I I
X
S
A
L
E
K
MATEMATIKA
-
K U LU K U R I U M
i s e S
06
INTEGRAL VOLUME A.
BENDA-BENDA YANG MEMILI MEMILIKI KI SUMBU PUTAR
Aplikasi integral berikutnya adalah menentukan volume benda yang memiliki sumbu putar. Contoh bendanya adalah tabung, kerucut, dan bola. Hanya saja pembahasan akan lebih luas lagi, yaitu meliputi semua benda-benda yang memiliki m emiliki sumbu putar. Perhatikan gambar berikut ini!
Volume benda-benda tersebut tidak dapat dihitung dengan cara rumus sebagaimana tabung, kerucut, atau bola. Volume benda-benda tersebut dapat dihitung dengan mudah menggunakan integral. Setiap benda putar memiliki bentuk sisi sisi lengkung yang simetris. simetris. Setiap sisi lengkung tersebut dapat dinyatakan atau didekati dengan suatu fungsi pada bidang kartesius. Fungsi-fungsi tersebut akan membentuk daerah yang ak an diputar pada suatu sumbu putar, biasanya sumbu-x atau sumbu-y.
B.
BENDA-BENDA YANG MEMILI MEMILIKI KI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-X
Suatu daerah yang diputar terhadap sumbu-x akan membentuk benda yang memiliki sumbu putar di sumbu-x. Untuk menghitung volume benda tersebut perhatikan ilustrasi berikut:
1
G A B U N
G
A N
y y = f(x) y
) ( x ) f ( y =
x=a x=b a a
x
b
x
b
b
∫
V = π f ( x )2 dx dx a
Untuk menghitung volume benda berongga perhatikan ilustrasi berikut: y
y
f(( xx ) y = f
y = f(x) y = g(x)
) y = g ( x a
b
x
a
x
b
b
∫ f(x)
V=π
2
a
− g( x )2 dx
CONTOH SOAL 1.
Perhatikan gambar berikut!
Bila daerah di samping diputar terhadap sumbu x sebesar 360°. Maka besar volume benda putarnya y=3
adalah .... 3
5
2
x
Jawab:
Bentuk benda hasil putarannya y = f(x) = 3
5
∫
V = π f(x)2 dx 0
5
5
x
∫
2
V = π ( 3 ) dx 0 5
∫
V = π 9 dx 0
5
V = π ( 9 x ) 0 V = 45π satuan volume Karena benda putarnya berbentuk tabung, volumenya dapat dihitung juga dengan menggunakan rumus volume tabung. V = πr 2 t
r=3
2
V = π ( 3) ⋅ 5 V = 45π satuan volume
t=5
2.
Perhatikan gambar berikut!
Bila daerah di samping diputar terhadap sumbu
y
x, maka besar volume benda putar yang terjadi adalah ....
Jawab:
x y =
Bentuk benda putarnya x = ) x f ( = y
0
4
V = π ∫ f(x)2 dx 0
4
4
∫
V = π x 2 dx 0
4
1 V = π x3 3 0 V=
64 3
π satuan volume
3
4
x
Karena benda putarnya berbentuk kerucut, maka volumenya juga dapat dihitung pula dengan rumus volume kerucut. V= r=4 t=4
V=
1 3 1
πr2 t π ( 4 )2 ⋅ 4
3 64 V= π satuan volume 3 3.
Volume benda putar dari suatu daerah yang dibatasi oleh y = x + , sumbu x, dan 1 < x < 4, bila diputar terhadap sumbu x sebesar 360° adalah ....
Jawab:
Gambar
+ 1 x = ( x ) f y = y
1 -1
1
4
x
4
∫
V = π f(x)2 dx 1
4
∫
2
V = π ( x + 1) dx 1
4
3 1 V = π ( x + 1) 3 1 125 − 8 V = π 3 3
V=
4.
117 3
π satuan volume
Volume benda putar dari suatu daerah yang dibatasi oleh y = x , sumbu x, dan x = 4 adalah ....
