Basis dan Dimensi 1. Sistem Sistem koordina koordinatt buk bukan an siku-sik siku-siku u
pada geometri analitik bidang kita telah belajar untuk mengaitkan suatu titik p pada suatu bidang dengan sepasang koordinat (a,b) dengan memproyeksikan np pada suatu bidang dengan sepasang koordinat yang saling tegak lurus (gambar). Dengan cara ini, setiap titik pada bidang tersebut ditentukan oleh suatu himpunan koordinat yang unik dan sebaliknya. Setiap pasang koordinat dikaitkan dengan satu titik unik pada bidang tersebut. Hal ini menyatakan menyatakan bahwa system koordinat koordinat menyusun menyusun suatu korespondensi korespondensi satusatusatub satub antara antara titiktitik-tit titik ik pada pada bidang bidang terseb tersebut ut dan pasanga pasangan-pa n-pasan sangan gan bilanga bilangan n real yang berurutan. Meskipun sumbu- sumbu koordinat yang saling tegak lurus adalah yang paling umum umum digun gunakan, tetapi dua garis sejajar ajar sebarang dapat dig digunaka nakan n untu ntuk menentukanmemproyeksikann suatu system koordinat pada bidang. Sebagai contoh, pada gambardilampirkan sepasang koordinat (a,b) ketitik p dengan memproyeksikan p sejajar terhadap sumbu- sumbu koordinat yang tidak saling tegak lurus. Demikian juga tiga sumbu koord koordin inat at sebar sebaran ang g yang yang nonko nonkopl plana anarr pada pada ruan ruang g dime dimens nsii ! dapat dapat di gunak gunakan an untuk untuk mende"enisikan suatu system koordinat
y b
z
y
p (a,b) b
c
P (a,b)
P (a,b,c) y
x
x O
b
a
a
(a)
(b)
(c)
#eterangan$ (a) #oordinat-koordinat pada suatu system koordinat siku-siku pada ruang dimensi % (b) #oordinat-koordinat & pada suatu system koordinat yang bukan siku-siku siku-siku pada ruang dimensi % (c) #oordinat-koordinat & pada suatu system system koordinat yang bukan siku-siku siku-siku pada ruang dimensi !
'ujuan pertamnya adalah memperluas konsep system koordinat untuk ruang ector umum. Sebagai awalnya, akan sangat membantu untuk mem"ormulasi ulang pemahaman mengenai system koordinatb pada ruang berdimensi % atau ruang berdimensi ! dengan menggunakan ector- ector dan bukannya dengan sumbu-sumbu koordinat untuk menentukan system koordinat. ni dapat dilakukan dengan mengganti setiap sumbu koordinat dengan suatu ector yang panjangnya * yang mengarah kea rah sumbu positi" dari sumbu koordinat. Sebagai contoh, pada gambar ector- ector v1 dan v2 adalah ektor-ektor semacam itu, sebagaimana di ilustrasikan pada gambar tersebut, jika & adalah suatu titik sebarang pad suatu bidang, maka ektor
OP
dapat ditulis dengan suatu kombinasi linear dari v1 dan v2
dengan memproyeksikan & sejajar terhadap v1 dan v2
untuk membuat
diagonal dari parallelogram yang dibatasi oleh ektor-ektor av1 dan bv2
OP
menjadi
.
