Integrantes: Tatiana Tatiana Balcazar & Angie Camacho AREA BAJO UNA UN A CURVA
Para poder hablar del área bajo la curva, primero veamos ue es área! el área es la cantida cantidad d de super" super"ici icie e de una "igura "igura plana, plana, es decir el tama#o tama#o de la regi$n regi$n interna de la "igura, e%isten di"erentes "ormas de hallar el área de una "igura plana, a ue cada una tiene una "$rmula "$rmula establecida, establecida, sin embrago embrago cuando el área ue ueremos hallar es irregular no e%iste una "orma de"inida para determinarla' (n )recia utilizaron el m*todo de e%hauci$n ue es el m*todo m*todo de apro%imaci$n a un resultado, consiste en dividir el área en partes iguales los cuales llamaremos ∆ x sobre estas partes creamos rectángulos, los cuales pueden ser inscritos +dentro o bajo la curva o circunscritos +"uera o encima de la curva, la distancia recorrida por un objeto se puede calcular apro%imadamente por medio de sumas o bien e%actamente como el l-mite de una suma
Circunscritos
Inscritos
Figura 1
.i tomamos rectángulos inscritos inscritos obtenemos el área por de"ecto, de"ecto, apro%imando apro%imando el área real mediante el valor del rectángulo de altura /"+a0 la base dada por /+b1a0 2os inscritos los identi"icar identi"icaremos emos como A1 +área menor al tomar los rectángulos circunscritos hallamos el área por e%ceso A3 +4rea maor ue tambi*n hallamos de la misma "orma ue los inscritos pero tomando la altura /"+b0' Comparándolas con el área real bajo la curva tenemos ue el área por de"ecto es menor o igual al área real el área por e%ceso es menor o igual ue el área real' Podemos mejorar la apro%imaci$n del área real tomando cada vez rectángulos con valores más peue#os dentro del área, sin embargo cuando tenemos un n5mero
de rectángulos ue tienden a in"inito ∆ x tiende a igualarse a 6, de esta manera hallaremos el área real bajo la curva la identi"icamos por la integral de"inida: b
∫
AR = f ( ( x ) dx a
Figura 2
Cuando las dos áreas se igualan se vuelve área real +A 1 7 A8 7 A 3' 2a integral de"inida de f ( ( x ) d% desde a hasta b' (%isten dos m*todos para calcular el área bajo la curva, la suma de 8iemann ue es un teorema teorema más largo largo el teorema teorema "unda "undamen mental tal del calcu calculo lo ue es más abrevi abreviado, ado, indepe independi ndient enteme emente nte del m*todo m*todo ue utilic utilicemo emoss debemo debemoss llegar llegar al mismo resultado' SUMA DE RIEMANN
Para dar el valor de la integral de"inida utilizaremos la suma de 8iemann ue consiste, consiste, como lo hab-amos hab-amos e%plicado e%plicado anteriormente anteriormente en trazar varios rectángulos dentro de un área irregular luego sumarlos' (stas sumas toman el nombre del matemático Alemán 8iemann N
Area Area ≈
fi∆x ∑ = i
1
n
(n esta esta ecua ecuaci ci$n $n iden identiti"i"ica camos mos a
❑ ∑ = i
1
ue euivale al s-mbolo sigma de
sumatorio, en la parte superior se encuentra el n5mero de t*rminos n en la parte in"erior encontramos el -ndice de la suma' fi es la "unci$n en donde hallamos los intervalos a b, para hallar ∆ x restamos b 9 a lo dividimos en n, para hallar i ∆ x multiplicamos multiplicamos i ue euivale a por ∆ x con eso completamos la "unci$n al "inal la multiplicamos por ∆ x ' Tener en cuenta ue la sumatoria tiene "ormulas preestablecidas dependiendo del n5mero de la sumatoria, cuando resolvemos la suma de riemman en determinado punt punto o del del ejer ejerci cici cio o llega legamo moss al m*tod *todo o de la not notaci aci$n sigm sigma a ent entonce oncess ; < dependiendo de c$mo este el -ndice + i, i , i utilizamos las siguientes "ormulas Cuando esta i usamos la "ormula en donde reemplazamos n +n5mero de t*rminos lo multiplicamos por la suma de n3 lo dividimos en ; n
n (n +1 ) i =1 + 2 + 3 + 4 + … + n = ∑ 2 = i
1
Cuando Cuando esta esta i; multiplicamos n+n3+;n3 el resultado lo dividimos en = cuando esta i< se resuelve similar al caso uno, solo ue toda la ecuaci$n se eleva al cuadrado' Con esto identi"icamos n ue se remplaza con el n5mero de t*rminos continuamos resolviendo el ejercicio' TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
(s un m*todo abreviado para calcular integrales de"inidas, sin necesidad de tener ue calcular los l-mites por sumas 8imann, este teorema consiste en la la a"irmaci$n de ue la derivaci$n e integraci$n de una "unci$n son operaciones inversas, se basa en resolver la integral por medio de la siguiente "ormula: b
∫ f ( ( x ) dx= F ( b )− F ( a ) a
Prim Primer ero o res resolve olvemo moss la int integra egrall lueg luego o la inc$g nc$gni nita ta por por ejem ejempl plo o /%0 /%0 la reemplazamos con el l-mite superior +b e in"erior +a' Al obtener el resultado de cada limite restamos +b1a obtenemos como resultado "inal el área real'
