Apunte

Prof: Luis Ernesto Valdez DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ANDALGALÁ – CATAMARCA REPÚ REPÚBL BLIC ICA A – ARGE ARGENT NTIN INA A Sitioo Web www.a Siti www.algeb lgebramo ramodern derna.2t a.2trweb rweb.com .com E – Ma Mailil:: lu luis_ is_va vald ldez@ ez@ar arne net. t.co com. m.ar ar

ÁLGEBRA MODERNA – Prof. Luis E. Valdez

ÍNDICE

Pról Prólog ogo o – Algo lgo de Hist Histor oria ia – Bibl Biblio iogr graf afía ía ……… ………………… ……………… ………… ………… ………… ………… ……… … Capí Capítu tulo lo I – Lógi Lógica ca Prop Propos osic icio iona nall ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… … La lógi lógica ca,, Cone Conect ctivo ivoss lógi lógico cos… s……… …………… …………… …………… …………… ………… ………… …………… ……………… …………… …… Las Las oper operac acio ione ness prop propos osic icion ional ales es …………… ………………… …………… …………… ………… …………… ……………… …………… ……… … Tautol Tautolog ogía, ía, con contra tradic dicció ción n y conti continge ngenci ncia a …………………… ……………………………… …………………… ………………… ………… … Leyes eyes lóg lógic icas as ……… ………………… ……………… ……… …………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… … Circ Circui uito toss lógi lógico coss ……………… ……………………… ……………… ……………… …………… ………… …………… ……………… …………… …………… ……… Razo Razona nami mien ento toss Dedu Deduct ctiv ivos os …………… ………………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …… Leye Leyess de de inf infer eren enci ciaa ……… …………… …………… ……………… …………… …………… …………… ………… …………… ……………… …………… ……… … Teo eore rema ma ………… ……………… ………… ………… ……… …………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …… Razo Razona namie mient ntoo Induc Inductiv tivo o ……………… ……………………… ……………… ……………… ……………… …………… ………… …………… …………… …… Redu Reducc cció iónn al absu absurd rdo o …………… ………………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …….. .. La fu func nció iónn prop propos osic icio iona nal.l. Los Los cua cuant ntifific icad ador ores es …………… ………………… ………… …………… ……………… …………… …… Nega Negaci ción ón de de uunn cuan cuanti tifi fica cado dorr ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …… Traba rabajo jo Prác Prácti tico co Nº 1 ……… …………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …… Capítul Capítulo o II – La Teoría Teoría Conjunti Conjuntista sta ……………………………………………………… Simbol Simbolism ismo o de la Teoría Teoría con conjun juntis tista ta ………………… …………………………… ………………… ………………… ………………… ………… … Conj Conjun unto to,, elem elemen ento to y pert perten enen enci cia a ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …… Form Formas as de defin definir ir un conj conjun unto to …………… …………………… …………… ………… …………… ……………… …………… …………… ………… … Con Conjunt juntos os esp espec ecia iale less ………… ……………… ……… …………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …… Card Cardin inaal de un con onju junnto … ……… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… ………. ……. Los Los conj conjun unto toss numé numéri rico coss ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …… Los Los dia diagr gram amas as de Venn Venn ……………… …………………… ………… …………… …………… …………… ……………… …………… …………… ………… … Rela Relaci cion ones es entr entre e conj conjun unto toss – La incl inclus usió ión n …………… ………………… ………… ………… …………… ……………… …………… …… Prop Propie ieda dade dess de de inc inclu lusi sión ón …………… …………………… ……………… …………… ………… …………… ……………… ……………… …………… …….. Igua Iguald ldad ad de conj conjun unto toss ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… … Prop Propie ieda dade dess de la la igua iguald ldad ad ……… …………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …… Cara Caract cter eriz izac ació iónn del del con conju junt nto o vac vacío ío …………… …………………… …………… ………… ………… …………… …………… …………… ……… Ope Operaci racion ones es con con con conju junnto – Prop Propie ieda dade dess ……… …………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… … Otra Otrass prop propie ieda dade dess de las las oper operac acio ione ness con con conju conjunt ntos os …………… ………………… ………… …………… …………… …… La Dife Difere renc ncia ia Simét Simétric rica a ……………… …………………… ………… …………… …………… ………… ………… …………… …………… …………… ……… Prop Propie ieda dade dess de la dife difere renc ncia ia simé simétr tric ica a ……………… …………………… ………… …………… ……………… ……………… ………… … Conj Conjun unto to de de Part Partes es ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …….. .. Unio Unione ness di disj sjun unta tass ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………. …. Par Par orde ordena nado do – Prod Produc ucto to Cart Cartes esia iano no…… …………… ……………… …………… …………… ……………… …………… …………… ……….. .. Trab Trabaj ajo o Prác Práctic tico o Nº 2 …………… ………………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… ……………… …………… …… Capítul Capítulo o III – Relacio Relaciones nes Binarias Binarias ……………………………………………………….. Definición de relación binaria ………………………………………………………… Domi Domini nio, o, Im Imag agen en,, Repr Repres esen enta taci cion ones es gráf gráfic icas as …………… ………………… ………… …………… …………… …………… ……… Rela Relaci ción ón inve invers rsaa ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………. …... Comp Compos osic ició ión n de rel relac acio ione ness ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… … Rela Relaci cion ones es defin definid idas as en un conj conjun unto to …………… …………………… …………… …………… ……………… …………… …………… ……… Posibl Posibles es prop propied iedad ades es de de las las rela relacio ciones nes def defini inidas das en un conj conjun unto to …………… …………………… ………… … Rela Relaci ción ón de equiv equival alen enci ciaa ……… ……………… ……………… …………… …………… ……………… …………… ………… …………… …………… …….. Clas Clases es de equi equiva vale lenc ncia ia – Conj Conjun unto to coci cocien ente te ……………… …………………… ………… …………… …………… …………… ……… Part Partici ición ón de de un C Con onju junt ntoo no vvac acío ío …………… …………………… …………… ………… ………… …………… ……………… …………… …….. .. Teorem Teorema a Funda Fundamen mental tal de las relaci relacione oness de de equiv equivale alenci ncias as ………………… …………………………… …………… … Part Partici ición ón y rel relac ació iónn de de equ equiv ival alen enci ciaa ……… ……………… ……………… …………… …………… …………… …………… ……………. ……... Rela Relaci ción ón de orde ordenn ……… …………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …… Rela Relaci ción ón de orde orden n am ampl plio io …………… …………………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… ……………… ……… Rela Relaci ción ón de de orde ordenn estr estric icto to ……… ……………… ……………… ……………… …………… ………… ………… …………… ……………… …………… …… Rela Relaci ción ón de orde orden n parc parcia iall …………… …………………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… ……………… ……… Rela Relaci ción ón de ord orden en to tota tall ……………… …………………… ………… …………… …………… …………… ……………… …………… …………… …………. …... Elemen Elementos tos disting distinguid uidos os en un una a rela relació ciónn de de orde ordenn ………… …………………… …………………… ………………… ………… … Diag Diagra rama mass de Hass Hasse e ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …… Conj Conjun unto to bie bien n orde ordena nado do ……… …………… ………… …………… ……………… …………… …………… ……………… ……………… ……………… ……… Trab Trabaj ajo o Prác Práctic tico o Nº 3 …………… ………………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… ……………… …………… …… Capítul Capítulo o IV – Funcione Funcioness …………………………………………………………………… Func Funció ión: n: Defin Definic icio ione ness- Domi Domini nio o y Codom Codomin inio io,, Image Imagen n …………… …………………… …………… …………… ………… … Repres Rep resent entaci acione oness gráfic gráficas as de una fun funció ción n ………………… …………………………… ………………… ………………… …………… … www.algebramoderna.2trweb.com

1 2 3 3 6 7 11 14 15 16 17 17 18 18 20 23 24 24 24 25 25 25 26 27 27 27 27 28 28 34 36 36 37 38 38 39 41 42 42 43 43 45 45 49 50 50 50 52 53 53 54 54 54 54 56 56 56 59 60 61

ÁLGEBRA MODERNA – Prof. Luis E. Valdez Clas Clasifi ifica caci ción ón de las las fu func ncio ione ness …………… …………………… ……………… …………… ………… …………… ……………… …………… ……… … Func Funció ión n crec crecie iente nte …………… ………………… …………… …………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… …………. …... Func Funció iónn dec decrec recie ient ntee ………… ………………… ……………… ……………… …………… ………… …………… ……………… …………… …………… ……….. .. Máxi Má ximo mo de una una fun funci ción ón ………… ………………… ……………… ……………… …………… ………… ………… …………… ……………… …………… …….. Míni Mínimo mo de una una fu func nción ión ………… ………………… ……………… ……………… …………… ………… ………… …………… ……………… …………… …….. Func Funció ión n cónc cóncav ava a …………… ………………… ………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… ……………… …………… …… Func Funció ión n conv convex exa a …………… ………………… …………… …………… …………… ……………… ……………… ……………… …………… …………… ………… … Punt Puntoo de de inf infle lexi xión ón de una una fun funci ción ón …………… ………………… …………… …………… …………… ……………… …………… …………. ……... Cómo Cómo det deter ermi mina narr el dom domin inio io real real de una una fun funci ción ón real real…… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …….. Func Funcio ione ness espe especi cial ales es ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………. …... Comp Compos osic ició ión n de Funci Funcion ones es ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………. …. Prop Propie ieda dade dess de de la la com compo posi sici ción ón de fu func ncio ione ness ………… ……………… …………… …………… ………… …………… …………. …. La fu func nció ión n inve invers rsa: a: Defin Definic ició ión n ……………… ……………………… ……………… …………… ………… …………… ……………… …………… …… Teorem Teorema a Fund Fundame amenta ntall de de las las fun funcio ciones nes invers inversas as …………………… …………………………… ………………… …………… … Func Funcio ione ness alge algebr brai aica cass y trasc trascen ende dent ntes es …………… …………………… ……………… …………… ………… …………… …………… …… Trab Trabaj ajo o Prác Práctic tico o Nº 4 …………… ………………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… ……………… …………… …… Capítul Capítulo o V – Inducci Inducción ón Complet Completaa – Números Números y Congr Congruenc uencias ias …………………….. Los Los núme números ros natu natural rales es segú según n Pean Peanoo ……………… …………………… ………… …………… …………… …………… ……………… ……… Prin Princi cipi pioo de de IInd nduc ucci ción ón Comp Comple leta ta …………… …………………… ……………… ……………… …………… ………… …………… …………… …… El símb símbol olo o de suma sumato toria ria …………… ………………… …………… ……………… …………… …………… ……………… …………… …………… ……….. .. Prop Propie ieda dade dess de las las sumat sumator oria iass …………… …………………… …………… ………… …………… …………… ………… …………… …………… …… Máxi Má ximo mo Comú Común n Divis Divisor or ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… … Divi Diviso sore ress y múl múlti tipl plos os ……… …………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… … Propie Propiedad dades es de los diviso divisores res y múl múltipl tiplos os ………………… ………………………… ………………… …………………… ……………… …… Algoritmo de Euclides ………………………………………………………………………… Prop Propie ieda dade dess ……………… …………………… …………… …………… ………… …………… …………… ………… ………… …………… ……………… …………… …… Propie Propiedad dades es del Máx Máximo imo Com Común ún Diviso Divisorr ………… …………………… …………………… …………………… ………………… ………… … Núme Número ross rela relativ tivam amen ente te prim primos os o prim primos os ent entre re sí sí ………… ………………… …………… ………… …………… …………… …… Ecua Ecuaci cion ones es Diofá Diofánti ntica cass linea lineale less .…………… .…………………… ……………… ……………… …………… ………… …………… …………… …… Prop Propie ieda dade dess ……… …………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …….. .. Cong Congru ruen enci ciaa en mód módul ulo o “n” “n” ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… … Pro Propie pieda dadd ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… …………… ……………… ………… ………… ………. …. Trab Trabaj ajo o Prác Práctic tico o Nº 5 …………… ………………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… ……………… …………… …… Capítul Capítulo o VI – Anális Análisis is Combinator Combinatorio io ……………………………………………………. Fact Factor oria iall de de un un núm númer eroo ……… ……………… …………… ………… …………… …………… ………… ………… …………… ……………… …………… …… Simpli Simplific ficaci ación ón de factor factoriale ialess …………………… ……………………………… …………………… …………………… …………………… ……………. …. Variac Variacion iones es o arregl arreglos os sin repeti repetició ción n ………………… …………………………… …………………… …………………… ………………. ……. Variac Variacion iones es o arregl arreglos os con repeti repetició ción n …………………… ……………………………… ………………… ………………… ……………… …… Permut Permutaci acione oness sim simple pless o sin repeti repetició ción n …………………… ……………………………… …………………… ………………… ………… … Perm Permuta utaci cion ones es con con repe repetic tició iónn …………… …………………… ……………… …………… …………… ……………… …………… …………… ……… Combin Com binaci acione oness simp simples les o sin sin repeti repetició ciónn ………… …………………… ………………… ………………… …………………… …………… … Prop Propie ieda dade dess ……………… …………………… …………… …………… ………… …………… …………… ………… ………… …………… ……………… …………… …… Comb Combin inac acio ione ness con repet repetic ició ión n ………………… ……………………… …………… ……………… …………… ………… …………… …………… …… Bino Binomi mio o de Newto Newton n …………… …………………… ……………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… ……………. ……... Triá Triáng ngul ulo o de Tarta Tartagl glia ia – Pasc Pascal al …………… ………………… …………… …………… ………… ………… …………… ……………… …………… …… Trab Trabaj ajo o Prác Práctic tico o Nº 6 …………… ………………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… ……………… …………… …… Capítulo Capítulo VII – Estructuras Estructuras Algebraicas Algebraicas ………………………………………………….. Ley Ley de Comp Compos osic ició iónn Int Inter erna na ………… ………………… ……………… …………… ………… …………… …………… …………… ……………… ……… Estru Estruct ctur uraa de Grupo Grupo …………… ………………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… ……………… …………… …….. .. Prop Propie ieda dade dess de los los grupo gruposs ……………… …………………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… …………. …... Subg Subgru rupo poss ………… ………………… …………… ………… ………… …………… ……………… …………… …………… ……………… …………… …………… ……….. .. Condic Con dición ión sufic suficien iente te para para la existen existencia cia de un un subg subgrup rupo o ………………… …………………………… ………………. ……... Homomo Hom omorfis rfismo mo de Grupos Grupos ………………… …………………………… …………………… …………………… ………………… ………………… ………… Homomo Hom omorfis rfismos mos esp especi eciale aless ………………… …………………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………….. Estru Estruct ctur uraa de Anill Anillo o ……………… ……………………… …………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… …………… …… Estru Estruct ctur uraa de Cu Cuer erpo po ………… ……………… ………… …………… ……………… …………… …………… …………… ………… …………… …………… …… Trab Trabaj ajo o Prác Práctic tico o Nº 7 …………… ………………… …………… ……………… …………… ………… …………… ……………… ……………… …………… ……

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63 65 65 66 66 66 67 67 68 68 70 70 72 73 75 85 87 88 88 89 90 90 90 91 91 91 93 93 94 94 96 96 97 99 100 100 100 100 101 102 102 102 102 103 103 105 105 105 105 106 106 106 106 108 109 109 109 109 110 110 111 111 112 112 113 113 113 113 113 114 114


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PRÓLOGO

A

tendiendo las necesidades de los alumnos del 1º año del Profesorado en Matemática del Instituto de Estudios Superiores de Andalgalá de poder contar con un material didáctico que le sirva como apoyo en el aprendizaje del Álgebra I (Álgebra Moderna), es que se presenta este apunte como parte integrante de un compendio de utilidades ofrecidas en el sitio Web de la cátedra en la dirección www.algebramoderna.2trweb.com, en el que desarrolla la mayoría de los contenidos de este espacio curricular. Indudablemente este apunte, es acorde a los lineamientos curriculares oficiales e inicia con la Lógica Proposicional, para seguir con la Teoría Conjuntista y continuar con Relaciones Binarias, Funciones, Inducción Completa y Divisibilidad, Análisis Combinatorio y Estructuras Algebraicas. Espero que este elemento didáctico pueda llegar al alumno de la mejor forma posible y le sea útil para el aprendizaje del Álgebra I, base de otros espacios curriculares como Álgebra II, Análisis Matemático, Estadística, Probabilidad, Geometría, Elemento de Programación Científica, etc.

UN POCO DE HISTORIA El matemático británico George Boole (1815 – 1864) publicó en 1845 un libro titulado “Investigaciones sobre las leyes del pensamiento” quien contribuyó como base para el desarrollo de la teoría conjuntista. Más tarde George Cantor (1843 – 1918) fundó la Teoría Conjuntista propiamente dicha. Ahora, la teoría de números es una de las ramas más viejas de la matemática. Los libros “Elementos” de Euclides. Este matemático vivió alrededor del año 300 años antes de Cristo. A este autor se le debe el algoritmo de las divisiones sucesivas para obtener el máximo común divisor de dos números. Alrededor de 300 años después de Cristo, Diofanto de Alejandría escribió una obra de 13 libros titulada “Aritmética” de las que sólo se conservan seis. En esta obra aparece por primera vez la notación simbólica para describir incógnitas y las expresiones polinómicas. Años más tarde Pierre Fermat (1601 – 1665), contribuyó al desarrollo de la teoría de números y tuvo influencia en el análisis, como lo reconociera Newton 50 años más tarde, manejando la geometría analítica o de coordenadas que también fue estudiada por Descartes y Pascal. Fueron numerosos los matemáticos que siguieron el desarrollo de los números entre los que se puede nombrar Leonhard Euler (1707 – 1783), Adrien – Marie Legendre (1752 – 1833), Kart Friedrich Gauss (1777 – 1855). Por otro lado el estudio de las estructuras algebraicas se la debe en un inicio a Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813), a Paolo Ruffini (1765 – 1822), Niels Henrik Abel (1802 – 1829) entre otros. Por último, Pascal, Fermat, Tartaglia (1500 – 1557), trabajó en las teoría de las probabilidades donde se aplica la combinatoria. Pero fue Isaac Newton, nacido en la navidad de 1642, quien tuvo su primer trabajo matemático en el desarrollo del binomio que lleva su nombre.

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA  Álgebra I – Rojo, Armando - Ed. El Ateneo - 1986  Número, Grupos y Anillos – Dorrosoro / Hernández - Ed. Addison-Wesley Iberoamericana España, 1996

 Introducción al Análisis Matemático – Osín, Luis - Kapelusz, 1966  Álgebra II – Rojo, Armando - Ed. El Ateneo – 1973



CAPÍTULO I LÓGICA PROPOSICIONAL


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LA LÓGICA La Lógica es la ciencia que estudia los modos y formas de raciocinio. La lógica es una ciencia auxiliar de la Matemática, pues ayuda a comprenderla, razonarla, etc. Para iniciar los estudios de la lógica, es necesario analizar oraciones particulares de las cuales se pueden decir que son VERDADERAS O FALSAS y reciben el nombre de proposiciones.Por ejemplo: El 5 es un número natural Toda proposición es representada por las últimas letras minúsculas del abecedario: p, q, r, s, t, w

CONECTIVOS LÓGICOS Se denominan conectivos lógicos u operadores, a símbolos que permiten formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son: Conectivo  ó 

Nombre NO

    

O INCLUYENTE Y ENTONCES O IMPLICA SÍ Y SOLO SÍ O EXCLUYENTE

Estos conectivos lógicos tienen una jerarquía en las operaciones, esta es: el NO en primer lugar, luego el O INCLUYENTE y el Y, luego el IMPLICA, le sigue el SÍ Y SOLO SÍ y por último el O EXCLUYENTE.PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Una proposición se dice que es simple o atómica si no está afectada por conectivos lógicos; caso contrario, se dice que es compuesta o molecular . Proposición simple: p Proposición compuesta: p  q

TABLA DE VALORES DE VERDAD Una tabla de valores de verdad de una proposición compuesta, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples para determinar el valor de verdad de la proposición compuesta.

OPERACIONES PROPOSICIONALES LA NEGACIÓN La negación de la proposición p es p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p -p V F F V Esta tabla proviene de hacer un análisis simple de una proposición cualquiera, por ejemplo: www.algebramoderna.2trweb.com


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p: el 2 es un número natural. Esta proposición es VERDADERA. Y negando la proposición p queda: -p: NO ES CIERTO que el 2 es un número natural . Esta proposición es FALSA Ahora, busquemos una proposición falsa, por ejemplo: p: el 3 es un número natural . Esta proposición es VERDADERA. Y negando la proposición p queda: -p: NO ES CIERTO QUE el 3 es un número natural . Lo cual es FALSA

DISYUNCIÓN O SUMA LÓGICA La disyunción o suma lógica de las proposiciones p y q , es p q, donde p y q se denominan disyuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: Antes de armar esta tabla de valores de verdad, debemos saber cómo se obtiene la cantidad de valores de verdad de la proposición dada: para ello se recurre al análisis combinatorio, y concluimos que los valores de verdad se repiten y no interesa el orden, por lo tanto estamos en presencia de un arreglo con repetición de n elementos tomados de 2 en 2 , o sea:

nº valores

2

A'n º proposiciones

2

n º proposiones

En nuestro caso particular, tendríamos que la VALORES = 2 2 = 4 p V V F F

q V F V F

pq V V V F

Esta tabla se explica con un ejemplo fácilmente: P: estudio

q: veo televisión

p q: estudio O veo televisión Como este “o” es incluyente, lo que significa que LA VERDAD se dará cuando realice al menos una de las acciones. Se tiene que la primera línea es VERDADERA porque estoy ESTUDIANDO Y VIENDO TV; la segunda línea es VERDADERA ya que si bien no veo TV pero estoy ESTUDIANDO; la tercera línea es similar a la anterior y en la cuarta línea se tiene QUE NO ESTOY REALIZANDO NINGUNA DE LAS DOS ACCIONES, por lo tanto es FALSA.Como conclusión se puede decir que la disyunción es verdadera si al menos unos de los disyuntivos también lo es.-

CONJUNCIÓN O PRODUCTO LÓGICO La conjunción o producto lógico de las proposiciones p y q , es p q, donde p y q se denominan conjuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p V V F F

q V F V F

pq V F F F



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Esta tabla, al igual que la anterior, se explica con un ejemplo fácilmente: p: estudio q: veo televisión p q: estudio Y veo televisión El “y” nos está indicando que la proposición será VERDADERA si ambas acciones se cumplen. Se tiene que la primera línea es VERDADERA porque estoy ESTUDIANDO Y VIENDO TV; la segunda línea es FALSA ya que no veo TV aunque esté ESTUDIANDO; la tercera línea es similar a la anterior y en la cuarta línea se tiene QUE NO ESTOY REALIZANDO NINGUNA DE LAS DOS ACCIONES, por lo tanto es FALSA.Como conclusión se puede decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-

LA IMPLICACIÓN O CONDICIONAL La implicación o condicional de las proposiciones p y q , es p q donde p se denomina antecedente, y q consecuente, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p V V F F

q V F V F

pq V F V V

Esta tabla de valores de verdad se la puede interpretar con el siguiente ejemplo: p: apruebo q: te presto el libro O sea que la proposición será: Apruebo, ENTONCES te presto el libro La VERDAD del condicional está basada en el cumplimiento del compromiso de aprobar. O sea que: en la primera línea aprobé y le presté el libro, por lo tanto es VERDADERA; en la segunda línea aprobé y no le presté el libro, lo que significa que no cumplí con el compromiso, por lo tanto es FALSA; en la tercera línea no aprobé y le presté el libro, pero el hecho de no aprobar no está inserto en el compromiso, por lo tanto cuando no apruebe, queda librado a prestar o no el libro, lo que significa que será VERDADERO al igual que la línea cuatro. En conclusión, la implicación es FALSA cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

LA DOBLE IMPLICACIÓN O EL BICONDICIONAL La doble implicación o el bicondicional de las proposiciones p y q es p  q cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p V V F F

q V F V F

pq V F F V

Esta operación proposicional se la puede entender con el siguiente ejemplo: p: te presto el libro q: apruebo Nuestra proposición será: te presto el libro SI Y SOLO SI apruebo La VERDAD de esta proposición se basa en el compromiso doble que existe, o sea que el préstamo del libro se basa en la aprobación solamente, lo que queda excluido el hecho de no www.algebramoderna.2trweb.com


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aprobar, por lo tanto en la primera línea aprobé y le presté el libro, lo que es VERDADERA; en la segunda línea aprobé y no le presté el libro, lo indica que rompí el compromiso, por lo tanto es FALSA, en la tercera fila no aprobé y le presté el libro, lo que es FALSA ya que el hecho de no aprobar también está en el compromiso; y la cuarta línea es VERDADERA, ya que no aprobé y no le presté el libro.Como conclusión se puede decir que la bicondicional es VERDADERO cuando ambas proposiciones que lo componen son de igual valor de verdad .

