ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
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ET22AG8.2
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El área de una región triangular, es igual al semiproducto de las longitudes de dos lados por el seno de la medida del ángulo determinado por dichos lados& θ
(
a
Para el cálculo del área de una región triangular, existen diversas expresiones o fórmulas, estas dependen de los
A∆ AB #
elementos que se considere, así tenemos:
FÓRMULA BÁSICA
'
B
de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado
-en θ
∆ AB
B h
!
a(
.(servación:
El área de una región triangular es igual al semiproducto
A
A
B
∆ AB : B! : altura "B! # h$
:
B/
ceviana
α
A
/ (
A∆ AB
(& '
#
(
:
&senα
A"∆ AB$ : área de la región triangular de v%rtices v%rtices A, A, B y &
A∆ AB #
.(servación: B
(&h '
∆ AB : equilátero
6+
B
2
2
∆ AB : "θ ) *+$
'
A∆ AB #
/
A
A∆ AB #
(
6+
6+
A
1 0
2
(& '
FÓRMULA DE HERÓN El área de una región triangular, es igual a la raí3 cuadrada
B
del producto del semiperímetro de la región triangular y la
4
diferencia del semiperímetro con la longitud de cada uno de los lados&
c h A
2
(
A AB #
(&c '
/
B 5
A AB #
FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA TRIGONOMÉTRICA
a
( &h
'
c
A
∆ AB : p #
a+(
+
c
'
p: semiperímetro de la región AB& AB&
Av. La Mar 2220 – San Mig!" ,A" -+#$a+ ! "a /)RE1 (3 (32 4 050( &'50
Av. Univ!r#i$aria %&'( – )!*"+ Li*r! ,Fr!n$! a "a U. Ca$6"i-a1 23 23% 4
A∆ AB #
p "p
1&
− a $ "p − ($ "p − c $
=na circunferencia de ' cm de radio está inscrita en un triángulo rectángulo de 9+ cm de hipotenusa& El área de dicho triángulo es:
Área de la región triangular en función del inradio
0&
B
∆ AB : r inradio c
a
r
p#
a+(
+
A
(
B
A
;
c
'
p: semiperímetro
En la siguiente figura hallar el área de la región som(reada, si AB; es un cuadrado de área -&
de
la
región triangular AB&
A∆ AB # p&r Área de una región triangular en función del circunradio
>&
-eg?n el gráfico, calcule el área de la región som(reada, siendo ;E< un rectángulo y "AB$ ";$ # 9u'& B
B 8
∆ AB : 8 circunradio
c
a
A∆ AB # A
(
D
a(c
E
08
A
Área de una región triangular rectangular
6&
B
<
En un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 9>, se inscri(e un cuadrado de área @A que descansa so(re la hipotenusa& !allar el área del triángulo rectángulo&
A∆ AB # m & n A
m
7&
n
En el gráfico, calcule el área de la región som(reada, si el área de la región triangular 2BP es 1+u'& 2 y 4 son puntos de tangencia& B
4
9&
2
En el cuadrante A.B mostrado, .B # u, B # 9+u, ;
17
A
&
B
; .
'&
P
!allar el área de la región AB, si ./ # 0 u&
1
< A
A
2a (ase de un triángulo isósceles mide 9+ m y la altura relativa uno a sus lados iguales mide m& !allar su área&
2-
.
