14.5 Área de una superficie
Utilizar una integral doble para hallar el área de una superficie.
Área de una superficie
Figura 14.43
En este punto ya se tiene una gran cantidad de conocimientos acerca de la región sólida que se encuentra entre una superficie y una región en el plano cerrada y limitada o acotada, como se muestra en la figura 14.43. Por ejemplo, se sabe cómo hallar los extremos de en en (sección 13.8), el área de la base del sólido (sección 14.1), el volumen del sólido (sección 14.2) y el centroide de la base de (sección 14.4). En esta sección se verá cómo hallar el área de la superficie superior del sólido. Más adelante se aprenderá a calcular el centroide del sólido (sección 14.6) y el área de la superficie lateral (sección 15.2). Para empezar, considerar una superficie dada por
,, Superficie definida sobre una región .
Figura 14.44
ƒ
. , , (, , , )
ƒ
∆ ∆∆, . . ∆ ≈ ∆.
definida sobre una región Suponer Suponer que es cerrada y acotada y que tiene tiene primeras derivadas parciales continuas. Para hallar el área de la superficie, se construye una partición interna de que consiste en rectángulos donde el área del rectángulo i -ésimo -ésimo es como como se muestra en la figura 14.44. En cada sea el punto más próximo al origen. En el punto de la superficie se construye un plano tangente El área de la porción del plano tangente que se encuentra directamente sobre es aproximadamente igual al área de la superficie que se encuentra directamente sobre Es decir, Por tanto, el área de la superficie de está dada por
,,,
∑= ∆ ≈∑∆ . = ∆, ∆ + , ∆ y ∆ + , ∆. ‖ × ‖ ∆ ×∆0 ∆0 ,, ∆∆ , ∆∆ , ∆∆+∆∆ , , +∆ ∆ ‖ × ‖ , + [, ] + 1 .∆, á ≈ ∑= ∆ ≈ ∑= 1 + , + [, ] . ∆
Para hallar el área del paralelogramo
De acuerdo con el teorema 11.8, el área
Por tanto, el área de
notar notar que sus lados están dados por los vectores
de está dada por
donde
es
y
Esto sugiere la definición siguiente de área de una superficie.
DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE
ƒ
, Á ∫ ∫ ∫ ∫ 1 + , + [, ] .
Si y sus primeras derivadas parciales son continuas en la región cerrada entonces el área de la superficie dada por sobre está dada por
en el plano
,
Para memorizar la integral doble para el área de una superficie, es útil notar su semejanza con la integral de la longitud del arco.
: ∫
: ∫ ∫ + ′
Á : ∫ ∫ Á : ∫ ∫ ∫ ∫ 1 + , +[,]
Igual que las integrales para la longitud de arco, las integrales para el área de una superficie son a menudo muy difíciles de calcular. Sin embargo, en el ejemplo siguiente se muestra un tipo que se evalúa con facilidad.
EJ EMPLO 1 El área de la superficie de una región plana Hallar el área de la superficie de la porción del plano
que se encuentra sobre el círculo figura 14.45.
2 + ≤1
en el primer cuadrante, como se muestra en la
Figura 14.45
, 1 , 1, ∫ ∫ 1 + , +[,] Fórmula para el área de la superficie. ∫ ∫ 1 + 1 + 1 Sustituir. ∫ ∫√ 3 √ 3 ∫ ∫
Solución Como
y
el área de la superficie está dada por
3 . √ /4. √ 3á √ 3 4 √ 43. 1
Observar que la última integral es simplemente por el área de la región círculo de radio 1, cuya área es o Por tanto, el área de es
es un cuarto del
EJ EMPLO 2 Hallar el área de una superficie Hallar el área de la porción de la superficie
,1 + 1,0,0,0,1,0 0,1,0,
que se encuentra sobre la región triangular cuyos vértices son se muestra en la figura 14.46a.
y
como
Figura 14.46
, 2 , 1, ∫ ∫ 1 + , +[,] ∫ ∫ 1 +4 +1 0≤≤1 1≤≤1. − ∫ ∫− 2 +4 ∫ 2 +4 1 1 ∫ 1 2 +4 1 2 +4
Solución Como
y
se tiene
En la figura 14.46b se ve que los límites o cotas de la integral será
son
y
Por lo que
∫2 2 +4 2 2 +4
Tablas de integraciónapéndice B.Fórmula 26 y regla de la potencia 2 3/2 2+4 √ 2 +42 +ln(2+ √ 2 +42) 6 10
√ 6+ln2+√ 6√ 6 ln√ 2 + 13 √ 2≈1.618 1+ +
EJ EMPLO 3 Cambio de variables a coordenadas polares Hallar el área de la superficie del paraboloide unidad o unitario, como se muestra en la figura 14.47.
que se encuentra sobre el círculo
,2 ,2, ∫ ∫ 1 + , +[, ] ∫ ∫ 1 +4 +4 . 0≤≤1 0≤≤2, ∫ ∫ 1 +4 ∫ 121 1+4/ 10 ∫ 5√ 125 1 5√ 125 1 20 Figura 14.47
Solución Como
y
se tiene
Se puede pasar a coordenadas polares haciendo región está acotada por y se tiene
y
Entonces, como la
(5√ 65 1) ≈5.33
EJ EMPLO 4 Hallar el área de una superficie
, 2 5 Hemisferio.