LA DIFERENCIA SIMÉTRICA La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es p q cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p

q

V V F F

V F V F

p q F V V F

La explicación de esta tabla de valores de verdad se basa en que este “o” es en sentido excluyente, lo que significa que se puede dar “una o bien la otra” acción.Como conclusión se puede decir que la diferencia simétrica es VERDADERA, si ambas proposiciones que la componen tienen distinto valor de verdad .-

CONDICIONES NECESARIA Y SUFICIENTE En la tabla de valores de verdad del condicional, existen tres líneas donde es VERDADERA (primera, segunda y tercera), pero de ellas, la tercera y la cuarta p es falsa y en la primera es verdadera, entonces se dice que el “ antecedente p es condición suficiente para q” . Ahora, si el antecedente p es verdadero, el consecuente q debe ser necesariamente verdadero para que la implicación lo sea, entonces se dice que el “ consecuente q es condición necesaria para el antecedente p”.

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA Una proposición compuesta se dice que es una tautología si es VERDADERA independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.Por ejemplo la siguiente proposición:   p  q    p   q Para resolver esta tabla de valores de verdad, se debe comenzar por el paréntesis de la izquierda de la doble implicación, teniendo en cuenta que es una conjunción, luego se sigue por su negación. Luego seguimos con la parte derecha de la doble implicación, o sea con la negación de p y de q, luego con estos valores se resuelve la disyunción. Por último se resuelve la doble implicación (operación principal) con el último resultado de la derecha (la negación del paréntesis) y el último de la izquierda (la disyunción) p

q

V V F F

V F V F

  p  q    p   q F V V V

V F F F

V V V V

F F F V V V V V

F V F V

Una proposición es una contradicción si es FALSA independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.-



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Por ejemplo: p q p q -p v -q V V V F F F F V F F F F V V F V F F V V F F F F F V V V Una proposición es una contingencia si no es ni VERDADERA ni FALSA.Por ejemplo: p q p q -p v -q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V V F F F F V V V V

LEYES LÓGICAS Se llaman leyes lógicas a todas aquellas proposiciones que son verdaderas. 1. INVOLUCIÓN La negación de la negación de una proposición es equivalente a la misma proposición . -(-p) p Demostramos esta ley usando la tabla de valores de verdad: p V F

V F

(-p) F V

p V V

V F

2. LA IDEMPOTENCIA De la disyunción: La disyunción de una misma proposición, es equivalente a la misma proposición, o sea: pvp p Demostramos con una tabla de valores de verdad: P V F

(p v p) V F

V V

p V F

De la conjunción: La conjunción de una misma proposición, es equivalente a la misma proposición, o sea: p p p Demostramos con una tabla de valores de verdad: p V F

(p V F

p) V V

p V F

3. ASOCIATIVIDAD La disyunción y la conjunción son asociativas. O sea que: (p v q) v r

p v (q v r)

Para armar esta tabla se debe tener en cuenta que las proposiciones simples son tres, por lo tanto tendrán 8 valores por cada proposición dispuestas de la siguiente forma:



p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F (p

(p v q) V V V V V V F F q)

r

p

v r V V V V V V V F

V V V V V V V V

(q

r)

-8-

p v (q v r) V V V V V V V F V V V V V V F F

Para armar esta tabla se debe tener en cuenta que las proposiciones simples son tres, por lo tanto tendrán 8 valores por cada proposición dispuestas de la siguiente forma: p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

(p q) r V V V F F F F F F F F F F F F F

p V V V V V V V V

(q V F F F F F F F

r) V F F F V F F F

4. CONMUTATIVIDAD La disyunción y la conjunción son conmutativas pvq

qvp

Se demuestra con una tabla de valores de verdad: p V V F F

q V F V F p

pvq V V V F q

q

V V V V

qvp V V V F

p


q V F V F

p V F F F

q

q V V V V

p V F F F

5. DISTRIBUTIVIDAD De la conjunción con respecto a la disyunción: la conjunción es distributiva con respecto a la disyunción. (p q) r (p r) v (q r)



p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

(p

q) V V V V V V F F

r V F V F V F F F

(p V V V V V V V V

V F V F F F F F

-9-

r) v (q V F V F V F F F

r) V F F F V F F F

De la disyunción con respecto a la conjunción: la disyunción es distributiva con respecto a la conjunción. (p q) v r (p v r) (q v r) p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

(p V V F F F F F F

q) v r V V V F V F V F

V V V V V V V V

(p v r) V V V V V F V F

V V V F V F V F

(q v r) V V V F V V V F

6. IMPLICACIONES ASOCIADAS Si se tiene en cuenta la implicación y las posibilidades de negar o cambiar el antecedente por el consecuente y/o viceversa, podemos concluir en lo siguiente: p q -p -q

q Implicación Directa p Implicación Recíproca -q Implicación Contraria -p Implicación Contra – recíproca

Con estas implicaciones podemos armar un cuadro visualmente entendible: p

q C O N T R A R I A S

-p

REC PROCAS

q

C O N T R A R I A S

CONTRA - RECÍPROCAS

-q

REC PROCAS


p

-q

-p


- 10 -

Las implicaciones contra - recíprocas son equivalentes; o sea que: p q -q -p Demostramos esta ley lógica usando una tabla de valores de verdad: p V V F F

q V F V F

p q V F V V

-q F V F V

V V V V

V F V V

-p F F V V

7. LA DOBLE IMPLICACIÓN Y LA IMPLICACIÓN La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca. O sea: p

q

(p

q)

(q

p)

Se demuestra usando una tabla de valores de verdad. p V V F F

q V F V F

(p q) V F F V

(p V V V V

q) V F V V

(q V F F V

p) V V F V

8. LA DIFERENCIA SIMÉTRICA Y LA DOBLE IMPLICACIÓN La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación. O sea que: p

q

-(p

q)


q V F V F

p q F V V F

- (p F V V F

V V V V

q) V F F V

9. LEYES DE “DE MORGAN” De la conjunción: La negación de una conjunción, es equivalente a la disyunción de las negaciones. O sea que: -(p

q)

-p

-q

Demostramos esta ley usando la tabla de valores de verdad: p V V F F

q V F V F

- (p q) F V V F V F V F

V V V V

-p F F V V

F V V V

-q F V F V

De la disyunción: La negación de una disyunción, es equivalente a la conjunción de las negaciones. O sea que: -(p

q)

-p

-q



p V V F F 10. NEGACIÓN DE UNA IMPLICACIÓN

q V F V F

- (p q) F V F V F V V F

V V V V

-p F F V V

- 11 -

F F F V

-q F V F V

La negación de una implicación es equivalente a negación de la disyunción de la negación del antecedente y el consecuente. O sea: -(p q) -(-p q) p V V F F

q V F V F

- (p q) F V V F F V F V

V V V V

- (-p F F V F F V F V

q) V F V V

Ahora, aplicando la ley de De Morgan e Involución en la disyunción, queda: -(p

q)

p

-q

O sea que se puede decir que la negación de una implicación también es equivalente a la conjunción del antecedente y la negación de consecuente. Ahora negando la negación de la implicación queda: -[-(p

q)]

-[ -(-p q)]

-p

q

Pero la negación de la negación de la implicación queda: p

q

-p

q

O sea que la implicación también es equivalente a la disyunción de la negación de antecedente y el consecuente. Ahora, partiendo de la negación de la negación de una implicación y aplicando involución y ley de De Moran, queda: -[-(p

q)]

-[ -(-p q)]

-(p

-q)

O sea que: p

q

-(p

-q)

Por lo tanto podemos decir que la implicación es equivalente a la negación de la conjunción del antecedente y la negación del consecuente.

CIRCUITOS LÓGICOS Haciendo un análisis con las tablas de valores de verdad de la conjunción y de la disyunción, podemos compararlo con circuitos eléctricos, relacionando la VERDAD con la llegada de la corriente al final de circuito. Cada proposición es un interruptor, y así tenemos: CIRCUITO EN SERIE Este circuito tiene la particularidad de que sobre una misma línea se encuentran los interruptores, o sea que: p q



- 12 -

Este circuito se relaciona con la conjunción: p V V F F

q V F V F

p

q V F F F

En la primera línea p y q son VERDADEROS, lo que significa los interruptores están cerrados o sea que pasa la corriente por los dos. O sea que: p

q

V En la segunda línea p es VERDADERO y q FALSO, lo que significa que la corriente pasa hasta antes de q . O sea que: p

q

F En la tercera línea p es FALSO y q VERDADERO, lo que significa que la corriente pasa hasta antes de p. O sea que: p

q

F En la cuarta línea p es FALSO y q FALSO, lo que significa que la corriente pasa hasta antes de p. O sea que: p

q

F CIRCUITO EN PARALELO Este está formado por dos líneas que tienen el mismo principio y el mismo fin y con un interruptor en cada línea. p

q Este circuito se relaciona con la disyunción teniendo en cuenta que la VERDAD de esta proposición está basada en la llegada de la corriente al final del mismo. O sea: p V V F F

q V F V F

p q V V V F



- 13 -

En la primera línea p y q son VERDADEROS, o sea que las llaves están cerradas y pasa la corriente por las dos líneas del circuito: p

V q En la segunda línea, p es VERDADERO y q FALSO, o sea que solamente la llave p está cerrada, lo que deja pasar la corriente, o sea que: p

V q En la tercera línea, p es FALSO y q es VERDADERO, lo que significa que la corriente pasa por q , entonces la disyunción es VERDADERA, o sea: p

V q En la cuarta línea, p y q son FALSOS, por lo que tanto las llaves p y q están abiertas, entonces la disyunción es FALSA ya que no llega la corriente hasta el final del circuito. O sea: p

F q Ahora, el problema está cuando debemos construir un circuito lógico de proposiciones que no son disyunciones ni conjunciones ni negaciones. En estos casos, se deben aplicar propiedades hasta la reducción a las mismas.-



- 14 -

Por ejemplo aplicando sucesivamente la equivalencia de la diferencia simétrica y la doble implicación, la ley de De Morgan y la equivalencia de la negación de una implicación: p

q

-(p q)

-[(p q)

(q p)]

-(p q)

-(q p)

(p -q) (q -p)

Esta última proposición está formada por negaciones en las proposiciones simples, conjunciones y disyunciones. Observamos que la operación principal es la disyunción, por lo tanto el circuito será uno en paralelo, donde en cada una de las líneas de este último son conjunciones o circuitos en serie. O sea que: p

-q

q

-p

RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS Se llama razonamiento al par ordenado ({pi},c), cuya primera componente es un conjunto finito de proposiciones denominadas premisas, y la segunda componente es otra proposición llamada conclusión. Un razonamiento se dice que es deductivo, si la conclusión es evidencia de los valores de verdad de las premisas. Un razonamiento también se lo expresa como una implicación, cuyo antecedente es la conjunción de las premisas, y la conclusión es el consecuente. O sea: p1

p2

p3 ...

p4

c

De un razonamiento no se dice que es verdadero o falso, sino, que ES VALIDO o NO VALIDO. Teniendo en cuenta que la conjunción es verdadera cuando los conjuntivos también lo son, y además, que la implicación es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, se tiene sólo tres posibilidades donde la conclusión es evidencia de la verdad de las premisas: p1

p2

p3 ... V V F F

p4

V F V V

c V F V F

Entonces, un razonamiento deductivo se dice que es VÁLIDO, cuando no es posible que de premisas VERDADERAS, se obtenga una conclusión FALSA. Un razonamiento se los coloca en columna, enumerando las premisas, o sea que: p1 p2 p3 ........... pn ________ c



- 15 -

LEYES DE INFERENCIAS: Se llaman reglas de inferencias, a todo razonamiento deductivo válido.Ley de Modus Ponens o Modus Ponendo: Si en un razonamiento se tiene una implicación y el antecedente, se obtiene como conclusión el consecuente. O sea que: p q p ______ q Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad: p V V F F

q V F V F

(p q) p V V F F V F V F

q V V V V

Ley de Modus Tolens o Modus Tolendo: Si en un razonamiento se tiene una implicación y la negación de consecuente, se concluye en la negación del antecedente. O sea que : p q -q ______ -p Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad: p V V F F

q V F V F

(p V F V V

q) F F F V

-q F V F V

-p F F V V

V V V V

Ley del silogismo disyuntivo: si en un razonamiento se tiene una disyunción y la negación de uno de los disyuntivos, se obtiene como conclusión el otro disyuntivo. O sea que: p q p q -p -q ______ ______ q p Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad: p q (p q) -p V V V F F V F V F F F V V V V F F F F V

q V V V V

Ley del silogismo hipotético: si en un razonamiento se tiene dos implicaciones donde el consecuente de una de ella, es antecedente de la otra, se obtiene como conclusión una tercera implicación, cuyo antecedente es el antecedente de la primera, y cuyo consecuente es el consecuente de la segunda. O sea: p q q r ______ p r www.algebramoderna.2trweb.com


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Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad: p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

(p

q) V V F F V V V V

(q V F F F V F V V

r) V F V V V F V V

V V V V V V V V

(p r) V F V F V V V V

Para determinar la validez de una razonamiento, se deben enumerar las premisas, aplicar leyes a fin de reducir el razonamiento colocando a la derecha de la nueva estructura, la procedencia y la justificación. Cuando ya no se pueda reducir más, se debe tener en cuenta que un razonamiento deductivo es válido NO ES POSIBLES QUE DE PREMISAS VERDADERAS SE OBTENGA UNA CONCLUSIÓN FALSA.Esto significa que se toman todas las premisas VERDADERAS, y se debe concluir en la conclusión VERDADERA. Por ejemplo: 1) pq 2) -r -q 3) -(-p-t) 4) ts 5) -r__ s 1) t 2) ts s

1) pq 2) qr 3) pt 4) ts 5) -r__ s

De 2 por I.C.R.

1) pr 2) pt 3) ts 4) -r__ s

De 1 y 2 LSH

1) -p 2) pt 3) ts_ s

1 y 4 MT

1 y 2 LSD

Este último da como conclusión “s” por la Ley de Modus Ponens. Pero de todas maneras, analizamos este razonamiento teniendo en cuenta que las premisas son verdaderas, y en particular t, y t s. Entonces lo único que queda es que s también lo sea, por lo tanto de premisas verdaderas, obtuvimos conclusión verdadera, lo que significa que el R azonamiento Deductivo es VALIDO.Nota: Se aclara que LSH es Ley del Silogismo Hipotético. LMT es Ley de Modus Tolens. Y LSD es Ley del Silogismo Disyuntivo.

TEOREMA Un teorema es un esquema válido de razonamiento. Todo teorema tiene tres partes: HIPÓTESIS, que está compuesta por proposiciones verdaderas o premisas, la TESIS o conclusión, que es lo que se quiere demostrar, y la DEMOSTRACIÓN que son pasos lógicos que se siguen para poder demostrar la TESIS. En conclusión, un teorema es una verdad no evidente pero si demostrable.El siguiente teorema lo vamos a demostrar utilizando el método deductivo, o sea que utilizaremos proposiciones verdaderas, y trataremos de llegar a una conclusión verdadera. En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º . HIPÓTESIS 

Sea el triángulo a bc TESIS 





a  b c

 180 º www.algebramoderna.2trweb.com


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DEMOSTRACIÓN

b A

a’

c’

a

c 













Analizando el dibujo, nos damos cuenta que a ' b  c '  180 º , pero como a '  a y c '  c por ser 





alternos internos entre las paralelas ab y A , entonces a  b  c

 180 º

RAZONAMIENTO INDUCTIVO Un razonamiento se dice que es inductivo, cuando partiendo de casos particulares, se puede llegar a la conclusión en forma general.La siguiente propiedad se demuestra usando el razonamiento inductivo: La suma de números enteros es conmutativa HIPÓTESIS Sean a

b

TESIS a+b=b+a DEMOSTRACIÓN Como a y b son números enteros, entonces particularizamos la demostración usando números enteros, y resolviendo: -3+2=2-3 -1=-1

5+2=2+5 7=7

100+8=8+100 108=108

-10+38=38-10 28=28

En general podemos decir que siendo a y b enteros, entonces a+b=b+a

REDUCCIÓN AL ABSURDO Este método de demostración, se basa en que las implicaciones contra - recíprocas son equivalentes; o sea que p q  -q-p, que sería lo mismo que H T  -T-H, lo que significa que partiendo de la negación de la tesis y llegando a la negación de la hipótesis (absurdo, ya que la hipótesis siempre es verdadera) demuestra la verdad de hipótesis implica tesis. Podemos demostrar la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo por este método: En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º .



- 18 -

HIPÓTESIS 

Sea el triángulo a bc TESIS 





a  b c

 180 º

DEMOSTRACIÓN

b A

a’

c’

a

c









Negamos la tesis, o sea que aˆ  bˆ  cˆ  180º , y como a '  a y c '  c por ser alternos internos 





entre las paralelas ab y A , entonces a ' b  c '  180 º , lo que nos indica que A no es una recta, 

entonces tampoco abc es un triángulo (lo contrario a la hipótesis) lo que es un absurdo. Y teniendo en cuenta las implicaciones contra - recíprocas, H  T es verdadera.

LA FUNCIÓN PROPOSICIONAL Se llama función proposicional, a todo predicado u objeto directo que está ligado a una variable, y que para un valor de dicha variable, la oración se transforma en una proposición Por ejemplo: P(x)= “ x es azul”

donde x es una variable o argumento

Ahora, si x = “el auto” , entonces queda: P(el auto)= el auto es azul

LOS CUANTIFICADORES Para poder trabajar con las funciones proposicionales se utilizan los cuantificadores, que son símbolos para indicar cuántos o que tiempos de elementos cumplen con alguna propiedad. Los cuantificadores son dos: el cuantificador universal y el cuantificador existencial: Cuantificador Universal: x: “para todo equis se verifica” Cuantificador Existencial: x/ “Existe equis tal que” Una función proposicional que está afectada por un cuantificador se puede decir que es Verdadera o Falsa; por ejemplo

x:xN, de esta función proposicional ya se puede decir si es verdadera o falsa



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NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR Dentro del trabajo de la lógica cuantificacional, lo importante es poder negar un cuantificador: NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR UNIVERSAL Para poder llegar a entender la negación del cuantificador universal, se debe recurrir a un ejemplo: Todos los números enteros son impares (Falso)

 x : P ( x )

.

 x : x  2 Negamos esta oración y nos queda:

No es cierto que todos los números enteros son impares

 x : P ( x )

.

  x : x  2 Y esto es equivalente a decir que:

Existen enteros que no son impares

 x /  P ( x )

.

 x / x  2

En conclusión, se puede decir que si negamos un cuantificador universal es equivalente a cambiarlo por el existencial y negar la función proposicional.O sea:

 x : P ( x )   x /  P ( x ) NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL Al igual que el anterior, para poder llegar a entender la negación del cuantificador existencial, se debe recurrir a un ejemplo: Existen números enteros que son impares

 x / P ( x )

.

 x / x  2 Negamos esta oración y nos queda:

No es cierto que algunos números enteros son impares .

  x / x  2

 x / P ( x )

Y esto es equivalente a decir que: Todos los números enteros no son impares .

 x : x  2

 x :  P ( x )

En conclusión, se puede decir que si negamos un cuantificador existencial es equivalente a cambiarlo por el universal y negar la función proposicional.www.algebramoderna.2trweb.com


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O sea:

 x / P ( x )  x :  P ( x ) Por ejemplo: Cualquiera que sea un entero, existe otro que sumado a él de cero

 x , y / x  y  0 Negando el cuantificador queda:

 x , y / x  y  0  x / y / x  y  0  x / y : x  y  0 TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 1) Construir la tabla de verdad de cada uno de las siguientes proposiciones: a) (p  q)  r  s c) [(p  q)  (s  q)  r e) p  [q  (s  r)

b) (p q) (r  q) d) p  (q  r) f) [p  (r  s)  (p  q)

2) Reducir a negaciones, conjunciones y disyunciones las proposiciones del ejercicio anterior y construir el correspondiente circuito lógico. 3) Determinar la validez o invalidez de los siguientes razonamientos deductivos: a)

d)

f)

h)

p  q p p  s -p  q -(p  r) s  -r ______ -r

b)

-(p  q)  s p  s p  q r  s p ___________ p

e)

r  s p  r s  q - q  -r r q  t ____________ t -p-q r  s pr q  r ___________ r

g)

i)

-p r  s p  q -q  s q  -p ______ p (r  s)  p -p  q p  q (q  s)  r _________ r - q  -r p  s r t  q ________ q p  q r  s r  q q  p q __________ q  s



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4) Escribir en forma simbólica las siguientes proposiciones, negarlas y luego retraducirlas al lenguaje coloquial: a) “Si apruebo, té presto el libro” b) “Ana es hermosa y buena” c) “Estudio o bien, escucho música, y además lo hago con mis compañeros” d) “Los sábados estudio o me junto con mis amigos” 5) Negar lo siguientes cuantificadores: a) x: [P(x)  Q(x) c)  X/[P(x)  Q(x)

b)  x/{P(x)  [Q(x)  R(x) d) x:{[Q(x)  R(x)  P(x)

6) Dado los siguientes enunciados de teoremas, determinar la Hipótesis y la tesis: a) Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos” b) Teorema fundamental de la semejanza de triángulos “Si a un triángulo se le traza una paralela a uno de sus lados, ésta determina dos triángulos semejantes” c) Propiedad de los cuadriláteros “En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores es igual de cuatro rectos” 7) Reescriba las siguientes fórmulas lógicas en lenguaje natural, siendo: p: “Juan vendrá en el tren de las 8:15” q: “Juan vendrá en el tren de las 9:15” r: “Juan tendrá tiempo de visitarnos” a) -p  q r b) p  q  r c) (p  r)  (q  r) d) p  -q  r 8) Reescriba los siguientes enunciados en lenguaje natural como fórmulas del cálculo proposicional clásico: a) Si M es negativo entonces Q es negativo. Si P es positivo, entonces Q es negativo. Por lo tanto, si M es negativo o P es positivo, luego Q es negativo. b) Si M es negativo entonces Q es negativo. Si P es positivo, entonces Q es negativo. Por lo tanto, si M es negativo y P es positivo, luego Q es negativo. c) Si miro al cielo y estoy alerta entonces o veré un plato volador o si no estoy alerta, no veré un plato volador. 9) Determine si las siguientes oraciones en lenguaje natural son equivalentes: a) Llueve o está nublado. No llueve. Está nublado. b) Si me levanto temprano, estaré cansado. Me levanto temprano. No estoy cansado. c) Si hay sol, vamos al club. Si es sábado, vamos al club. Si hay sol y es sábado entonces vamos al club. d) La venta de casas cae si el interés sube. Los rematadores no están contentos si la venta de casas cae. El interés sube. Los rematadores están contentos.



