2
1
LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR
DAN
APLIKASI INTEGRAL TENTU PADA FISIKA
OLEH :
KELOMPOK 7 (TUJUH)
GUSRIANTA
HANNAS CP MUNTHE
MAULIDA RAHMI SAGALA
JURUSAN FISIKA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2015
KATA PENGANTAR
Dengan mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkatNya makalah yang berjudul "Luas Permukaan Benda Putar dan Aplikasi Integral Tentu Pada Fisika" dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Sehingga menjadi makalah yang diharapkan dapat memberikan manfaat bagi mahasiswa pada mata kuliah Kalkulus II.
Satu harapan penulis bahwa makalah ini dapat mencapai tingkat pemahaman yang lebih dalam kepada pembaca dan terutama kelompok penulis sendiri. Mudah-mudahan makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca serta dapat memberikan kritik dan saran demi perbaikan makalah ini.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan makalah ini. Semoga bantuan yang telah diberikan kepada penulis, Tuhan yang akan membalasnya berlipat ganda. Amin
Medan, April 2015
Penulis
Kelompok 7
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR i
DAFTAR ISI ii
BAB I PENDAHULUAN 1
I.1 LATAR BELAKANG 1
I.2 RUMUSAN MASALAH 1
I.3 TUJUAN 1
BAB II PEMBAHASAN 2
II.1 LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR 2
II.2 APLIKASI INTEGRAL DALAM FISIKA 5
BAB III PENUTUP 7
III.1 KESIMPULAN 7
III.2 SARAN 7
DAFTAR PUSTAKA 8
BAB I
PENDAHULUAN
I. 1 LATAR BELAKANG
Jika berbicara tentang integral tentulah kita tahu bahwa, sebuah benda yang memiliki permukaan dapat diputar melalui sumbu x ataupun y. Dan selain dalam matematika, integral juga memiliki aplikasi didalam fisika. Seperti menentukan usaha dan tekanan pada zat cair
Yang akan dibahas lebih disini adalah tentang luas permukaan benda putar dan aplikasinya didalam fisika.
I. 2 RUMUSAN MASALAH
Bagaimana cara memahami konsep dari menentukan luas permukaan benda putar ?
Bagaimana aplikasi integral dalam fisika ?
I. 3 TUJUAN
Mampu menggunakan konsep integral.
Dapat mengetahui dan memahami konsep dari luas permukaan beda putar dan menentukan luas permukaan benda putar di dalam fisika melalui proses integral.
BAB II
PEMBAHASAN
II.1 LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR
Jika sebuah busur AB diputar terhadap garis yang sebidang, maka akan terbentuk sebuah benda pusar. Misalkan busur AB adalah busur dari lengkung y = f(x) yang kontinu pada interval [a,b] dan memenuhi f(x) 0 dalam interval tersebut.Jika f(x) diputar terhadap sumbu x, maka akan terbentuk suatu benda putar.
II.1.1 Defenisi 1
Misalkan fungsi f mempunyai turunan yang kontinu pada interval [a,b]. Luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva y = f(x) pada interval [a,b] diputar mengelilingi sumbu x adalah S=2πabfx1+(f'x)2dx. Analog dengan cara diatas kita dapat mendefenisikan luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva y = f(x) diputar melalui sumbu y.
Contoh 1 :
Tentukan luas permukaan benda putar yang dibatasi oleh y=1-x2, 0 x 12
Penyelesaian : y=fx=1-x2 f'x=-x1-x2
Maka:
S=2πabfx1+(f'x)2dx
S=2π0121-x21+-x1-x22dx
S=2π0121-x21+x21-x2dx
S=2π0121 dx
S=2πx012= π satuan luas
Dengan demikian luas permukaan benda putar yang dibatasi kurva y=1-x2, 0 x 12 adalah S=π satuan luas.
Contoh 2 :
Hitung luas permukaan benda putar yang terbantuk karena perputaran y2=12x dari x = 0 sampai x = 3 terhadap sumbu X.
Penyelesaian :
y2=12x
f'x 2y dy=12 dx dydx=122y=6y
S=2πaby1+(f'x)2dx
S=2π03y1+6y2dx=2π03y2+62dx
S=2π0312x+36 dx
S=24 ( 22-1)π satuan luas
II.1.2 Defenisi 2
Misalkan fungsi g mempunyai turunan yang kontinu pada interval [c,d]. Luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva x = g(y) diputar mengeilingi sumbu y pada interval [c,d] adalah S=2πcdx1+(g'y)2dy.
Selanjutnya karena y = f(x) dan dS=1+(f'x)2dx, maka kedua rumus ini dapat disederhanakan menjadi :
L=2πaby ds dan L=2πcdx ds
Contoh 3 :
Tentukanlah luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva y=x pada interval [0,4] diputar mengelilingi sumbu x.
Penyelesaian :
fx=y=x f'x=12x
Luas permukaan benda putar :
L=2πabx1+( f'(x))2dx
L=2π04x1+12x2dx
= 2π04x1+14xdx
= π4x+1dx
L=π4117u1/2du Misal : u = 4x + 1 du = 4dx
L=π6uu "417 x = 0 u = 1 x = 4 u = 17
L=π61717- 1 satuan luas
II.1.3 Defenisi 3
Jika kurva dinyatakan secara parametrik. Misalkan x = f(t) dan y = g(t) pada interval [a,b] maka untuk menentukan luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva ini pada interval [a,b] diputar mengelilingi sumbu X, adalah S=2πabg(t)(f't)2+(g'(t))2 dt.
