KALKULUS II VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
KELOMPOK 4 DEWI PUTRI
135500060
BEATRIX DA SILVA FORESIN
135500063
SYARIFAH AINI
135500077
MARLIN H. GAT
135500092
VERONIKA DAIMAN
135500095
YENI IRMAWATI
135500177
ANDIKA KAROMAH DEWI
135500195
UNIVERSITAS PGRI ADI BUANA SURABAYA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2013/B 2015
KATA PENGANTAR Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya. Sehingga kami kelompok 4 selaku penulis dapat menyelesaikan tugas Kalkulus II yaitu Makalah tentang Volume Benda Putar yang Diputar Dengan Sumbu- x Sumbu- x dan dan Sumbu- y. y. Makalah ini disusun menggunakan bahasa yang efektif dan mudah dimengerti serta dipahami. Sehingga diharapkan makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Kami mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang membantu tersusunnya makalah ini. Sebagai penulis, kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran selalu kami harapkan agar makalah ini dapat lebih bermutu dan bermanfaat. Untuk itu kami mengucapkan terima kasih.
Surabaya, 01 Juni 2015
Kelompok 4
DAFTAR ISI Kata Pengantar Pengantar .................................. .................................................. .................................. ................................... .................................. ................................. ................ ii Daftar Isi .................................. .................................................. .................................. ................................... ................................... .................................. ....................... ....... iii Bab I Pendah Pendahuluan uluan ................................. .................................................. .................................. .................................. ................................... ............................ .......... 1 1.1
Latar Belakang Belakang................................. ................................................. .................................. .................................. ................................. ................. 1
1.2
Batasan Batasan Masalah Masalah ................................. ................................................. .................................. ................................... .............................. ............. 1
1.3
Rumusan Rumusan Masalah Masalah ................................. .................................................. ................................... ................................... ........................... .......... 1
1.4
Tujuan Dan Manfaat ................... .......... .................. .................. ................... ................... .................. .................. ................... ................. ....... 2
Bab II Pembahasan....... Pembahasan........................ ................................... .................................. .................................. ................................... .................................. ................... .. 3 2.1
2.2
2.3
Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Menggunakan Metode Metode Cakram Cakram .................. ........ .............. .... 3 2.1.1
Diputar Terhadap Sumbu-x Sumbu -x ................................. ..................................................................... ........................................... ....... 3
2.1.2
Diputar Terhadap Sumbu- y ................................. ..................................................................... ........................................... ....... 5
Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Menggunakan Metode Metode Cincin Cincin .................. ......... ............... ...... 7 2.2.1
Diputar Terhadap Sumbu- x ................................. ..................................................................... ........................................... ....... 7
2.2.2
Diputar Terhadap Sumbu- y ................................. ..................................................................... ........................................... ....... 9
Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Menggunakan Metode Kulit Kulit Tabung Tabung ............ ......... ... 12 2.3.1
Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu- y Sumbu- y ....................... 13
2.3.2
Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu -x ....................... 14
2.3.3
Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika .................................................................... ................................... 16 Diputar Mengelilingi Sumbu- y .................................
2.3.4
Menentukan Volume Benda Putar Yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika .................................................................... ................................... 17 Diputar Mengelilingi Sumbu- x .................................
Bab III Penutup Penutup ......................................... .......................................................... .................................. .................................. .................................. ....................... ...... 21 3.1
Kesimpulan Kesimpulan................................... .................................................... .................................. .................................. .................................. ................. 21
Daftar Pustaka Pustaka ................................... ................................................... ................................. .................................. ................................... ................................ .............. 22
BAB I PENDAHULUAN 1.1
LATAR BELAKANG Kalkulus ( bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah
ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan dengan aljabar elementer. e lementer. Kalkulus mempunyai dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Integral adalah kebalikan dari proses diferensial. Integra l ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensial di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Bedanya adalah integral tentu memiliki memiliki batas batas atas dan batas bawah. bawah. Integral Integral tentu biasanya biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar. Dalam mencari volume benda putar kita dapat menggunakan beberapa metode yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung.
1.2
BATASAN MASALAH Penulis membatasi masalah agar pembahasan pe mbahasan makalah yang telah dibuat tidak terlalu
meluas dan fokus pada judul. Dan masalah yang akan dibahas yaitu tentang volume benda putar terhadap sumbu- x x dan sumbu- y. y.
1.3
RUMUSAN MASALAH Berdasarkan latar belakang, berikut beberapa r umusan masalah yang akan kita bahas
pada makalah ini: a.
Bagaimanakah menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x sumbu- x dan sumbu- y menggunakan y menggunakan metode cakram ?
b.
Bagaimanakah menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x sumbu- x dan sumbu- y menggunakan y menggunakan metode cincin ?
c.
Bagaimanakah menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x sumbu- x dan sumbu- y menggunakan y menggunakan metode kulit tabung ?
1.4
TUJUAN DAN MANFAAT
a.
Mengetahui bagaimana menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x dan x dan sumbu- y menggunakan y menggunakan metode cakram.
b.
Mengetahui bagaimana menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x dan x dan sumbu- y menggunakan y menggunakan metode cincin.
c.
Mengetahui bagaimana menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x dan t abung. x dan sumbu- y menggunakan y menggunakan metode kulit tabung.
BAB II PEMBAHASAN Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas tidaklah mengherankan; integral diciptakan untuk keperluan itu. Namun, penggunaan integral berlanjut jauh di luar penerapan itu. Hampir setiap besaran yang dapat dianggap sebagai hasil pemenggalan sesuatu menjadi potongan-potongan yang lebih kecil, penghampiran tiap bagian, penjumlahan dan pengambilan limit apabila tiap potongan mengecil, metode iris, hampiri, dan integrasikan dapat digunakan untuk menentukan volume benda pejal asalkan volume dari setiap potongan mudah dihampiri. Misalkan diketahui suatu benda padat yang diperoleh dengan cara memutar suatu daerah di bidang datar terhadap suatu garis di bidang itu, benda yang diperoleh disebut suatu benda putar . Garis di bidang itu disebut dengan sumbu putar . Sebagai ilustrasi misalkan daerah segitiga diputar mengelilingi salah satu sisinya, daerah yang diputar itu akan menghasilkan kerucut (Gb.1). Demikian pula dengan segi empat siku-siku, jika diputar dengan sumbu putar salah satu sisinya, akan menghasilkan silinder lingkaran tegak (Gb.2). Lihat gambar berikut:
Sumbu putar
Gb. 2
Gb. 1
2.1
MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR MENGGUNAKAN METODE CAKRAM
2.1.1
Diputar Terhadap Sumbu-x
Secara umum, volume benda didefinisikan sebagai luas alas A alas A dikali dikali tinggi h, yakni:
V=A.h
≤ ≤ ≤ ≤
Jika daerah R = { x, y : a
x
b, 0
y
f x , f kontinu kontinu}} , seperti pada Gb.3. Apabila
daerah R diputar terhadap sumbu- x, x, diperoleh suatu benda pejal berbentuk cakram (Gb.4). dan benda putarnya seperti seperti yang nampak nampak pada Gb.5.
y
y = f(x) y
R
∆
a
0
xi
y = f(x)
x
b
Gb.3
0 a
∆
b
x
xi f(xi ) x
Gb.5
Gb.4
Jika elemen luas pada Gb.3 diputar terhadap sumbu x, x, maka akan diperoleh suatu bangun yang mempunyai mempunyai volume. Pada volume benda pejal, V yang dihasilkan dapat didekati dengan mengambil suatu elemen persegi panjang di R yang tegak lurus sumbu putar. Di mana
∆
interval tertutup [a,b] dibagi menjadi n bagian sehingga xi =
lingkaran (Gb.4) berjari-jari f(xi ) dan tebalnya (tingginya) volume,
−.
b a n
∆
Sehingga diperoleh cakram
xi , yang menghasilkan elemen
∆ π ∆ Vi =
f 2 xi
xi
Maka jumlah volumenya adalah n
V=
π ∆ π ∆ π ∆ … π ∆ π ∆ f 2 x1
x1 +
f 2 x2
x2 +
f 2 x3
x3 +
f 2 xn
+
f 2 xi
xn =
xi
i=1
Atau dapat dikatakan, jika daerah R diputar terhadap sumbu- x sumbu- x,, maka nilai hampiran untuk volume benda putar oleh n buah cakram lingkaran yang masing-masing volumenya
∆
Vi , i = 1,2, ... ,n adalah n
V
n
≈ ∆ π ∆ f 2 xi
Vi =
i=1
i=1
xi
Karena fungsi f kontinu pada a, b , maka jumlah riemann untuk V ini mempunyai limit untuk panjang partisi yang menuju nol. Jadi diperoleh n
b
n
→ π ∆ π → ∆ π
V = lim P
0
f 2 xi
xi =
lim
P
i=1
0
f 2 xi
f 2 x dx
xi =
i=1
a
Sehingga dapat disimpulkan, volume benda putar yang terjadi bila daerah R = { x, y : a x b, 0 y f x , f kontinu} kontinu}, diputar terhadap sumbu- x adalah
≤ ≤ ≤ ≤
b
V=
π
f 2 x dx
a
2.1.2
Diputar Terhadap Sumbu-y
≤≤
Jika daerah M = { x, y : a
0
≤ ≤ x
Apabila
y
y
b,
g y , g kontinu kontinu}} , seperti pada Gb.6.
b
daerah M diputar terhadap sumbu- y, y, M
diperoleh suatu benda pejal berbentuk cakram (Gb.7).
dan benda
putarnya
seperti
∆
yang
yi
nampak pada Gb.8.
x = g(y)
a
y
x
0
g(yi )
Gb.6 y
∆
yi b
Gb.7
x = g(y) a
0 Gb.8
x
Jika elemen luas pada Gb.6 diputar terhadap sumbu- y, y, maka akan diperoleh suatu bangun yang mempunyai mempunyai volume. Pada volume benda pejal, V yang yang dihasilkan dapat didekati dengan mengambil suatu elemen persegi panjang di M yang tegak lurus sumbu putar. Di
∆ ∆
mana interval tertutup [a,b] dibagi menjadi n bagian sehingga
− . Sehingga diperoleh
b a
yi =
n
cakram lingkaran berjari-jari g(yi ) dan tebalnya (tingginya) yi , yang menghasilkan elemen volume
∆ π
∆
Vi = g 2 (yi ) yi
Jika daerah M diputar terhadap sumbu y, maka nilai hampiran untuk volume benda
∆
putar oleh n buah buah cakram lingkaran yang masing-masing volumenya n
V
n
≈ ∆ π Vi =
i=1
∆
g 2 (yi ) yi
i=1
Vi , i = 1,2, ... ,n adalah
Karena fungsi f kontinu pada a, b , maka jumlah riemann untuk V ini mempunyai limit untuk panjang partisi yang menuju nol. Jadi diperoleh n
→ π
V = lim P
0
b
n
∆ π →
g 2 (yi ) yi =
i=1
lim
P
0
∆ π
g 2 (yi ) yi =
i=1
g 2 (y) dy
a
Sehingga dapat disimpulkan, volume benda putar yang terjadi bila daerah
≤ ≤ ≤ ≤
M = { x, y : a
y
b, 0
x
y adalah g y , g kontinu kontinu}}, diputar terhadap sumbu- y adalah b
V=
π
g 2 (y) dy
a
Secara keseluruhan dapat kita ketahui metode ini dikatakan metode cakram karena elemen volumenya berbentuk cakram. CONTOH SOAL
Tentukan volume daerah yang di batasi oleh garis y = x + 2, sumbu- x , x , x = 1 dan x = 3 yang diputar mengelilingi sumbu- x sumbu- x?? Penyelesaian : Garis y = x + 2 Untuk x = 0 maka y = 2 Untuk y = 0 maka x = - 2
y=x+2
V= y
=
2
-2
=
0
3
1
=
x
=
-2 =
π π π π b
a
3
1
3
1 1 3
( x + 2 )2 dx
x 2 + 4 x + 4 dx 3
x + 2x + 4x
9+18+12
39 6 2
3
2
− π π – π
= 32
2.2
y 2 dx
1 3
1
+2+4
1 3
satuan volume
3
MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR MENGGUNAKAN METODE CINCIN
2.2.1
Diputar Terhadap Sumbu-x
Misalkan untuk daerah R =
≤ ≤ ≤ ≤ x, y : a
x
b, g x
f x dengan fungsi f dan g
y
kontinu pada a, b , lihat gambar Gb.9. Bila R diputar dengan sumbu putar sumbu- x sumbu- x,, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, di mana bagian tengahnya lubang. Atau dengan kata lain elemen luasnya menghasilkan benda putar berbentuk cincin (Gb.10), sedangkan benda putarnya seperti yang nampak pada Gb.11, sehingga metode ini disebut metode cincin. Di mana untuk menentukan volume benda putarnya, dapat didekati dengan mengembangkan pendekatan metode cakram.
∆
y
y = f(x)
∆
xi
r 2 = f (x i )
f(xi )
−
g(x i )
r1 = g(xi )
R
0
xi
y = g(x)
a
b Gb.9
x
Gb.10
x
y
x
0
Gb.11
Jika elemen luas pada Gb.9 diputar terhadap sumbusumbu- x x,, maka akan menghasilkan benda putar berbentuk cincin (Gb.10), di mana dari gambar tersebut diperoleh jari-jari alas lingkaran luar r2 = f(xi ), dan jari-jari alas lingkaran r1 = g(xi ), serta tebalnya (tingginya)
∆
adalah xi , sehingga menghasilkan elemen volume
∆ π − π − ∆ ≤ ≤ ≤ ≤ → π − ∆ π → − ∆ π → ∆ − → ∆ r2 2
Vi =
r1 2 h =
2
f (xi )
g2 (xi )
xi
Sehingga dapat kita temukan, bahwa volume benda putar yang terjadi bila daerah
R=
x, y : a
x
b, g x
adala h f x , f dan g kontinu kontinu diputar terhadap sumbu x adalah
y
n
V = lim P
0
2
g2 (xi )
xi
2
g2 (xi )
xi
f (xi )
i=1
n
V=
lim
P
0
f (xi )
i=1
n
V=
lim
P
0
n
f 2 (xi ) xi
i=1
lim
P
0
g 2 (xi ) xi
i=1
b
V=
π − 2
f (x)
a
g2 (x) dx
2.2.2
Diputar Terhadap Sumbu-y
Daerah D dibatasi oleh dua kurva, daerah D =
≤ ≤ ≤ ≤ x, y : a
y
b, g y
x
f y
dengan fungsi f dan g kontinu pada a, b , lihat gambar Gb.12. Bila D diputar dengan sumbu putar sumbu- y, y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, di mana bagian tengahnya lubang. Atau dengan kata lain elemen luasnya menghasilkan benda putar berbentuk cincin (Gb.13), sedangkan benda putarnya seperti yang nampak pada Gb.14. y
y
b x = g(y)
∆
f(yi ) yi
∆
D
g(yi ) r1 = g(yi )
yi
x = f(y)
a
−
r2 = f(yi ) x
0 Gb.12
Gb.13
0
x
Gb.14
Jika elemen luas pada Gb.12 diputar terhadap sumbu- y , maka akan menghasilkan benda putar berbentuk cincin (Gb.13), di mana dari gambar tersebut diperoleh jari-jari alas lingkaran luar r2 = f(yi ), dan jari-jari alas lingkaran r1 = g(yi ), serta tebalnya (tingginya)
∆
adalah yi , sehingga menghasilkan elemen volume
∆ π − π − ∆ Vi =
r2 2
r1 2 h =
2
f (yi )
g2 (yi )
yi
Sehingga dapat kita temukan, bahwa volume benda putar yang terjadi bila daerah
D=
≤ ≤ ≤ ≤ x, y : a
y
b, g y
→ π − ∆ π → − ∆ π → ∆ − → ∆
y adalah f y , f dan g kontinu kontinu diputar terhadap sumbu- y adalah
x
n
V = lim P
0
2
g2 (yi )
yi
2
g2 (yi )
yi
f (yi )
i=1
n
V=
lim
P
0
f (yi )
i=1
n
V=
lim
P
n
2
0
f (yi ) xi
lim
P
i=1
0
g2 (yi ) yi
i=1
b
V=
π − 2
g2 (y) dy
f (y)
a
CONTOH SOAL
1)
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan o
y = 4x – 4x – 3 3 diputar 360 mengelilingi sumbu- x adalah….satuan volume adalah….satuan volume Penyelesaian: Misalkany1 = 4x
−
3 dan y2 = x 2
y=x
y = 4x – 4x – 3 3
y
Dalam menggambar kurva pada diagram
9
kartesius yaitu dapat dilakukan dengan menentukan
koordinat
dua
fungsi
terlebih dahulu y1 = 4x x
0
y
-3
−
3 1
2
3
1
5
9
y2 = x 2
x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
9
4
1
0
1
4
9
-2 -1 0 -1 -2 -3
Batas integral adalah perpotongan kedua kurva. Kedua kurva berpotongan jika y1 = y2
4x
x2 (x
1
− − − − 3 = x2
4x + 3 = 0
1) x
3 =0
x = 1 atau x = 3
2 3
Menghitung volume 3
V=
π − π − − π − − π − − π − − − − π − − − − π − − π − π − π (y12
y22 ) dx
1
=
( 4x
16
=
x
3
3
16
=
3
=
66
=
= 12
4
15
(x 2 )2 ) dx
24x + 9
12x + 9x
. 33
48 2 5
x 4 ) dx 1 5
3
x
5
12 . 32 + 9.3 9.3
108 + 27
13
13
2
3
2
144
=
2)
1
3 (16x 2 1
=
=
3
2
5
5
+
1
1 5
243
16
5
3
. 35
+ 12
16 3
9+
. 13
12 . 12 + 9.1 9.1
− 1 5
. 15
1 5
1 3
1 3
11 15
satuan volume
2
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu- y? y? Penyelesaian: Misalkan y1 = x 2 dan y2 = 2x
Dalam menggambar kurva pada diagram kartesius yaitu dapat dilakukan dengan menentukan
koordinat
dua
y
y = x2
y = 2x
fungsi
4
terlebih dahulu
y1 = x 2 x
-2
-1
0
1
2
y
4
1
0
1
4 -2
-1
0 -1
y2 = 2x x
-1
0
1
2
y
-2
0
2
4
-2
1
2
x
Batas integral adalah perpotongan kedua kurva. Kedua kurva berpotongan jika y1 = y2
x 2 = 2x
− −
x2
2x = 0
x x
2 =0
x = 0 atau x = 2
x=0
x=2
y = 2 . 2 = 4
Menentukan volume
V= = = = =
π − d
c
(x12
x22 ) dy
π − π − π − π − −
=
2.3
y = 2 . 0 = 0
4
0
4
0
y
1
2
y
2
8
8 3
1
y
2
1 4
1
12
16 3
2
y
dy
y 2 dy y
3
4 0
0
π
satuan volume
MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR MENGGUNAKAN METODE KULIT TABUNG Telah dibahas menentukan suatu benda putar dengan mengambil elemen luas persegi
panjang yang tegak lurus sumbu putarnya, dan elemen benda berbentuk cakram dan cincin. Metode lain yang dapat digunakan untuk menentukan volume benda yang terbentuk yang diakibatkan oleh suatu daerah R yang diputar terhadap sumbu putar adalah metode kulit tabung. Jika elemen yang diambil persegi panjang yang sejajar dengan sumbu putar. Maka benda yang akan dihasilkan kulit tabung. Untuk banyak persoalan, per soalan, metode ini lebih mudah digunakan ketimbang metode cakram atau metode cincin. Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang sepusat (Gb. 15). Jika jari-jari dalam r1 dan jari-jari luar r2 dan tinggi tabung adalah h, maka volume yang diberikan adalah:
V
π − π π − π − π −
= luas alas . tinggi = = =
r22 h r22
r12 h
r12 h
r2 + r1 r2
= 2
Persamaan
r2 + r1 2
r 2 +r1 2
r1 h
h r2
r
r1
, yang akan kita
tandai dengan r, adalah rata-rata dari r1 dan r2 . Jadi,
V
2.3.1
π −
= 2 . jari
h
jari rata
Gb.15
−
π∆
rata . tinggi .(te .(tebal) = 2 rh r
Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu- y
Misalkan fungsi f(x) ≥ 0 kontinu pada interval [a,b]. Andaikan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva, y = f(x), sumbu- x sumbu- x,, garis x = a, dan garis x = b, pada Gb.16. Apabila daerah R diputar terhadap sumbu- y, y, maka dihasilkan suatu benda pejal, lihat Gb.17. Untuk menghitung volumenya, buatlah elemen berbentuk persegi panjang yang sejajar sumbu putar , sumbu- y. y. Jika elemen ini diputar terhadap sumbu- y maka y maka dihasilkan sel yang berbentuk kulit silinder, Gb.17. y x=a x=b
y = f(x)
r
Sketsa daerah R dan benda putar V
f(x)=h
x
R 0
a
∆
x
Gb.16
x b
y
x
Gb.17 Dari Gb.17, dengan pendekatan volume kulit tabung dihasilkan,
∆ π∆ π ∆
V = rh r = 2 xf(x) x
Dimana x terletak pada a ≤ x ≤ b. Kemudian untuk menghitung volume benda putarnya, ambillah limitnya apabila tebal kulit tabung menuju nol. Sehingga volume benda putarnya diperoleh
π
b
V =2
xf(x) dx
a
2.3.2
Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu -x
Misalkan fungsi g(y) g(y) ≥ 0 kontinu pada interval i nterval [a,b]. Andaikan daerah D dibatasi oleh kurva-kurva, x = g(y), sumbu- y, y, garis y = a, dan garis y = b, pada b, pada Gb.20. Apabila daerah D diputar terhadap sumbu- x, x, maka dihasilkan suatu benda pejal, lihat Gb.21. Untuk menghitung volumenya, buatlah elemen berbentuk persegi panjang yang sejajar sumbu putar, sumbu- x. x. Jika elemen ini diputar terhadap sumbu- x maka x maka dihasilkan sel yang berbentuk kulit silinder, Gb.21.
x = g(y)
y
b
y=b
D g(y)=h
Sketsa daerah D dan benda putar V
∆
y
a
y=r
0
y
y=a x
Gb.20
x
Gb.21
Dari Gb.21, dengan pendekatan volume kulit tabung dihasilkan,
∆ π∆ π ∆
V = rh r = 2 yg(y) y
Dimana x terletak pada a ≤ x ≤ b. kemudian untuk menghitung volume benda putarnya, ambillah limitnya apabila tebal kulit tabung menuju nol. sehingga volume benda putarnya diperoleh
π
b
V =2
a
y g(y) dy
2.3.3
Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y
Misalkan diketahui fungsi f(x) dan g(x) yang kontinu pada interval [a,b], di mana g(x) ≤ f(x). Andaikan daerah R yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x), garis x = a dan x = b, seperti pada Gb.18. y
x=a
x=b f(x)
x=r
h = f(x) – g(x)
R
0
∆
a
x
b
x
y
g(x)
Gb.18
Apabila
daerah
R
diputar
terhadap sumbu- y, y, akan dihasilkan suatu benda pejal. Untuk menentukan volume x
bendanya,
ambil
elemen
persegi panjang pada daerah R yang sejajar sumbu- y. y. Apabila elemen itu diputar
Gb.19
terhadap
sumbu- y, y,
akan
dihasilkan suatu kulit tabung seperti yang nampak pada Gb.19. Karena pengambilan persegi panjang sejajar dengan sumbu putar, maka volume kulit tabungnya sebagai berikut
∆ π ∆ π − ∆ V = rh r = 2 x f x
g(x)
Dimana x terletak pada [a,b]. Jadi,
π − b
V =2
x f x
a
g(x) dx
x
2.3.4
Menentukan Volume Benda Putar Yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x
Rumus volume benda putar di atas dapat dikembangkan apabila dibatasi oleh dua kurva. Misalkan diketahui fungsi f(y) dan g(y) yang kontinu pada interval [a,b], di mana g(y) ≤ f(y). Andaikan daerah D yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y), garis y = a dan y = b, seperti pada Gb.22. h = f(y) – g(y) y
f(y)
g(y) b
y=b
D
∆
y=r a
y
y=a
0
x
Gb.22 Apabila
daerah
D
diputar
terhadap sumbu- x, x, akan dihasilkan suatu benda pejal. Untuk menentukan volume
x
bendanya, ambil elemen empat persegi panjang pada daerah D yang sejajar sumbu- x. x. Apabila elemen itu diputar terhadap sumbu- x, x, akan dihasilkan suatu
Gb.23
kulit tabung seperti yang nampak pada Gb.19.
