ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Capítulo 2
2.1 Curvas solución sin una solución 2.1.1 Campos direccionales 2.1.2 ED de primer orden autónomas 2.2 Variables separables 2.3 Ecuaciones lineales 2.4 Ecuaciones exactas 2.5 Soluciones por sustitución 2.6 Un método numérico REPASO DEL CAPÍTULO 2
La historia de las matemáticas tiene muchos relatos de personas que han dedicado gran parte de su vida a la solución de ecuaciones, al principio de ecuaciones algebraicas y después de ecuaciones diferenciales. En las secciones 2.2 a 2.5 estudiaremos algunos de los métodos analíticos más importantes para resolver ED de primer orden. Sin embargo, antes de que empecemos a resolverlas, debemos considerar dos hechos: es posible que una ecuación diferencial no tenga soluciones y que una ecuación diferencial tenga una solución que con los métodos existentes actuales no se puede determinar. En las secciones 2.1 y 2.6 no resolveremos ninguna ED pero mostraremos cómo obtener información directamente de la misma ecuación. En la sección 2.1 podemos ver cómo, a partir de la ED, obtenemos información cualitativa de la misma respecto a sus gráficas, lo que nos permite interpretar los dibujos de las curvas solución. En la sección 2.6 usamos ecuaciones diferenciales para construir un procedimiento numérico para soluciones aproximadas.
2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN REPASO DE MATERIAL ● La primera derivada como pendiente de una recta tangente. ● El signo algebraico de la primera derivada indica crecimiento o decrecimiento.
INTRODUCCIÓN Imaginemos por un momento que nos enfrentamos con una ecuación diferencial de primer orden , y que además no podemos encontrar ni inventar un método para resolverla analíticamente. Esto no es tan malo como se podría pensar, ya que la ecuación diferencial en sí misma a veces puede “decirnos” concretamente cómo se “comportan” sus soluciones.
=,
Iniciaremos nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden con dos formas cualitativas de analizar una ED. Estas dos formas nos permiten determinar, de una manera aproximada, cómo es una curva solución sin resolver realmente la ecuación.
2.1.1 CAMPOS DIRECCIONALES
, ,
ALGUNAS PREGUNTAS FUNDAMENTALES En la sección 1.2 vimos que si y satisfacen algunas condiciones de continuidad, se pueden responder preguntas cualitativas acerca de la existencia y unicidad de las soluciones. En esta sección veremos otras preguntas cualitativas acerca de las propiedades de las soluciones. ¿Cómo se comporta una solución cerca de un punto dado? ¿Cómo se comporta una solución cuando ? Con frecuencia, estas preguntas se pueden responder cuando la función depende sólo de la variable Sin embargo, comenzaremos con un simple concepto de cálculo:
/
Una derivada de una función derivable en puntos de su gráfica.
→∞
.
= da las pendientes de las rectas tangentes
= de una ecuación diferencial de primer orden = ,, 1 es necesariamente una función derivable en su intervalo de definición, debe también ser continua en . Por tanto la curva solución correspondiente en no tiene cortes y debe tener una recta tangente en cada punto ,. La función en la forma normal (1) se llama función pendiente o función razón. La pendiente de la recta tangente en , en una curva solución es el valor de la primera derivada / en este punto y sabemos de la ecuación (1) que es el valor de la función pendiente , . Ahora supongamos que , representa cualquier punto , que la función le de una región del plano en la que está definida la función . El valor , asigna al punto representa la pendiente de una recta o que la visualizaremos como un segmento de recta llamado elemento lineal. Por ejemplo, considere la ecuación /=0.2, donde , , =0.2. En el punto 2,3 la pendiente de un elemento lineal es 2,3 2, 3 =0.223 =1.2. La figura 2.1.1a muestra un segmento de recta con pendiente 1.2 que pasa por 2,3. Como se muestra en la figura 2.1.1b, si una curva solución también pasa por el punto 2,3, lo hace de tal PENDIENTE Debido a que una solución
forma que el segmento de recta es tangente a la curva; en otras palabras, el elemento lineal es una recta tangente miniatura en ese punto.
a)
elemento lineal en un punto. el punto.
b) el elemento lineal es tangente a la curva solución que pasa por
FIGURA 2.1.1 El elemento lineal es tangente a la curva solución en
2,3.
