Aula 1 - Matemática atuarial de pessoas

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PONTO DOS CONCURSOS

MATEMÁTICA ATUARIAL DE PESSOAS SUSEP Aula 1 André Cunha 12/02/2010

Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de ensino) e aborda os seguintes tópicos: Conceitos básicos de Probabilidade e Matemática Financeira. Noções de Cálculo Diferencial e Integral.

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Caro concursando, Estamos começando um trabalho curto, porém bem intenso. O objetivo é estarmos muito bem preparados no dia 17 de abril para prestar a prova da SUSEP. O desafio é grande. Matemática Atuarial é uma matéria longe de ser elementar, pouco estudada (quase que na totalidade somente por quem é da área) e, como se não bastasse, houve mudanças significativas entre os editais de 2006 e 2010. Matemática Atuarial (Pessoas + Danos) responde neste concurso por 50% da prova específica, contra apenas 20% no certame de 2006. Entram tópicos novos, como Múltiplos Decrementos e Anuidades Contínuas, e deixam de constar outros, como Valores Garantidos. Essas mudanças no edital, acredito, refletem a constante evolução no processo de capacitação profissional no mundo como um todo, mais particularmente na Inglaterra e nos Estados Unidos, onde a Atuária é mais desenvolvida. O Brasil vem correndo mais devagar, mas vem. Desde 2005 o IBA (Instituto Brasileiro de Atuária) só aceita como membros bacharéis em Ciências Atuariais que são aprovados em seus exames de admissão. Por essas razões é extremamente desafiador escrever esse curso. Para você, concursando, sugiro que tente manter a cabeça fria, principalmente com o que vai cair na prova. Ir bem em concurso é ir melhor que os outros, e me parece que (quase) todos estão com o mesmo problema. Tenho recebido vários e-mails todos os dias de pessoas preocupadas com bibliografia. Eu tenho razoável experiência como professor, aluno auto-didata e atuário, e confesso que tive relativa dificuldade em montar uma bibliografia para o presente curso. Devido a todo esse ambiente de mudanças já descrito, apesar de ser necessário resolver muitas questões de concursos anteriores – e vamos fazê-lo –, isso não será suficiente. Por isso o curso virá “quente”. Vou tentar expor a matéria da maneira mais simples possível, como foi dito na Aula 0, mas nunca abrindo mão do rigor matemático. Gosto muito de uma frase de Max Weber: “O homem não teria conseguido o possível se, repetidas vezes, não tivesse tentado o impossível”. Vamos tentar o impossível. Que todos os alunos do Ponto dos Concursos passem na SUSEP.

André Cunha

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Caro concursando, Estamos começando um trabalho curto, porém bem intenso. O objetivo é estarmos muito bem preparados no dia 17 de abril para prestar a prova da SUSEP. O desafio é grande. Matemática Atuarial é uma matéria longe de ser elementar, pouco estudada (quase que na totalidade somente por quem é da área) e, como se não bastasse, houve mudanças significativas entre os editais de 2006 e 2010. Matemática Atuarial (Pessoas + Danos) responde neste concurso por 50% da prova específica, contra apenas 20% no certame de 2006. Entram tópicos novos, como Múltiplos Decrementos e Anuidades Contínuas, e deixam de constar outros, como Valores Garantidos. Essas mudanças no edital, acredito, refletem a constante evolução no processo de capacitação profissional no mundo como um todo, mais particularmente na Inglaterra e nos Estados Unidos, onde a Atuária é mais desenvolvida. O Brasil vem correndo mais devagar, mas vem. Desde 2005 o IBA (Instituto Brasileiro de Atuária) só aceita como membros bacharéis em Ciências Atuariais que são aprovados em seus exames de admissão. Por essas razões é extremamente desafiador escrever esse curso. Para você, concursando, sugiro que tente manter a cabeça fria, principalmente com o que vai cair na prova. Ir bem em concurso é ir melhor que os outros, e me parece que (quase) todos estão com o mesmo problema. Tenho recebido vários e-mails todos os dias de pessoas preocupadas com bibliografia. Eu tenho razoável experiência como professor, aluno auto-didata e atuário, e confesso que tive relativa dificuldade em montar uma bibliografia para o presente curso. Devido a todo esse ambiente de mudanças já descrito, apesar de ser necessário resolver muitas questões de concursos anteriores – e vamos fazê-lo –, isso não será suficiente. Por isso o curso virá “quente”. Vou tentar expor a matéria da maneira mais simples possível, como foi dito na Aula 0, mas nunca abrindo mão do rigor matemático. Gosto muito de uma frase de Max Weber: “O homem não teria conseguido o possível se, repetidas vezes, não tivesse tentado o impossível”. Vamos tentar o impossível. Que todos os alunos do Ponto dos Concursos passem na SUSEP.

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PL ANO DE ENSINO ENSINO O planejamento de um curso é um processo dinâmico, não estático, principalmente em se tratando de um curso novo. Foram feitas algumas alterações no plano de ensino. Aula Data Conteúdo 0 31/ 01 INTRODUÇÃO. INTRODUÇÃO. Introdução às Funções de Sobrevivência e Tábua de Mortalidade. Paralelo entre Matemática Financeira e Matemática Atuarial. Valor Presente Atuarial (VPA). 1 12/ 02 CONCEITOS CONCEITOS BÁSICOS. BÁSICOS. Conceitos básicos de Probabilidade e Matemática Financeira. Noções de Cálculo Diferencial e Integral. 2-3 22/02 FUNÇÕES DE SOBREVIVÊNCIA. Funções de e Sobrevivência de uma vida. Tábua de Mortalidade. Tempo 0 01/ 1/ 03 de vida futuro de um recém-nascido, tempo até a morte de uma pessoa de idade x, força de mortalidade, tábua de mortalidade, relação entre a tábua de mortalidade e função de sobrevivência, esperança de vida, leis de mortalidade, métodos para fracionar idades, tábuas selecionadas. Comutações. 4 08/ 03 ANUIDADES. ANUIDADES. Anuidades discretas, contínuas e variáveis. 5 15/ 03 SEGUROS SEGUROS DE VIDA. Seguros de vida pagos no fim do ano da morte, relação entre seguro de vida e anuidades pagas no momento da morte, seguros variáveis. 6 22/ 03 PRÊMI OS. OS. Cálculo de prêmio único, fracionado, puro e comercial. Planos pagáveis por sobrevivência, morte e invalidez. RESERVAS. Métodos prospectivo, retrospectivo e recorrência. 7 29/ 03 MÚLTIPLAS VIDAS. Funções sobrevivência de múltiplas vidas – status da vida conjunta, status do último sobrevivente, funções de contingência e anuidades reversíveis. 8 05/ 04 MÚLTI PLOS DECREMENTOS. DECREMENTOS. Modelos de múltiplos decrementos e suas aplicações. Tábuas de múltiplos decrementos. 9 09/ 04 REGIMES FIN ANCEIROS E RI SCOS SCOS.. Regimes financeiros: repartição simples, repartição de capitais de cobertura e capitalização. Risco de subscrição. Risco de longevidade. Risco da taxa de juros. Risco em garantias mínimas. André Cunha


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Conteúdo 1. Probabilidade ....................................................................................................... 7 1.1. Os Diferentes Tipos de Probabilidade .............................................. 7 1.2. Conjuntos e Eventos ............................................................................ 10 1.3. Definição Axiomática de Probabilidade ......................................... 10 1.4. Probabilidades Conjunta e Condicional ......................................... 10 1.5. Independência ........................................................................................ 12 2. Variáveis Aleatórias......................................................................................... 13 2.1. Definição de Variável Aleatória ........................................................ 13 2.2. Função Discreta de Probabilidade ................................................... 14 2.3. Função de Distribuição de Probabilidade ..................................... 15 2.4. Função de Sobrevivência ......................................................................... 15 2.5. Funções de Distribuição e de Densidade de Probabilidade para Variáveis Contínuas .................................................................................. 16 2.6. Funções de Probabilidade Conjunta .................................................... 18 2.6.1. Funções de Probabilidade Marginal

.......................................................21

2.6.2. Funções de Probabilidade Condicional .......................................................22 2.6.3. Variáveis Aleatórias Independentes

.......................................................23

3. Valores Esperados Envolvendo Uma Única Variável Aleatória ....... 24 3.1. Média .......................................................................................................... 24 3.2. Valor Esperado de Uma Função de Variável Aleatória ............ 25 3.3. Variância ................................................................................................... 26 4. Matemática Financeira ......................................................... 27 4.1. Taxa efetiva de juros ................................................... 27 4.2. Função de acumulação ................................................. 28 4.3. Taxa instantânea de juros ............................................. 28 4.4. Valor Presente ............................................................ 30 4.4.1. Valor Presente de uma série de pagamentos.................................................31

4.5. 4.6.

Taxas nominais e taxas efetivas .................................... 32 Anuidades ou Rendas ................................................... 33

4.6.1. Renda imediata, postecipada e temporária....................................................34 4.6.2. Renda imediata, antecipada e temporária......................................................35 4.6.3. Renda diferida de m anos, postecipada e temporária....................................37

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Página 6 de 71 4.6.4. Renda diferida de m anos, antecipada e temporária......................................38 4.6.5. Rendas vitalícias (Perpetuidades).................................................................39 4.6.6. Rendas fracionadas........................................................................................40 4.6.7. Rendas contínuas...........................................................................................42

5. Noções de Derivada e Integral .............................................. 45 5.1. Noções de Derivada ..................................................... 45 5.2. Noções de Integral....................................................... 46 6. Exercícios de Fixação .......................................................... 49 7. GABARITO ......................................................................... 55 8. Resolução dos Exercícios de Fixação ...................................... 56

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1. Probabilidade A probabilidade é a teoria matemática que permeia toda a Matemática Atuarial. Um fenômeno é aleatório quando o seu comportamento futuro não pode ser previsto com absoluta certeza . Por exemplo, as condições climáticas no dia da prova da SUSEP não podem ser previstas com 100% de acerto. Por outro lado, é possível que a previsão do tempo seja realizada em termos probabilísticos. Se você tiver a curiosidade de consultar o site da empresa Climatempo 1, constatará que a previsão é dada em termos de “tendências” e que, inclusive, a seguinte observação é feita: “Esta tendência é resultado de modelos matemáticos e não tem interferência direta dos meteorologistas. Estes valores podem variar muito de um dia para o outro.”. Ou seja, a Climatempo está dizendo para os seus clientes, que são leigos em Meteorologia, que a previsão do tempo possui uma margem de erro e que isto se deve à utilização de modelos matemáticos probabilísticos de previsão. As variáveis demográficas são aleatórias por natureza . Não sabemos quais serão os seus valores futuros senão depois de observá-los. Para exemplificar, não sabemos quando vamos morrer (ainda bem!), ou qual a taxa de natalidade que terá o Brasil em 2010. Faremos uma breve revisão dos conceitos fundamentais da teoria da probabilidade nesta aula. 1.1. Os Diferentes Tipos de P robabilidade A) Probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis (teoria clássica) Nesta abordagem a probabilidade de um dado evento 2 calculada a priori3 pela fórmula

E

1

é

http://www.climatempo.com.br O conceito de evento será formalizado mais adiante nesta aula. 3 Aqui, a priori significa aquilo que está relacionado com o raciocínio lógico a partir de proposições auto-evidentes ou o que é pressuposto por experiência. Neste 2

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(1)

P =

N E N

em que P é a probabilidade de E , N E representa o número de ocorrências de E e N é o número de todos os resultados possíveis. Uma noção importante que está subentendida em (1) é que os resultados devem ser equiprováveis. Exemplo 1. Lance uma moeda não viciada (ou justa) duas vezes. Os resultados possíveis são cara-cara (CC), cara-coroa (CK), coroa-cara (KC) e coroa-coroa (KK). Qual é a probabilidade de se obter pelo menos uma coroa? Seja E o evento que denota a obtenção de pelo menos uma coroa; então E é o conjunto dos resultados E = {CK, KC, KK} .