4
Jawab:
Plot titik y = x X
Y
0
0
1
1
4
2
9
3
Gambar y y = f(x) =
2
x
1 1
4
x
4
∫
V = π f(x)2 dx 1
4
2
∫ ( )
V=π
x
dx
1
4
∫
V = π x dx 1
4
1 V = π x2 2 1 V=
5.
15 5 2
π satuan volume
Perhatikan gambar berikut!
Volume benda putar daerah di samping bila diputar terhadap sumbu x sebesar 360° adalah ....
y
y = x2
9
x
5
Jawab:
Gambar y = f(x) = x 2 9
A
y = g(x) = 9
Titik A adalah perpotongan y = x2 dan y = 9, akan dicari absis titik A dengan substitusi y = x2 = 9 x=+3 Maka absis A adalah 3 sehingga 3
∫
V = π ( g(x)2
− f(x)2 ) dx
0 3
∫
V = π ( 81− x 4 ) dx 0
3
1 V = π 81x − x 5 5 0 243 V = π 243 − 5 V= 6.
972 5
π satuan volume
Perhatikan gambar berikut!
Bila daerah di samping diputar terhadap sumbu x sebesar 360°, maka besar volume benda putarnya adalah ....
y
y = x2 y=
x
Jawab:
Bentuk benda hasil putarannya
x
y
x ) = ( f y =
x
y = g(x) = x 2 x
6
Batas atas: y = f(x) =
2 x , Batas bawah: y = g(x) = x
Batas kiri: x = 0, Batas kanan: absis titik potong y = x 2 dan y = x = , yaitu: y=y
= x x4 = x x4 − x = 0 x ( x 3 − 1) = 0 x2
x=0
x=1
Maka 1
∫
V = π ( f(x)2
− g(x)2 ) dx
0
1
∫
V = π ( x )2 − ( x 2 )2 dx 0
1
∫
V = π ( x − x 4 ) dx 0
1
1 1 V = π x2 − x5 5 0 2 V= 7.
3 π satuan volume 10
Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva xy = 1, x = y, x = 1, dan x = 4 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360° adalah ....
Jawab:
Plot titik xy = 1 atau y = X
x
Plot titik x = y atau y = x
Y
1
-2
-
-1
-1
0
+∞
1
1
2
1
2
1 2
7
X
Y
0
0
1
1
Gambar kurva y
1 1
4
x
Batas atas: y = f(x) = x, Batas bawah: y = g(x) = Batas kiri: x = 1, Batas kanan: x = 4.
1 x
.
4
∫
V = π ( f(x)2 − g(x)2 ) dx 1
2 1 2 V = π ∫ x − dx x 1 4
4
∫
V = π ( x 2 − x −2 ) dx 1
4
1 1 V = π x3 + x 1 3 64 1 1 + − + 1 V = π 3 4 3 V=
81 3
π satuan volume π
8.
Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x , y = cos 2x , 0 ≤ x ≤ 6 bila diputar terhadap sumbu x sebesar 360° adalah ....
Jawab:
Plot titik y = sinx
Plot titik y = cos2x
X
Y
X
Y
0
0
0
1
30°
1 2
1
15°
2 1 2
30°
8
3
Gambar kurva y 1
y =
1 2
c o s x
x s i n = y
x 15
30
Batas kiri: x = 0, Batas kanan: x = 30 o. Batas atas: y = f(x) = cosx, Batas bawah: y = g(x) = sinx 30°
∫ ( f(x)
V=π
2
− g(x)2 ) dx
0°
30°
∫ ( cos x − sin x ) dx
V=π
2
2
0°
30°
∫
V = π cos 2x dx 0°
30°
1 V = π sin 2 x 2 0°
1 V = sin 60°π 2 1 V= 3π satuan volume 4 C.
BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-Y
Suatu daerah yang diputar terhadap sumbu-y akan membentuk benda yang memiliki sumbu putar di sumbu-y. Untuk menghitung volume benda tersebut perhatikan ilustrasi berikut: y
x = f(y)
b
a x b
∫
V = π f (y)2 dy a
9
Untuk menghitung volume benda berongga perhatikan ilustrasi berikut: y x = f(y) b
a x x = g(y) b
∫ f(y)
V=π
2
a
− g(y)2 dy
CONTOH SOAL 1.
