BAB IX KEBEBASAN LINEAR, BASIS DAN DIMENSI
9.1 Kebebasan Linear Pengertian: Pengertian: Jika S = { v1, v2, …., vr ) adalah sebuah himpunan vektor, maka persama an vektor : k1v1 + k2v2 + … + kr vr = 0 mempunyai paling mempunyai paling sedikit satu penyelesaian penyelesaian yaitu yaitu : k1 = k2 = k3 = …… = kr = 0 Jika ini adalah satusatunya penyelesaian, penyelesaian, maka S dinamakan sebuah himpunan yan! bebas linear (linearly independent). Jika ada penyelesaian lain selain yan! di atas, maka dikatakan S tak bebas linear (linearly dependent). Secara geometri, geometri, dua vektor di "2 maupun di "3 dikatakan tak bebas linear #ika #ika dan hanya #ika dua vektor tersebut segaris lurus $ lurus $ yan! melalui titik asal #ika start vektor diletakan pada titik asal)% Sedan!kan untuk tiga buah vektor di di "3 dikatakan tak bebas linear #ika #ika ti!a buah vektor tersebut terletak pada bidang ang sama% sama% Z
Z v2
v2
v1
Y
Y
X
X
v1 dan v2 tak bebas linear
v1
v1 dan v2 tak bebas linear
Z v1
Z
Z v2
Y X v1 dan Y v2 bebas linear
X Created by Bp.Imam Suwandi v1,v2 dan v3 tak bebas linear
Y X 60 v1,v2 dan v3 bebas linear
!ontoh 1. &impunan S = { v1, v2, v" ' den!an v1= $2, 1, (, 3), v2 = $1, 2, , 1) dan v3 = $*, 1, , ) adalah himpunan tak bebas linear sebab selain k1= k2 = k3 = 0 didapat k1 = 3, k2 = 1 dan k3 = 1 sehin!!a berlaku : k1v1 + k2v2 + k3v" = 0 !ontoh 2. olinompolinom p1 = 1 - . , p2 = + 3. - 2.2 dan p" = 1 + 3. - . 2 membentuk sebuah himpunan yan! tak bebas linear di dalam ruan! 2 karena selain k1= k2 = k3 = 0 didapat k1 = 3, k2 = 1 dan k3 = 2 sehin!!a berlaku : k1p1 + k2p2 + k3pr = 0
!ontoh "% &impunan S = { i, #, k ' adalah himpunan yan! bebas linear, karena untuk mendapatkan bentuk k 1i + k2 # + k3k = 0 atau k1 $1, (, () + k2 $(, 1, () + k3 $(, (, 1) = 0 atau $k1, k2 , k3 ) = $(, (, () hanya dipenuhi oleh k 1= k2 = k3 = 0. !ontoh $% Selidiki apakah vektorvektor v1, v2, v" berikut membentuk himpunan yan! bebas linear atau tak bebas linear, #ika v 1= $1, 2, 3), v2 = $, /, 1) dan v3 = $3, 2, 1)%
#a%ab
Created by Bp.Imam Suwandi
61
k1v1 + k2v2 + k3v" = 0 k1 $1, 2, 3) + k2 $, /, 1) + k3 $3, 2, 1) = $(, (, () k1+ k2 +3k3, 2k1+ /k2 +2k3, 3k1 k2 +k3 ) = $(, (, ()
k1 + k2 + 3k3 = ( 2k1+ /k2 +2k3 = ( 3k1 k2 + k3 = ( Jika S0 di atas diselesaikan, maka selain k1= k2 = k3 = 0 didapat k1 =
−
1 2
t , k2 =
−
1 2
t dan k3 = t untuk setiap t
∈ "% Jadi himpunan yan!