CAPÍTULO II LA TEORÍA CONJUNTISTA


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SIMBOLISMO QUE SE UTILIZA EN LA TEORÍA CONJUNTISTA Símbolo

 -() ó 

    X -

  (a,b) >

 <

 ab x: x/ U Q R C

Significado Pertenece No pertenece Incluido en Incluye a Unión Intersección Por (Producto cartesiano) Menos Conjunto vacío Luego Par ordenado “a” “b” Mayor que Mayor o igual que Menor que Menor o igual que “a” divide a “b” Para todo x se verifica Existe x tal que Conjunto universal Conjunto de los números naturales Conjunto de los números enteros Conjunto de los números racionales Conjunto de los números reales Conjunto de los números complejos

CONJUNTO, ELEMENTO Y PERTENENCIA Para poder abordar la teoría conjuntista, debemos tener presente tres conceptos fundamentales: conjuntos elemento y pertenencia, los cuales son conceptos primitivos. Todo conjunto se lo designa con una letra mayúscula, por ejemplo A, B, C, etc. Y los elementos con una letra minúscula, por ejemplo a, b, c, etc. Ahora, la relación que existe entre elemento y conjunto es el de pertenencia, y se usa el símbolo “ ”. De un elemento a un conjunto se puede decir que pertenece, y se denota: a A “el elemento a pertenece al conjunto A” Por otro lado, se puede negar la pertenencia, y se denota: -( a A)

a A “el elemento a no pertenece al conjunto A”

FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO Los conjuntos se pueden definir de dos formas: enumerando sus elementos (definido por extensión), o enunciando una propiedad que caracteriza solamente a esos elementos (definido por comprensión). Por ejemplo: A = {1, 2, 3, 4} definido por extensión A={xN/x  4} definido por comprensión (se lee “El conjunto A está formado por todos los elementos “x” que pertenecen a los números naturales, tal que “x” es menor o igual que cuatro” )



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CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTO VACÍO El conjunto vacío es aquel que carece de elementos. Definido por extensión sería:

={} Definido por comprensión:  = {x/xx} se elige esta forma ya que no existe ningún elemento que sea distinto consigo mismo CONJUNTO UNITARIO El conjunto unitario es aquel que tiene sólo un elemento: A={a} por extensión A={x/x=a} por comprensión CONJUNTO UNIVERSAL El conjunto universal es el conjunto formado por todos los elementos de los cuales se está hablando. Se lo simboliza con “U”.CARDINAL DE UN CONJUNTO Definición Se llama cardinal de un conjunto a la cantidad de elementos que tiene el conjunto. El cardinal de un conjunto se lo representa con #. Por ejemplo: A={-1,0,1, 2, 3, 4,7,9}  #A = 8 LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Los conjuntos numéricos se fueron creando por la necesidad de solucionar problemas con las operaciones algebraicas. Los números Naturales N Primero se planteó la necesidad de contar, y se crearon los números naturales ( N), o sea N = {0,1,2,3,4...} En este conjunto de números se puede sumar y restar cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo.Los números Enteros Z Con el uso de los números naturales se llegó a la conclusión de que no se podían resolver diferencias donde el minuendo sea menor que el sustraendo, entonces ante el planteamiento de a – b donde a < b se crearon los números negativos que unidos con los naturales dieron origen a los números enteros.Por otro lado también con los enteros se podía multiplicar y dividir si el dividendo era múltiplo del divisor. Los números racionales Q Para poder resolver las divisiones donde el dividendo no es múltiplo del divisor, se crearon las expresiones fraccionarias y las expresiones decimales, que unidos con los enteros dieron origen a los números racionales.-



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Racionales proviene de poder expresar un número como una razón. Por ejemplo:

7:2  Los números reales R

7 2

Pero no todos los números se los puede expresar como fracción, y así lo determinó Pitágoras cuando al aplicar su teorema en un triángulo rectángulo de catetos igual a 1 se descubrió: H

 1 2  12  2 .

Todo aquel número que no se los puede expresar como fracción se denominan irracionales que unidos con los racionales dieron origen a los números reales.Los números complejos C Pero no todas las operaciones se pueden resolver en los números reales, ya que no tiene solución las raíces de índice par y radicando negativo, entonces se crearon los números imaginarios, que unidos a los reales dieron origen a los números complejos.Para resolver estas raíces se llegó a una convención donde

 1  i , o sea que por ejemplo:

 4  4.  1  2.i Ahora, el valor de

4

 16  4 16 .4  1  2.

 1  2.

i

Pero, usando estos números y los reales podemos construir un nuevo conjunto numérico en donde cada uno de ellos se forma con una parte real más una imaginaria, o sea: a+b.i Estos números se llaman números complejos, y el conjunto formado por ellos se denomina conjunto de los complejos.DIAGRAMAS DE VENN Los diagramas de Venn es una forma de representar gráficamente los conjuntos usando figuras cerradas como circunferencias, triángulos, elipses, rectángulos, etc. Por conveniencias se utiliza el rectángulo para graficar el conjunto universal, y las otras figuras para cualquier otro conjunto:



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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Comparando los conjuntos podremos obtener una conclusión; esto es lo que se denomina relaciones entre conjuntos. INCLUSIÓN DE CONJUNTOS Un conjunto está incluido en otro, sí y solo sí los elementos del primero también son del segundo. Analíticamente: Propiedades de la Inclusión

A  B  x A  x B

Propiedad Reflexiva Todo conjunto está incluido en sí mismo. A  A  x A  x A aplicando la definición V V V V V Como x A es verdadero entonces A  A es verdadero, lo que significa que todo conjunto está incluido en sí mismo.Propiedad transitiva Si un conjunto está incluido en otro, y este en un tercero, entonces el primero está incluido en el tercero. A  B  B  C  A C Aplicando la definición de inclusión y la Ley del Silogismo Hipotético, se tiene: A  B  B  C  (x A  xB)  (xB  xC)  x A  xC  A  C IGUALDAD DE CONJUNTOS Definición Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos. Ahora, para que dos conjuntos sean iguales es necesario que uno esté incluido en el otro y viceversa, por lo tanto se tienen: A = B  A  B  B  A Teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos, y que en la geometría se trabaja con conjuntos de puntos, dos figuras o cuerpos que tienen las mismas dimensiones no son iguales por que el lugar que ocupa cada uno de ellos en el espacio o en el plano, son distintos; en este caso se habla de CONGRUENCIA.PROPIEDADES DE LA IGUALDAD DE CONJUNTOS La igualdad de conjuntos cumple con las tres propiedades de una relación, o sea que es REFLEXIVA, SIMÉTRICA Y TRANSITIVA. Propiedad Reflexiva Todo conjunto es igual a sí mismo H) Sea el conjunto A T) A = A www.algebramoderna.2trweb.com


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D) Como A  A  A  A  A  A  A = A Esto es por la idempotencia de la conjunción y por la definición de igualdad Propiedad Simétrica H) Sea A = B T) B = A D) Como A = B  A  B  B  A  B  A  A  B  B = A Esto es aplicando la definición de igualdad y la conmutatividad de la conjunción Propiedad Transitiva Si un conjunto es igual a otro, y este es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero. H) Sea A = B  B = C T) A = C D) Como A = B  B = C  (A  B  B  A)  (B  C  C  B)   (A  B  B  C)  (C  B  B  A)  A  C  C  A  A = C Esto es aplicando definición de igualdad, conmutatividad y asociatividad de la conjunción, simetría de la igualdad e idempotencia de la conjunción.CARACTERIZACIÓN DEL CONJUNTO VACÍO Al conjunto vacío lo caracterizan dos propiedades. Estas son: 1º) El conjunto vacío está incluido en cualquier otro conjunto H) Sea el conjunto A T)   A D) Teniendo en cuenta la definición de inclusión y la definición de implicación, se tiene:

  A  x  x A

V V F V V Esto es dado que x es falso y x  A, por lo consiguiente la implicación es verdadera, por lo tanto la inclusión es verdadera. 2º) El conjunto vacío es único (unicidad) H) Sean los conjuntos vacíos  y ’ T)  = ’ D) Como  es un conjunto vacío y por la propiedad anterior se asegura que ’ Ahora, como ’ también es un conjunto vacío, y por la propiedad anterior se tiene ’. Y teniendo en cuenta la definición de igualdad se tiene:  = ’ OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Toda operación se caracteriza por tener un resultado. Las operaciones entre conjuntos dan como resultado otros conjuntos.-



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1. COMPLEMENTACIÓN Sea el conjunto A. Se llama complemento del conjunto A, al conjunto formado por todos los elementos del universal que no son de A.Simbólicamente: AC = {x  U/x  A} Decir que: x  AC  x  A

En diagramas de Venn es:

A

U

Todo lo rayado son los elementos del conjunto universal que no son de A Propiedades de la Complementación Involución El complemento del complemento de un conjunto, es igual al mismo conjunto H) Sea el conjunto A T) (AC)C = A D) Partiendo de la definición de inclusión, otras formas de negar, e involución en la lógica, se tiene x (AC)C  x AC  (x AC)   (x A)   [(x A)]  x A Pero con esta demostración no se demostró la igualdad, entonces: x (AC)C  x A  [(x (AC)C  x A)]  [x A  x (AC)C]   (AC)C  A  A  (AC)C  (AC)C = A Esto es aplicando la equivalencia entre la doble implicación y la implicación y la definición de igualdad.Gráficamente se demuestra:

A

(AC)C

U

A

A


U


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Para el primer caso, lo que está rayado oblicuamente es el A C, y lo que está sombreado es (AC)C

2. LA INTERSECCIÓN Sean los conjuntos A y B, se llama intersección entre los conjuntos A y B al conjunto A B formado por los elementos comunes. Lógicamente, hablar de elementos comunes, es hablar de elementos que pertenecen a uno y al otro conjunto.O sea que: A  B = {xU/x A  xB}

Ahora, decir que:

x AB  x A  xB

Gráficamente se tiene:

Propiedades y elementos distinguidos de la intersección Idempotencia La intersección de un conjunto, es igual al mismo conjunto H) Sea el conjunto A T) A  A = A D) Aplicando la definición de intersección, la idempotencia de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene: x A  A  x A  x A  x A  A  A = A Asociatividad La intersección es asociativa H) Sean los conjuntos A, B y C T) A (B  C) = (A  B) C D) Aplicando la definición de intersección, la asociatividad de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene: x A (B  C)  x A  x (B  C)  x A  (xB  xC)   (x A  xB)  xC  x(A  B)  xC  x(A  B) C  A (B  C) = (A  B) C



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Gráficamente es:

El primer gráfico es A (B  C), y el segundo (A  B) C La conmutatividad La intersección es conmutativa H) Sean los conjuntos A y B T) A  B = B  A D) Aplicando la definición de intersección, la conmutatividad de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene: x A  B  x A  xB  xB  x A  x B  A  A  B = B  A Gráficamente serán los mismos dado que son dos conjuntos.Elemento neutro El elemento neutro de la intersección es el conjunto universal H) Sea el conjunto A T) A  U = U  A = A D) Dado que el conjunto A U  A  U = U  A = A Elemento absorbente El elemento absorbente es el conjunto vacío H) Sea el conjunto A T) A   = A   =  D) Dado que, por la caracterización del ,  A  A   =   A =  3. UNIÓN DE CONJUNTOS Definición: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto A B formado por los elementos de A o de B o de ambos. O sea que: A  B = {xU/x A  xB} Decir que: x A  B  x A  xB



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Gráficamente:

Propiedades de la unión de conjuntos Idempotencia La unión de un conjunto, es igual al mismo conjunto H) Sea el conjunto A T) A  A = A D) Aplicando la definición de unión, la idempotencia de la disyunción y la definición de igualdad, se tiene: x A  A  x A  x A  x A  A  A = A Asociatividad La unión es asociativa H) Sean los conjuntos A, B y C T) A (B  C) = (A  B) C D) Aplicando la definición de unión, la asociatividad de la disyunción y la definición de igualdad, se tiene: x A (B  C)  x A  x (B  C)  x A  (xB  xC)   (x A  xB)  xC  x(A  B)  xC  x(A  B) C  A (B  C) = (A  B) C Gráficamente:

El primer gráfico es A (B  C), y el segundo (A  B) C La conmutatividad La unión es conmutativa H) Sean los conjuntos A y B T) A  B = B  A www.algebramoderna.2trweb.com


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D) Aplicando la definición de unión, la conmutatividad de la disyunción y la definición de igualdad, se tiene: x A  B  x A  xB  xB  x A  x B  A  A  B = B  A Gráficamente serán los mismos dado que son dos conjuntos.Elemento neutro El elemento neutro de la unión es el conjunto vacío H) Sea el conjunto A T) A   = A   = A D) Dado que, por la caracterización del ,  A  A   =   A = A Elemento absorbente El elemento neutro de la unión es el conjunto universal H) Sea el conjunto A T) A  U = U  A = U D) Dado que el conjunto A U  A  U = U  A = U 4. DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS Definición La diferencia entre los conjuntos A y B, donde A se llama minuendo y B sustraendo, es el conjunto A– B formado por todos los elementos de A que no son de B. Simbólicamente: A – B = {xU/x A  xB} Ahora, si: x A – B  x A  xB Corolario Teniendo en cuenta la definición de complemento, de intersección y de igualdad, se tiene: x A – B  x A  xB  x A  xBC  x A  BC  A – B = A  BC Gráficamente es:



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OTRAS PROPIEDADES Leyes Distributivas De la intersección con respecto a la unión La intersección es distributiva con respecto a la unión H) Sean los conjuntos A, B y C T) A (B  C) = (A  B)  (A  C) D) Teniendo en cuenta las definiciones de intersección, unión e igualdad, y la propiedad distributiva de la conjunción con respecto a la disyunción se tiene: x A (B  C)  x A  x (B  C)  x A  (xB  xC)   (x A  xB)  (x A  xC)  x A  B  x A  C   x (A  B)  (A  C)  A (B  C) = (A  B)  (A  C) Gráficamente:

Lo que está con gris en el primer caso es la unión, luego la intersección es lo que está con negro.Para el segundo caso, la unión de las dos intersecciones es lo que está con negro.De la unión con respecto a la intersección La unión es distributiva con respecto a la intersección. H) Sean los conjuntos A, B y C T) A (B  C) = (A  B)  (A  C) D) Teniendo en cuenta las definiciones de intersección, unión e igualdad, y la propiedad distributiva de la disyunción con respecto a la conjunción, se tiene:

Gráficamente:

x A (B  C)  x A  x (B  C)  x A  (xB  xC)   (x A  xB)  (x A  xC)  x A  B  x A  C   x (A  B)  (A  C)  A (B  C) = (A  B)  (A  C)



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En el primer gráfico, al conjunto A se lo une con la intersección de B con C. En el segundo al realizar la intersección de las uniones se observa que los elementos comunes son todos los de A y los de B y C, o sea la parte negra.Leyes de De Morgan De la intersección El complemento de la intersección de dos conjuntos, es igual a la unión de los complementos. H) Sean los conjuntos A y B T) (A  B)C = AC  BC D) Aplicando las definiciones de intersección, complemento, unión y de igualdad, y la ley de De Morgan para la conjunción, se tiene:

Gráficamente:

x (A  B)C  x (A  B)  -[x(A  B)]  -( x A  xB)   -(x A)  -(xB)  x A  xB  x AC  xBC   x AC  BC  (A  B)C = AC  BC

En el primer gráfico, la intersección es lo que está de blanco, lo que lo rodea (gris) es el complemento.En el segundo, hay que unir los dos complementos, y justamente la parte central no es ni de uno ni del otro, luego la unión son todos los elementos de cada complemento, o sea lo que está de gris.De la unión El complemento de la unión de dos conjuntos, es igual a la intersección de los complementos: H) Sean los conjuntos A y B T) (A  B)C = AC  BC D) Aplicando las definiciones de intersección, complemento, unión y de igualdad, y la ley de De Morgan para la conjunción, se tiene: x (A  B)C  x (A  B)  -[x(A  B)]  -( x A  xB)   -(x A)  -(xB)  x A  xB  x AC  xBC   x AC  BC  (A  B)C = AC  BC



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Gráficamente:

En el primer gráfico el complemento de la unión es lo de gris. En el segundo, el complemento de A son los elementos que están a fuera de A, lo mismo que los de B, ahora la intersección son los comunes de afuera de A y de B, o sea lo que está de gris.DIFERENCIA SIMÉTRICA Definición La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es A  B, formado por los elementos de la unión entre A – B y B – A. Simbólicamente: A  B = (A – B)  (B – A) Ahora, teniendo en cuenta que A – B = A  BC se tiene: A  B = (A  BC)  (B  AC) Gráficamente:

Propiedades de la diferencia simétrica Conmutatividad La diferencia simétrica es conmutativa H) Sean los conjuntos A y B T) A  B = B  A D) Aplicando la definición de diferencia simétrica y la propiedad conmutativa de la unión, se tiene: A  B = (A – B)  (B – A) = (B – A)  (A – B) = B  A Asociatividad La diferencia simétrica es asociativa H) Sean los conjuntos A, B y C www.algebramoderna.2trweb.com


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T) A  (B  C) = (A  B)  C D) Para demostrar esta propiedad se lo debe hacer desarrollando ambos miembros de la igualdad y comparar sus resultados.Comenzamos con el primero, aplicando sucesivamente y convenientemente las definiciones de diferencia simétrica, las propiedades distributivas, conmutativas, elemento neutro A  (B  C) = [A  (B  C)C]  [(B  C)  AC] Por definición de diferencia simétrica = {A  [(BCC)  (CBC)]C  {[(BCC)  (CBC)]  AC Por definición de diferencia simétrica  = A[(BCC)C  (CBC)C](ACBCC) (ACBCC) Por De Morgan y Distributiva ={A[(BCC)  (CCB)](ACBCC) (ACBCC) Por ley De Morgan e Involución ={A[(BCCC)(BCB)(CCC)(CB)](ACBCC) (ACBCC) Propiedad distributiva = {A[(BCCC)(CB)] (ACBCC) (ACBCC) Por ser BC y B, C y CC conjuntos disjuntos = {A[(BCCC) (CB)] (ACBCC) (ACBCC) Por ser el  neutro para la unión = (ABC)(ABCCC)(ACBCC)(ACBCC) (I) Propiedades distributivas y conmutativas (A  B) C = [(A  B)  CC]  [C  (A  B)C] Por definición de diferencia simétrica = {[(ABC)  (B AC)]CC  {C[(ABC)  (B AC)]C Por definición de diferencia simétrica =(ABCCC) (ACBCC)C[(ABC)C  (B AC)C] Por De Morgan y Distributiva =(ABCCC)(ACBCC)C[(ACB)(BC A)] Por ley De Morgan e Involución =(ABCCC) (ACBCC){C[(ACBC)(AC A)(BBC)(B A)] Propiedad distributiva = (ABCCC)(ACBCC){C[(ACBC)(B A)] Por ser AC y A, B y BC conjuntos disjuntos = (ABCCC)(ACBCC){C[(ACBC) (B A)] Por ser el  neutro para la unión = (ABC)(ABCCC)(ACBCC)(ACBCC) (II) Propiedades distributivas y conmutativas  de I y II y por propiedad transitiva de la igualdad, se tiene: A  (B  C) = (A  B)  C CONJUNTO DE PARTES Es importante poder formar conjuntos cuyos elementos son otros conjuntos, es por eso, y valiéndose de un conjunto y posibilidad que no dan sus elementos, podemos definir conjunto de partes. Definición Sea el conjunto A, se llama conjunto de partes de A al conjunto P(A) formado por todos los conjuntos que se pueden armar con los elementos de A.Simbólicamente: Dicho de otra forma:

P(A) =X/X  A} X  P(A)  X  A



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Por ejemplo: Sea A = {1, 2, 3}  P(A) = {{1},{2},{3},{1,2}{1,3},{2,3},{1,2,3}, } Esto es dado que todo conjunto está incluido en sí mismo, y que el vacío está incluido en cualquier otro conjunto. UNIONES DISJUNTAS Cuando tenemos conjuntos disjuntos, o sea que no tienen elementos comunes, y se trata de realizar una unión, estaremos en presencia de una unión disjunta. Para ello designaremos de la siguiente forma con los conjuntos A y B A  B = A + B siempre que A  B =  Ahora el problema está en expresar como una unión disjunta a una unión de cualquier conjunto. Para ello recurriremos a un gráfico teniendo en cuenta los conjuntos A y B

Observando el gráfico, se obtuvo el conjunto A y lo grisáceo que son disjuntos. Ahora ¿cómo será simbólicamente? A  B = A  (B – A) = A  (B  AC) = A  (AC  B) Por lo tanto podemos expresarlo como una unión disjunta, o sea que: A  (AC  B) = A + (AC  B) Y por la propiedad transitiva de la igualdad, se tiene: A  B = A + (AC  B) Que es lo que justamente se quería llegar, expresar cualquier unión como una unión disjunta.PAR ORDENADO Sean los conjuntos {a} y {a, b}. Se llama par ordenado (a, b) al conjunto {{a}, {a,b}} O sea que (a, b) = {{a}, {a,b}} Donde “a” se denomina primera componente, y “b”, segunda componente PRODUCTO CARTESIANO Definición Sean los conjuntos A y B, se llama producto artesiano A X B al conjunto formado por todos los pares ordenados cuyas primeras componentes son los elementos de A, y las segundas componentes, los elementos de B.-



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Simbólicamente es: A X B = {(a,b)/a A  bB} Decir que: (a,b) AXB  a A  bB Por ejemplo: Sean los conjuntos: A={1,2,3} y B={5,6} AXB = {(1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,5); (3,6)} Como se puede observar, el número de elementos del producto cartesiano está dado por el producto de la cantidad de elementos de A y de B. Ahora, también se puede trabajar con un solo conjunto, o sea hacer el producto cartesiano (siendo “A” el conjunto) AXA=A 2, por ejemplo: A={1,2,3} A2 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)}

TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 1) Dado los siguientes conjuntos, y teniendo en cuenta el Universal que figura a la par, definir los mismos por comprensión: a) A={0,1,2,3} U=Z b) B={-5,-4,-3,-2,-1,0, 1,2} U=Z c) C={0,1,6,7,8} U=N d) D={9,10,16,17,22,23,24} U=N 2) Teniendo en cuenta el conjunto de los números Reales, se llama intervalo a un subconjunto del mismo (Reales).El intervalo es abierto cuando no se encuentran en el subconjunto los extremos que figuran en él. O sea: (a, b) intervalo abierto, a y b  (a, b) El intervalo es cerrado si los extremos pertenecen a él. O sea: [a, b donde los extremos a y b  [a, b Y por supuesto, los i ntervalos pueden ser semiabiertos. Ahora, sea el conjunto de los números reales, Definir los siguientes conjuntos por comprensión y graficarlos en la recta numérica: a) A=(-8, 1) b) B=[-4, 4) c) C=[100, 200 d) D= (0, 100 3) Hacer el producto cartesiano de los siguientes conjuntos: a) A={1,2,3} B={8,9} b) A={xN/4
d) (A - B) - C = A - (B  C)

e) A  (B - C) = (A  B) - (C -A)

f) [A  (B  C)] – B= (A  B)  (A  C)  BC

5) Demostrar justificando los razonamientos realizados: a) (A  B) X C = (A X C)  (B X C)



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b) Teniendo en cuenta que #(A  B) = #(A) + #(B) - #(A  B), demostrar que: #(A  B  C) = #(A) + #(B) + #(C) - #(A  B) - #(A  C) - #(B  C) + #(A  B  C) 6) expresar como uniones disjuntas la siguiente operación A  B  C 7) Dado un conjunto cualquiera A. Se llama conjunto de partes de A, al conjunto formado por todos conjuntos que se pueden formar con los elementos del conjunto A. En símbolo: P(A)={X/X A} En base a la definición anterior, determinar el conjunto de Partes de los siguientes conjuntos: a) A = {1, 2, 3} b) B = {4,5,6,7,8} c) C = { 0,5 ; 1; 1,5; 2} d) D = {a, b, c} 8) Determinar la operación que corresponde a cada diagrama de Venn:

e)

g)

f)

h)



CAPÍTULO III RELACIONES BINARIAS


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RELACIONES BINARIAS Al trabajar con conjuntos es imprescindible poder relacionarlos teniendo en cuanta la veracidad de una proposición. Estas relaciones son las que estudiaremos en este apunte. Definición Sean los conjuntos A y B. Se llama relación binaria entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano AXB, cuyos pares cumplen con una determinada proposición.O sea que si R es la relación entre los conjuntos A y B, entonces R  AXB Por ejemplo: Sean los conjuntos A = {1,2,3} y B = {5,6} (x, y)  R AXB  xy AXB={(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)} Teniendo en cuenta la definición de relación, debemos buscar en el producto cartesiano aquellos pares donde la primera componente divida a la segunda. O sea: R = {(1,5), (1,6), (2,6), (3,6)} Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y a B conjunto de llegada. Al conjunto formado por todos los elementos de A que se relacionan con los elementos de B se denomina Dominio, y al subconjunto de B que tienen antecedentes en A se llama Imagen.O sea que el Dominio de la relación es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares de la relación, y la Imagen es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares de la relación.En nuestro ejemplo, se tiene: D(R) = {1, 2, 3}

y I(R) = {5,6}

Para graficar una relación, se la puede hacer de tres formas: En diagramas de Venn: se dibujan los dos conjuntos y se unen con flechas los elementos del conjunto de partida que se relacionan con el de llegada. En nuestro ejemplo será: A

B

1. 2. 3.

5. 6.

La otra forma de graficar una relación es utilizando un sistema de ejes coordenados cartesianos, poniendo en el eje de las abscisas el conjunto de partida, y en el de las ordenadas, el conjunto de llegada. Luego se trazan paralelas al otro eje por cada uno de los puntos de los ejes, siendo el conjunto de los puntos de corte el producto cartesiano. Ahora en esta gráfica, se encierran con una curva cerrada los puntos que pertenecen a la relación.-



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En nuestro caso será:

Por último, también se puede graficar en el sistema matricial (de matrices), colocando al conjunto de partida en forma vertical y al de llegada en forma horizontal. Luego en las intersecciones cuyos pares pertenezcan a la relación se coloca el 1 y donde no, el 0. En nuestro caso será: B A 1 2 3

5

6

1 0 0

1 1 1

Relación inversa Sea una relación R  AXB. Se dice que la relación R -1 es la relación inversa de R, solamente sí R-1 BXA.O sea que R -1 = {(y,x)/(x,y)  R} En nuestro ejemplo, la relación inversa es: R-1 = {(5,1), (6,1), (6,2), (6,3)} COMPOSICIÓN DE RELACIONES Dada dos relaciones: R  AXB y SBXC. Se llama relación compuesta a la relación SoR  AXC (R compuesto con S incluida en AXC) a la formada por los pares que tienen como primera componente a las primeras componentes de los pares de R y como segunda componente a la segundas de los pares de S, siempre que las segundas componentes de los pares de R sean primera de los pares de S. O sea que: SoR = {(x,z) / (x,y) R (y,z) S} Dicho de otra forma: (x,z)  SoR AXC  (x,y) R  (y,z) S



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Gráficamente es:

Por ejemplo: A = {1, 2, 3}

B = {1,2,4} y C 

 1 , 1 , 2 2 4   

La relación R de AXB está formada por todos aquellos pares cuya segunda componente sean el cuadrado de la primera. La relación S de BXC está formada por todos aquellos pares cuya segunda componente sean la mitad de la primera. y (x,y) R AXB  y=x2 ( y , z )  S  BXC  z 

2

AXB = {(1,1)(1,2)(1,4)(2,1)(2,2)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)} R={(1,1)(2,4)} BXC 

 1  1   1  1   1  1   1, 2 1, 4 1,2 2, 2  2, 4  2,2 4, 2  4, 4  4,2             1   S  1,  4,2    2   SoR

 1     1, ( 2,2)   2  

Partiendo de las definiciones, se tiene que la relación SoR de AXC, está formada por todos aquellos pares cuya segunda componente sea la mitad del cuadrado de la primera. x 2 ( x , z )  SoR  AXC  z 

2

AXC 

 1  1   1  1   1  1   1, 2 1, 4 1,2 2, 2  2, 4  2,2 3, 2  3, 4  3,2             1   SoR  1, ( 2,2)   2  



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Gráficamente queda:

RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO Sea el conjunto A, se llama relación definida en un conjunto, al subconjunto del producto cartesiano AXA o A 2. O sea que: R es una relación definida en A  R A2. Por ejemplo: Sea A={1,2,3} (x,y)R A2  x  y Hacemos primero el producto cartesiano, o sea A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)} La relación estará formada por todos aquellos pares de A 2 cuyas primeras componentes sean menores o iguales que las segundas. O sea: R = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(2,3)(3,3)} POSIBLES PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO Analizando una relación y sus pares ordenados, puede o no cumplir con las siguientes propiedades de las relaciones: 1. PROPIEDAD REFLEXIVA La relación R  A2 es reflexiva, solamente sí todos los elementos de A tienen pares de componentes iguales en la relación.R A2 es reflexiva x: x A  (x,x) R Por ejemplo: Si A = {1,2,3} y

(x,y) R A2  x  y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)} R = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(2,3)(3,3)} Los elementos de A son 1, 2 y 3, y en la relación están (1,1) (2,2) y (3,3), o sea que todos los elementos de A determinan pares de componentes iguales en la relación, o sea que es REFLEXIVA.www.algebramoderna.2trweb.com


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2. PROPIEDAD NO REFLEXIVA La propiedad no reflexiva, es la negación de la reflexividad. Entonces, la relación R  A2 es no reflexiva si algunos elementos de A no tienen pares de componentes iguales en la relación. Esto se obtiene negando el cuantificador de la propiedad anterior, y aplicando la negación de una implicación:

Ejemplo

R A2 es No reflexiva  (x:x A  (x,x)R)   x/( x A  (x,x)R)  x/x A  (x,x)R Si A = {1,2,3} y

(x,y) R A2  x  y  y  2

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)} R = {(1,1)(1,3)(2,3)(3,3)} En esta relación tenemos los pares de componentes iguales (1,1) y (3,3); pero los elementos de A son el 1,2,3, lo que significa que algunos elementos de A determinan pares de elementos iguales en la relación. O sea que R de A 2 es No Reflexiva.3. PROPIEDAD ARREFLEXIVA Una relación R de A 2 es Arreflexiva, si no tiene pares de componentes iguales en la relación. O sea que: R A2 es Arreflexiva   x:x A  (x,x)  R Por ejemplo: Si A = {1,2,3} y

(x,y) R A2  x < y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)} R = {(1,2)(1,3)(2,3)} En este caso, ningún elemento de A determina pares de componentes iguales en la relación. Por lo tanto es Arreflexiva.4. PROPIEDAD SIMÉTRICA Una relación definida en un conjunto es simétrica, si y sólo si todos los pares de la relación determinan pares de componentes conmutadas en la relación. O sea: R A2 es simétrica   x,y: (x,y)R  (y,x) R Por ejemplo: Si A = {1,2,3} y

(x,y) R A2  2x+y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)} R = {(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)(3,3)} Observando esta relación que todos los pares tienen pares de componentes conmutadas en la relación, por lo tanto es Simétrica.-



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5. PROPIEDAD NO SIMÉTRICA Una relación es no simétrica, si algunos de los pares de la relación no tienen pares de componentes conmutadas en la relación. Esta propiedad es la negación de la simetría, o sea: R A2 es no simétrica   (x,y: (x,y) R  (y,x)R)    x/(y: (x,y) R  (y,x)R)   x, y/[(x,y)R  (y,x)R)]    x, y/(x,y)R  (y,x)R) Esto es aplicando la negación de un cuantificador, y la negación de la implicación.Por ejemplo: Si A = {1,2,3} y

(x,y) R A2  2x+y  y1

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)} R = {(1,3)(2,2)(3,3)} Es no simétrica, pues está el (1,3) y no está el (3,1), lo que significa que es No simétrica.6. PROPIEDAD ASIMÉTRICA Una relación es asimétrica si todos los pares de la relación no tienen pares de componentes conmutadas en la relación. O sea que: R A2 es asimétrica   x,y: (x,y) R  (y,x)R Por ejemplo: Si A = {1,2,3} y

(x,y) R A2  x
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)} R = {(1,2)(1,3)(2,3)} En esta relación, todos los pares ordenados no tienen pares de componentes conmutadas en la misma relación, por lo tanto es Asimétrica.7. PROPIEDAD TRANSITIVA Una relación es transitiva solamente sí todos los pares cumplen que: eligiendo dos de ellos, la segunda componente del primero, es primera componente del segundo, estos generan un tercer par en la relación, cuya primera componente es la primera del primero, y la segunda es la segunda del segundo. O sea: R A2 es transitiva   x,y,z: (x,y) R  (y,z)R  (x,z)R Por ejemplo: Si A = {1,2,3} y

(x,y) R A2  2x+y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)} R = {(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)(3,3)} Tomamos dos pares que cumplan con el antecedente de la implicación: www.algebramoderna.2trweb.com


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(1,1) y el (1,3) estos generan el (1,3) (1,1) y el (1,1) estos generan el (1,1) (1,3) y el (3,1) estos generan el (1,1) (1,3) y el (3,3) estos generan el (1,3) (2,2) y el (2,2) estos generan el (2,2) (3,1) y el (1,1) estos generan el (3,1) (3,1) y el (1,3) estos generan el (3,3) (3,3) y el (3,1) estos generan el (3,1) (3,3) y el (3,3) estos generan el (3,3) 8. PROPIEDAD NO TRANSITIVA Como en las anteriores, la no transitividad es la negación de la transitividad, o sea que una relación es no transitiva solamente sí algunos pares de la relación no cumplen con las condiciones de la transitividad. Simbólicamente: R A2 es no transitiva   (x,y,z: (x,y)R  (y,z)R  (x,z)R)  x/(y,z: (x,y) R  (y,z)R  (x,z)R)  x,y/(z: (x,y)R  (y,z)R  (x,z)R)  x,y,z/ [(x,y)R  (y,z)R  (x,z)R]  x, y,z/ (x,y)R  (y,z)R  (x,z)R Esto es aplicando la negación de un cuantificador y la negación de una implicación.Por ejemplo: Si A = {1,2,3} y

(x,y) R A2  3x+y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)} R = {(1,2)(2,1)(3,3)} Observamos que con el par (3,3) cumple la condición de transitividad, pero con los pares (1,2) y (2,1) no, ya que el par (1,1) R. Por lo tanto es No transitiva.9. PROPIEDAD ATRANSITIVA Una relación es atransitiva, si ninguno de los pares de la relación cumplen con las condiciones de la transitividad. O sea que: R A2 es atransitiva   x,y,z: (x,y) R  (y,z)R  (x,z)R Por ejemplo: Si A = {1,2,3} y

(x,y) R A2  x+y=3

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)} R = {(1,2)(2,1)} Observamos esta relación que tiene sólo dos pares, y no existe el tercer par, por lo tanto ninguno de los pares cumple con la condición de transitividad, o sea que es Atransitiva.10. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA Una relación es antisimétrica, si existen pares de componentes conmutadas en la relación, tienen que ser aquellos cuyas componentes son iguales. O sea: R A2 es antisimétrica   x,y: (x,y) R  (y,x)R  x=y



Por ejemplo: Si A = {1,2,3} y

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(x,y) R A2  xy

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)} R = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(2,3)(3,3)} En esta relación, los únicos pares de componente conmutadas son aquellos que tienen las mismas iguales, por lo tanto es Antisimétrica.RELACIÓN DE EQUIVALENCIA y Transitiva.-

La relación R  A2 se dice que es de equivalencia, si y sólo si es Reflexiva, Simétrica

Una relación de equivalencia se la denota con , y si (a,b)  entonces se dice que “a es equivalente con b” y se denota a b. Con esta notación, las propiedades quedarían denotadas: Reflexiva:

 A2 es reflexiva x: x A  (x,x)   A2 es reflexiva x: x A  xx Simétrica:

 A2 es simétrica   x,y: (x,y)   (y,x)  A2 es simétrica   x,y: xy  yx Transitiva:

 A2 es transitiva   x,y,z: (x,y)  (y,z)   (x,z)  A2 es transitiva   x,y,z: xy  yz  xz Por ejemplo: Probar que la siguiente relación es de equivalencia: Si A = {1,2,3} y

xy  A2  2x-y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

 = {(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)(3,3)} Es de equivalencia pues es: Reflexiva ya que:

11, 22 y 33 Simétrica ya que: 11 11 13  31 22  22 31  13 33  33 Transitiva ya que: 11  11  11 11  13  13 22  22  22 13  31  11 13  33  13 31  11  31 31  13  33 33  33  33



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CLASES DE EQUIVALENCIA Sea una relación de equivalencia definida en un conjunto A, se llama clase de equivalencia de m, al conjunto formado por todos los elementos de A que son equivalentes con m, y se denota con K m. O sea:

 A2,  Km ={x A/xm} Dicho de otra forma, x Km  xm En el ejemplo que se ha dado anteriormente es: K1 = {1,3} K2 = {2} y K3 = {1,3}, lo que significa que la K 1 = K3 CONJUNTO COCIENTE Se llama conjunto cociente al conjunto formado por todas las clases de equivalencias, y se denota

A



. O sea:

A



  K i / i  I 

donde I se llama conjunto de índices

El conjunto de índices se forma con un representante de cada clase de equivalencia. En el ejemplo anterior, el conjunto cociente es: A



  K 1 , K 2   1,32

y el conjunto de índices es: I = {1,2}

PARTICIÓN DE UN CONJUNTO NO VACÍO Sea el conjunto A  , se dice que {K i/iI} es una partición de A, si y sólo si se cumplen los siguientes axiomas: A1) Todo elemento del conjunto de índice determina un subconjunto de partición no vacío. O sea: u: uI  Ku   A2) Elementos distintos del conjunto de índice, determinan subconjuntos de partición disjuntos. O sea: uv  Ku  Kv =  A3) Todos los elementos del conjunto A, pertenecen a algún subconjuntos de partición, lo que significa que la partición cubre todo el conjunto. O sea: a A,uI/ a  Ku Por ejemplo: Sea A = {-1,0,1,2,3,4}, y sea la partición {{-1}{0,1,2}{3,4}} En este caso el conjunto de índices será I={-1,0,3}, y si observamos en la partición se cumple A 1 ya que K-1, K 0 y K 3. La A2 también se cumple ya que: -1 0  K-1  K0 =; el -13  K-1K3=; y 03  K0K3=. Por otro lado, todos los elementos de A pertenecen a algún subconjunto de partición. En diagramas de Venn será:



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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIAS Sea una  definida en un conjunto A , entonces existe un conjunto de índices I  A, tal que todo u I existe un Ku A, siendo el conjunto de índices formado por un representante de cada clase, de tal manera que cumpla con las siguientes proposiciones: 1º) Todo elemento del conjunto de índice, determina una clase no vacía. 2º) Dos elementos de A son equivalentes si y sólo si pertenece a una misma clase. 3º) Clases no disjuntas son iguales. 4º) Elementos distintos del conjunto de índice, determinan clases disjuntas. 5º) Todo elemento del conjunto A pertenece a alguna clase de equivalencia. O sea que, todas las clases de equivalencias cubren a todo el conjunto A como una partición. Hipótesis Sea A, Sea  A2   I A/ uI, Ku A, Siendo I formado por un representante de cada clase, Tesis 1º) u:uI  Ku  2º) ab  aKu  bKu 3º) Ku  Kv    Ku = Kv 4º) uv  Ku  Kv =  5º) a A,uI/aKu Demostración 1º) Como A  a A. Pero por hipótesis, en A se define una relación de equivalencia, y en particular es reflexiva  aa, y por definición de clase de equivalencia se tiene que a Ka. Ahora, como I A  uKa  ua  au  aKu  Ku. 2º) Para poder demostrar esta proposición, debemos desdoblar la doble implicación. O sea: a) ab  aKu  bKu ab  aKb por definición de clase de equivalencia. Ahora, supongamos que u Kb ub bubKu por definición de clase. Pero ab  bu  au  aKu. b) aKu  bKu  ab Como aKu  bKu  au  bu  au  ub  ab



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3º) Esta proposición se demuestra teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos, o sea Ku = Kv  Ku  Kv  Kv  Ku Ku  Kv     a Ku  Kv  a Ku  a Kv  au  av ua  av uv Ahora: Sea yKu  yu  uv  yv  yKv  y por ley del silogismo hipotético y definición de inclusión, se tiene: K u  Kv (I) Ahora, sea zKv  zv  vu  zu  zKu

 y por ley del silogismo hipotético y definición de inclusión, se tiene: K v  Ku (II) Y teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos se tiene que si Ku  Kv  Kv  Ku  Kv = Ku 4º) Esta proposición la demostraremos utilizando el método de reducción al absurdo, o sea H T  -T-H, lo que nos lleva a negar la tesis, o sea: Ku  Kv     aKu  Kv  aKu  a Kv  au  av  ua  av uv ESTO CONTRADICE LA HIPÓTESIS, PUES LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO DE ÍNDICE NO PUEDEN SER EQUIVALENTES YA QUE SE HA DICHO QUE ESTE CONJUNTO ESTÁ FORMADO POR UN REPRESENTANTE DE CADA CLASE DE EQUIVALENCIA (ABSURDO). uv  Ku  Kv =  ES VERDADERO 5º) como A  a A  aa  aKa Ahora, supongamos que u Ka  ua  au  aKu, y por la propiedad anterior, K u=Ka, lo que significa que todo el conjunto A está cubierto por todas las clases de equivalencia.PARTICIÓN Y RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Propiedad Sea {Ku / u I} una partición del conjunto A. Entonces queda inducida una relación de equivalencia en A.Hipótesis Sea A Sea {Ku / uI} una partición de A Tesis Queda inducida  A2 Demostración Para poder demostrar esta propiedad, primero debemos definir una relación diciendo que “un par ordenado pertenece a la relación, si ambas componentes pertenece a uno mismo conjunto de partición. O sea: (x,y)  R  x Ku  y  Ku (A) Reflexividad Supongamos que x  Ku  x  Ku  x  Ku por idempotencia de la conjunción, y por la definición (A) se tiene que (x,x)  R A2 Simetría Tomemos (x,y)  R  x Ku  y  Ku  y Ku  x  Ku  (y,x)  R www.algebramoderna.2trweb.com


