proce os para llevar la cuenta: a) generar la secuencia n mérica; b) llevar la c enta de c da terce número, c) llevar la cuenta de los grupos de tres para deter minar cuá do detener la gen ración de la serie numérica. n procedi iento mental aún ás básico consiste en empez r a contar desde 1 (en vez de empezar esde el v lor cardi al del primer térmi o o multiplicando). Este procedimiento básico y los procesos comp nentes se detallan e la tabla 8. 1. Tabl 8.1. Proc dimiento básico de c lculo ment l para la

ultiplicación emplean o

4 x 3 como eje plo

a)

b)

G nerar números suce ivos a partir de la 1 serie numéri a:

3 4; 5 6 8; 9 10 11 12

Ll var la cuenta de cad cuarto número contado:

34 12341 2 3

c)

Ll var la cue ta del nú ero de grupos de cuatro:

d)

D tener la generaci n de la serie n mérica de pués de c mpletar el tercer gr upo de cu tro y dar el último n úmero c ntado cor o respuesta:

1

1

2

4

3

12

Para hacer que el cálculo mental s a más manejable, los niños suelen crear un conjunto para r presentar el multiplic ando. Par 4 X 3, por ejemplo, el niño pu de empl ar una pauta digital ara representar el 4 , a contin ación, contar esta pauta tres eces. Mediante el e pleo de p utas digita les, el niño elimina la necesidad de lleva la cuenta de cada uarto nú ero conta o. Su ex eriencia i formal pr via puede ayudarle de otras aneras. E concreto, los niños pueden darse cuenta en seguida de que contar a intervalos pu de servir ara la mult iplicación (por ejempl , 5 X 3: «5, 10, 1 »). Contar a interval s es un rocedimie to común para calc lar prod ctos. Los iños también pueden recurrir a su conocimiento formal para abor dar

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la m ltiplicación. Con frec encia, us n su conocimiento d e las sum s dobles (por ejem lo, «4 + 4 = 8») para determinar producto en los que el multipl icador es os (por jemplo, 4 2) o para razonar la respuesta a problem s mayores (por ejem lo, 4 x 3: «4 + 4 so 8, y cuatr o más son 9, 10, 11, 12», o 4 x : «4 + 4 s n 8, es de cir, dos cuatros, 8 8 son 16, es decir, c atro cuatr s»). In ención de atajos. Como ocurre con la adi ión y la s stracción i formales, los

niños hallan e pontánea ente mét dos infor ales para abreviar el cálculo de prod ctos. Incluso los niños con dific ltades de prendizaj pueden v r maneras de empl ar los co ocimiento que ya oseen para ahorrar esfuerzo n el cálc lo. Consideremos l caso de dam, un iño con dificultades e aprendi aje al que se ense ó un procedimiento oncreto p ra multiplicar (por ejemplo, 4 x 3: hacer t res grup s de cuat o bloques y contar todos los bloques). Casi de inm ediato, Adam emp zó a abre iar el pro edimiento concreto. Por ejemplo, para 6 x 3 sacó tres dedo y, en vez de colocar seis bloques junto a ada dedo, sólo aline seis bloq es frent al primer dedo. Co tó la hiler de bloqu s («1, 2, ... ,6») y lu ego contó los espa ios donde deberían aber esta o las otras dos hilera de bloqu s (<<7, 8, ... , 12», 13, 14, ... , 18»). Pro nto empezó a utilizar procedimi ntos ment les. Para X 3, empleó una suma conocida (4 + 4 8) Y se p so a contar a partir d ella (8,9, 10, 11,1 ). Para 5 N, se dio cuenta e seguida d que podía contar a intervalos (de cinco en cinco) ara gener r la respu sta. E)