O número de elementos em

P[ E ] =

N E N

=

3 4

E

é 3. Como N = 4, temos que

.▪

A definição clássica de probabilidade possui alguns defeitos, como, por exemplo, a sua não capacidade de abordar situações em que os resultados são não equiprováveis. B) P robabilidade como freqüência relativa Considere n realizações de um experimento aleatório (vide definição mais adiante). Então, define-se a probabilidade de um dado evento E como

contexto, a posteriori denotaria o que está relacionado com o raciocínio lógico a partir dos fatos que são observados.

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(2)

P[ E ] = lim n→∞

nE n

em que n E denota o número de ocorrências de E . Como na prática não podemos obter infinitas realizações, temos que (2) estima P [E ] dado um valor finito de n . Observe que 0 ≤ P[ E ] ≤ 1 , pois n E ≤ n . Um dos problemas desta abordagem é justamente o fato de nunca podermos realizar o experimento por um número infinito de vezes. Outra dificuldade é que assume-se que a razão n E /n possui um limite para n tendendo a infinito. Apesar dos problemas mencionados acima, a definição de probabilidade como freqüência relativa é essencial para a aplicação da teoria da probabilidade ao mundo real. C) Probabilidade baseada na teoria axiomática Esta é a abordagem moderna da probabilidade. Para desenvolvê-la, é preciso introduzir os conceitos de experimento aleatório, espaço amostral e evento. Um experimento aleatório é simplesmente um experimento em que os resultados são não determinísticos, isto é, probabilísticos. O espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório . Um evento é um subconjunto do espaço amostral que satisfaz a certas restrições (não vem ao caso, neste curso, detalhar quais são estas restrições). De forma geral, quase todo subconjunto do espaço amostral é um evento 4. O moderno tratamento axiomático da teoria da probabilidade é em grande parte devido à pesquisa do brilhante matemático russo Andrei N. Kolmogorov (1903-1987) 5.

4

5

Nem todo subconjunto do espaço amostral é um evento. Eventos são subconjuntos do espaço amostral que têm medidas de probabilidade consistentes com os axiomas da probabilidade do item 1.3. Apesar deste tipo de informação não ser importante para a prova, não nos custa nada conhecer um pouco da história da matemática e “pagar o tributo” a um dos maiores matemáticos de todos os tempos!

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1.2. Conjuntos e Eventos Um conjunto é uma coleção de objetos abstratos ou concretos. Um exemplo de conjunto concreto é o conjunto de todos os residentes na cidade de São Paulo cuja altura exceda 1,60 m. O conjunto de todos os habitantes de São Paulo com altura entre 1,60m e 1,70m é um subconjunto do conjunto anterior. No estudo da probabilidade, nós estamos interessados no conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento (espaço amostral) e nos subconjuntos daquele conjunto. É comum representar o espaço amostral de um experimento aleatório usando a letra grega Ω (ômega). Eventos são subconjuntos de Ω. O próprio conjunto Ω é um evento, o qual é denominado evento certo. 1.3. Definição Axiomática de P robabilidade Seja um experimento aleatório com espaço amostral Ω. Considere um evento qualquer E. Define-se probabilidade como a função P[.] que atribui um número P[E] para o evento E do espaço amostral Ω denominado probabilidade de E tal que a) P[E] ≥ 0. b) P[Ω] = 1. c) P[E ∪ F] = P[E] + P[F] se E ∩ F = ∅. As expressões (a), (b) e (c) são os axiomas da probabilidade . 1.4. P robabilidades Conjunta e Condicional Assuma que se queira realizar o seguinte experimento: estamos numa certa cidade do Brasil e desejamos coletar dados sobre o tempo local. Em particular estamos interessados em três eventos, os quais serão denominados A, B e C, onde é o evento que representa uma temperatura igual ou maior a 20º C em qualquer dia; A

é o evento que denota um índice de precipitação maior ou igual a 10mm em qualquer dia; B

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isto

C é o evento que representa é, C = AB (ou C = A ∩ B);

a ocorrência simultânea de A e B,

Como C é um evento, P[C] é uma probabilidade que satisfaz os axiomas. Mas P[C] = P[AB]; neste caso, diz-se que P [ A B ] é a probabilidade conjunta dos eventos A e B . Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório de interesse pode ser desmembrado em duas etapas. A informação do que ocorreu numa dada etapa pode influenciar as probabilidades de ocorrências das etapas seguintes. Nestes casos, diz-se que ganhamos informação e que podemos “recalcular” as probabilidades de interesse. Essas probabilidades “recalculadas” são conhecidas como probabilidades condicionais. A definição de probabilidade condicional será motivada pelo exemplo a seguir. Exemplo 2. Considere os eventos A, B e C definidos acima. Seja ni o número de dias em que o evento i ocorreu. Ao longo de 1000 dias ( n = 100), foram feitas as seguintes observações: nA = 711, nB = 406, nAB = 200. Pela interpretação da probabilidade em termos da noção de freqüência relativa, podemos estimar que: P[A] ≈ nA /n

= 711/1.000 = 0,711 P[B] ≈ nB /n = 406/1.000 = 0,406 P[AB] ≈ nAB /n = 200/1.000 = 0,200 Agora considere a razão nAB /nA . Esta é a freqüência relativa de ocorrência do evento AB quando o evento A ocorre. Dito de outra forma, nAB /nA corresponde à fração do tempo em que o índice de precipitação é maior ou igual a 10mm naqueles dias em que a temperatura é igual ou maior a 20º C. Portanto, estamos lidando com a freqüência de um evento, dado que ( ou condicionado ao fato de que) outro evento ocorreu. Note que n AB n A

=

n AB / n n A / n

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≈

P [ AB] P [ A]


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Este conceito empírico sugere que seja introduzido o conceito de uma medida de probabilidade condicional definida por (3)

P [ B / A] =

P [ AB] P [ A]

,

P [ A] > 0

em que P [ B / A] denota a probabilidade de que que A ocorreu.

B

ocorra dado

Similarmente, (4)

P [ A / B] =

P [ AB] P [ B ]

,

P [ B ] > 0

1.5. Independência Os eventos A e B, pertencentes ao espaço amostral P[A] > 0 e P[B] > 0, são independentes se e somente se (5)

P [ AB] = P [ A] P [ B] .

Ω,

com

Importante para a Prova!

Como P [ AB] = P [ B / A] P [ A] = P [ A / B] P [ B] , segue-se que (6)

P [ A / B] = P [ A]

(7)

P [ B / A] = P [ B]

são válidas quando A e B são eventos independentes. A definição de independência diz que, se A e B são independentes, então o resultado B não terá efeito sobre a probabilidade de A e vice-versa.

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2. Variáveis Aleatórias 2.1. Definição de Variável Aleatória Uma quantidade X, associada a cada possível resultado do espaço amostral, é denominada variável aleatória discreta se assume valores num conjunto contável ou enumerável 6 (como o conjunto dos números inteiros Ζ ou o conjunto dos números naturais Ν), com certa probabilidade. Logo, uma variável aleatória é uma função, e não uma “variável” propriamente dita. São exemplos de variáveis aleatórias discretas: • Número de coroas obtido no lançamento de duas moedas; • Número de itens defeituosos em uma amostra retirada,

aleatoriamente, de um lote; • Número de defeitos em um carro que sai de uma linha de produção.

Considere o lançamento de duas moedas mencionado acima. O espaço amostral é Ω

= {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)},

e os valores que a variável aleatória X (número de coroas) pode assumir são X

= {0, 1, 2}.

Observe que o valor x = 0 está associado ao resultado (cara, cara), o valor x = 1 está associado aos resultados (cara, coroa) e (coroa, cara) e o valor x = 2 está associado ao resultado (coroa, coroa). Uma variável aleatória contínua é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto dos números reais (conjunto não enumerável). Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: 6

Um conjunto é enumerável quando é possível estabelecer uma correspondência do tipo “um para um” (biunívoca) com o conjunto dos números naturais. Isto quer dizer que é possível contar um conjunto enumerável .

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• Tempo de resposta de um sistema computacional; • Volume de água perdido por dia, num sistema de

abastecimento; • Resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão. 2.2. Função Discreta de P robabilidade A função que atribui a cada valor de uma variável aleatória discreta sua probabilidade é chamada de função discreta de probabilidade ou, simplesmente, função de probabilidade (8)

P [ X = xi ] = f ( xi )

i = 1,2,...

Uma função de probabilidade satisfaz 0 ≤ f (xi) ≤ 1 e ∑i f (xi) = 1. As variáveis aleatórias discretas são completamente caracterizadas pela sua função de probabilidade . Exemplo 3. Considere o lançamento de um dado não viciado. A probabilidade de se obter um resultado de 1 a 6 é igual a 1/6. O espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A Fig. 1 ilustra a função de probabilidade f (xi) =1/6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, da variável aleatória X.

f (x )

0

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1

2

3

4

5

6

7

x

Figura 1: função de probabilidade .

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2.3. Função de Distribuição de P robabilidade A função de distribuição ou função acumulada de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é definida pela expressão (9)

F ( x ) = P [ X ≤ x] .

A Fig. 2 mostra a função de distribuição F(x) da variável aleatória do exemplo 3.

F(x) 1 5/6 2/3 1/2 1/3 1/6

1

2

3

4

5

x

6

Figura 2: função de distribuição de probabilidade .

2.4. Função de Sobrevivência A função de sobrevivência de uma variável aleatória discreta X é definida pela expressão André Cunha


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(10)

S ( x) = P [ X > x] .

É claro que F(x) + S(x) = 1, para todo x.

2.5. Funções de Distribuição, de Densidade de Probabilidade e de Sobrevivência para Variáveis Contínuas Diz-se que f (x) é uma função contínua de probabilidade ou função densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz duas condições: 1. f (x) > 0 para todo x (- , ); 2. a área definida por f (x) é igual a 1. A condição 2 é dada pela integral ∞

(11)

∫ f ( x)dx = 1 .

−∞

Para calcular probabilidades, temos que, para a ≤ b (12)

b

∫

P [ a ≤ X ≤ b] = f ( x ) dx . a

Observe que a probabilidade de ocorrência de um dado valor isolado “k” é sempre nula, ou seja, P[x = k] = 0. As funções de distribuição e de sobrevivência de uma variável aleatória contínua X também são definidas pela expressão (9) e (10), que podem ser postas nas formas (13)

x

F ( x ) =

∫ f (λ )d λ .

−∞

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Página 17 de 71 ∞

(14)

∫

S ( x) = f (λ ) d λ . x

De (11), (13) e (14), mais uma vez temos a relação F(x) + S(x) = 1

As Figuras 3 e 4 ilustram as funções densidade de probabilidade e de distribuição de uma variável aleatória Normal (vide definição no item 4.1).

Figura 3: função densidade de probabilidade Normal .

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Figura 4: função de distribuição Normal .

2.6. Funções de Probabilidade Conjunta É possível definir mais de uma variável aleatória num mesmo espaço de probabilidade7. Por exemplo, considere o lançamento simultâneo de duas moedas não viciadas. Aqui a ordem do resultado 7

Um espaço amostral Ω e uma medida de probabilidade P formam um espaço de probabilidade Ψ. Na verdade, esta definição é incompleta; não obstante, está coerente com os conceitos ensinados nesta aula. Para maiores detalhes sobre as sutilezas da teoria de probabilidade, recomendamos que você consulte (não agora que você está na reta final para a SUSEP, mas somente depois de passar!) “An Introduction to Probability Theory and Its Applications ” de William Feller. Esse livro é considerado uma das “bíblias” da teoria de probabilidade.

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não é importante de modo que os resultados elementares do experimento aleatório são ζ 1 = CC (cara-cara), ζ 2 = CK (cara-coroa) e ζ 3 = KK (coroa-coroa). Logo, o espaço amostral é Ω = { CC, CK, KK}. Agora vamos definir as variáveis aleatórias: X 1 (ς ) = 0 se pelo menos uma das moedas der cara (C) ( X 1 (ς ) = 1 para os demais casos) e X 2 (ς ) = −1 se der uma cara e uma coroa (CK) ( X 2 (ς ) = +1 para os demais casos). Então P[X1=0] = ¾ (porque P[CC] = ¼ e P[CK]= ½), P[X1=1] = ¼, P[X2=-1] = ½ e P[X2=+1] = ½. Além disso, note que a probabilidade do evento conjunto P[X1=0, X2=+1] = P[CC] = ¼. O evento conjunto {X ≤ x, Y ≤ y} = {X ≤ x} ∩ {Y ≤ y} consiste em todos os resultados ς ∈ Ω tais que X (ς ) ≤ x e Y (ς ) ≤ y (veja a Fig. 5).

y´

(x, y)

x´

Figura 5: a região hachurada representa o evento conjunto.

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A função de distribuição conjunta de X e Y é definida como (15)

F XY ( x, y ) = P [ X ≤ x, Y ≤ y ] .

Se F XY ( x, y ) for contínua e diferenciável (logo X e Y só podem ser variáveis aleatórias contínuas!), a função densidade de probabilidade conjunta de X e Y pode ser a partir da expressão (16)

∂2 [ F XY ( x, y )] . f XY ( x, y ) = ∂ x∂ y

A Fig. 6 mostra a função densidade de probabilidade conjunta Normal. O volume total sob a superfície da Fig. 6 é igual a um, haja vista que ∞ ∞

∫ ∫ f

XY

( x, y )dxdy = 1

(evento certo).

−∞ −∞

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Figura 6: gráfico da densidade conjunta Normal.

A probabilidade do evento { X ≤ x, Y ≤ y} é dada por

(17)

x

F XY ( x, y ) =

y

∫ d ε ∫ d η f

XY

−∞

(ε ,η ) .

−∞

Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas. Então a função discreta de probabilidade conjunta é definida por (18) 2.6.1.

f XY ( xi , yk ) = P [ X = xi , Y = yk ] .

Funções de P robabilidade Marginal

Dada uma função densidade de probabilidade conjunta, pode-se obter a função densidade de probabilidade de cada uma das variáveis aleatórias individuais.

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Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta f XY(x,y). Então f X(x) e f Y(y) são denominadas densidades marginais de X e Y, respectivamente, se são obtidas de f XY(x,y) por meio das expressões ∞

(19)

∫ f

f X ( x ) =

XY

( x, y ) dy

−∞ ∞

(20)

f Y ( y ) =

∫ f

XY

( x, y ) dx

−∞

Note que as funções de densidade de probabilidade marginal f X(x) e f Y(y) correspondem às funções de densidade de probabilidade individuais de X e Y, respectivamente. Podemos obter resultados similares para variáveis aleatórias discretas. Dada a função discreta de probabilidade conjunta f XY(xi,yk), as funções discretas de probabilidade marginal são dadas por (21)

f X ( xi ) =

∑ f

XY

( xi , yk )

k

(22)

f Y ( y k ) =

∑ f

XY

( xi , yk )

i

2.6.2.

Funções de Probabilidade Condicional

Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas com função de probabilidade conjunta f XY(xi,yk). Então as funções discretas de probabilidade condicional P[X=x / / X=xi] = i Y=yk] = f X/Y(x / i yk) e P[Y=yk f Y/X(yk /xi) são definidas como (23)

f X / Y ( xi / y k ) =

f XY ( xi , y k )

(24)

f Y / X ( yk / xi ) =

f XY ( xi , y k )

f Y ( yk )

f X ( xi )

,

f Y ( yk ) ≠ 0

,

f X ( xi ) ≠ 0

De (21) e (22) resulta que (25) André Cunha

f XY ( xi , y k ) = f X / Y ( xi / yk ) f Y ( yk ) = f Y / X ( yk / xi ) f X ( xi )


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Podemos definir as densidades condicionais associadas a duas variáveis aleatórias contínuas X e Y (com densidade conjunta f XY(x,y) e densidades marginais f X(x) e f Y(y)) de forma análoga8. A densidade condicional de Y dado o resultado X = x é definida por (26)

f Y / X ( y / x) =

f XY ( x, y ) f X ( x)

,

f X ( x ) ≠ 0

e a densidade condicional de X dado o resultado Y = y como (27)

f X / Y ( x / y ) =

f XY ( x, y ) f Y ( y )

,

f Y ( y ) ≠ 0 .

2.6.3. Variáveis Aleatórias I ndepend entes Quando X e Y são variáveis aleatórias independentes a função de probabilidade conjunta é igual ao produto das funções m arginais de probabilidade, ou seja (28)

f XY ( x, y ) = f X ( x) f Y ( y ) .

Podemos generalizar a fórmula (26). Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes com função de probabilidade conjunta f (x1, x2, ..., xn) e funções marginais de probabilidade f (x1), f (x2), ..., f (xn). Então é válida a expressão (29)

f ( x1 , x2 ,..., xn ) = f ( x1 ) f ( x2 )... f ( xn ) .

Se X e Y são independentes, então a densidade condicional de X, dado que Y = y é, (30) 8

f X / Y ( x / y ) =

f XY ( x, y ) f Y ( y )

=

f X ( x) f Y ( y ) f Y ( y )

= f X ( x) .

Apesar de termos afirmado que é possível obter as densidades condicionais (24) e (25) “de forma análoga” ao caso anterior (que envolvia variáveis aleatórias discretas), observe que (24) e (25) são obtidas a partir da definição de probabilidade condicional.

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e a densidade condicional de Y, dado que X = x é, (31)

f Y / X ( y / x ) =

f XY ( x, y ) f X ( x) f Y ( y ) = = f Y ( y ) . f X ( x) f X ( x )

3. Valores Esperados Variável Aleatória

Envolvendo

Uma

Única

Já dissemos que uma variável aleatória é completamente caracterizada (ou especificada) pela sua função de probabilidade . Isto quer dizer que temos toda a informação acerca de X quando sabemos quem é f X(x) (isto é, quando conhecemos a fórmula de f X(x)). Na prática, é bastante comum não conhecermos f X(x). Neste caso, como faríamos para caracterizar X? O fato é que normalmente temos acesso a diversas observações de uma variável aleatória e podemos nos aproveitar deste fato para tentar obter uma descrição, ainda que parcial, da mesma. Uma maneira alternativa de caracterizar uma variável aleatória envolveria a obtenção de estimativas de alguns de seus momentos ou “médias” estatísticas. Na prática, os momentos mais importantes são a média (momento de 1ª ordem) e a variância (momento de 2ª ordem). A média é uma medida de posição de f X(x) (veremos o que isso quer dizer logo seguir), ao passo que a variância é uma medida de dispersão (ou do grau de variabilidade ) de f X(x). A Estatística também define momentos de ordem mais alta como a assimetria (3ª ordem) e a curtose (4ª ordem), mas eles não serão vistos neste curso porque não são relevantes para a prova. Vejamos a seguir os conceitos de média e variância. 3.1. Média A média (também conhecida como valor esperado ou esperança) é uma medida de posição de uma função de probabilidade, servindo para localizar a função sobre o eixo de variação da variável em questão. Em particular, a média

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caracteriza o centro de uma função de probabilidade 9 . A média é uma característica numérica de uma função de probabilidade. Se X for uma variável aleatória discreta que pode tomar os valores x1, x2, ..., xn com probabilidades f (x1), f (x2), ..., f (xn), então a média de X é definida por (32)

E [ X ] = x1 f ( x1 ) + x 2 f ( x 2 ) + ... + x n f ( x n ) =

n

∑ x f ( x ) . i

i

i =1

em que

E

denota o operador esperança matemática.

Se a variável aleatória discreta X puder tomar um número infinito de valores, então (30) pode ser generalizada na forma (33)

E [ X ] = x1 f ( x1 ) + x 2 f ( x 2 ) + ... + x n f ( x n ) + ... =

∑ x f ( x ) . i

i

i

O valor esperado de uma variável aleatória contínua X com densidade de probabilidade f X(x) é dada pela integral (34)

E [ X ] =

∞

∫ xf ( x)dx . −∞

3.2. Valor Esperado de Uma Função de Variável Aleatória Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade f X(xi) e g(X) uma função de X. Então o valor esperado de g(X) é (35)

E [ g ( X )] =

∑ g ( x ) f ( x ) . i

X

i

i

9

A mediana e a moda também são medidas de posição. A mediana também procura caracterizar o centro de uma função de probabilidade, só que usando um critério diferente. A mediana é calculada com base na ordem dos valores de uma variável aleatória. A moda (ou modas) corresponde ao valor (ou valores) de máxima probabilidade.

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Caso X seja uma variável aleatória contínua com densidade de probabilidade f X(x), o valor esperado de g(X) é dado por ∞

(36)

∫

E [ g ( X )] = g ( x ) f X ( x )dx . −∞

Se g ( X ) = g 1 ( X ) + g 2 ( X ) , em que g1(X) e g2(X) também são funções de X, então vale (37)

E [ g ( X )] = E [ g 1 ( X )] + E [ g 2 ( X )] .

Relacionamos abaixo algumas propriedades importantes da esperança matemática E(.). Sejam “a” e “c” valores constantes e X uma variável aleatória (tanto faz se contínua ou discreta), então valem: 1.

E [c] = c ;

2.

E [cX ] = cE [ X ] ;

3.

E [ a + cX ] = a + cE [ X ] .

Note-se que também é usual denotar a média de X usando o símbolo X ou a letra grega μ . 3.3. Variância Sejam X uma variável aleatória (discreta ou contínua) e g ( X ) = [ X − X ]2 uma função de X. Define-se a variância de X (denotada por var( X ) ou 2 ) como o valor esperado E[g(X)] dado por (38)

2 2 2 2 2 2 var( X ) = σ X = E [ g ( X )] = E [ X − X ] = E [ X − 2 X X + X ] = E [ X ] − [ X ]

Sejam “a” e “c” constantes e Z = a + cX. Não é difícil demonstrar que vale a propriedade (39)

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var(a + cX ) = c var( X ) . 2


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A raiz quadrada da variância é chamada de desvio-padrão ou erro-padrão, sendo denotada pelo símbolo .

4. Matemática Financeira Juros simples não têm nenhuma aplicação relevante para a matemática atuarial.10 Desta forma, tudo o que se falar daqui para frente envolverá apenas capitalização composta ou contínua. Aqui cabe um parêntesis: Não tem caído questões envolvendo cálculo diferencial e integral nas provas da SUSEP. Só que desta vez a ESAF pede no edital anuidades contínuas. Este tópico só pode ser tratado através de derivadas e integrais. Por isso veremos matemática financeira também sob essa perspectiva. a) Se você já estudou cálculo alguma vez na sua vida, não deve ter problemas nesta parte, e pule o item 5 desta aula. b) Se você nunca estudou, vou tentar passar os bizús 11 para a prova. Não acredito que a ESAF pegue pesado em cálculo, até por ser a primeira vez que essa matéria consta do edital. Isso será feito no item 5. Recomendo sua leitura antes do item 4. c) Se você nunca estudou, uma outra opção é pular essa parte. Cálculo se dá em 4 semestres, 6 horas por semana em um curso de engenharia ou matemática de alto nível. Não dá para aprender em 2 meses. Além disso, não acredito que caia mais de uma questão envolvendo cálculo. Isso implica que umas nove questões não envolverão. Por último, todos temos deficiências. Um dos componentes da fórmula do sucesso12 é saber reconhecê-las, e focar nos nossos pontos fortes. 4.1. Taxa efetiva de juros Dito isso, vamos definir taxa efetiva de juros i, como o montante que uma unidade monetária (u.m.) irá render durante um período. Assim, se temos 1 real no começo do período, no fim dele teremos 1 + i.

10

Na minha opinião, a melhor aplicação de juros simples é para resolver problemas de juros simples em provas! 11 Carioquês ou Militarês para “dicas”. 12 Desculpe se pareceu brega, mas para mim é verdade.

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4.2. Função de acumulação Definimos a função de acumulação a(t) como a que representa o valor acumulado de uma u.m. no tempo t. Propriedades de a(t): 1. a(0) = 1 2. t2 > t1 ⇒ a(t2) > a(t1) 3. a(1) - a(0) = i ⇒ a(1) = 1 + i 4. a(β +δ) = a(β).a(δ) A propriedade 1 vem direto da definição de a(t). A propriedade 2 diz que a taxa de juros é sempre positiva. Apesar de matematicamente podermos ter i negativo, é bem razoável supô-lo positivo para todas as situações que veremos daqui em diante. A propriedade 3 vem direto da propriedade 1. E da definição de taxa efetiva de juros. A propriedade 4 afirma que os juros que rendem 1 u.m. durante um determinado período são iguais aos juros proporcionados por essa mesma u.m. durante uma parte deste período mais os juros obtidos reinvestindo-se o capital resultante durante o resto do período. Função de acumulação para t períodos, t inteiro, i constante. (40)

a (t ) = a (

t

t

∑1) = ∏ a(1) = a(1) k =1

t

= (1 + i ) t

13

k =1

Função de acumulação para t períodos, t inteiro, taxa efetiva de juros de ik, constante durante o período k. (41)

a(t ) =

t

∏ (1 + i ) k

k =1

Note que (40) é um caso particular de (41) para i = i k. 4.3. Taxa instantânea de juros – capitalização contínu a A taxa de capitalização contínua (42)

13

δ t =

1

a(t )

⋅

δt

(lê-se delta t) é definida por:

da(t ) dt

A fórmula (40) vale mesmo para t não inteiro.

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da(t ) dt

é a variação da função acumulação com o tempo. Mede o

quanto de juros foi agregado durante um intervalo de tempo infinitesimal dt. Dividimos o resultado pelo valor no início do período, a(t), e temos a taxa instantânea de juros, exatamente como fazemos no caso discreto. Dessa forma, δt representa e taxa de juros exatamente no instante t. Outra forma de apresentar a taxa instantânea de juros é 14 (43)

δ t =

d ln(a (t )) dt

Onde ln( x) = log e ( x) denota o logaritmo neperiano de um número positivo x, ou logaritmo de x na base e ≈ 2,71828. Partindo de (43) chega-se à função de acumulação para o caso contínuo: t

∫ δ dr

(44) a(t ) = e 0

r

Quando a taxa instantânea de juros for constante, temos:

δt

=

δ,

δ t (45) a(t ) = e

Repare que as equações (40) e (45) referem-se à função de acumulação para taxas de juros constantes. Assim, temos obrigatoriamente t t t t (1 + i) = e δ ⇒ (1 + i) = (e δ ) ⇒ 1 + i = e δ

E finalmente temos as relações entre a taxa instantânea de juros δ e a taxa de juros i: (46) δ = ln(1 + i) ou (47)

i = e δ − 1

Exemplo 4: Determine a taxa de juros composta equivalente à taxa instantânea de juros δ = 2%. Solução: Como δ é constante usamos (47): 14

Compare as equações (42) e (43) com as (12) e (13) da Aula 0.

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i = e δ − 1 = e 0, 02 − 1 = 0,0202 = 2,02%

Exemplo 5: Seja acumulação a(t).

δt

=0,02t, para 0

≤

t

≤

2. Determine a função de

Solução: Como a taxa instantânea é variável, temos de usar (44): t

a(t ) = e ∫ 0

Mas

δ r dr

2

0, 02 rdr ∫ =e 0

∫ 0,02r dr = [0,01r ] 2

2 2 0

0

= 0,01 × 2 2 − 0,01 × 0 2 = 0,04

2

∫ Assim, a(t ) = e 0

0, 02 rdr

= e0,04

4.4. Valor Presente O valor presente (ou atual) de uma u.m. em t é o inverso da função de acumulação a(t). 1

1

a(t )

Tempo

0

t

Repare a importância da função de acumulação para se trazer a valor presente qualquer montante no futuro. O valor presente (VP) de M, t períodos à frente, no regime de juros compostos a taxa i a.p. (ao período), é dado por:

M Tempo VP

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0

t


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(48)

VP =

M a(t )

Por definição,

=

M (1 + i) t

v=

1 (1 + i )

. Isso facilita muito nossa notação, posto

que a equação (48) se reduz a

VP = Mv t .

O valor presente (VP) de M, t períodos à frente, no regime de capitalização contínua com taxa de capitalização contínua δt é dado por:

M Tempo VP

0

t t

∫ 0 VP Me = = = t (49) δ r dr a(t ) e ∫ 0 M

4.4.1.

M

− δ r dr

Valor Presente de um a série de pagamentos

Sejam dados n pagamentos M 1, M2, ... , Mn, nos tempos t1, t2, ... , tn. O VP desta série de pagamentos, no regime de capitalização composta, é dado por

M1

M2

Mn ... Tempo

VP

0

t1

...

t2

n

(50) VP = M 1v + M 2 v + ... + M n v = ∑ M j v t 1

t 2

t n

tn

t j

j =1

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4.5. Taxas nomin ais e taxas efetivas Até agora estudamos somente taxas de juros efetivas, isto é, o efetivo custo do dinheiro. Mas quando alguém vai ao banco pedir um financiamento e é informado que os juros nominais cobrados serão de 12% ao ano com capitalização mensal (12% a.a.c.c.m), será que essa pessoa pagará efetivamente 12% ao ano? A resposta é não. Vejamos o motivo. A população em geral é leiga em matemática (e em muitas outras coisas). Para o leigo, 12% a.a. equivale a 1% a.m. (ao mês). O seu limite de cálculo é esse. E é assim que são feitas muitas transações. Desta forma, 12% a.a.c.c.m significa pagar 12%/12 = 1% ao mês. Mas quem paga 1% ao mês paga efetivamente quanto ao ano? Sendo i a taxa anual efetiva, para cada unidade monetária que ele devia no ínicio do ano, ele deverá, ao final de um ano, 1 + i. Mas ele está pagando 1% a.m. Portanto, para cada unidade monetária que ele devia no ínicio do ano, ele deverá, ao final de um ano, (1 + 0,01) 12. Como os dois capitais no fim do ano têm de ser iguais, temos: 1 + i = (1 + 0,01)12 , de onde i = 0,1268 Conclusão: 12 % a.a.c.c.m equivalem a 12,68% de taxa efetiva. Para generalizar o resultado obtido usamos exatamente o mesmo raciocínio acima. Sendo: i(m) = taxa nominal pagável m vezes por período i = taxa efetiva do período m = número de divisões do período Temos então m

⎛ i ( m ) ⎞ ⎟⎟ ou (51) 1 + i = ⎜⎜1 + m ⎝ ⎠

(52)

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i

(m)

1 ⎛ ⎞ m ⎜ = m⎜ (1 + i) − 1⎟⎟ ⎝ ⎠


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Nota 1: Não é necessário memorizar (52), pois é apenas manipulação algébrica de (51). Nota 2: Não é nem necessário memorizar (51), tendo entendido como chegamos na fórmula. Nota 3: A taxa efetiva de juros é sempre maior ou igual à taxa nominal. As taxas só serão iguais quando forem iguais a zero. i ≥ i (m ) . Nota 4: Não confundir taxa efetiva ou taxa nominal com taxa real r. A taxa real é a taxa efetiva descontada a inflação, ou seja, 1+ i , onde θ é a taxa de inflação do período. Até segunda 1 + r = 1 + θ

ordem, não vamos usar taxas reais neste curso. i ( m ) = δ , a taxa instantânea de juros. Nota 5: Prova-se que mlim →∞ Exemplo 6: Determine a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa de 20% a.a.c.c.t (20% ao ano com capitalização trimestral). Solução Como são 4 trimestres ao ano, temos: m=4 i(m) = 0,2 4

0,2 ⎞ De (51), 1 + i = ⎛ ⎜1 + ⎟ = 1,2155 4 ⎠ ⎝

Assim, a taxa efetiva anual é de 21,55%. 4.6. Anuidades ou Rendas Peço a vocês agora especial atenção neste tópico, devido à sua importância. Apesar de ainda não pertencer ao escopo da Matemática Atuarial, visto que as rendas são certas e portanto independem de um elemento de risco, 15 todo o raciocínio deste item é análogo ao que veremos na A ula sobre anuidades sob a ótica atuarial, inclusive do ponto de vista notacional. Rendas são pagamentos periódicos, normalmente anuais, podendo ser de mesmo montante ou não, efetuados durante determinado tempo ou infinitamente, começando imediatamente ou

15

O valor presente das rendas depende do risco de taxa de juros. O que não sofre risco é o pagamento a ser feito. Os antigos detentores de títulos da Enron não concordam com essa afirmação.

