AREAS. Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo (imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, no como como los antiguos antiguos griegosgriegos- pero de de la forma forma mas mas moderna, moderna, el como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primera definición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:
AREAS BAJO CURVA Definición: Sí cerrado , f
[a , b] ,
el eje por:
x
f
es continua
y
no negativa
el área de la región limitada y las rectas verticales x = a y
en
un
intervalo
por la gráfica de
x = b viene dada
b
Area =
∫
f ( x ) dx
a Observemos la siguiente fig 1: FIG 1.
En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las
x = b . Podemos hallar el área de la rectas verticales x = a y región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.
Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.
EJEMPLO 1: 1:
Hallar el área de la región acotada por la curva
f ( x ) = 4 y las rectas x = −3 y x = 2 .
SOLUCIÓN: 1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida. FIG 2.
2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por: 2
∫ −
4 dx
A
=
3
3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral. 2
∫ −
4 dx
A = 3
4 x 2
=
−3
= 4( 2 ) − 4( −3 ) = 20 Luego el área de la región es 20 u2. Obsérvese
que
esta
región
es
rectangular,
luego
se
puede
encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente: A = bh
( 2 − ( −3 ))( 4 )
=
( 5 )( 4 )
= = No es sorprendente equivalentes.
EJEMPLO 2: curva f ( x ) = x
3
que
Hallemos
+ x
20.
se
el
área
acotada por
hayan
de
la
obtenido
región
resultados
acotada
por
la
[− 5 ,5] .
SOLUCION: 1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto. FIG 3.
2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la fig 3, las rectas x = −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A1 y A2 respectivamente. También se puede ver que el intervalo
[− 5 ,5]
se puede dividir en dos, así: [− 5 ,0] y [0 ,5]. Luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por: A = A1 + A2 0
A =
∫−
5
( x 3 − x ) dx +
5
∫
( x 3 − x ) dx
0
3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora integral de la siguiente forma:
0
A =
∫−
5
( x
5
3
− x ) dx +
a
evaluar
⎛ x 4 x 2 ⎞ 0 ⎛ x 4 x 2 ⎞ 5 ⎟ ⎟ ( x − x ) dx = ⎜ + +⎜ + ⎜ 4 2 ⎟ −5 ⎜ 4 2 ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ 0
procedemos
=−
3
( −5 ) 4 4
−
=−
( −5 ) 2 2
675
=
4
+
+
5
4
4
+
5
2
2
675 4
675 2
Luego el área de la región sombreada es de
675 2
u2.
la
AREAS ENTRE DOS CURVAS QUE NO SE CORTAN. Para plantear la siguiente definición, debemos de tener en cuenta las mismas condiciones de la definición planteada en el numeral 1, es decir:
Definición: Consideremos 2 funciones, f ( x ) y g ( x ) continuas en el intervalo [a , b] , siguiente figura:
de
forma
que
f ( x ) > g ( x ) .
Observen
la
El área de la región R viene dada por:
b
A =
∫
( f ( x ) − g ( x )) dx
a
.
Es razonable la definición anterior. En efecto, f ( x ) ≥ g ( x ) , luego
f ( x ) − g ( x ) ≥ 0 ,
y
el
área
de
la
región
determinada
anterior diferencia es mayor que cero, es decir: A ≥ 0 . Ahora consideremos la siguiente gráfica:
por
la
Ahora
f ( y )
y
g ( y )
son
continuas
f ( y ) > g ( y ) . Luego para este caso
en
el
área
intervalo de
R
viene
[c , d ] ,
con
dada
por
d
A =
∫
( f ( y ) − g ( y )) dy
c
. Obsérvese que tanto los de integración y las variables involucradas
límites
dependen ahora de “y”.
En los siguientes ejemplos, las dos curvas se intersecan, pero tomaremos regiones determinadas por intervalos que no contengan el punto (o puntos de intersección de las dos curvas).
EJEMPLO 1: 1:
Determinar el área de la región determinada por
f ( x ) = x
2
g ( x ) = 2 x − 1 y las rectas x = −6 y x = −2 .
,
SOLUCIÓN:
En
primera
medida
tracemos
la
región
correspondiente:
Según la definición anterior el área de la región R, viene dada
−2 A = por:
∫ −
( x
2
− ( 2 x − 1 )) dx
6
.
Al evaluar esta integral obtenemos:
−2 A =
∫ −
−2
( x
2
− ( 2 x − 1 )) dx =
6
∫ −
( x
2
− 2 x + 1 ) dx
6
⎛ x 3 ⎞ − 2 2 ⎜ = − x + x ⎟ ⎜ 3 ⎟ −6 ⎝ ⎠ =
( −2 ) 3 3
2
− ( −2 ) + ( −2 ) −
( −6 ) 3 3
8
196
3
3
=− −4−2+
= 296 / 3 . Luego el área de R es 296/3 u2.
+ ( −6 ) 2 − ( −6 )
+ 36 + 6
EJEMPLO
2:
Hallar
el
f ( x ) = sen( x ) , g ( x ) = − sen( x )
área y
de
la
región
acotada
por
por x = −3π / 2 y x = −2π .