I PLICACI NES EDUCATIVAS: DIFICUL ADES Y S OLUCION S EN L ARITMETICA INF RMAL

Más no y men os uno C si todos lo s niños qu llegan a l a escuela han tenido experiencias informales sufici ntes para comprender que la adición es un proceso aument tivo y que la sustr cción es un proce o diminutivo. De hecho, Starkey y G lman (19 2) enco traron que casi todos los niños e cuatro años que estudiaron p dían resol er probl mas de tipo N + 1 (con N h sta 5) si enían obj tos concr tos a ma o. Además, muchos niños de cuatro años y la may ría de los de cinco p dían resol er probl mas de ti o 1 + N (con N hast 5). Más aún, cuand empiezan la escuel la mayoría de los niños pos en una soltura sufi iente con las relaciones entre un número dado, el que le pr cede y el que le sig e, para d terminar entalment y con r pidez las umas N + 1 (con N hasta 5) y l s diferencias N - 1 (con N hasta 5) (Fuson et al., 1 82). Cuan o llegan segundo curso, la ayoría de los niños on capa es de gen rar autom ticamente las sumas N + 1 ó 1 N y las diferencia N - 1 p ra valores de N h sta 10. Sin embar o, el aprendizaje f rtuito de los

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conceptos aritméticos informale básicos y de la técnica de con ar necesarias no pueden darse por sentad s en po laciones especial s, sobr todo SI e trata d niños d ficientes. 1. Asegurar Asegurar el dominio de la técnic del núme o siguient (número nterior) antes de la adición (sustracción) ental de na unidad . Si los niñ s no pued n determi ar

auto áticamente las relaciones entre un númer o dado y el que le si ue (el qu le precede) no podrán deter minar mentalmente con efic cia sumas de tipo + 1(diferencias N 1). En est os casos, la educaci n de apoy deberá c ntrarse e la técni a de contar necesaria, es decir, n emplear mentalme te y con e icacia la s rie numérica para determinar las relaciones entre N y el núme o que le si gue (el qu le precede) (Baro dy, 1984b). La enseñanza de poyo deberá instar a los niño a empl ar la adi ión (sustr acción) c ncreta que se exa ina en l s siguien es secci nes. 2. Estimular l descubri iento de na regla g eneral par el númer siguiente . Si un ni o puede r esolver automáticam nte problemas N + 1 , pero no p uede hacer lo mismo con problemas 1 + N,"' se eben cre r oportunidades par a que pu da desc brir una r gla gener l para el úmero siguiente. Una estrategia consiste en darle una serie e problem s de enun iado verb l de mane a que a un problema + 1 = _ le siga su contrapartida 1 + N = __ (o viceversa). Por ejemplo, s puede hacer que l niño re uelva el problema que se muestra ás adelante y que, a conti uación, re uelva el p oblema B. Cuando el niño haya calculado l problem B, en al unos cas s puede s r adecuado pregunt rle si ha vi sto alguna similitud o diferen ia entre los dos problemas. Sol tiene tres galletas. Su mad e le da otr más. ¿C ántas gall tas tiene n total? B. Tammy tiene una galleta. Su m adre le da tres más. Cuántas galletas tien e en total? A.

Para practic r aún más, se pued n introducir juegos n los que se emple n dado especiales: un «dad de unos» (con un punto en cada una de la s seis caras) y un ado con s lo dos, tre s y cuatro puntos en ada cara. El proceso aleatorio e tirar l s dados h rá que los niños se encuentren on combi aciones 2 1 y 1 + 2, 3 + 1 y 1 + 3 y 4 + 1 y 1 + 4, dándol s muchas oportunid des rara ver que ca a probl ma 1 + N tienen el m ismo resul ado que el problema N + 1 corr spondient .

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Adi Ad i ión 1. Hacer que se adquie a soltura c on los pro edimiento informale de adició n.