Contoh 4 :
Hitung permukaan bola berjari-jari a.
Penyelesaian :
Kalau sumbu AB diputar terhadap sumbu x maka luas permukaan putar adalah permukaan bola.
x =fθ =acosθ y=gθ =asinθ
dxdθ=f'θ=-asinθ dydθ=g'θ=acosθ
S=2πabgθf'θ2+g'θ2 dθ
S=2π0π(asinθ)-asinθ2+acosθ2 dθ
S=2π0πasinθa dθ
S=2πa20πsinθ dθ= 2πa2[-cosθ]0π
S=2πa2-cosπ+cos0=4πa2 satuan luas
Contoh 5 :
Hitunglah luas permukaan benda putaran,bila satu busur sikloid x=a(0-sinθ), y=a(1-cosθ) diputar keliling sumbu x.
Penyelesaian :
dxdθ=a(1-cosθ) dydθ=a sinθ
ds=dxdθ2+dydθ2 dθ
ds=a1-cosθ2+sin2θdθ=2a sinθ2dθ
S=2π02πy ds=2π02πa1-cosθ 2asinθ2dθ
S=2π 2a202π1-cosθ sinθ2dθ=4πa202π2 sin2θ2.sinθ2 dθ
S=8πa202π1-cos2θ2 sinθ2dθ
S=8πa2-2cosθ2+23cos3θ2"02π=63πa2 satuan luas
II.2 APLIKASI INTEGRAL PADA FISIKA
II.2.1 Usaha
Bila F(x) suatu gaya untuk menggerakkan suatu titik sepanjang sumbu x dari x = a sampai x = b, maka usaha :
W=abFxdx
Juga rumus diatas berlaku pada per yang diregangkan dengan pertambahan panjang = t dan konstanta kekakuan = k, maka menurut Hukum Hooke f(t) = kt.
Contoh 6 :
Sebuah per panjangnya 25 cm diregangkan menjadi 30 cm dengan gaya F = 45 kg. Ditanyakan usaha untuk meregangkan per dari panjang 35 cm menjadi 45 cm.
Penyelesaian :
F = k t t = (30 – 25) cm = 5 cm
4,5 = k 5
k = 0,9 kg/cm
W =kt1t2t dt t1 = (35 – 25) cm = 10 cm dan t2 = (45 – 25) cm = 20 cm
W =0,91020t dt
W =0,9t22"1020=1,35 m kg.
II.2.2 Tekanan Dan Gaya Pada Cairan
Asumsikan bahwa sebuah plat ditekan secara vertikal kedalam cairan yang kerapatannya ρ dari x = a sampai x = b. Untuk a x b, misalkan w(x) adalah lebar plat x dan h(x) kedalaman pada saat titik x. Maka total gaya cairan pada dasar tangki dan tekanan zat cairnya adalah:
F=abρ.hx.w(x)dx P=abρ xy dx
Catatan : rapat jenis air (ρ) = 103 kg/m3 ; 1,94 slugs/ft3 ; 62,4 lb/ft3
Contoh 7 :
Lempeng lingkaran jari-jari 3ft dimasukkan kedalam air, sehingga setengah lempeng berada dibawah permukaan air. Hitunglah tekanan zat cair yang bekerja pada lempeng tersebut.
Penyelesaian :
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 9
y=9-x2
Batas x = 0 x = 3
ρ = 62,4 lb/ft3
P=abρ xy dx
P=2×62,403 x9-x2 dx
P=2×62,4×-13(9-x2)32"03=1123,2 lb
BAB III
PENUTUP
III.1 KESIMPULAN
Luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva y = f(x) pada interval [a,b] diputar mengelilingi sumbu x adalah S=2πabfx1+(f'x)2dx.
Luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva x = g(y) diputar mengeilingi sumbu y pada interval [c,d] adalah S=2πcdx1+(g'y)2dy.
Integral tentu pada fisika dapat di aplikasikan untuk mencari usaha (W) dan tekanan pada zat cair (P)
Pemakaian integral pada usaha yaitu :
W=abFxdx
Pemakaian integral pada tekanan zat cair yaitu :
F=abρ.hx.w(x)dx dan P=abρ xy dx
III.2 Saran
Semoga dengan tersusunnya makalah ini dapat menambah wawasan mahasiswa tentang materi luas permukaan benda putar dan mampu menggunakan integral dalam perhitungan fisika. Selanjutnya, kami berharap pembaca mampu memahami konsep pengintegralan sehingga dapat menyelesaikan permasalahan mengenai luas permukaan benda putar.
DAFTAR PUSTAKA
Baisum,M.Hasyim. 1986. Kalkulus. Jakarta : UI Press
Soemartojo,N. 1998. Kalkulus Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga
Tim Dosen Matematika. 2015. Matematika Umum II (Kalkulus II). Medan: UNIMED