Perhatikan gambar berikut!
Bila daerah arsiran pada gambar di samping
y
diputar terhadap sumbu y sebesar 360°, maka besar volume benda putarnya adalah ....
Jawab:
y = x → x = y2 Batas kiri: y → x = 0 Batas
kanan:
→ x = f(y ) = y 2,
Batas atas: y = 2, Batas bawah: x → y = 0 Maka 2
∫
V = π f(y)2 dy 0 2
∫
V = π y 4 dy 0
2
1 V = π y5 5 0 V=
32 π satuan volume 5
10
2
y= x
x
2.
Perhatikan gambar berikut! x2 9
+ y2 = 1
2
Daerah di samping diputar 360° mengelilingi sumbu y. Volume benda putar yang terjadi adalah .... satuan volume.
Jawab:
Batas kanan:
x2 9
+ y 2 = 1 → x2 + 9y 2 = 9 → x2 = f (y)2 = 9 − 9y 2
Batas kiri: garis melalui (2, 0) dan titik potong elips dengan sumbu y. Mencari titik potong elips dengan sumbu y (x = 0), yaitu: x2 9
+ y2 = 1 ,
x=0
=1 y = ±1
y2
Maka garis melalui (2, 0) dan (0, 1), yaitu x + 2y = 2
→
x = g(y) = 2 – 2y
Batas bawah: y = 0, Batas atas: y = 1. Maka 1
∫
V = π ( f(y)2 − g( y )2 ) dy 0
1
∫
2
V = π ( 9 − 9 y 2 ) − ( 2 − 2y ) dy 0
1
∫
V = π ( 5 + 8 y − 13y 2 ) dy 0
1
13 V = π 5y + 4 y 2 − y 3 3 0 V= 3.
14 3
π satuan volume
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x , garis x + y = 2 , dan sumbu x diputar satu putaran mengelilingi sumbu y adalah ....
11
Jawab:
Gambar kurva y 2
x + y = 2
y
=
x
x
2
Batas kanan: x + y = 2 atau x = f(y) = 2 – y, Batas kiri: y = x atau x = g(y) = y2 Batas bawah: sumbu x, y = 0, Batas atas: ordinat titik potong y = x dan x + y = 2, yaitu: x=x
=2−y 0 = y2 + y − 2 0 = ( y + 2 ) ( y − 1) y = −2 atau y = 1
y2
Maka 1
∫
V = π ( f ( y )2 − g(y)2 ) dy 0
1
∫
V = π ((2 − y )2 − (y 2 )2 ) dy 0
1
∫
V = π ( 4 − 4 y + y 2 − y 4 ) dy 0
1
1 1 V = π 4 y − 2y 2 + y 3 − y 5 3 5 0 V= D.
32 15
π
satuan volume
BENDA-BENDA PUTAR YANG PUTARANNYA TIDAK SESUAI JENIS FUNGSINYA
Normalnya suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi-x akan diputar terhadap sumbu-x, begitupula suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi-y akan diputar terhadap sumbu-y. Suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi-x bila diputar terhadap sumbu y, volume benda putarnya dapat dihitung dengan 2 cara, yaitu:
12
1.
Mengubah fungsi-x (y = f(x)) menjadi fungsi-y (x = f(y)). Kemudian dikerjakan dengan rumus putaran terhadap sumbu y. Akan tetapi, tidak semua fungsi-x bisa diubah menjadi fungsi-y , seperti fungsi yang tidak satu-satu. Maka untuk mencari volumenya dapat menggunakan cara yang kedua.
2.