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Transitividad Tomemos (x,y)  R  (y,z)  R  x Ku  y Ku  y  Ku  z  Ku, y en particular podemos decir que x  Ku  z  Ku  (x,z)  R. Luego la relación R es de equivalencia.Por ejemplo: Determinar la relación de equivalencia definida en A={1,2,3,4} teniendo en cuenta la partición de A {{1}{2,3}{4}}.Cada uno de los elementos de la partición es una clase de equivalencia, o sea: K1 = {1} K2 = {2,3} K4 = {4} Y por definición de clase de equivalencia, todo elemento que pertenece a una clase es equivalente con el índice, o sea que: 11  22  23  32  33  44, lo que nos da la relación de equivalencia como:  = {(1,1)(2,2)(2,3)(3,2)(3,3)(4,4)} y el conjunto de índices es: I={1,2,4} RELACIÓN DE ORDEN Al tener un conjunto numérico, es importante analizar si está ordenado o no. Para eso se trabaja con una relación denominada de orden. Antes de poder definir esta relación, definiremos preceder teniendo en cuenta que: Un número precede a otro si y sólo si, el par formado por esos elementos pertenecen a la relación. O sea: x y  (x,y)  R  A2 : signo preceder Ahora, las relaciones pueden ser de orden amplio o estricto, y en cada una de estas se dividen en orden amplio parcial o total, y de orden estricto parcial o total. O sea:

 Parcial  Amplio  Total  Relación de Orden  Estricto Parcial   Total Relación de orden amplio Una relación es de orden amplio si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. O sea que sea R  A2 es de orden amplio si es: Reflexiva: x:x A  x  x Antisimétrica:

x,  y: x  y  y  x  x = y Transitiva:

x,y,z: x  y  y  z  x  z



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Relación de orden estricto Una relación es de orden estricto si es Arreflexiva, Asimétrica y Transitiva. O sea: Arreflexiva:

x:x A   (y  x) Asimétrica

x,y: x  y  (y  x) Transitiva:

x,y,z: x  y  y  z  x  z Relación de orden parcial Una relación de orden es parcial, si algunos elementos del conjunto no preceden a otro del mismo conjunto. O sea: R A2 es de orden parcial   x A,  y  A/-(x  y)  -(y  x) Relación de orden total Una relación es de orden total si todos los elementos del conjunto se ordenan por la relación definida en él. O sea: R A2 es de orden total   x A,  y: xy  x  y  y  x ELEMENTOS DISTINGUIDOS DE UNA RELACIÓN DE ORDEN Sea el conjunto A ordenado por una relación de orden  Primer elemento El elemento a  A es primer elemento si y sólo si precede a todos los demás. a A es primer elemento   x:x A  a x Último elemento El elemento b  A se llama último elemento, si y sólo si todo elemento de A precede a b.b A es último elemento   x:x A  xb Elementos minimales El objeto m  A es un elemento minimal si y sólo si no existe un elemento distinto que lo anteceda. m  A es un minimal   x A: x m  m = x Elementos maximales El objeto n  A es un elemento maximal si y sólo si no existe un elemento distinto que lo siga. n  A es un maximal   x A: n x  n = x



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Cotas inferiores de X

El objeto a  A es una cota inferior del subconjunto X  A, si y sólo si precede a todo elemento a A es una cota inferior de X A  xX  ax

Cotas superiores de X

El objeto b  A es una cota superior del subconjunto X  A, si y sólo si sigue a todo t odo elemento b A es una cota superior de X A  xX  xb

Supremo o cota superior mínima El elemento s  A es un supremo del subconjunto X  A, si y sólo si es el primer elemento del conjunto de cotas superiores.Ínfimo o cota inferior máxima El elemento i  A es un ínfimo del subconjunto X  A, si y sólo si es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.De estas definiciones se deduce que: a) Que en todo todo conjunto conjunto ordenado ordenado puede puede o no tener tener primer primer y/o último elemen elemento. to. b) Que en todo conjun conjunto to ordenado ordenado pueda pueda que no existan existan elementos elementos minimale minimaless y/o maximales maximales,, y en el caso de que existen, pueden no ser únicos c) Que en todo todo conjunto conjunto ordenado ordenado pueden pueden existir existir o no cotas superio superiores res o inferiores, inferiores, y por otro otro lado, pueden no ser únicas.d) Si existen cotas, pueden pueden tener o no ínfimos y/o supremos, supremos, ya que en todo conjunto conjunto ordenado, no necesariamente debe tener primer y/o último elemento.Por ejemplo: Sea el intervalo abierto (-1, 1) donde se define la relación de menor o igual Es reflexiva, puesto que: Es antisimétr antisimétrica ica ya que: que: Es transitiva ya que:

a(-1,1)  aa ab  ba  a=b ab  bc  ac

Ahora sí:

ab  ab  ba

Las tres primeras nos están indicando que esta relación es de orden amplio y la última nos indica que es de orden total.Como el intervalo es abierto, entonces no tiene primer ni último elemento. Por otro lado no existen elementos minimales ni maximales, pero hay infinitas cotas inferiores ya que son todos aquellos reales menores menores o iguales a –1. de igual forma, existen existen infinitas cotas superiores, superiores, y son aquellos reales mayores o iguales iguales a 1. No tiene ni ínfimo ínfimo ni supremo, ya que tendrían que ser el el –1 y el 1 respectivamente, pero no pertenecen al intervalo.Ejemplo: Sea el conjunto A = {2, 3, 6, 9, 12, 36} ordenado por la relación de divisibilidad.a) Es reflexi reflexiva va ya que todo núme número ro es divisible divisible por si si mismo.mismo.www.algebramoderna.2trweb.com


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b) Es antisimétri antisimétrica ca un número número divide divide a otro y este este al primero, primero, solamente solamente se se da en el caso caso de que ellos sean iguales.c) Es transitiva transitiva ya que que si un número número divide a otro otro y este a un tercero tercero,, entonces entonces el primero primero divide divide al tercero.d) Por último último existen existen elementos elementos que no dividen dividen al siguiente siguiente como como es el caso caso del 2 y el 3.De a), b) y c) deducimos que esta relación es de orden amplio; y de c) que es de orden parcial. Ahora, como no existe en A un elemento que sea divisor divisor de todos los demás entonces carece de primer elemento, pero tiene último elemento y es el 36 ya que es divisible por todos los anteriores. Este también es el elemento maximal, y como el 2 y el 3 dividen a los que los siguen, son los elementos minimales. Con respecto a las cotas inferiores, no existen, pero la superior es el 36 y también es el supremo.DIAGRAMAS DE HASSE El diagrama de Hasse se construye partiendo de los elementos ordenados de un conjunto y teniendo en cuenta la relación que lo ordenó y utilizando flechas. En nuestro caso anterior es:

En este diagrama, la flecha indica quien divide a quien: el 2 divide al 6 al 12 y al 36 como indica el sentido de la flecha. El 3 divide al 9 y al 36 por un lado, y al 6, al 12 y al 36 por el otro, como indica el sentido de la flecha.CONJUNTO BIEN ORDENADO Un conjunto está bien ordenado por una relación de orden, si y solo si está totalmente ordenado, y además todo subconjunto no vacío tiene primer elemento.-

TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 1.) Dada los conjuntos siguientes, realizar la relación correspondiente, determinar el dominio e imagen de dicha relación, relación inversa y graficarlas en sus tres tipos: B={xN/2x5}

a) A={1, 2, 3}

(x,y)  R  A X B  xy b) A= {xZ/ -1x< 6}

B={xN/ x<3} (x,y)  R  A X B  2x + y

c) A= {a, b, c, d, e}

B={1, 2, 3} (x,y)  R  A X B  x es vocal B={xN/ x<5}

d) A={-1, 0, 1, 2}

(x,y)  R  A X B  y = x2 2.) Considerado los conjuntos: A={1, 2, 3, 4, 5}

B={1, 4, 6, 16}

C={2, 3, 8, 10}



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y sean las relacio relaciones: nes: (x,y)  R  A X B  y= x2

y

(y,z)  S  B X C  z = 2

Se pide:

 Determinar R y S por extensión. Definir la composición S  R  A X C por extensión y determinar qué forma tiene. Determinar el dominio e imagen de cada relación.3. Sea los siguientes conjuntos, determinar la relación, clasificarla, determinar el dominio e imagen y graficarla en las tres formas: a) b) c) d)

A= {1, 2, 3} B= {x  Z/ -2  x < 4} C= {x  N/ 4< x <8} D= {x  Z/ -4  x <2}

(x,y)  R  A2  x < y (x,y)  R  B2   x = y (x,y)  R  C2  x = y + 2 (x,y)  R  D2  y = x + 1

4. En R2 se define la relación “ “ mediante (x,y)  (x’,y’)  y = y’ Probar que es de equivalencia, equivalencia, determinar las clases de equivalencia, equivalencia, un conjunto de índices y el conjunto cociente.5. Dado los siguientes conjuntos, probar la relación de equivalencia, determinar las clases de equivalencias y el conjunto cociente: a) b) c)

A= {1, 2, 3} xy  x y A= {4, 5, 6, 7} ab 2a - b C= {x  Z/ 2x  -4 x 7}

xy  2x + y

6. El conjunto {{a},{b,c}{d}} es una partición de A={a, b, c, d}. Obtener la relación de equivalencia asociada.7. En R se define: xy   x - 1 = y - 1 probar que es de equivalencia 8. En R se define: xy  x2 - x = y2 - y probar que es de equivalencia 9. En [-1, 1  R se define: xy  x2 = y2 probar que es de equivalencia.10. Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} y se considera la relación menor o igual. Obtener los elementos maximales y minimales, como así así también las cotas superiores e inferiores del del subconjunto {2, 3}.11. En R, ordenado por la relación de menor o igual, se considera considera



A = {x  R/ x



1

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 n  N} n investigar si A tiene primero y último elemento, si está bien ordenado y si admite cotas, ínfimo y/o supremo.12. Determinar de qué orden es la relación del ejercicio 10.-



CAPÍTULO IV FUNCIONES


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FUNCIONES Definición Sean los conjuntos A y B, se llama función a toda relación de A X B donde a cada elemento del conjunto A se lo relaciona con uno y sólo un elemento del conjunto B.Toda función se la denota con las siguientes letras : f, g, h, F, G, H, etc. Teniendo en cuenta la definición, podemos asegurar que si f es una función, entonces f  AXB, y se denota: f: A B se lee “f es una función o aplicación del conjunto A en el B” Por conveniencia, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida, y al B conjunto de llegada o codominio. Ahora como la función es una relación donde todos los elementos de A tienen imagen única, entonces el dominio de la función es el conjunto A, y la imagen de la función está incluida en el conjunto B. O sea: A: conjunto de partida B: conjunto de llegada o codominio.D(f)=A “dominio de la función f” I(f) B “Imagen de la función f” Utilizando los diagramas de Venn se puede representar una función de la siguiente forma:

Analizando la anterior definición, podemos formular la siguiente: Definición La relación f  AXB es una función si cumple con las siguientes condiciones de existencia y unicidad: Existencia Todo elemento de A se relaciona con algún elemento de B x A, yB/(x,y)f Unicidad Los elementos de A tienen una sola imagen en B (x,y)f  (x,z)f  y = z Definición Se llama función a toda relación entre dos variables, en la a todo valor de la primera, lo relaciona con uno y solo un valor de la segunda. A la primera variable se la denomina "variable independiente" y a la segunda "variable dependiente" Si la función es y = f(x), la variable "x" es la independiente y la "y" es la dependiente (los valores de "y" dependen de los valores de "x").www.algebramoderna.2trweb.com


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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES Toda función, al ser una relación especial, se la puede representar gráficamente en un sistema de ejes coordenados cartesianos. Pero para ello se debe tener en cuenta fundamentalmente los conjuntos numéricos donde donde están definidas y el método método a usar para su gráfica.El método de la tabla de valores Este método se lo usa para graficar cualquier tipo de funciones, aunque en algunos casos no es preciso. Por ejemplo: Graficar las siguientes funciones: f :    / f ( x )  2 x  1 Armamos una tabla con valores valores tentativos y centrales de las abscisas, abscisas, y de la siguiente forma: –1 x f(x)=2 f(x)=2 x – Punto -2 f(-2)=2.(-2).2-1 = -5 -5 P1 (-2,-5) -1 f(-3)=2.(-1)-1= -3 -3 P2 (-1,-3) (-1,-3) 0 f(0)=2.0-1=-1 P3(0, (0 , -1) -1) 1 f(1)=2.1-1=1 P4(1, 1) 2 f(2)=2.2-1=3 P5 (2, 3)

1. El mét métod odoo de de los los punt puntos os:: Este método tiene distintas formas de trabajarlo según el tipo de función: Para la función lineal Se basa fundamentalmente en ubicar la pendiente de la función. Para ello se utiliza su concepto. Por ejemplo: Sea la función: f :    / f ( x ) 

Como se observa, la pendiente es

3 x 1 4

3 3 , y como se sabe que ésta está dada por m  tg   , 4 4

entonces se concluye que el cateto opuesto es 3 y el cateto adyacente es 4. Por otro lado también se sabe que –1 es la ordenada al origen, lo que lo marcamos, marcamos, ahora, a partir de allí se debe correr 4 lugares hacia la derecha (cateto adyacente), y como 3 es positivo subimos estos lugares (cateto opuesto), este es el último punto, y como dos puntos pertenecen a una y sólo una recta, entonces, por estos se la traza, o sea: www.algebramoderna.2trweb.com


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Ahora si la pendiente fuera negativa, la tangente también lo sería, por lo tanto el cateto opuesto se lo trazaría hacia abajo.Para la función cuadrática La función cuadrática tiene la forma: f : A  B / f ( x )  a. x 2

 b. x  c

2

x se llama término cuadrático, “a” coeficiente cuadrático, b . x término lineal, “b” Donde a. x coeficiente lineal y c término c término independiente u ordenada al origen.La gráfica de de una función función cuadrática es una parábola simétrica respecto al eje paralelo a las ordenadas y que pasa por el vértice.Para poderla graficarla se deben trazar tres puntos. Este es principalmente el vértice que lo denotaremos V(x v v , y v v ), ) , lo que se reduce reduce el problem problema a en determina determinar r x x v v primero y luego reemplazarlo en la función para el y v v ..Usando la fórmula para determinar las raíces de una ecuación de segundo grado, o sea: x1, 2



b 

b2

 4.a.c

2.a Haciendo un razonamiento básico, concluimos que: x v



b 0 2.a



b 2.a

Como ya se dijo, basta reemplazar este valor en la función para obtener la otra coordenada.Teniendo en cuenta que es simétrica, y sabiendo que la parábola corta a las ordenadas en “c” , entonces otro de los puntos es P 1(0,c), (0,c), el otro punto será P 2 2(2.x ( 2.x v v , c).c).Si la función tiene la ordenada al origen nula, nula, se deben tomar dos valores valores cualesquiera de las abscisas para calcular las ordenadas correspondientes.Por ejemplo: f ( x )  3. x 2  2. x  1 Determinamos primero el vértice, o sea:  b  (2) 1 x v    2.a 2.3 3



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Reemplazamos este valor en la función para obtener la otra coordenada, o sea: y v

2 1  1 1 2 2   3.   2.  1    1  3 3 3 3  3 

Lo que significa que:

 1 , 2    3 3 

V 

Ahora, el punto P 1(0,1) por ser 1 la ordenada al origen, y el otro será:

 1 ,1   P  2 ,1    2  3   3 

P 2  2.

Ahora con estos tres puntos puntos se puede graficar:

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES Analizando la definición de funciones, se puede llegar a concluir que para clasificarlas a las mismas se debe tener en cuenta el codominio, así tenemos: FUNCIÓN INYECTIVA f:A B es inyectiva si y sólo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. O sea:

f : A  B es inyectiva   x1 ,  x 2 : x1  x 2  f ( x1 )  f ( x 2 ) Ahora, por implicaciones contrarrecíprocas contrarrecíprocas se tiene: f : A  B es inyectiva   x1 ,  x 2 : f ( x1 )  f ( x 2 )  x1  x 2

Esto significa que para poder probar que una función es inyectiva, basta igualar la ecuación de la misma para x para x 1 y x 2 2 y a través de procedimientos, el que sea necesario, llegar a la igualdad de ellos.Ejemplo: Sea la función: f :    / f ( x ) 

1 3 1 x  3 2



Hacemos:

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f ( x1 )  f ( x 2 )

1 3 1 1 3 1 x   x  3 1 2 3 2 2

y cancelando, queda:

1 3 1 3 x  x 3 1 3 2

y simplificando queda:

 x 23 3 x1  3 x 2 x1  x 2 x13

Esta función es inyectiva. FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVA f:A B es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del Codominio tienen preimagen. O sea: f : A  B es sobreyecti va   y  B ,  x  A / f ( x )  y Esto significa que para determinar si una función es sobreyectiva se deben estudiar los elementos del dominio en lo que respecta al conjunto, despejando de la función dada x y valuando luego en la función para determinar si realmente f(x)=y .Por ejemplo sea: f :    / f ( x ) 

Esta función es lo mismo que: y



1 3 1 x  3 2

1 3 1 1 1  1  x   x 3  y   x  3 3. y   3 2 3 2  2 

Ahora: ¿este valor es un número real? Sí ya que y es un real y los otros números también lo son, por lo tanto x , entonces:

 1   y  R,  x  3 3.  y    R / f  3  2  

 1   1  3. y      3  2   3 

3

 1   1 3. y       2   2

 1   1  1  1  f  3 3.  y     .3 . y       2   3  2  2  1   1 1  f  3 3.  y     y    2 2   2    1   y  f  3 3.     y  2      f ( x )  y Todo esto es aplicando la propiedad cancelativa y reemplazando “x” . Esta función es Sobreyectiva.FUNCIÓN BIYECTIVA Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.



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CONCLUSIÓN: Haciendo un análisis sobre la clasificación de las funciones, podemos concluir que: 1. Una función puede ser inyectiva, solamente 2. Una función puede ser sobreyectiva, solamente 3. Una función puede ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva) 4. Una función puede no ser inyectiva ni sobreyectiva FUNCIÓN CRECIENTE La función y=f(x) es creciente en el intervalo (a, b), si para valores mayores del intervalo, la función toma valores mayores. y  f ( x ) es creciente en ( a , b )   x1  ( a , b ),  x 2  ( a , b ) : x 2  x1  f ( x 2 )  f ( x1 )

f ( x 2 )

f ( x 1 ) x 2

x 1

FUNCIÓN DCRECIENTE La función y=f(x) es decreciente en el intervalo (a, b), si para valores mayores del intervalo, la función toma valores menores. y  f ( x ) es decrecient e en (a , b )   x1  ( a , b ),  x 2  ( a , b) : x 2  x1  f ( x 2 )  f ( x1 )

f ( x1 )

f ( x 2 ) x1

x 2



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MÁXIMO DE UNA FUNCIÓN La función y=f(x) presenta un máximo en x 0(a,b), si la función en x 0 es mayor que la función en cualquier otro valor de dicho intervalo. y  f ( x ) presenta un máximo en x 0  f ( x 0 )  f ( x 0   x ),  x  ( a , b )

f ( x 0 ) f ( x 0   x ) f ( x 0   x ) x 0

  x

x 0

x 0

  x

MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN La función y=f(x) presenta un mínimo en x 0(a,b), si la función en x 0 es menor que la función en cualquier otro valor de dicho intervalo. y  f ( x ) presenta un mínimo en x 0  f ( x 0 )  f ( x 0   x ),  x  ( a , b )

FUNCIÓN CÓNCAVA Una función y=f(x) es cóncava en el intervalo (a,b) si los puntos de la misma están por arriba de los puntos de la tangente a curva en un punto interior de dicho intervalo.

f ( b )

f ( a )

a

b

R

FUNCIÓN CONVEXA Una función y=f(x) es convexa en el intervalo (a,b) si los puntos de la misma están por debajo de los puntos de la tangente a la curva en un punto cualquiera de dicho intervalo.