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diferidos por alguns anos, e são pagos ou no início ou no fim de cada ano. Daqui em diante, até o final do curso, quando não for falado nada, as rendas são formadas por pagamentos constantes e o regime adotado é o de capitalização composta à taxa de juros i. Toda renda discreta segue o esquema gráfico abaixo (repetido por conveniência). M1

M2

Mn ... Tempo

VP

(50)

0

t1

VP = M 1v + M 2 v + ... + M n v t 1

...

t2

t 2

tn n

t n

= ∑ M j v

t j

j =1

4.6.1.

Renda ime diata, postecipada e temporária

Esta renda segue o seguinte esquema gráfico: 1

1

1 ... Tempo

VP

0

1

2

...

n

Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do primeiro ano (imediata), no final de cada ano (postecipada), durante n anos (temporária). Notação: Valor presente (t = 0): a n

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Valor acumulado (t = n): sn

(53) an

= v + v + ... + v = n

2

1− vn

i

n−1 n−2 s i i = + + + + ... + (1 + i) + 1 = ( 1 ) ( 1 ) (54) n

(1 + i) n − 1

i

Para a obtenção de (53) foram usados: • O VP de uma soma de fluxos é a soma dos VP`s dos fluxos • A fórmula da Soma de termos em Progressão Geométrica: Soma =

a1 (q n − 1) q −1

, onde a1 é o primeiro termo da série e q a

razão entre qualquer termo e seu antecessor. n ( 1 ) s a i = + Repare que n . Isso não é coincidência. Pode ser n

provado facilmente multiplicando (53) por (1 + i) n . Melhor que provar é visualizar. an e sn são valores da mesma anuidade. A única diferença são as datas às quais ambos se referem, 0 e n, respectivamente. Qualquer fluxo em t = 0 pode ser levado para t = n multiplicando-se por (1 + i ) n . Logo, podemos ver direto que n s a i = + ( 1 ) (55) n n

4.6.2.

Renda ime diata, antecipada e temporária

Esta renda segue o seguinte esquema gráfico:

1

1

1

1 ... Tempo

VP

André Cunha

0

1

2

... n-1


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Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do primeiro ano (imediata), no começo de cada ano (antecipada), durante n anos (temporária). Notação:

&&n Valor presente (t = 0): a Valor acumulado (t = n): s&&n

&&n = 1 + v + v + ... + v (56) a 2

&&n (57) s

= (1 + i) + (1 + i) n

n−1

n−1

=

1 − vn 1− v

=

1 − vn

d

+ ... + (1 + i) =

(1 + i) n − 1

d

Mais uma vez, e pelos mesmos motivos, n & & & & s a i = + ( 1 ) (58) n n

16

Aqui cabe outro parêntesis. Nas equações (56) e (57) apareceu pela primeira vez a taxa de desconto d. A taxa de juros i é a razão entre os juros pagos e o valor inicial (Vi). A taxa de desconto d é a razão entre os juros pagos e o valor final (Vf ). Exemplificando, seja um investimento de 100 reais que acumula no final do período 110 reais. A taxa de juros i é dada por

Juros V i

A taxa de desconto d é dada por

16

=

10 100

Juros V f

= 10%

=

10 110

= 9,09%

Deste ponto até o final da aula, nem sempre apresentaremos o valor acumulado, por dois motivos: cai muito menos e, se cair, basta levar o VP ao VF, como fi zemos em (55) e (58).

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Relações entre d, i e v.

d =

Juros V f

v + d =

Juros

=

V i

V f

⇒ d =

i 1+ i

V i 1

1+ i

+

i 1+ i

⇒ v + d = 1

Isto posto, voltemos às anuidades. 4.6.3.

Renda diferida de m anos , postecipada e temporária

Esta renda segue o seguinte esquema gráfico: 1

1

...

VP 0

0

...

1 ... Tempo

m

m+1

VP m

m+2

...

m+n

Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do m-ésimo ano (diferida), no final de cada ano (postecipada), durante n anos (temporária). Notação: Valor presente (t = 0):

a

m / n

Podemos calcular essas rendas diretamente, como fizemos em (53) e (54), sem maiores dificuldades. Mas preferimos calcular de outra forma, pois o raciocínio que usaremos é o mesmo que vamos precisar para resolver as questões de concurso. Primeiro passo: Calcular o valor dessa renda no instante m ( VP m ): Esse valor nada mais é que o valor presente de uma renda imediata, postecipada e temporária, ou seja, an .

André Cunha


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Segundo passo: Calcular o valor dessa renda no instante 0. Em outras palavras, trazer essa renda do instante t = m para o instante t = 0. Para isso, basta multiplicar VP m por vm. Desta forma, (59)

a = v m an = v m ⋅

m / n

Outra forma de calcular (60)

1− vn

i

a é

m / n

a = am+n − am

m / n

i

=

v m − v m+n

17

A equação (60) decorre do fato de que uma renda diferida de m anos, temporária por n anos, pode ser interpretada como uma renda imediata durante m + n anos, subtraindo-se uma renda imediata de m anos. Desenvolvendo (60), temos que:

a =

1 − v m+n

m / n

4.6.4.

i

−

1− vm

i

=

v m − v m+n i

Renda diferida de m anos , antecipada e temporária


1

1 ...

... 0

VP 0

... VP m

1

Tempo m

m+1

...

m+n-1

m+n

Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do m-ésimo ano (diferida), no começo de cada ano (antecipada), durante n anos (temporária). Notação:

17

Faltou a cantoneira no termo am+n, por limitações do editor de texto utilizado.

André Cunha


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Valor presente (t = 0):

&& a

m / n

Primeira forma de calcular

&& . a

m / n

Primeiro passo: Calcular o valor dessa renda no instante m ( VP m ): Esse valor nada mais é que o valor presente de uma renda

&&n . imediata, antecipada e temporária, ou seja, a Segundo passo: Calcular o valor dessa renda no instante 0. Em outras palavras, trazer essa renda do instante t = m para o instante t = 0. Para isso, basta multiplicar VP m por vm. Desta forma, (61)

&& = v a&&n = v ⋅ a m

1− vn

m / n

Outra forma de calcular (62)

m

d

=

v m − v m+n d

a é

m / n

&& = a&&m+n − a&&m a

m / n

A interpretação de (62) é análoga desenvolvimento deixamos para o aluno. 4.6.5.

à

de

(60).

O

Rendas vitalícias (P erpetuidades)

Rendas vitalícias, anuidades vitalícias, ou ainda perpetuidades, consistem de pagamentos de 1 u.m. feitos eternamente. Pode parecer elucubração matemática, mas não é. Em 2009, o Banco do Brasil precificou uma captação de bônus perpétuos no valor de US$ 1,5 bilhão!18 As perpetuidades podem ser imediatas ou diferidas, antecipadas ou postecipadas, mas obviamente nunca temporárias. Temos então quatro casos possíveis para as perpetuidades:

18

Fonte: www.bb.com.br

André Cunha


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• imediata postecipada:

a∞

&&∞ a

• imediata antecipada:

a

• diferida de m anos postecipada: • diferida de m anos antecipada:

m / ∞

&& a

m / ∞

Para calculá-las, ou você utiliza o mesmo raciocínio empregado para o cálculo das anuidades temporárias, ou percebe que as perpetuidades são apenas um caso limite das anuidades temporárias, quando o número de anos n tende ao infinito. Optamos pela segundo método. Temos então, dado que lim vn = 0 : n →∞

an = lim (63) a∞ = lim n→∞ n→∞

&&∞ (64) a (65)

(66) 4.6.6.

= lim a&&n = lim n→∞

n→∞

1 − vn

i 1 − vn

d

a =limm / an = lim

m / ∞

n→∞

n→∞

&& =limm / a&&n = lim a

m / ∞

n→∞

n→∞

=

1

=

1

i d

v m − v m+n i v m − v m+n d

= =

vm i vm d

Rendas fracionadas

Não pretendemos neste resumo de matemática financeira esgotar o assunto. Mas vamos introduzir aqui o conceito de rendas fracionadas, e quando estudarmos o assunto em matemática atuarial nos aprofundaremos. As anuidades fracionadas podem ser imediatas ou diferidas, antecipadas ou postecipadas, temporárias ou perpétuas. Vamos apresentar agora apenas renda fracionada imediata, postecipada e temporária. As derivações dos outros 7 casos são análogas às que fizemos nos subitens 4.6.1 a 4.6.5.

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1/m

1/m

1/m ... Tempo

0

VP

1/m

...

2/m

nm m

=n

Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. ao ano, divididos em m vezes de 1/m, pagos imediatamente, no final de cada subperíodo, durante n anos. Notação: ( m)

Valor presente (t = 0): an

( m) s Valor acumulado (t = n): n

Temos então

an( m)

1 2 3 1 n− ⎞ 1 ⎛ m n m m m = ⎜⎜ v + v + v + ... + v + v ⎟⎟ m ⎝ ⎠

O termo entre parêntesis é uma P.G. de nm termos cujos 1

primeiro termo e razão são iguais a

( m) n

a

⎛ ⎛ 1 ⎞ nm ⎞ ⎟ 1 ⎜1− ⎜v m ⎟ 1 v m ⎜ ⎜⎝ ⎠⎟ ⎟ v m ⎟= = ⎜ 1 m⎜ ⎟ m m ⎜⎜ 1 − v ⎟⎟ ⎝ ⎠

v

m

. Assim,

⎛ 1 − v n ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 1 − v m ⎠

Multiplicando denominador e numerador da equação acima por 1

1

(1 + i) , e usando a relação v (1 + i) m

André Cunha

m

1 m

= 1 e a equação (52) temos:


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(67)

( m) n

a

=

1 − vn

=

⎛ ⎞ m m⎜ (1 + i) − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1

1− vn

i ( m)

( m) ( m) n s a i = + ( 1 ) e como n , segue que n

( m) s (68) n =

1 − vn

i ( m)

⋅ (1 + i )n =

(1 + i) n − 1

i ( m)

Repare na semelhança das fórmulas (67) e (68) com as fórmulas (53) e (54), respectivamente. Elas diferem apenas pelo denominador, i (m ) no caso fracionário e i no caso não fracionário. Como i ≥ i (m ) ,

e s n( m) ≥ sn

a n( m ) ≥ a n

Em outras palavras, o VP da anuidade fracionada postecipada é maior que o VP da paga somente uma vez no período. Este é um resultado esperado, pois os pagamentos foram antecipados. 4.6.7.