OP = av + bv 1 2
Diini tampak bahwa bilangan-bilangan a dan b pada rumus ektor ini adalah koordinatkoordinat & pada system koordinat gambar dengan cara serupa koordinat (a,b,c) dari titik & pada gambar dapat diperoleh dengan menyatakan OP sebagai suatu kombinasi linear dari ektor-ektor yang menentukan suatu system koordinat disebut ektor basis ntuk system tersbut. Meskipun kita menggunakan ektor basis dengan panjang * pada pembahasan sebelumnya, maka akan segera dilihat bahwa hal ini tidaklah penting. /ektor tak nol dengan panjang beraapapun akan mencukupi. Skala pengukuran sepanjang sumnbu-sumbu kordinat merupakan hal yang penting dalam system koordinat apapun. 0iasanya, orang berusaha menggunakan skla yang sama untuk setiap sumbu dan titik-titik integer &ada sumbu-sumbu dengan * satuan jarak. 'etapi, hal ini tidak selalu praktis atau sesuai$ skala yang tidak sama,
atau skala dimana titik-titik
integralnya berjarak kurang atau lebih dari * satuan, mungkin di butuhkan agar suatu gra"ik tertentu dapat di cetak dalam suatu halaman untuk menyatakan kuantitas-kuantitas "isik dari satuan-satuan yang berbeda pada system koordinat yang sama (misalnya $ waktu dalam detik
pada satu sumbu dan suhu dalam ratusan derajat pada sumbu lainnya). #etika suatu system koordinat ditentukan oleh suatu himpunan ektor-ektor basis, maka panjang dari ektorektor tersebut bersesuaian dengan jarak antara titik-titik integer yang berurutan pada sumbu koordinat (gambar.) jadi, arah dari ektor-ektor basislah yang menentukan arah positi" dari sumbu-sumbu koordinat dan panjang dari ektor basislah yang menentukan skala pengukuran. De"enisi kunci berikut akan membuat gagasan-gagasan sebelumnya menjadi lebih tepat dan membuat kita dapat memperluas konsep system koordinat menjadi ruang ektor umum.
Defenisi:
1ika / adalah suatu ruang ektor sebarang dan S = { v1 , v2
vn2 adalah suatu himpunan
,…
ektor-ekto pada / maka S disebut basis untuk / jika dua syarat berikut berlaku$ a. S bebas linear b. S merentang /
Suatu basis adalah generalisasi ruang ektor dari suatu system koordinat pada ruang berdimensi % dan ruang berdimensi !. 'eorema berikut akan memahami hal tersebut 3ambal hal %4* 'eorema 5.6.* 1ika S = { v1 , v2
vn2 adalah suatu basis dari ruang ektor /, mka setiap ektor pada / dapat
,…
dinyatakan dalam bentuk 7
c1 v1
+
c2 v2
+
cn vn
dengan tepat satu cara.
Bukti
#arena S merentang, maka sesuai de"enisi dari suatu himpunan rentangan bahwa setiap ektor pada / dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari ektor-ektor pada S untuk melihat
bahwa hanya terdapat satu cara untuk menyatakan ektor sebagai suatu kombinasi linear dari ektor-ektor pada s, kita misalkan beberapa ektor dapat ditulis sebagai 7
c1 v1
+
c2 v2
+
+
k 2 v 2
+
cn vn
dan juga sebagai 7
k 1 v 1
k n v n
dengan mengurangkan persamaan ke-% dengan persamaan pertama, menghasilkan c
c
c
¿ ¿ ¿ 0 7 (¿ 1−k ¿ ¿ 1 ) v 1 + (¿ 2− k ¿ ¿ 2) v 2 + (¿ n −k ¿ ¿ n ) v n ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ #arena ruas kanan dari persamaan ini adalah suatu kombinasi linear dari ektor-ektor pada S, kebebasan linear dari S mengaplikasikan bahwa c
c
¿ (¿ 1−k ¿ ¿ 1 ) v 1=0, ¿ ¿
c