/
B
*&
!allar el área de la región som(reada, si "A$ ";$ # 0
1
cm'
y
7&
-i el área de un triángulo rectángulo es de - m', el producto de sus catetos será de:
mAPB # 90+& @ es punto de
A$ -' m' B$ -C' m'
tangencial&
;
10°
&
B
$ -C1 m' ;$ '- m'
E$ - m'
!allar el área de un triángulo rectángulo si sus ángulos agudos está en relación de 9 a > y la altura relativa a la hipotenusa mide '&
A
A$
B$ ,>
$ 1
;$ '
E$ 9
P
*& 9+& -i en un triángulo AB, las alturas miden 9' cm, 9> cm y '+ cm, entonces su área en cm' es:
El perímetro de un triángulo isósceles es 16, si la (ase mide 96, calcular su área& A$ 96
B$ 1'
$ 16
;$ 0
E$ 4&A&
9+& !allar el área de un triángulo cuyo dos de sus lados miden > y y el ángulo que forman mide 6+& A$ 9+
1
B$ 9 9&
1
;$ 9>
1
E$ '+
!allar el área de un triángulo rectángulo cuya 99& -e tiene un triángulo equilátero de m de lado& -i se
hipotenusa mide 0 m y un ángulo mide 1+&
'&
$ '+
A$ 1 m'
$ 7 m'
B$ > m'
;$ m'
E$ '
1
unen los puntos medios de sus lados se o(tiene un
m'
triángulo cuya área es:
En la figura adunta, AP # P5 # 5;& !allar el área A
A$
1
m'
$ '
1
m'
B$ 0
1
m'
;$ 6
1
m'
E$ 4&A&
de la región som(reada& 9'& alcular el área de un triángulo equilátero, sa(iendo
* cm
B
A$ B$ $ ;$ E$
9 cm 0 cm
A A
1&
P
;
5
que el radio del círculo inscrito mide @8&
'
>,> cm 0,> cm' 1,> cm' ',> cm' 9,> cm'
A$ 1
8'
$ 18'
E$
8
'
1
B$
1
'
8
'
;$ 8
91& El ángulo B de un triángulo o(tusángulo AB mide
alcular el área de un triángulo equilátero de semiperímetro 9' m& '
1
91>& -i el lado AB mide a, calcular el área de dicho '
A$ 96 m
$ '0 m
B$ 9 m'
;$ 1' m'
E$ 96
1
'
m
triángulo& A$ a'
'
$ 1a'
E$
a
'
'
1
0&
alcular el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 91 y un cateto mide 9'& A$ 1+ B$ 1> $ 0+ ;$ 0>
B$ 'a'
;$
a
'
'
0
E$ >+
90& !allar el área de un triángulo equilátero cuya altura >&
alcular el área de un triángulo equilátero de altura 1
&
A$ ' 6&
mide 6&
B$
1
$ 1
;$ 0
E$ 6
A$ 6
1
$ 9'
1
B$
1
;$ 96
1
E$ 4&A&
2a mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo
9>& 2a (ase de un triángulo isósceles mide m, si la
mide 9',>& alcular su área si uno de los catetos mide
distancia del (aricentro a uno de los extremos de la
'0& A$ 0'
(ase es > m, calcular su área& B$ 7'
$ 0
;$ *6
A$ 9 m' B$ '0 m'
E$ 4&A&
3-
$ 16 m' ;$ 0 m'
E$ 4&A:
96& 2as longitudes de los lados de un triángulo son , 9+ y 9'& !allar el inradio y el circunradio& 7
A$
96
D
$
7
'
7
96
D
7
E$
6
D
A$ 0
7
B$ 9' *
m'
1
1
m'
$ 1
1
m'
;$ 6
1
m'
E$ 0m'
96 ' >
B$
D
96
;$
>
'
>
96
D
''& !allar el área de un triángulo AB, cuyos v%rtices están dados por las siguientes coordenadas: A # "+,9$, B # "',0$, # "0,+$& A$ > B$ 6 $ 7 ;$ E$ * '1& En la figura, AB es un triángulo equilátero de lado
>
>
97& -eg?n el gráfico, calcular rom(oide&
-9
@2, BP#2C0 y AP#
, si AB; es un
-'
91 & !allar el área del triángulo
equilátero AB&
B
A$ 0 B$ 96
A
S1 S2 A
B$ 9C'
91
;$ 0
1
E$
; B
A$ 9C0
$ 0
$ 9
;$ 9C
E$ '
P
!
'0& -e tiene un triángulo isósceles AB, en el que: A#B#'>, AB#0+& -e tra3a ;E CC AB " ; en
9& =niendo los puntos medios de los lados del triángulo
y E en B $,
de modo que el área del
rectángulo AB se o(tiene un triángulo cuyo cateto e
A
hipotenusa miden 1 m y > m respectivamente& El área
triángulo E;, sea igual al área del trapecio ABE;& -e
del triángulo AB es: A$ 1' m' $ '0 m' B$ 1+ m' ;$ 0 m'
pide hallar la distancia de a ;E & '
E$ 16 m
A$ 7&> B$ 7&>
9*& En un triángulo AB, A # ' y B # 0& -i la altura
'
1
E$ 4&A&
;$ 9>
'>& El área de un triángulo AB es igual a '0 m', el lado
relativa a A mide 1, calcular la medida de la altura
B mide 9' m y la mediana A/ mide > m& !allar
relativa a B && A$ 9,>
$ 7&>
B$ '
$ ',>
;$ 1
el menor de los otros dos lados del triángulo&
E$ 0,>
A$ 9+ m B$ 6 m
'+& !allar el área del triángulo AB, si A es punto de tangencia& "8 # 0 m$
diferencia de los catetos es 7 m& 2uego la superficie de dicho triángulo en m', es: A$ 6> B$ 9'+ $ 6+
A$ m' B$ 9' m' $ 96 m' ;$ '0 m'
.