Hallar el área de la superficie
correspondiente a la porción del hemisferio
que se encuentra sobre la región R limitada o acotada por el círculo en la figura 14.48.
+ ≤8,
como se muestra
Figura 14.48
ƒ , 25 , 25 ∫∫ 1 + , +[ , ] 1 +25 +25 2525 . ∫ ∫ 2525 . . 0≤≤3 0≤≤2,
Solución Las primeras derivadas parciales de son
y, de acuerdo con la fórmula para el área de una superficie, se tiene
Así, el área de la superficie es
Se puede pasar a coordenadas polares haciendo región R está acotada por y se obtiene
y
Entonces, como la
25 ∫ ∫ √25 5∫ 2 5 30 5∫
10.
+ ≤, 0<<5,
El procedimiento utilizado en el ejemplo 4 puede extenderse para hallar el área de la superficie de una esfera utilizando la región limitada o acotada por el círculo donde como se muestra en la figura 14.49. Se puede mostrar que el área de la superficie de la porción del hemisferio
, 2 5 ∫ ∫ 2525 25 ∫ ∫ √25 105 2 5.
que se encuentra sobre la región circular es
100
4
Tomando el límite cuando tiende a 5 y multiplicando el resultado por dos, se obtiene el área total, que es (El área de la superficie de una esfera de radio es ).
Figura 14.49 La regla de Simpson o la regla del trapecio pueden usarse para aproximar el valor de una integral doble, siempre que se pueda obtener la primera integral. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente.
EJ EMPLO 5 Aproximación del área de una superficie mediante la regla de Simpson Hallar el área de la superficie del paraboloide
,2 Paraboloide. 1≤≤1 1≤≤1,
que se encuentra sobre la región cuadrada acotada por muestra en la figura 14.50.
y
como se
Figura 14.50 Solución Utilizando las derivadas parciales
,2 ,2 ∫∫ 1 + , +[ , ] ∫ ∫ 1 + 2 + 2 ∫ ∫ 1 +4 +4 1 1 sec, 0≤≤sec 4 ≤≤ 4.
se tiene que el área de la superficie es
En coordenadas polares, la recta está dada por o y en la figura 14.51 se puede determinar que un cuarto de la región está limitada o acotada por
Haciendo
y
se obtiene
14 14 ∫ ∫ 1 +4 +4 / ∫−/ ∫ 1 +4 / ∫−/ 121 1+4/ sec0 / 1 12 ∫−/[1+4/ 1] 10, / 1 3 ∫−/[1+4/ 1] ≈7.450
Por último, usando la regla de Simpson con
se aproxima esta integral simple
Un cuarto de la región R está acotada por y
0≤≤sec ≤≤ .
Figura 14.51 TECNOLOGÍA La mayor parte de los programas de computación que realizan integración simbólica con integrales múltiples también realizan técnicas de aproximación numéricas. Si se dispone de uno de estos programas, se recomienda usarlo para aproximar el valor de la integral del ejemplo 5.
14.5 Ejercicios
,
En los ejercicios 1 a 14, hallar el área de la superficie dada por sobre la región R . ( S ug erenci a: Algunas de las integrales son más sencillas en coordenadas polares.)
1.: ,á 2+2 é 0,0, 4, 0, 0, 4 Solución:
2. , 15+23 : é 0,0,3,0,0,3,3,3 Solución:
3. ,7+2+2, {,: + ≤4} Solución:
4. , 12+23, {,: + ≤9} Solución:
5.: ,9 é 0, 0, 2,0, 0, 2,2,2 Solución:
6.: , é 0, 0, 3,0, 0, 3,3,3 Solución:
/ 7.: á , 3+ é 0,0, 0, 4, 3,4,3,0 Solución:
8. , 2+ 23 /, {,: 0≤≤2, 0 ≤≤2} Solución:
9. , ln|sec| , ,: 0≤≤ 4 ,0≤≤tan Solución:
10. ,13+ , {,: + ≤4} Solución:
11. , +, {,: 0≤, ≤1} Solución:
12. , , {,: + ≤16} Solución:
13. , , {,: + ≤, 0<<} Solución:
14. , , {,: + ≤} Solución:
En los ejercicios 15 a 18, hallar el área de la superficie. 15. Porción del plano Solución:
2432
16. Porción del paraboloide Solución:
17. Porción de la esfera Solución:
en el primer octante
16
+ + 25
en el primer octante
en el interior del cilindro
+ 9
18. Porción del cono Solución:
2 +
en el interior del cilindro
, 19.: á, 2+ é 0,0, 1, 0, 1, 1
+ 4
En los ejercicios 19 a 24, dar una integral doble que represente el área de la superficie sobre la región R . Utilizando un sistema algebraico por computadora, evaluar la integral doble.
Solución:
20.: ,2+ á é 0,0, 2, 0, 2, 2 Solución:
21. , 9 , {,: 0≤,} Solución:
22. , +, {,: 0≤, ≤16} Solución:
23. , 4 , {,: 0≤≤1, 0 ≤≤1} Solución:
24. , 23 / +cos, {,: 0≤≤1,0≤≤1} Solución:
, . 12 25.: , 10 é 0, 0, 4,0, 4, 4,0,4 16 200 100 72 36
A proximación En los ejercicios 25 y 26, determinar qué valor se aproxima más al área de la
superficie sobre la región (Elegir el valor basándose en un dibujo de la superficie y no mediante la utilización de cálculos.)
Solución:
26. , 14 +
: í + 9 100 150 9 55 500 Solución:
En los ejercicios 27 y 28, utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximar la integral doble que representa el área de la superficie de la gráfica de ƒ sobre la región
{, : ≤≤,≤≤}. 27. , Solución:
28. , 25 / Solución:
. 3+ 29.: , é 1,1,1,1,1,1,1,1
En los ejercicios 29 a 34, formular una integral doble que proporcione el área de la superficie en la gráfica de ƒ sobre la región
Solución:
30. , 3, {,: 0≤≤4, 0 ≤≤} Solución:
31. , , {,: + ≤4} Solución:
32. , cos + , ,: + ≤ 2 Solución:
33. ,, {,: 0≤≤4,0≤≤10} Solución:
34. ,− , {,: 0≤≤4,0≤≤} Solución:
Desarrollo de conceptos
.
35. Enunciar la definición, con integral doble, del área de una superficie sobre una región
en el plano
dada por
,
Solución:
, + 0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2 0, 0 , 2, 0 , 0, 2 {,: + ≤4, ó }
36. Considerar la superficie
.
y el área de superficie de sobre cada región Sin integrar, ordenar las áreas de superficie desde la menor hasta la mayor. Explicar el razonamiento. a) R : rectángulo con vértices b) R : triángulo con vértices c ) Solución:
37. ¿Aumentará el área de superficie de la gráfica de una función si la gráfica de Solución:
cambió
,
sobre una región unidades verticalmente? ¿Por qué sí o por qué no?
Para discusión
,
.
38. Responder las siguientes preguntas acerca del área de superficie sobre una superficie dada por una función positiva sobre una región a) ¿Es posible para igualar el área de ? b) ¿Puede ser mayor que el área de ? c ) ¿Puede ser menor que el área de ? Solución:
en el plano
Explicar cada respuesta.
39. Hallar el área de la superficie del sólido intersección de los cilindros (ver la figura).
Figura para 39 Solución:
+ 1 + 1 y
40. Mostrar que el área de la superficie del cono
≤
en el plano
√ +1 es
+,>0
(ver la figura).
sobre la región circular
+
Figura para 40 Solución:
41. Diseño industrial Una empresa produce un objeto esférico de 25 centímetros de radio. Se hace una perforación de 4 centímetros de radio a través del centro del objeto. Calcular a) el volumen del objeto y b) el área de la superficie exterior del objeto. Solución:
42. Modelo matemático Un ranchero construye un granero de dimensiones 30 por 50 pies. En la figura se muestra la forma simétrica y la altura e legidas para el tejado.
+ ++
a) Utilizar las funciones de regresión de una herramienta de graficación para hallar un modelo de la forma para el perfil del techo. b) Utilizar las funciones de integración numérica de una herramienta de graficación y el modelo del inciso a) para aproximar el volumen del espacio de almacenaje en el granero. c ) Utilizar las funciones de integración numérica de una herramienta de graficación y el modelo del inciso a) para aproximar el área de la superficie del techo. d ) Aproximar la longitud de arco de la recta del techo y calcular el área de la superficie del techo multiplicando la longitud de arco por la longitud del granero. Comparar los resultados y las integraciones con los encontrados en el inciso c ). Solución:
PROYECTO DE TRABAJO Capilaridad Una propiedad muy conocida de los líquidos se llama “capilaridad”, y consiste en que ascienden por conductos verticales muy estrechos. La figura muestra dos placas que forman una cuña estrecha dentro de un recipiente con líquido. La superficie superior del líquido toma una forma hiperbólica dada por
,
+
donde y están medidas en pulgadas. La constante depende del ángulo de la cuña, del tipo de líquido y del material de las placas. a) Hallar el volumen del líquido que ha ascendido por la cuña. (Tomar ) b) Hallar el área de la superficie horizontal del líquido que ha ascendido por la cuña. Adaptación de un problema sobre capilaridad de “Capillary Phenomena” de Thomas B. Greenslade, Jr., Physics Teacher , mayo de 1992. Con autorización del autor.
Solución:
1