Aunque mucho niños apr enden un rocedimiento concreto para calcular sum s antes de llegar la escuel (por ejemplo, Baroo y, en pre sa; Carpe ter y Mos r, 1984; Lindvall e Ibarra, 1979), no puede d rse por sentado que todos l s pree colares hayan desar ollado un rocedimiento CC, s bre todo si se trata e niños desfavorecidos (Ginsburg y R ssell, 1981) o defici ntes. Aunque algun s niños sólo requieren una dos dem stracione para apr nder un p ocedimien o CC, tros tiene dificultad s para do inar esto procedimientos aun después e num rosas demostracione (Baroody, en prensa). La dificultad en el d minio de n proc dimiento C parece star asociada a la d bilidad de técnicas p earitmétic s como la compar ación de números se uidos. Ad más, las eficiencia en técnic s básicas de cont r impedirán que los niños inventen procedimientos de cálculo m s efica es. La in apacidad e compar ar automá icamente dos númer os seguid s dese bocará e la dificult d de adop ar procedi ientos que no den i portancia al orde de los su andos (C M y CPM). Si los niñ s no cono en de ma era autom tica l s relaciones existen es entre n número y el que l e sigue, le s será difí il apre der proce imientos basados en contar a p rtir de uno de los sumandos (C P y CP ). En est s casos, h ce falta tener soltura con las té nicas nec sarias. 2. Emplear n model aument tivo para introducir la adició de man ra signi icativa. L enseñan a de la a ición se uele presentar a lo niños co o la unión de dos conjunt s. Se les enseña n procedimiento C que refleja más directamente la adi ión com la unión de dos c njuntos y no como un proc so aume tativo. Para alguno niños, sobre todo l s de bajo rendimie to, puede ser más útil pres ntar la a ición con un modelo aument tivo, que es psico lógicame te más básico. Es decir, la enseñanza puede mpezar on problemas en los que se añaden uno o d s eleme tos a un conjunto ya exist nte. 3. Empezar con proble mas de números p queños; i troducir p oblemas on números mayor s poco a poco y co cuidado. La enseñ nza inicial de la adic ión

debe ía basars en sum ndos peq eños (del 1 al 5) ue se pu dan man jar fácilmente con étodos co cretos. Esto permite a los niños dominar procedimientos CC e inventar tajos para estos pro edimiento y constr ir una ba e sólida para avan es posteri res. Es mejor introd cir proble as con n meros mayores cua do los niños ya p eden usar con soltura proce imientos concretos con números pequ ños. Esto puede o recer un liciente p ra desarr ollar proc dimientos de cálculo mental aún más oderosos. Sin emb rgo, algu os niños ueden verse abru ados ante problemas más difíciles. Por tan o, la introducción de roblemas on

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números mayor s debe co trolarse c n atenció . 4. Prever la n ecesidad d e un perío o largo pa ra el cálcul o y el desc ubrimiento . Si

a los niños se les da la opo rtunidad d emplear bjetos par a calcular umas, suelen inven ar procedimientos m ntales a su propio ri mo. Por ej emplo, Gr en y Res ick (1977) enseñar n a unos reescolar s un proc dimiento oncreto p ra la adici ón. Desp és de un rolongado período d práctica sin que s les enseñara a cont r a partir de uno d los suma dos, cerc de la mitad de los iños emp zó a usar un procedimiento PM. Muchos niños c n problemas de apr ndizaje y lgunos ni os defici ntes aba donan lo procedimientos co cretos por su cuenta e inventan procedimientos entales de tipo CP . Si embargo, algunos niños, sobre todo los q e tienen problemas, ueden se uir basá dose en p ocedimientos concretos durante mucho tie po. Es importante d r a estos niños la oportunida de construir procedimientos más avan ados por su cuenta porque l s procedi ientos de invención propia tie en más si nificado para ellos. En algunos casos, puede ser útil demostr ar para los niños un rocedimiento CPM. Es probable que este tipo de de ostración sea más e ficaz desp és de que los niños hayan tenido una a plia expe iencia de álculo co objetos. a enseña za verbal directa e el métod menos a ecuado p rque es difícil descri ir un proc so ment l como el CPM y las explicacio es sólo p eden servir para con undir a los niños ( esnick y eches, 1 84). En c alquier ca o, no aco sejo ense ar a cont r a partir de uno de los suman os antes e mediad s del prim r curso. Para facilitar l aprendiz je de procedimientos mentales, el maestro debería cr ear muchas oportunidades par que los niños realiz ran descu rimientos or su cue ta. Una anera interesante de alcanza este objetivo es ju ar a juegos con dados. Cuando los niños se va familiariz ando con las pauta de los ados, suelen enco trar sus p opios mét dos abreviados para determinar la suma e una tirada. • Por e emplo, un niño pued sacar un cuatro (: : y un dos • ). Si el iño recon ce auto áticamente la primer pauta ((Vaya, un cu tro») no n cesita em ezar desde 1 y con ar todos los puntos, y puede limitarse a co tar a partir de 4: «4, 5 [señaland el primer punto del segundo ado], 6 [se ñalando el otro punto] -6». 5. La enseña za de apo o puede t ner que d dicarse ex lícitament e a impartir un procedimiento ara llevar la cuenta. En ocasiones, los niños -sobre todo los ue