SOLUCION: En primera medida, hallar el área:
El
área
trazamos
de
la
la
región
región
a
la
R
cual
viene
le
vamos
dada
a
por
− 3π / 2 A =
∫ −
( sen( x ) − ( − sen( x )) dx
2π
. Evaluando esta integral obtenemos:
− 3π / 2 A =
− 3π / 2
∫ −
( sen( x ) − ( − sen( x )) dx =
2π
∫ −
2 sen( x ) dx
2π
=
− 2 cos( x ) − 3π / 2 − 2π =2
Bastante curioso. ¡El área de la región R es de 2 u2, aún cuando R no sea poligonal!
AREAS DE REGIONES GENERADAS POR DOS CURVAS QUE SE CORTAN Para estas regiones en particular, no se es dado los límites de integración, que serían los puntos de corte entre dos gráficas. Mas bien, para encontrarlos, basta hallar los x (o los y) para los cuales f = g . Por un momento observemos las siguientes gráficas, conservando las mismas condiciones de las definiciones anteriores: (dos funciones continuas en un intervalo cerrado, etc.) Aquí, para la primera gráfica, a y b son los puntos de corte de
f ( x ) y g( x ) . En la segunda gráfica, c y d son los f ( y ) g ( y ) . Ahora planteamos las de corte de y
puntos definiciones correspondientes que sugieren las graficas:
Definición 1: intervalo cerrado está dada por:
Dadas f y g positivas y continuas en un
[a , b]
f ( x ) > g ( x ) , el área de la región R
con
b
A =
∫
( f ( x ) − g ( x )) dx
a
Definición 2: intervalo cerrado está dada por:
Dadas f y g positivas y continuas en un
[c , d ]
f ( y ) > g ( y ) , el área de la región R
con
d
A =
∫
( f ( y ) − g ( y )) dy
c
EJEMPLO 1: curvas
Hallar el área de la región
f ( x ) = 2 x2 y
: SOLUCIÓN
En correspondiente:
determinada
por las
g ( x ) = x 4 − 2 x2 . primera
medida
trazamos
la
región
Ahora tenemos que encontrar los límites de integración, pero en la grafica podemos decir que esos límites lo determinan los puntos de intersección de f y g. Como dijimos anteriormente, estos se hallan de la siguiente forma:
x
4
x
− 2 x 2 = 2 x 2 4
− 4x 2 = 0
x 2 ( x 2 − 4 ) = 0 2
x ( x − 2 )( x + 2 ) = 0 Luego x = 0 ,2 ,−2 son los puntos de corte de ambas funciones. Después de esto, podemos establecer la integral que nos permitirá hallar el área de la región pedida: 0
A =
2
∫ −
∫
( 2 x 2 − ( x 4 − 2 x 2 )) dx + ( 2 x 2 − ( x 4 − 2 x 2 )) dx
2
0 0
=
2
∫ −
∫
( − x 4 + 4 x 2 ) dx + ( − x 4 + 4 x 2 ) dx
2
0
.
⎛ 4 x 3 x 5 ⎞ 0 ⎛ 4 x 3 x 5 ⎞ 2 ⎟ ⎟ =⎜ − +⎜ − ⎜ 3 5 ⎟ −2 ⎜ 3 5 ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =−
4( −2 )
3
3
= =
+
( −2 ) 5 5
8( 2 ) 3 64 3
−
3
5
3
2( 2 )
− 64
+
4( 2 )
3
−
2
5
5
5
5
=
128 15 .
128
Luego el área de la región es
EJEMPLO 2:
5 u2.
Hallar el área total
de la región encerrada por
f ( x ) = − x 2 + 3 x y g ( x ) = 2 x 3 − x 2 − 5 x .
SOLUCIÓN:
La región determinada por f y g es la siguiente:
Si observamos la figura anterior, la región completa se divide en dos Regiones, R1 y R2, determinadas por los puntos de corte de ambas funciones. Estos puntos de corte, como dijimos, se procede a hallarlos de la siguiente forma: 2 x
3
− x 2 − 5 x = − x 2 + 3 x 2 x
3
− 8x = 0
2
− 4) = 0 2 x( x − 2 )( x + 2 ) = 0 2 x( x
Luego, los puntos sobre el eje x que determinan las regiones son
x = 0 ,−2 ,2 .
Aplicando la definición a cada una de las regiones, podemos obtener el área total de la siguiente forma: 0
A =
2
∫ −
( 2 x
3
∫
− x 2 − 5 x − ( − x 2 + 3 x )) dx + ( − x 2 + 3 x − ( 2 x 3 − x 2 − 5 x ) dx
2
0 0
=
∫−
2
( 2 x
3
− 8 x ) dx +
2
∫
3
( 8 x − 2 x ) dx
0
⎛ x 4 ⎞ ⎛ x 4 ⎞⎟ 2 2⎟ 0 2 ⎜ ⎜ = − 4 x + 4 x − ⎜ 2 ⎟−2 ⎜ 2 ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2
= 4( −2 ) −
( −2 ) 4 2
2
+ 4( 2 ) −
= 32 − 16 = 16 Luego el área de la región es 16 u2.
( 2 )4 2