dibentuk oleh v1, v2, dan v" adalah tak bebas linear% Seba!ai alternati&, untuk menun#ukkan baha suatu himpunan yan! dibentuk oleh v1, v2, dan v" $di atas) tak bebas linear ukup den!an menun#ukkan baha determinan matriks koefisiennya sama dengan nol. stilah tak bebas linear men!andun! pen!ertian baha vektor vektornya saling bergantungan artinya salah satu vektor dapat dinyatakan seba!ai kombinasi linear dari vektorvektor yan! lain% 4isalkan S = { v1, v2, …, vr ) adalah sebuah himpunan vektor yan! tak bebas linear, maka persama an vektor : k1v1 + k2v2 + … + kr vr = 0 mempunyai penyelesaian selain k 1 = k2 = k3 = …… = kr = 0. 4isalkan k1 ≠ ( maka : v1 =
k 2 − v2 + k 1
k 3 − v" + … k 1
+
k r − vr k 1
5apat ditun#ukkan baha suatu himpunan yan! mempunyai elemen dua atau lebih vektorvektor adalah tak bebas linear #ika dan hanya #ika palin! sedikit satu dari vektornya dapat dinyatakan seba!ai kombinasi linear dari vektorvektor yan! lain%
'eorema 2(. 4isalkan S = {v1, v 2, …., vr ' adalah himpunan vektorvektor pada " n , #ika r 6 n maka S tak bebas linear% Created by Bp.Imam Suwandi
62
)ukti * 4isalkan: v1 = $ v11, v12, v13, … , v1n ) v2 = $ v21, v22, v23, … , v2n ) v" = $ v31, v32, v33, … , v3n ) …………………………… vr = $ vr1, vr2, vr3, … , vrn ) 7in#aulah persamaan : k1v1 + k2v2 + … + kr vr = 0 #ika di#abarkan akan didapat sistem persamaan linear sebanyak r variabel pada n persamaan, seba!ai berikut : v11k1 + v21k2 + v31k3 + … + v r1kr = ( v12k1 + v22k2 + v32k3 + … + v r2kr = ( ……………………………………… v1nk1 + v2nk2 + v3nk3 + … + v rnkr = ( #ika r 6 n berakibat S0 di atas mempunyai tak terhin!!a banyak penyelesaian% ni berarti S adalah himpunan tak bebas linear% Seba!ai akibat dari teorema ini, #ika S pada "2 memiliki lebih dari 2 elemen maka S tak bebas linear, demikian #u!a #ika S8 pada " 3 den!an memiliki lebih dari ti!a elemen maka S8 tak bebas linear% Soal Latihan 1% Selidiki apakah S adalah himpunan yan! bebas linear9 a%
S = { u1, u2 ' pada "2 den!an u1 = $ 1, 2) , u2 = $3, /)
b%
S = { u1, u2, u3 ' pada "2 den!an u1 = $ 2, 3) , u2 = $, ) dan u3 = $/, 1)
%
S = { p1, p2 ' pada 2 den!an p1 = 2 + 3. - . 2, p2 = / + . - 3. 2
d%
S = { ;, < ' pada 422 den!an ; =
Created by Bp.Imam Suwandi
1 3 2 0
dan < =
−1 − 3 − 2 0 63
2% Selidiki apakah vektorvektor berikut ini membentuk himpunan yan! bebas linear pada "3 9 a% u1 = $ 2, 1, ) , u2 = $3, /, 2) dan u3 = $2, 1(, ) b% u1 = $ 3, 1, 1) , u2 = $2, 1, ) dan u3 = $, (, 3) % u1 = $ /, (, 1) dan u2 = $1, 1, ) d% u1 = $ 1, 3, 3) , u2 = $(, 1, ) , u3 = $, /, 3) dan u = $*, 2, 1) 3% Selidiki apakah vektorvektor berikut ini membentuk himpunan yan! bebas linear pada " 9 a% u1 = $1, 2, 1, 2) , u2 = $(, 2, 2, () , u3 = $(, 2, 3, 1) dan u = $3, (, 3, /) b% u1 = $ , , (, () , u2 = $(, (, /, /) , dan u3 = $, (, , ) % Selidiki apakah vektorvektor berikut ini membentuk himpunan yan! bebas linear pada 29 a%
p1 = 2 - . + .2 , p2 = 3 + /. + 2. 2 , dan p3 = 2 + 1(. - .2
b%
p1 = 1 + 3. + 3.2 , p2 = . + .2 , p3 = + /. + 3.2 dan p = * + 2. .2
%
p1 = / .2 dan p2 = 1 + . + .2
% ;n!!aplah v1, v2, dan v" pada "3 yan! titik startnya pada titik asal >% Selidiki apakah v1, v2, dan v" berikut ini sebidan! 9 a% v1 = $ 1, (, 2) , v2 = $3, 1, 2) dan v3 = $1, 1, () b% v1 = $ 2, 1, ) , v2 = $, 2, 3) dan v3 = $2, *, /) /% ;n!!aplah v1, v2, dan v" pada "3 yan! titik startnya pada titik asal >% Selidiki apakah v1, v2, dan v" berikut ini se!aris9 a% v1 = $ 3, /, ) , v2 = $2, , /) dan v3 = $1, 1, 1) b% v1 = $ 2, 1, ) , v2 = $, 2, 3) dan v3 = $2, *, /) % v1 = $ , /, ) , v2 = $2, 3, ) dan v3 = $2% -3, ) *% 7entukan k a!ar vektorvektor v1, v2, dan v" berikut membentuk sebuah himpunan yan! tak bebas linear di " 3%
v1 = k ,−
1 2
Created by Bp.Imam Suwandi
,−
1
1 1 1 1 , v2 = − , k ,− dan v3 = − ,− , k 2 2 2 2 2
6!