Menggunakan metode selimut tabung. Metode ini digunakan untuk menghitung volume benda putar yang jenis fungsi dan sumbu putarnya berbeda. Rumusnya sebagai berikut: b
∫
V = 2π x ( f (x) − g(x) ) dx a
CONTOH SOAL 1.
Perhatikan gambar berikut! y y = (x – 2) 2
y=4–x 2
x
Volume benda putar dari daerah arsiran bila diputar terhadap sumbu y sebesar 360° adalah ....
Jawab:
Karena y = (x – 2)2 bukan fungsi satu-satu maka kita akan gunakan metode selimut tabung. Batas-batas Kiri: y = 0 Kanan: titik potong y = (x – 2) 2 dan y – 4 = x y=y 2
( x − 2) = 4 − x x2 − 4x + 4 = 4 − x x 2 − 3x = 0 x ( x − 3 ) = 0 x = 0 dan x = 3
13
Atas: y = f(x) = 4 – x Bawah: y = g(x) = (x – 2) 2 Maka 3
∫
V = 2π x ( f (x) − g(x) ) dx 0 3
∫ (
2
V = 2π x 4 − x − ( x − 2 )
) dx
0 3
∫
V = 2π ( 3x − x 2 ) dx 0
3
1 3 V = 2π x 2 − x 3 3 0 2 V = 9 π satuan volume
LATIHAN SOAL 1.
Perhatikan gambar berikut! y
y = x3
x 2
Volume benda putar dari daerah di samping bila diputar terhadap sumbu x adalah .... A. B.
84 π 7 92 7
π
14
C. D. E.
2.
112 7 128 7
π
π
130 7
π
Perhatikan gambar berikut!
y
y = x2
x 2 = y
x
Volume daerah arsiran bila diputar terhadap sumbu x sebesar 360° adalah .... A. B. C. D. E.
63 π 5 64 5 66 5 68 5 72 5
π π π π
15
3.
Perhatikan gambar berikut!
y= x
x+y=2
Daerah yang diarsir pada gambar diputar terhadap sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi adalah .... A. B.
13 π 6 11
C.
7 π 6
D.
5 6
E.
1 6
4.
π
6
π π
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x , garis x = 2, garis x = 4, dan garis y = 3 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360° adalah .... satuan volume. (SPMB)
5.
A.
4π
B.
6π
C.
8π
D.
10π
E.
12π
Daerah yang dibatasi kurva y = sinx, 0 < x < π, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah .... satuan volume. (SOAL UAN)
16
A.
π
B.
π
C.
π2
D. E. 6.
4 2 4
π2 2 2
π
Perhatikan gambar berikut! y = 2x
y
2
y = x
x
Besar volume benda putar daerah di samping bila diputar terhadap sumbu y sebesar 360° adalah .... satuan volume. A.
2
B.
2
C.
3
D.
3
E.
4
1 3
π
2 π 3 1 3 2 3 2 3
π π π
17
7.
Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh x = y – y2, x = 0 dan diputar terhadap sumbu y sebesar 360° adalah .... satuan volume. A.
1 π 30
B.
2
C. D. E.
8.
π
30 3 π 30 4 30 5 30
π π
Volume benda putar dari suatu daerah yang dibatasi oleh y = x3, y = 1, dan sumbu y, bila diputar terhadap sumbu y sebesar 360° adalah .... A. B. C. D. E.
9.
1 4 2 4
π π
3 π 4 π
5 4
π
Daerah D terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola y = x2, parabola y = 4x2, dan garis y = 4. Volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap sumbu y adalah .... satuan volume. (SOAL UMPTN) A.
3π
B.
4π
C.
6π
D. 8π E.
10π
18
10.
Perhatikan gambar berikut! y
4
-1
x
4
Volume benda putar dari daerah di samping bila diputar terhadap sumbu y sejauh 360° adalah .... satuan volume. A. B. C. D. E.
128
π
3 119 π 3 115 3 110 3
π
π
102 π 3
19
KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL
1.
D
6.
B
2.
B
7.
A
3.
D
8.
C
4.
E
9.
C
5.
D
10. A
20
