Plantilla para ayudar al alumnado a escribir en folios sueltos.Descripción completa
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libro de dinamica de la particula Ing. Leon Estrada
Descripción: Apunte Mecanica Suelos
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Derechos Reales UES21Descripción completa
Resumen de Límites Cálculo analítico de límites: I. El dominio de las funciones con las cuales vamos a trabajar inicialmente será el conjunto de los números reales o bien un subintervalo de este. Distinguiremos inicialmente dos tipos de funciones a las cuales les aplicaremos límites, aquellas a las cuales les aplicamos límites directamente y por otro lado aquellas a las cuales haciendo uso de operatoria, amplificación o símplificación los pódremos calcular.
Funciones a las cuales les aplicamos límites directamente
1. Función constante:
Si
, f es función constante y sea a un número cualquiera, entonces Ejemplo: 2. Función identidad:
Para cualquier número dado a,
Ejemplo:
3. Función polinómica: Si p es un polinomio y a es un número real, entonces
Límites para funciones cuyo dominio no son todos los reales. Consideraremos límite de x tendiendo a algún elemento del dominio de la función. 1. Función Racional: Si f es una función racional y a pertenece al dominio de f , entonces
Ejemplo:
2. Función exponencial:
3.
Función Radical:
Ejemplo:
4. Las otras funciones trigonométricas
Observación: Límites que no existen. Para las funciones anteriores hay límites que no existen, por ejemplo. (Consultas a su profesor, adjuntaré las gráficas de estas funciones)
, no existe, pero
√ , no existe, pero √
Para estos dos ejemplos: ¿Qué puedes observar en estas gráficas? Existen también otras funciones que teniendo do minio en los reales tienen algunos límites que ex isten y otros que no Ejemplo. La función parte entera. , no existe.
⟦⟧ ⟦⟧
Los límites cuando x tiende a algún número entero, no existen.
Tarea: A partir de estos ejemplos podríamos decir en qué casos el límite no existe. Otros ejemplos a partir de sus gráficas:
Todas estas funciones tienen límite definidos en todos los reales.
Esta función tiene límites definidos para todo real ma yor que – 3.
]]
Esta función tiene límites definidos para todo número menor que -3 y para todo número mayor que 3
][ ][
Esta función tiene límites definidos para todo real en
][
][
Esta función tiene límites definidos para todo real distinto de -1
{}
Esta función tiene límites definidos para todo real distinto de 0
{} Función compuesta: Si f y g son funciones tales que
()
entonces
Ejercicio de prueba: a)
lím ln( sen( x)) x
2
ln( sen( )) ln(1) 0 2
II.
Funciones para las cuales no está definido
o bien hay un salto en .
Cuando al evaluar la función en c esta nos da la forma indeterminada “0/0”, muchas veces es posible calcular el límite pero previamente hay que utilizar una simplificación pertinente, para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización o la amplificación etc.
Teorema 2. Funciones que coinciden salvo en un punto.
Sea para todo en un intervalo abierto que contiene a c. Si existe el límite de cuando tiende a , entonces también existe el de
y
Ejemplos: En los ejemplos siguientes, debemos factorizar primero, luego simplificar, para por último evaluar.
⁄ En los ejemplos siguientes debemos usar diferencia de cuadrados y suma de cubos o diferencia de cubos.
