V BAB V I N T E G R A L D A N V O L U M E BENDA B E N D A PUTAR P U T A R INTEGRAL DAN VOLUME B A B
m b a n g n y a A. Pengertian Integral danL aambangnya e n g i n t e g r a l a n m emeru rp u apkaaknaonp oepr ea rs ai si n i iinvers v ne vr es r ds a ddari r ai p r ie pnpendiferensialan. ed ni d f ei fr ee rn es ni a s il a ln a. n . 1. aa.. PPengintegralan pakan operasi b . SSuatu u a t u ff u u n n g g ss ii F F ,,F,ss eese de d emikian m i k i a n sehingga s e h i n g g a F \ u 2 0 1 9 ( x ) == f(x) untuk d semua a la m F\u2019(x) x b. fungsi alam w i l a y a h n y a ((rangen r a n g e ya), n wilayahnya dinamakan fungsi antiturunan f.
c. D itulis: c. Ditulis: Dalam hal ini C din amakan konstanta pengintegralan, f(x ) d f(x) diinamakan integrand dan F\u2019(x) = f(x) t a ktak tentu. Ada banyak h a s il dinamakan integral hasil pengi integralan itu (nilai C dapat dipilih dari setiap angan bil re a l) real) d in a m a k a n in te g ra l
i k a ff(x) (x ) = a k a 2. JJika =x x, m, maka n
n
B. Integral Tertentu, Luasd an Volum a n V o lu m i s a l k a n f u n g s i f tfe terde r d finisi e 1. MMisalkan fungsi dalam interval tertutup [a,b] atau I n t e g r a l t tertentu e rte n tu f f d dari aa r i ke b dilambangkan Integral d e n g a n dinyatakandengan d in y a ta k a n
2. = FF(b) ( b ) \u2013 F ( a) a ) = \u2013 F( k urva u rv a 3. Luas daerah di bawah a.
n t e g r a l t etertentu rte n tu Dengan iintegral
D e n g a n
= = FF(b) (b )
38\u25b2 \ u 2 5 b 2 Aplikom 3
F(a)
F (a )
\u2013
\u2013
Jurusan Pendidikan Matematika UMPA R R
39
Bab 6. Integral & Volume Benda Putar
b. = FF(a) (a ) = a ta u atau
F(b)
F (b )
\u2013
\u2013
( b ) \u2013 \ \u2013 uF (2a )0 1 3 F(a) = FF(b)
= u a d kkurva u rv a 4. .Luas daerah diantara ua
dan D e n g a n i integral n t e g r a l t etertentu rte n tu Dengan
( b ) \u2013 F ( a ) = FF(b) \u2013 F(a)
=
5. 6. Volume Benda Putar a. Pemutaran mengelil ingi sumbu X
b. Pemutaran mengelil ingi sumbu Y
Aplikom 3 A p lik o m 3
Jurusan Pendidikan Matematika UMPA R R
40
Bab 6. Integral & Volume Benda Putar
Contoh soal 1: 3
1 Diketahui (3x 2 \ue000 2x \ue000 1)dx \ue001 25. Nilai \ue002 a
2
a
=\u2026.
a. \u2013 4 b. \u2013 2 c. \u2013 1 d. 1 e. 2 Penyelesaian: Manual:
= = Setelah difaktorkan diperoleh nilai a = 2. Jadi \u00bd a = 1. Maple: >
Aplikom 3
3 \ue000 ( 3 $ x 2 C 2 $ x C 1 ) dx = 2 5 \ue001a
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR
41
Bab 6. Integral & Volume Benda Putar
39 K a3 K a2 K a = 25 > factor ( % ) ;
K ( a K 3 ) ( a2 C 4 a C 13 ) = 25 > fsolve ( % ) ;
2.
Maple: > restart: > int((3*x^2+2*x+1),x=a..3)=25;
39 K a3 K a2 K a = 25 > factor(%);
K ( a K 3 ) ( a2 C 4 a C 13 ) = 25 > fsolve(%);
2
Contoh soal 2: 3 Luas daerah yang dibatasi oleh y = x – 1, sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah … satuan luas. a. 3 d. 3 1 b. c.
4
2 2
e.
3
4
4 3
4
4
Penyelesaian: >
2
K 1
( x 3 K 1 ) dx
3 4 atau: > int((x^3-1),x=-1..2); 3/4
Aplikom 3
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR
42
Bab 6. Integral & Volume Benda Putar
Contoh soal 3: 2 Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = – x + 4 dan y = – 2x + 4 diputar 360 mengelilingi sumbu y adalah … satuan volume. 0
a. b. c.
8
d.
2
e.
13
4
8 3 5 4
Penyelesaian: 2 Gambarlah diagram y = -x + 4, y = -2x +4 untuk mengetahui model kurva yang dibentuk. (Ingat diputar mengelilingi sumbu y ubah persamaan ke-y) > with(plots): > plot([-x^2+4,-2*x+4],x=-3..3,y=-2..5);
> a:=sqrt(y+4);
a :=
yC 4
b :=
1 yC 2 2
> b:=1/2*(y+4);
> 2*Pi*int(b^2-a^2,y=0..4);
80 p 3 Contoh soal 4:
Aplikom 3
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR
43
Bab 6. Integral & Volume Benda Putar
Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum. a. 67 d. 133 2
b. c.
5 107
e.
5 117
5 183 5
5
Penyelesaian: 2 Gambarlah diagram y = x + 1 dan y = x + 3, untuk mengetahui model kurva yang dibentuk. > with(plots): > plot([x^2+1,x+3],x=-2..3,y=0..6);
> a:=x+3;
a := x C 3 > b:=x^2+1;
b := x 2 C 1 > factor(a-b);
K (x C 1) (x K 2)
> fsolve(%); > Pi*int(a^2-b^2,x=-1..2);
-1, 2
117 p 5 Latihan: Aplikom 3
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR
44
Bab 6. Integral & Volume Benda Putar
1. Tentukan nilai C jika 2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan dengan terlebih dahulu membuat grafiknya. 3. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 1
y = 2 x2 , garis y =
1 2
0
x
dan garis x = 4 diputar 360 terhadap sumbu x adalah
….satuan volume. 2 4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 1, 0 x = 1 , sumbu x, dan sumbu y diputar 360 mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum
Aplikom 3
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR
