DEFINISI 5.3.1 Jika S = ̅ 1, ̅ 2
,
…,
̅ r adalah suatu himpunan vektor takkosong, maka persamaan berikut + k r r̅ k 1̅ 1 + k 2̅ 2 + k 3̅ 3 + ̅ r = …
sedikitnya mempunyai penyelesaian berikut
= k r r = 0 k 1 = k 2 = k 3 = Jika hanya itu satu-satunya penyelesaian, penyelesaian, maka S dinamakan himpunan vektor yang bebas linear, tetapi jika ada penyelesaian yang y ang lain, maka S dinamakan tak bebas linear. …
CONTOH 5.3.1 } di R3, dengan ̅= (1, 0, 0), ̅ = (0, 1, 0) dan = (0,0, 1) apakah S bebas linear ? Pandang S = {̅, ̅ , jawb: Untuk membuktikannya, perhatikan = l1 ̅ + l2 ̅ + l3 atau l1(1 , 0 , 0) + l2(0 , 1 , 0) + l3(0 , 0 , 1) = (0 , 0 , 0)
sehingga didapat l1 = l2 = l3 = 0 yang merupakan satu-satunya penyelesaian, sehingga S bebas linear.
CONTOH 5.3.2 Pandang S = {̅ , , ̅ } di R3, dengan ̅ = (3,- 2, 1), = (- 1, 6, 5) dan ̅ = (1, 2, 3) apakah S bebas linear? jawb: Untuk membuktikannya, perhatikan
l1̅ + l2 + l3̅ = atau l1 (3 ,-2 , 1) + l2 (-1 , 6 , 5) + l3 (1 , 2 , 3) = (0 , 0 , 0) sehingga dapat ditulis dalam sistem linear l inear seperti berikut 3 l1 - l2 + l3 = 0 2 - l1 + 6 l2 + 2 l3 = 0 1 l1 + 5 l2 + 3 l3 = 0 Karena nilai determinan dari sistem linear tersebut tidak sama dengan nol, maka antara satu vektor dengan vektor yang lainnya saling tergantung atau S tak bebas linear.
Perhatikan teorema dibawah ini, yaitu
TEOREMA 5.3.2 Suatu himpunan S dengan dengan dua atau lebih vektor, dinamakan 1. Tak bebas linear, jika dan hanya jika j ika sedikitnya salah satu vektor di S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dengan vektor yang lainnya. 2. Bebas linear, jika dan hanya jika tidak tidak ada vektor di S yang yang dapat dinyatakan sebagai sebagai kombinasi linear dengan vektor yang lainnya.
CONTOH 5.3.3 S = {̅ , , ̅ dengan 1), ̅ = (7,- 1, 5, 8) ̅ = (2,- 1, 0, 3), = (1, 2, 5,- 1) Buktikan S tak bebas linear? jawab: Sesuai dengan Teorema 5.3.2, bahwa jika suatu himpunan vektor jika dan hanya jika salah satu vektor merupakan kombinasi linear dari vektor yang lai nnya, maka himpunan vector tersebut tak bebas linear, karena
̅ =
+
̅ atau = - 3̅ + ̅ atau ̅ = 3̅ + jadi S tak bebas linear
Perhatikan teorema dibawah ini,
TEOREMA 5.3.3 1. Suatu himpunan vektor terhingga yang mengandung vector nol, maka himpunan tersebut tak bebas linear 2. Suatu himpunan mempunyai tepat dua vektor dan salah satu vektor merupakan penggandaan dari vektor yang lainnya, maka himpunan vektor tersebut tak bebas linear
TEOREMA 5.3.4 Anngap S = f ¹v 1, ¹v 2, ¹v 3, ¢ ¢ ¢ , ¹v rg adalah suatu himpunan vektorvektor di Rn . Jika r > n , maka S tak bebas linear.
Bukti: Karena jumlah vektor pada lebih banyak daripada ruangnya, maka bentuk sisitem linearnya adalah jumlah persamaannya lebih banyak daripada jumlah variabelnya, sehingga system mempunyai banyak penyelesaian, oleh karena itu S tak bebas linear.