CAMPO DIRECCIONAL Si evaluamos sistemáticamente a en una malla rectangular de puntos en el plano y se dibuja un elemento lineal en cada punto de la malla con pendiente entonces al conjunto de todos estos elementos lineales se le llama campo direccional o campo de pendientes de la ecuación diferencial . Visualmente, la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada y, en consecuencia, se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la solución, por ejemplo, regiones en el plano en las que una solución presenta un comportamiento poco común. Una sola curva solución que pasa por un campo direccional debe seguir el patrón de flujo del campo: el elemento lineal es tangente a la curva cuando intercepta un punto de la malla. La figura 2.1.2 muestra un campo direccional generado por computadora de la ecuación diferencial en una región del plano . Observe cómo las tres curvas solución que se muestran a colores siguen el flujo del campo.
,,
, =,
+
=
FIGURA 2.1.2 Las curvas solución siguen el flujo de un campo direccional. EJEMPLO 1 Campo direccional
=0.2
El campo direccional para la ecuación diferencial que se muestra en la figura 2.1.3a se obtuvo usando un paquete computacional en el que se definió una malla con y enteros, haciendo – 5 _ m _ 5, _5 _ n _ 5, y h _ 1. Observe en la figura 2.1.3a que en cualquier punto del eje de las y del eje las pendientes son y , respectivamente, por lo que los elementos lineales son horizontales. Además observe que en el primer cuadrante para un valor fijo de los valores de aumentan conforme crece ; análogamente, para una los valores de aumentan conforme aumenta. Esto significa que conforme y crecen, los elementos lineales serán casi verticales y tendrán pendiente positiva para . En el segundo cuadrante, aumenta conforme crecen y crecen, por lo que nuevamente los elementos lineales serán casi verticales pero esta vez tendrán pendiente negativa para ). Leyendo de izquierda a derecha, imaginemos una curva solución que inicia en un punto del segundo cuadrante, se mueve abruptamente hacia abajo, se hace plana conforme pasa por el eje y después, conforme entra al primer cuadrante, se mueve abruptamente hacia arriba; en otras palabras, su forma sería cóncava hacia arriba y similar a una herradura. A partir de esto se podría inferir que conforme Ahora en el tercer y el cuarto cuadrantes, puesto que y respectivamente, la situación se invierte: una curva solución crece y después decrece conforme nos movamos de izquierda a derecha. . es una solución explícita de Vimos en la ecuación (1) de la sección 1.1 que ; usted debería comprobar que una familia uniparamétrica de soluciones de la misma ecuación . Con objeto de comparar con la figura 2.1.3a, en la figura 2.1.3b se está dada por: muestran algunos miembros representativos de esta familia.
= 0
= 0,
5 × 5 ℎ,ℎ ,0 = 0 0, = 0
, =0.2 , =0.2 | , | , =0.2>0 >0,>0 || , =0.2 <0 <0,>0
→∞ →±∞ , =0.2>0 , =0.2<0,
=
= .
=0.2
=0.2
a) Campo direccional para
b) Algunas curvas solución en la familia
= ..
FIGURA 2.1.3 Campo direccional y curvas solución. EJEMPLO 2 Campo direccional Utilice un campo direccional para dibujar una curva solución aproximada para el problema con valores iniciales
= , 0 =3/2.
, =
=
SOLUCIÓN Antes de proceder, recuerde que a partir de la continuidad de y el teorema 1.2.1 garantiza la existencia de una curva solución única que pase por un punto dado en el plano. Ahora nuevamente seleccionando en nuestro paquete computacional la opción para una región rectangular y dando puntos (debidos a la condición inicial) en la región con separación vertical y horizontal de unidad, es decir, en puntos y enteros tales como . En la figura 2.1.4 se presenta el resultado. Puesto que el lado derecho de es en , y en , los elementos lineales son horizontales en todos los puntos cuyas segundas coordenadas son o . Entonces tiene sentido que una curva solución que pasa por el punto inicial tenga la forma que se muestra en la figura.
cos
,
1/2,
5×5 1/2 10≤≤10,10≤≤10 = 0 = 0
ℎ,ℎ, ℎ =
= = 0 = 0,3/2,
FIGURA 2.1.4 Campo direccional del ejemplo 2.