¿ ¿ (¿ 2− k ¿ ¿ 2) v 2= 0. (¿ n −k ¿ ¿ n ) v n 7 8 ¿ ¿ ¿ ¿
9aitu, c
¿ (¿ 1=k ¿ ¿ 1 ) v 1 , ¿ ¿
c
c
¿ ¿ (¿ 2= k ¿ ¿ 2) . (¿ n =k ¿ ¿ n ) ¿ ¿ ¿ ¿
1adi, kedua pernyataan untuk adalah sama 2. Koordinat-koordinat Reatif ter!ada" suatu basis 1ika S 7 { * , % , n2 adalah untuk ruang ektor / dan
7
c1 v1
+
c2 v2
+
cn vn
adalah pernyataan untuk suatu ektor / dalam bentuk basis S, maka skalar disebut sebagai koordinat v relatie terhadap basis S. /ektor (
c1 , c2 , … cn¿
c1 , c2 , … cn
pada R
n
n yang ini disusun dari koordinat- koordinat ini disebut ektor koordinat relatie terhadap S (coordinate /ector o" v reltie to s) ini di notasikan sebagai
(v )s=( c
1
, c2 , … c n)
#onto! 1 Basis Standar untuk
R
3
&ada contoh subbab sebelumnya, kita telah menunjukkan bahwa jika i 7 (*, 8, 8)
$ = (8, *, 8)
Dan
k = %8, 8, *)
maka S 7 :i, j, k2 adalah suatu himpunan bebas pada R merentang R
3
karena ektor sebarang 7 :a, b, c2 pada R
3
. Himpunan ini juga
3
dapat ditulis sebagai
7 :a, b, c2 7 a (*, 8, 8) + b(8, *, 8) + c(8,8, *) 7 ai + b $ + ck 1adi, S adalah basis untuk R
3
dan disebut sebagai basis standar untuk R
3
. Dengan melihat
koe"isien-koe"isien i, $, k pada (l), karena koordinat-koordinat relatie terhadap basis standar adalah a, b, dan c sehingga
( v )s=( a , b , c ) Dengan membandingkan hasil ini dengn (l) maka v=
(v )s
persamaan ini menyatakan bahwa komponen-komponen dari suatu ektor v relatie terhadap suatu sistemn koordinat siku-siku ;y< dan koordianat-koordinat relatie terhadap basis standar adalah sama. 1adi, system koordinat dan basisnya menghasilkan korespondensi satu ke satu yang tepat sama antara ruang berdimensi ! dan tripel bilangan real yang berurutan. 3ambar #onto! 2 Basis Standar untuk R n
&ada contoh ! subbab sebelumnya kami telah menunjukkan bahwa jika e* 7 (*, 8, 8,.8),
e* 7 (8, *, 8,.8),
en 7 (8, 8, 8,.8)
maka S 7 : e*, e%, e!, en2 =dalah suatu himpunan bebas linear pada > n . lebih lanjut, himpunan ini juga merentang > n karena ektor sebarang 7 (* , %
n ) pada > n dapat ditulis sebagai
,
7
v 1 e1
+
v2 e2
+
vn en
1adi, S adalah suatu basis untuk > n dan disebut basis standar untuk > n sesuai dengan (%) bahwa koordinat-koordinat 7 (* , %
,
n ) relatie terhadap basis standar adalah * , %
n sehingga
,
( v )s 7 * , % , n Sebagaimana pada contoh *, kita memperoleh v =
(v )s , sehingga suatu ektor dan ektor
koordinatnya relatie terhadap basis standar untuk > n adalah sama #onto! & 'em"eri!atkan Ba!(a )im"unan )ektor *daa! Suatu Basis
Misalkan * 7 (*, %, *), % 7 (%, ?, 8), dan ! 7 (!, !, 6). 'unjukkan bahwa himpunan S 7 (*, %, !) adalah suatu basis untuk > ! &enyelesaian $ ntuk menunjukkan bahwa himpunan S merentang > ! , akan di tunjukkan bahwa suatu ektor sebarang b = (b*, b%, b! ) dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear
b 7
c1 v1
+
c2 v2
+
c 3 v3
dari ektor-ektor pada S, dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponenkomponennya, maka akan di peroleh (b*, b%, b!) 7 c* (*, %, *) + c% (%, ?, 8) + c! (!, !, 6) =tau (b*, b%, b!) 7 (c* + %c% + ! c!, %c* + ?c% + ! c!, c* + 6 c!) =tau dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian c* + %c% + ! c!
7 b*
%c* + ?c% + ! c! 7 b% c*
+ 6 c!
7 b!