tiene problemas y los niñ s de educ ción espe ial- se encallan en el nivel concr eto y par ecen inca aces de adquirir pro edimientos mentale (especial ente de tipo CPM (Baroody, Berent y Packman, 1982; Bl y y Thornton, 1981; Cruickshank, 1948 . En casos extremos, puede ser necesario intervenir directamente para que los niños aprenda procedimientos m ntales. M s concretamente, lgunos ni os pued n necesit r ayuda p ra aprender un proc dimiento e llevar la cuenta. Para ense ar uno de estos proc dimientos, es mejor mpezar c n problemas N + 2 ó 2 +

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N y

+ 3 ó 3 + N. Introducir la idea de llev r la cuen a enseña do al niñ el procedimiento detallado en el caso d Mike y qu e se resume a contin ación: Hacer que el niño s e centre e el suma do menor y haga un conjunto on dedos o loques (por ejemplo, para 4 + 2, levantar dos dedos). B. A continuación, hac r que el niño cuente asta el valor cardinal del suma do mayor (« , 2, 3, 4»). C. Continua entonces contando l conjunto más pequ ño hecho anteriormente («5 es uno más; 6 s n dos má - seis»). A.

6. Estimular l aprendiz je y el em leo de mé odos efica ces para ll var la cue ta.

El re onocimie to automático de pautas pued facilitar l levar la c enta. Deberá estimularse a l s niños a que empl en y compartan su métodos para lleva la cuenta. A los ni os que no hayan do inado técnicas de r conocimiento de pau tas como las pautas digitales hasta 10, se les de erá estimular para ue llegue a domi arlas. La eficacia el cálculo mental d los niños suele b jar cuand el segu do sumando de los problemas es mayor que cinco. Como es ifícil llevar la cuenta on preci ión, los niños suelen calcular al estos problemas. Si recurre a empleo de pautas digitales, el cálculo uede ser ás exacto pero es m y lento. Los niños de en dejar el lápiz, co ntar, volve a tomar el lápiz y an tar la suma. Fuson (1985) prop ne el e pleo de las pautas digitales Chisenbop p ra que se puedan r presentar los números del 1 al 9 con la mano que n se emple para escribir, dejand la otra m no libre ara anota (véase la fig. 8.4). E te método permite a los niños ll var la cuenta de sumandos mayores de na maner a natural, mparejan o nombres sucesivos de números con pautas digital es. Al unos niño lentos tie den a olvidar el valo del segundo sumando y, por ta to, pierd n la cuenta y no sab n cuándo deben par r de contar. En estos casos, Fu on (com nicación ersonal, 8 de julio de 1986) ha visto ue es útil introducir un procedimiento i termedio antes de pr cticar el pr ocedimiento descrito nteriorme te. Este procedimi nto intermedio impli a crear u medio auxiliar par la memoria: representar el egundo s mando con una pauta digital n la mano que escribe. Ento ces, el niñ emplea l mano que no escribe para añadir el segun o sumand al primero como e describió antes. uando la pautas igitales d cada m no coinciden, el niño para de ontar.

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7. La enseña nza de ap yo de pro edimiento CPM de erá centra se, en pri er lugar, en las téc nicas básic as necesa rias. Algun s niños p rsisten en contarlo todo,

tanto si lo hace mentalm nte como si lo hacen concretamente. El CPM es una ampliación de la regl para calcular problemas N comprobar que los niños puedan realizar automáticamente cálculos proseguir con in entos de cultivar el p ocedimien o CPM pa a problem

rocedimiento 1. Se d be + 1 antes de s N + M, on

M m yor de 1. A difere cia de lo problemas N + 1, los probl mas N M requieren llev r la cuenta. Si l s niños lo cuent n todo entalme te (empleando lo procedi ientos C P o CTM), ya poseen este requisito pre io. Si los niños siguen usando proc dimiento concretos, necesitan apren er cóm llevar la uenta. 8. La enseña za de apo o de proc dimientos CPM deberá centrars e en ayuda r al niño darse cu nta del esf uerzo sup rfluo. Es probable qu la mayorí a de los ni os

