Dto. Apoyatura Académica I.S.E.S Banco datos biblioteca
Apuntes de análisis y cálculo. Barrull, 1994 . Derivadas Incrementos Formas de derivación Derivada segunda Máximos y mínimos La diferencial de una función [El [El conj conjun unto to de toda todas s las las funci funcion ones es pres present enta a una una dive diversi rsida dad d tal tal que que es casi casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar esperar que se hallar hallaran an algunos algunos teoremas teoremas no trivia triviales les para ellas. ellas... .. Pero los resulta resultados dos más interes interesant antes es y más penetr penetrant antes es acerca acerca de funcio funciones nes sólo sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas. (Spivak, 181-2)] Incrementos [El incremento ∆ x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
o bien
Si se da un incremento incremento ∆ x a la variable variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x 0 + función y = f ( f ( x) x) se verá incrementada en ∆ y = f ( x x0 + ∆ x) x) - f ( x x0) a partir del ∆ x), la función valor y y = f ( f ( x x0). El cociente
recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x0 a x = x0 + ∆ x. (Ayres, 22)] Pendiente [Si h ≠ 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) a+h)) determinan, como en la figura 6, una recta cuya pendiente es
Figura 6.
Como indica la figura 7, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado hablado nunca nunca del 'límite' 'límite' de rectas, rectas, pero podemos habl hablar ar del del lími límite te de sus sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f ( f (a)) debería ser
Figura 7.
(Spivak, 183-4)] Definición [La función f es derivable en a si
existe. En este caso el límite se designa por f' ( f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f .) .) Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f ( f (a)) como la recta que pasa por (a, f (a)) y tiene por pendiente f' ( f' (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f ( f (a)) sólo está definida si f es derivable en a. (Spivak, 185)] [Para una función dada f , la derivada f' se designa a menudo por
No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado significado cuando se consideran consideran separadament separadamente; e; las d no son números, números, no pueden simplificar simplificarse, se, y la expresión expresión completa completa no es el cociente de otros dos números 'df ( df ( x) x)' y 'dx'. Esta notación se debe a Leibniz (generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz. Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el límite de los cocientes ( f ( f (a+h) a+h)-f ( -f (a)) /h /h, sino como el 'valor' de este cociente cuando h es un número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infin 'infinita itamen mente te pequeñ pequeña' a' fue design designada ada por dx y la corresp correspond ondien iente te diferen diferencia cia 'infinitamente pequeña' f ( f ( x+dx) x+dx)-f ( -f ( x) x) por df ( df ( x) x). Aunque es imposible reconciliar este punto de vista con las propiedades de los números reales, algunos encuentran simpática esta noción de la derivada. (Spivak, 190-1)] [La derivada de y = f ( f ( x) x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos
(Ayres, 23)] {En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente de dicha función en ese punto} Fórmulas de derivación [En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x.
1. , siendo c una constante. 2.
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(Ayres, 28ss)] {Véanse ejemplos de derivadas en (Ayres, 30ss)} Derivada segunda [Para una función cualquiera f , al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f' (cuyo dominio puede ser considerablemente más pequeño que el de f ). La noción de derivabilidad puede aplicarse a la función f' , por supuesto, dando lugar a otra función ( f' f' )' , cuyo dominio consiste en todos los punta a tales que f' es derivable derivable en a. La función ( f' f' )' se suele escribir por lo general simplemente f'' y recibe el nombre de derivada segunda de f . Si f'' ( f'' (a) existe, entonces se dice que f es dos veces derivable en a, y el número f'' (a) recibe el nombre de derivada segunda de f en a... No existe razón alguna para detenerse en la derivada segunda; podemos definir f''' = ( f'' ) f'' )' , f'''' = ( f''' ) f''' )' , etc. Esta notación se hace pronto difícil de manejar, por lo que que se suele suele adopt adoptar ar la sigu siguie ient nte e abrev abrevia iaci ción ón (se trat trata a en reali realida dad d de una una definición recursiva):
Las distintas funciones f (k ), para k ≥ 2, son a veces llamadas derivadas de orden superior de superior de f... De hecho, se puede dar una definición para f (0), a saber,
Debemos mencionar también la notación de Leibniz para las derivadas de órdenes superiores. El símbolo natural de Leibniz para f'' ( f'' ( x) x), a saber,
, se abrevia poniendo
, o más frecuentemente
.
Una notación parecida se usa para f (n)( x) x). (Spivak, 201-2)] Máximos y mínimos [Si f' (a) > 0, la función f ( x) x) es creciente en el punto x = a y si f' (a) < 0, es decreciente en dich dicho o punt punto. o. Cuan Cuando do f' (a) = 0, dire direm mos que que la funci unción ón es estacionaria en el punto x = a.
Una función y = f ( x) x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = a , cuando f (a) es mayor yor (menor) or) que los valores de la funci nción para los punt untos inmediatamente anteriores y posteriores al considerado. (Ayres, 42)] La diferencial de una función [La diferencial de una función surgió históricamente del concepto de 'indivisible'. Este Este conc concep epto to,, que que desd desde e un punt punto o de vist vista a mode modern rno o nunc nunca a estu estuvo vo muy muy claramente definido, era en su tiempo (en el siglo XVIII) fundamental en el análisis mate matemá máti tico. co. Las Las idea ideas s refer referen ente tes s a él sufri sufriero eron n camb cambio ios s esenc esencia iale les s en el transcurso de varios siglos. Los indivisibles, y más tarde la diferencial de una función, se representaban como verdaderos infinitésimos, como algo de magnitud constante extremadamente pequeña, que sin embargo no era cero. La definición dada en esta sección es la aceptada en el análisis moderno. De acuerdo con esta definición, la diferencial es una magnitud finita para cada incremento ∆ x, y al mismo tiempo proporcional a ∆ x. La otra propiedad fundamental fundamental de la diferencial, diferencial, el cará caráct cter er de su dife difere renc ncia ia resp respec ecto to a ∆ y, sólo sólo pued puede e reco recono noce cers rse e 'en 'en movimiento', por así decirlo: si consideramos un incremento ∆ x que se aproxima a cero (que (que sea un infini infinités tésimo imo), ), entonc entonces es la diferen diferencia cia entre entre dy e ∆ y será tan pequeña como se desee incluso comparada con ∆ x. Esta sustitución de los incrementos pequeños de la función por la diferencial forma la base de la mayoría de las aplicaciones del análisis infinitesimal al estudio de la naturaleza. El lector verá esto de un modo particularmente claro en el caso de las ecuaciones diferenciales. (Aleksandrov, 1, 152)] [Dada la función y = f ( x) x) se define: (a) (b)
dx, leído diferencial de x, por la relación dx = ∆ x. dy, leído diferencial de y, por la relación dy = f' ( x) x)dx.
La diferencial diferencial de una variable independiente independiente es, por definición, definición, el incremento que experimenta; sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función no es igual a su incremento. (ver fig. 23-1)
Fig. 23-1
Si dx = ∆ x es relativamente pequeño con respecto a x, el valor de ∆ y se puede obtener aproximadamente hallando dy. (Ayres, 119)]