/
CRECIMIENTO/DECRECIMIENTO La interpretación de la derivada como una función que da la pendiente juega el papel principal en la construcción de un campo direccional. A continuación se usará otra contundente propiedad de la primera derivada, es decir, si (o
>0
/ < 0) para toda en un intervalo , entonces una función derivable = es creciente (o decreciente) en . COMENTARIOS Dibujar a mano un campo direccional es directo pero tardado; por eso es probable que en la vida solo una o dos veces se realice esta tarea, pero generalmente es más eficiente realizarlo usando un paquete computacional. Antes de las calculadoras, de las computadoras personales y de los programas se utilizaba el método de las isoclinas para facilitar el dibujo a mano de un campo direccional. Para la ED cualquier miembro de la familia de curvas donde es una constante, se llama isoclina. Se dibujan elementos lineales que pasen por los puntos en una isoclina dada, digamos, todos con la misma pendiente . En el problema 15 de los ejercicios 2.1 tiene dos oportunidades para dibujar un campo direccional a mano.
, = ,
/ = ,,
, =
2.1.2 ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS En la sección 1.1 dividimos la clase de las ecuaciones diferenciales ordinarias en dos tipos: lineales y no lineales. Ahora consideraremos brevemente otra clase de clasificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias, una clasificación que es de particular importancia en la investigación cualitativa de las ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama autónoma. Si el símbolo denota a la variable independiente, entonces se puede escribir una ecuación diferencial autónoma de primer orden como o en la forma normal como
, = 0 = 2 Supondremos que la función en la ecuación (2) y su derivada ′ son funciones continuas de en algún intervalo . Las ecuaciones de primer orden = 1 +
=0.2
son respectivamente autónoma y no autónoma. Muchas ecuaciones diferenciales que se encuentran en aplicaciones o ecuaciones que modelan leyes físicas que no cambian en el tiempo son autónomas. Como ya hemos visto en la sección 1.3, en un contexto aplicado, se usan comúnmente otros símbolos diferentes de y de para representar las variables dependientes e independientes. Por ejemplo, si representa el tiempo entonces al examinar a
=, = + 1 , = , = 6 1 , 100 donde , y son constantes, se encuentra que cada ecuación es independiente del tiempo. Realmente, todas las ecuaciones diferenciales de primer orden introducidas en la sección 1.3 son independientes del tiempo y por tanto son autónomas.
PUNTOS CRÍTICOS Las raíces de la función en la ecuación (2) son de especial importancia. Decimos que un número real es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma (2) si es una raíz de es decir, Un punto crítico también se llama punto de equilibrio o punto
,
= 0.
= en la ecuación (2),
estacionario. Ahora observe que si sustituimos la función constante entonces ambos lados de la ecuación son iguales a cero. Esto significa que:
Si es un punto crítico de la ecuación (2), entonces ecuación diferencial autónoma.
= es una solución constante de la
=
Una solución constante se llama solución de equilibrio; las soluciones de equilibrio son las únicas soluciones constantes de la ecuación (2).
= es
, = 1,2,3,
ya sea positiva o negativa en una subregión una solución es estrictamente monótona, es decir, está creciendo o decreciendo en la subregión Por tanto no puede oscilar, ni puede tener un extremo relativo (máximo o mínimo). Véase el problema 33 de los ejercicios 2.1. • Puesto que
.
está acotada por arriba con un punto crítico (como en la subregión donde < para toda ), entonces la gráfica de debe tender a la gráfica de la solución de equilibrio = conforme → ∞ →∞. Si está acotada, es decir, acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos (como en la subregión donde < < para toda ), entonces la gráfica de debe tender a las gráficas de las soluciones de equilibrio = y = , conforme → ∞ en una y →+∞ en la otra. Si está acotada por debajo por un punto crítico (como en la subregión donde < para toda ), entonces la gráfica de debe tender a la gráfica de la solución de equilibrio = conforme ya sea → ∞ _ o →∞. Véase el problema 34 de los ejercicios 2.1. • Si
Considerando estos hechos, analicemos la ecuación diferencial del ejemplo 3.