Rendas contínuas

Estudamos o pagamento de uma renda sendo feito em m vezes durante o ano. Agora imagine a frequência m se tornando cada vez maior, indefinidamente, e o intervalo de tempo 1/m cada vez menor, indefinidamente. Teremos assim o que chamamos de renda contínua. Repare que nesse caso não faz sentido se falar em renda antecipada ou postecipada, mas continua a fazer sentido renda diferida ou imediata, e renda temporária ou vitalícia. Como fizemos com rendas fracionadas, vamos estudar apenas um caso. Os outros 3 casos são análogos. Anuidade contínua, imediata e vitalícia Notação: Valor presente (t = 0): an Valor futuro (t = n): sn Do exposto temos que: (69) an André Cunha

= lim a m→∞

( m) n

= lim

m→∞

1 − vn

i

( m)

=

1 − vn

δ

,


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i ( m) = δ , a taxa instantânea de juros. Onde usamos o fato de mlim →∞

A única diferença da equação (69) para (53) e (56) é que no denominador aparece a taxa instantânea de juros δ , no lugar de i e d, respectivamente. Outra forma de provar a equação (69) é calcular a integral n

⎡ v ⎤ vn − v0 , an = ∫ v dt = ⎢ = ⎥ ln v ⎣ ln v ⎦ 0 0 n

t

t

−1 Como ln v = ln(1 + i) = − ln(1 + i) = −δ ,

Segue que an

=

vn −1

− δ

=

1 − vn

δ

,

Para o cálculo do sn , adivinhem:

sn = an (1 + i) = n

(1 + i) n − 1

δ

Exemplo 7: Um felizardo foi contemplado por uma promoção de sua operadora de cartão de crédito que lhe dará R$ 5.000,00 por mês, durante 10 anos, sempre no final de cada mês. Sabendo que a taxa de juros de mercado é de 1% a.m., determine quanto que a operadora teria de separar hoje, para honrar esse compromisso. O primeiro pagamento é dentro de um mês. Solução: Trata-se de uma renda imediata, postecipada e temporária. Temos o esquema abaixo:

5.000

5.000

5.000 ... Tempo

VP

André Cunha

0

1

2

...


120 SUSEP 2010

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A operadora terá de separar o VP desta renda. Usando (53),

VP = 5000a120 = 5000

1 − vn

i

= 5000 ⋅

1 − 1,01−120 0,01

= 5000⋅ 69,70052

Assim, VP = R$348.502,60. Exemplo 8: Uma empresa planeja emitir bônus perpétuos remunerando o seu detentor à taxa de 10% a.a. Supondo que cada bônus tenha cupons anuais de R$ 500,00, o primeiro sendo pago no dia da emissão, determine o quanto a empresa vai conseguir captar se emitir 100.000 bônus. Solução: Esta renda segue o seguinte esquema gráfico (por bônus):

500

500

500 ... Tempo

0

VP

1

2

...

Esta é uma perpetuidade imediata antecipada. Para um bônus, usando (64), temos:

&&∞ = 500 ⋅ VP = 500 ⋅ a Mas d =

i 1+ i

=

0,1 1 + 0,1

Assim, VP = 500 ⋅

André Cunha

1

d

1

d

=

1 11

= 500 ⋅ 11 = 5500


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Como a empresa planeja emitir 100.000 bônus, ela deve captar 100.000 x 5.500 = R$ 550.000.000

5. Noções de Derivada e Integral

O melhor nome para esse item seria “Remendão de Cálculo”, mas ficaria muito feio no índice. Procuramos ser rigorosos ao tratar da Teoria das Probabilidades e de Matemática Financeira. Para o cálculo integral, não temos a menor pretensão de sermos rigorosos. Tratar com rigor essa matéria, mesmo em um resumo, não tomaria menos de 100 páginas de material, algo de que não dispomos e nem precisamos. Este item se destina aos que nunca viram cálculo integral antes, e seu objetivo é ajudar no cálculo de algumas integrais básicas, caso caiam na prova da SUSEP. É mais um guia de como calcular algumas derivadas e integrais. Agora, e somente agora, o objetivo não é aprender, é decorar. Quem quiser aprender, deve fazê-lo após o concurso, pois mesmo que não estudasse mais nada além de cálculo até a prova da SUSEP, ainda assim o tempo seria insuficiente para sua devida compreensão. Aos demais já iniciados em cálculo, sugiro ir diretamente aos exercícios. 5.1. Noções de Derivada Para o que pode cair na prova, toda função é derivável. Isto é, toda função f(x) tem uma derivada chamada f`(x). 19 A tabela abaixo lista as principais funções e suas respectivas derivadas,sendo a uma constante qualquer, e g e h funções de x.

19

Isto não é verdade. Há funções não deriváveis em alguns pontos. Há até funções não deriváveis em nenhum ponto.

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f(x) a x

f`(x) 0 1

x a ln( x )

ax a

−1

1/x

e x a x a ⋅ g

e x a x ln(a)

g + h

g ' + h '

a ⋅ g '

5.2. Noções de In tegral Integral é o inverso da derivada. Sendo mais preciso, se queremos calcular a integral de f(x), queremos calcular uma função F(x) tal que F’(x) = f(x). Por exemplo, se f(x) = 2x, F ( x) = x 2 , pois a derivada de x 2 é − 2 x 2 1 = 2 x . Como a derivada de uma constante é zero, qualquer função do tipo F ( x) = x 2 + c, c constante, é uma integral de f(x). Notação: F ( x) = ∫ f ( x)dx Assim, como fizemos para as derivadas, resumimos as principais integrais na tabela abaixo.

f(x) 0 1

F(x) c x+c

x a

x a +1 a +1

1/x

ln( x)

e x

e x

a x

+c

+c

a x ln(a )

André Cunha

+c

+c

a ⋅ g

a ⋅G

g + h

G + H


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Na tabela acima, novamente a é uma constante qualquer, g e h são funções de x. G e H são as integrais de g e h, respectivamente. Exemplos:

∫

∫

x 6

a)

f ( x ) = x ⇒ F ( x ) = f ( x) dx = x dx =

b)

f ( x ) = 4 ⇒ F ( x ) = 4dx = 4 1dx = 4 x + c

c)

f ( x ) = x 2

5

5

6

+c

∫

∫ + 3 x + 10 ⇒ F ( x) = ∫ f ( x)dx = ∫ ( x

⇒ f ( x) = ∫ x dx + ∫ 3 xdx + ∫ 10dx = 2

x 3 3

+ 3⋅

x 2 2

2

+ 3 x + 10)dx ⇒

+ 10 x + c

A integral que vimos acima é a chamada integral indefinida. Sempre haverá a constante na soma. O que pode cair na prova são as integrais definidas. São praticamente iguais às definidas, mas com uma diferença. Vamos estabelecer a integral definida de f(x), variando no intervalo de a até b, como segue: b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a

Assim, são os seguintes passos que temos de tomar para calcular uma integral. 1º passo: Calcular a integral indefinida F(x) 2º passo: Calcular F(b) e F(a) 3º passo: Calcular F(b) - F(a) É simples assim. Não tem segredo. Mas não vou lhe enganar. Com isso, você, que não pulou essa parte, não vai ter aprendido nada de cálculo. Mas vai responder às questões que envolvem integrais. É só isso que importa. Exemplos: d) Calcule

6

∫ ( x

2

+ 3 x + 10)dx .

0

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1º passo: Vimos, no exemplo c), que a integral indefinida da função

( x + 3x + 10) 2

é F ( x) =

x 3 3

+ 3⋅

x 2 2

+ 10 x + c

2º passo: F (6) =

63 3

+ 3⋅

62 2

+ 10 ⋅ 6 + c = 72 + 54 + 60 + c = 186 + c

F (0) = c

3º passo: Portanto,

6

∫ ( x

2

+ 3 x + 10)dx = F (6) − F (0) = 186 + c − c = 186

0

Repare que a constante c foi anulada durante o processo. Como isso sempre ocorrerá na integral definida, na prática não vamos mais escrever a constante no cálculo da integral. e) Calcule

10

∫ v dt t

0

Para a integral, v é constante (só não é constante o que depender da variável de integração, que neste caso é t) Da tabela, a integral de

v

t

é

v t ln v

. Teremos então

10

10 0 10 10 ⎡ v t ⎤ 1 − v10 v −v v −1 v −1 t ∫ 0 v dt = ⎢⎣ ln v ⎥⎦ = ln v = ln(1 + i) −1 = − ln(1 + i) = δ 0

10

Só para concluir. Cálculo é muito mais que isso. Mas dificilmente numa prova da ESAF cairá algo mais sofisticado. Mesmo assim, se cair, uma questão somente não é capaz de lhe tirar do páreo.

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6 . Exercícios de Fixação

O enunciado abaixo refere-se refere-se às questões de núm eros 1 a 4. Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de Estatística constatou que, em sua aula na graduação, a função de probabilidade de X, variável aleatória que representa o número de alunos ausentes às sextas-feiras, é a seguinte X

f (x)

0 1 2 3 4 5 6 7 0,010 0,020 0,310 0,320 0,240 0,080 0,019 0,001

1 . Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos estarão ausentes é (A) 0,63 (B) 0,13 (C) 0,87 (D) 0,56 (E) 1 2 . O valor esperado da variável aleatória X é (A) 3,08 (B) 3,26 (C) 2,12 (D) 0,32 (E) 0,96

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3 . O valor esperado de Y = 5X + 4 é (A) 4 (B) 3,1 (C) 15,4 (D) 19,4 (E) 81 4 . A variância de X é (A) 9,49 (B) 1,22 (C) 10,71 (D) 19,4 (E) 81 O enunciado a seguir refere-se refere-se às questões de núm eros 5 e 6. Seja X uma variável aleatória com densidade de probabilidade f X ( x) = 2 − 2 x para 0 ≤ x ≤ 1 e f X ( x ) = 0 para os demais valores. 5 . A probabilidade de se obter X maior do que 0 é (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1

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6 . A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1

O enunciado a seguir refere-se refere-se às questões de núm eros 7 a 10 Um total de 15.064.859 alunos estão matriculados no ensino superior, divididos entre cursos com duração de 4 anos, de 2 anos e de menos de 2 anos. A matrícula, separada por sexo, é mostrada na tabela a seguir.

Homens Mulheres

4 anos 4.076.416 4.755.790

2 anos 2.437.905 3.310.086

Menos de 2 anos 172.874 311.788

Fonte: Digest of Educational Statistics 1997, Tabela 170.

Nessa população, as probabilidades aproximadas de matrícula em um dos tipos de instituição de ensino superior, por sexo, são

Homens Mulheres

4 anos 0,27 0,32

2 anos 0,16 0,22

Menos de 2 anos 0,01 0,02

Considere o experimento de extrair aleatoriamente um estudante matriculado de sua população. Defina a variável aleatória X = 0, se um homem é selecionado, e X = 1, se uma mulher é selecionada. Defina a variável aleatória Y = 1, se o estudante escolhido é de um curso de 4 anos, Y = 2, se o estudante escolhido é de um curso de 2 anos e Y = 3, se é de um curso de menos de 2 anos.

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7. Qual é a probabilidade do estudante escolhido aleatoriamente ser homem (X = 0)? (A) 0,44 (B) 0,56 (C) 0,59 (D) 0,38 (E) 0,03

8. Qual é a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente, ser de um curso de 2 anos ( Y = 2)? (A) 0,44 (B) 0,56 (C) 0,59 (D) 0,38 (E) 0,03 9. Assinale a alternativa com a função discreta de probabilidade marginal f ( x) .