1adi, untuk menunjukkan bahwa S merentang > !. Harus ditunjukkan bahwa system (!) memiliki satu solusi untuk setiap pilihan dari b = (b*, b%, b! ) ntuk membuktikan bahwa S bebas linear, kita harus menunjukkan bahwa satu-satunya solusi dari c1 v1
+
c 2 v2
+
c3 v3
7 8
=dalah c* 7 c% 7 c! 7 8. Sebagaimana diatas, jika (6) dinyatakan dalam bentuk komponenkomponennya, pembuktian kebebasan akan berkurang hanya dengan menunjukkan bahwa system homogen c* + %c% + ! c!
7 8
%c* + ?c% + ! c! 7 8 c*
+ 6 c!
78
hanya memiliki solusi triial. =mati bahwa system (!) dan (5) memiliki matriks koe"isien yang sama. 1adi menurut teorema 6.!.6 bagian (b), (e) dan (g), dapat dibuktikan secara simultan bahwa S adalah bebas linear dan merentang > ! dengan menunjukkan bahwa pada system (!) dan (5) matriks koe"isiennya memiliki determinan tak nol. Dari
=7
[ ] 1
2
3
2 1
9 0
3 4
kita memperoleh det (=) 7
| | 1
2
3
2 1
9 0
3 4
7
−1
Dan dengan demikian S adalah basis untuk > !
#onto! + 'em"resentasikan suatu ektor denan 'enunakan Dua Basis
Misalkan S 7 (*, %, !) adalah suatu basis untuk > ! pada contoh sebelumnya a. 'entukan ektor koordinat dari 7 ( 5, -*, ?) dalam S b. 'entukan ektor pada > ! yang ektor koordinatnya dalam basis S adalah ()s 7 (-*, !, %) &enyelesaian$ a. 'erlebih dulu, ditentukan skalar-skalar c*, c%, c!, sedemikian rupa sehingga 7
c1 v1
c2 v2
+
+
c3 v3
atau dalam bentuk komponen-komponennya ( 5, -*, ?) 7
c 1 ( 1,2,1, ) + c2 ( 2,9,0 )+ c 3 ( 3,3,4 )
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian kita memperoleh c* + %c% + ! c!
7 5
%c* + ?c% + ! c! 7 -* c*
+ 6 c!
7 ?
dengan menyelesaikan system ini, kita memperoleh c* 7 *, c% 7 -*, c! 7 % (buktikan) oleh karena itu ()s 7
( 1,−1, 2 )
b. Dengan menggunakan de"enisi dari ektor koordinat ()s akan diperoleh 7
−1 v 1 + 7
#onto! Basis Standar untuk / n
3 v2
+
2 v3
−1 ( 1,2,1 ) + 3 ( 2,9,0 ) 2 ( 3,3, 4 )=(11,31,7 )
a. 'unjukkan bahwa S 7 :*. ;, ;%, , ;n2 adalah suatu basis untuk ruang ektor &n yang terdiri dari polynomial-polinomial berbentuk a0 + a1 x + … + an x a0 + a1 x + a1 x
b. 'entukan ektor koordinat dari polynomial " 7
n
.
2
relati" terhadap basis
S 7 :*. ;, ;%2 untuk &% &enyelesaian $ a. Sebelumnya, telah ditunjukkan bahwa S merentang &n pada contoh ** subbab 5.% dan
telah ditunjukkan pula bahwa S adalah himpunan bebas linear pada contoh 5 subbab 5.!. jadi, S adalah basis untuk &n dan disebut basis standar untuk / n b. #oordinat- koordinat " = basis *, ; , dan
x
a0 + a1 x + a1 x
2
adalah koe"isien- koe"isien skalar dari ektor a0 , a1 , a2 ¿
2
, sehinggaa ("s = %
#onto! Basis Standar untuk ' mn
Misalkan M* 7
[ ]
M6 7
[ ]
1
0
0
0
0 0
M% 7
[ ] 0
1
0
0
M! 7
[ ] 0
0
1
0
0 1
Himpunan S 7 : M*, M%, M!, M62 adalah basisn untuk ruang ektor M%% yangb terdiri dari matriks % ; %. ntuk melihat bahwa S merentang M%% perhatikan bahwa suatu ektor (matriks) sebarang
[ ] a c
b d
Dapat ditulis sebagai
[ ]= [ ]+ [ ]+ [ ] + [ ] a c
b d
a
1
0
0
0
b
0
1
0
0
c
¿ a M 1+ b M 2 + c M 3+ d M 4
0
0
1
0
d
0
0
0
1
ntuk melihat bahwa S bebas linear, asumsikan bahwa a M 1+ b M 2 + c M 3+ d M 4 =0
9aitu a
[ ]+ [ ]+ [ ]+ [ ]=[ ] 1 0
0 0
b
0 0
1 0
c
0 1
0 0
d
0 0
0 1
0 0
0 0
Maka
[ ] [ ] a c
1adi, untuk
a = b = c =d = o M 22
b d
7
0 0
0 0
, sehingga S bebas linear. 0asis S pada contoh ini disebut basis standar
. Secara umum basis standar
M mn
terdiri dari mn matriks yang berbeda dengan
suatu bilangan * dan nol untuk entri-entri lainnya.
#onto! Basis untuk Subruan rentan %S
1ika S 7 (*, %, !), adalah s uatu himpunan bebaas linear pada ruang ektor /, maka S adalah suatu basis untuk subruang rentang (S) karena himpunan S merentang rentang (S) berdasarkan de"enisi dari rentang S
Defenisi
Suatu ruang ektor tak nol / disebut berdimensi terhingga jika terdiri dari himpunan terhingga ektor-ektor (*, %, !) yang membentuk suatu basis. 1ika tidak terdapat suatu himpunan semaacam ini, / disebut sebagai berdimensi takterhingga. Selain itu, akan mengnggap ruang ektor nol sebagai berdimensi terhingga.
3eorema .+.2
Misalkan / adalah suatu ruang ektor berdimensi terhingga dan :*, %, n2 adalah basis sebarang a. 1ika suatu himpunan memiliki ektor lebih dari n, maka himpunan tersebut bersi"at tidak bebas linear
b. 1ika suatu himpunan memiliki ektor kurang dari n, maka himpunan tersebut bersi"at tidak merentang /
0ukti $ a. Misalkan S@ 7 :w*, w%, wn2 adalah himpunan sebarang yang terdiri dari m ektor pada /, di mana m A n. akan di tunjukkan bahwa S@ tidak bebas linear. #arena S 7 : *, %, n2 adalah suatu basis setiap w i dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari ektorektor linear dari ektor-ektor pada S, misalkan w 1=a11 v1 + a21 v2 + … + an 1 v n
w 2=a12 v 1+ a22 v 2+ … + a n2 v n ⋮⋮ ⋮
(4)
⋮
w m=a 1m v 1+ a2 m v 2+ … + a nm v n
ntuk menunjukkan bahwa S@ tidak bebas linear, kita harus menentukan skalar-skalar k 1 , k 2 , … , k m
yang tidak semuanya nol, sedemikian rupa sehingga k 1 w1 + k 2 w2 + … + k m wm =0
(B)
Dengan menggunakan persamaan-persamaan pada (4), maka dapat ditulis kembali persamaan (B) sebagai (
k 1 a11+ k 2 a12+ … + k m a1 m ¿
+( k
1
v1
a21+ k 2 a22 … k m a 2 m) v 2 ⋱
+(
k 1 an 1 + k 2 an 2 + … + k m anm ¿
v n =0
1adi, dari kebebasan linear dari S, masalah pembuktian bahwa S@ adalah himpunan tidak bebas linear hanya menjadi pembuktian bahwa terdapat skalar-skalar yang tidak semuanya nol, yang memenuhi a11 k 1+ a12 k 2+ … + a1 m k m =0
k 1 , k 2 , … , k m
a21 k 1 + a22 k 2 + … + a 2 m k m=0 ⋮
⋮
⋮
an 1 k 1 + an 2 k 2 +… + anm k m= 0
'etapi (C) memiliki lebih banyak "actor yang tidak diketahui disbanding jumlah persamaannya, sehingga bukti menjadi lengkap karena teorema *.%.* menjamin keberadaan solusi- solusi nontriial
a. Misalkan S@ 7 :w*, w%, wn2 adalah himpunan sebarang yang terdiri dari m ektor pada /, di mana m n. akan di tunjukkan bahwa S@ tidak merentang /. pembuktiannya aka dilakukan dengan menggunakan kontradiksi. 1ika S@ merentang /, maka setiap ektor pada / adalah kombinasi linear dari ektorektor pada S@. khususnya setiap ektor pada basis i adalah kombinasi linear dari ektorektor pada S@, misalnya
v 1= a11 w + a21 w2 + … +a m 1 w m v 2= a12 w1+ a22 w2 + … + am 2 wm ⋮⋮ ⋮
(?)