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no cuenten esp ntáneamente a parti de uno d los sumandos, porque no se an cuenta de que contar desde uno asta el pr imer sum ndo prod ce el mis mo resultado que simplement enunciar la designa ión cardinal del mis o (Baroody y Gins urg, en pr nsa). En la figura 8.5 e muestra un métod de enseñ nza diseñ do por Secada, Fu on y Hall ( 1983) que suele tene éxito en yudar rápi amente a los niños a ver qu contar el primer su ando de de uno e lo mismo que decir su designación car inal.

Su stracción 1. Asegurar Asegurar

l dominio de las téc icas necesarias par retrocont r. Si un niño

tiene dificultades para cal ular difer ncias con un sustra ndo de dos o más, es posible que tenga problem s para do inar la técnica de ret ocontar. E estos casos, .es i portante comprobar las técnica necesari s para ha erlo. En primer lugar , si los ni os carecen de soltur para calc lar mental ente difer encias de - 1 (el pri er paso en un procedimiento e retrocontar para pr blemas N - M, siend M distinto de 1), no serán capaces de re tar mental ente cua do el minu endo sea dos o más. or tanto, antes de ada

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es necesario qu los niños puedan calcular difer encias N - 1 con efica cia . En segundo lugar, si los niños n saben cómo contar hacia atrás, no pue en ampliar su proc dimiento ental para restas N - 1 Y desar ollar un m todo genuino para retrocontar . Además, retrocontar no sólo implica co tar hacia trás: también hay que hacerlo con soltur . De no se así, la tar a de ejecutar simultá eamente os procesos en dir cciones opuestas p ede ser a rumadora (Baroody, 1983a). Si la retrocuenta no s un proc so mínima mente aut mático, la atención se divide e tre ella y el proceso simultáne de llevar l cuenta d l sustraen o. Esta at nción dividida pued desembocar en un e rror ~ en el proceso d retrocont r, en el proceso de llevar la cu nta o en mbos. As , cuando ontar hacia atrás co stituye un esfuerzo, los niños suelen sal arse algún término (p r ejemplo, 19 - 5: «1 , 18 [- 1], 1 7 [- 2], 16 [- 3], 14 [- 4], 13 [- 5 - 13»). Un niño de segundo curso que tenía dificultades con las mate áticas empezó a res lver 19 - 5 contando acia atrás, pero tuvo ue hacer na paus para pe sar qué enía antes de 16. Corno resultado, se perdió en la retrocuenta: <<19, 18 [una menos], 1 [dos men s], 16 [tre menos], sto... , est ... , 15 [esto ... tre menos], 14 [cuatro enos], 13 [cinco menos] - 13». Corno co tar hacia atrás le c staba bastante, Ada , un niño de quinto urso con ificultades de aprendizaje, se erdió en l s dos cue tas cuand intentaba calcular 19 - 5: <<19, 18, 17, 1 , esto..., esto..., 17, 1 8, 19,20, 2 1». Si un niño e incapaz e contar egresivamente o de hacerlo c n soltura, la ense anza de poyo debe centrarse en esta técnica infor mal para contar. Cor o para los niños del ciclo inic ial contar acia atrás desde 20 uele ser más difícil q e hace lo desde 10, los que mplean e te tipo de strategia ueden no xperimentar dificultades de aprendizaj inmediat s y empe ar a sufri las cuand sus tare s de s stracción incluyen inuendos entre 10 20 (o m s). En estos casos, la ense anza de apoyo eberá c ntrarse specífica ente en contar r egresi amente entre 20 y 10. Mientras ret ocontar n llegue a ser algo utomático, se pued instar a los niños a practicar su pro edimiento informal con una lista numé ica. Algu os niños descubren que el r eloj de la clase es un instru ento útil ara calcular. Medi nte el empleo de una lista nu érica, el niño se ve liberado de la carga ue supo e genera la difícil s ecuencia i versa y puede concentrar su tención e el proc so de llev r la cuent (véase l fig. 8.6). uando lo niños est n llegando a domi ar la técnica de retr contar, n se les d be impedir el emple de modelos conc etos. Más bien debería anim rseles a emplear su estrategia extractiva. Tam ién se le puede instar a qu continúe ejercitándose en l dominio de combinaciones N-1. 2. Estimular rocesos eficaces pa a llevar la cuenta. A nque la in capacidad de