(A)

⎧0, x = 0 f ( x) = ⎨ ⎩ 1, x = 1

(B)

⎧0,56, x = 0 f ( x ) = ⎨ ⎩ 0,44, x = 1

(C)

⎧0,44, x = 0 f ( x ) = ⎨ ⎩ 0,56, x = 1

(D)

⎧0,59, x = 0 f ( x ) = ⎨ ⎩ 0,38, x = 1

(E)

⎧0,38, x = 0 f ( x) = ⎨ ⎩ 0,59, x = 1

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10. A função de probabilidade condicional para Y, dado que X =1 é ⎧ 0,57, y = 1 (A) f Y / X ( y / x = 1) = ⎪⎨0,40, y = 2 ⎪ 0,02, y = 3 ⎩ ⎧ 0,02, y = 1 (B) f Y / X ( y / x = 1) = ⎪⎨0,29, y = 2 ⎪ 0,48, y = 3 ⎩ ⎧ 0,48, y = 1 (C) f Y / X ( y / x = 1) = ⎪⎨0,29, y = 2 ⎪ 0,02, y = 3 ⎩ ⎧ 0,04, y = 1 (D) f Y / X ( y / x = 1) = ⎪⎨0,40, y = 2 ⎪0,57, y = 3 ⎩ ⎧ 0,57, y = 1 (E) f Y / X ( y / x = 1) = ⎪⎨0,40, y = 2 ⎪ 0,04, y = 3 ⎩

11. Determine o valor presente de uma anuidade que paga R$20 de forma contínua, durante 6 anos e meio. A taxa de juros composta é de 10% a.a. 12. (AFC – STN 2008 – ESAF) Em uma loja de departamentos está sendo oferecida a seguinte promoção: “nas compras acima de R$ 5.000,00, o valor é parcelado em 5 parcelas mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira em 90 dias”. Com base nessa condição e sabendo que a taxa aplicada ao mercado é de 2,5% a. m., podemos afirmar financeiramente que: A) as compras com valores de até R$ 5.000,00, quando parceladas, compensam financeiramente as compras de valores superiores a este valor, indicadas pela “promoção”. B) a loja deve fazer mais vezes esta promoção, especialmente em épocas festivas tipo Natal, pois trará um maior volume de vendas e de ganho nas operações. C) 10% é um desconto possível para o pagamento a vista. D) o valor a vista não pode ter desconto, pois não propicia o retorno dos clientes, implicando em prejuízos à operação. André Cunha


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E) a loja deve evitar fazer esta promoção, pois, por ter custo financeiro, descapitaliza a empresa, visto que reduz financeiramente seu capital de giro. 13. Uma perpetuidade antecipada e imediata tem, a uma taxa de juros de 5%, valor presente de R$ 210. Qual o valor de cada pagamento? 14. Considere uma anuidade que paga 1 real no fim do primeiro período, 2 reais no fim do segundo, e assim por diante, até o fim do sexto período, quando paga 6 reais. Determine uma expressão para o valor presente desta renda.

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6.

GABARITO

1–C 2–A 3–D 4–B 5–E 6–C 7–A 8–D 9–C 10 - E 11 - R$ 96,90 12 – C 13 - R$ 10 14 -

&&6 − 6v 6 a i

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7.

Resolução dos Exercícios de Fixação

O enunciado abaixo refere-se às questões de núm eros 1 a 4. Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de Estatística constatou que, em sua aula na graduação, a função de probabilidade de X, variável aleatória que representa o número de alunos ausentes às sextas-feiras, é a seguinte X

f (x)

0 1 2 3 4 5 6 7 0,010 0,020 0,310 0,320 0,240 0,080 0,019 0,001

1. Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos estarão ausentes é (A) 0,63 (B) 0,13 (C) 0,87 (D) 0,56 (E) 1 Resolução A probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 estarão ausentes é dada por 4

∑ f ( x) = 0,310 + 0,320 + 0,240 = 0,87

x = 2

GABAR I TO: C

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2. O valor esperado da variável aleatória X é (A) 3,08 (B) 3,26 (C) 2,12 (D) 0,32 (E) 0,96 Resolução E [ X ] =

7

∑ xf ( x)

x = 0

Logo, E[X] = 0 × 0,01 + 1 × 0,02 + 2 × 0,31 + 3 × 0,32 + 4 × 0,24 + 5 × 0,08 + 6 × 0,019 + 7 × 0,001 = 3,081 ≈ 3,08

GABAR I TO: A 3. O valor esperado de Y = 5X + 4 é (A) 4 (B) 3,1 (C) 15,4 (D) 19,4 (E) 81 Resolução E [Y ] = E [5 X + 4] = 5 E [ X ] + 4 = 5 × 3,081 + 4 = 15,405 + 4 = 19,405 ≈ 19,4 .

GABAR I TO: D

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4. A variância de X é (A) 9,49 (B) 1,22 (C) 10,71 (D) 20,305 (E) 85,525 Resolução var( X ) = E [ X 2 ] − X 2 =

7

∑ x f ( x) −X 2

2

.

x = 0 7

∑ x f ( x) =0 2

2

× 0,01 + 12 × 0,02 + 2 2 × 0,31 + 3 2 × 0,32 + 4 2 × 0,24 + 5 2 × 0,08 +

x = 0

+ 6 2 × 0,019 + 7 2 × 0,001 = 10,713

Então, 2 2 2 var( X ) = E [ X ] − X = 10,713 − 3,081 = 10,713 − 9,493 = 1,22 .

GABAR I TO: B O enunciado a seguir refere-se às questões de núm eros 5 e 6. Seja X uma variável aleatória com densidade de probabilidade f X ( x) = 2 − 2 x para 0 ≤ x ≤ 1 e f X ( x ) = 0 para os demais valores. 5. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1 André Cunha


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Resolução O gráfico da função densidade de probabilidade f X ( x) = 2 − 2 x está representado abaixo. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é, por definição, igual à área sob f (x), a qual é unitária, pois representa a probabilidade do evento certo. Conferindo: P [ X > 0] =

base × altura 2

=

1× 2 2

= 1.

f (x )

2

1

0

0,5

1

x

GABAR I TO: E 6. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1 André Cunha


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Resolução A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é igual à área sob f (x) no intervalo 0,5 < x ≤ 1 . Ou seja

P [ X > 0,5] =

0,5 ×1 2

= 0,25 .

GABAR I TO: C O enunciado a seguir refere-se às questões de números 7 a 10. Um total de 15.064.859 alunos estão matriculados no ensino superior, divididos entre cursos com duração de 4 anos, de 2 anos e de menos de 2 anos. A matrícula, separada por sexo, é mostrada na tabela a seguir.

Homens Mulheres

4 anos 4.076.416 4.755.790

2 anos 2.437.905 3.310.086

Menos de 2 anos 172.874 311.788

Fonte: Digest of Educational Statistics 1997, Tabela 170.

Nessa população, as probabilidades aproximadas de matrícula em um dos tipos de instituição de ensino superior, por sexo, são

Homens Mulheres

4 anos 0,27 0,32

2 anos 0,16 0,22

Menos de 2 anos 0,01 0,02

Considere o experimento de extrair aleatoriamente um estudante matriculado de sua população. Defina a variável aleatória X = 0, se um homem é selecionado, e X = 1, se uma mulher é selecionada. Defina a variável aleatória Y = 1, se o estudante escolhido é de um curso de 4 anos, Y = 2, se o estudante escolhido é de um curso de 2 anos e Y = 3, se é de um curso de menos de 2 anos.

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7. Qual é a probabilidade do estudante escolhido aleatoriamente ser homem (X = 0)? (A) 0,44 (B) 0,56 (C) 0,59 (D) 0,38 (E) 0,03 Resolução Seja f XY ( xi , yk ) , i = 1,2 e k = 1,2,3 , a função discreta de probabilidade conjunta da população de homens e mulheres da questão. Sendo assim, temos as seguintes probabilidades conjuntas: f XY ( x = 0, y = 1) = 0,27 f XY ( x = 0, y = 3) = 0,01 f XY ( x = 1, y = 2) = 0,22

Note

que

(i=1, k=1), f XY ( x = 0, y = 2) = 0,16 (i=1, k=2), (i=1, k=3), f XY ( x = 1, y = 1) = 0,32 (i=2, k=1), (i=2, k=2) e f XY ( x = 1, y = 3) = 0,02 (i=2, k=3). 2

3

∑∑ f

XY

( xi , yk ) = 0,27 + 0,16 + 0,01 + 0,32 + 0,22 + 0,02 = 1

i =1 k =1

(probabilidade do evento certo). O enunciado determina que a probabilidade P [ X = 0] seja calculada. Observe que P [ X = 0] = f X ( x = 0) , isto é, a probabilidade de o estudante escolhido aleatoriamente ser homem é igual à probabilidade marginal f X ( x) no ponto x =0. Vimos que f X ( xi ) = ∑ f XY ( xi , yk ) . Logo, k

P [ X = 0] = f X ( x = 0) = f XY ( x = 0, y = 1) + f XY ( x = 0, y = 2) + f XY ( x = 0, y = 3)] P [ X = 0] = 0,27 + 0,16 + 0,01 = 0,44

GABAR I TO: A

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8. Qual é a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente, ser de um curso de 2 anos ( Y = 2)? (A) 0,44 (B) 0,56 (C) 0,59 (D) 0,38 (E) 0,03 Resolução Seja g Y ( y ) = ∑ f XY ( xi , yk ) a função de probabilidade marginal de

.

Y

i

P [Y = 2] = g Y ( y = 2) g Y ( y = 2) = f XY ( x = 0, y = 2) + f XY ( x = 1, y = 2) P [Y = 2] = P [ X = 0, Y = 2] + P [ X = 1, Y = 2] = 0,16 + 0,22 = 0,38 .

GABAR I TO: D 9. Assinale a alternativa com a função discreta de probabilidade marginal f ( x) .

(A)

⎧0, x = 0 f ( x) = ⎨ ⎩ 1, x = 1

(B)

⎧0,56, x = 0 f ( x ) = ⎨ ⎩ 0,44, x = 1

(C)

⎧0,44, x = 0 f ( x ) = ⎨ ⎩ 0,56, x = 1

(D)

⎧0,59, x = 0 f ( x ) = ⎨ ⎩ 0,38, x = 1

(E)

⎧0,38, x = 0 f ( x) = ⎨ ⎩ 0,59, x = 1

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Resolução Sabemos que f X ( xi ) = ∑ f XY ( xi , yk ) . Portanto, k

f X ( x = 0) = f XY ( x = 0, y = 1) + f XY ( x = 0, y = 2) + f XY ( x = 0, y = 3) = 0,44

(calculado

na questão 7). f X ( x = 1) = f XY ( x = 1, y = 1) + f XY ( x = 1, y = 2) + f XY ( x = 1, y = 3) =

= 0,32 + 0,22 + 0,02 = 0,56 .