⋮
v n =a1 n v 1+ a2 n v 2 + … + a mn v m
ntuk memperoleh kontradiksi ini, kami akan menunjukkan bahwa terdapat skalar k 2
, ,
k 2
k 1
,
, yang tidak semuanya nol, sedemikian rupa sehingga k 1 v 1 + k 2 v 2 + … + k n v n= 0
(*8)
'etapi amati bahwa (?) dan (*8) memiliki banyak bentuk yang sama dengan (4) dan (B) kecual bahwa m dan n dipertukarkan dan demikian pula untuk ( dan v-nya. 1adi, perhitungan yang mengarah ke (C) kini menghasilkan a11 k 1+ a12 k 2+ … + a1 m k m =0 a21 k 1 + a22 k 2 + … + a 2 m k m=0 ⋮
⋮
⋮
am 1 k 1 + a m 2 k 2+ … + amn k n =0
System linear ini memiliki lebih banyak "actor yang tidak diketahui disbanding jumlah persamaannya, dan oleh karena itu, sesuai teorema *.%.* memiliki solusi- solusi nontriial. Sesuai dengan teorema sebelumnya bahwa jika S 7 :*, %, n2 adalah basis sebarang untuk ruang ektor /, maka semua himpunan pada / yang secara simultan merentang / dan bebas linear harus memiliki tepat n ektor. 1adi, semua basis untuk menghasilkan teorema berikut, yang merupakan salah satu teorema yang paling penting dalam aljabar linear. 3eorema .+.& Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memiliki jumlah vektor yang sama ntuk melihat bagaimana teorema ini berkaitan dengan konsep dimensi, ingatlah bahwa basis standar untuk > n memiliki n ektor (contoh %). 1adi, teorema 5.6.! secara tidak langsung menyatkan bahwa semua basis untuk > n khususnya setiap basis untuk > ! memiliki tiga ektor, setiap basis untuk > % memiliki dua ektor, pada setiap basis > * (7>) memiliki satu ektor. Secara intuiti", > ! adalah berdimensi tiga, > % (suatu bidang) adalah berdimensi dua, dan > (suatu garis) adalah berdimensi satu. 1adi, untuk ruang-ruang ektor yang telah dikenal, jumlah ektor pada suatu basis adalah sama dengan dimensinya. ni mendasari de"enisi berikut. Defenisi Dimensi dari ruang ektor / yang berdimensi terhingga, dinotasikan dengan dim (/),
dide"enisikan sebagai banyaknya ektor-ektor pada suatu basis utnuk /. selain itu, kita mende"enisikan ruang ektor nol sebagai berdimensi nol. #onto! 4 Dimensi dari Bebera"a Ruan ektor - dim (>n ) 7 n E0asis standar memiliki n ektor (contoh %)F - dim &n 7 n + * E0asis standar memiliki n + * ektor (contoh 5)F - dim (Mmn) 7 mn E0asis standar memiliki mn ektor (contoh 4)F
#onto! 10 Dimensi dari Ruan Sousi
'entukan basis dan dimensi dari ruang solusi system homogeny %;* + %;% G ;!
