BASIS DAN DIMENSI
BASIS DAN KOMBINASI LINEAR a. Tentukan subhimpunan dari vektor-vektor v1 = (1, -2, 0, 3), v2 = (2, -5, -3, 6) v3 = (0, 1, 3, 0), v4 = (2, -1, 4, -7), v5 = (5, -8, 1, 2) Yang membentuk suatu basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini. b. Nyatakanlah setiap vektor yang tidak termasuk dalam basis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis.
Penyelesaian: (a). Kita mulai dengan menyusun suatu matriks yang memiliki , , , sebagai vektorvektor kolomnya: v 1
1 2 A 0 3 v1
v
v 5
2
2
0
2
5 3
1
1
3
4
6
0
7
v2
v3
v4
8 1 2 5
v5
Bagian pertama dapat diselesaikan dengan menentukan suatu basis untuk ruang kolom dari matriks ini dengan mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi dan menotasikan vektor-vektor kolom dari matriks yang diperoleh dengan w1, w2, w3, w4, dan w5 menghasilkan
1 0 0 0 w1
1
0
2
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1 1 0
w3
w4
w5
w2
Elemen pivot terdapat pada kolom-kolom 1, 2, dan 4, sehingga [w1, w2, w4] adalah basis untuk ruang kolom dan sebagai konsekuensinya [v1, v2, v4] adalah basis untuk ruang kolom
b. Dimulai dengan menyatakan w3 dan w5 sebagai kombinasi linear dari vektorvektor basis w1, w2, w4. cara yang paling mudah adalah dengan menyatakan w3 sebagai kombinasi linear dari w1 dan w2 dan menyatakan w5 sebagai kombinasi linear dari w1, w2, dan w4.
Kombinasi-kombinasi linear ini adalah w3 = 2w1 – w2 w5 = w1 + w2 + w4 Kita menyebut ini sebagai persamaan ketergantungan yang bersesuaian dengan matriks A adalah v3 = 2v1 – v2 v5 = v1 + v2 + v4
RANK DAN NULITAS Definisi: Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank dari A dan dinyatakan sebagai rank(A); dimensi ruang nul dari A disebut sebagai nulitas (nullity) dari A dan dinyatakan sebagai nulitas(A)
Contoh: Tentukan rank dan nulitas dari matriks
1 2 3 7 A 2 5 4 9
0
4
5
2
0
1
2
4
6
2
4 4
3 4 1 7
Penyelesaian: Bentuk Eselon baris tereduksi dari A adalah
1 0 A 0 0
0
4 28 37
1
2
12
16
0
0
0
0
0
0
0
0
13
5 0 0
(1)
Karena terdapat dua baris taknol, ruang baris dan ruang kolom keduanya berdimensi dua. Sehingga rank(A) = 2. Untuk menentukan nulitas dari A, kita harus menentukan dimensi dari ruang solusi sistem linear Ax = 0. Sistem ini dapat diselesaikan dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris tereduksi.
Matriks yang bersesuaian adalah: x1 4 x3 28 x4 x2
37 x5 13 x6 0
2 x3 12 x4 16 x5 5 x6 0
Atau, untuk menyelesaikan variabel-variabel utama, x1
4 x3 28 x4 37 x5 13 x6
x2
2 x3 12 x4 16 x5 5 x6
Maka solusi umum dari sistem tersebut Adalah x1
4r 28s
x2
2r 12 s
16t
x3 r x4 s x5 t x6 u
37t 13u 5u
Atau secara ekuivalen,
x1 4 28 37 13 x2 2 12 16 5 x 1 0 0 0 3 r s t u x4 0 1 0 0 x5 0 0 1 0 0 0 0 1 x 6 Keempat vektor pada ruas kanan membentuk basis untuk ruang solusi, sehingga nulitas (A) = 4