contar hacia atr s con efic cia puede socavar l s proceso simultáneos requeri os

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para retrocontar, hay otr s factores que pu den impedir o imp sibilitar este procedimiento t n exigent en el asp ecto cogn scitivo. P ra retroco tar, los ni os debe ser cons ientes de la necesid d de lleva la cuenta del númer de unida es que eben contar hacia atrás y pla ificar previamente algún medio para hac rlo (Steff e et al., 1983). Como algunos niños no pi nsan en ll var la cuenta, no sa en cuán o deben d tenerse y, en consecuencia, o siguen cont ndo hasta que agota la secu ncia inver a o tienden a respo der incorr ctamente (Fuson et al., 1982). En realidad, Carpe ter y Mos r (1982) e contraron que sólo l mitad de la muestra de niños de prim r curso ue estudi ron podí contar acia atrá un número espe ificado de unidades , como re ultado, no solía emplear un pro edimiento de retro uenta. La enseñanza de apo o puede empezar aciendo ue los ni os cuenten hacia atrás un número específico de uni ades. Se uede emp zar conta do hacia atrás una o dos uni dades e i aumenta do la dificultad paul tinamente. A conti uación se debe señalar explícitamente la necesidad de llevar la c uenta cua do se calcula y la anera de acerlo. (P ede hacer se con mo elos conc etos como se muestra en la fi . 8.6).

Aun despué de apre der un pr ocedimiento para ll var la cu nta, algu os niños se ven obligados a espachar rápidame te el proc dimiento e retrocontar (con frecuencia, para evitar el estigma de co tar). Esta prisa puede dar como resultado perder la cuenta de uno de los proce os de contar simultáneos o de los dos. En estos asos, debe hacerse compren er al niño que retro ontar es na estra egia inteligente y normal y que la pre isión es tan import nte como la velocidad. Otro error frecuente consi te en empezar el pr ceso de ll var la cuenta

demasiado pron o con la d signación ardinal del minuendo (por ejem lo, 17 - 3: 17

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[- 1],16 [- 2], 15 - 3] - 15»). Este error produce u a pauta q e se dete ta fácilme te: la respuesta del niño suele ener una nidad más que la res uesta corr cta. En estos caso , se puede demostrar al niño la strategia e retrocontar, recalc ndole que «el proceso de contar» no em ieza desd el númer mayor (minuendo). de esc ger con flexibilidad el 3. Estimular el des rrollo de contar procedimiento e cálculo más efica . Si los n iños se b san exclusivamente en

retrocontar, pueden ser pr cisos con problema pequeño pero no con proble as grandes. A medida que las tareas implican números mayor s, la cuenta regresiva se hace más larga y más pro live al err r. Por tant , podría ser útil esti ular al niñ o a aprender un procedimiento de cuenta progresiv y emplearlo cuando sea más f ácil de usar que el rocedimie to regresi o. En el jemplo 8.1 se descri e un mét do para introducir n procedi iento par contar pr ogresivam nte. A los niños que ya han escubierto algún pro edimiento de este ti o se les uede esti ular a qu lo discu an y examinen las sit aciones donde lo en uentran más útil. Los niños pue en bene iciarse de una ense anza explícita de la relación existente e tre la cuenta progr siva y la r egresiva. in embargo, se debe tener en cuenta que algunos ni os pued n no capt r este pro edimiento porque no coincide c on su noción informa de «quit r». En est s casos, es mejor no insistir. Hacerlo sólo onfundiría al niño y é te, a su ebido tiempo, ya descubrirá la strategia por su cuenta. Ejemplo: 8.1 E señar a ontar pro resivame nte: actividad con u a balanz

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Ni el II: Usar una lista numérica omo soporte semiconcreto. Casi siempre es mejor hacerlo cuando el niño ya ha domi ado el p ocedimiento de co tar progr sivament mediante objetos c ncretos. Inicialment , el niño uede colocar otro eso en v rios punto a lo largo del lado más liviano. Llegado el mome to, debe á instarse al niño a c ntar simpl mente de 3 a 9 en la lista numé rica.