% 4isalkan S = {v1, v2, …., vn ' adalah himpunan vektorvektor pada ruan! vektor ?, tun#ukkan baha #ika salah satu dari vektorvektor tersebut adalah nol maka S tak bebas linear% % Jika S = {v1, v2, …., vn ' adalah himpunan vektorvektor yan! bebas linear, tun#ukkan baha setiap himpunan ba!ian S den!an satu atau lebih elemen, #u!a bebas linear% 1(%Jika S = {v1, v2, …., vr ' adalah himpunan vektorvektor pada ruan! ? yan! tak bebas linear, tun#ukkan baha { v1, v2, …., vr, vr+1, vr+2, …%, vn ) den!an vr+1, vr+2, …%, vn adalah vektorvektor pada ?, #u!a tak bebas linear%
9.2 )asis dan +imensi 9.2.1 )asis +e&inisi. Jika adalah sembaran! ruan! vektor dan S = {v1, v2, …., vr ' adalah sebuah himpunan berhin!!a pada ?, maka S dinamakan sebuah basis untuk ? #ika : 1% S bebas linear 2% S merentan! ? !ontoh 1. 4isalkan e1 = $1, (, (, …, (), e2 = $(, 1, (, … , () , …, en = $ (, (, (, … , 1) maka himpunan S = { e1, e2 , e3 , …, en' adalah sebuah basis ba!i "n sebab: 1% S bebas linear )ukti * k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 + … + kn en = 0 $k1, k2, k3, … , kn) = $ (, (, (, … , ( ) k1= k2= k3= … = kn = ( 2% S merentan! ? )ukti * 4isalkan v = $v1, v2, v3, …, vn) adalah sembaran! vektor pada " n maka v = $v1, (, (, …,() + $(, v2, (, …, () + …% + $ (, (, (, …, vn) v = v1 $1, (, (, …,() + v2 $(, 1, (, …, () + …% + vn $ (, (, (, …,1) v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 + …% + vn en
Created by Bp.Imam Suwandi
6"
!ontoh 2. 4isalkan v1 = $1, 2, 1), v2 = $2, , () dan v3 = $ 3, 3, ) perlihatkan baha himpunan S = { v1, v2 , v3' adalah sebuah basis ba!i " 3
1%
S bebas linear )ukti * k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 = 0 k1 $1, 2, 1) + k2 $2, , (+ k3 $ 3, 3, ) = 0 k1 + 2k2 + 3k3 = ( 2k1+ k2 +3k3 = ( k1 + k3 = ( >leh karena determinan matriks koe@isien S0 di atas sama den!an $1) berarti S0 di atas tepat punya satu penyelesaian, yaitu: k1= k2= k3= (
2%
S merentan! "3 )ukti * 4isalkan S merentan! "3 dan b = $b1, b2, b3) adalah sembaran! vektor pada "3 maka : b = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 $b1, b2, b3) = k1 $1, 2, 1) + k2 $2, , () + k3 $ 3, 3, ) k1 + 2k2 + 3k3 = b1 2k1+ k2 +3k3 = b2 k1
+ k3 = b3
>leh karena determinan matriks koe@isien S0 di atas sama den!an $1) berarti S0 di atas tepat punya satu penyelesaian% ni berarti benarbenar terdapat nilai k1, k2, dan k3 sehin!!a b = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3% Jadi pemisalan kita baha S merentan! "3 adalah benar% !ontoh ". &impunan S = { 1, ., . 2, .3, … , .n' adalah sebuah basis ba!i n 1% S bebas linear )ukti * ( + 1 . + 2 .2 + …% + n .n = ( untuk sembaran! bilan!an real ., persamaan di atas benar #i ka dan hanya #ika ( = 1 = 2 = …% = n = ( Created by Bp.Imam Suwandi
66
2%
S merentan! n )ukti * >leh karena setiap p$.) pada ruan! n selalu dapat dinyatakan den!an: p$.) = p( + p1 . + p2 .2 + …% + pn .n berarti S merentan! n% Selan#utnya S seperti ini disebut seba!ai basis standar ba!i n%
9.2.2 +imensi Sebuah ruan! vektor tak nol ? dikatakan berdimensi berhingga (finite dimensional) #ika ruan! vektor tersebut men!andun! sebuah himpunan berhin!!a dari vektorvektor {v1, v2, …., vn ' yan! membentuk sebuah basis% Jika tak ada himpunan yan! seperti itu maka ? dinamakan berdimensi tak berhingga ( infinite dimensional). Selan#utnya untuk ruang vektor nol dian!!ap berdimensi berhingga alaupun tak punya basis% >leh karena "n, n dan 422 mempunyai basis maka berdimensi berhin!!a% 'eorema 2-% Jika S = { v 1, v 2, …., v n } adalah sebuah basis bagi ruang vektor V maka setiap himpunan pada V dengan lebih dari n vektor akan tak bebas linear % 'eorema 29% Setiap dua basis untuk
ruang vektor berdimensi berhingga
mempunyai banyak vektor yang sama. !ontoh $.