EJEMPLO 4 Volver a tratar el ejemplo
Los tres intervalos determinados en el eje o recta de fase con los puntos críticos ahora corresponden en el plano a tres subregiones definidas por:
/
=0 y =
: ∞ < < 0, : 0 < < /, 3: / < < ∞, donde ∞ < < ∞. El esquema de fase de la figura 2.1.7 nos dice que está decreciendo en , creciendo en y decreciendo en . Si 0 = es un valor inicial, entonces en , y tenemos, respectivamente, que:
FIGURA 2.1.7 Esquema de fase y curvas solución en cada una de las tres subregiones.
< 0, está acotada por arriba. Puesto que está decreciendo sin límite conforme aumenta , y así →0 conforme → ∞. Lo que significa que en el eje negativo, la gráfica de la solución de equilibrio = 0, es una asíntota horizontal para una curva solución. ii ) Para 0 < < /, está acotada. Puesto que está creciendo, →/ conforme → ∞ y →0 conforme →∞. Las gráficas de las dos soluciones de equilibrio, = 0 y i ) Para
= /, son rectas horizontales que son asíntotas horizontales para cualquier curva solución que comienza en esta subregión. iii ) Para >/, está acotada por debajo. Puesto que está decreciendo, →/ conforme → ∞. La gráfi ca de la solución de equilibrio =/ es una asíntota horizontal para una curva solución.
En la figura 2.1.7 la recta de fase es el eje en el plano . Por claridad la recta de fase original de la figura 2.1.5 se ha reproducido a la izquierda del plano en el cual se han sombreado las regiones y . En la figura se muestran las gráficas de las soluciones de equilibrio y (el eje ) como las rectas punteadas azules; las gráficas sólidas representan las gráficas típicas de mostrando los tres casos que acabamos de analizar.
=
, / = 0
→ ∞ → ∞ →∞ → ∞ → >0 = =>0 La ecuación diferencial = en el ejemplo 2 es autónoma y tiene un número infinito de puntos críticos, ya que = 0 en = , con entero. Además, sabemos que debido a que la solución pasa por 0,3/2 está acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos < < 0 y decrece ( <0 para < < 0), la gráfica de debe tender a las gráficas de las soluciones de equilibrio como asíntotas horizontales: → conforme → ∞ y →0 conforme →∞.
En una subregión tal como en el ejemplo 4, donde está decreciendo y no está acotada por debajo, no se debe tener necesariamente que . No interprete que este último enunciado significa que conforme ; podríamos tener que conforme , donde es un número finito que depende de la condición inicial . Considerando términos dinámicos, “explota” en un tiempo finito; considerando la gráfica, podría tener una asíntota vertical en . Para la subregión vale una observación similar.
EJEMPLO 5 Curvas solución de una ED autónoma
=1
tiene un solo punto crítico 1. Del esquema de fase de la La ecuación autónoma figura 2.1.8a concluimos que una solución es una función creciente en las subregiones definidas por y , donde . Para una condición inicial está creciendo y está acotada por arriba por y así conforme una solución ; para está creciendo y está acotada. , una solución
∞<<∞
∞ < < 1 1 < <∞ 0 = > 1, 1 →1 → ∞ 0 = > 1 Ahora =11/+ es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial (vea el problema 4 de los ejercicios 2.2). Una condición inicial dada determina un valor para . Para las condiciones iníciales, 0 = 1 < 1 y 0 = 2 > 1, encontramos, respectivamente, que =11/+ , =11/1. Como se muestra en las figuras 2.1.8b y 2.1.8c, la gráfica de cada una de estas
a) recta de fase
b) plano
0<1
c) plano
0>1
FIGURA 2.1.8 Comportamiento de las soluciones cerca de
= 1.
funciones racionales tienen una asíntota vertical. Pero tenga en mente que las soluciones de los problemas con valores iniciales
= 1, 0 =1 = 1, 0 = 2. están definidas en intervalos especiales. Éstos son, respectivamente,
= 1 1 1 , 12 < < ∞ +2
= 1 1 1 , ∞<<1.
