PRÁ PR Á C TIC A
SUMAS DE RIE RIEMA MAN N
Prá Pr á c tic a s M a tla b Prá Pr á c ti tic c a 11
Objetivos
Calcular integrales definidas de forma aproximada, utilizando sumas de Riemann.
Profundizar en la comprensión del concepto de integración.
Comandos de Matlab
int Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: syms x int(x^2/(x^6-8))
rsums Aproxima la integral de f mediante f mediante sumas de Riemann y realiza una representación gráfica de los rectángulos. Ejemplo: syms x rsums exp(-x^2)
Definiciones
Definición (Partición).‐ Dados dos números reales tales que a b , recibe el nombre de partición del intervalo cerrado a, b todo conjunto finito de puntos de a, b de la forma: P x0 , x1 , x2 , , xn / a x0 x1 x2 xn b
Figura 1.- Ejemplo de una partición de [a, b]
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MATLAB: SUMAS DE RIEMAN
Si todos los puntos de la partición son equidistantes, se habla de partición regular . En este caso se cumple P x donde P max xi xi 1 1 i n
se llama norma de la partición.
Definición (Integral definida).‐ Dada una función y f ( x) acotada en un intervalo cerrado a, b , se dice que es integrable en este intervalo a, b si para cualquier partición P, existe el límite n lim f (ci )xi con ci xi 1 , xi P 0 i 1 ( n ) En este caso, el valor del límite recibe el nombre de integral definida o integral de Riemann de f sobre a, b y se denota por b
f ( x)dx a
En esta expresión, los números a y b se llaman respectivamente límite inferior y límite superior de integración.
1. Accede a la página http://www.giematic.com/integralDef/ 2. Haz clic sobre el enlace Material Interactivo 3. Haz clic sobre el enlace Laboratorios: Representación y Cálculo del apartado Sumas de Rieman
1
4. Comprueba para diferentes valores de n (número de términos de la partición) y distintos valores posibles de ci xi 1 , xi la suma de las áreas de los rectángulos cuya base es xi y altura f ci . n
5. ¿A qué valor convergerá
f (c )x si n tiende a infinito? En el i
i
i 1
caso de esta función que es positiva en el intervalo 1,1 , ¿qué representará el límite obtenido?
MATLAB: PRÁCTICA 9
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Considerar la función f ( x) x 2 1 en el intervalo 1,3 . a) Representar gráficamente f ( x) en el intervalo 1,3 y destacar sobre 3
2
la gráfica la región del plano cuyo área viene dado por ( x 2 1)dx . 1
b) Aproximar el área anterior mediante sumas de Riemann, utilizando n rectángulos de la misma base y de altura el valor de f en el extremo izquierdo de cada uno de ellos. Tomar los siguientes valores de n: b1) n 10
b2) n 20
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MATLAB: SUMAS DE RIEMAN
c) Obtener una fórmula general que proporcione una estimación del área tomando n rectángulos como los anteriores. SUMAS ENÉSIMAS FRECUENTES: n
1 n k 1 n
k 1 2 3 n
n(n 1) 2
k 1 n
k
2
12 22 32 n2
n(n 1)(2n 1) 6
k 1 n
k
3
1 2 3 n 3
3
k 1
3
3
n 2 (n 1)2 4
d) Calcular el valor exacto del área como límite de la expresión anterior para n tendiendo a infinito. e) Calcular el error cometido en las aproximaciones calculadas en el apartado b). f) Demuestra que si se considera la función F x
x
3
3
x (función que
cumple que F ' x f x , es decir que su derivada es la función integrando) se verifica: b
f x dx F b F a a
Nota: Una función F x es primitiva de otra función f x si cumple
F ' x f x . Se puede demostrar que si F x es primitiva de la función f x cualquier otra primitiva es de la forma F x C siendo C una
constante.
Solución
a)
Comandos Matlab x=1:.05:3; y=x.^2+1; plot(x,y,'r','LineWidth',2) hold on area(x,y)
b)
Observa que la suma de Riemann será
MATLAB: PRÁCTICA 9
1
x
2
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10
1 dx i 1
0
2 1 2 x 10 i 1 1 10 5 f (ci )x 1 1 5 c 1 i 1 x 1 i 1 1 5 i 1 i 5
Comandos matlab %De forma simbólica syms k S=symsum((1/5)*((1+(k-1)/5)^2+1),k,1,10); double(S) %De forma numérica m=1:10; am=(1/5)*((1+(m-1)/5).^2+1); S=sum(am)
c) Considerando ahora una partición de n subintervalos, la suma de Riemann será 1
x
2
n
1 dx i 1
0
2 x 2 n 2 i 1 2 n f (ci )x 1 1 2 n n i 1 c 1 i 1 x 1 i 1 i n
Comandos matlab
%Cálculo del área de los n rectángulos syms k n SumaN=symsum((2/n)*((1+(k-1)*2/n)^2+1),k,1,n) pretty(simplify(SumaN))
d) El área de la región del plano por debajo de la gráfica de la función y delimitada por el eje de abscisas y las rectas x 1 y x 3 será:
2 i 1 2 f (ci )x n 1 n 1 i 1 i 1 n
2
n
3
n
Comandos matlab
%Cálculo del límite de la suma de Riemann Areaf=limit(SumaN,n,inf);
d) Comandos Matlab
x 1
2
1 dx
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MATLAB: SUMAS DE RIEMAN
%Cálculo del área menos el área aproximada term=[10,20] error=Areaf-subs(SumaN,n,term) double(error)
f) Comando Matlab %Cálculo de la integral en un intervalo [a, b] syms k n a b SumaN=symsum(((b-a)/n)*((a+(k-1)*(b-a)/n)^2+1),k,1,n); pretty(simplify(SumaN)) Areaf =limit(SumaN,n,inf); pretty(expand(areaF))
Repetir el ejercicio anterior tomando como altura de cada rectángulo
3
a) el valor de f ( x) en el extremo derecho de cada uno de ellos. b) el valor de f ( x) en el punto medio de cada uno de ellos.
Ejercicios propuestos
Repetir los apartados a), b) y c) de los ejercicios 2 y 3 considerando la
1
función f x
senx x
y el intervalo 0, / 2
x b
2
La función definida de la forma f x ae 2c se denomina función gaussiana y su gráfica tiene forma de campana. Para ciertos valores a, b, c esta función es la función de densidad de una variable aleatoria 2
2
normal. Calcular el área bajo la curva f x
1,1 .
1 2
x2
e
2
en el intervalo