Created by Bp.Imam Suwandi
6#
+e&inisi% Dimensi dari sebuah ruan! vektor ? yan! berdimensi berhin!!a dide@inisikan seba!ai banyaknya vektor dalam basis untuk ?% Selan#utnya untuk ruan! vektor nol mempunyai dimensi nol% 5ari de@inisi ini #elas baha "n berdimensi n dan n berdimensi n+1% !ontoh /% 7entukan sebuah basis dan dimensi untuk ruan! penyelesaian dari sistem homo!en: 2.1 + 2.2 - .3
+ . = (
.1 .2 + 2 .3 - 3. + . = ( .1 + .2 - 2.3
. = (
.3 + . + . = ( #a%ab 5en!an men!!unakan eliminasi AaussJordan didapat : .1 = s - t ,
.2 = s, .3 = t ,
. = (
dan
. = t
atau
$1 −s− t −s − t −1 −1 $ 2 s s 0 −1 0 $3 = −t = 0 + − t = s 0 + t−1 $ ! 0 0 0 0 0 $ t 0 t 0 1 " yan! memperlihatkan baha vektorvektor : − 1 − 1 v1 = 0 dan v2 = 0 0
− 1 0 − 1 0 1
merentan! ruan! penyelesaian% selan#utnya untuk setiap s dan t skalar maka persamaan : s v1 + t v2 = 0
Created by Bp.Imam Suwandi
6%
0 −1 −1 0 −1 0 0 = s 0 + t −1 0 0 0 0 0 1
0 − s − t 0 s 0 = − t 0 0 0 t
s = ( dan t = (
Jadi { v1 , v2 ' merupakan basis ba!i ruan! penyelesaian S0 yan! dimaksud dan ruan! penyelesaian tersebut berdimensi dua%
'eorema "0. a. Jika S = {v 1, v 2, …., v n } adalah sebuah himpunan dari n vektor yang bebas linear di dalam sebuah ruang V yang berdimensi n maka S adalah sebuah basis bagi V. b. Jika S = {v 1, v 2, …., v n } adalah sebuah himpunan dari n vektor yang merentang sebuah ruang V yang berdimensi n maka S adalah sebuah basis bagi V. c. Jika S = {v 1, v 2 , …., v n } adalah sebuah himpunan dari n vektor yang bebas linear di dalam sebuah ruang V yang berdimensi n dan n< r maka S dapat diperbesar menjadi sebuah basis untuk V, yakni ada vektorvektor vr+1, vr+2, …%, vn sehingga { v1, v2, …., vr, vr+1, vr+2, …%, vn ) adalah sebuah basis bagi V. Soal Latihan Selidiki apakah vektorvektor berikut membentuk himpunan yan! merupakan basis ba!i ruan! yan! diberikan% 1.
u1 = $ 1, 2 ), u2 = $ (, 3), dan u" = $ 2, *) pada " 2
2.
u1 = $ 2, 1) dan u2 = $ 3, () pada "2
".
u1 = $ 1, (, ( ), u2 = $2, 2, (), dan u" = $ 3, 3, 3) pada "3
$.
u1 ", 1, $3, u2 2, , /3, dan u" 1, $, -3 pada 4"
.
p1 = + /. + .2 , p2 = 1 + . +2.2, dan p" = + 2. - . 2 pada 2
/.
p1 = + . + 3.2 , p2 = / + . +2.2, dan p" = + . + .2 pada 2
Created by Bp.Imam Suwandi
6&
(.
a 1
; =
1
a , < = b 1
1
a ,B= b 1
1
a ,5= b 1
1
pada 422
b
7entukan basis dan dimensi ba!i ruan! penyelesaian S0 berikut ini% -. .1 + .2 - .3 = ( 2.1 .2 + 2 .3 = ( .1
+ .3
=(
9. 51 $52 6 "5" 7 5$ 0 251 -52 6 /5" 7 25$ 0 10. .1 3.2 + .3 = ( 2.1 /.2 + 2 .3 = ( 3.1 - .2 + 3.3 = (
Created by Bp.Imam Suwandi
#0