;$ 9'7>
E$ 4&A&
'7& -i en un triángulo isósceles AB, la (ase AB # 9> m y la altura A/ # 9' m, el área será:
E$ 1' m' A
E$ > m
'6& En un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 0+ m la
B 8
$ m ;$ 1 m
A$ 7+ m' B$ 90+ m'
'9& En la figura: AB es un triángulo rectángulo y AP#A<& !allar el área del triángulo AB&
$ 7> m' ;$ 9>> m'
'& En un trape3oide AB; so(re
E$ 4&A&
A;
se toma un
punto P de manera que los triángulos ABP y P; son
A
equiláteros& alcular el área del cuadrilátero si AB # 0 9
6
y ; # 6& 9'
4-
B
P P
<
A$ 9
$ 96
1
B$ 9>
E$ 9*
10& El perímetro de un triángulo isósceles es 96, "AB#B$& alcular el área del triángulo AB, si la altura relativa a la (ase mide 0& A$ 6 B$ $ 9+ ;$ 9' E$ 96
1
;$ '0
'*& 2a diagonal B; de un cuadrado AB; se prolonga hasta un punto E de manera que ;E # 0
'
&
1>& ;os lados de un triángulo escaleno se diferencian en 6D si el menor de ellos se prolonga en ' y el mayor en 9, el área del nuevo triángulo aumenta en 9C>& Fuánto mide el mayor de los dos lados del triángulo inicialG A$ 9+ B$ 9> $ '+ ;$ '> E$ 1+
alcular el área del cuadrilátero AE;, si el lado del cuadrado mide 9+& A$ '+
B$ +
$ 0+
;$ 6+
E$ >+
1+& En el gráfico, AB; es un cuadrado y es punto de tangencia& -i AB # >µ& alcular el área de la región
16& En un ∆ AB, B#9>m, A#90m, AB#91m, se tra3a
som(reada& B
un semicírculo tangente a AB y B
A$ >µ' B$ 6µ
y cuyo
diámetro se halla contenido en A , calcular la
'
medida de su radio& A$ 9 m B$ ' m $ 1 m
'
$ 7,>µ
;$ 0 m
E$ > m
'
;$ µ
17& !allar el área de la región som(reada, si el radio de la
E$ *µ' ;
A
circunferencia es 9+µ, el segmento B< mide 9µ y AB; es un rectángulo&
19& En la figura, el diámetro A mide 1+ cm y la ;
tangente
A
<
A$ '+ cm'
/
<
A
.
$ 0',6 µ'
B
B$ 1+ cm'
;$ 96,0 µ'
$ 6+ cm'
E$ 0',1 µ'
;$ 0> cm' E$ 9> cm'
1& En el gráfico mostrado, 4 es punto de tangencia& -i AP # u, calcule el área de la región triangular ABP&
1'& -eg?n el gráfico, calcule el área de la región triangular AB& -i: B2 # >u y 2; # 0u& "2 es punto de tangencia$&
4
B
A$ u' P
B
B$ 9' u'
A$ 9> u'
$ 96 u'
B$ 9 u' $ '+ u'
;$ '0 u' ;
A
E$ 1' u'
'
;$ '0 u
° A
A$ 0',9 µ' B$ 00,1 µ'
, hallar el área del triángulo /<& B
2
E$ 0+ u'
1*& -eg?n el gráfico, calcule el área de la región triangular 24, si: A! # 6u y AB # B&
α
A$ 9' u'
;
B$ 96 u' 11& En un triángulo rectángulo, la suma de las longitudes
$ 9 u'
2
de los catetos es 7 m, la hipotenusa mide > m& alcular el área de la región de dicho triángulo
;$ '0 u' E$ 16 u'
rectángulo& A$ 9+ m' B$ > m'
$ m' ;$ '+ m'
E$ 6 m'
A
5-
!
B
4
0+& 2os lados de un triángulo son n?meros enteros en progresión
aritm%tica&
alcular
el
área
si
es
num%ricamente igual a su perímetro& A$
B$ 9'
$ 96
;$ '0
E$ 4&A&
6-