+ ;5 7 8
-;* - ;% + %;! - !;6 + ;5 7 8 ;* + ;% - % ;! G
- ;5 7 8
;! + ;6 + ;5 7 8 penyelesaian &ada contoh Bsubbab *.% telah ditunjukkan bahwa solusi umum dari system yang diberikan adalah ;* 7 -s G t,
;% 7 s ,
;! 7G t,
;67 8,
;57 t
leh karena itu, ektor- ektor solusi dapat ditulis sebagai x1 x 2 x3 x 4 x5
=
[ ][ ][ ] [ ] [ ] −s −t
−s
s −t 0 t
s 0 0 0
=
−t
+
0 −t = s 0 t
−1
−1
1
0
0 0 0
+ t −1 0 1
9ang menunjukkan bahwa ektor- ektor
[] [] −1
−1
1
0
v 1= 0 dan v 1= −1 0 0 0 1
Merentang ruang solusi. #arena keduanya juga bebas linear (buktikan),
{v 1, v2 }
adalah suatu basis, dan ruang solusinya adalah berdimensi dua. Bebera"a teorema dasar
Di sisa dari subbab kita akan mencurahkan perhatian pada sederetan teorema yang akan mengungkapkan hubungan yang tidak terlihat antara konsep-konsep merentang, kebebasan linear, basis, dan dimensi. 'eorema-teorema ini bukanlah merupakan pekerjaan yang sia-sia dalam teori matematika. 'etapi, 'eorema-teorema tersebut sangat penting untuk memahami ruang-ruang ektor, dan sebagian besr aplikasi praktis dari aljabar linear yang disusun berdasarkan konsep tersebut.
'eorema berikut, yang disebut terema plus/minus , menyusun dua prinsip dasar yang akan menjadi patokan sebagian besar teorema selanjutnya
3eorema .+.+ 3eorema /us5'inus
Misalkan S adalah himpunan tak kosong ektor- ektor pada ruang ektor /. a. jika S adalah himpunan bebas linear dan jika v adalah suatu ektor pada / yang terletak diluar rentang (S), maka himpunan S
∪
:2 yang diperoleh dengan
menyisipkan kedalm S masih bersi"at linear. b. 1ika adalah suatu ektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari ektor- ektor lainnya pada S, dan jika S-:2 menotasikan himpunan yang di peroleh dengan mengeluarkan dari S, maka S dan S-:2 merentang ruang yang samaI yaitu rentang(S) 7 ( S-:2) akan dialihkan pembuktiannya kebagian akhri subbab ini, sehingga dapat segera melanjutkan ke konsekuensi dari teorema tersebut. Jamun demikian, teorema tersebut dapat di isualisasikan pada > ! sebagaimana berikut $ a. Suatu himpunan S yang terdiri dari du ektor bebas linear pada > ! merentang suatu bidang melewti titik asal. 1ika kita memperbesar S dengan menyisipkan suatu ektor sebarang diluar bidang ini (gambar) maka himpunan yang diperoleh yang terdiri dari ketiga ektor terletak pada bidang yang sama dengan dua ektor yang lainnya. b. 1ika S adalah suatu himpunann yang terdri dari tiga ektor nonkolinear > ! yang terletak pada suatu bidang yang sama melewati titik asal (gambar
Maka, ketiga ektor merentang bidang. 'etapi, jika kita mengeluarkan dari S ektor sebarang yang merupakan kombinasi linear dari dua ektor lainnya, himpunan sisa yang terdiri dari dua ektor akan tetap merentang bidang. Secara umum, untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan ektor- ektor :*, %, n2 adalah basis untuk suatu ruang ektor /, akan ditunjukkan ektor tersebut bebas linear dan merentang /. tetapi, jika kita kebetulan mengetahui bahwa / memiliki dimensi n (sehingga :*, %, n2 yang mengandung jumlah ektor yang tepat untuk suatu basis), maka kita hanya perlu
memeriksa salah satu, yaitu apakah bebas linear atau merentang. Sedangkan syarat lainnya akan berlaku secara otomatis. &enjelasan ini merupakan isi dari teorema berikut 3eorema .+.