Assim a função de probabilidade marginal

f ( x )

é dada por

⎧0,44, x = 0 f ( x) = ⎨ ⎩ 0,56, x = 1

GABAR I TO: C 10. A função de probabilidade condicional para Y, dado que X =1 é ⎧ 0,57, y = 1 (A) f Y / X ( y / x = 1) = ⎪⎨0,40, y = 2 ⎪ 0,02, y = 3 ⎩ ⎧ 0,02, y = 1 (B) f Y / X ( y / x = 1) = ⎪⎨0,29, y = 2 ⎪ 0,48, y = 3 ⎩ ⎧ 0,48, y = 1 (C) f Y / X ( y / x = 1) = ⎪⎨0,29, y = 2 ⎪ 0,02, y = 3 ⎩ ⎧ 0,04, y = 1 (D) f Y / X ( y / x = 1) = ⎪⎨0,40, y = 2 ⎪0,57, y = 3 ⎩ ⎧ 0,57, y = 1 (E) f Y / X ( y / x = 1) = ⎪⎨0,40, y = 2 ⎪ 0,04, y = 3 ⎩

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Resolução Pela definição de probabilidade condicional temos que 4.755.790

f Y / X ( y = 1 / x = 1) =

8.377.664

f Y / X ( y = 2 / x = 1) =

3.310.086

f Y / X ( y = 3 / x = 1) =

311.788

8.377.664 8.377.664

≈ 0,57 ≈ 0,40 ≈ 0,04

Observe que f Y / X ( y = 1 / x = 1) + f Y / X ( y = 2 / x = 1) + f Y / X ( y = 3 / x = 1) ≈ 1

(evento certo)

Assim a função de probabilidade marginal f Y / X ( y / x = 1) é dada por ⎧ 0,568, y = 1 ⎪ f Y / X ( y / x = 1) = ⎨0,395, y = 2 ⎪0,037, y = 3 ⎩

f Y / X ( y / x = 1) = 0

e

p/ os demais valores de y.

Também podemos resolver a questão usando a fórmula f Y / X ( y / x = 1) =

f XY ( x, y ) . f ( x = 1)

Assim sendo, f XY ( x = 1, y = 1)

f Y / X ( y = 1 / x = 1) =

f ( x = 1)

f Y / X ( y = 2 / x = 1) = f Y / X ( y = 2 / x = 1) =

=

f XY ( x = 1, y = 2) f ( x = 1) f XY ( x = 1, y = 3) f ( x = 1)

0,32 0,56

≈ 0,57

=

0,22

=

0,02

0,56

0,56

≈ 0,40 ≈ 0,04

GABAR I TO: E André Cunha


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11. Determine o valor presente de uma anuidade paga R$20 de forma contínua, durante 6 anos e meio. A taxa de juros composta é de 10% a.a. Resolução O enunciado pede 20a6,5 . Da fórmula (69), temos que a6,5 =

1 − v 6 ,5

δ

.

Foi dado i = 10%, a taxa de juros composta. Vamos calcular a taxa instantânea de juros δ . δ = ln(1 + i) = ln1,10 = 0,953 .

Portanto,

20a 6, 5 = 20 ⋅

1 − v 6,5

δ

= 20 ⋅

1 − 1,10

−6, 5

0,0953

= 20 ⋅ 4,85 = 96,90

GABAR I TO: R$ 96,90 12. (AFC – STN 2008 – ESAF) Em uma loja de departamentos está sendo oferecida a seguinte promoção: “nas compras acima de R$ 5.000,00, o valor é parcelado em 5 parcelas mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira em 90 dias”. Com base nessa condição e sabendo que a taxa aplicada ao mercado é de 2,5% a. m., podemos afirmar financeiramente que: A) as compras com valores de até R$ 5.000,00, quando parceladas, compensam financeiramente as compras de valores superiores a este valor, indicadas pela “promoção”. B) a loja deve fazer mais vezes esta promoção, especialmente em épocas festivas tipo Natal, pois trará um maior volume de vendas e de ganho nas operações. C) 10% é um desconto possível para o pagamento a vista. D) o valor a vista não pode ter desconto, pois não propicia o retorno dos clientes, implicando em prejuízos à operação. E) a loja deve evitar fazer esta promoção, pois, por ter custo financeiro, descapitaliza a empresa, visto que reduz financeiramente seu capital de giro. André Cunha


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Resolução Questão facilitada pelo examinador, pois as opções A, B, D e E não fazem o menor sentido. Mas vamos ver porque o item C está correto. Para facilitar os cálculos vamos supor uma compra no valor de 10.000. O raciocínio funciona para qualquer valor que você escolher. Assim, pela promoção, serão pagas 5 parcelas mensais iguais de 2.000, a primeira em 90 dias. Temos então o seguinte esquema gráfico, sendo o tempo expresso em meses:

2000

2000

2000 2000

2000

Tempo (meses) VP 0

0

1

2

3

4

5

6

7

A taxa de juros de mercado é de 2,5% a.m. Vamos calcular o VP dos pagamentos. Trata-se de uma anuidade diferida e temporária. Pode ser antecipada (3 anos de diferimento) ou postecipada (2 anos de diferimento). Por que? Antecipada: VP = 2000×3 / a&&5 Postecipada: VP = 2000×2 / a5 Vamos usar a segunda fórmula: ambas têm de dar o mesmo resultado. Verifique.

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De (59) : VP = 2000×2 / a5 = 2000⋅

1,025−2 − 1,025−7 0,025

= 2000× 4,4220 = 8844

Assim, uma venda de 10.000, nas condições do exercício, equivale a uma receita à vista de 8.844. Qualquer valor à vista superior à 8.844 é viável para a empresa. Logo, um desconto de 10%, que resultaria numa venda de 9.000 à vista, é possível. GABAR I TO: C 13. Uma perpetuidade antecipada e imediata tem, a uma taxa de juros de 5%, valor presente de R$ 210. Qual o valor de cada pagamento? Resolução O examinador não precisa ser rigoroso. É ele quem manda. Na falta de rigor dele com o enunciado, nós temos de usar de bom senso para acertar a questão. A taxa é de 5%. Vamos supor que seja ao período. Não fosse assim, o problema seria indeterminado. O problema agora nos dá o VP e pede o valor de cada pagamento. Sugiro sempre fazer o esquema gráfico, pois nos ajuda a evitar erros. P

P

P ... Tempo

0

1

2

...

VP = 210

Como se trata de uma anuidade imediata antecipada, usamos a equação (64). Como VP = 210, temos

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&&∞ ⇒ 210 = P ⋅ VP = P ⋅ a

1

d

⇒ P = 210d = 210

i 1+ i

= 210 ⋅

0,05 1,05

= 10

Logo, o valor de cada pagamento é de R$ 10. Verifique, sem fazer contas, porque a equação levaria ao mesmo resultado!

210 = P + P ⋅ a ∞

GABAR I TO: R$ 10. 14. Considere uma anuidade que paga 1 real no fim do primeiro período, 2 reais no fim do segundo, e assim por diante, até o fim do sexto período, quando paga 6 reais. Determine uma expressão para o valor presente desta renda. Resolução Esta questão é teoria disfarçada de exercício. Vejamos o motivo. Esta renda segue o seguinte esquema gráfico:

1

2

3

4

5

6

Tempo (períodos) VP 0

0

1

2

3

4

5

6

Trazendo os 6 pagamentos a valor presente, temos: VP 0 = v + 2v 2 + 3v 3 + 4v 4 + 5v 5 + 6v 6

Esta equação já responde a questão. Fácil, não? Entretanto, além de ser um procedimento pouco elegante (mas esqueça

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elegância na prova, o que importa é acertar), a opção correta poderia (poderia não, iria!) vir em outro formato. Solução 1: A equação VP 0 = v + 2v 2 + 3v 3 + 4v 4 + 5v 5 + 6v 6 é o que se chama informalmente de “P.A – P.G”. Os termos em v estão em P.G. e seus coeficientes em P.A. O “macete”para resolvê-la é multiplicar ambos os membros dela pela razão da P.G. Temos então: VP 0 = v + 2v 2 + 3v 3 + 4v 4 + 5v 5 + 6v 6 v ⋅ VP 0 = v 2 + 2v 3 + 3v 4 + 4v 5 + 5v 6 + 6v 7

Subtraindo a 2ª equação da 1ª, chegamos a (1 − v) ⋅ VP 0 = v + v 2 + v 3 + v 4 + v 5 + v 6 − 6v 7 (1 − v) ⋅ VP 0 = v ⋅ (1 + v + v 2 + v 3 + v 4 + v 5 ) − 6v 7

O termo

é o VP de uma renda imediata, antecipada e temporária de 6 anos, ou seja, a&&6 . (1 + v + v 2 + v 3 + v 4 + v 5 )

Assim, (1 − v) ⋅ VP 0 = v ⋅ a&&6 − 6v 7 e segue que ⋅ VP 0 =

v (1 − v)

⋅ a&&6 − 6

v7 (1 − v)

.

Já está razoavelmente compacto, mas dá para melhorar. Se 1 , então com alguma manipulação algébrica, chegamos a v= 1+ i

v

1

(1 − v)

= . i

Finalmente, concluímos que VP 0 =

&&6 − 6v 6 a i

.

Importante: Uma renda que consiste de pagamentos em P.A., começando com 1 u.m. a partir do final do primeiro ano, até chegar a André Cunha


SUSEP 2010

m a r c o s

V i n í c i u s

F l o r i m

C o s t a ,

C P F : 0 8 7 4 0 2 7 8 7 0 0

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n u.m`s no final do n-esimo ano, recebe a notação de ( Ia) n (Ia de increasing annuity). Usando raciocínio idêntico ao que usamos neste exercício, provase que ( Ia ) n =

&&n − nv n a i

Solução 2: Já usando a notação apresentada, ( Ia) 6 é a soma de 6 anuidades diferidas, postecipadas e temporárias 20. A tabela abaixo ilustra essa afirmação.

a6

0 / 1 /

Ano 1 1

Ano 2 1 1

Ano 3 1 1 1

Ano 4 1 1 1 1

Ano 5 1 1 1 1 1

1

2

3

4

5

a5

2 / 3 /

a4

a3

4 /

a2

Ano 6 1 1 1 1 1 1 6

a

5 / 1

Soma

Esta soma tem exatamente os mesmos pagamentos que ( Ia6 ) . Portanto, terá o mesmo VP. Já colocando na notação de somatório, podemos afirmar que ( Ia ) 6 =

5

∑ k = 0

k /

a6− k

. Desenvolvendo, usando a fórmula (59), 5

( Ia) 6 =

20

O termo

0 /

5

∑ k = 0

k / a 6 − k =

5

∑ k = 0

v −v k

i

k + 6 − k

5

=∑ k = 0

v −v k

i

6

∑ (v = k =0

k

i

5

5

∑v − ∑v

−v )

k

6

=

k =0

k =0

i

a 6 pode ser visto como uma renda diferida em zero anos.

André Cunha


SUSEP 2010

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Aula 1 - Matemática atuarial de pessoas

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