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f ( a )

f (b ) b

R

PUNTO DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN Una función y=f(x) presenta un punto de inflexión en x 0 (a,b) si la función en ese punto cambia la concavidad.

x 0

f ( x 0 )

CÓMO DETERMINAR EL DOMINIO REAL DE UNA FUNCIÓN REAL A fin determinar el dominio de una función, se tienen en cuenta tres reglas denominadas “Reglas fundamentales del cálculo”. Estas son: REGLA 1: Toda división por cero no es un número real Esta regla es fundamental, dado que, pensando en el dominio perteneciente en los números reales, la división por cero no tiene cociente real, es imaginario, por lo tanto, si un valor que pueda tomar la variable diese un resultado dividido en cero, la función no tendría imagen en ese punto, lo que nos obligaría a exceptuarlo. Por ejemplo Sea f ( x )



2 x  1

x 2

Observamos que para esta función que para x=1 quedaría el denominador anulado, ese resultado no es un número real, por lo que para que esta expresión sea función, el dominio no debe tener el 1 dado que este valor no tiene imagen. O sea que: ( ) = (−∞,1) ∪ (1,+∞)

REGLA 2: El logaritmo de un número menor o igual a cero no es un número real



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Esta regla nace tiendo en cuenta el cálculo del logaritmo, es así que, si en una función el argumento del logaritmo tiene variable independiente, este argumento debe ser mayor que cero para la función tenga imagen en ese valor. Por ejemplo: g ( x )  log 3x  2 Teniendo en cuenta lo expresado anteriormente, queda que 3x – 2>0, por lo que > , con lo que todos los valores inferiores a este, quedan fuera del dominio de esta función. O sea que:

 2  3

 

D ( g )   ; 

REGLA 3: Toda raíz de índice par y radicando negativo, no es un número real Como se sabe, esta regla es clara, por lo que cuando se tenga una función donde figure una raíz y en el radicando se encuentre la variable independiente, se debe tener en cuenta que el radicando no debe ser negativo, dado que este valor no tendría una imagen real, con lo que se lo debe exceptuar del dominio. Por ejemplo: h ( x )  2 x  3 x  1

Con esta función, tenemos que tener en cuenta que el radicando 3x - 1 ≥0, con lo que ≥ , lo que los valores menores a este quedarían exceptuados del dominio ya que los mismos no tendrían imagen real. O sea que: D ( h) 

 1 ;   3 

FUNCIONES ESPECIALES FUNCIÓN CONSTANTE La función f:A B se llama constante si para todo elemento del dominio, le hace corresponder como imagen un único elemento “K” del codominio. O sea que: f : A  B es constante  f ( x )  k Su gráfica será una recta que corta a las ordenadas en k y siempre paralela al eje de las abscisas. O sea:



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Trabajando con los números reales observamos que elementos distintos del conjunto de partida o dominio tienen siempre la misma imagen k , por lo tanto no es inyectiva. Por otro lado, de todos los elementos del codominio, solamente k tiene preimagen, por lo tanto no es sobreyectiva. Ahora, esta función puede tener otra forma, por ejemplo x=k , su gráfica cortará al eje de las abscisa en k y será paralela a las ordenadas.LA FUNCIÓN IDENTIDAD La función identidad es aquella a la que a todo elemento del dominio le hace corresponder como imagen ese mismo elemento, o sea: i : A  A / i( x )  x Esta se lee “identidad de x” O sea que si a A i(a)=a, y así para todos los valores de A. En diagrama de Venn será: A

a b c Haciendo un estudio de esta función se tiene que: La función es inyectiva ya que cada uno de los elementos del dominio es imagen de sí mismo, y ellos son distintos.  La función es sobreyectiva ya que todos los elementos del dominio también son imagen. Como conclusión podemos decir que esta función es biyectiva.-



LA FUNCIÓN PROYECCIÓN Sea el conjunto R, sean los conjuntos A R y B R. Sea el producto cartesiano AxB, en donde un punto cualquiera P(a,b) pueden determinarse dos funciones llamadas proyecciones de la siguiente manera: P 1 : AxB  A / P 1 ( a , b )  a P 2 : AxB  B / P 2 ( a , b )  b Gráficamente:

LA FUNCIÓN CANÓNICA Sea una relación de equivalencia “ ” definida en un conjunto A, por supuesto a partir de ella se generan las clases de equivalencias y el conjunto cociente. Se llama función canónica a aquella definida desde el conjunto A hasta el conjunto cociente, de tal manera que a cada elemento del conjunto A le hace corresponder la clase a la que pertenece. O sea: A  : A  /  x  A :  ( x )  Ku  x  Ku



Esta función es sobreyectiva, ya que todos los elementos del conjunto cociente (clases de equivalencias), tienen algún antecedente en el conjunto A, pero no es inyectiva ya que varios elementos de A tienen la misma imagen en el conjunto cociente.www.algebramoderna.2trweb.com


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COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean dos funciones, f:A B  g:B C, se llama composición de las funciones f y g a la función y x  A, gof:A C/gof(x)=g[f(x)], siempre que exista un elemento y  B tal que y=f(x), y z=g(y), con z C o sea:

PROPIEDADES ASOCIATIVIDAD DE LAS COMPOSICIÓN DE FUNCIONES La composición de funciones es asociativa. H) Sean las funciones f : A  B

g : B  C h : C  D T) ho( gof )  (hog )of D) Como la composición de funciones está definida sólo para tres conjuntos, o dos funciones, debemos trabajar estas para poder aplicar dicha definición para las tres funciones. Para ello hacemos: gof : A  C    ho( gof )( x )  ho g  f ( x )  h g  f ( x ) ( a ) h : C  D  Esto es aplicado la definición de composición de funciones a gof, y luego a ho  g[f(x)]  Ahora:

f : A  B

   ( hog )of ( x )  ( hog ) f ( x )   h g  f ( x )  hog : B  D 

(b)

Esto es aplicando la definición de composición en la operación principal y luego en la secundaria. Ahora, de (a) y (b), y por transitividad se tiene: ho(gof)=(hog)of COMPOSICIÓN DE FUNCIONES INYECTIVAS La composición de funciones inyectivas es inyectiva H) Sea f:A B  g:B C inyectivas T) gof:A C es inyectiva D) Teniendo en cuenta que y=f(x) es inyectiva, entonces: www.algebramoderna.2trweb.com


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 x1 ,  x2 : f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 Pero por otro lado z=g(y) también es inyectiva, entonces:

 y1 ,  y2 : g ( y1 )  g ( y2 )  y1  y 2

Ahora:

gof ( x1 )  gof ( x 2 ) Pero por definición de composición se tiene: g  f ( x1 )  g  f ( x 2 ) Pero g es inyectiva, entonces las variables de g son iguales, entonces: f ( x1 )  f ( x 2 ) Pero f es inyectiva, entonces: x1  x2  gof:A C es inyectiva (por definición de inyectividad).COMPOSICIÓN DE FUNCIONES SOBREYECTIVAS La composición de funciones sobreyectivas, es sobreyectiva H) Sea f:A B  g:B C sobreyectivas T) gof:A C es sobreyectiva D) Como y=f(x) es sobreyectiva, entonces:  y  B,  x  A / f ( x )  y

Además z=g(y) es sobreyectiva, entonces:  z  C ,  y  B / g ( y )  z Ahora, teniendo en cuenta la composición de funciones y por hipótesis y por las aseveraciones hechas anteriormente, tenemos:

 z  C ,  x  A / g  f ( x)  g ( y)  z

Pero, g  f ( x)  gof ( x) por definición de composición de funciones, lo que se tiene que gof ( x )  z Luego gof:A C es sobreyectiva COMPOSICIÓN DE FUNCIONES BIYECTIVAS La composición de funciones biyectivas, es biyectiva H) Sea f:A B  g:B C biyectivas T) gof:A C es biyectiva D) Por definición, una función es biyectiva solamente si es inyectiva y sobreyectiva, y teniendo en cuenta las demostraciones de composición de funciones inyectivas y composición de funciones sobreyectivas, se demuestra esta propiedad.FUNCIÓN INVERSA Definición: Una función f: A B, admite inversa si y sólo si existe una función g:B A de modo que gof=i A  fog=i B, y la función g es la inversa de la función f .-



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Si f es la función, la inversa de f se denota con f -1 .Por ejemplo: Sea f :    / f ( x )  3.x  1 Como y=f(x) entonces despejamos x , y se tiene: 3. x  y  1 y  1 x   g ( y )

(1)

3

Esta es la función inversa, que cambiando la variable x por f -1(x) e y por x queda: x 1 f 1 ( x ) 

3

Ahora, si ésta es la función inversa tiene que cumplir con las condiciones establecidas por la definición. Para ello partamos de la expresión (1), o sea:

gof ( x)  g  f ( x)

g  f ( x ) 

Reemplazando a f(x) se tiene:

f ( x )  1

3

3.x  1  1 3 3 .x g  f ( x )   3 g  f ( x )   x  i ( x ) gof ( x ) i  ( x )

g  f ( x )  

Por otro lado se tiene:

fog ( y)  f  g ( y) f  g ( y)  3. g ( y)  1

Y reemplazando g(y) se tiene: f  g ( y )   3 .

y 1

3

1

f  g ( y)  y  1  1 f  g ( y )   y

 i ( y ) fog ( y)  i R ( y)

Lo que significa que la función inversa de f es: f 1 ( x ) 

x 1

3

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS Con este teorema se pretende simplificar la determinación si una función admite inversa, utilizando la clasificación de funciones.TEOREMA Una función admite inversa si y sólo si es biyectiva f:A B admite inversa  es biyectiva Para demostrar este teorema, debemos desdoblar la doble implicación, o sea www.algebramoderna.2trweb.com


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H) f:A B admite inversa T) f es biyectiva D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos hacerlo teniendo en cuenta que si la función es biyectiva, entonces es inyectiva y sobreyectiva Por otro lado, como la función admite inversa (hipótesis), entonces: gof(x)=i A(x)=x además fog(y)=i B(y)=y Hacemos:

gof ( x1 )  gof ( x 2 )

Pero como admite inversa, entonces:

i A ( x1 )  i A ( x 2 )

Y por definición de identidad, se tiene:

x1

 x2

Lo que significa que es INYECTIVA (2) Ahora:

 y  i B ( y)  fog ( y)  B,  x  i A ( x)  gof ( x)  A / f ( x)  f  gof ( x)   f ( x)   fo gof ( x)

Pero por la propiedad asociativa de la composición de funciones, queda:

f ( x)  ( fog )of ( x) Y aplicando la definición de composición, se tiene: f ( x)  ( fog ) f ( x ) Pero f(x)=y, entonces: f ( x )  ( fog )( y ) Y por hipótesis esta última composición es la i B, lo que significa: f ( x )  y Esto demuestra que la función f es SOBREYECTIVA (3)

Luego, de (2) y (3), la función f es BIYECTIVA (por definición de función biyectiva) Demostremos ahora la segunda parte: H) f:A B es biyectiva T) f admite inversa D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos encontrar una función g:B  A, siempre que exista f:A B de tal forma que x=g(y), si y=f(x). Ahora, para que g sea función debe cumplir con las condiciones de existencia y unicidad.Bajo las condiciones descriptas anteriormente, como f es biyectiva, y en particular sobreyectiva, entonces todos los elementos de B tienen antecedente en A por f, lo que significa que todos los elementos de B tienen imagen en A por g (existencia). Por otro lado, como f es inyectiva, entonces distintos elementos de A tienen imagen distinta en B por f, lo que significa que por g, los elementos de B tienen una y sólo una i magen (unicidad). Luego g:A B es función Ahora como f y g son funciones, podemos hacer la composición de ellas y obtener una conclusión:

gof ( x)  g  f ( x) Pero por lo dicho anteriormente y=f(x), entonces: gof ( x )  g ( y )



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Por la misma razón que la anterior x=g(y), entonces

gof ( x)  x  i A ( x)

Por otro lado se tiene:

fog ( y)  f  g ( y) Pero por lo dicho anteriormente x=g(y), entonces: fog ( y )  f ( x ) Por la misma razón que la anterior y=f(x), entonces fog ( y)  y  i B ( y) Luego la función f admite inversa, y es la función g Habiendo demostrado estas dos partes, quedó demostrado el teorema.Con este teorema, dada una función, con tan sólo estudiar si es que es biyectiva, sabremos que admite inversa, por ejemplo: f :    / f ( x ) 

Probemos que esta función es inyectiva, o sea:

1 3 x 2 2

f ( x1 )  f ( x 2 )

1 3 1 x 1  2  x 23  2 2 2 1 3 1 3 x  x 2 1 2 2 x 13

 x 23

 3 x 23 x1  x2

x 1

Ahora probemos que es sobreyectiva: Para demostrar, debemos despejar x de la función, o sea: x  2. y  2 Aplicando la definición de función sobreyectiva, se tiene:

 y  B,  x  2. y  2   / f ( x ) 

1 x 1 2

1 ( 2. y  2)  1 2 1 1 f ( x )  .2 . y  .2  1 2 2 f ( x )  y  1  1 f ( x )  y f ( x ) 

Hemos probado que esta función es biyectiva, por lo tanto admite inversa (atento al teorema fundamental de las funciones inversas). Pero ahora debemos determinar esta función inversa, o sea: De acuerdo a lo que se trabajó:

x

 2. y  2  2.( y  1)

Siendo ésta la función inversa, o sea: www.algebramoderna.2trweb.com


f 1 ( x )

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 2.( x  1)

FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES Definición: Una función es ALGEBRAICA, si las operaciones de la expresión son algebraicas, caso contrario se llaman TRASCENDENTES (trascienden el campo del álgebra) FUNCIONES ALGEBRAICAS LA FUNCIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO La función f:AB es lineal o de primer grado, si su expresión algebraica de una sola variable es de primer grado, y tiene la forma: fA  B / f ( x )  y  m. x  b Donde: y se llama variable dependiente x se denomina variable independiente m se denomina pendiente mx se denomina término lineal b se denomina término independiente La gráfica de esta función es una recta que donde el punto P(0,b) pertenece a ella, por ello b se denomina también ordenada al origen. O sea:

De acuerdo a la gráfica de la función podemos concluir que tg  

y  b

 y  b  tg  . x  y  tg  . x  b x Lo que significa que la pendiente m es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con la horizontal o el eje de las abscisas, o sea: m=tg Ahora, haciendo un estudio de la tangente, observamos que ésta es positiva si el ángulo está comprendido en el primer cuadrante, o sea cuando la recta va desde el 3º al 1º cuadrante, o sea cuando los valores de la función crecen al crecer los valor de la variable. La tangente es negativa cuando el ángulo es mayor que  2 y menor que 2 , que es en el caso en el que la gráfica de la función va desde el 2º al 4º cuadrante, o sea cuando los valores de que la función decrecen si crecen los de la variable. Las siguientes gráficas corresponden a las funciones lineales.



- 75 -

y

y



1 x 1 3



5 x2 4

Si se está trabajando con los números Reales, El dominio de esta función son los reales y la imagen también los reales, o sea que la función lineal está definida de los reales a los reales: D(f)=R I(f)=R Esta función es inyectiva, ya que para valores distinto del conjunto de los reales, la función toma valores distintos, y es sobreyectiva ya que todos los números reales tienen preimágen por esta función, lo que significa que esta función es Biyectiva. Ahora, teniendo en cuenta el teorema fundamental de las funciones inversas, la función lineal admite inversa, y se la determina despejando la variable x, o sea: y  b y  m. x  b  y  b  m. x  x  m y cambiando las variables tenemos la forma de la función inversa de la lineal: x  b f 1 ( x )  m LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO Se llama función cuadrática a aquella cuya expresión algebraica en una sola variable es de gado dos. www.algebramoderna.2trweb.com


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La función cuadrática tiene la forma: f : A  B / f ( x )

 y  a. x 2  b. x  c

Con a0 Donde: y es la variable dependiente x la variable independiente a.x2 es el término cuadrático a es el coeficiente cuadrático b.x es el término lineal b es el coeficiente lineal c es el término independiente Dado que el cuadrado de números opuestos es siempre positivo, la gráfica de esta función es una parábola, cuyas ramas estarán para el lado positivo del eje de las ordenadas si a es positivo, caso contrario si a es negativo.O sea: Función positiva  las ramas de la parábola hacia arriba Función negativa  las ramas de la parábola hacia abajo Para pode graficar la función cuadrática, es imprescindible determinar el vértice de la misma, que es el punto donde cambiará de signo la función. Este tema ya fue visto anteriormente.La siguiente gráfica es de la función: Ahora, el: xV



f ( x )  2. x 2

 4.x  1

b

4

2.a

 xV 

2.2

 xV  1

La recta roja es el “eje de simetría” que pasa por el xV, esto significa que los puntos de la parábola que se encuentran a la misma altura y opuestos con respecto a este eje son simétricos axialmente. Ahora, como el xv es punto del eje de simetría, observamos que el corrimiento de la parábola en forma horizontal depende de los signos de loa valores de los coeficientes cuadrático y lineal, sabiendo que si xv>0, la parábola se corre hacia la derecha con respecto a las ordenadas, si xv=0, el eje de simetría son las ordenadas, y si xv<0, la parábola se corre hacia la izquierda respecto al eje de las ordenadas. O sea:

O sea que:

a  0  b  0 a  0  b  0

Hacia la derecha si x v  0 Eje y es el eje de simetría si x=0, solamente se da si b=0

a  0  b  0 a  0  b  0

Hacia la izquierda si x v  0



- 77 -

Además la parábola corta a las ordenada en c, ya que P(0,c) pertenece a la parábola La gráfica de la función dada es la siguiente:

Estudiemos ahora la función: f ( x )  3. x 2

 6.x  2

De antemano podemos asegurar que la parábola está corrida hacia la derecha, corta al eje de las ordenadas en –2 y  b  ( 6) x v   1 2.a 2. 3 y v

 3 . 12  6 . 1  2   5

Esto significa que V(1, -5) La gráfica de esta función es:



- 78 -

Ahora, el dominio de esta función son todos los reales, y la imagen son los reales partiendo del yv inclusive.Ya que esta función no es biyectiva, entonces no admite inversa, solamente en algunos casos y bajo algunas condiciones.LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Se llama función exponencial a la función: f :     / f ( x )  a X Con a>0 a 1

Dada las condiciones anteriormente mencionadas, tenemos dos casos posibles: 1. Que a>1, por ejemplo f(x)=2x, cuya gráfica es la siguiente:

La característica de esta función es que es creciente, corta a las ordenadas en 1 y el eje de las abscisas es asíntota a la curva. El dominio son los reales, y la imagen los reales positivos.-



- 79 -

2. Cuando 0
 1  f ( x )     2 

X

Cuya gráfica es:

La función es decreciente, corta al eje de las ordenadas en 1, el eje de las abscisas es asíntota a la curva, el Dominio son los reales y la Imagen lo reales positivos.Si clasificamos la función exponencial observamos que bajo las condiciones planteadas ésta es biyectiva ya que es inyectiva porque para valores distintos de los reales, la función tiene imágenes distintas; y es sobreyectiva por que todos los elementos del conjunto de llegada, o sea los reales positivos, tienen preimágenes distintas.LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Como la función exponencial es biyectiva, entonces admite inversa.Recordemos primero qué es el logaritmo de un número:

log a b  c  b  a c Lo que significa que calcular el logaritmo en base “a” de un número “b”, es encontrar el exponente “c” a la que hay que elevar la base para obtener el argumento “b”. Así por ejemplo, log 3 81= 4, ya que 3 4=81.Con esta idea, y partiendo de la función exponencial se tiene: f :     / f ( x )

 a x 

f 1

:     / x  log a f ( x )

O sea que la función logarítmica está dada por: f :  

  / f ( x )  log a x



- 80 -

Como esta función es la inversa de la exponencial y la base a es también la base de la exponencial, entonces se dan los siguientes casos: Para a>1, por ejemplo: f(x)=log 2 x tiene la siguiente gráfica:

Observamos que la gráfica es creciente, corta a las abscisas en 1 y el eje de las ordenadas es asíntota de la curva. Por otro lado el dominio son los reales positivos, y la imagen todos los reales y la concavidad es hacia abajo.Probemos para el caso de que 0
La gráfica de esta función es:



- 81 -

La función es decreciente, corta al eje de las abscisas en 1, y el eje de las ordenadas es asíntota de la curva. Por otro lado, el dominio son los reales positivos, y la imagen todos los reales, y la concavidad es hacia arriba.Para el caso de que a=1 (base 1), no queda definida la función logarítmica.COMPARACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA LOGARÍTMICA Construiremos las gráficas de las siguientes funciones: f ( x )

 3 X

f ( x )

 log 3 x

En estos casos, la gráfica azul es para la primera, y la verde para la segunda, lo que a simple vista observamos que son gráficas simétricas respecto a la diagonal que pasa por el origen de coordenadas, lo que nos indica que estas son f unciones inversas.-

Haremos el mismo razonamiento para el caso de:

 1  f ( x )     2 

X

f ( x ) 

log 1 x


2


- 82 -

FUNCIÓN DEFINIDA POR TROZOS En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios). Por ejemplo: x

 x , si x  0  f ( x )    x , si x  0



- 83 -

TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 1. Dada las siguientes funciones, graficarlas con un software: a. f : R  R / f ( x )  4 x 2  5 x  2 b. c. d. e. f. g. h. i. j. k.

f : R  R / f ( x )  3 x 2

 3x  6 f : R    2 , 2   R / f ( x )  f : R  R / f ( x )  3 5 x  3 f : R   R / f ( x )  log 2. x f : Z  Z 0 / f ( x )  x  1 f : N  R / f ( x )  x 2  x  2 f : Z   1,0,1 / f ( x)  sig ( x) f : R  R / f ( x )  sig ( x ) f : R  R / f ( x )  x  ln x x  3 f : R  2  R / f ( x )  3 x  2

x2

2

2.

Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={2,3}, representar f : A  B  Z / f (a , b )  3a  b 3. Dado A={1,2,3} y B={2,3}, definir por tabla y clasificar f:P(A) P (B)/f(X)=B – X. 4. En los siguientes casos, determinar gof : f : R  R  / f ( x )  x 2  3 x  5 a. g : R   R / g ( x )  x  1 b.

f : Z  Z / f ( x ) 

x 2

g : Z  Z / g ( x )  x c.

d.

y

clasificar

2 5

2

f : N  N / f ( x )

 x  6 g : N  R / g ( x )  x  9 8

 R / f ( x )  x  5 g : R  R / g ( x )  sen x

f : R

5.

Las funciones f:A B y g:B C son tales que gof es sobreyectiva. Demostrar que g es sobreyectiva. 6. Clasificar las siguientes funciones: a. b. c. d. e. f. g.

3 2 2 f : R  R / f ( x )  x  3 x  1 1 f : R  R  / f ( x )  x 3  2 x 2  x  1 2  f : R  R / f ( x )  4 2 x f : R   R  / f ( x )  2 x 2 f : Z  Z / f ( x )  2 x  3 f : R  R / f ( x )  x  1 f : R

 R / f ( x )  5 x 



h.

 R / f ( x )  3 x  2 f : R    1,1 / f ( x)  cos x f : R

i. y g:Q  Z, tales que: 7. Sean las funciones f:Z Q x 2 f ( x )  y g ( x )  ent ( x )

2

Encontrar fog y gof y calcular gof(-2) y fog(-0,5) 8.

Graficar las siguientes funciones realizando el estudio correspondiente: a.

f : R  R / f ( x)  log2 x x

b. c.

 3  g : R  R / g ( x )     2  h : R  R / h ( x )  log 1 3. x 3

d. j : R  R / j ( x )  3 Determinar el dominio dentro de los reales de las siguientes funciones: x

9.

a.

f ( x )  3x  2

b.

g ( x )

c.

h( x ) 

d.

j ( x ) 

e.



k ( x ) 

x

1

1 x  2

x 2

2 3

x  5

x 3 x 2

f. g. h.



1 4

 cos x  3 m ( x )  tg x  2 p( x )  sen (2 x  1) l ( x )

10. Dada las gráficas de las siguientes funciones, determinar con que dominio son inyectivas: a.


- 84 -


c.

d.

11. Determinar la función inversa de cada de las siguientes funciones a. f :    / f ( x )  4 x  1 x2 b. g :    / g ( x ) 

4

c. h :    / h( x )  2 x  3 d. F :    / F ( x )  x 2 

3 2


- 85 -


CAPÍTULO V INDUCCIÓN COMPLETA NÚMEROS Y CONGRUENCIAS


- 86 -


- 87 -

LA INDUCCIÓN COMPLETA LOS NÚMEROS NATURALES SEGÚN PEANO Los axiomas de Peano o postulados de Peano fueron ideados por el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX. Estos axiomas sirven para definir el conjunto de los números naturales y permiten entender la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números. Dado estos, tenemos que comprender la idea de siguiente, con lo que se podría entender que el siguiente de un número natural es ese número sumado uno, o sea que el siguiente del natural “n” (n’) es n+1. En símbolos: n  n'  n 1 Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes: 1. El 0 es un número natural: 0   2. Si “n” es un número natural, entonces el sucesor de “ n” también es un número natural: n : n    n '   3. El 0 no es el sucesor de algún número natural: n : n    n '  0 4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural: n  , m   : n '  m '  n  m 5. Principio de inducción completa: Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto:  0  S  S    n  S  n '  S   S   PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA Sea la función proposicional P(n), donde n   . Si ocurre que P(0) o P(1) es verdadera, y además P(h) es verdadera, y de aquí se deduce que P(h+1) es verdadera, entonces P(n) es verdadera Este principio se lo utiliza para realizar distintos tipos de demostraciones donde se utilicen los números naturales. Para ello sólo basta probar que proposición se cumple para el 0 o en otros casos para el 1 y que también se cumple para los “n” primeros elementos, y si se prueba que se cumple para el siguiente de “n” entonces se cumple para todos los números naturales.Por ejemplo: n ( n  1) Demostrar que los “n” primeros números naturales es

2

Para ello hacemos: Para n=0

0 Esto significa que P(1) es verdadero

0.(0  1) 0 0 00 2 2

Planteamos una hipótesis donde n=h (P(h) verdadera), entonces

1  2  3  4  5  ...  h 

h.( h  1)

2

Ahora la tesis para n=h+1

1  2  3  4  ...  h  ( h  1) 

( h  1).( h  1  1) 2



- 88 -

Demostración Por hipótesis, y teniendo en cuenta los h primeros términos tenemos: h.( h  1) ( h  1).( h  2)  (h  1) 

2

2

Y sacando común denominador, tenemos: h.( h  1)  2.( h  1)



2

Y sacando factor común (h+1) queda: (h  1).( h  2)

2



( h  1).( h  2) 2

( h  1).( h  2) 2

Esto indica que P(h+1) es verdadera, lo que significa que esta se cumple para todos los naturales.-

EL SÍMBOLO DE SUMATORIA En más de una oportunidad debemos resumir una suma de términos ya sea infinita o finita, para ello recurrimos a un símbolo llamado de sumatoria ( ). Por ejemplo sea: a1

5

 a 2  a3  a4  a5

la que la escribimos resumida de la siguiente forma:

 a i 1

i

Donde {1,2,3,4,5} I (conjunto de índices), i=1 se denomina extremo inferior, 5 extremo superior.Sea por ejemplo: n

a i 1

i

 a1  a 2  a 3  ...  a n , o sea la suma de los términos desde a 1 hasta an variando de 1 en 1.

Ahora, sea por ejemplo:

12  2 2  32  4 2  5 2 , el problema es encontrar una expresión que nos permita expresar esta fórmula como sumatoria, y aquí observamos que el que aumente de 1 en 1 es la base de la potencia, 5

2

o sea que es i , lo que significa que la sumatoria queda:

 i

2

i 1

Para desarrollar la sumatoria hacemos: 6

 12 .i  12  0  12 1  12 .2  12 .3  12 .4  12 .5  12 .6 i0

y se resolvemos obtenemos el valor de la sumatoria.PROPIEDADES DE LA SUMATORIA 1) La sumatoria de la suma es igual a la suma de las sumatorias n

 i 1

( a i  bi ) 

n

 i 1

n

ai

  bi i 1

Demostración: Desarrollando la sumatoria se tiene:



n

 (a i 1

i

- 89 -

 bi )  (a1  b1 )  (a 2  b2 )  ...  (a n  bn )

Agrupando las “a” y las “b” tenemos n

 (a i 1

i

 bi )  (a1  a 2  ...  a n )  (b1  b2  ...  bn )

Y transformando cada uno de los paréntesis en sumatoria queda: n

 i 1

( a i  bi ) 

n

 i 1

n

ai

  bi i 1

2) La sumatoria de una constante por término genérico, es igual a la constante por la sumatoria n

 k .a i 1

n

i

 k  a i i 1

Demostración: Sea: n

 k .a i 1

i

 k .a1  k .a 2  k .a 3  ...  k .a n

Sacando factor común K , queda: n

 k .a i 1

i

 k .(a1  a 2  a 3  ...  a n )

Y transformando el paréntesis en sumatoria, se tiene: n

 k .a i 1

n

i

 k  a i i 1

MÁXIMO COMÚN DIVISOR DIVISORES Y MÚLTIPLOS Sean los números enteros “a” y “b”, se dice que “a” divide a “b” sí y solo si existe otro entero “c” tal que b=axc. En símbolos:

Sean a  Z  b  Z  a b  c  Z / b  a  c a|b: se lee “a divide a b” 

Ahora, si “a” divide a “b”, entonces se dice “b” es múltiplo de “a”, y se denota b  a PROPIEDADES Propiedad 1 Si un número divide a otro, entonces divide al producto de este por otro número, o sea: a|b  a|b.n Demostración



- 90 -

Si a|b   c/b=a.c Ahora, multiplicamos ambos miembros por el número “n”, entonces se tiene: b.n=a.(c.n) pero c.n es un número entero, lo que significa que b.n=a.c 1  a|b.n Propiedad 2 Si un número divide a otro, entonces divide a su opuesto, o sea: a|b  a|-b Demostración Teniendo en cuenta la propiedad 1 se tiene que si a|b  a|b.(-1)  a|-b Propiedad 3 Si un número divide a otros dos, entonces divide a su suma o a su diferencia, o sea: a|b  a|c  a|(b  c) Demostración Como a|b  a|c   d,e/b=a.d  c=a.e, y sumando y restando miembro a miembro, se tiene: b  c = a.d  a.e = a.(d  e) pero de es un número entero, lo que significa que a|(b  c) ALGORITMO DE EUCLIDES El máximo común divisor de dos números, es el divisor mayor de ambos números. El Algoritmo de Euclides es un procedimiento paso a paso que nos permite determinar el máximo común divisor de los números a y b, denotándose MCD(a,b). Las siguientes propiedades justifican este algoritmo. Propiedad 1 Si a, b y r son números enteros tales que a=c.b+r, entonces MCD(a,b)=MCD(b,r) Demostración: Partimos de la suposición de que el MCD(a,b)=p  p a  p b , y teniendo en cuenta la definición de divisores, se tiene que

t  Z ,  s  Z / a  p.t  b  p.s

Ahora, despejando de la hipótesis el número r, y reemplazando por lo demostrado anteriormente y operando, se tiene:

r  a  b.c

 p.t  p. s.c  p.(t  s.c )

Esto significa que r  (t  s.c ). p  p r , lo que concluimos que p b  p r  MCD(b,r)=p. Luego por propiedad transitiva de la igualdad, tenemos que: MCD(a,b)=MCD(b,r) Propiedad 2 Si a y b son dos números enteros no nulos tales que b|a, entonces MCD(a,b)=b Indudablemente, si b|a  b|b  MCD(a,b)=b



- 91 -

Basándonos en estas dos propiedades desarrollaremos el Algoritmo de Euclides, y para esto recordaremos la definición de cociente: Dividendo = divisor x Cociente + Resto. Ahora, sean a Z  b Z, a 0  b 0, el algoritmo de la división implica la existencia de dos números naturales c0 y r 1, tales que podamos hacer el cociente entre a y b: a



c 0 .b



r 1 ,

0  r 1  b

Si r 1=0, entonces el MCD(a,b)=b, esto justificándolo con la Propiedad 2, caso contrario hacemos nuevamente la división entre b y r 1, obteniendo c 1 y r 2, y teniendo en cuenta que la Propiedad 1 nos dice que MCD(a,b)=MCD(b,r 1 ), entonces: b

 c1 .r 1  r 2 ,

0  r 2  r 1

Si r 2 = 0, entonces el MCD(a,b)=c 1, caso contrario seguimos con el mismo razonamiento y llegamos al paso i , donde: r i  2 r 1



0  r i  r i 1

 ...  0 , es evidente que en un número finito “n” de pasos con n  b , llegaremos a un resto r n=0, es decir que r n  2  c n 1 .r n 1 , esto implica que r n 1 r n  2 , y por la Propiedad 2 MCD ( r n  2 , r n 1 )  r n 1 , y teniendo en cuenta la Propiedad 1, queda:

Ahora, como b



 c i 1 .r i 1  r i ,

r 2

MCD ( a , b )

 MCD (b , r 1 )  MCD ( r 1 , r 2 )  ...  MCD ( r n  2 , r n1 ) 

r n 1

Ahora, para determinar el máximo común divisor por este algoritmo hacemos el siguiente cuadro: c1 c2 c3 …………………. cn-1 cn a b r 1 r 2 …………………. rn-2 r n-1 r 1 r 2 r 3 r 4 …………………. 0 MCD(a,b)=|r n-1| Por ejemplo: Obtener en MCD(441,24) Hacemos el cociente entre 441 y 24

441 24 201 18 009 441  24  18  9,

0  9  18

Hacemos el cociente entre 24 y 9

24 9 06 2 24  9  2  6,

06 9

Hacemos el cociente entre 9 y 6:

9 6 3 1 www.algebramoderna.2trweb.com


9  6  1  3,

- 92 -

03 6

Hacemos el cociente entre 6 y 3

6 3 0 2 6  3  2  0,

00 3

De acuerdo a lo que establece el algoritmo, tenemos:

MCD(441,24)  MCD(24,9)  MCD(9,6)  MCD(6,3)  3 Haciendo el cuadro expuesto anteriormente, se tiene: 18 24 6

441 9

2 9 3

1 6 0

2 3

MCD(441, 24) = 3 PROPIEDAD LINEAL DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Si a y b son dos números enteros no nulos y MCD(a,b)=p, existen dos números enteros u y v , tales que p=a.u+v.b Demostración Supongamos que p=r n-1. Puesto que para todo i , r i-2=ci-1.r i-1+r i, y de acuerdo con las fórmulas obtenidas en la descripción del Algoritmo de Euclides, se tiene que: .......... .......... a  c 0 .b  r 1  r 1  a  c 0 .b

 c1 .r 1  r 2  r 2  b  c1 .r 1 r 1  c 2 .r 2  r 3  r 3  r 1  c 3 .r 2 b

r n 3

 c n2 .r n 2  r n 1  r n1  r n3  c n2 .r n 2

Ahora, haciendo ui-1=1  vi-1= - ci-2 y así sucesivamente, tenemos: r n 1  u n 1 .r n 3  v n 1 .r n  2 r 3  u 3 .r 1

 u n 2 .r n 4  v n 2 .r n3 r n 3  u n 3 .r n 5  v n 3 .r n 4 Pero como p  r n 1  r n  2  r n 3  ...  r 3  r 2  r 1 entonces p  u1 .a  v1 .b r n  2

 v3 .r 2 r 3  u 3 .b  v 2 .r 1 r 1  u1 .a  v1 .b

Ejemplo: En nuestro ejemplo anterior, el MCD(441,24)=3. Para ello se hizo uso de las siguientes igualdades: 441=18.24+9 24=2.9+6 9=1.6+3 Teniendo en cuenta estas igualdades, al 3 se lo puede expresar como: 3=9-6=9-(24 - 2.9)=-24+3.(441-18.24)=3.441-55.24 De esto deducimos que u=3, y que v=-55 NÚMEROS RELATIVAMENTE PRIMOS O PRIMOS ENTRE SÍ Dos números enteros no nulos a y b son relativamente primos, si el MCD(a,b)=1 ECUACIONES DIOFANTICAS LINEALES Se llama ecuación diofántica a aquella de varias variables que tienen soluciones enteras. Una ecuación es lineal diofántica si tiene la forma ax  by  c .Propiedades Propiedad 1 www.algebramoderna.2trweb.com


Sean a, b y c tres números enteros con MCD(a,b)=d , la ecuación ax y sólo si d|c.

 by  c

- 93 -

tiene solución entera sí

Demostración tales que a.u  b.v Si la ecuación ax  by  c tiene soluciones enteras, existen u Z y v Z Como MCD(a,b)=d, entonces a=p.d y b=q.d con p, q números enteros, entonces: c

 c.

 a.u  b.v  p.d .u  q.d .v  d .( p.u  q.v)

Lo que está en el paréntesis es un número entero, entonces c=k.d  d |c Propiedad 2 Sean a, b y c números enteros; si x 0  Z, y 0  Z es una solución particular de la ecuación diofántica . + . = , todas las soluciones enteras de esta ecuación son de la forma: x

b

 x 0  ·n ,

y

d

a

 y 0  ·n , d

con n Z, y donde MCD(a,b)=d

Demostración Como x0 e y0 es una solución de ax

 by  c , entonces

ax 0

 by 0  c .

Ahora hacemos: a. x  b. y

b  a    a.  x 0  ·n   b. y 0  ·n  d   d  

Y aplicando la propiedad distributiva, se tiene: a . x  b. y

 a. x 0 

b.a d

·n  b. y 0 

b.a d

·n

Y cancelando queda: a. x  b. y

Lo que significa que x 0 

b

 a. x 0  b. y 0

a

·n e y 0  ·n es solución de ax  by  c .

d

d

Pero como (x0, y0) es solución de la ecuación, entonces x – x 0 = 0 e y – y0 = 0, por lo tanto: a.( x  x 0 )  b.( y  y 0 )  0

Haciendo un pasaje de términos se tiene: a.( x  x 0 )

 b.( y  y 0 )

Que es lo mismo que: www.algebramoderna.2trweb.com


a.( x  x 0 )  b.( y 0

 y)

(1)

( y 0  y )

(2)

- 94 -

Dividiendo ambos miembros por “d”, queda: a d

( x  x 0 ) 

b d

 a , b   1 ya que   d d 

a

Como el MCD(a, b)=d  MDC 

Por otro lado, y de acuerdo a la igualdad 2,

a d

y

d

b d

son primos entre sí

a

( y 0  y )  n  Z / y 0  y  ·n , lo que significa d

que: y

a

 y 0  ·n d

(I)

Sustituyendo el valor de “y” en la igualdad 1 se tiene:

  y  a ·n   0 d  

a.( x  x 0 )  b. y 0 Cancelando queda:

a.( x  x 0 ) 

b.a d

·n

Despejando, se tiene:

x  x 0

b.a   ·n a .d

Despejando “x” se tiene: x

b

 x 0  ·n d

(II)

De I y II, queda demostrado el teorema.Ejemplo: Determinar las soluciones positivas de la siguiente ecuación diofántica: 20.x + 50.y = 430 Observamos que el MCD(20, 50)=10 y como 10|430, entonces se asegura que la ecuación tiene soluciones enteras. Ahora busquemos una solución particular, y lo haremos teniendo en cuenta el algoritmo de Euclides, donde 50 = 2.20 + 10  10 = 50 – 20.2, por lo tanto: 430 = 43.10 = 43.(50 – 2.20) = 43.50 – 86.20 Lo que significa que x 0 = -86 y que y0 = 43.



- 95 -

Ahora, aplicando el teorema anterior, se tiene: b

x

 x 0  ·n con n  Z

y

 y 0  ·n con n  Z

d a

d

Reemplazando queda:

50 ·n 10 20 y  43  ·n 10

x

 86 

Pero las soluciones deben ser positivas, entonces “n” puede tomar los valores 18, 19, 20 y 21 solamente, lo que significa que las soluciones son:

  86  50·18,43  20·18    4,7   10 10     86  50 ·19,43  20·19   9,5   10 10     86  50·20,43  20·20   14,3   10 10     86  50·21,43  20 ·21   19,1   10 10   CONGRUENCIA EN MÓDULO “n” Los números “a” y “b” son congruentes en módulo “n” si “n” divide a su diferencia, o sea: a  Z  b  Z son

congruente s en módulo n  n a  b

Para denotar que los números “a” y “b” son congruentes en módulo “n”, usamos a  b(n) Propiedad La congruencia en módulo “n” es una relación de equivalencia Demostración Antes de todo, definimos la relación:

( a , b )  R  Z 2  n a  b Para demostrar que la congruencia en módulo “n” es una relación de equivalencia, se debe demostrar que es reflexiva, simétrica y transitiva: Reflexiva Todo número divide al cero, por lo tanto: n0  na a

 ( a , a )  R

Simétrica www.algebramoderna.2trweb.com


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De acuerdo a lo definido se tiene:

(a, b)  R  n | a  b  n | (a  b).(1)  n | b  a  (b, a )  R Esto es teniendo en cuenta las propiedades 1, 2 y 3 de divisores y múltiplos Transitiva Supongamos que:

(a, b)  R  (b, c )  R  n | a  b  n | b  c  n | a  b  b  a  n | a  c  (a, c )  R Lo que queda demostrada que la congruencia en módulo “n” es una relación de equivalencia.

TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 Escribir como sumatoria: 1) 1  3  5  7  9  11  13  15  x1  x 2  x 3  ...  x n  2) n 3) 4) 5) 6) 7)

1 1 1 1 1 1 1 1         4 9 16 25 36 49 64 81 0  2  8  26  ...  2186  2  5  8  11  14  ...  29  1  7  26  79  241  727  1 1 1 1 1      4 16 36 64 100

8) Demostrar por el método de inducción completa

 2   2  2 n 1    3n i 1  3  i

n

a)

n

b)

i

2



n( n  1)(2n  1)

6

i 1 n

c)

 i(n  i)  n6 (n

2

 1)

i 1

1 1 1 1 1    ...  n  1  n 2 4 8 2 2 n 1 n e) 3 10  10  1 f) 2 n 2  n d)

n

g)

 i.i! (n  1)!1 i 1

 n  i  i  i 1  i 1  n 38  5n n 1 1  x n i i1 x  1  x n

h) i) j)

n

k)

 2i i 1

2

3

i

 2

si x  1

n2

2n www.algebramoderna.2trweb.com


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9) Determinar el MCD usando el algoritmo de Euclides de a) 63 y 49 b) 619 y 93 c) 521 y 2187 d) 1253 y 436 e) 472 y 34 10) Probar que si a, b y m son números enteros positivos, MCD(m.a, m.b)=m.MCD(a, b)  a b  11) Probar que si c=MCD(a, b) entonces MDC  ,   1  c c  12) Si p y q son dos números primos entre sí, demostrar que si p|q.m  p|m 13) Si MCD(a,b,c), probar que MCD(MCD(a,b),c)=MCD(a,MCD(b,c)) 14) Si MCD(a, b)=1, probar que MCD(a+b, a – b)=1 ó MCD(a+b, a – b)=2 15) Hallar todas las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas: a) 2.x + 3.y = 7 b) 21.x – 35.y =-14 c) 6.x + 9.y = 36 d) 20.x + 30.y = 500 16) ¿De cuantas formas posibles se pueden tener $330 repartidas en billetes de $10 y $20? 17) Si a>0, b>0 y MCD(a, b)=1, probar que todo x>a.b puede escribirse como a.u + b.v = x, con u y v positivos.



CAPÍTULO VI ANÁLISIS COMBINATORIO


- 98 -


- 99 -

INTRODUCCIÓN El Análisis Combinatorio es una parte de la matemática que se ocupa de resolver los problemas de ordenación de conjuntos y sus elementos. Para resolver se deben definir principalmente factorial, Arreglos o Variaciones, Permutaciones y Combinaciones.FACTORIAL Se llama factorial a la función f :    tal que:

 f (0)  1  f (1)  1   f ( n)  n. f ( n  1)  El factorial de un número cualquiera n, se lo simboliza n! ., o sea que la definición de factorial queda:

0! 1 1! 1  n! n.( n  1)!  Aplicando la definición en forma sucesiva, se tiene: n! = n.(n-1)! =n.(n-1).(n-2)! =n.(n-1).(n-2).(n-3)! =n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1! Así por ejemplo: 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

SIMPLIFICACIÓN DE FACTORIALES Para simplificar un factorial con otro factorial, se deben descomponer según su desarrollo, o sea por ejemplo:

8! 8.7.6.5.4.3.2.1   8.7.6.5.4 3! 3.2.1 Pero 3.2.1 = 3!, entonces:

8! 8.7.6.5.4.3!   8.7.6.5.4 3! 3! VARIACIONES O ARREGLOS SIN REPETICIÓN Se denomina arreglo o variación sin repetición de un conjunto de m elementos tomados de n en n, al número de conjuntos distintos formado por n elementos de los m dados, teniendo en cuenta que dos conjuntos son distintos si difieren en sus elementos o en el orden en que fueron colocados.Por ejemplo el conjunto formado por las siguientes letras, queriendo formar conjuntos de a dos letras, o sea un arreglo de 4 elementos tomados de 2 en 2: A, B, C, D



- 100 -

AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC O sea que el arreglo de 4 elementos tomados de 2 en 2, es 12 Todo arreglo se lo denota como A nm y se lee “arreglo sin repetición o simple de m elementos tomados de n en n”, o bien V nm y se lee “variación sin repetición o simple de m elementos tomados de n en n” Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, podemos hacer:

24 4! 4!   que generalizando queda: 2 2! ( 4  2)! m! Anm  ( m  n)! A24

 12 

VARIACIONES O ARREGLOS CON REPETICIÓN En el caso de que de un conjunto se pueda escoger más de un elemento por vez para formar una variación o un arreglo, estamos en presencia de un “arreglo con repetición”. Por ejemplo: Sea el conjunto formado por A, B, C, D y se quieren formar conjuntos de dos letras, pudiendo ser ellos formados por iguales elementos, y dos conjuntos son distintos si difieren en su orden o en sus elementos. Esto será: AA BA CA DA

AB BB CB DB

AC BC CC DC

AD BD CD DD

Esto es un arreglo con repetición (se pueden repetir los elementos en un mismo conjunto) de 4 elementos tomados de 2 en 2, y su resultado es 16. Ahora realicemos en mismo trabajo, pero aumentando al conjunto un elementos más y tomemos de a tres elementos. O sea AAA ABA ACA ADA AEA BAA BBA BCA BDA

AAB ABB ACB ADB AEB BAB BBB BCB BDB

AAC ABC ACC ADC AEC BAC BBC BCC BDC

AAD ABD ACD ADD AED BAD BBD BCD BDD

AAE ABE ACE ADE AEE BAE BBE BCE BDE

BEA CAA CBA CCA CDA CEA DAA DBA DCA

A, B, C, D, E BEB BEC CAB CAC CBB CBC CCB CCC CDB CDC CEB CEC DAB DAC DBB DBC DCB DCC

BED CAD CBD CCD CDD CED DAD DBD DCD

BEE DDA DDC CAE DEA DEC CBE EAA EAC CCE EBA EBC CDE ECA ECC CEE EDA EDC DAE EEA EEC DBE DDB DDD DCE DEB DED

DDE DEE EAE EBE ECE EDE EEE EAB EBB

EAD EBD ECD EDD EED ECB EDB EEB

O sea que el total de conjuntos posibles de formar con los 5 elementos tomados de 3 en 3 y que se pueden repetir sus elementos, es 125 El arreglo con repetición de m elementos tomados de n en n se denota como A ' nm . Ahora: A' 42  16  4 2

y

A ' 53

 125  5 3



- 101 -

O sea que en definitiva: A ' mn

 mn

PERMUTACIONES SIMPLES O SIN REPETICIÓN Las permutaciones simples o sin repetición de m elementos se define como la cantidad de conjuntos que se pueden formar con los m elementos tomados de m en m, siendo distintos dos de ellos si su orden es distinto. La denotación de permutación de m elementos es P m. Atendiendo la definición, la permutación de m elementos es un arreglo de m elementos tomados de m en m. O sea: P m

 Amm 

m!

( m  m)!



m!

0!



m!

1

 m!

Por ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 libros distintos en un estante? P 5 = 5! = 120 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN Supongamos que se tienen 10 bolas de las cuales 3 son blancas, 2 son azueles y 5 rojas con las cuales se las quiere determinar la cantidad de formas que se las puede ordenar. No se podría aplicar la P 10 ya que se repiten las blancas (3), las azueles (2) y las rojas (5). O sea que por estos casos se tendría: P 3 =3! = 6 (para las blancas), P 2= 2 (para las azules) y P 5 = 5! = 120 (para las rojas), y estos conjuntos son iguales ya que no se diferencian por el color. Estamos en presencia de una permutación con repetición de 10 elementos en grupos de 3, 2 y 5, y esto será: P 10! 3628800 3, 2, 5  10    2520 P '10 P 3 . P 2 . P 5 3!.2!.5! 6.2.120 La fórmula general será: P m m!  P ' m,  , ,...,  P  . P  . P  ... P   !.  !. !... ! Donde m es el total de elementos,  es el número del primer grupo de elementos iguales,  el segundo,  el tercero, etc. COMBINACIONES SIMPLES O SIN REPETICIÓN Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n es la cantidad de conjuntos de n elementos que se pueden formar con los m elementos, teniendo en cuenta que dos conjuntos son diferentes si difieren únicamente en sus elementos.Por ejemplo: Sea el conjunto formado por A, B, C, D, ¿Cuántos conjuntos de tres elementos distintos se pueden formar con ellos? ABC ABD ACD BCD Observamos que la respuesta es 4. Ahora la combinación de m elementos tomados de n en n se denota con C nm , y en nuestro caso particular, será: C 34

4

24 4!  6 3!.(4  3)!



- 102 -

Para el caso de m y n, se tiene: C nm



m! n!.(m  n)!

PROPIEDADES 1º) C 0m

1 Demostración: m! m!  1 C 0m  0!.(m  0)! 1.m! Esto es teniendo en cuenta que 0! = 1 y simplificando.-

2º) C mm

1 Demostración: m! m!  1 C mm  m!.(m  m)! m!.0! Esto es teniendo en cuenta que 0! = 1 y simplificando.-

3º) C nm

 C mm n Demostración: C mmn



m!

( m  n)!.(m  m  n)!



m!

( m  n)!.n!

 C nm

Esto es aplicando la definición y cancelando m.4º) C nm

 C nm11  C nm 1

Demostración: Partiendo del segundo miembro, y aplicando la definición, sacando común denominador y sacando factor común, se tiene: ( m  1)! ( m  1)! C nm11  C nm1   ( n  1)!.(m  1  n  1)! n!.(m  1  n)! ( m  1)! ( m  1)!  C nm11  C nm 1  ( n  1)!.(m  n).( m  n  1)! n.( n  1)!.(m  n  1)! n.( m  1)! ( m  n).( m  1)! C nm11  C nm1  n.( m  n).( n  1)!.(m  n  1)! ( m  1)!.(n  m  n) C nm11  C nm1  n.( m  n).( n  1)!.(m  n  1)! ( m  1)!.m C nm11  C nm1  n.( m  n).( n  1)!.(m  n  1)! ( m  1)!.m C nm11  C nm1  n.( n  1)!.(m  n)( m  n  1)! .m! C nm11  C nm1  n!.(m  n)!

C nm11  C nm1  C nm



- 103 -

 C nm1  C nm11

5º) C nm

Demostración: Partiendo de la demostración anterior, y haciendo k=m+1  m=k-1 y s=n+1  n=s-1, se tiene: m

C n

 C nm1  C sk 11  C sk 1  C sk  C nm11

COMBINACIONES CON REPETICIÓN Para el caso de las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, simplemente diremos que es igual a la combinación simple de m+n-1, tomados de n en n, y siendo su denotación C ' nm . En fórmulas será: C ' n

m

 C nm  n 1

BINOMIO DE NEWTON Desde nuestros estudios en la escuela media o EGB o Polimodal es que conocemos que: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b 2 y que (a + b)3 = a3 + 3.a2 .b + 3.a.b2 + b3 Esto es lo que se denomina el cuadrado y el cubo de un binomio. Estos son casos particulares de lo que conoce con el nombre de binomio de Newton, y que se generaliza en lo siguiente: n

 a  b    C in .a n i .b i n

i0

Esta igualdad se demuestra con el método de inducción completa. O sea que: Para n = 0 ( a  b ) 0  C 00 .a 00 .b 0

11 Hipótesis Para n=k k

 a  b  k   C ik .a k i .b i i0

Tesis Para n=k+1

a  b 

k 1

k 1

  C ik 1 .a k 1i .b i i 0

Demostración Partiendo del primer miembro, aplicando producto de potencias de igual base, y lo estipulado por la hipótesis y luego distribuyendo, se tiene:

 a  b  k 1   a  b  k . a  b  k

 a  b  k 1  (a  b ). C ik .a k i .b i i0



k

k

i0

i0

- 104 -

 a  b  k 1  a. C ik .a k i .b i  b. C ik .a k i .b i Ahora, introduciendo a en la primera sumatoria, y b en la segunda, queda:

a  b

k 1

k

k

  C .a.a .b   C ik .a k i .b.b i k i

k i

i 0

i

i0

Aplicando producto de potencia de igual base, se tiene:

a  b

k 1

k

  C .a k i

i 0

k i 1

.b  i

k

 C .a i0

k i

k i

.b i1

Ahora extraemos el primer término de la primera sumatoria, y el último de la segunda sumatoria. O sea: k

k 1

i 1

i0

 a  b  k 1  C 0k .a k i1 .b 0   C ik .a k i1 .b i   C ik .a k i .b i 1  C k k .a k k .b k 1 Pero, haciendo j=i+1, entonces i=j-1, y si i=0  j-1=0  j=1, llegando hasta k y reemplazando en la segunda sumatoria, queda: k

k

i 1

j 1

 a  b  k 1  C 0k .a k 1.b 0   C ik .a k i1.b i   C jk 1.a k  j 1 .b j  C k k .a 0 .b k 1 Pero cambiando j por i , se tiene:

a  b 

k 1

k

 C 0 .a .b   C .a k 1

k

0

k i

i 1

k i 1

.b  i

k

 C i 1

k i 1

.a k i1 .b i  C k k .a 0 .b k 1

Tomamos una sola sumatoria hasta k , y se tiene: k

 a  b  k 1  C 0k .a k 1 .b 0   (C ik  C ik 1 ).a k i1 .b i  C k k .a 0 .b k 1 i 1

Y por la propiedad 4º aplicada a las suma de las combinatorias, que: k

 a  b  k 1  C 0k .a k 1 .b 0   C ik 1 .a k i1 .b i  C k k .a 0 .b k 1 i 1

k 1 k 1

Y haciendo C  C combinaciones, queda: k k

a  b 

k 1

1

y

C 0k

 C 0k 1  1 ,

teniendo en cuenta una propiedad de las

k

 C 0 .a .b   C ik 1 .a k i1 .b i  C k k 11 .a 0 .b k 1 k 1

k 1

0

i 1

Introduciendo el primer término y el último término en la sumatoria, queda:

a  b 

k 1

k 1

  C ik 1 .a k i1 .b i i 0

Por ejemplo: Desarrollar el siguiente binomio: 5

 a  b    C i5 .a 5i .b i 5

i0

 a  b   C 05 .a 5 0 .b 0  C 15 .a 51 .b 1  C 25 .a 5 2 .b 2  C 35 .a 53 .b 3  C 45 .a 5 4 .b 4  C 55 .a 55 .b 5 5

 a  b  5  a 5  5.a 4 .b  10 .a 3 .b 2  10 .a 2 .b 3  5.a .b 4  b 5



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TRIÁNGULO DE TARTAGLIA – PASCAL Utilizando la propiedad 4º) de combinaciones, se puede construir un triángulo con los valores que serán los coeficientes de un binomio de Newton. Este es: C 00 C 01 C 02

C 12

C 03 C 04 C 05 C 06

C 13

C 14 C 15

C 16

C 11 C 22

C 23

C 33

C 24 C 25

C 26

C 34

C 35

C 36

O sea que:

C 44

C 45

C 46

C 55

C 56

C 66

1 1 1 1 1 1 1 1 1

5

7 8

2 3

4

10

21

1

6

15

28

1

3 4

6

1

10 20

35 56

1 5

15 35

70

1 6

21 56

1 7

28

1 8

1

¿Cómo se arma el triángulo de Pascal? 1) Se comienza con el 1 en el medio. 2) En todos los casos, los extremos son 1 3) Los otros se forman sumando los elementos de a la par de la línea anterior.

TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 1) ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante? 2) ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y en los cuales no se repita ningún número? 3) ¿De cuantas formas diferentes pueden acomodarse 7 personas en un banco? 4) Si una cuadrilla tiene 14 hombres ¿de cuantas maneras pueden seleccionarse 11 de ellos? 5) Hallar el número de personas que asistieron a una reunión, si al despedirse se contaron 78 apretones de mano? 6) Hallar el valor de x que satisfaga la igualdad V 2 x  C 2x  450 2n 7) Calcular “n” y “p” en la siguiente igualdad C p 2

8) Calcular “n” en la siguiente igualdad:

C 2n

 C 102 n p

 C 3n1 n 2



7 5

C 4 9) ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante si tres de ellos deben estar juntos? 10) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con 0, 1, 2, 3, 4 y 5 pudiéndose repetir los números? 11) ¿Cuántos polígonos determinan 10 puntos del plano, sabiendo que 3 cualesquiera no están alineados?.12) ¿Cuántos códigos simbólicos de cuatro letras se pueden formar con las letras PDQX sin repeticiones? 13) ¿Cuántos números de 5 dígitos se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4? 14) ¿De cuántas maneras pueden estacionarse 6 bicicletas en una hilera? 15) Una mujer se prepara para salir de paseo. Se vestirá con 1 de 6 vestidos, con un par de zapatos de 8 que tiene y podrá ir a 1 de 7 restaurantes que hay en la ciudad. ¿De cuántas maneras puede realizar las actividades? www.algebramoderna.2trweb.com


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16) ¿De cuántas maneras pueden arreglar la letras del conjunto {P, D, Q, W, T, Z} para formar códigos ordenados de 3 letras sin repetición? 17) ¿De cuántas maneras pueden arreglar la letras del conjunto {P, D, Q, W, T, Z} para formar códigos ordenados de 3 letras pudiéndose repetir las letras? 18) ¿De cuántas maneras pueden asignarse 3 personas a 5 oficinas individuales? 19) Un aula especial tiene 10 pares de audífonos para estudiantes con dificultades auditivas ¿Cuántas combinaciones posibles de estudiantes y audífonos se pueden dar si 7 estudiantes de la clase necesitan utilizar los audífonos? 20) ¿Cuántas patentes de vehículos se pueden formar utilizando los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 si se permiten repeticiones? 21) ¿Cuántos códigos ordenados se pueden formar utilizando 4 letras del conjunto {A, B, C, D, E} si las letras: a) no se pueden repetir? b) Sí se pueden repetir? c) No se pueden repetir y el código debe empezar con la letra D? d) No se pueden repetir y los códigos deben terminar con la combinación DE? 22) En un examen un estudiante debe seleccionar 6 preguntas de 10 sin importar el orden ¿De cuántas maneras puede realizarse la selección? 23) ¿Cuántas líneas rectas están determinados por 8 puntos si no hay tres de ellos alineados? 24) En un Senado existen 58 miembros del partido político A y 42 del partido B, se deben armar las Comisiones de trabajo donde habrá 6 miembros del partido A y 4 del partido B. ¿Cuántas Comisiones se pueden formar? 25) Hay 8 puntos en un círculo ¿Cuántos triángulos se pueden inscribir con estos puntos como vértices? 26) Desarrollar los siguientes binomios: 5

a) b) c) d) e)

 1 a  1 b.c      3 5  9  4 x. y 2  z 3      3  10  5 x 2 y 3 z  0,5.a 2 b 3      4  1,2.ab 2  8,1.c.d 3  5  7   9 .a 2  2 b     3   8



CAPÍTULO VII ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS


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LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA Sea el conjunto G   , se llama Ley de Composición Interna a la función:

* : G 2  G /* ( a , b )  a * b Esto significa que si operamos mediante * entre dos elementos de G, se obtiene otro elemento de G

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ESTRUCTURA DE GRUPO El par (G,*) es una estructura de grupo si y sólo si cumple con los siguientes axiomas: A1) * es una ley de composición interna, o sea: * : G 2  G /* ( a , b )  a * b A2) * es asociativa, o sea:

a  G, b  G, c  G : (a * b) * c  a * (b * c ) A3) Existe un elemento “e” neutro, o sea:

e  G / a  G : e * a  a * e 

a

A4) Existencia del electo inverso para todo elemento de G, o sea:

a  G, a ' G / a * a '  a '*a  e Ahora, si además de estas propiedades cumple con la propiedad conmutativa el grupo se denomina conmutativo o abeliano, o sea: A5) * es conmutativa, o sea:

a  G, b  G : a * b  b * a Por ejemplo: (Z,+) con Z es el conjunto de números enteros y + la operación adición ordinaria, y es un grupo abeliano. (Q, ·) siendo Q el conjunto de números racionales y · el producto ordinario, no es un grupo, ya que el 0 no posee inverso. (Q-{0}, ·) es un grupo abeliano. Ejemplo: Sea (Q, *) donde a*b =a+b+a.b, probar que es un grupo abeliano: A1) * es una ley de composición interna en Q

* : Q 2  Q /* ( a , b )  a * b  a  b  a.b  Z Esto lo justifica que la adición y la multiplicación de números racionales es otro racional.



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A2) * es asociativo en Q

(a * b ) * c  (a * b )  c  (a * b ).c  a  b  a.b  c  (a  b  a.b ).c  a  b  c  a.b  a.c  b.c  a.b.c a * (b * c )  a  (b * c )  a.(b * c )  a  b  c  b.c  a.(b  c  b.c )  a  b  c  b.c  a.b  a.c  a.b.c Como los segundos miembros son iguales, entonces los primeros también lo son, luego:

(a * b) * c  a * (b * c ) A3) Existencia del elemento neutro (e):

e  Q / a  Q : a * e  a  e  a.e  a  e  a.e  0  e.(1  a )  0  e  0 Ahora, hacemos:

e*a

 0  a  0 .a 

a

Por lo tanto el elemento neutro es e=0 A4) Existencia del elemento inverso para cualquier elemento de Q, o sea:

a  Q, a ' Q / a * a '  e  a  a ' a.a '  0  a ' a.a '  a  a ' (1  a )  a  a ' 

a 1 a

Ahora probamos con: a '*a 

a  a  a  a.(1  a )  a 2  a  a  a 2  a 2 '· aa   0e 1 a 1 a 1 a 1 a

Por lo tanto el elemento inverso es a ' 

a 1 a

Con estas cuatro demostraciones aseguramos que ( Q,*) es un grupo Ahora hacemos: A5) Probamos la conmutatividad

a  Q, b  Q : a * b  a  b  a.b  b  a  b.a  b * a Esto es aplicando la propiedad conmutativa de la adición y del producto. PROPIEDADES DE LOS GRUPOS Propiedad 1: Propiedad cancelativa de los grupos Sea (G,*) un grupo, entonces se verifica a) a * c = b * c  a = b b) c * a = c * b  a = b Demostración Teniendo en cuenta la existencia del inverso en el grupo, aplicamos la composición al inverso de “c”, o sea c’ y además la propiedad asociativa, y se tiene: a) (a * c ) * c '  (b * c ) * c '  a * (c * c ' )  b * (c * c ' )  a * e  b * e  a  b www.algebramoderna.2trweb.com


b) c '*(c * a )  c '*(c * b )  (c '*c ) * a

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 (c '*c) * b  e * a  e * b  a  b

Propiedad 2 El elemento neutro en una estructura de grupo es único, o sea: Sean e y e’ neutros en (G,*)  e = e’ Demostración Como e’ es neutro  e * e’ = e’ Como e es neutro  e * e’ = e Y por transitividad, se tiene que e = e’ Propiedad 3 El elemento inverso de un elemento de (G, *) es único Sean a’ y a” inversos de a  a’ = a” Demostración: Como a’ es inverso de a  a * a’ = e Como a” es inverso de a  a * a”= e Luego a * a’ = a * a” y aplicando la propiedad cancelativa queda a’ = a” Propiedad 4 El inverso del inverso de un elemento de (G, *) es el mismo elemento (a’)’=a Demostración: Sea aG  a * a’ = e Por otro lado (a’)’ * a’=e O sea que a * a’ = (a’)’ * a’ y aplicando la propiedad cancelativa, queda a = (a’)’ Propiedad 5 El inverso de una composición es igual a la composición de los inversos. (a * b)’ =a’ * b’ Demostración: Se sabe que a’ * b’ * a * b =e Y por otro lado que (a * b)’ * (a * b) = e Luego se tiene: a’ * b’ * (a * b) = (a * b)’ * (a * b) y cancelado se llega a: a’ * b’ = (a * b)’ Propiedad 6 Sea (G, *) un grupo. Las siguientes propiedades son equivalentes: a) (G, *) es un grupo abeliano b) (a * b)’ = a’ * b’ a, b  G O sea que: (G, *) es grupo abeliano  (a * b)’ = a’ * b’ Demostración: Si se cumple la primera, o sea que si (G, *) es un grupo abeliano, por la propiedad anterior se cumple que (a * b)’ = a’ * b’ = b’ * a’ Ahora si: a * b  (a ' )'*(b ' )'  (b ' )'*(a ' )'  b * a Con lo que se demuestra que (G, *) es un grupo abeliano. SUBGRUPOS Sea el grupo (G, *) y sea un subconjunto H de G, se dice que H es un subgrupo de (G, *) si y sólo si (H, *) es grupo.



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Por ejemplo: Sea (Z, +) es un subgrupo de (Q, +) siendo + la adición ordinaria. CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE UN SUBGRUPO Hipótesis Sea (G, *) un grupo Sea HG Sea xH  yH  x * y’ H Tesis (H, *) es subgrupo de (G, *) Demostración: Para demostrar que (H, *) es subgrupo, debemos demostrar que es grupo, entonces: A3) Existencia del elemento neutro x  H

 x  H  x * x ' H  e  H

Esto es teniendo en cuenta la hipótesis y que x * x’ =e A4) Existencia del elemento inverso e  H

 x  H  e * x ' H  x ' H

Esto es teniendo en cuenta la hipótesis y la demostración anterior A1) La ley es cerrada para H

x  H  y  H  x  H  y ' H  x * ( y ' )' H  x * y  H Esto es teniendo en cuenta lo que expresa la hipótesis, una de las propiedades de los grupos y las demostraciones anteriores A2) La asociatividad Este axioma se demuestra teniendo en cuenta todas las demostraciones anteriores. Esto significa que si se tiene un grupo (G, *) y H G, basta demostrar que xH  yH  x * y’  H para que (H, *) sea subgrupo de (G, *) HOMOMORFISMO DE GRUPOS Definición Sean (G1, *) y (G2, º) dos grupos, y f:G 1G2, la función f se llama homomorfismo de grupos, si para todo x, y  G1, se verifica que: f ( x * y )  f ( x )º f ( y )



En diagrama de Venn se observa: G1

f

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G2

x

f(x)

y

f(y)

x*y

f(x)°f(y)

HOMOMORFISMOS ESPECIALES Sea f:G1  G2 un homomorfismo, se dice que: 1. 2. 3. 4.

f es un monomorfismo si f es inyectiva f es un epimorfismo si f es sobreyectiva f es un isomorfismo si f es biyectiva f es un automorfismo si f es un isomorfismo entre un mismo grupo

Ejemplos 1. f(x)=ex es un monomorfismo de (R, +) en (R, ·) donde f(x + y) =e x+y =ex.ey=f(x).f(y) 2. La función f:(Z, +) ({-1, 1}, ·) dada por f(n)=(-1) n es un epimorfismo ya que f ( n  m)  ( 1) n  m  f ( n). f ( m) ESTRUCTURA DE ANILLO Definición Un conjunto A con dos operaciones binarias cerradas que denotaremos con + (suma) y · (producto), se llama anillo si se cumplen las siguientes propiedades: P1) (A, +) es un Grupo abeliano P2) el producto es asociativo, o sea (a.b ).c  a.(b.c ) para todo a, b y c de A. P3) El producto es doblemente distributivo con respecto a la suma: a.(b  c )  a.b  a.c y (b  c ).a  b.a  c.a para todo a, b y c de A Si el producto es conmutativo, entonces el anillo se llama conmutativo Ahora, si existe un elemento que lo simbolizaremos con 1, tal que para todo a  A: a.1=1.a=a, se dice que el anillo es con unidad y el elemento 1 recibe el nombre de unidad.Ejemplos: (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad ESTRUCTURA DE CUERPO Definición Un anillo conmutativo con unidad (A, +, ·) es un cuerpo si (A – {0}, ·) es un grupo. Por ejemplo: (Q,+,·) es un cuerpo www.algebramoderna.2trweb.com

Apunte

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