Las curvas solución son las partes de las gráficas de las figuras 2.1.8b y 2.1.8c que se muestran en azul. Como lo indica el esquema de fase, para la curva solución de la figura 2.1.8b, conforme x :_ para la curva solución de la fi gura 2.1.8c, y ( x ) conforme por la izquierda.
→1
→1
ATRACTORES Y REPULSORES Suponga que es una solución no constante de la ecuación diferencial autónoma dada en (1) y que es un punto crítico de la ED. Básicamente hay tres tipos de comportamiento que puede presentar cerca de . En la figura 2.1.9 hemos puesto a en las cuatro rectas verticales. Cuando ambas puntas de flecha en cualquier lado del punto de la ecuación (1) apuntan hacia c , como se muestra en la figura 2.1.9a, todas las soluciones que comienzan en el punto inicial suficientemente cerca de presentan comportamiento asintótico .
,
lim = →
FIGURA 2.1.8 El punto crítico c es un atractor en a) y un repulsor en b) y semiestable en c) y d)
Por esta razón se dice que el punto crítico es asintóticamente estable. Utilizando una analogía física, una solución que comienza en se parece a una partícula cargada que, con el tiempo, se transforma en una partícula de carga contraria y así también se conoce como un atractor . Cuando ambas puntas de flecha a los lados de la flecha del punto apuntan alejándose de como se muestra en la figura 2.1.9b, todas las soluciones de la ecuación (1) que comienzan en un punto inicial se alejan de conforme crece En este caso se dice que el punto crítico es inestable. Un punto crítico inestable se conoce como un repulsor , por razones obvias. En las figuras 2.1.9c y 2.1.9d se muestra el punto crítico que no es ni un atractor ni un repulsor. Pero puesto que presenta características tanto de atractor como de repulsor, es decir, una solución que comienza desde un punto inicial que está suficientemente cerca de es atraída hacia por un lado y repelida por el otro, este punto crítico se conoce como semiestable. En el ejemplo 3 el punto crítico es asintóticamente estable (un atractor) y el punto crítico es inestable (un repulsor). El punto crítico 1 del ejemplo 5 es semiestable.
,
.
,
,
/
0
FIGURA 2.1.10 Campo direccional para una ED autónoma. ED AUTÓNOMAS Y CAMPOS DIRECCIONALES Si una ecuación diferencial de primer orden es autónoma, entonces vemos del miembro derecho de su forma normal que las pendientes de los elementos lineales que pasan por los puntos en la malla rectangular que se usa para construir un campo direccional para la ED que sólo depende de la coordenada y de los puntos. Expresado de otra manera, los elementos lineales que pasan por puntos de cualquier recta horizontal deben tener todos la misma pendiente; por supuesto, pendientes de elementos lineales a lo largo de cualquier recta vertical , variarán. Estos hechos se muestran examinando la banda horizontal amarilla y la banda vertical azul de la figura 2.1.10. La figura presenta un campo direccional para la ecuación autónoma . Recordando estos hechos, examine nuevamente la figura 2.1.4.
=
= 2 – 2
EJERCICIOS 2.1 2.1.1 CAMPOS DIRECCIONALES En los problemas 1 a 4 reproduzca el campo direccional dado generado por computadora. Después dibuje a mano, una curva solución aproximada que pase por cada uno de los puntos indicados. Utilice lápices de colores diferentes para cada curva solución.
. = 2 = 1
3 = 0
0 = 2
0 = 0
FIGURA 2.1.11 Campo direccional del problema 1
Solución:
−. . = 6 = 0 0 = 1
0 = 4
8 = 4
FIGURA 2.1.12 Campo direccional del problema 2. Solución:
. =1 0 = 0
1 = 0
2 = 2
0 = 4
FIGURA 2.1.13 Campo direccional del problema 3. Solución:
. = cos 0 = 1 1 = 0
3 = 3
0 = 52
FIGURA 2.1.14 Campo direccional del problema 4. Solución:
En los problemas 5 a 12 use un paquete computacional para obtener un campo direccional para la ecuación diferencial dada. Dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por los puntos dados.