Nivel III: Usar números con pesos distintos para stimular el procedimi nto de co tar progr sivament . Cuando el niño ha colocado la respuesta, hacer que cuelgu el número corresp ndiente a la respuesta en el lad o más livia no.

Actividad optati a para pro undizar m s: nótese que, para los tres niv les, los ni os pued n practicar la realización de es imaciones o cálculos aproxima os que lu go pued n comprobar mediante el cál ulo. Pueden determinar la pr cisión de su previ ión calcul ndo la dif rencia entre ella y l respuest calculada. Si anota la preci ión de sus previsiones para un roblema, ueden ob ervar los ambios de su preci ión con el tiempo.

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Multi licación 1. E poner ex lícitament la conex ión existe te entre l a multiplicación y la adici n repetid . Las difi ultades c n la mult iplicación básica su len darse

porq e los niños no ve la cone xión entre esta nu va opera ión y su cono imiento existente. A eces, la e señanza e apoyo c nsiste, si plemente, en a udar al ni o a establecer esta onexión. onsidérese el caso e Ken, un niño e tercer curso asign do a la cl se especial de mate máticas porque tenía dificultades de prendizaje (Baroody, 1986). La maestra que tenía K n en esta clase me pidió ue lo exa inara explicándome que no te ía el concepto de la multi licación. uando le resenté v rios probl mas sencillos de multiplicación como 6 X 2 = _ y 3 X 3 = _, en no par cía tener inguna idea de lo qu tenía que hace . Según d cía estab convenci o de que la multiplic ación era emasiado difícil para él. ntonces l demostré un proce imiento p ra contar: 4 X 3 es contar cuatro dedos (sin volver a empezar) tres eces (1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11 1 ). Ken ex lamó: «j aya, así que la multi plicación o es más que eso!» Cuando la multi licación s presentó de una manera infor al, tuvo s ntido para Ken, que en se uida apre dió a calc lar produc os. De he ho, pronto empezó a enco trar mane as de abr viar el pro edimiento que se le abía enseñado. Más adelante, por ej mplo, respondió inm diatament a 7 X 2. uando se l preguntó cómo lo había c lculado, e plicó que abía empleado la co binación onocida 7 + 7 = 14. A eces, las ificultades con la multiplicación tienen raíces más prof ndas y es nece ario empl ar un enfo ue más concreto (Baroody, 198 ). Adam, un niño con verd deras dificultades de aprendizaj , planteaba un reto ucho más grave que Ken. A Adam s le enseñ el mismo procedimiento ment l informal que había tenid éxito con Ken. Sin embarg , este pr cedimiento no hizo más que confundirlo. Ant esto se i tentó otra estrategia concreta ue repres ntaba con mayor claridad la adición repetida e las uni ades. El roblema x 3, por ejem lo, se resolvió colocando tres grupos de cuatro bl ques y c ntándolos todos. 2. Estimula explícit mente c ntar a intervalos, sobre t do para combinaciones randes y difíciles de alcular. Normalmente, los niños ultiplican

núm ros pequ ños (hast 5 X 5) con poca dificultad, pero su len tener dificultades con problema en los que intervi nen los números 6 a 9. Para probl mas con úmeros pequeños, p eden hacer una paut digital co los dedos de u a mano p ra repres ntar el m ltiplicando y emplear los dedos de la otra para llevar la cu nta del nú ero de veces que se ha contad el multipli ando (por ejem lo, para 4 x 3, levant r cuatro d dos de la ano izqui rda y llevar la cuenta