Karena pengambilan persegi panjang sejajar dengan sumbu putar, maka volume kulit tabungnya sebagai berikut
∆ π ∆ π − ∆ V = rh r = 2 y f y
g(y)
Dimana y terletak pada [a,b]. [a, b]. Jadi,
π − b
V =2
y f y
a
g(y) dx
y
CONTOH SOAL
1)
Tentukan volume benda putar
y
yang dihasilkan apabila daerah
y = 3 + 2x 2x
R pada gambar di samping
3
−
x2
diputar mengelili sumbu- y. 2
1
x
2
1
3
Penyelesaian: Misalkan y = f(x)
π π π π π b
V = 2 = 2 = 2 = 2 = 2
a
3
3
0
2
= 2 = 2
2)
x 2 ) dx
2
2
x + x 3
2
3
3
2
+
x 3 dx
1 4
2 3
x
3
4
3 0
1
3
4
3
3
4
2
0
2
+
2 3
0
3
1 4
0
4
π − − π − − π π π π
= 2
=
− − − − − −
3 x + 2 x2
3
3
= 2
=
x(3 + 2x
0
3
x f(x) f(x) dx
2
27 2
9 +
+
2
3
27
54
81
3
4
162 + 216
1 4
81
0
243
12
135
12 270 12
45 2
satuan volume
Tentukan volume benda putar yang dihasilkan apabila daerah D yang terletak dikuadran pertama dibatasi oleh x = y 3 dan y = x 2 diputar terhadap a)
Sumbu- y
b)
Sumbu- x
Penyelesaian: Menggambar
kurva
pada
diagram
y
kartesius dengan menentukan koordinat dua fungsi terlebih dahulu
1
x=y
3
x = y3
X
-1 0
1
Y
-1 0
1
R
y = x2
y = x2
a)
X
-1 0
1
Y
1
1
0
0
1
Diputar terhadap sumbu- y Diketahui x = y
3
1 3
1 3
π − π − π − π − b
V =2
y = x dan y = x , misalkan f(x) = x dan g x = x 2
2
x f(x)
g(x) dx
a
1
=2
1
x 2 dx
x x3
0
1
=2
4
x 3 dx
x3
0
=2
=2
=2 =2 =
b)
3 7
1
7 x3
4
1
x4
0
π − − π − − π π
5
14
3 7
7
1
(1)3
3
1
7
4
4
(1)4
3 7
7
(0)3
−
1 4
(0)4
0
5
28
satuan volume
Diputar terhadap sumbu- x Diketahui y = x 2
1
1
x = y 2 dan x = y 3 , misalkan f (y) = y 2 dan g(y) = y 3
x
π − π − π − π − π − − − b
V =2
y f(y)
g(y) dy
a
1
=2
1 y2
y
y 3 dy
0
1
=2
3
y 4 dy
y2
0
2
=2 =2
=2 =2 =
5
1
5 y2
5
5 2 (1)2 5
1
y
5
0
1 5 (1) 5
π − − π π
2 5
2
1
5
5
0
1 5
satuan volume
5 2 (1)2 5
1 5 (1) 5
BAB III PENUTUP 3.1
KESIMPULAN Dalam menentukan volume benda putar yang diputar terhadap sumbu- x sumbu- x dan
sumbu- y dapat digunakan 3 metode, yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung. Metode cakram digunakan untuk menentukan volume benda putar yang dibatasi oleh satu kurva. Sedangkan metode cincin digunakan untuk menentukan volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva. Di mana dalam metode cakram dan metode cincin, pengambilan piasnya tegak lurus dengan sumbu sumbu putarnya. Metode kulit tabung, merupakan metode yang lebih mudah digunakan untuk menentukan volume benda putar yang dibatasi oleh satu kurva maupun dua kurva. Di mana pengambilan piasnya sejajar dengan sumbu sumbu putarnya.
DAFTAR PUSTAKA Astuti, Anna Yuni, dan Ngapiningsih. 2012. Matematika Program Ilmu Pengetahuan Alam. Klaten: Intan Pariwara. Astuti, Anna Yuni, dkk. 2012. Detik-detik Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 2012/2013 Untuk SMA/MA Program IPA . Klaten: Intan Pariwara. Herynugroho, dkk. 2010. Matematika SMA Kelas XII Program Program IPA. IPA. Yudhistira. http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus Martono, Koko. 1999. Kalkulus 1999. Kalkulus.. Jakarta: Erlangga. Prayudi. 2006. Kalkulus 2006. Kalkulus Fungsi Satu Variabel Variabel . Yogyakarta: Graha Ilmu. Purcell, dll. 2003. Kalkulus 2003. Kalkulus Edisi Kedelapan Jilid 1 Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