1ika / adalah suatu ruang ektor berdimensi n dan jika S adalah suatu himpunan pada / dengan tepat n ektor, maka S adalah basis / jika salah satu dari hal berikut berlaku, S merentang / atau S bebas linear.
Bukti :
=sumsikan S memiliki tepat n ektor dan merentang /. untuk membuktikan S adalahsuatu basis, akan di tunjukkan S adalah himpunan bebas linear. 'etapi jika hal ini tidak berlaku, maka beberapa ektor pada S adalah suaatu kombinasi linear dari ektor-ektor lainnya. 1ika kita menghilangkan ektor ini, dari S, maka sesuai dengan teorema plusKminus (5.6.6b) diperoleh bahwa himpunan sisa yang terdiri dari n G * ektor masih merentang /. 'etapi hal ini tidak mungkin, karena sesuai teorema 5.6.%b, tidak ada himpunan dengan ektor kurang dari n yang dapat merentang ruang ektor berdimensi n. Dengan demikian, S bebas linear. =sumsikan S memiliki tepat n ektor dan merupakan suatu himpunan bebas linear. ntuk membuktikan bahwa S adalah suatu basis, kita harus menunjukkan S merentang /. tetapi jika hal ini tidak berlaku. Maka terdapat beberapa ektor didalam / yang tidak berada pada rentang (S). 1ika kita menyisipkan ektor ini kedalam S. Maka sesuai dengan teorema plusKminus (5.6.6a) bahwa himpunan yang terdiri dari n + * ektor ini akan masih bebas linear tetapi hal ini tidak mungkin karena menurut teorema 5.6.%a tidak ada himpunan dengan ektor lebih dari n yang bebas linear. Dengan demikian S merentang /.
3eorema .+.
Misalkan S adalah suatu himpunan terhingga dari ektor-ektor pada suatu ruang ektor / berdimensi terhingga a. 1ika S merentang /, tetapi bukan suatu basis untuk /, maka S dapat di reduksi menjadi suatu basis untuk / dengan mengeluarkan ektor-ektor yang sesuai dari S. b. 1ika S adalah suatu himpunan bebas linear yang belum merupakan basis untuk / dengan menyisipkan ektor-ektor yang sesuai ke dalam S Bukti :
a. 1ika S adalah suatu himpunan ektor-ektor yang merentang / tetapi bukan merupakan
basis untuk /. maka S adalah suatu himpunan tidak bebas linear. 1adi, beberapa ektor pada suatu S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari ektor-ektor lain pada S besar dengang mnggunakan teoremaa plusKminus( 5.6..6b) kita dapat mengeluarkan dari S, dan himpunan S@ yang di peroleh masih akan tetap merentang / jika S@ bebaas linear, maka kita dapat mengeluarkan beberapa ektor yang sesuai dari S@ sehingga menghasilkan himpunan S@ yang masih merentang / kita dapat terus mengeluarkan ektor-ektor dengan cara ini hingga kita tiba pada suatu himpunan ektor-ektor pada S yang bebas linear merentang /. Subhimpunan dari S ini adalah basis untuk / b. Misalkan bahwa dim(/) 7 n. jika S adalah himpunan bebas linear yang belum menjadi basis untuk / maka S gagal merentang dan terdapat beberapa ektor pada / yang tidak termasuk dalam rentang (S). menurut teorema plusKminus (5.6.6a) dapat disisipkan kedalam S dan himpunan s@ masih akan tetap bebas linear jika S@ merentang / maka S@ adalah basis untuk /, dan pembuktianpun selesai. 1ika S@ tidak merentang /, maka bisa disisipkan suatu ektor yang sesuai kedalam S@ sehingga menghasilkan suatu himpunan S yang masih bebas linear. #ita dapat terus menyisipkan ektor-ektor dengan cara ini hingga kita memperoleh suatu himpunan n ektor bebas linear pada /. himpunan akan menjadi basis untuk / sesuai dengan teorema 5.6.5