. = 0 = 0 Solución:
0 =3
. = + 2 = 2 Solución:
1 = 3
. = 1 = 1
0 = 4
1 . = 0 = 1
2 = 1
Solución:
Solución:
+ . =0.2
0 = 12 Solución:
. = 0 = 2 Solución:
2 = 1
1 =2.5
. =cos 2 2 = 2 1 = 0 Solución:
. = 1 ( 12) = 2 Solución:
(32) = 0
, respectivamente. = (problema 13) y
En los problemas 13 y 14 la figura dada representa la gráfica de y de Dibuje a mano un campo direccional sobre una malla adecuada para después para
= (problema 14).
13.
FIGURA 2.1.15 Gráfica del problema 13. Solución:
14.
FIGURA 2.1.16 Gráfica del problema 14. Solución:
, =
15. En los incisos a) y b) dibuje isoclinas (vea los comentarios de la página 37) para la ecuación diferencial dada usando los valores de indicados. Construya un campo direccional sobre una malla dibujando con cuidado elementos lineales con la pendiente adecuada en los puntos elegidos de cada isoclina. En cada caso, utilice esta dirección para dibujar una curva solución aproximada para el PVI que consiste en la ED y en la condición inicial .
0 = 1
= +; un entero que satisface 5 ≤ ≤ 5 b) = + ; = , =1, = , =4 a)
Solución:
Problemas para analizar
= – 4
, pero no use 16. a) Considere el campo direccional de la ecuación diferencial tecnología para obtenerlo. Describa las pendientes de los elementos lineales en las rectas y .
=3,=4 =5
= – 4
2
=0,
2, 0 = , donde < 4. Analice, basándose en la →∞ conforme → ∞?
b) Considere el PVI información del inciso a), ¿sí puede una solución Solución:
=,
, = 0
17. Para la ED de primer orden una curva en el plano definido por se llama ceroclina de la ecuación, ya que un elemento lineal en un punto de la curva tiene pendiente cero. Use un paquete computacional para obtener un campo direccional en una malla rectangular sobre el campo de puntos y después superponga la gráfica de la ceroclina direccional. Analice el campo direccional. Analice el comportamiento de las curvas solución en y por . Dibuje algunas curvas solución regiones del plano definidas por aproximadas. Trate de generalizar sus observaciones. Solución:
= 2
=
<
>
18. a) Identifique las ceroclinas (vea el problema 17) en los problemas 1, 3 y 4. Con un lápiz de color, circule todos los elementos lineales de las figuras 2.1.11, 2.1.13 y 2.1.14, que usted crea que pueden ser un elemento lineal en un punto de la ceroclina. b) ¿Qué son las ceroclinas de una ED autónoma de primer orden? Solución:
2.1.2 ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS
= y la condición inicial 0 = . tiene los valores dados.
19. Considere la ecuación diferencial de primer orden A mano, dibuje la gráfica de una solución típica cuando
> 1
Solución:
0 < < 1
1 < < 0
< 1
=
y la condición inicial 20. Considere la ecuación diferencial autónoma de primer orden cuando tiene los valores dados. . A mano, dibuje la gráfica de una solución típica
0 = > 1
Solución:
0 < < 1
1 < < 0
< 1
En los problemas 21 a 28 determine los puntos críticos y el esquema de fase de la ecuación diferencial autónoma de primer orden dada. Clasifique cada punto crítico como asintóticamente estable, inestable o semiestable. Dibuje a mano curvas solución típicas en las regiones del plano determinadas por las gráficas de las soluciones de equilibrio.
3 21. = Solución:
22. = Solución:
23. = 2 Solución:
24. =10+3 Solución:
4 25. = Solución:
26. =24 Solución:
27. =ln+2 Solución:
9 28. = Solución:
=,
En los problemas 29 y 30 considere la ecuación diferencial autónoma donde se presenta la gráfica de Utilice la gráfica para ubicar los puntos críticos de cada una de las ecuaciones diferenciales. Dibuje un esquema de fase de cada ecuación diferencial. Dibuje a mano curvas solución típicas en las subregiones del plano determinadas por las gráficas de las soluciones de equilibrio.
.
29.
FIGURA 2.1.17 Gráfica del problema 29 . Solución:
30.