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de la tres veces con los dedos de la mano der cha). Para problema mayores, como 6 X 5 ó 5 6, no hay dedos sufi ientes par a este procedimiento e cálculo. Para solventar esta di icultad, ynroth (1 69-1980) propone n método vertical para lle ar la cuenta. Para 7 6, si un n iño elige contar grup s de siete saca siete dedos y los cuenta. Cuan o acaba, nota un 7 en una hoj de papel paut do. Se vu lven a contar los siet dedos (a partir de «ocho») y s anota 14 en el papel pa tado. El roceso c ntinúa ha ta que el niño ha echo seis anot ciones, co o se muestra a continuación:

Para algunos niños pue e ser útil tiquetar el multiplica do y el m ltiplicador. Wynr oth (1969-1980) propone que, ara empe ar, el niño debe ano ar r rodear con n círculo l multiplic ndo (el número a contar). En e ejemplo anterior, se hubiera colocado un 7 rod ado por u círculo e la parte s perior de la columna antes de que l niño em ezara a ontar. Ad más, pue e ser útil tener una prim ra column que especifique el ultiplicador. En el ej mplo ante ior, podría habe se coloca o una colu na con lo números del 1 al 6 a la izquierd de la otra colu na. El em leo de una sola colu na en el p ocedimiento descrito e ilustrado en el párrafo anterior puede producir menos co fusión en algunos niños, sobre todo i necesita educació especial. Este método vertical para llevar la cuenta tiene arias virtudes. Si los niños pier en la cu nta al calc ular, simpl mente pu den conta hacia arri a el núme o de entra as que ayan hec o (y seguir contando a partir d aquí). A emás, los niños pue en volver a utilizar las anotaci nes. Para problemas con un multiplicando enor como 7 X 4 = _, un niño sólo tiene que ir con ando haci atrás en la columna de los sie tes hast la cuarta entrada y encontrar ue la res uesta ya stá anota a allí. Nót se que ste métod vertical p ra llevar l cuenta e coherente con la ten encia nat ral de los niños a c ontar a intervalos. Pa a problem s con un ultiplicador mayor como 7 X 7 = _, los ni os pueden ir hacia a ajo en la c olumna de los sietes asta la última entrada (la sexta) y conta siete má a partir d ahí (y hacer una n eva entra a). Eventualmente, los niño pueden tener un registro ompleto e todas las com inaciones básicas de la multipli ación.

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F)

ESUMEN

A tes de d minar las combinaciones numéricas bá icas, los iños pue en apoy rse en p ocedimientos de cá lculo bas dos en contar que, al princi io, requi ren objet s concret s como l s dedos o bloques. Normalme te, los ni os tiend n de man ra natural emplear rocedimientos de co tar orales o mentales en el cálculo. Tam ién apren en en se uida a e plear su onocimiento de la s rie numérica para r sponder con eficaci a proble as de tipo N + 1 = _ N - 1 = _. La comprensión inf ormal que tienen los niños de l aritmétic guía su construcción o invención de p ocedimien os de cál ulo concr etos y mentales. Como los ni os contemplan la a ición com añadir m s a algo, l s problem s conmut dos como 5 + 1 y 1 5 ó 3 + 5 y 5 + 3, se ven como roblemas distintos. omo resultado, los ni os pued n sentirse obligados calcular l suma de 1 + 5 aun c uando sepan que 5 + 1 = 6. Lo niños de cubren pr nto que 1 + N y N + producen la misma uma y qu la efica regla del número siguiente a otro dado s aplica po igual a 1 N y a N 1. Llegado el momento, los iños apre den que l orden de los suma dos tamp co altera el resulta o de los problemas + M (por ejemplo, . 3 + 5 = 5+ 3). El cálculo ment l es cogn scitivamente exigent porque los niños de en tener presente hasta cuán o deben contar cuan o cuentan. Por tanto , cuanto m yores sean los térmi os que i tervengan en un problema más omplicad será el pr cedimient para llevar la cuenta, y para lo s niños es n verdadero aliciente inventar nuevos procedimientos de cálculo que minimicen este trabajo m ntal. Así p es, tanto los factores conceptu les como los no conceptuales esempeñ n su papel en el des rrollo de procedimientos infor ales de cálculo. Las dificultad s con el álculo inf rmal pueden producirse porque las técnicas para c ntar o par a llevar la uenta que interviene en el mis mo no son adecuadas ni eficac es.

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Baroody Arthur - Matematica Informal

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