FIGURA 2.1.18 Gráfica del problema 30. Solución:
Problemas para analizar
= 2/
. Determine los puntos críticos de la ecuación. 31. Considere la ED autónoma Proponga un procedimiento para obtener un esquema de fase de la ecuación. Clasifique los puntos críticos como asintóticamente estables, inestables o semiestables. Solución:
32. Un punto crítico c de una ED de primer orden autónoma se dice que está aislada si existe algún intervalo abierto que contenga a pero no otro punto crítico. ¿Puede existir una ED autónoma de la forma dada en la ecuación (1) para la cual todo punto crítico no esté aislado? Analice: no considere ideas complicadas. Solución:
=
33. Suponga que es una solución no constante de la ecuación diferencial autónoma y que c es un punto crítico de la ED. Analice. ¿Por qué no puede la gráfica de cruzar la gráfica de la solución de equilibrio ? ¿Por qué no puede cambiar de signo en una de las regiones analizadas de la página 38? ¿Por qué no puede oscilar o tener un extremo relativo (máximo o mínimo)? Solución:
=
> 0 < lim = →∞.
=
34. Suponga que es una solución de la ecuación autónoma y está acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos , como una subregión de la figura 2.1.6b. Si en la región, entonces . Analice por qué no puede existir → un número . Como parte de su análisis, considere qué pasa con tal que → conforme Solución:
< lim =
′
35. Utilizando la ecuación autónoma (1), analice cómo se puede obtener información respecto a la ubicación de puntos de inflexión de una curva solución. Solución:
=
36. Considere la ED . Use sus ideas del problema 35 para encontrar los intervalos en el eje para los que las curvas solución son cóncavas hacia arriba y en los que las curvas solución son cóncavas hacia abajo. Analice por qué cada curva solución de un problema con valores iniciales , donde , tiene un punto de inflexión con la misma coordenada . ¿Cuál es la coordenada ? Con cuidado dibuje la curva solución para la que . Repita para . Solución:
0 = 1
6
= 6,0 = 2 = 2
2< < 3
37. Suponga que la ED autónoma en la ecuación (1) no tiene puntos críticos. Analice el comportamiento de las soluciones. Solución:
Modelos matemáticos 38. Modelo de población La ecuación diferencial en el ejemplo 3 es un muy conocido modelo de población. Suponga que la ED se cambia por
= ,
son constantes positivas. Analice qué le pasa a la población conforme pasa el
donde y tiempo. Solución:
39. Modelo de población Otro modelo de población está dado por
=ℎ, ℎ
donde y son constantes positivas. ¿Para qué valor inicial la población desaparecerá? Solución:
0 = este modelo predice que
40. Velocidad terminal En la sección 1.3 vimos que la ecuación diferencial autónoma
v =v,
donde es una constante positiva y es la aceleración de la gravedad, es un modelo para la velocidad de un cuerpo de masa que está cayendo bajo la influencia de la gravedad. Debido a que el término representa la resistencia del aire, la velocidad de un cuerpo que cae de una gran altura no aumenta sin límite conforme pasa el tiempo . Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para encontrar la velocidad límite o terminal del cuerpo. Explique su razonamiento. Solución:
v
–v
41. Suponga que el modelo del problema 40 se modifica de tal manera que la resistencia del aire es proporcional a , es decir
v
v =v ,
Vea el problema 17 de los ejercicios 1.3. Utilice un esquema de fase para determinar la velocidad terminal del cuerpo. Explique su razonamiento. Solución:
42. Reacciones químicas Cuando se combinan ciertas clases de reacciones químicas, la razón con la que se forman los nuevos componentes se modela por la ecuación diferencial autónoma
= , donde > 0 es una constante de proporcionalidad y > > 0. Aquí denota el número de gramos del nuevo componente al tiempo . a) Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para predecir el comportamiento de conforme →∞. b) Considere el caso en que = . Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para predecir el comportamiento de conforme → ∞ cuando 0 < . Cuando 0 > . c) Compruebe que una solución explícita de la ED en el caso en que = 1 y = es = 1/+. Determine una solución que satisfaga que 0 =/2. Después determine una solución que satisfaga que 0 = 2. Trace la gráfica de estas dos soluciones. ¿El comportamiento de las soluciones conforme → ∞ concuerdan con sus respuestas del inciso b)? Solución:
