Apunte I

APUNTES MATEMÁTICA I MTAN02

INACAP Ciencias Básicas Vicerrectoría de Académica de Pregrado 2014

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 ÍNDICE  UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ………………………………………….….. 4 UNIDAD 2:ÁLGEBRA……………………………………...………………………………...76 UNIDAD 3: PROGRESIONES………………………………………………………………186

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  PRESENTACIÓN 

Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Matemática, asignatura lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento de Ciencias Básicas. Matemática tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño profesional. Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. Competencia que será desarrollada desde un punto de vista de la Didáctica de la Matemática. La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizajes que involucren metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del docente un mediador. El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente. Confía en tus capacidades, te deseamos mucho éxito.

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

L

a necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos , artísticos o matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar la matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al conocimiento matemático, el hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos en la exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros. Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir relaciones, plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir más allá de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, implica involucrase en situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución. La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras, aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la matemática que se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo de competencias, como la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las estrategias matemáticas para su solución.

Epitafio en la tumba de Diofanto

UNIDAD 1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años más. De todo esto se deduce su edad.

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APRENDIZAJE ESPERADO CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante 1.1.1 Identifica los datos de un problema, verificando estrategias aritmético-algebraica, comunicando sus coherencia y falta de información. resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. 1.1.2 Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez.

1.1.3

Aplica procedimientos matemáticos para la resolución del problema.

1.1.4 Comunica los resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

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Introducción

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¿Qué significa aprender matemática?

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Habitualmente el aprendizaje de las matemáticas se visualiza como una acumulación de pedazos de información (definiciones, propiedades y procedimientos) que se deben dominar a través de la memorización y la mecanización, una colección de conocimientos que esperan ser aplicados en algún contexto.

 ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN  La conjetura de Fermat El teorema de Pitágoras permite asegurar que existen enteros x, y, z, lados de un triángulo rectángulo, que cumplen

x2  y 2  z 2 En 1640 Pierre Fermat, generalizó la pregunta y la respondió: Para todos los enteros n  2 no es posible encontrar enteros x, y, z, distintos de cero, tal que

xn  y n  z n Fermat dijo haber encontrado una demostración, que no pudo mostrar por el pequeño espacio del margen del libro donde escribía. El denominado último teorema de Fermat permaneció sin demostración durante más de 350 años, hasta que en 1995, Andrew Wiles, quien dedicó gran parte de su vida a este tema, logró completar una demostración. Lo realmente importante del “último teorema” no es su demostración, sino que en su búsqueda, se aportó de manera significativa al desarrollo de la aritmética y álgebra moderna.

Esta es la concepción predominante, que sin embargo recibe serios cuestionamientos, ¿cuál es el sentido de aprender matemática por la matemática, sin justificación ni contexto?, ¿es posible acumular conocimientos matemáticos, con la vaga promesa de su utilidad futura? Esta idea de las matemáticas se aleja de la esencia de la disciplina, la creación del conocimiento, que se origina a partir de la necesidad de resolver determinados problemas. La matemática es una ciencia formal, dotada de estructura y razonamiento deductivo, un lenguaje formal y criterios de rigurosidad. Sin embargo, este es solo un aspecto de la matemática a desarrollar, el formalismo en realidad debe ser considerado una meta del trabajo matemático, que tiene su punto de partida en la intuición y la creación. Desde esta perspectiva, aprender matemática se relacionaría con construir y desarrollar las ideas de esta disciplina, vinculándose con los procesos, tanto de creación, como de formalización del conocimiento matemático. Este enfoque implica que el estudiante debe actuar como un matemático en ciernes, que conjetura, experimenta, descubre, formula, prueba, generaliza, etc. Una actividad con sentido que le permita apropiarse del conocimiento matemático. Desde esta visión, la resolución de problemas es fundamental en el estudio de la matemática, sin embargo, antes de adentrase en la tarea de resolver problemas es necesario plantear algunos aspectos que ameritan una reflexión.

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Problema o ejercicio Ejercicio

Problema

 ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN  Situaciones rutinarias, idénticas o muy similares a otras que ya fueron resueltas.

Situaciones no rutinarias. No existe un camino inmediato o evidente para su solución.

Los métodos para resolverlos son conocidos.

Es necesario explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución. Admiten más de una estrategia de solución.

La distinción entre ejercicio y problema depende de si se dispone de los medios para resolverlo de forma inmediata o no. Muchos de los “problemas de aplicación” que aparecen en los libros son en realidad ejercicios, si después de comprender el enunciado del problema y reconocer los datos y la incógnita, el método para resolverlo es alguna de las técnicas o procedimientos vistos con anterioridad, se trataría solo de un ejercicio. Problema 1: Supongamos que se construyen escaleras usando adoquines, tal como se muestra en la siguiente figura:

a) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 10 peldaños? b) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 100 peldaños? ¿Problema o ejercicio?

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   ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN 

Evidentemente, todos los problemas propuestos en este libro son presentados para que intentes resolverlos por tu cuenta. Las soluciones y estrategias que se muestran son necesarias para el tratamiento didáctico del texto, sin embargo, se invita siempre a buscar otras formas de resolverlos. Solución: a) Podemos dibujar la escalera con los diez peldaños y contar los adoquines. También es posible reconocer que cada peldaño es una más que el anterior, por tanto la cantidad de adoquines en 10 peldaños es

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  55 Esta parte resulta algo evidente y la estrategia es conocida, la suma término a término del 1 al 10. Se trataría de un ejercicio. b) El número de adoquines en 100 peldaños es igual a la suma

1 2  3 

 100

No tiene sentido práctico tratar de dibujar la escalera o intentar hacer la suma término a término. Es mejor buscar otra estrategia. En tal caso nos enfrentamos a un problema. Mostraremos luego algunas de las estrategias que se pueden usar para resolver este problema.

Métodos generales y particulares ¿Cómo resolver problemas? Algunos dicen que la única manera de aprender a resolver problemas es…resolviendo problemas. Parece evidente, pero lo cierto es que es mucho más complejo que eso. Existe un dilema constante en la manera de abordar el aprendizaje de estrategias de resolución de problemas. Por un lado, si un método es demasiado específico y atañe a un contenido en particular, puede no ser transferible a otros dominios. Por ejemplo, dibujar una figura puede servir para resolver una serie de problemas, pero solo en un contexto o contenido en particular. Por otro lado, si un método es muy general, no queda claro cómo aplicarlo en los distintos dominios.

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Esto acarrea la discusión de si es posible aprender a resolver problemas en general o si solo se pueden estudiar los métodos de resolución ligados a contenidos específicos. Podemos adoptar aspectos de ambas posturas para intentar desarrollar la habilidad de resolución de problemas. Esto es: 1. Es pertinente conocer los métodos generales de resolución de problemas, ya que aunque no garantizan la solución de un problema, si pueden ayudar a atacarlo. 2. Las estrategias están muy ligadas al contenido matemático involucrado y la capacidad de transferir esas estrategias a otros dominios depende de la experiencia con diversas situaciones en las que la estrategia se aplicó. Es necesario revisar el contenido específico. Método general de Pólya Pólya (1945) identifica cuatro etapas en la resolución de problemas: 1. Entender el problema 2. Diseñar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Examinar la solución Un aspecto muy relevante para la resolución de problemas es la posibilidad de establecer un control o monitoreo permanente de las acciones que se están realizando, ¿qué estoy haciendo?, ¿me sirve para avanzar en la solución?, ¿qué otra cosa puedo hacer?, ¿es correcta la solución que obtuve? Las siguientes preguntas te ayudarán a monitorear cada una de las etapas, además se expone algunas estrategias que pueden ser aplicadas en cada fase:

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Entender el Problema Reconocer datos e incógnita. Representar el problema con gráficos, diagramas o dibujos.

Diseñar un Plan Pensar en un problema similar. Simplificar el problema a casos particulares.

Ejecutar el Plan Revisar cada paso. Evaluar el plan propuesto.

Examinar la Solución Resolverlo de otra forma para comprobar la solución.

¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Las condiciones permiten determinar la incógnita? ¿El problema es similar a otro visto antes? ¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso? ¿Puedo modificar algún método conocido para aplicarlo en este caso?

¿Es correcto cada uno de los pasos usados en la solución? ¿El plan permite avanzar en la solución del problema?

¿Se puede comprobar la solución? ¿Se puede obtener el resultado de otra forma? ¿Se puede emplear el método usado en otro problema?

Estrategias de resolución de problemas El siguiente es el listado de algunas de las estrategias que se utilizan para resolver problemas matemáticos: 1. Descomponer el problema en subproblemas. 2. Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al problema principal. 3. Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

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4. Examinar casos especiales para tener una idea del problema.

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5. Buscar analogías.

 ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN 

6. Transferir el problema de un dominio a otro, por ejemplo resolver un problema aritmético representándolo geométricamente. 7. Búsqueda por ensayo y error. 8. Método algebraico. 9. Método gráfico. Esta lista no pretende, ni puede ser exhaustiva, existen muchas maneras, algunas muy ingeniosas de resolver un mismo problema. Mostraremos con ejemplos el funcionamiento de estas estrategias. Retomamos el problema de la escalera de 100 peldaños. Problema 2: Supongamos que se construyen escalas usando adoquines, tal como se muestra en la siguiente figura:

¿Cuántos adoquines se necesitan para una escala de 100 peldaños?

Se discutió antes que el problema era equivalente a encontrar el valor de la suma

1+ 2 + 3+... +100

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Solución:

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Estrategia 1: Descomponer el problema en subproblemas.


Agrupar en sumas parciales que sean más sencillas de calcular. Si colocamos los números del 1 al 100 en un arreglo rectangular es posible buscar sumas parciales que sean más simples de calcular. Por ejemplo, descomponiendo los números de cada fila en decenas y unidades, el resultado de cada fila es un múltiplo de 100 más 55:

55 10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10

100 + 55 200 + 55 300 + 55 400 + 55 500 + 55 600 + 55 700 + 55 800 + 55 900 + 55 4500 + 550 = 5050

Estrategia 2: Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al problema principal. Calcular la suma hasta un número menor y establecer la analogía con el problema principal. Por ejemplo, ¿de qué otras maneras podemos sumar números del 1 al 10?

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a) Primera forma: sumando los extremos el resultado es siempre el mismo

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1  2  3  4  5  6  7  8  9  10


5 veces 11 5 11  55 De la misma forma

1 2  3 

 98  99  100

50 veces 101 50 101  5050 b) Segunda Forma: Sumando dos veces y dividiendo luego por dos. 1  2  3   98  99  100 100  99  98   3  2  1 101  101  101 

 101  101  101

100 veces 101 Como esto representa el doble de la suma requerida se divide el resultado por 2, esto es 100 101  5050 2

Estrategia 3: Examinar casos especiales para tener una idea del problema. Transferir el problema de un dominio a otro. Representar el problema geométricamente como un cálculo de área. Consideremos un caso particular, una escalera de 6 peldaños.

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Con dos figuras iguales podemos formar un rectángulo

  ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN  6

7 Con 6 peldaños se tiene un rectángulo de 6  7 , como la escalera es la mitad, debemos calcular la mitad del área del rectángulo, es decir 67  21 2

Por tanto, con 100 peldaños se tendría un rectángulo de 100 101 y la cantidad de adoquines de la escalera sería 100 101  5050 2

Estos son algunos ejemplos de las estrategias que se pueden usar para resolver un problema. En su tratamiento las etapas de la resolución de problemas están implícitas, analicemos en general cómo podrían haber sido planteadas: 1. Entender el problema: ¿Cuál es la incógnita? El resultado de la suma ¿Cuáles son los datos? Los números del 1 al 100 ¿Cuáles son las condiciones del problema? Los adoquines se van sumando del 1 al 100. Se utiliza el dibujo para comprender el tipo de suma involucrada. 2. Diseñar un plan: ¿El problema es similar a otro visto? Es una suma, pero la forma habitual de sumar no es práctica en este caso. ¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso? En la suma de números naturales sucesivos, la suma de los extremos es constante. La escalera representa la mitad de un rectángulo, por tanto la mitad su área.

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3. Ejecutar el plan: ¿El plan permite avanzar en la solución del problema? Las sumas parciales cumplen cierta regularidad que hace más fácil calcularlas. Sumar los extremos permite llegar rápidamente al resultado. Visualizar el problema con la ayuda de la geometría permite cambiar el problema de una suma a un cálculo de áreas. 4. Examinar la solución: ¿Se puede comprobar la solución? Al resolverlo de más de una forma es posible comprobar el resultado. ¿Se puede emplear el método en otro problema? En todos los problemas de sumas sucesivas de números naturales. En la medida en que se dispone de otros conocimientos matemáticos es posible ampliar el abanico de métodos de resolución. El siguiente ejemplo muestra la aplicación de otros métodos, aunque los conocimientos específicos que se aplican en alguno de ellos aún no es expuesto en este texto, su tratamiento intenta ser lo suficientemente general de modo de apreciar su utilidad con las nociones de base de que dispongan. Problema 3: Se sabe que en una competencia de motos y autos hay 19 conductores y que en total se pueden contar 60 ruedas, ¿cuántas motos y autos hay?

Solución: Estrategia 1: Usar diagramas o dibujos para representar el problema. Dibujar las motos y autos aumentando o disminuyendo la cantidad de acuerdo al número de conductores y ruedas.

8 motos 16 ruedas + 11 autos + 44 ruedas 19 conductores 60 ruedas

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Estrategia 2: Ensayo y error.


a) Método de conteo: Inicial con cualquier número de motos y autos, por ejemplo con 10 motos y 9 autos el total de ruedas son

20  36  56 Faltan cuatro ruedas, se comienza a variar el número de motos y autos hasta coincidir con el total de ruedas. b) Construir una tabla: Colocar todos los números de motos y autos en una búsqueda exhaustiva, llevando el registro en una tabla: Nº motos 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8

Nº autos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nº ruedas 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60

Estrategia 3: Método algebraico. a) Ecuación lineal: Se establece una incógnita y se plantea una ecuación. Nº de motos: x Nº de autos: 19  x Nº de ruedas: 2 x  4 19  x  Como el número de ruedas tiene que ser 60, igualando la expresión anterior a 60 se tiene la ecuación

2 x  4 19  x   60

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Al resolver la ecuación se tiene

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2 x  4 19  x   60 2 x  76  4 x  60 76  2 x  60 76  60  2 x 16  2 x 8 x


Por tanto, son 8 motos y 11 autos. b) Sistema de ecuaciones lineales: Asignar letras a ambas incógnitas, plantear y resolver el sistema de ecuaciones. Nº de motos: x Nº de autos: y Nº de conductores: x  y  19 Nº de ruedas: 2 x  4 y  60 x  y  19 2 x  4 y  60

Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumando ambas ecuaciones se tiene 2x  2 y  38    ()  2 y  22  y  11 2 x  4 y  60  

Luego x  8 Por tanto son 8 motos y 11 autos.

Estrategia 3: Método gráfico. Graficar las ecuaciones del sistema de ecuaciones, el punto de intersección entre las rectas es la solución.

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No es necesario que la gráfica se haga “a mano”, podemos ocupar un software grafico, por ejemplo en Geogebra (http://www.geogebra.org )


En la línea de entrada del software (esquina inferior izquierda) se deben ingresar las ecuaciones x  y  19 y 2 x  4 y  60 , el punto de intersección es  x, y   8,11 , por tanto hay x  8 motos y y  11 motos.

Problemas Propuestos Resuelve los problemas y después describe la estrategia utilizada, respondiendo las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Cuáles son los métodos utilizados? ¿Cómo verificaste que la respuesta es correcta? 1. Un piso se diseña colocando mosaicos negros y blancos como se muestra en la siguiente figura:

¿Cuántos mosaicos blancos se deben colocar en un piso de 100 mosaicos por lado?

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2. ¿Cuál es el valor de la suma de números impares 1  3  5 

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Ayuda: Mira la siguiente figura y descubre la relación que hay entre la suma de impares y el área de cuadrados:


 101 ?

3. Colocar los números del 1 al 9 en el “cuadrado mágico”, de modo que la suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las diagonales:

4. Utiliza el resultado del problema anterior para responder la siguiente pregunta: Dos jugadores A y B seleccionan alternadamente una ficha en cada turno. El primer jugador que logre juntar 3 fichas que sumen 15 es el ganador. ¿Existe una estrategia que permita ganar el juego? ¿Cuál debe ser el número que necesariamente debe ser elegido para tener la posibilidad de ganar? 5. Determine los símbolos que siguen en la secuencia: …..

6. Una obra contrata a 1 trabajador el primer día, dos el segundo, tres el tercero y así continua contratando un trabajador por día, ¿después de cuántos días se han contratado un total de 465 trabajadores?


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7. ¿Cuántos cuadrados existen en un tablero de ajedrez?

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Ayuda: Comienza con casos particulares y separando el problema, contando cuadrados de lado 1, 2, 3, etc. Por ejemplo, cuenta cuántos cuadrados de lado 1, 2 y 3 hay en este tablero y súmalos:


8. Se tiene una jarra de 8 litros de agua, otra de 5 y otra de 3, ¿de qué manera, utilizando las jarras, se puede obtener 4 litros de agua? 9. Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.000 cada uno, (o $30.000 en total). Después, el dueño del hotel se da cuenta de que les ha cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.000. El ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.000 entre los tres y decide darles $1.000 a cada viajero y quedarse con los $2.000 restantes. Así el costo del hospedaje fue de $9.000 por cada viajero, ($27.000 en total). Los $27.000 pagados por el cuarto más los $2.000 que el ayudante tomó son $29.000. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.000 originalmente. ¿Qué pasó con los $1.000 faltantes? 10. Coloca en los círculos los números del 1 al 9 sin repetir de modo que la suma sea igual a 20:

11. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta rojo. El cubo pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm por lado. ¿Cuántos cubos de 2 cm por lado no tienen pintada ninguna cara?

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   ARITMÉTICA

Aunque se ha visto que es posible resolver los problemas por métodos, como el ensayo y error, que no requieren un conocimiento matemático específico, la posibilidades de aplicarlo en todos los casos se va reduciendo en la medida en que las aplicaciones lo requieren. Se debe profundizar en la matemática para ampliar el ámbito de problemas que se pueden resolver o contar con métodos de resolución más eficientes. Los Números La aritmética es la ciencia de los números. La noción de número surgió inicialmente ante la necesidad práctica de contar, ordenar y medir, lo que dio origen a los conceptos de número natural y racional. Pero otros tipos de números, como los irracionales, los números negativos y los complejos, surgen en ámbitos matemáticos, como abstracciones que toman distancia de la idea de cantidad, lo que les valió una larga lucha por su legitimidad como números. Es necesario entender que los números son esencialmente una abstracción y que en algunos casos no es posible justificar su funcionamiento a través de modelos concretos. Es lo que ocurre con los números negativos, ¿por qué ()  ()  () ?, habitualmente se asume el modelo de las deudas y ganancias para justificar el funcionamiento aditivo de los números enteros, así ()  ()  () porque la suma de dos deudas es también una deuda. Pero esa interpretación no es aplicable para el caso de la multiplicación, ya que el producto de dos deudas no puede ser una ganancia, que es lo que se desprende al aceptar la regla de signos ()  ()  () . Los números negativos, reciben su nombre por el estatus de negación que tuvieron durante mucho tiempo. La visión de la matemática que predominaba hasta antes del siglo XIX exigía una relación directa con la realidad, que no tenían los números negativos, que venían a reflejar cantidades menores a cero. Sin embargo, los números negativos eran necesarios para resolver cierto tipo de ecuaciones. Para que los negativos fueran aceptados como números fue necesario que la matemática se convirtiera en una ciencia abstracta, que no busca su justificación en el mundo real.

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Números Naturales

 ARITMÉTICA El matemático alemán Leopold Kronecker afirmaba que “Dios creó los números naturales y el resto lo hizo el hombre”, como una clara descripción de lo fundamental de los números naturales. Para formar el conjunto de los números naturales ℕ se debe adicionar el 0 a los números 1, 2, 3,… que utilizamos para contar. ℕ = {0,1,2,3, … } De los números naturales se puede decir que: -

Tienen un primer elemento: el 0. Todos los números naturales tienen un sucesor: Cada natural n tiene un sucesor n  1 . El 1 actúa como un generador. Es un conjunto que no tiene fin.

En ℕ se definen las operaciones de adición (+) y multiplicación (·), ¿Qué propiedades cumplen estas operaciones en los naturales? Es una pregunta de la mayor importancia, ya que son la base sobre la cual se construye el resto de la matemática. Su comprensión permite reconocer lo que se puede y no se puede hacer matemáticamente. Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ, se cumple: Asociatividad: (a  b)  c  a  (b  c) (a  b)  c  a  (b  c) Conmutatividad: a  b  b  a a b  b a Elementos neutros: Existe 0 ∈ ℕ, tal que a  0  0 Existe 1 ∈ ℕ, 1  0 , tal que a 1  a Distributividad: a  (b  c)  a  b  a  c La suma y multiplicación son operaciones binarias, la asociatividad expresa que para sumar tres números se debe asociar de dos en dos cada vez. La

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conmutatividad establece que no importa el orden en que se realiza la suma o multiplicación, el resultado es el mismo. El 0 es el único número natural que actúa como neutro para la suma, lo mismo para el 1 y la multiplicación. La distributividad de la multiplicación sobre la suma es la propiedad que muestra que es posible separar en la suma de productos. Números Enteros Si al conjunto de los números naturales adicionamos los números negativos obtenemos el conjunto de los números enteros: ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … } Los números negativos aparecen por primera vez en la India, siglos VI d.C y se empleaban para necesidades contables, mientras los positivos representaban los bienes, los negativos representaban las deudas. Sin embargo, el camino para su aceptación como números fue largo. En un mundo en que los números estaban estrechamente relacionados con la magnitud se cuestionaba la existencia de una medida que fuera menos que 0. En realidad los números enteros, a diferencia de los naturales, no solo expresan medida, además establecen un sentido respecto de un punto de referencia. Ese punto es el cero. El cero no representa la ausencia de cantidad, así como tampoco se podría asociar el 0 en grados Celsius con ausencia de temperatura, que solo es el valor donde el agua se congela. De ese modo – 5 y el 5 indican, en ambos casos, que hay 5grados Celsius, una medida, pero en sentidos opuestos, por debajo y por encima del punto de congelación. Decir que un número negativo es el que está a la izquierda del cero no es completamente exacto, lo es solo para la representación clásica de la recta numérica, que sin embargo, no es más que eso, una entre muchas representaciones posibles. Por ejemplo, si tomáramos el modelo de las temperaturas, los negativos no estarían a la izquierda sino por debajo del cero. Lo cierto es que no se puede definir en esos términos ni justificar sus propiedades con la interpretación gráfica. Lo que realmente importa en los enteros es que para todo número 𝑎 ∈ ℤ, existe un único número (−𝑎) ∈ ℤ, tal que:

a   a   0 Se dice que  a  es el opuesto o inverso aditivo de a .

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Un número entero tiene por tanto, magnitud, dada por el valor absoluto y sentido, dado por el signo. El número 3 tiene valor absoluto 3  3 y signo positivo, mientras que el – 3 tiene valor absoluto 3  3 y signo negativo. Como se ve, ambos números tienen la misma magnitud, pero en sentidos opuestos:

Los números enteros deben cumplir las mismas propiedades que los naturales, además de la propiedad del inverso aditivo. El sistema numérico de los enteros (ℤ, +,∙) tiene la siguiente estructura: Asociatividad Conmutatividad Elementos neutros Distributividad Inverso aditivo Como consecuencia de estas propiedades básicas, se obtiene algunas cosas conocidas, por ejemplo que a  0  0 . Además, es posible definir la resta como una suma, esto es:

a  b  a   b  Es decir, la resta de dos enteros es la suma del primer término por el inverso aditivo del segundo.

Por ejemplo, a) 3  5  3   5 b)  2    6    2   6

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Números Racionales

  ARITMÉTICA

Más allá de los significados concretos de las fracciones y su utilidad en el a proceso de medir, representa a un tipo de número, denominado número b racional. Estos números están formados por la razón entre dos enteros a y b, con b  0 , que se denotan por: 𝑎 ℚ = { : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ; 𝑏 ≠ 0} 𝑏 El uso de la palabra número, que originalmente solo hacía referencia a los números naturales, se justifica en los otros conjuntos numéricos porque siguen cumpliendo las mismas propiedades para la suma y la multiplicación de los naturales. El sistema (ℚ, +,∙), cumple:

ℚ

Asociatividad Conmutatividad ℤ ℕ Elementos neutros Distributividad Inverso aditivo Inverso multiplicativo

En el sistema de los racionales se agrega la propiedad del inverso multiplicativo, esto es 1

Para todo 𝑎 ∈ ℚ, con 𝑎 ≠ 0, existe un número 𝑎−1 = 𝑎 ∈ ℚ, tal que: a  a 1  1 o lo que es lo mismo: a 

Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 2 es 21  1 2  21  2   1 2

1 1 a

1 , ya que 2

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Nótese que el 0 no tiene inverso multiplicativo, esto es no existe 1 01  . 0

 ARITMÉTICA

El inverso multiplicativo de una fracción

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a a   b b

1

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a b es , en efecto b a

a b ab    1 b a ab

A partir del inverso multiplicativo es posible definir la división, como el producto de un número por el inverso multiplicativo del otro. Definición: Se dice que a está dividió por b, con b  0 , cuya notación es

a b

o a : b si a  a  b 1 b

Nuevamente, es necesario mencionar que al no existir el inverso multiplicativo de 0, tampoco se puede dividir por 0. Por la frecuencia con que se presenta los errores de la división por cero, nos detendremos un instante en ello. ¿Cuál es la diferencia entre estas expresiones?

0 2 0 , y 2 0 0

Se ha dicho que no está definida la división por cero, sin embargo existe una diferencia en estas expresiones que podemos comentar. Supongamos que tratamos cada una de estas divisiones con su problema equivalente de multiplicación, esto es a)

0  x implica 0  2  x , que tiene como solución a x  0 , luego 2 0 0 2

Concluimos que 0 dividido por un número distinto de cero es igual a 0.

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN 2  x implica 2  0  x , pero todo número multiplicado por 0 es 0, por 0 tanto no existe un número x que cumpla esta condición. Más aún si existiera, al multiplicar tendríamos que 2  0 , un absurdo que contradice las 2 nociones básicas de la aritmética, para evitarlo se dice que es indefinido. 0

b)


0  x implica 0  0  x , en este caso x puede ser cualquier número, todos 0 ellos multiplicados por cero dan cero. Pero si aceptáramos esto tendríamos 0 que  0  1  2  3  .... , es decir que todos los números son iguales entre 0 sí, otro absurdo que no se puede permitir. Se dice que dividir cero por cero es indeterminado.

c)

La demostración que √2 no es un número racional, radica en una contradicción.

Números Irracionales

Suponemos que √2 es un racional, por lo que

Diversos problemas relacionados con geometría dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son inconmensurables, es decir, no admiten representación racional.

√2 =

𝑎 𝑏

(1)

Donde 𝑎, 𝑏 son enteros y la fracción

𝑎 𝑏

es irreducible. (es

decir, 𝑎 y 𝑏 son relativamente primos entre sí). Ahora elevamos al cuadrado la ecuación (1), obteniendo 𝑎2 2 = 2 ⇒ 2𝑏2 = 𝑎2 𝑏 De esto, se deduce que 𝑎 es par. Así, 𝑎 = 2𝑘, y reemplazando, 2𝑏 2

=

(2𝑘)2

⇒

2𝑏 2 = 4𝑘 2 ⇒ 𝑏 2 = 2𝑘 2 Lo cual nos dice que 𝑏 es par. Si 𝑎 y 𝑏 son pares. Entonces llegamos a una contradicción. Pues, dijimos que a y b eran relativamente primos entre sí. Lo que dice que √2 no es racional.

Para hacer un análisis particular de estos números, veremos el famoso problema de Pitágoras para encontrar la diagonal del cuadrado unitario. El Problema radica en encontrar la medida de x. Para ello, utilizamos el teorema de Pitágoras. (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 = (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 12 + 12 = 𝑥 2 2 = 𝑥2 ⇒

𝑥 = √2

Y la pregunta que surge, ¿es √2 el numero es un numero racional?, La respuesta a esta pregunta es No. Entonces surge la necesidad de nombrar a este tipo de números de alguna manera. Los llamaremos números irracionales. Así, los irracionales se denotan por ℚ∗ = {𝑥 / 𝑥 ∉ ℚ} Ejemplos de números irracionales son

27

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN −√2 , √5 , −√1.7 , 𝜋, 𝑒

   ARITMÉTICA Los números irracionales 𝜋 y 𝑒. Se llaman números trascendentales, ya que ellos no son solución de una ecuación algebraica. Es decir, no podemos obtener como solución de la ecuación 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0

Es por este motivo que adquieren una importancia fundamental en las matemáticas. El número 𝜋 nace del concepto de circunferencia. El número 𝑒 nace del concepto de funciones. Donde 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , es la única función cuya derivada es la misma función.

28

No necesariamente la suma o la multiplicación de dos números irracionales es de nuevo un número irracional, por ejemplo −√2 + √2 = 0, √2 · √2 = 2. Pero 0 y 2 no son números irracionales.

Números Reales. La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales, lo denotaremos por ℝ, será el conjunto ℝ = ℚ ∪ ℚ∗ Una representación geométrica de ℝ es la recta real

-2

-1

0

1

√2

2

5 2

3

Para la construcción de propiedades en los Reales. Se utilizan ciertas proposiciones que (por ser tan evidentes no se demuestran o asumimos verdaderas) que llamaremos axiomas. Estos axiomas son los siguientes: i) Asociativo: Para cada 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ, (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧); (𝑥 · 𝑦) · 𝑧 = 𝑥 · (𝑦 · 𝑧) ii) Conmutativo: Para cada 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥; 𝑥 · 𝑦 = 𝑦 · 𝑥 iii) Elemento Neutro: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 + 0 = 𝑥 = 0 + 𝑥; 𝑥 · 1 = 𝑥 = 1 · 𝑥.


 

El real 0 es llamado elemento neutro para la adición. El real 1 es llamado elemento neutro para la multiplicación.

 ARITMÉTICA iv) Invertible: Para cada 𝑥 ∈ ℝ, existe un único número real llamado el inverso aditivo u opuesto de 𝑥 y es denotado por −𝑥, tal que 𝑥 + (−𝑥) = 0. Para cada número real 𝑥 ≠ 0, existe un único número real llamado el inverso multiplicativo de 𝑥 y denotado por 𝑥 −1 ó 𝑥 · 𝑥 −1 = 𝑥 ·

1 𝑥

, tal que

1 = 1. 𝑥

v) Distributiva: Para cada 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ, 𝑥 · (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 · 𝑦 + 𝑥 · 𝑧. Empleando la propiedad de invertible, se definen las operaciones de resta y división de números reales, en efecto para cada 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + (−𝑦); Si 𝑦 ≠ 0, 𝑥 1 = 𝑥 · = 𝑥 · 𝑦 −1 . 𝑦 𝑦

Con esto tenemos todas las propiedades de las operaciones en los números Reales. Ejemplo:

a) 7 + 5 = 12 b) 3 − 5 = 3 + (−5) = −2 c) (−2) − (−6) = (−2) + (+6) = 4 d) 3 ∙ 8 = 24 e) (−4) ∙ 5 = −20 f) (−5) ∙ (−6) = 30 1

g) 7: 4 = 7 ∙ 4 = 7 ∙ 4−1 = 1,75 1

h) (−3): 5 = −3 ∙ 5 = −3 ∙ 5−1 = 0,6

29


Prioridad en las operaciones aritméticas y uso de paréntesis

 ARITMÉTICA

Los paréntesis son recursos del lenguaje matemático que se utilizan para explicitar el orden en que realizaran las operaciones en una expresión matemática. Generalmente, los problemas aritméticos no requieren el uso de paréntesis, el enunciado del problema permite entender el orden en que se debe realizar las operaciones. A veces nos limitamos a colocar los resultados parciales de esas operaciones. Por ejemplo: Problema 6: Gabriel piensa un número, le suma 25, divide el resultado entre 2, resta 8 y lo multiplica todo por 3. Si al final obtiene 21, ¿qué número pensó? Solución: Devolviéndonos en el razonamiento la descripción verbal del problema sería: Si al final tenía 21 Antes de multiplicar por 3 tenía 7 Antes de restarle 8 tenía 15 Antes de dividir entre 2 tenía 30 Antes de sumar 25 tenía 5. Como se ve no fue necesario escribir las operaciones ni colocar paréntesis para definir el orden en que se realizarían. Lo que constituye una forma habitual de proceder en aritmética. Sin embargo, la falta aparente de una necesidad real de trabajar con paréntesis o incluso de escribir las operaciones en los problemas aritméticos provoca problemas en el cálculo y en el tránsito hacia el álgebra. Si se cree que los paréntesis o los signos operatorios son solo una convención que exige el profesor, que en realidad no son necesarias, se puede llegar a cometer errores, que en aritmética parecen solo de forma, pero que son de fondo cuando queremos trabajar en álgebra. Por ejemplo, es habitual que el problema anterior sea escrito de la siguiente forma

21:3  7  8  15  2  30  25  5 El error está en que ninguna de las partes entre los signos = son realmente iguales. Es un uso incorrecto del signo igual. El = no es un signo para expresar “aquí está el resultado”, es una relación de equivalencia, debe cumplirse que ambas partes sean iguales. Esto es fundamental para entender

30

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN luego como resolver ecuaciones.

 ARITMÉTICA

Problema 7: Construye los dígitos del 0 al 9 utilizando sólo cuatro veces el número 4. Solo puede ocupar las 4 operaciones aritméticas básicas. Considera los siguientes ejemplos: 0  4444 1

44 44

Solución: Dejaremos la tarea de resolver completo el problema y nos acotaremos a mostrar los errores cometidos al no usar los paréntesis. Supongamos que queremos formar el número 6, sumando dos veces el 4, dividiendo luego por 4 y finalmente sumado otro 4. ¿La respuesta correcta será entonces 4  4 : 4  4 ? Al no tener paréntesis la pregunta es en qué orden se resuelve la expresión aritmética, ¿en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha o hay una prioridad que respetar? Si colocamos esta expresión en la calculadora científica el resultado será 9, significa que no es en el orden en que se muestran, hay una prioridad. Prioridad de las operaciones aritméticas 1º Paréntesis: Se resuelven de adentro hacia fuera. 2º Multiplicación y divisiones: De izquierda a derecha. Si solo se trata de multiplicaciones, por asociatividad y conmutatividad, la multiplicación se realiza en cualquier orden. 3º Sumas y restas: De izquierda a derecha. Si solo se trata de sumas, por asociatividad y conmutatividad, la suma se realiza en cualquier orden. Por ejemplo: a) 4  4 : 4  4  4 1 4 9

31



b) 5  2  1  6 :  2  1   8: 2  2

 5  2  1  6 : 3  4  2  5  2  1  2   8  5  23 8  5 68  11  8 3 Volviendo al problema de los cuatro 4, el objetivo era formar el 6. Se requiere usar paréntesis. En efecto

 4  4 : 4  4  6 Ejercicios y Problemas Propuestos: 1. Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) 2  6 : 2  3  6  2 : 3 1 b) 6   2  4  4  : 2  7 c) 2  2  2  2   2  2 : 2 



d) 1  2  2  1  2   2  2 : 2    2



2. Coloca los paréntesis donde corresponda para que las siguientes expresiones tengan los resultados que se indican. Usa los paréntesis estrictamente necesarios: a) 2  5  1  12 b) 6  2  1  4 : 2  7 c) 12 : 3  2  2  1 d) 16 : 4  4  16 : 4  2  12 3. Un empleado de un taller mecánico se le paga $6000 por hora si trabaja 15 horas a la semana. Si trabaja más de 15 horas, cada hora extra se paga al valor normal más la mitad. ¿Cuántas horas debe trabajar para ganar $135.000 durante una semana?

32


4. ¿Cuáles son todos los divisores de 126? Usa descomposición factores primos.

 ARITMÉTICA

5. Se debe llenar una bidón de 72 litros, ¿qué medidas puede tener el jarro que lo llena de forma exacta? 6. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las páginas donde se abrió es 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se abrió el libro? 7. ¿Cuáles son las últimas tres cifras de 5123456789 ? 8. ¿Cuál es la última cifra de 7587 ? Ayuda: Comienza con casos más simples y descubre la regularidad 9. En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se extraen 7 monedas de la primera y se depositan en la segunda caja, en ambas queda el mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja? 10. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?

La teoría de las razones y proporciones son descritas por primera vez en el libro V de los Elementos de Euclides (siglo III a.C), aunque ya estaba en el pensamiento pitagórico del siglo V a.C, cuyo principio fundamental “Todo es número”, implicaba que todas las cosas se podían explicar con números (enteros positivos) y sus razones, lo que posteriormente fue contrariado por el descubrimiento de los inconmensurables, desatando la primera crisis en la historia de las matemáticas. Los griegos nunca expresaron las razones como fracciones - no disponían de ellas- ni calcularon su cociente. Para ellos una razón solo era una forma de comparar dos magnitudes.

Razón El concepto de razón está relacionado con la acción de comparar, una actividad que realizamos constantemente, que también puede ser abordada a través de una diferencia. ¿Cuándo usar una razón? ¿Cuándo comparar a través de una diferencia? Es necesario contrastar estas dos maneras de comparar y reconocer cual es la utilidad de las razones matemáticas. Problema 8: Suponga que en una fábrica, un día en particular, la máquina A produce 48 artículos, mientras que la máquina B, que es más antigua y lenta, solo fabrica 32, ¿De qué manera podemos comparar la producción de estas dos máquinas? Está claro que la producción de la máquina A es mayor que la máquina B. Lo que queremos precisar son las formas en que se puede expresar y cuantificar la comparación entre estas cantidades.

33


   RAZONES 

1. Comparación absoluta: señalar en cuántos artículos una máquina supera a la otra. A – B = 48 – 32 = 16 La máquina A produce 16 artículos más que B. 2. Comparación relativa: señalar el número de veces o la porción que representa la producción de una máquina respecto de la otra. A 48 3    1, 5 B 32 2 La producción de la máquina A es 1,5 veces la producción de la máquina B. En este caso, utilizamos una fracción para representar la comparación relativa o “razón” entre las producciones de A y B. Sin embargo no es la única manera de expresar una razón. Se dice que la razón entre la producción de A y la de B es de “3 es a 2”, que se escribe: 3 2

o

3:2

Razón, una comparación relativa En la escuela pitagórica, tanto el número como las magnitudes pertenecían a la categoría de cantidades. Sin embargo, eran entidades separadas. El número correspondía a colecciones de unidades indivisibles, permitían contar, mientras que las magnitudes surgen de la abstracción de cosas que se pueden medir. Los griegos no disponían de un sistema métrico como el nuestro, para medir debían comparar las magnitudes mediante sus razones.

En el ejemplo anterior la razón entre la producción de la máquina A y la máquina B, era de 3:2 en un día en que A produjo 48 y B 32 artículos. Si la razón entre A y B fuera siempre la misma, la razón 3:2 nos permite saber que por cada 3 artículos que fabrica A la máquina B fabrica 2, independiente de los totales involucrados. Definición: Una razón es una comparación relativa entre dos cantidades de igual o distinta medida.

Peras con peras y peras con manzanas Problema 9: Compare las cantidades involucradas en los siguientes enunciados: a) En una empresa trabajan 60 hombres y 25 mujeres.

34


 b) Un auto recorre 12 km en 9 minutos.

  RAZONES 

Hay una diferencia entre estas dos situaciones. Euclides (300-265 A.C.) en la definición 3, del libro sexto “Los Elementos”, definió la Razón Áurea de la siguiente forma: “Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón, cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor” Así se obtiene la proporción: 𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 Llamando 𝜑 a la razón

𝐴𝐵

a) Podemos hacer tanto comparaciones absolutas como relativas:

H  M  60  25  35

H 60 12    2, 4 M 25 5

Hay 35 hombres más que mujeres. Por cada 12 hombres hay 5 mujeres Los hombres equivalen a 2,4 veces las mujeres.

b) Aquí no podemos hacer comparaciones absolutas, no se puede restar kilómetros con minutos, son magnitudes de medida distinta. Pero si podemos comparar de manera relativa, a través de la razón

𝐵𝐶

(razón áurea), obtenemos la ecuación:

D 12 4    1, 3 T 9 3

1 + 𝜑 −1 = 𝜑

Por cada 4 km que avanza el auto transcurren 3 minutos.

o bien: 𝜑 + 1 = 𝜑2, ecuación cuadrática cuya solución positiva es: 𝜑=

1 + √5 2

Un número irracional muy especial.

El auto recorre 1, 3 km por minuto. En definitiva, se observa que las razones pueden ser entre cantidades de igual o distinta medida, en cambio las comparaciones absolutas solo pueden ser entre cantidades de igual medida. Una forma coloquial de explicarlo es: ¿se pueden comparar peras con manzanas?... De forma absoluta no, pero si a través de una razón.

Aplicación La cadena de una bicicleta gira alrededor del plato de una rueda dentada (comúnmente llamado volante, el que está conectado a los pedales) y el piñón conectado a la masa trasera (que hace girar la rueda trasera). Al cambiar de velocidades, la cadena se mueve a un plato o piñón diferente, tal como muestra la figura siguiente:

35



La relación de engranaje de una determinada velocidad, indica el número de revoluciones o vueltas que rota la rueda trasera por cada vuelta de los pedales. Una forma de expresar la relación entre el número de dientes del plato y del piñón es a través del cociente:

Relación de Engranaje 

Número de dientes del plato Número de dientes del piñón

Por ejemplo, si la cadena corre sobre un plato con 52 dientes y un piñón con 26 dientes, entonces la relación de engranaje es de 52:26 ó equivalentemente 2:1, lo que significa que la rueda trasera realiza dos vueltas por cada vuelta que dan los pedales. Si la misma cadena, se mueve sobre un piñón de 13 dientes y el mismo plato, entonces la relación de engranaje cambia a 52:13 ó equivalentemente a 4:1, en este caso la rueda trasera dará 4 vueltas por cada vuelta de los pedales. Ejercicios Resueltos 1. Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar: a) la razón del total de ventas al inventario promedio. b) la razón de la utilidad a la venta total. Solución: a)

venta total 180.000   6 La razón es de 6 es a 1. inventario promedio 30.000

b)

utilidad 36.000 1   , la razón es de 1 es a 5. ventas 180.000 5

36



2. El acero para herramientas puede trabajarse en el torno a la velocidad de corte de 6 mm. por minuto, en tanto que el hierro fundido puede trabajarse con una velocidad de corte de 13,5 mm/min. Hállese la razón de las velocidades de corte. Solución: Sean a y h las velocidades de corte del acero y del hierro, respectivamente. Se forma la razón: a 6 4   0, 4  , luego la razón es de 4 es a 9. h 13, 5 9 Ejercicios propuestos 1. La menor de dos poleas unidas por una correa hace 240 revoluciones por minuto, en tanto que la mayor hace 80. ¿Cuál es la razón de sus velocidades? 2. Un tren expreso marcha a la velocidad de 80 km./h mientras que un aeroplano vuela a 300 km./h. Hállese la razón de sus velocidades. 3. Un metro de alambre de cobre de 0,025 mm de diámetro tiene una resistencia de 8,6 ohmios, en tanto que un metro de alambre de aluminio del mismo diámetro tiene una resistencia de 15 ohmios. ¿Cuál es la razón de las dos resistencias? 4. La eficiencia de un proceso administrativo se define como la cantidad de operaciones de salida realizadas satisfactoriamente y el número de operaciones totales ingresadas. Si ingresan 6.000 operaciones y salen 4500 de ellas. ¿Cuál es la razón de eficiencia? 5. Un índice de confianza de inversión se define como la razón entre el tiempo en meses, hasta el primer retorno de la inversión y el monto en dólares asignado a ella. (IC=t/mi). Si en una instancia (IC= 0,50) y t se triplica, mi se aumenta al doble. ¿Cuál es la nueva razón? 6. En una empresa trabajan 84 personas. Si hay 21 mujeres. ¿Cuál es la razón inversa entre el número de mujeres y de hombres? 7. Las aristas de dos cubos miden respectivamente 2cm y 4cm. ¿En qué razón están sus volúmenes? 8. Los lados de dos terrenos cuadrados miden respectivamente 10 m y 20 m. ¿En qué razón están sus áreas?

37


   PROPORCIONES 

Proporción Problema 10: Dos ruedas que engranan tienen velocidades que están a razón de 2:3. Si la rueda menor gira a 72 revoluciones por minuto, ¿a cuánto gira la rueda mayor? Supongamos que las velocidades sean m y M, para la rueda menor y mayor, respectivamente. Cualquier valor que asuman las velocidades de las ruedas deberá estar a razón de 2:3, esto es m 2  M 3

Si m  72 , tendremos una igualdad entre dos razones con el término M desconocido 72 2  M 3

Multiplicando por los inversos respectivos se obtiene una igualdad entre “los productos cruzados”, lo que nos permite luego despejar la incógnita M 72  3  2  M 

72  3 M  2

M  108

La rueda mayor gira a 108 revoluciones por minuto. Definición: Una proporción es una igualdad entre dos razones, se denota 𝑎 𝑏

=

𝑐 𝑑

o

𝑎∶𝑏=𝑐∶𝑑

En general, resulta más conveniente trabajar con las fracciones, ya que permiten escribir la proporción de varias maneras y plantear “la igualdad de producto cruzado” como recurso para despejar cualquier término desconocido en una proporción. a c  , se pueden formar proporciones equivalentes b d cambiando la disposición de los cuatro términos, siempre que se mantenga el producto cruzado a  d  b  c .

Dada una proporción

38

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN a c  b d





d c  b a

a d  b c

 a b d b    c d c a

 PROPORCIONES 

Usualmente a la expresión: 𝑎 𝑐 = ⇔𝑎∙𝑑 =𝑏∙𝑐 𝑏 𝑑

Ejemplo: La misma proporción podría escribir como

M 3  72 2

Se le llama la Propiedad

Fundamental Proporciones.

de

72 2  planteada en el problema 3 se M 3

las

3 Lo que puede resultar más simple de resolver M   72  108 2

Ejercicios resueltos 1. En una fábrica de muebles se producen diariamente sillas y sillones en una razón de 5:4. Si el número de sillones es 8. ¿Cuál es el número de sillas? Solución: Sean a: número de sillas, b: número de sillones (b=8), luego la razón es: a 5  b 4

Reemplazando los datos se tiene

a 5 58  a  a  10 4 8 4

Por tanto hay 10 sillas y el número total de sillas y sillones es: a + b = 8 +10 = 18

2. En una fábrica de zapatos las líneas de producción de dos modelos diferentes, en determinados momentos del día, habrán producido 33 y 40 zapatos cada una, ¿cuántos zapatos más tienen que producir, para que la producción de estas líneas esté en la razón 2:3?

39



Solución: Sea x la cantidad de zapatos que restan por producir, para que las razones de producción de las líneas de trabajo sea de 2:3. Luego de producir x zapatos más, las líneas de trabajo habrán producido en total: 33 + x y 40 + x respectivamente, entonces: 33  x 2  40  x 3

Luego

3( 33  x )  2( 40  x ) 99  3x  80  4 x 19  x Por lo tanto, después de producir 19 zapatos más la producción de ambas líneas de trabajo, estará en la razón de 2:3.

Ejercicios propuestos 1. Hallar el término desconocido en las siguientes proporciones: a)

x 6 = 3,5 3

b) 24: 0,4= x: 0,04

c)

3 :6=1: x 4

e)

0,2 0,3 = x 0,9

g)

x 24  x  6 16

f)

a  x x b  a  c c b

2. Una rueda dentada de 18" engrana con otra de 6". Suponiendo que la rueda mayor tenga 72 dientes, ¿cuántos tendrá la más pequeña? 3. Si una pieza fundida que pesa 14 kg. cuesta $2.100, ¿cuánto costará una pieza que pesa 30 kg.? 4. Un alambre de cobre de 120 m de largo tiene una resistencia de 1.084 ohmios. ¿Cuál será la resistencia de un alambre de 750 m? 5. El hierro fundido pesa 7,2 kg. por dm 3 y el pino blanco pesa 0,4 kg / dm 3 . Suponiendo que un modelo hecho en madera de pino pese 2,25 kg. ¿Cuánto pesará una pieza que se funda con hierro fundido?

40




6. Una polea de 60 cm de diámetro y que da 180 revoluciones por minuto, mueve a otra polea de 36 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones por minuto dará la polea más pequeña?

  PROPORCIONES 

7. La fuerza de un motor de gas aumenta con el área del émbolo. Suponiendo que un motor con una superficie de émbolo de 54 cm 2 desarrolla 25,5 Hp. ¿Cuántos Hp desarrollará un motor con un émbolo cuya superficie sea de 45,15 cm 2 ? 8. La razón entre las velocidades de un avión y un tren es de 15:2. Si la velocidad del avión de 60 km/h. ¿Cuál es la velocidad del avión? 9. La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20 m respectivamente. En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál es la altura de la ventana? 10. Al leer la revista Estrategia, se ve un gráfico de barras que indica las compras de refrigeradores durante el mes de junio y julio de este año por cada centímetro cuadrado se venden 800 refrigeradores. Si para junio se tiene 1 por 9,6 cm. y en julio por 5,5 cm., en dicho gráfico. ¿Cuál es la venta real de refrigeradores en estos meses? 11. En una empresa, la razón entre los ingresos de 2 profesionales del área administrativa es de 10:12, el profesional de mayor ingreso declara una renta anual de 16,8 millones de pesos. ¿Cuál es el monto que declara el profesional de menores ingresos?

Justificación de la propiedad de componer una proporción:

12. Una vertiente llena una garrafa de 18 litros en 16 minutos. ¿Qué capacidad daremos a un estanque para almacenar el agua de toda una noche (12hr)?

Si se suma 1 a ambos lados de la igualdad

a c  b d

se tiene:

a b 1  1 c d Sumando los términos queda

a c b d  c d De forma análoga, la propiedad de descomponer una proporción se obtiene restando 1 a cada fracción de la proporción.

Propiedades de Proporciones Dada una proporción

a c  , siempre es posible: b d

Componer la proporción

a b a c b d    c d c d

Descomponer la proporción

a b a c b d    c d c d

Componer y descomponer proporciones son técnicas útiles, en casos en que en un problema de proporciones no estén dados los tres términos conocidos, sino que la razón entre ellos y la suma o la resta de sus valores.

41



Ejemplo: Los pesos de dos piezas metálicas están en la razón de 3:5, si en total pesan 600 gramos, ¿cuánto pesa cada pieza? Sean x e y el peso de ambas piezas, se sabe que

x 3  con x  y  600 y 5 Componiendo la proporción y reemplazando por el valor de la suma se tiene

x  y 35 600 8 600  5     y  375 y 5 y 5 8 Reemplazando y  375 en la suma x  y  600 se obtiene x  375  600  x  225

Ejercicios resueltos 1. En una mezcla la razón entre arena de cemento debe ser 7:4. Si se sabe que la diferencia entre estas cantidades es de 36 mt3, ¿cuántos metros cúbicos de arena y cemento se utilizarán en la mezcla? Solución: Sean a y b las cantidades de arena y cemento, respectivamente, entonces a 7 con a  b = 36.  b 4 Al descomponer y reemplazar se tiene

a b 74 36 3     a  84 a 7 a 7

Como b = a  36, obtenemos que b = 48. Se necesitan 84 mt3 de arena y 48 mt3 de cemento.

2. El área de dos zonas de seguridad de un colegio están en la razón 3:7. Si ambas zonas tienen una superficie de 110 mt2, determine el área de cada una de las zonas de seguridad. Solución:

42


 

Sean c y d las áreas de cada zona, con

c 3  y c  d  110 . d 7

Al componer y reemplazar se obtiene

 PROPORCIONES 

c  d 3  7 110 10 110  7    d   77 d 7 d 7 10

Como 𝑐 + 𝑑 = 110, entonces 𝑐 = 110 − 𝑑 = 110 − 77 = 23 Las áreas de cada zona de seguridad es 77 y 23 mt2. Ejercicios propuestos 1. Componga o descomponga las siguientes proporciones para determinar el valor de a y b: a)

a 7  con a  b  180 b 5

b)

a 9  con a  b  48 b 5

2. Al dividir un alambre de 198 cm. en dos segmentos que estén en la razón de 4:7, ¿cuánto mide cada pedazo de alambre? 3. El precio de dos autos están en la razón de 5:3, si uno cuesta $750.000 más que el otro, ¿cuál es el precio de cada uno? 4. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Si para llenarlo se necesitan 15 litros, ¿Cuál es la capacidad del estanque? 5. El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estaño. Hállese la cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg. 6. Los accidentes de trabajo en la cabeza y en las manos están en la razón de 2:5, entre 120 obreros de una constructora. Calcule la cantidad de obreros en cada sección.

43


 

Variables proporcionales Problema 11: Considera las siguientes situaciones.

 PROPORCIONALIDAD 

Situación 1 Nº de ladrillos 5 10 15 20 25

Situación 2

Peso (Kg) 6 12 18 24 30

Consumo (KWH) 2 4 6 8 10

Monto Factura ($) 726 862 998 1134 1276

¿Son proporcionales las cantidades involucradas en cada situación?

Hasta aquí hemos visto que una proporción es una igualdad entre dos razones, una definición que acota la proporcionalidad al ámbito aritmético. Pero, ¿qué significa que dos variables sean proporcionales?... En las dos situaciones propuestas en el problema, cuando una variable aumenta la otra también aumenta, ¿es suficiente este comportamiento para establecer proporcionalidad? ¿Qué se requiere para que dos variables sean proporcionales? Analicemos el comportamiento de las variables, comenzando por sus variaciones o diferencias. En los dos casos ocurre que, mientras la variable x aumenta a una diferencia constante, la variable y también aumenta con diferencia constante. Situación 1 x Nº de ladrillos +5 5 +5 10 15 +5 20 +5 25

y Peso (Kg) 6 12 18 24 30

Situación 2

+6 +6 +6 +6

Consumo (KWH) 2 +2 4 +2 6 +2 8 +2 10

Monto Factura ($) 726 +136 862 +136 998 +136 1134 1276 +136

44


   PROPORCIONALIDAD 

Si una variable aumenta cuando la otra también aumenta no implica proporcionalidad. Que las variables aumenten a diferencias constantes (cómo en el problema) tampoco significa que necesariamente deban ser proporcionales, se necesita algo más… De manera intuitiva, se entiende que:

Supuestos y proporcionalidad

Para ocupar proporcionalidad debemos asegurarnos que la naturaleza de las variables establece matemáticamente ese tipo de relación, por ejemplo la fórmula de perímetro de una circunferencia permite identificar, sin ninguna duda, que el radio y perímetro son proporcionales. Sin embargo, en la mayoría de los casos debemos realizar supuestos para considerar que existe proporcionalidad entre dos variables, por ejemplo tiempo y nº de piezas que fabrica un obrero, debemos suponer que el obrero es capaz de trabajar siempre al mismo ritmo, o distancia y tiempo que demora un móvil, debemos suponer que la velocidad es contante. Es decir, en algunos casos no podemos asumir proporcionalidad a •1,187 menos que fijemos ciertas condiciones al problema, las que deben quedar bien explicitadas en la solución del problema.

“Dos variables son proporcionales si al aumentar (o disminuir) una variable cierta cantidad de veces, la otra variable también aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces” En la situación 1, cuando el número de ladrillos (x) aumenta al doble, al triple, cuatro veces, etc., el peso (y) también aumenta la misma cantidad de veces, lo que implica que ambas variables son proporcionales Situación 1

•2 •3 •4 •5

x Nº de ladrillos 5 10 15 20 25

y Peso (Kg) 6 12 18 24 30

•2 •3 •4 •5

En la situación 2, en cambio, se observa que cuando el Consumo (x) aumenta al doble el Monto Factura (y) aumenta, pero no al doble, sino con un factor de 1,187. Situación 2 x Consumo (KWH) 2 •2 4 6 8 10

y Monto Factura ($) 726 •1,187 862 998 1134 1276

Las variables Consumo y Monto de la Factura no son proporcionales

45

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN . Para resumir:

 

 Si dos variables aumentan (o disminuyen) a la vez, no necesariamente son proporcionales.


 Pero, si dos variables son proporcionales, entonces necesariamente ambas aumentarán (o disminuirán) a la vez.

Ejercicios resueltos 1. Una fábrica produce láminas de acero. Para probar la resistencia del material se someten a torsión y se mide el tiempo que demora en producirse una fractura en la lámina. Las pruebas arrojaron los siguientes resultados: Espesor (mm) 5 7,5 10 4 12

Tiempo Fractura (seg.) 3,2 4,8 6,4 2,56 9,6

¿Existe proporcionalidad entre el espesor y el tiempo de fractura de la lámina? Solución: Basta determinar los factores con los cuales la variable x aumenta o disminuye y determinar si son los mismos factores para la variable y. Calculamos los factores dividiendo, los valores de x por 5 y los de y por 3. Los factores para la variable x son: 7, 5  1, 5 5

10 2 5

4  0, 8 5

12  2, 4 5

Mientras que para y los factores son:

4, 8  1, 5 3, 2

6, 4 2 3, 2

2, 56  0, 8 3, 2

9, 6 3 3, 2

46


 

En el último para de valores se observa que las variables varían de forma distinta, mientras el espesor aumenta 2,4 veces, el tiempo de fractura aumenta 3 veces. x Espesor (mm) 5 •1,5 7,5 •2 •0,8 10 •2,4 4 12


y Tiempo (seg) 3,2 4,8 6,4 2,56 9,6

•1,5 •2 •0,8 •3

Por tanto no existe proporcionalidad entre el espesor de la lámina y el tiempo de fractura, para este caso. 2. Si las variables x e y son proporcionales, complete la siguiente tabla: 4 6

x y

12

1 78

1,08

Solución: Si calculamos el factor por el cual varía una de las variables, bastará multiplicar la otra variable por el mismo factor. ∙3

4

x y

12

Porque 12:4  3

Vemos que x aumenta 3 veces, basta multiplicar 6 por 3. ∙3

4 6

x y

12 18 ∙3

Para determinar el siguiente resultado, obtendremos la variación de y ∙3

x y

4 6

12 18 ∙3

52 78

47




48

Y así sucesivamente… ∙ 0,25



4 6

x y


12 18

52 78

∙ 0,75

1 1,5

0,72 1,08 ∙ 0,75

∙ 0,25

Ejercicios propuestos 1. Determina en cuales de las siguientes situaciones las variables son proporcionales: Situación 1 Nº de clientes

Situación 2

Tiempo de atención (min.) 30 40 48

6 12 18

Situación 3

Tiempo Temperatura (seg.) de una placa (Cº) 5 8º 10 16º 15 24º

Consumo de agua Mt3 1 2 3

Costo ($) $2500 $3000 $4500

2. Si A y B son magnitudes directamente proporcionales, ¿cuáles son los

valores de x e y? A 10 x 30

B 50 100 y

3. Si las variables x e y son proporcionales complete la siguiente tabla: x y

6 9

12

72 54

2,25

4. Determine cuáles de las siguientes variables pueden ser proporcionales, especifique todos los supuestos que utilizó. a) Consumo de bencina y rendimiento del vehículo. b) Horas de trabajo diarias y número de piezas fabricadas. c) Número de obreros y tiempo en ejecutar una obra. d) Perímetro de un cuadrado y su lado. e) Consumo de electricidad y monto de la boleta.


   PROPORCIONALIDAD 

f ) Número de personas y tiempo que demora un cajero en atenderlos. g) Número de tornillos y peso de la caja que los contiene. h ) Radio y área de una cuadrado. i) Número de artículos y precio. La relación de proporcionalidad Podemos describir la proporcionalidad de las siguientes formas: 1.

Una proporción es una igualdad de dos razones: a c  b d

2.

Dos variables son proporcionales si al aumentar (o disminuir) una variable cierta cantidad de veces, la otra variable también aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces (por el mismo multiplicador).

3. Dos variables son proporcionales si su cociente es constante: y k x

,k 0

Necesitamos ampliar el estudio de la proporcionalidad para reconocerla como un tipo particular de relación entre dos variables, que se expresa por medio de una ecuación lineal. Problema 12: Un alambre de cobre de 12 metros de largo tiene una resistencia de 75 ohms. Suponiendo que la longitud del alambre es proporcional a su resistencia, determine la resistencia de los siguientes trozos de alambre: Longitud (mt) Resistencia (  )

12 75

18

5

32

9

2,4

0,8

52

Solución: Desde una perspectiva puramente aritmética, bastaría plantear las proporciones y encontrar cada uno de los valores desconocidos. La primera proporción sería

49


50

12 75 18  75  x  112, 5 18 x 12

  PROPORCIONALIDAD

Longitud (mt) Resistencia (  )

12 75

18 112,5

5

32

9

2,4

0,8

52

Proceso que continua, resolviendo las otras seis proporciones involucradas. Sin embargo, detengámonos a juzgar la eficiencia de este método, ¿será posible resolverlo en menos pasos? Primero, convengamos en que existe una relación entre las variables, la resistencia depende de la longitud del alambre, ¿habrá una fórmula o ecuación que permita relacionarlas? Llamemos y a la variable dependiente y x a la variable independiente, esto es: x: longitud del alambre y: resistencia Sabemos que al ser proporcionales existe una constante k  0 , tal que y k x A partir de esta expresión es posible escribir la ecuación que describe la relación entre dos variables proporcionales y  kx

En el problema planteado, la contante de proporcionalidad es k

y 75   6, 25 x 12

Por tanto, la ecuación que establece la relación de proporcionalidad entre la longitud del alambre y su resistencia es y  6, 25x

Luego, para obtener la resistencia para cada longitud bastaría reemplazar en la ecuación por cada valor de x, esto es



51

y  6, 25 18  112, 5 y  6, 25  5  31, 25 y  6, 25  32  200 y  6, 25  9  56, 25 y  6, 25  2, 4  15 y  6, 25  0, 8  5 y  6, 25  52  325

Longitud (mt) 12 18 5 32 9 2,4 0,8 52 Resistencia (  ) 75 112,5 31,25 200 56,25 15 5 325

•6,25

Definición: Dos variables x e y son proporcionales si existe una constante k  0 , tal que y  kx

Ejercicios Resueltos 1. Las nueve máquinas de una fábrica funcionan igual, completa la siguiente tabla de acuerdo al tiempo que funcionó cada una: Máquina Tiempo (min) Nº de tornillos

A 60 450

B 70

C 100

D 40

E 120

F 36

G 80

H 90

I 210

Solución: Cómo las máquinas funcionan igual, el Nº de tornillos (y) será proporcional al tiempo (x). La constante de proporcionalidad es k

y 450   7, 5 x 60

La ecuación que relaciona las variables es y  7, 5x

Basta multiplicar los valores de x por 7,5 Máquina Tiempo (min) Nº de tornillos

A B C D E F G H I 60 70 100 40 120 36 80 90 210 •7,5 450 525 750 300 900 270 600 675 1575



2. Si un computador procesa 5 registros en 20 segundos, si el computador funciona a velocidad constante ¿Cuántos registros procesa en 1 minuto?, ¿en 1/2 hora?, ¿cuánto tiempo debe funcionar si se requiere procesar 200 registros? y ¿1500 registros? Solución: Dado que el computador funciona a velocidad constante, se asume que el número de registros (y) es proporcional al tiempo (x). La constante de proporcionalidad es k

y 5   0, 25 x 20

Por tanto la ecuación es y  0, 25x Al colocar los valores en una tabla, bastará multiplicar los valores de x por 0,25 para obtener sus respectivos valores de y. A la inversa, para obtener los valores de x hay que dividir los valores de y por 0,25 • 0,25

x Tiempo (seg) 20 60 1800 800 6000

y Nº de registros 5 15 450 200 1500

: 0,25

52




Ejercicios Propuestos



1. La siguiente llave debe fabricarse modificando las medidas pero manteniendo la forma, de modo que la parte que mide 665 ahora mida 133 milímetros, ¿Cuál es la media del resto de las dimensiones de la pieza?

PROPORCIONALIDAD

2. Suponiendo que las variables asociadas a las siguientes situaciones son proporcionales, encuentra la constante de proporcionalidad y determina las ecuaciones de proporcionalidad y  k  x involucradas en cada caso: a) En una semana 3 mecánicos pueden reparar 8 vehículos, ¿cuál es la ecuación que permite calcular el número de mecánicos (y) necesarios para reparar x vehículos? Úsala para calcular el número aproximado de mecánicos que se necesitan para reparar 20 vehículos en una semana. b) Se necesitan 60 horas hombre para pintar 220 mt2 de pared, ¿Cuál es la ecuación que permite determinar el número de horas hombre (y) necesarias para pintar x mt2 de pared? Usa esta ecuación para calcular las horas hombre que se requieren para pintar un edificio con 2550 mt2 de paredes. c) La capacidad de una pila se expresa por el número máximo de amperios que puede dar en una hora. Se sabe que una pila puede entregar 2,5 amperios cada 4 minutos, ¿Cuál es la ecuación que permite calcular el número amperios (y) que da una pila en x minutos? Usa esta ecuación para determinar los amperios que entrega una pila al cabo de media hora.

53



54

3. Si X e Y son proporcionales completa las siguientes tablas:

X 2 5 7 13

Y

X 585

9

Y 12 45 18 60

X 15 18

Y 21 30 2

4. Si $48 argentinos equivalen a $5.418 pesos chilenos a) Transforme $100, $1500, $10.050 pesos argentinos a su equivalente valor de pesos chilenos. b) Determine a cuantos pesos argentinos equivale a $100, $12.000 y $1.000.000 chilenos. Proporcionalidad inversa Hasta aquí hemos hablado de proporcionalidad, para referirnos a la proporcionalidad directa, ahora revisaremos la noción de proporcionalidad inversa. Intuitivamente, dos cantidades a y b son inversamente proporcionales, cuando haciéndose mayor o menor la primera cantidad, la segunda se hace menor o mayor el mismo número de veces. Esto implica que cuando una variable es multiplicada por m, la otra variable 1 es multiplicada por su inverso . m Ejemplo: Supongamos que todas las máquinas de un fábrica funcionan igual. La siguiente tabla muestra la relación entre el número de máquinas y el tiempo que demoran en terminar un trabajo, dos cantidades inversamente proporcionales x Nº de máquinas 6 •2 12 •3 18 •1/2 3 •1/3 2

y Tiempo (horas) 24 12 •1/2 8 •1/3 48 •2 72 •3



Al igual que en la proporcionalidad directa, el hecho que una variable aumente cuando la otra disminuye no suficiente para establecer que son inversamente proporcionales, se requiere de otra condición. Matemáticamente, decir que la variable y es inversamente proporcional a x es equivalente a afirmar que y es proporcional al inverso (multiplicativo) de x, esto es que y es inversamente proporcional a x  y es proporcional 1 (directa) a x 1 Por definición y es proporcional a si existe una constante k  0 tal que x yk

1 x

o

y

k x

Definición: La variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe k  0 tal que Algunas veces se comete el error de hablar de proporcionalidad indirecta. El concepto correcto es proporcionalidad inversa, por ser la proporcionalidad entre una variable y el inverso multiplicativo de la otra.

y

k x

Nótese que en el caso de la proporcionalidad inversa la constante se determina multiplicando los valores de ambas variables k  x y

Lo que a su vez permite establecer un criterio por identificar cuando dos variables son inversamente proporcionales. Una vez que se determina la constante de proporcionalidad los valores de y se obtienen multiplicando por los inversos de x o lo que es lo mismo dividiendo la constante por los valores de x. Problema 13: Se sabe que a un voltaje constante la intensidad en un circuito es inversamente proporcional a la resistencia. Mostrar que los valores de la tabla cumplen la condición de proporcionalidad inversa y determinar la intensidad para las resistencias dadas: x Resistencia (Ohms) 10 9 12 15 6 24

y Intensidad (Amperes) 3,6 4 3

55



Solución: Dado que el producto de los 3 pares de valores dados es siempre constante concluimos que las variables son inversamente proporcionales y que la constante de proporcionalidad es 36 k  x  y  10  3, 6  9  4  12  3  36

Por tanto la relación inversamente proporcional entre intensidad y resistencia queda determinada por la ecuación y

36 x

Reemplazamos los valores de x en esta ecuación obtenemos las intensidades buscadas

36  2, 4 15 36 y 6 6 36 y  1, 5 24 y

x Resistencia (Ohms) 10 9 12 15 6 24

y Intensidad (Amperes) 3,6 4 3 2,4 6 1,5

Ejercicios resueltos 1. Dos técnicos tardan 9 horas en configurar un sistema computacional. Si les ayudara un tercer técnico ¿cuánto tiempo tardarían en configurar el mismo sistema computacional, suponiendo que los tres trabajan al mismo ritmo? Solución: Al trabajar todos al mismo ritmo podemos asegurar que el tiempo es inversamente proporcional a la cantidad de técnicos x Nº técnicos 2 3

y Tiempo (hrs) 9

56




La constante de proporcionalidad se determina multiplicando k  x  y  2  9  18

 PROPORCIONALIDAD

La ecuación que describe la relación inversamente proporcional entre estas variables es y

18 x

Por tanto para x  3 técnicos se tiene y 

x 18   6 horas. 3 3

Ejercicios propuestos 1. Un grifo que entrega 0,6lt de agua por seg., llena un estanque en 21 h. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que da 0,9lt por seg.? 2. Para hacer un alumbrado en un condominio industrial se necesitan 388 postes a 1,50m de distancia. ¿Cuántos postes se ocupan si se ponen a 2m uno del otro? 3. Muestre que para mantener el área constante de un rectángulo el ancho debe ser inversamente proporcional al largo del rectángulo. 4. Una dactilógrafa escribe a máquina una página de 54 líneas a doble espacio. ¿Cuántas líneas escribirá en la misma página a triple espacio? 5. Nueve trabajadores podían terminar una obra en 10 días; el trabajo ha durado 18 días. ¿Cuántos trabajadores faltaban? 6. El piso de una pieza se compone de 20 tablas de 5 pulgadas de ancho. Al renovarlo se colocaron tablas de 2 pulgadas. ¿Cuántas tablas se colocaron? 7. Un automovilista demora en ir a su trabajo 40 minutos cuando viaja a 50 Km./hr. Un día cualquiera se atrasa y calcula que debe llegar a su trabajo en solo 30 minutos. ¿A qué velocidad debe viajar para llegar a tiempo? 8 Siete personas consumen una determinada provisión en 2 días. ¿Cuánto tiempo tardarán 10 personas en consumir la misma provisión?

57




Proporcionalidad compuesta



Problema 14: Una máquina funcionando 6 horas diarias produce 90 artículos en 60 días, ¿en cuántos días se producirán 192 artículos, si trabajan 12 máquinas durante 8 horas diarias?


Solución: Análisis de las variaciones proporcionales: Se debe establecer el tipo de proporcionalidad entre la variable incógnita D y cada una de las otras variables. -

-

Si M aumenta (por ejemplo al doble), ¿Qué pasa con D? ¿aumenta (al doble) o disminuye proporcionalmente (a la mitad)? Suponga a la vez que las otras variables son constantes, esto es que el número de horas diarias H y el número de artículos A son fijos.

En este caso, manteniendo constante H y A, un aumento en M genera una disminución inversamente proporcional en D. Se repite el mismo tipo de análisis para el resto de las variables.

En este problema intervienen más de dos variables. Ordenemos la información en la siguiente tabla: M Nº de máquinas 1 12

H Hrs/diarias 6 8

D Nº de días 60

A Nº de artículos 90 192

La variable incógnita es D, ¿será directa o inversamente proporcional con cada una de las otras variables? Al comparar D con otra de las variables, supondremos que en ese instante el resto de las variables no varía. D es inversamente proporcional con M D es inversamente proporcional con H D es directamente proporcional con A Recordemos que cuando una variable es directamente proporcional multiplica a la constante y cuando es inversamente proporcional la divide. Esto permite escribir una ecuación en la que D dependa de una constante que será multiplicada por las variables directamente proporcionales (A) y dividida por las variables inversamente proporcionales (M y H), esto es D

kA M H

Para encontrar la constante reemplazaremos por los valores de la primera fila de la tabla 60 

k  90 k 4 1 6

La ecuación queda completamente determinada D 

4 A M H

58




Basta reemplazar por los valores de la segunda fila de la tabla para encontrar el término desconocido



D

4 192 8 12  8


En 8 días producirán 192 artículos, con 12 máquinas funcionando 8 horas diarias. Este es un caso de proporcionalidad compuesta. Definición: Si la variable y es directamente proporcional a las variables x1 , x2 ,..., xn e inversamente proporcional a las variables z1 , z2 ,..., zm , entonces existe k  0 tal que y

k  x1x2  xn z1 z2  zm

Ejercicios resueltos 1. Cuatro operarios en 10 días producen 320 piezas de un cierto producto. ¿Cuántas piezas de este mismo producto serán producidas por 10 operarios en 16 días? Solución: N Nº de operarios 4 10

D Nº de días 10 16

P Nº de piezas 320

P es directamente proporcional con N P es directamente proporcional con D Por tanto la ecuación de proporcionalidad compuesta es

P  kND El valor de k se determina reemplazando por los valores de la primera fila 320  k  4 10  k  0,125

59


 

La ecuación es

P  0,125  ND

Reemplazando por el resto de los valores tenemos que


P  0,125 10 16  20

2. Veinte obreros pintan una muralla de 60 mt2 en 18 minutos. ¿Cuántos obreros se necesitan para pintar 36 mt2 en 12 minutos? Solución: N Nº de obreros 20

S Superficie 60 36

M Nº de minutos 18 12

N es directamente proporcional con S N es inversamente proporcional con M La ecuación de proporcionalidad compuesta es N

El valor de k se es 20 

kS M

k  60 k 6 18

La ecuación queda expresada por N

6S M

Al reemplazar por los valores de la segunda fila se tiene M

6  36  18 12

60




Ejercicios propuestos



1. Para fabricar 15 artículos 5 obreros se demoran 30 minutos. ¿Cuánto tiempo tardarán 3 hombres para fabricar 36 artículos?


2. En una industria textil se requiere trabajar con gran cantidad de agua destilada, para tal efecto se dispone de un depósito de 12m de profundidad el que es llenado en 8 días a razón de 50 lt por segundo. Si el agua que debiera ocuparse cayera a razón de 65 lt por segundo y el depósito fuera de sólo 8m de profundidad. ¿Cuántos días tardaría en llenarse? 3. Un control de calidad estipula que un líquido en envase de transporte convencional debe ser inversamente al volumen V que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. ¿A qué presión se deben someter 100 m 3 de gas de helio a 1 atmósfera de presión y 253° absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 m 3 a una temperatura de 313° absolutos? 4. Seis hombres trabajando durante 9 días, a razón de 8 horas diarias han hecho los 3/8 de un trabajo. Si se refuerzan con 4 hombres, y los obreros trabajan 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán el trabajo? 5. Expresar mediante una ecuación en la que intervenga una constante de proporcionalidad K los enunciados siguientes: a) La longitud de una circunferencia es directamente proporcional a su diámetro. b) El período T de la oscilación de un péndulo simple en un lugar determinado es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. c) La fuerza de atracción F entre dos masa m 1 y m 2 es directamente proporcional al producto de ambas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre ellas.

61



La representación gráfica de una relación proporcional Dos variables proporcionales se relacionan a través de una ecuación lineal de la forma y  kx , cuya gráfica es siempre una línea recta que pasa por el origen:

Esto implica que en una relación de proporcionalidad, cuando x vale cero y también valdrá cero, en efecto si y  kx , cuando x = 0 se tiene y  k 0  0

Esto permite diferenciar rápidamente situaciones proporcionales de otras que no lo son. Por ejemplo, en las siguientes situaciones Situación 1 Nº de ladrillos 0 5 10 15 20 25

Peso (Kg) 0 6 12 18 24 30

Situación 2 Consumo (KWH) 0 2 4 6 8 10

Monto Factura ($) 590 726 862 998 1134 1276

Se puede determinar inmediatamente que entre el consumo de electricidad y el monto de la factura no puede existir una relación de proporcionalidad, ya que a 0 KWH le corresponde un monto distinto de 0.

62



Mientras que entre el número de ladrillos y su peso, para la cual ya se había probado su proporcionalidad, se tiene que a 0 ladrillos, obviamente le corresponde 0 kg. de peso. Al graficar ambas ecuaciones se observa su diferencia, la de proporcionalidad pasa por el origen y la de no proporcionalidad no.

Ejercicios Resueltos 1. El siguiente gráfico representa las toneladas de residuos sólidos por persona en Punta Arenas.

a) ¿Son variables proporcionales? Justificar. b) ¿Cuál es la cantidad de residuos sólidos generados por 450 personas?

63


Solución:


a) Bastaría con identificar que la gráfica de la relación entre estas dos variables es una recta que pasa por el origen para afirmar que son proporcionales, pero agregaremos el análisis de la constante de proporcionalidad para corroborar esta afirmación. Recogiendo algunos de valores de la gráfica se tiene Nº de personas 1 2 3 4

Residuos sólidos 0,5 1 1,5 2

Efectivamente, existe la constante de proporcionalidad k

0,5 1 1,5 2     0,5 1 2 3 4

b) Dado que las variables son proporcionales, se relacionan a través de la ecuación y  0,5x . Por tanto, cuando x  450 se tiene y  0,5  450  225

Para 450 personas los residuos sólidos son 225. Ejercicios Propuestos Grafique las siguientes relaciones y determine en cuál de ellas hay proporcionalidad: 1.

Tiempo (meses) Precio del artículo

2.

Lado del cuadrado Área

3.

Nº de clientes Nº de reclamos

0 2 4 6 8 $30 $24 $20 $18 $17 0 0 0 0

10 2

1 1 20 4

2 4 30 6

3 9 40 8

4 16

64


  PORCENTAJE

Porcentajes y proporcionalidad La noción de porcentaje tiene relación a la necesidad de comparar cantidades de manera relativa, se utiliza el 100 como referencia para comparar una cantidad respecto de su total. El cálculo de porcentajes implica el planteamiento de la proporción C p  T 100

En donde una cantidad C es a su total T como el p% es a 100%. Dado dos términos el cálculo del término desconocido de esta proporción puede corresponder a los siguientes casos: 1. Hallar el tanto por ciento de un número dado (C) 2. Hallar un número conociendo el tanto por ciento de él (T) 3. Hallar el tanto por ciento que representa un número de otro dado (p) Ejercicios resueltos 1. Hallar el tanto por ciento de un número Hallar el 18% de 96. Solución: Sabemos que el 100% de 96 es 96 y al 18% de 96 le designaremos por "x" formando la siguiente proporción: 96 100% = 18% x



x=

96  18 = 17,28 100

Luego, el 18% de 96 es 17,28 2. Hallar un número conociendo un tanto por ciento de él ¿De qué número es 36 el 18%? Solución: Si 36 es el 18% del número buscado, el 100% será un número desconocido "x", con lo que formamos la siguiente proporción;

65



18% 36 = 100% x



x=

36  100 = 200 18

Luego, el número buscado es 200. 3. Qué tanto por ciento es un número de otro dado ¿Qué tanto por ciento es 9 de 36? Solución: Tenemos que 36 es el 100%, luego 9 será el x% de 36, formándose la siguiente proporción: 36 100% = x% 9



x=

9  100% = 25% 36

Luego, 9 es el 25% de 36

Ejercicios propuestos 1. Calcular los siguientes porcentajes: a) 8% de 250

b) 15% de 462 c) 25% de 9,6 1 d) 2,3% de 48,72 e) 33 % de 1236 f) 0,75% de 24 3 2. El metal blanco se compone de 3,7% de cobre, 88,8% de estaño y 7,5% de antimonio. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en 465 kg.? 3. El fabricante de cierta marca de automóviles calcula sus costos como sigue: materiales, 38,5%; mano de obra 41,25%; gastos generales 6,5% y ganancia 13,75%. Hallar el costo de cada una de estas partidas en un automóvil que se vende a U$ 8.500. 4. De qué número es: a) 3 el 75%?

b) 22,4 el 75%?

d) 35 el 5%?

e) 60 el 90%?

2 el 25%? 3 f) 76 el 10%

c)

5. El rendimiento de un motor es del 90%, esto es, la cantidad de energía entregada es el 90% de la que recibe. Suponiendo que el motor produzca 8 Hp. ¿Cuál es la cantidad de energía que recibe?

66



6. Un comerciante vende un artículo en $3.600, perdiendo un 10%. ¿Cuánto le costó el artículo? 7. Cierto mineral rinde el 5% de hierro. ¿Cuántas toneladas de mineral se necesitan para producir 2,5 toneladas de hierro? 8. ¿Qué tanto por ciento de: a) 8 es 7?

b) 7,2 es 18,5?

d) 860 es 129?

e) 30 es 6?

c) es 3,25 de 5,5? f) es 0,64 de 512?

9. Un motor que recibe 8 Hp entrega 6,8 Hp. ¿Qué tanto por ciento de la energía recibida es la energía entregada? 10. Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5 kg. de plomo y 83,5 kg. de estaño. ¿Qué % de cada metal se utilizó? 11. Un trabajo realizado en un taller mecánico exigió 42 h. de torno; 7,5 h en 1 la fresadora y 11 h en la cepilladora. ¿Qué % del tiempo deberá cargarse a 4 cada máquina?

Porcentajes, decimales y fracciones Problema 15: En una ciudad de 120.000 habitantes el 65% trabaja, de este grupo el 80% son hombres, de ellos el 20% gana el sueldo mínimo, de los cuales el 5% a cambiado de trabajo en el último año. ¿A cuántas personas corresponden? Solución: Si ocupamos la noción de porcentaje asociada al cálculo de proporciones nos veremos en la necesidad de plantear y resolver 4 proporciones para resolver este problema, ¿habrá alguna forma más rápida de llegar al resultado? Veremos la solución luego de analizar cómo podemos hacer evolucionar el cálculo de porcentajes desde la proporción hacia el uso de decimales o fracciones. Partamos planteando la proporción involucrada en la pregunta ¿Cuál es el p% de T? De la proporción

C p p se tiene que C   T T 100 100

67




Es decir, cualquier cálculo de la cantidad en un porcentaje se obtiene multiplicando el total por la fracción p/100. Veamos algunos ejemplos:



El 25% de 120 es:

PORCENTAJE

25 120 100

1 120 4

ó

0, 25 120

ó

0, 08  40

ó

2  40 25

1, 5  0, 5

ó

3  0, 5 2

ó

El 8% de 40 es: 8  40 100

El 130% de 0,5 es: 150  0, 5 100

ó

Como podemos ver en el cálculo de porcentajes está involucrado un multiplicador, que puede tener una expresión decimal o fracción. Veamos ahora lo útil y eficiente que resulta ocupar el multiplicador decimal para resolver el problema 9. El problema se puede resumir al cálculo del 5% del 20% del 80% del 65% de 120.000, que escrito como fracción sería 5 20 80 65    120000 100 100 100 100

Mejor aún, ocupemos la expresión decimal 0, 05  0, 20  0, 80  0, 65 120000  624

Basta multiplicar para obtener el resultado. Esta técnica suele ser, en muchos casos, más rápida de ejecutar que la del cálculo de porcentajes a través de proporciones.

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Ejercicios resueltos 1. El control de calidad de un determinado producto registra cada día el aumento o disminución porcentual de artículos defectuosos, respecto del día anterior. Las siguientes fueron las variaciones porcentuales diarias: Martes: aumentó un 3% Miércoles: disminuyó un 5% Jueves: aumentó un 12% Viernes: disminuyó un 20% Sábado: aumentó un 2,5% Si el día lunes había 1800 artículos defectuosos, ¿cuántos artículos aproximadamente, hay defectuosos el día sábado? Solución: Lo primero es determinar que tantos porcientos están involucrados en los aumentos de y diminuciones señaladas. Un aumento del 3% implica calcular el 100% + 3% = 103% (1,03) Una disminución del 5% implica calcular el 100% – 5% = 95% (0,95) Un aumento del 12% implica calcular el 100% + 12% = 112% (1,12) Una disminución del 20% implica calcular el 100% – 20% = 80% (0,80) Un aumento del 2,5% implica calcular el 100% + 2,5% = 102,5% (1,025) Por tanto el día sábado habrá

1, 025  0, 80 1,12  0, 95 1, 03 180  161, 7 Aproximadamente 162 artículos defectuosos. 2. Si una pieza de caucho se estira un 20%, al soltarla disminuye un 20% respecto de su medida anterior, ¿hubo alguna variación en la longitud de la pieza? ¿Se mantuvo igual? ¿Aumentó? ¿Disminuyó? ¿En qué porcentaje? Solución: Como no conocemos la longitud de la pieza de caucho, la consideraremos un variable L. La pieza aumenta un 20% implica calcular el 120% de L. La pieza disminuye un 20% implica calcular el 80% de lo anterior Es decir, queremos determinar el 80% del 120% de L, esto es

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70

0, 80 1, 20  L

Obviamente no podemos calcular la medida final de la pieza sin conocer el valor particular que asumiría L. Pero no necesitamos esa información, lo que queremos es saber en qué porcentaje varió la pieza. Bastará calcular el producto de los decimales y el resultado interpretarlo como el porcentaje acumulado 0, 80 1, 20  L  0, 96  L

Queda el 96% de la longitud inicial del caucho. Es decir al aumentar el 20% y disminuir el 20% la medida de la pieza no se mantuvo igual, varió, específicamente disminuyó un 4% respecto de su valor original.

Ejercicios propuestos 1. Calcule los siguientes porcentajes: a) El 20% del 2% del 200% de 2000 b) El 0,12% del 1,2% del 12% del 120% de 1200 c) El 50% del 50% del 50% ….del 50% (10 veces) de 1000000 2. Calcular el 30% del 30% de una cantidad ¿es lo mismo que calcular el 60% de ella? Si no es lo mismo, ¿qué porcentaje es el 30% del 30% de algo? 3. La intensidad de una señal de radio se va reduciendo cada kilómetro en un 5%. ¿Qué porcentaje de la señal queda al cabo de 3 km?, ¿de 10 km?, ¿de 20 km? 4. El número de usuarios que se conectan a un servidor varía cada día respecto del anterior de acuerdo a la siguiente tabla: Lunes +4%

Martes -6%

Miércoles +18%

Jueves -12%

Viernes +0,5%

Sábado x%

a) ¿Qué porcentaje debió variar el día sábado para que el porcentaje de variación acumulado sea de 12,2%? b) Si al comienzo de la semana empezó con 12.486 usuarios conectados, ¿cuánto debería variar el día sábado para que termine la semana con 9.554 usuarios? d 5. La velocidad de un móvil está dada por la fórmula v  , ¿Qué porcentaje t varía la velocidad si la distancia aumenta un 30% y el tiempo disminuye un 30%?


 

6. La ley de Newton dice que F  m  a , ¿qué tanto por ciento varía la fuerza F cuando la masa disminuye un 50% y la aceleración aumenta un 20%?

PORCENTAJE

Planteamiento de ecuaciones. En lo que sigue, intentaremos dar una idea de lo que es plantear una ecuación. El detalle se verá más adelante en la Unidad de Algebra. Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido. El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. En este tema trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita. Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes propiedades:  Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión.  Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de cero. Poder abstraer un enunciado o situación física real y transcribirla a ecuaciones, con las cuales podemos resolver algún problema, lo llamamos PLANTEAR el problema, una vez realizado esto, el problema se convierte en utilizar alguno de los métodos que existan para resolver la(s) ecuación(es). Sin pretender dar una regla general para resolver problemas, trataremos de dar algunas sugerencias. 1. Lee bien el problema, busca entender lo que te preguntan y la información que te dan. 2. Con la información que da el problema, elige las variables que usarás, es conveniente que anotes lo que es cada una de ellas.

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 

3. Relee el problema traduciendo cada información que da el problema en ecuaciones, es importante que notes las posibles relaciones que tenga una información con alguna otra.

ECUACIONES

4. Busca resolver el ejercicio. Ejemplo 1: Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número? Solución. Comencemos con la identificación de datos. 𝑥 = número pedido. 𝑥 ∙ 5 =número multiplicado por 5. 𝑥 ∙ 6 =número multiplicado por 6. Planteando la ecuación

𝑥 ∙ 5 + 𝑥 ∙ 6 = 55 11𝑥 = 55 𝑥=5

Por lo tanto, el número es 5. Comprobación: 5 ∙ 5 + 5 ∙ 6 = 25 + 30 = 55, que es lo pedido. Ejemplo 2: Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números? Solución: Comencemos con la identificación de datos. 𝑥 = primer número 𝑥 + 2 =sucesor impar del número anterior. (𝑥 + 2) + 2 = 𝑥 + 4 = sucesor impar del número anterior. Planteando la ecuación

𝑥 + (𝑥 + 2) + (𝑥 + 4) = 81 3𝑥 + 6 = 81 3𝑥 = 75 𝑥 = 25

Así, los números son 25, 27 y 29. Comprobación: 25 + 27 + 29 = 81, que es lo pedido. Ejemplo 3: El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número.

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  ECUACIONES

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Solución: Comencemos con la identificación de datos. 𝑥 = numero pedido. 2 ∙ 𝑥 =doble del número. 3 ∙ (𝑥 + 1) = triple del sucesor del número. 2 ∙ ((𝑥 + 1) + 1) = 2 ∙ (𝑥 + 2) =doble del sucesor “de éste” (la palabra “de éste” hace referencia a la expresión anterior, por lo tanto, como lo anterior que se dijo fue el sucesor, debemos colocar el sucesor del sucesor). Planteando la ecuación 2 ∙ 𝑥 + 3 ∙ (𝑥 + 1) + 2 ∙ (𝑥 + 2) = 147 2𝑥 + 3𝑥 + 3 + 2𝑥 + 4 = 147 7𝑥 + 7 = 147 7𝑥 = 140 𝑥 = 20 Comprobación: 2 ∙ 20 + 3 ∙ (21) + 2 ∙ (22) = 40 + 63 + 44 = 147

Ejemplo 4: Hallar dos números consecutivos tales que los equivalgan al menor disminuido en 4.

4 5

del mayor

Solución: Comencemos con la identificación de datos. 𝑥 = numero pedido. 𝑥 + 1 =el sucesor del numero. 4 4 ∙ (𝑥 + 1) = son los 5 del mayor. 5 𝑥 − 4 = menor disminuido en 4. Planteamos la ecuación

4 (𝑥 + 1) = 𝑥 − 4 5 4 ∙ (𝑥 + 1) = 5 ∙ (𝑥 − 4) 4𝑥 + 4 = 5𝑥 − 20 4 + 20 = 5𝑥 − 4𝑥 24 = 𝑥

Así, los números son 24 y 25. 4 Comprobación: 5 ∙ 25 = 20 = 24 − 4, Por lo satisface la ecuación. Ejemplo 5: Luis le pregunto a su primo Juan qué edad tiene, y este le responde lo siguiente: “si al triple de los años que tendré dentro de 3 años, le restas el triple de los años que tenía hace 3 años, obtienes mi edad actual”. ¿Qué edad tiene Juan?



Solución: Comencemos con la identificación de datos. 𝐽 = edad de Juan. 3 ∙ (𝐽 + 3) = triple de la edad que tendrá en 3 años. 3 ∙ (𝐽 − 3) = triple de la edad que tenía hace 3 años. Planteamos la ecuación

3 ∙ (𝐽 + 3) − 3 ∙ (𝐽 − 3) = 𝐽 3𝐽 + 9 − 3𝐽 + 9 = 𝐽 18 = 𝐽

Con esto, la edad de Juan son 18 años. Comprobación: 3 ∙ 21 − 3 ∙ 15 = 63 − 45 = 18, Por lo satisface la ecuación. Ejemplo 6: Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de $600 el litro y la segunda de $720 el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a $700 el litro? Solución. Comencemos con la identificación de datos. 𝑥 = numero de litros usado con el valor de $600 60 − 𝑥 = numero de litros usado con el valor de $720. 𝑥 ∙ 600 = valor de los litros usados del primer tipo. (60 − 𝑥) ∙ 720 = valor de los litros usados del segundo tipo. Planteamos la ecuación 𝑥 ∙ 600 + (60 − 𝑥) ∙ 720 = 60 ∙ 700 𝑥 ∙ 600 + 43200 − 𝑥 ∙ 720 = 42000 −120𝑥 = −1200 𝑥 = 10 Se utilizan 10 litros del primero y 50 litros del segundo. Comprobación: 10 ∙ 600 + 50 ∙ 720 = 6000 + 36000 = 42000 = 60 ∙ 700 Por lo satisface la ecuación. Ejercicios Propuestos. 1.

Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 51.

2. Encontrar el número que sumado con su anterior y con su siguiente dé 114. 3.

Encontrar el número que se triplica al sumarle 26.

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4. La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el número? 5. ¿Qué edad tiene Rosa sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad actual? 6. Tres hermanos se reparten 1300 €. El mayor recibe el doble que el mediano y éste el cuádruplo del menor. ¿Cuánto recibe cada uno? 7. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad, se obtiene la edad de Andrea. ¿Cuál es la edad de Rodrigo si Andrea tiene 24 años? 8. Un padre tiene 47 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea el triple que la del hijo? 9. Dos ciclistas avanzan uno hacia otro por una misma carretera. Sus velocidades son de 20Km/h y 15 Km/h. Si les separan 78 Km ¿Cuánto tardan en encontrarse? 10. Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 60 Km/h. Dos horas más tarde sale en su persecución un auto a 100 Km/h. ¿Cuánto tardaran en encontrarse? 11. En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 12. En un Control de conocimiento, había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien contestada dan tres puntos y por cada fallo restan dos puntos. ¿Cuántas preguntas acertó Elena sabiendo que ha obtenido 30 puntos y que contesto todas? 13. Las dos cifras de un numero de dos dígitos es siete, si se invierte el orden de las cifras se obtiene otro número 9 unidades mayor que el anterior. ¿Qué número es? 14. Cada vez que un jugador gana una partida recibe $7.000, y cada vez que pierde, paga $3.000. Al cabo de 15 partidas ha ganado $55.000. ¿Cuántas partidas gano? 15. En un garaje, hay 110 vehículos entre autos y motos, de manera que sus ruedas suman 360. ¿Cuántas motos y autos hay? 16. Un granjero lleva al mercado una cesta con huevos, de tan mala suerte, este tropieza y se rompen los dos quintos de la mercancía. Entonces vuelve al gallinero y recoge 21 huevos más, con lo que ahora tiene un octavo más que la cantidad inicial. ¿Cuántos huevos tenia inicialmente?

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UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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E

l álgebra es una de las herramientas más potentes que ha creado el ser humano para el desarrollo del pensamiento matemático. En álgebra las letras se utilizan como símbolos, que representan a números que no conocemos o que no queremos especificar. La ventaja del álgebra es que permite escribir de forma concisa y sin ambigüedades expresiones que en lenguaje verbal resultan extensas. El álgebra se inició con el estudio de las ecuaciones, que hasta el siglo XVI se reducía a describir, de forma verbal, los pasos involucrados en la resolución de algunos casos particulares de ecuaciones. La generalización de los métodos de resolución solo fue posible con la incorporación de un invento notable: el álgebra simbólica. El matemático hindú AlKhwarizmi (siglo IX d.C), que escribió el primer tratado de ecuaciones, trabajaba de forma retórica, resolvía la ecuación x2  10 x  39 de la siguiente forma: “Debes tomar la mitad del número de raíces, que en este caso es 5, multiplicarlo por sí mismo, obtienes 25, al que le sumas el número 39, con resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces y obtienes 3, que es el valor buscado”

Con el simbolismo algebraico podemos resumir toda esta información en una fórmula. Así la solución de la ecuación cuadrática del tipo x2  bx  c es 2

b b x    c  2 2

UNIDAD 2

ÁLGEBRA

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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APRENDIZAJE ESPERADO CRITERIOS DE EVALUACIÓN 2.1 Desarrolla operatoria algebraica 2.1.1 Valoriza expresiones algebraicas mediante utilizando estrategias de valorización, operatoria en los números reales, en contextos reducción de términos semejantes, diversos. factorización y simplificación, explicando los pasos aplicados. 2.1.2 Despeja un término literal en función de otros términos presentes en una expresión algebraica.

2.1.3 Reduce expresiones algebraicas mediante propiedades de términos semejantes y eliminación de paréntesis, explicando su estrategia.

2.1.4 Reduce expresiones algebraicas fraccionarias explicando las estrategias simplificación utilizadas.

de

factorización

y

2.2 Resuelve problemas que involucren el 2.2.1 Determina la solución de un problema planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores.

propuesto que involucra una ecuación de primer grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando de acuerdo a la situación e interlocutores.

2.2.2 Determina la solución de un problema propuesto que involucra ecuación de segundo grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando su respuesta de acuerdo a la situación e interlocutores.

2.2.3 Resuelve problemas generales y relativos a la especialidad mediante sistemas de ecuaciones, analizando la pertinencia de la soluciones y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. 2.3 Resuelve problemas que involucren el 2.3.1 Resuelve problemas mediante inecuaciones de planteamiento y resolución de inecuaciones primer grado, expresando la solución de manera y de sistemas de inecuaciones y de sistemas gráfica, analítica y en lenguaje natural. de inecuaciones en forma algebraica y representando la resolución gráficamente, 2.3.2 Resuelve problemas mediante sistemas de explicando su estrategia de resolución y inecuaciones de primer grado, expresando la comunicando sus resultados de acuerdo a solución de manera gráfica y comunicando sus la situación e interlocutores. resultados de acuerdo a la situación e interlocutores.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

   LENGUAJE ALGEBRAICO 

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Introducción Muchas veces el álgebra elemental se visualiza como una materia abstracta, que involucra reglas para manipular expresiones en la que intervienen literales, sin que quede claro el sentido y utilidad que esto tiene. Esta interpretación está provocada por la forma en que se enseña, más que por la naturaleza de esta materia. El estudio del álgebra no puede restringirse al dominio de las reglas de manipulación algebraicas. De la misma forma en que el uso y sentido de las palabras precede al estudio sistemático de la sintaxis del lenguaje natural, el álgebra requiere la comprensión adecuada del lenguaje algebraico antes de adentrarse en las técnicas de manipulación algebraicas. El álgebra elemental estudia determinados objetos a través del lenguaje simbólico, las letras son símbolos que admiten distintos usos y significados. Para que el álgebra elemental sea una herramienta útil para describir y resolver problemas de todo tipo, es necesario seas capaz de expresar simbólicamente relaciones y procesos de carácter general. Es importante señalar que no se puede sostener el estudio de esta materia en abstracto, obviando o postergando la razón de ser del álgebra elemental. El álgebra elemental es una herramienta que permite modelar y resolver problemas de otras áreas de la matemática, o de otros ámbitos en general. Muchos de los problemas que se nos presentan no requieren, ni tampoco se justifica la utilización de álgebra en su solución. Sin embargo, en la medida en que se avanza en el estudio de las matemáticas y sus aplicaciones, los métodos aritméticos ya no son suficientes, la memoria ya no puede procesar toda la información, se requiere un medio para expresarla y trabajar con ella. Se hace necesaria una traducción al lenguaje algebraico, que generaliza, resume y simboliza toda la información y las relaciones contenidas en el problema. Veamos un ejemplo. Problema 1: a) Un corredor se encuentra a 10 metros de la partida y avanza 3 metros por segundo. Un segundo corredor que está a 2 metros de la partida recorre 5 metros cada segundo, ¿cuánto tiempo pasa para que ambos corredores se encuentren?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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b) Supongamos que en el problema anterior el primer corredor se encontraba a 93 metros de la partida y el segundo a 45 metros de la partida, ¿cuánto tiempo pasa para que se encuentren?

Solución: a) Se debe contar las veces que se suma reiteradamente para que las distancias recorridas sean iguales. La forma de registrar el proceso puede ser diverso: con palabras, una tabla de valores, un dibujo, un esquema, etc., y la precisión en el lenguaje puede no afectar en absoluto el resultado. Por ejemplo: Seg. 0 1 2 3 4

Distancia Corredor 1 10 13 16 19 22

Distancia Corredor 2 2 7 12 17 22

Los corredores se encuentran a los 4 segundos b) En el segundo caso la búsqueda por sumas reiteradas aparece como un método ineficiente, se amerita plantear la situación de forma algebraica. x tiempo trascurrido en segundos (incógnita). 93  3x distancia recorrida por el primer corredor. 45  5x distancia recorrida por el segundo corredor. Considerar que ambas distancias son iguales equivale a plantear la ecuación

93  3x  45  5x Aplicando las técnicas para resolver este tipo de ecuaciones se tiene

93  3 x  45  5 x 93  45  5 x  3 x 48  2 x x  24

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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 

Significados de las letras en álgebra

 LENGUAJE ALGEBRAICO 

¿Qué significado puede tener la expresión 3m? De forma natural, muchos estarán inclinados a pensar que podría representar 3 objetos que comienzan con la letra m, por ejemplo 3 metros, 3 manzanas, 3 minutos, etc. Es decir, la letra m es usada como una etiqueta de los objetos involucrados. Sin embargo, este no es el uso que se les quiere dar a las letras en álgebra. En álgebra, 3m representa 3 veces el número de objetos o 3 veces su medida, por ejemplo 3 veces la cantidad de metros, 3 veces el peso de las manzanas o 3 veces la cantidad de minutos. En este caso m actúa como una variable, la letra toma el lugar de los números no especificados.

3m 3 metros Etiqueta

3 veces la cantidad de metros Variable

Significado asociado al álgebra

Traducción al lenguaje algebraico La posibilidad de resolver algunos problemas matemáticos depende de la habilidad para traducir la situación planteada al lenguaje algebraico. Este proceso no es evidente y se cometen varios errores que podemos ir comentando. Consideremos la siguiente situación: En cierta colectividad indígena, donde no se utiliza dinero para comprar, se establecen las siguientes equivalencias de cambios: por 5 gallinas se obtienen 6 conejos. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? El primer error sería usar letras como etiquetas para los objetos 5G significaría “5 gallinas” 6C significaría “6 conejos”

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


81

El siguiente error podría ser forzar una “traducción literal” del enunciado, esto es convertir cada una de las palabras claves del enunciado en un símbolo, conservando el orden en que aparecen. Por ejemplo traducir “por cinco gallinas se obtienen 6 conejos” en

5G  6C Lo adecuado sería considerar las letras como variables, esto es G número de gallinas C número de conejos La expresión correcta surge al plantear la razón entre las variables. En efecto, el enunciado señala que la razón entre número de gallinas y número de conejos es de 5 es a 6, esto es G 5  C 6

Si multiplicamos cruzado se obtiene la expresión algebraica, que es distinta a la que inicialmente se había propuesto.

6G  5C Considera estas observaciones cuando tengas que escribir un enunciado en lenguaje algebraico.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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Tipos de variables Un paso fundamental en la comprensión del álgebra es dejar de considerar a las letras como etiquetas o iniciales de palabras, para interpretarlas como variables. Pero aquí se abre la problemática del abanico de significados que puede adoptar una variable. Problema 2: La siguiente figura muestra las dimensiones de una pieza metálica.

¿Qué representan las siguientes expresiones? ¿Qué función cumplen los literales en cada una de ellas? a) 24  2r b) 24  2r  40 c) 24  2r  P Solución: Ya sabemos que un literal representa a un número, pero ¿a cualquier número?, ¿o solo a algunos números desconocidos? Depende de la situación y de la expresión en que está contenida. La expresión 24  2r representa el perímetro del contorno de la pieza. En este contexto el literal r simboliza la medida de uno de los lados, es un valor desconocido, que no interesa y ni se puede calcular. La variable r es un número generalizado que puede asumir, en este caso, cualquier valor positivo. Por otro lado 24  2r  40 es una ecuación, la letra r actúa ahora como incógnita, un valor desconocido que permite que el perímetro de la figura sea 40, podemos determinar el valor numérico de r resolviendo la ecuación.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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La expresión 24  2r  P también representa el perímetro, pero ahora se utiliza una letra para expresarlo, P depende de r, las variables están el contexto de una relación funcional.


Recuerda entonces que los literales tienen varios usos y aparecen en determinados contextos. Aunque la clasificación de variables no es única podemos describir los siguientes tipos:

Literales

Incógnitas

Ecuación 5a  2  12

Número generalizado

Expresión algebraica 5a  b  12

Variables

Función 5a  12  b

¿Cómo reconocer si un problema se traduce a una ecuación, una expresión o una función? Se requiere de la habilidad para reconocer la presencia de incógnitas, números generalizados y variables en el problema involucrado. La siguiente tabla muestra los aspectos más relevantes de este análisis: Uso de la letra Tipo de expresión Se identifica por

Condiciones

Ejemplos

Incógnita Ecuación La existencia de un valor desconocido que es posible determinar con los datos del problema. La relación de los datos con la incógnita debe permitir plantear una igualdad.

Número generalizado Expresión algebraica La existencia de una cantidad indeterminada que no se puede, ni se quiere especificar.

2x  5  8

2x  5  8

a2  5a  6  0

a2  5a  6

b  a2  5a  6

3M  2  M 3 4

3M  2  M 3 4

F

La relación de los datos con el número generalizado no permite plantear una igualdad.

Variables Función La existencia de dos o más cantidades indeterminadas que son dependientes entre sí. La relación de los datos con las variables permite plantear la igualdad de una variable en término de las otras. 2x  5  y

3M  2  M 3 4

UNIDAD 2: ÁLGEBRA :

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UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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Problemas Resueltos



Identificar en cada uno de los siguientes problemas el tipo de variable involucrada (incógnita, número generalizado o variable) y la expresión que las contiene (ecuación, expresión algebraica o relación funcional):

 LENGUAJE ALGEBRAICO 

1) Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el doble de su largo, pero al ampliarse 1 metro el ancho y 2 metros el largo se necesitaron 48 metros de alambre para cercarlo. ¿Cuáles eran las medidas del terreno inicial? Solución: El ancho del terreno es una cantidad desconocida, cuyo valor se quiere y se puede determinar con los datos del problema, es por tanto una incógnita. x: ancho del terreno (incógnita) Para determinar la ecuación es necesario relacionar los datos para formar expresiones y establecer algún tipo de equivalencia que permita plantear la igualdad de la ecuación. A través del dibujo podemos analizar la relación de los datos con la incógnita:

El perímetro del rectángulo está dado por la expresión 2(2 x  1)  2( x  2)

La igualdad surge del hecho que este perímetro debe ser 48, se plantea entonces la ecuación 2(2 x  1)  2( x  2)  48

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


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2) Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el doble de su largo, luego se amplió 1 metro el ancho y 2 metros el largo. ¿Cuántos metros de alambre se requieren para cercarlo? Solución: En este caso el ancho del terreno es una cantidad que podría asumir cualquier valor positivo, cumple con la definición de número generalizado. x: ancho del terreno (número general) Dado que el ancho del rectángulo es variable, lo que realmente importa en la situación no es determinar un valor específico para la longitud del alambre, sino su expresión general en términos de x .

El alambre cubre el perímetro del rectángulo, por tanto su longitud está dada por la expresión algebraica 2(2 x  1)  2( x  2)

3) Una fábrica produce piezas metálicas rectangulares, cuyo contorno (perímetro) debe ser rodeado por un alambre de 200 mm de longitud. Encuentre la relación entre la altura y la base de las piezas que se pueden construir con esta condición. ¿Cuál es la altura de una pieza de base 64 mm?

h

b

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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Solución:


En el problema, los valores de la altura y la base pueden variar, pero ajustándose a una condición, que permite establecer una dependencia entre ellas. Se trata por tanto de variables y de una relación funcional. Dado que se quiere determinar la altura dado un valor específico de la base, h es la variable dependiente y b la independiente. h: “medida de la altura” (variable dependiente) b: “medida de la base” (variable independiente) La condición es que el alambre, que cubre el perímetro del rectángulo, mida 200 mm., lo que permite establecer una expresión

2h  2b “perímetro de la pieza rectangular” Y la igualdad

2h  2b  200 La función involucrada requiere despejar h en términos de b

2h  2b  200  h  b  100  h  100  b Por tanto la función que relaciona estas variables es

h  100  b Se dice que h está en función de b. Para determinar la altura cuando la base vale 64 basta reemplazar b = 64 y calcular h.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


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Problemas Propuestos 1. Traducir las siguientes situaciones a lenguaje algebraico y señalar si se trata de ecuaciones, expresiones algebraicas o relaciones funcionales y cuál es el uso de los literales que está involucrado (incógnita, número generalizado o variables): a) Para evitar los choques se recomienda que la distancia entre dos vehículos sea 0,55 veces la velocidad que llevan. b) El precio de un repuesto es p , un segundo repuesto es $120 pesos más caro y el precio de un tercer repuesto es el doble del precio de los otros dos repuestos juntos, ¿cuál es el precio total de los tres repuestos? c) La velocidad promedio de un móvil es igual al cociente entre la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla. d) Un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra desde un estanque que contiene 500 litros, si del estanque salen 0,32 litros de agua por minuto, ¿al cabo de cuántos minutos el estanque se reducirá a la mitad? 2. Dada la siguiente figura:

Utiliza el lenguaje algebraico para representar las siguientes situaciones: a) ¿Cuánto vale la altura y la base? b) ¿Cuál es la expresión para el área? c) Si el área vale 120 cm2, ¿cuánto vale x? d) Si la medida de x varía entre 0 cm y 10 cm, ¿cuánto varía el área de la figura? e) Si se desea que el área fluctúe entre 100 cm2 y 150 cm2, ¿cuánto debe varía la medida de x?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


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(Recuerda que el propósito del problema es escribir en lenguaje algebraico, no resolver) 3. Los siguientes son números consecutivos 7, 8 y 9. Dado un número su consecutivo se le suma 1: a) ¿Cómo se representaría de manera general la suma de tres números consecutivos? Intenta reducir la expresión. b) Si el primero es n, ¿cómo se representaría la suma de tres consecutivos? c) Si el segundo es m, ¿cómo se representaría la suma de tres consecutivos? 4. ¿Cuál es el área de un rectángulo de lados 4 y 5?, ¿5 y 6?, ¿10 y 11? Generaliza en una expresión para el área de este tipo de rectángulos. 5. Los siguientes dibujos representan los modelos de baldosas para habitaciones rectangulares, con baldosas negras y blancas colocadas siempre de la misma manera:

a) ¿Cuántas baldosas blancas tiene la Fig. 4, 5 y 6? ¿Cuántas tiene la figura ubicada en un lugar n? b) ¿Cuántas baldosas negras tiene la Fig. 4, 5 y 6? ¿Cuántas tiene la figura ubicada en un lugar n? c) Expresa algebraicamente la relación entre baldosas blancas y negras. d) ¿Cuántas baldosas negras tiene una figura con 110 baldosas blancas?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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90

Valorizar expresiones algebraicas

  VALORIZAR EXPRESIONES 

En la sección anterior se señaló que el primer objetivo en el estudio del álgebra elemental es ser capaz de expresar simbólicamente las relaciones y procesos involucrados en una situación problema, teniendo en cuenta que los símbolos literales, con su diversidad de significados, representan números. Algunas veces el propósito que se persigue es solo representar la situación en lenguaje algebraico. Sin embargo, es común que a partir de esa generalización se quiera obtener valores específicos de la expresión, reemplazando las letras por números particulares. Problema 3: Determine una expresión algebraica para la longitud de la banda que une dos poleas de igual diámetro. Determine luego la longitud de la banda cuando las poleas están a 80 cm. de distancia y su diámetro es de 10 cm.

L

Solución: La banda cubre 2 veces la distancia L, es decir 2L, más las dos mitades de las poleas respectivas, lo que equivale al perímetro de una sola de ellas, esto es  D . Por tanto la longitud de la banda que pasa por las poleas es

2L   D Ya tenemos la expresión algebraica que representa a la longitud de la banda, ahora queremos determinar su valor específico cuando L  80 y D  10 . Reemplazando se tiene 2  80   10  191, 4 cm.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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91

Otra razón para evaluar expresiones algebraicas es determinar la validez de ciertas proposiciones. A través del lenguaje algebraico intentamos abstraer y generalizar ciertas propiedades matemáticas. Por ejemplo, a partir de las siguientes igualdades

 2  32  22  32

 VALORIZAR EXPRESIONES 

 7  9 2  7 2  92 Es lógico inducir una propiedad, válida para cualquier par de números reales, que se puede expresar de forma general como

 a  b 2  a 2  b 2 Para que esta igualdad constituya una identidad, debemos asegurarnos que es cierta para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, no solo para algunos valores. En efecto, para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ se cumple que

 a  b 2   a  b    a  b    a  a    b  b   a 2  b 2 La generalización es un proceso que se realiza constantemente en la práctica matemática, sin embargo, muchas veces se cometen errores al realizar algunas generalizaciones abusivas, que consiste en extender ciertas identidades válidas a otras que no lo son, por ejemplo: Como  a  b 2  a 2  b2 se cree que  a  b 2  a 2  b2 Como

a  b  a  b se cree que a  b  a  b

Como 2  a  b   2a  2b se cree que 2a  b  2a  2b Como a  b  a  b se cree que c

c

c

a a a   bc b c

Evalúa esas igualdades y podrás comprobar que no son ciertas para todos los valores de sus variables. Podemos extender mucho más la lista de errores producidos por generalizaciones abusivas, pero estos ejemplos pueden bastar para mostrar el fenómeno. Ten cuidado, comprueba tus afirmaciones matemáticas.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

92

Por ejemplo,  a  b 2  a 2  b2 no es una propiedad matemática, porque

   VALORIZAR EXPRESIONES 

solo es cierta para algunos valores particulares, por ejemplo cuando a  0 y b  0 , pero es falsa en otros casos. Basta comprobar que la igualdad no se cumple para un caso, como cuando a  1 y b  1 , para descartarla como propiedad matemática, en efecto

1  12  22  4 12  12  1  1  2

Luego 1  12  12  12 Respecto del mismo ejemplo, la propiedad válida para todo a, b 

es

 a  b 2  a2  2ab  b2 Lo que puede cobrar sentido al considerar que el área de un cuadrado de lado  a  b  es la suma de las áreas de las partes que las compone:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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93 Problemas Resueltos 1. El rebaje del cabezal móvil para elaborar un perfil cónico es igual a la mitad de la diferencia entre el diámetro mayor y el diámetro menor.

  VALORIZAR EXPRESIONES 

D

a) Expresar la medida del rebaje de forma algebraica. b) determinar la medida del rebaje del cabezal si los diámetros son 12 cm. y 4,6 cm. Solución: a) Rebaje igual a la mitad de la diferencia entre los diámetros, esto es Dd 2

b) Evaluando en D  12 y d  4, 6 se tiene que la medida del rebaje es 12  4,6 7, 4   3,7 2 2

2. Mostrar que las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas: a) a   b  c    a  b    a  c  b)

a b a  c b c

Solución: a) En efecto, esta forma de operar es una extensión inadecuada de la propiedad distributiva, esto es Como a   b  c   a  b  a  c se asume que a   b  c    a  b    a  c 

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


94

Basta evaluar en algunos valores, por ejemplo a  2 , b  3 y c  4 para verificar que la igualdad no se cumple para todos los valores de a, b, c  :

a   b  c   2   3  4  2 12  24

 a  b    a  c    2  3   2  4  6  8  48 Se

verifica

que

2   3  4    2  3   2  4  ,

por

tanto

a   b  c    a  b    a  c  no es una propiedad cierta. b) Este error se produce al extender la propiedad de simplificación de factores a la suma. Como

a b a a b a  se piensa que también vale  c b c c b c

Veamos que no es cierto para todo a, b, c  c  6 , en efecto

evaluando en a  2 , b  4 y

ab 24 6 2 a     c  b 6  4 10 6 c

Aunque la igualdad puede ser cierta para algunos valores, no lo es para todo a, b, c  , por tanto no es una propiedad matemática válida. Problemas Propuestos 1. Construye las expresiones algebraicas que representan cada situación y evalúalas para encontrar el valor específico que se solicita: a) En una fábrica de automóviles se comprobó que el rendimiento de combustible de un automóvil (km/litro) depende de su velocidad (km/hr), siendo igual a 180 menos la velocidad por 0,002 veces la velocidad. ¿Cuál es el rendimiento de un automóvil que se desplaza a velocidad constante de 50 km/hr? b) La resistencia total de un circuito en paralelo es igual al cociente entre las resistencias parciales y su suma. ¿Cuál es la resistencia total de un circuito en paralelo con resistencias parciales 𝑟1= 4 ohm y 𝑟2 = 6 ohm.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


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 PL3 , donde 3EI 𝑃: peso de la viga; 𝐿: longitud de la viga 𝐸; 𝐼: constante de la viga. ¿Cuál es la deflexión de una viga si el peso es de 2,5 kg., su longitud es de 1,20 metros y la constante E=0,5? c) La deflexión de una viga está dada por la fórmula Y 

2. Determina cuales de las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas válidas para todos los valores de sus variables: a) a 2  b2   a  b 2 b) c)

x2  y 2  x  y

a3 b

d) e) a

3



a b

a b  a  b nm

 an  am

3. Encuentre una expresión para el número de líneas que se necesitan para formar la figura del lugar n. Use esta expresión para determinar el número de líneas de la figura del lugar 125.

4. Se construye una escalera apilando adoquines, como se muestra en la figura. Determina una expresión para el número de adoquines que se necesitan para formar una escalera con x peldaños. ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 25 peldaños?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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96

Manipulación algebraica

  MANIPULACIÓN ALGEBRAICA 

El estudio del álgebra elemental considera dos objetivos fundamentales: 1. Ser capaz de expresar a través de símbolos las relaciones y procesos involucrados en una situación. 2. Alcanzar una destreza que permita manipular las expresiones simbólicas, transformarlas en otras equivalentes, que resulten más útiles para resolver el problema planteado. El primer punto permite tener control sobre el significado de las expresiones algebraicas que construimos, sin embargo, si la habilidad para transformar correctamente estas expresiones no ha sido desarrollada, el trabajo algebraico resulta infructuoso. Veamos un ejemplo. Problema 4: Considera el siguiente juego de adivinar un número: 1. Piensa un número. 2. Súmale 8. 3. Multiplica el resultado por 4. 4. A eso réstale 6. 5. El resultado divídelo por 2. 6. A lo que quedó réstale el número que pensaste. 7. Dime el resultado y te diré que número pensaste. ¿Puedes adivinar el número que alguien más pensó? ¿Puedes explicar matemáticamente como es que se puede adivinar el número?

Solución: Es posible que un primer intento consista en probar con algunos números en particular, desarrollando la expresión aritmética involucrada, por ejemplo: Si pienso en 3, el resultado será:

3  3  8  11 11 4  44  44  6  38  38: 2  19 19  3  16 Si pienso en 10, el resultado será

10 10  8  18  18  4  72  72  6  66  66: 2  33  33 10  23

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

   MANIPULACIÓN ALGEBRAICA 

97

Proceso que se puede continuar intentando encontrar alguna regularidad. Sin embargo, este camino no parece el más auspicioso. Dado que el número que se piensa es cualquiera, se puede considerar un número generalizado y el procedimiento se puede resumir en una expresión algebraica. En efecto, la traducción al lenguaje algebraico sería: 1. Piensa un número  a 2. Súmale 8  a  8 3. Multiplica el resultado por 4  4  a  8 4. A eso réstale 6  4  a  8  6 5. El resultado divídelo por 2 

4  a  8  6 2

6. A lo que quedó réstale el número que pensaste 

El resultado es la expresión

4  a  8  6 2

4  a  8  6 2

a

 a . Sin embargo, esta expresión,

por si misma, no responde la pregunta de por qué se puede adivinar el número pensado, es necesario reducirla. Mostraremos, aunque aún sin explicar del todo, el desarrollo algebraico que reduce la expresión: 4  a  8  6 2

4a  32  6 a 2 4a  26  a 2 2  2a  13  a 2  2a  13  a  a  13

a 

Finalmente el resultado es equivalente a a  13 , es decir al número pensado más 13. Por tanto, basta tomar el resultado y restarle 13 para adivinar el número.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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98

Analicemos los procedimientos implicados en la manipulación de esta expresión, asignándole algunos nombres:


Producto

Terminología

Factorización Expresión algebraica

Simplificación

3a 2b  2ac  5b3

Reducción de términos semejantes

Términos 3a b ;  2ac ; 5b 2

3

Factor literal Factor numérico Las expresiones se clasifican según el número de términos Monomio: Un término 4xy 3

Reducción de términos semejantes Los procedimientos algebraicos se fundamentan en las propiedades de los números reales. Conocer y comprender estas propiedades es fundamental para que la manipulación de expresiones algebraicas tenga sentido. La reducción de términos semejantes tiene que ver con la suma y resta de expresiones que tienen el mismo factor literal. Por ejemplo:

Binomio: Dos términos

2 2 3b  5b ; 6 x y  4 x y ; 5a c  7a c  a c

3

n3  2nm

Trinomio: Tres Términos 5az 2  bw  3c 4

Polinomio: Dos o más términos

3

3

En la suma o resta de términos semejantes se aplica la propiedad distributiva

3 p  2q  5r  s

a  b  a  c  a  b  c  Por ejemplo: 1. 3b  5b   3  5 b  8b 2. 6 x2 y  4 x2 y   6  4  x2 y  2 x2 y 3. 5a3c  7a3c  a3c   5  7  1 a3c  1a3c  a3c

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

99


Uso de paréntesis Los procedimientos algebraicos se justifican a partir de las propiedades de los números reales, sin embargo, la forma de proceder en álgebra es muy distinta al de la aritmética. Lo que fue efectivo en este ámbito, ya no lo es en un marco de resolución algebraico, es muy importante reconocer sus diferencias. Uno de los aspectos críticos de este cambio es el uso del paréntesis. En aritmética, generalmente, los paréntesis no son necesarios para llegar a un resultado. Así se puede comprobar en el ejemplo de la adivinanza del número desconocido: Si pensamos en el número 3, entonces 1. Piensa un número. 2. Súmale 8. 3. Multiplica el resultado por 4. 4. A eso réstale 6. 5. El resultado divídelo por 2. 6. A lo que quedó réstale el número que pensaste.

3 11 44 38 19 16

En aritmética, el resultado se deduce de una secuencia ordenada de operaciones y de resultados parciales, los paréntesis aparecen como una convención matemática que no tiene mucho sentido en este contexto. Sin embargo, asumir que también se puede prescindir de los paréntesis en álgebra, es un error que obstaculiza severamente el trabajo algebraico. Sabemos que el resultado de este problema para un número cualquiera se expresaba por

4  a  8  6 2

a

Si se obviaran los paréntesis la expresión sería otra, lo que no permitiría resolver correctamente el problema. Por tanto, poner mucha atención en este punto: al expresar simbólicamente una situación, se deben poner los paréntesis que indiquen el orden de las operaciones involucradas.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

100


Reducción de paréntesis Al expresar simbólicamente es necesario escribir los paréntesis, pero al manipular la expresión, por ejemplo para reducir términos semejantes, se requiere eliminar los paréntesis. La justificación matemática al eliminar paréntesis vuelve a ser la propiedad distributiva, pero ahora en sentido opuesto esto es

a  b  c   a  b  a  c Por ejemplo, reduzcamos la expresión

x  2 y   3 x  2 y  5    4 y  2 x  3 Si consideramos que delante de cada paréntesis se puede escribir un factor 1, se tiene

x  2 y   3x  2 y  5    4 y  2 x  3  x  2 y  1  3x  2 y  5   1  4 y  2 x  3 Aplicando la propiedad distributiva ocurrirá que: a) Los términos del paréntesis precedido por + se multiplicarán por 1, por tanto no cambian de signo. b) Los términos del paréntesis precedido por – se multiplicarán por -1, por tanto cambian de signo. Esto es

x  2 y   3x  2 y  5    4 y  2 x  3  x  2 y  1  3x  2 y  5   1  4 y  2 x  3  x  2 y  3x  2 y  5  4 y  2 x  3  6x  4 y  8

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

101


Producto de expresiones algebraicas Problema 5: Se desea determinar una expresión para la superficie de la vereda que rodeará a un edificio en construcción. Se sabe que el largo de la base del edificio es el doble que su ancho y que la vereda debe tener 2 metros de ancho.

Solución: Supongamos que el ancho de la base del edificio sea w metros, el resto de las medidas se muestran en la siguiente figura:

Área del rectángulo mayor:  2w  4  w  4  2 Área del rectángulo menor: 2w  w  2w

El área de la vereda es igual a la diferencia entre las áreas de los dos rectángulos, esto es

 2w  4 w  4  2w2 Ya está expresada algebraicamente el área de la superficie de la vereda, pero siempre que sea pertinente y posible hay que tratar de reducir la expresión. En este caso, realizar la multiplicación de las expresiones que están entre paréntesis permitiría luego reducir términos semejantes. Pero, ¿cómo multiplicar  2w  4  w  4  ?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

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102

Aplicando reiteradamente la propiedad distributiva, en efecto:



 2w  4    w  4    2w  4   w   2w  4   4

 MANIPULACIÓN ALGEBRAICA 

 2w  w  4  w  2w  4  4  4  2w2  4w  8w  16  2w2  12w  16

Multiplicación de potencias: Recordar que en la multiplicación de potencias de igual base “se conserva la base y se suman los exponentes”

bn  bm  bn  m Por ejemplo:

b 2  b3   b  b    b  b  b   b5

Como se observa en la segunda línea, la aplicación reiterada de la propiedad distributiva describe el producto de todos los términos del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, esto permite aplicar de forma reducida el siguiente procedimiento en el producto de expresiones algebraicas: Como se observa en la segunda línea, la aplicación reiterada de la propiedad distributiva describe el producto de todos los términos del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, esto permite aplicar de forma reducida el siguiente procedimiento en el producto de expresiones algebraicas:

 2w  4    w  4   2 w  w  4  w  2w  4  4  4 El orden en que se efectúen los productos da igual, lo importante es multiplicar todos con todos. Ahora ya podemos terminar de responder al problema planteado. La superficie de la vereda tiene área igual a:

 2w  4  w  4   2w2  2w2  4w  8w  16  2w2  12w  16

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



103

Problemas Resueltos


1. Reducir las siguientes expresiones: a)   5a  2    a  1  (4a  6)





2 3 2 b) 3xy  2 x  y 4 x  5 y



Solución: a)    5a  2    a  1  (4a  6)

   5a  2  a  1  4a  6     6a  1  4a  6   6a  1  4a  6   2a  7  2a  7 b)

3xy2  2x  y3  4x2  5 y 

 3xy 2  4 x 2  3xy 2   5 y    2 x   4 x 2   2 x    5 y   y3  4 x 2  y3   5 y   12 x3 y 2  15 xy3  8 x3  10 xy  4 x 2 y3  5 y 4



2. La temperatura de una batería depende de la temperatura ambiente. Si en determinado momento la temperatura del ambiente es de T grados centígrados,

la temperatura de la batería es 3T T  1  T  2  3T  4  . ¿La temperatura de la batería excederá a la temperatura ambiente en más de 10 Cº? Solución: Al desarrollar la expresión se tiene

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

104

3T T  1  T  2  3T  4 



   3T 2  3T   3T 2  2T  8   3T 2  3T  3T 2  4T  6T  8


 3T 2  3T  3T 2  2T  8 T 8 Como se ve, la temperatura de la batería excede a la temperatura ambiente solo en 8 Cº.

Problemas Propuestos 1. Los siguientes esquemas muestran el orden en que se va operando con un número cualquiera n , determina la expresión que representa a cada uno: 



:

 2 3  5  7  4 Ejemplo: n   2n  3  4  7  5  



:

4  2n  3 : 5  7 

ó 

5   2  6   4 1 a) n  :





 2  1   6 5  7 b) n  :





 n  2   4  2n  3 1 c) n  2  2. Dada las expresiones algebraicas completa los esquemas que determinan el orden en que se realizaron las operaciones: Ejemplo:

3 n  2   1 4 

5 

:



n  2  3  1   4  5

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


105

a) 3 2  4n  5  6   1

n 



























 n 1  3  4  1  2  b) 7

n 



 n   c) 3 2   5   1  7  4  

n 



4. Reduzca las siguientes expresiones: 2 2 2 2 a) x yz  3xy z  2 xy z  2 x yz

b)  3a  2    a  4  c)   2 x  y  5z     y  4 x  3z  d)   5a  2    a  1  (4a  6) e) 3x  2 y  2 x  3x   2 y – 3x   2 x 

     2 3 g) 3a b   2bc   abc 2 2 h) x  5  x   x  x  5 2 2 2 2 i) ab  a  a b    ab   ab  a 

 

f)  a 2  b2   ab  2a 2  b2  2ab   ab  

j) t  5t  3  (4t  1)(4t  1) k) 3 f  7  f  7    5  f  f  1







2 2 l)  nr  2s  ns  2s  2s  nr  s  r  s



UNIDAD 2: ÁLGEBRA


106

5. Muestra que la suma de tres consecutivos es múltiplo de 3. Utiliza la expresión algebraica y redúcela. ¿La suma de 4 consecutivos es múltiplo de 4?, ¿y de cinco consecutivos es múltiplo de 5? Explica por qué si o no algebraicamente. 6. Explica el truco para adivinar el número pensado en los siguientes casos: a) Piensa un número Multiplícalo por siete Réstale el número que pensaste inicialmente Divide el resultado por seis Tu número es…. b) Piensa un número Súmale cinco Multiplica el resultado por dos Súmale el sucesor del número pensado Réstale dos Divide el resultado por 3 Tu número es… 7. Durante una prueba, la máquina A produce p latas, la máquina B produce el doble y la máquina C produce 6 latas más que B, ¿cuál es la producción total? 8. Se construye una canaleta de una pieza de aluminio, como se muestra en la siguiente figura. Si el precio de cada metro cuadrado de lámina de aluminio es $2500, determine una expresión para el costo de esta canaleta.

2x+10

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



107

Productos Notables


1. Cuadrado de binomio Problema 6: Una fábrica dispone de un terreno cuadrado de a metros de lado para bodega. Si el terreno se agranda b metros hacia cada lado, ¿cuál es su área?

Solución:

El área de este terreno está dado por el producto  a  b 2 . Este tipo de productos recibe el nombre de cuadrado de binomio y pertenece a los denominados productos notables. Por cierto que podemos desarrollar el producto término por término, pero resulta mucho más interesante y a la larga también más práctico buscar una fórmula general para todos los cuadrados de binomios. El área del terreno es igual a la suma de las áreas de las partes que la componen, esto es

 a  b 2  a2  2ab  b2

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

108


Por tanto el cuadrado de binomio de una suma es siempre es igual a la suma de tres términos: el cuadrado del primer término, más el doble del producto de ambos términos, más el cuadrado del segundo término.

 a  b 2  a2  2ab  b2 Por ejemplo, si el terreno tiene lado

x

+ 5 metros su área será

 x  52  x2  2 x5  52  x2  10 x  25 De manera similar, podemos suponer que al terreno de lado a se le quita b metros en cada lado, el área del terreno resultante será

 a  b 2  a2  2ab  b2 Hay que tener en cuenta que al restar los dos rectángulos se está quitando a su vez dos veces el cuadrado más pequeño, para compensar se agrega un cuadrado más pequeño al final. También es un cuadrado de binomio, pero de una diferencia. Por tanto el cuadrado de binomio de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo.

 a  b 2  a2  2ab  b2 Podemos comprobar ambas fórmulas haciendo el producto término a término. En efecto,

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

 

109

 a  b 2   a  b  a  b   a2  ab  ab  b2  a 2  2ab  b2  a  b 2   a  b  a  b   a 2  ab  ab  b2  a 2  2ab  b2

 MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  2. Suma por su diferencia Supongamos que ahora el terreno cuadrado de lado a se transforma en un rectángulo, sumándole b metros a uno de los lados y restándole los mismo

b metros al otro lado: Al reordenar las partes del rectángulo se ve como su área es igual a la diferencia del área del cuadrado de lado a con el área del cuadrado de lado b. Este producto se denomina “producto de una suma por su diferencia” y es siempre igual a la diferencia entre cuadrado del primer término y el cuadrado del segundo término.

 a  b  a  b   a2  b2 Podemos comprobar esta fórmula algebraicamente, en efecto

 a  b  a  b   a2  ab  ba  b2  a2  b2 Un par de ejemplo de aplicación de la fórmula de suma por su diferencia: a)  x  3 x  3  x2  32  x2  9

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

110 b)  2 N  5 2 N  5   2 N 2  52  4 N 2  25


3. Producto de binomios con término común Supongamos ahora que un terreno cuadrado de lado x se transforma en un rectángulo, sumándole a un lado a metros y al otro b metros. La descomposición del terreno y sus áreas será

Polinomio en x Polinomio que solo contiene una variable x, de la forma: an x n  an 1x n 1 

 a1x  a0

Donde cada coeficiente ai  con i  0,1, 2,..., n y an  0 . Se dice que el grado del polinomio es n. Mientras que

a0 se conoce como término independiente de x. Por ejemplo: 5

2

x  3x  x  1 4 x  3x  2 2x  5 2

4

grado 5

 x  a  x  b   x2   a  b  x  ab Este producto notable se denomina producto de binomios con término común. En este caso el término común es x. El producto de binomios con término común es igual al cuadrado del término común, más la suma de los otros dos términos por el término común, más el producto de los otros dos términos.

grado 2

 x  a  x  b   x2   a  b  x  ab

grado 1 grado 0

Suma Producto Por ejemplo: a)  x  3 x  2   x 2  5x  6 Suma Producto b)  3m  6  3m  2    3m 2  4  3m   12  9m2  12m  12 Suma Producto

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

111


La siguiente tabla resume los productos notables vistos aquí y agrega otros más: Nombre Expresión Cuadrado de  a  b 2 binomio de una suma Cuadrado de  a  b 2 binomio de una diferencia Suma por su  a  b  a  b  diferencia Producto de  x  a  x  b  binomios con término común Cubo de binomio  a  b 3 de una suma Cubo de binomio  a  b 3 de una resta

Fórmula

 a  b 2  a2  2ab  b2  a  b 2  a2  2ab  b2

 a  b  a  b   a2  b2

 x  a  x  b   x2   a  b  x  ab  a  b 3  a3  3a2b  3ab2  b3  a  b 3  a3  3a 2b  3ab2  b3

Problemas Resueltos 1. Desarrollar las siguientes expresiones usando fórmulas de productos notables: a)  n  32   n  32   n  3 n  3   n  3 n  2 



b) 3a 2b  2ab 2



2

c)  x  y  32 d)  t  2 3   2t  2 3 Solución: a)  n  32   n  32   n  3 n  3   n  3 n  2 

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

112

 n  32   n  32   n  3 n  3   n  3 n  2  



 



n 2  2n3  32  n 2  2n3  32  n 2  32  n 2  5n  6 


n 2  6n  9  n 2  6n  9  n 2  9  n 2  5n  6  7n  15



b) 3a 2b  2ab 2



2

Cuadrado de Binomio  a  b 2  a 2  2ab  b2

3a2b  2ab2   3a2b  2

2





 

 2 3a 2b 2ab 2  2ab 2



2

 9a 4b 2  12a3b3  4a 2b 4

c)  x  y  32 Al colocar paréntesis se pueden agrupar los términos en binomios, luego se aplica las fórmulas de cuadrados de binomios de forma reiterada, esto es

 x  y  32    x  y   3

2

  x  y   2  x  y  3  32 2

 x 2  2 xy  y 2  6  x  y   9  x 2  2 xy  y 2  6 x  6 y  9

d)  t  2    2t  2  3

3

 a  b 3  a3  3a2b  3ab2  b3

Cubos de binomio

 a  b 3  a3  3a 2b  3ab2  b3

 t  2 3   2t  2 3 3 2  t 3  3t 2 2  3t 22  23    2t   3  2t  2  3  2t  2 2  23     

 

 t 3  6t 2  12t  8  8t 3  6 4t 2  12  2t   8      t 3  6t 2  12t  8  8t 3  24t 2  24t  8      t 3  6t 2  12t  8  8t 3  24t 2  24t  8  7t 3  30t 2  12t  16

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

113


2. Los productos notables pueden ayudar a resolver rápidamente algunos cálculos numéricos. Úsalos para calcular: 2 a) 23

b) 99

2

c) 41 39

Solución: a) 232   20  32  202  2  20  3  32  400  120  9  529

 a  b 2  a2  2ab  b2 23 se escribe como suma y se aplica cuadrado de binomio b) 992  100  12  1002  2 100 1  12  10000  200  1  9801

 a  b 2  a2  2ab  b2 99 se escribe como resta y se aplica cuadrado de binomio c) 41 39   40  1 40  1  402  12  a  b  a  b   a 2  b2

41 se escribe como suma y 39 como resta y se aplica suma por su diferencia

Problemas Propuestos 1. ¿Es lo mismo

2 2  a  b 2 que a  b ? Completa la siguiente tabla y

responde.

a 0 2 1 0

b 0 0 1 –1

ab

 a  b 2

a2

b2

a 2  b2

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


114

2. Resuelve usando productos notables: a)  p  q 2 b)  2m  3n 2



c) x 2  y3



2

d)  y  2 2



e) 5T  2TM 2



2

f)  x  y  x  y  g)  2 p  r  2 p  r 

   2 3 2 3 i)  2 x y z  1 2 x y z  1 4 3 4 3 h) a  b a  b

j)  x  6  x  2  k)  m  3 m  5 l)  a  9  a  8 m)  2b  3 2b  6  n)  x  2 3 o)  2e  3 f 3 p)  L  33



q) a nb  abm



3

3. Desarrolla las siguientes expresiones y reduce términos semejantes, cuando sea posible: a)  b  4 2   b  2  b  3 b)  x  6  x  6    x  2 2 c)  2n  13   n  4  n  3  n  n  2 2

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


115 4. Utiliza productos notables que se indica para calcular el valor de: 2 a) 31 2 b) 29 c) 31 29 d) 33  32

5. En las siguientes expresiones agrupa en binomios usando paréntesis y utiliza las fórmulas de cuadrados de binomio para desarrollar: a)  a  b  32 b)  p  q  2 2 c)  f  h  52 6. La base de un edificio es un cuadrado de x metros de lado, al construir se cometió un error de 0,5 metros hacia cada lado, ¿En cuántos metros cuadrados excede la base del edificio respecto de su medida inicial? 7. Representa las áreas de las partes achuradas algebraicamente y desarrolla usando productos notables:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


116 Factorización Problema 7: El piso de un galpón tiene 247 mt2, se sabe que el ancho y el largo son números enteros y que el ancho es mayor que 1 mt. ¿Cuáles son las medidas de los lados del galpón? Solución: Estamos suponiendo que el piso del galpón es rectangular, por tanto su área es el producto de su largo y su ancho. Debemos buscar dos números enteros cuyo producto sea 247. En este esos números son números primos

247  19 13 Las dimensiones del galpón son 19 y 13 metros. Para resolver este problema se hizo la factorización del número 247, esto escribirlo como el producto de números primos (no tienen más divisores que el 1 y si mismo). Pero no solo se factorizan números, algunas expresiones algebraicas, para determinados propósitos, también requieren factorización. Por ejemplo, supongamos que en el problema anterior el piso del galpón era un cuadrado de x metros de lado. Si el galpón se amplía una cierta cantidad de metros en su largo y su ancho el piso tendrá un área de x2  11x  24 mt2, ¿En cuántos metros se alargó el largo y el ancho del galpón? Para este tipo de expresión podemos usar el resultado del producto de binomios son término común x2   a  b  x  ab   x  a  x  b 

Por tanto se debe buscar dos números cuya suma sea el valor que acompaña a x y su producto sea el término independiente de x esto es x2  11x  24   x  a  x  b 

ab

ab

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

117

Es decir dos números a y b cuya suma sea 11 y cuyo producto sea 24.

 

Los números son 8 y 3, por tanto

 MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  Procedimiento: 1. Colocar los signos: x2  5x  6   x 

 x  

      2. Buscar los números (en valor absoluto) para el producto: x2  5x  6   x 

 x  

x 2  11x  24   x  8 x  3

Es decir, en el problema la solución es que el salón se amplía 8 metros de largo y 3 metros de ancho.

2 En resumen, un trinomio del tipo x  Cx  D , con C, D  se factoriza de la forma

x2  Cx  D   x  a  x  b 

Donde a  b  C y ab  D

3 2

3. Colocar el número (valor absoluto) mayor primero:

Ejemplos: a) x2  6 x  8   x  4  x  2 

x 2  5 x  6   x  3 x  2  42

4. Verificar la suma de los números: x 2  5 x  6   x  3 x  2 

 3   2

42

b) m2  3m  10   m  5 m  2  5  2

 5  2

c) t 2  8t  12   t  6  t  2   6   2  6   2

d) x2  10 x  25   x  5 x  5    x  5 2  5   5

 5   5

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

118



Factor común



Problema 9: En un proceso de embalaje se disponen de tres tipos de contenedores en los que se depositan las cajas con los productos fabricados. La cajas tienen 24, 36 y 60 cm. de ancho, ¿cuál debe ser el ancho máximo de las cajas para encajar de forma exacta en cualquiera de los contenedores?


24

36

60

Solución: Este es un problema de MCD, que puede ser resuelto factorizando cada uno de los números en sus factores primos. Buscaremos el mayor factor común entre estos números.

24  36  60  2  2  2  3  2  2  3  3  2  2  3  5 Los números en rojo son los factores primos en común, usando la propiedad distributiva este factor se puede escribir una sola vez, esto es:

24  36  60  2  2  3  2  3  5   12  2  3  5 Lo que hicimos fue sacar el factor común 12 de cada uno de los términos. Esto implica que las cajas deben tener un ancho de 12 cm. para entrar de forma exacta en cada uno de los contenedores. Algunas expresiones algebraicas también admiten una factorización en factor común de sus términos y el procedimiento es análogo, descomponer en factores y reconocer los factores comunes. 3 2 2 3 4 Ejemplo: Factorizar 12a b  18a b  6a bc

12a3b 2  18a 2b3  6abc  2  2  3aaabb  2  3  3aabbb  2  3abc



 2  3ab 2a 2b  3ab 2  c



 6ab 2a 2b  3ab 2  c





UNIDAD 2: ÁLGEBRA



119

Factorización de algunos tipos de binomios


a 2  b2   a  b  a  b  Factorización de diferencia de cubos

Recuerda: Es muy habitual hacer generalizaciones abusivas para algunas expresiones algebraicas, como suponer que a 2  b2   a  b 

De hecho la suma de cuadrados no se puede .

a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 

Factorización de suma de cubos a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 

2

Basta comprobar que esta igualdad no se cumple para un par de valores de a y b.

factorizar en

Factorización de diferencias de cuadrados

Ejemplos: 2 2 a) Diferencia de cuadrados a  b   a  b  a  b 



x2 



x2

32 

4a 2 

 2a 

 x  3 x  3



9

2

25  

 2a  5 2a  5

52

b) Diferencia de cubos a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 

x3  x3



8  23



 x  2   x 2  x  2  22    x  2   x 2  2 x  4 

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



120



8a 3






 2a 

1



 2a  1   2a 

2



 2a 1  12   2a  1  4a 2  2a  1

 3

13

c) Suma de cubos a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 



x3  x3

 33

27a3 

 3a 

 x  3  x 2  x  3  32    x  3  x 2  3x  9 

27 



8 

3

23



 3a  2    3a 

2



 3a  2  22   3a  2   9a 2  6a  4 

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

121


Aplicación de la factorización en la resolución de ecuaciones Problema 8: En un terreno de 120 mt2 de superficie se construyó una casa de 8 por 10 mt. Se desea construir una vereda como se muestra en la figura, ¿cuál debe ser el ancho de la vereda para cubrir la superficie restante del terreno? 10

x

Solución: Área del terreno  x  10  x  8  120 Desarrollando el producto notable se tiene la ecuación

x2  18x  80  120 Por conveniencia dejaremos en la ecuación el lado derecho igual a 0

x2  18x  40  0 Este tipo de ecuaciones se denominan ecuaciones cuadráticas y aunque, por el momento, no diremos mucho más sobre ellas, expondremos la utilidad de la factorización para resolverlas. En efecto factorizando se tiene

 x  20 x  2  0 En todo producto igual a cero, al menos uno de sus factores debe ser igual a cero, utilizando esta propiedad podemos separar la ecuación en

x  20  0 ó

x20

Lo que implica que x  20 o x  2 Como la primera solución no tiene sentido en el contexto del problema, la vereda deberá medir 2 mt. de ancho.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

122


Problemas Propuestos 1. Encuentra el factor común de las siguientes expresiones: a) 6ax  5bx  8cx 2 3 b) 3a  6a  9a 3 5 2 2 4 3 4 2 3 c) 20 x y z  12 x y z  16 xy  4 x y z

d) 15 x3 y 4  27 x 4 y3  9 x 2 y 3  21 x3 y 2 21

28 14 35 e) 0, 3 nm5  11 n2 m3  2 n3 m4  6 9

2. Factoriza las siguientes expresiones: a) x2  7 x  12 b) z 2  9 z  18 c) b2  7b  60 d) n2  16n  36 e) r 2  6r  9 f) a 2  25 g) x 2  16 h) 4 x 2  16 i) 25n  m p 4

2

6

j) a3  1 k) x3  64 l) 27 x  8 y 9

6

m) x3  64 n) x y  8x y 6 12

3 6

o) 125a3b3  8c3 p) ax 2  4a q) 12 x2  36 x  27 r) 500 x  20 xy 3

2

s) 3a3b2  12a3bd  12a3 d 2

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

 

123

3. Usa la factorización que se desprende de la suma por su diferencia para calcular los siguientes valores a 2  b2   a  b  a  b 

 MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  2 2 a) 11  9 2 2 b) 2001  2000 2 2 c) 1,01  1

4. Muestre que la diferencia entre el cuadrado del sucesor de un número y el cuadrado del número es siempre un número impar. 2 5. Explica por qué la expresión n  6n  9 no puede ser nunca un número negativa.

6. El número de diagonales D que se pueden trazar en un polígono depende de su cantidad de vértices v, a través de la fórmula

D

v  v  3 2

¿Cuántos vértices tiene el polígono de 35 diagonales? 7. Una lámina metálica mide 10 pulgadas más de largo que de ancho. En cada esquina se recortan cuadrados de 1 pulgada de lado. Se levantan los lados de la lámina para formar una caja sin tapa de volumen 24 pulg3. ¿Cuánto mide el largo y el ancho de la lámina metálica?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



124

Fracciones Algebraicas


Para mostrar como operar con fracciones algebraicas analizaremos la manera de proceder con fracciones de números. Simplificación

Restricciones en las fracciones algebraicas Una fracción algebraica está definida solo cuando su denominador es distinto cero. Es necesario identificar sus restricciones para asegurar que no se está dividiendo por cero.

En números es habitual buscar un divisor común al numerador y denominador para simplificar un fracción, por ejemplo: 36 36 : 12 3   60 60 : 12 5

Pero, ¿cuál es el divisor común del numerador y denominador de la siguiente fracción algebraica? x2  5x  6 x2  4

Por ejemplo:

x 1 con x  2 x2 t t 9 2

Ya no es tan fácil, necesitamos otro procedimiento. En el caso de la fracción de números, la descomposición en factores primos también permite simplificar

con t  3, t  3

36 2  2  3  3 3   60 2  2  3  5 5

a  1 con a  0, a  1 a  a  1

De la misma forma, la factorización de los polinomios de la fracción algebraica permite su simplificación, siempre que esta factorización sea posible x2  5x  6 x 4 2



 x  3  x  2   x  2  x  2

Asumimos que en esta fracción x  2 y x  2 .



x 3 x2

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

125


Ejemplos: a)

b)

12ab 2  6ab 6 a b  2b  1 6b   10a 2 b  5a 2 5a 2  2b  1 5a

con a  0 y b  1

2

p 2  2 p  1  p  1  p  1 p 1 con p  6 y p  1   2 p  7 p  6  p  6   p  1 p  6

2 3 m4  8m m  m  8 m  m  2   m  2m  4  m2  2m  4 c) 3    m  4m m  m 2  4  m2 m  m  2  m  2

con m  0 , m  2 y m  2

Adición y Sustracción de Fracciones Algebraicas

x

2

 Resolver 2 x  2x  1 x2 1 Analizaremos la forma de sumar fracciones numéricas para establecer un procedimiento equivalente para fracciones algebraicas. Recordemos que para sumar fracciones de distinto denominador, las fracciones se amplifican para obtener fracciones equivalentes con denominador igual al MCM. 5 3 55 3 6 25 18 43       12 10 12  5 10  6 60 60 60

Donde MCM (12,10)  60 Para utilizar un procedimiento equivalente para fracciones algebraicas, observemos como se realiza lo anterior descomponiendo en factores primos

5 3 5 3   2  12 10 2  3 2  5

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

 

126 Donde MCM (12,10)  2  3  5 , esto es, el MCM es igual al producto de la mayor potencia de cada uno de los factores de los denominadores. 2

 MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  Luego hay que amplificar por los factores que faltan para completar el MCM en cada denominador.

5 3 5 3 55 3  2  3 25 18 43   2   2     12 10 2  3 2  5 2  3  5 2  5  2  3 60 60 60 Por tanto el procedimiento para la suma de fracciones algebraicas será:

x

2



x2  2 x  1 x2 1 1. Factorizar los denominadores

x

 x  1

2



2

 x  1 x  1

2. Determinar el MCM: MCM=  x  12  x  1 El producto de las mayores potencias de todos los factores 3. Amplificar: x   x  1 2   x  1  Multiplicar por los factores 2 que faltan para completar el  x  1   x  1  x  1 x  1   x  1 MCM en cada fracción 4. Sumar las fracciones x  x  1  2  x  1

 x  12  x  1 La fracción algebraica que se obtiene puede seguir desarrollándose, si así se requiere. Ejemplos: 1)

a   a  2 4   a  1 a 4    a  1 a  2  a  1   a  2   a  2    a  1

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

127



   

a  a  2   4  a  1

 a  1 a  2 

MCM=  a  1 a  2 

a 2  2a  4a  1 a 2  3a  2 a 2  2a  1  2 a  3a  2 

 MANIPULACIÓN  MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  ALGEBRAICA 

2)

x2 x3 5   x2  x  2 x  2 x  1



x2 x3 5    x  2  x  1 x  2 x  1



5   x  2  x  3   x  1 x2    x  2  x  1  x  2    x  1  x  1   x  2 



MCM=  x  2 

x  2   x  3   x  1  5   x  2 

 x  2  x  1

x  2  x  2 x  3  5 x  10 x2  x  2 x 2  2 x  11  2 x  x2 

2

Multiplicación y división de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas se puede realizar el siguiente procedimiento:

3a  3 a 2  4  a2 3 1. Factorizar numeradores y denominadores

3 a  1  a  2  a  2   a2 3

2. Simplificar

3  a  1  a  2   a  2     a  1 a  2  a2 3

3. Multiplicar

 a  1 a  2  a2  3a  2

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

128


Para la división de fracciones algebraicas, se ocupa la propiedad a c a d :   b d b c

Ejemplo:

t 2  9 t 2  6t  9 t 2  9 t 3 :   2 t 3 t 3 t  3 t  6t  9 

 t  3  t  3 t 3



t 3

 t  3  t  3

1

Problemas Propuestos 1. Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:

x 2  3x  2 a) 2 x  5x  6 b)

y 2  7 y  12 y 2  8 y  15

m 2  6m  9 c) 2 m  9m  18 a 2  25 d) 2 a  4a  45 8ab  2b 2 e) 16a 2  b2

m3  8 f) m2 a 3  27 g) a3

 x  1  x  5 3 2  x  5  x  1  x  2  3

h)

4

UNIDAD 2: ÁLGEBRA 2. Realiza las operaciones con fracciones algebraicas de las siguientes expresiones: a) 3x  x2  1 x 1

x 1

129

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

130


1 2 3m   2 m  1 m  3 m  2m  3 c) 4  5  8 x2  2 x 1 x  1 x 1

b)

2 a 2  a  2  a  2a  3  1   d) 2 2 a 4 a a2 a2

e)

4 2x 2x  2   2 x  1 ( x  1) ( x  1)3

12a a  2 8a 2   f) a  2 2a5 36 x2  2 x  1 x2 1  g) x 1 x 1 a a 2  1 a3  1 a    2 h) a  1 2a 2a a  a  1 i)

1 7 : 2  a  a  2  a  5a  6 2

a 2  a  2 2a 2  a  3 6a 2  a  2   j) 2 3a  4a  4 3a  3 2a 2  a  1

x 2  9 x  14 x 2  9 x  14 x 2  2  2  x 2  49 x  49 x 1

k)

 m 2 m3  2m 2 1   2 : 2  m  2 m  7 m  9m  14  m  9m  14

l) 

3. Se tiene un envase de agua cilíndrico de radio r y altura h. Se tienen vasos con radio igual a la mitad del radio del envase y altura igual a un tercio de la altura del envase, ¿Cuántos vasos de agua se alcanzan a llenar con el envase?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

131

   MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  4. Si dos resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo, la resistencia total R del circuito está dada por

1 1 1   R R1 R2 Si una de las resistencia tiene 5 ohms menos que la otra, determine una expresión algebraica para la resistencia total R . 5. Dada la fracción algebraica n  3 : n4

a) ¿Para qué valores de n b) ¿Para qué valores de n c) ¿Para qué valores de n d) ¿Para qué valores de n

la fracción es positiva? la fracción es negativa? la fracción es cero? la fracción no está definida?

6. Verifica que las siguientes igualdades son correctas: 1 1 1   2 3 6 1 1 1   3 4 12 1 1 1   4 5 20

a) ¿Cómo se descompondría las fracciones 1 , 1 , 1 y 1 ? 5

6 10

n

b) Demuestra algebraicamente la fórmula para descomponer la fracción 1 . n

7. Demuestra que

 a  b 2   a  b 2 4

4

 ab

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

 

132

Ecuaciones Entenderemos por ecuación a toda igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas presentes a cada lado de la igualdad reciben el nombre de miembros de la ecuación:

 ECUACIONES  3𝑥 − 17 = 7 − 9𝑥 En este caso 3𝑥 − 17 es el primer miembro de la ecuación y 7 − 9𝑥 es el segundo miembro de la ecuación. Al reemplazar las variables en una ecuación por algún número real, puede resultar una igualdad verdadera o falsa. En nuestra ecuación, si reemplazamos por 𝑥 = 1 resulta: 3 ∙ 1 − 17 = 7 − 9 ∙ 1 Es decir: −14 = −2, lo cual es falso. Por otra parte, si reemplazamos por 𝑥 = 2 resulta: 3 ∙ 2 − 17 = 7 − 9 ∙ 2 Es decir: −11 = −11, lo cual es verdadero. Este último caso es de especial interés, dado que la igualdad es verdadera para un determinado valor de 𝑥. Cuando encontramos el o los valores numéricos de la variable 𝑥 que hacen verdadera una determinada ecuación, diremos que estamos resolviendo una ecuación. En este proceso dejamos sola la variable a un lado de la ecuación, lo cual recibe el nombre de despejar la variable. Toda ecuación de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑜, con 𝑎 y 𝑏 constantes y 𝑎 ≠ 0, recibe el nombre de ecuación lineal o ecuación de primer grado. Ejemplo: Pablo tiene un hermano que es 27 centímetros más alto que él, si el hermano de Pablo mide 1.55 metros. ¿Qué estatura tiene Pablo?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

133



Solución:



La letra P, representa la edad de Pablo. Entonces en virtud del enunciado: 𝑃 + 0.27 = 1.55

 ECUACIONES Restando a ambos lados 0.27:

𝑃 = 1.55 − 0.27 = 1.28 Comprobación: 1.28 + 0.27 = 1.55

Propiedad de la Suma Esta propiedad señala que al sumar o restar un número real a ambos lados de una ecuación, esta no se altera. Sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales, y si 𝑎 = 𝑏, entonces para todo número real 𝑐 se tiene que: 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 Sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales, y si 𝑎 = 𝑏, entonces para todo número real 𝑐 se tiene que: 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐 Ejemplo: 2

Resolver la ecuación: 𝑤 − 5 = 3 Solución: 2

Al considerar la ecuación: 𝑤 − 5 = 3, observamos que podemos aplicar la 2

propiedad de la suma, sumando a ambos lados el número 5, resulta: 2 2 2 𝑤− + = 3+ 5 5 5 2

Como 3 + 5 =

17 5

, entonces: 𝑤=

17 5

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

 

134

En general, si sumamos un determinado término “𝑏” a un lado de una ecuación: 𝑎+𝑏 =𝑐

 ECUACIONES

Entonces si sumamos el puesto de 𝑏 a ambos lados de la ecuación y simplificamos: 𝑎+𝑏−𝑏 =𝑐−𝑏 𝑎 =𝑐−𝑏 Se observa como consecuancia que el término “pasó” restando al otro lado de la ecuación, por lo tanto podemos afirmar que: 𝑆𝑖 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑐 − 𝑏 Del mismo modo dada la ecuación: 𝑎−𝑏 =𝑐 Entonces si sumamos el opuesto de – 𝑏 a ambos lados de la ecuación y simplificamos: 𝑎−𝑏+𝑏 =𝑐+𝑏 𝑎 =𝑐+𝑏 Se observa como consecuancia que el término “pasó” sumando al otro lado de la ecuación, por lo tanto podemos afirmar que: 𝑆𝑖 𝑎 − 𝑏 = 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑐 + 𝑏 Ejemplo: Resolver la ecuación: 𝑎 + 15 = 3 Solución: Al considerar la ecuación: 𝑎 + 15 = 3 y sumando el opuesto de 15 y aplicando la propiedad anterior resulta: 𝑎 = 3 − 15 = −12 Comprobación: 𝑎 + 15 = −12 + 15 = 3

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

135

   ECUACIONES

Ejemplo: Un automóvil recorrió 80 km. a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo demoró en recorrer la distancia señalada? Solución: Sabemos que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo, situación que representamos a través de la siguiete fracción: 𝑣=

𝑑 𝑡

O bien: 𝑑 =𝑣∙𝑡 Sustituyendo los valores de la velocidad y el tiempo en esta ecuación, se tiene: 80 = 60 ∙ 𝑡 Para despejar la variable 𝑡, multiplicamos por el inverso multiplicativo de 60 a ambos lados de la ecuación: 1 1 ( ) ∙ 80 = ( ) ∙ 60 ∙ 𝑡 60 60 Simplificando obtenemos: 4 =𝑡 3 4

Lo que significa que el tiempo transcurrido es 𝑡 = 3 (horas), equivalentemente 1 hora y 20 minutos. El ejemplo anterior motiva la siguiente propiedad:

Propiedad de la Multiplicación Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, y si 𝑎 = 𝑏, entonces: 𝑎∙𝑐 =𝑏∙𝑐

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


136

Notar que multiplicar o dividir por un número diferente de cero, es produce una propiedad equivalente, esto es: Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales con 𝑐 ≠ 0 y si 𝑎 = 𝑏, entonces: 𝑎∙

1 1 =𝑏∙ 𝑐 𝑐

O bien: 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑐 Ejemplo: Resolver la ecuación:

3 4

𝑦 = −6.

Solución: Como podemos ver en la ecuación anterior, el coeficiente que acompaña la variable 𝑦 es

3 4

y su recíproco o inverso multiplicativo es 4

4

, luego

3

multiplicamos ambos lados de la ecuación por 3: 4 3 4 ( ) ∙ ( 𝑦) = ( ) ∙ (−6) 3 4 3 Luego: 𝑦=−

24 = −8 3

Comprobando con 𝑦 = −8: 3 3 𝑦 = ∙ −8 = 3 ∙ −2 = −6 4 4 En general si un término distinto de cero está multiplicando a un lado de una ecuación: 𝑎∙𝑐 =𝑏 Luego, al multiplicar por el recíproco de 𝑐, con 𝑐 ≠ 0 a ambos lados de la ecuación y simplificando, resulta:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

137 1 1 𝑏 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ⟷ 𝑎 ∙ (𝑐 ∙ ) = 𝑏 ∙ ⟷ 𝑎= 𝑐 𝑐 𝑐



En consecuencia, el término “pasa” al otro lado de la ecuación dividiendo.

  ECUACIONES

Por lo tanto: 𝑆𝑖 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 𝑦 𝑐 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 =

𝑏 𝑐

De la misma manera si un término diferente de cero está dividiendo a un lado de la ecuación: 𝑎 =𝑏 𝑐 Podemos multiplicar por el a ambos lados de la ecuación, obteniendo: 𝑎 𝑎 =𝑏 ↔ ∙𝑐 = 𝑏∙𝑐 ↔ 𝑎 =𝑏∙𝑐 𝑐 𝑐 En consecuencia el término “pasa” al otro lado de la ecuación multiplicando. Por lo tanto: 𝑆𝑖

𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑐 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑐 𝑐

Ejemplo: Resolver la ecuación: 5𝑦 = −

10 3

Solución: Dada la ecuación: 5𝑦 = −

10 3

Procedemos utilizando la propiedad anterior, 5 “pasa” dividiendo al lado derecho de la ecuación: 𝑦=−

10 2 =− 3∙5 3

Problema Una llave puede llenar un tanque de agua en 4 minutos, otra llave puede llenar el mismo tanque de agua en 5 minutos. ¿En cuanto tiempo se llenará el tanque si se abren ambas llaves juntas?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


138

Ecuaciones de una variable en ambos miembros de la igualdad Es tipo de ecuaciones se basa en la igualdad de dos ecuaciones de primer grado, utilizando la propiedad de la suma podemos “dejar” a un lado de la ecuación el término algebraico y al otro lado el término numérico. Problema: Un recipiente A contiene 550 litros de agua y se está llenando a razón de 45 litros de agua de otro recipiente B que contiene 1000 litros. ¿En cuanto tiempo tendrán la misma cantidad de agua ambos recipientes? Solución: En 𝑡 minutos, el recipiente A tendrá: 550 + 45𝑡, litros de agua. En los mismos 𝑡 minutos, el recipiente B tendrá: 1000 − 45𝑡, litros de agua. Ahora bien, tenemos que igualar ambas expresiones y encontrar el valor de 𝑡 que haga verdadera la ecuación, esto es: 550 + 45𝑡 = 1000 − 45𝑡 Observemos que esta ecuación tiene una expresión lineal a ambos lados de la igualdad, procederemos combinando las propiedades anteriores, con el objetivo de “despejar” la variable 𝑡. Sumando 45𝑡 a amos lados de la igualdad: 550 + 45𝑡 + 45𝑡 = 1000 − 45𝑡 + 45𝑡 Simplificando: 550 + 90𝑡 = 1000 Ahora sumamos el inverso aditivo de 550 a ambos lados de la ecuación: −550 + 550 + 90𝑡 = −550 + 1000 Simplificando: 90𝑡 = 450 Dividimos por 90: 𝑡=

450 45 = =5 90 9

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

139


Comprobando con 𝑡 = 5: 550 + 45𝑡 = 550 + 45 ∙ 5 = 775, y además 1000 − 45𝑡 = 1000 − 45 ∙ 5 = 775, por tanto la igualdad es verdadera. Problemas Resueltos: Un automóvil deja la ciudad A y va a la ciudad B a una rapidez constante de 95 km/h. Al mismo tiempo, otro automóvil deja la ciudad B rumbo a la ciudad A, a una rapidez constante 120 km/h. Si la distancia desde A hasta B es 614 km. ¿En cuánto tiempo se encuentran ambos automóviles? ¿Qué distancia recorre cada automóvil? Solución: Identificamos la información: La rapidez del automóvil que viaja de A hasta B es 95 km/h. La rapidez del automóvil que viaja de B hasta A es 120 km/h.

-

95 km/h

A

120 km/h Punto de encuentro

B

614 km

-

La distancia entre las ciudades A y B es 614 km.

Establecer una estrategia de resolución: Se define la incógnita distancia en km recorrida por uno de los vehículos. Luego, considerando la distancia entre las ciudades A y B, se escribe algebraicamente la distancia recorrida por el otro vehículo en términos de la incógnita distancia que se ha especificado. Además, se determina otra incógnita para el tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse. Luego, con los datos velocidad, tiempo y distancia correspondiente a cada vehículo se plantean dos ecuaciones según la fórmula 𝑣 ∙ 𝑡 = 𝑑. Finalmente se resuelve el sistema de ecuaciones con alguno de los métodos estudiados para determinar el valor de cada incógnita. Ahora resolvemos el problema:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


140 𝑑

La rapidez de un automóvil se calcula con la siguiente fórmula: 𝑣 = , donde 𝑡

𝑑 es la distancia recorrida por el automóvil , 𝑡 el tiempo que tarda el automóvil en recorrer esa distancia 𝑑 y 𝑣 la velocidad del automóvil. Despejando la variable 𝑑 de la fórmula anterior se obtiene: 𝑣 ∙ 𝑡 = 𝑑 (∗)

Sea 𝑑1 la distancia en kilómetros que recorre el automóvil que viaja a 95 km/h hasta llegar al punto de encuentro. Si la distancia entre ambas ciudades es 614 km, el otro automóvil necesariamente recorre (614 − 𝑑1 ) kilómetros hasta el punto de encuentro, como se ilustra a continuación.

Respecto al tiempo, ambos vehículos salieron a la misma hora de cada ciudad y al encontrarse tambien coinciden en horario, por lo tanto, ambos han recorrido distintas distancias pero en el mismo intervalo de tiempo. Llamaremos 𝑡 al tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse. Si reemplazamos los datos de cada automóvil en la fórmula (∗), obtenemos las siguientes ecuaciones: 95𝑡 = 𝑑1 (1) 120𝑡 = 614 − 𝑑1 (2) Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones, a continuación mostraremos dos. 1. sustitución

2. reducción

Reemplazando la ecuación (1) en (2) se Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) obtiene obtenemos la ecuación: 120𝑡 = 614 − 95𝑡 215𝑡 = 614 /: 215 Luego resolvemos la ecuación anterior 𝑡 ≈ 2,86 ∗ 120𝑡 = 614 − 95𝑡 120𝑡 + 95𝑡 = 614 215𝑡 = 614 /: 215 𝑡 ≈ 2,86 ∗ *valor aproxiamdo a la centésima

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

141



Reemplazando el tiempo 𝑡 = 2,86 h en la ecuación (1), se tiene que 𝑑1 = 271,7 km, por lo tanto, el otro vehículo recorre 614 − 271,7 = 342,3 km.



Además podemos expresar el tiempo en horas y minutos como se muestra a continuación

 ECUACIONES 2,86 = 2 ℎ +

0,86 ⏟ ℎ 0,86∙60≈52 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Por lo tanto, 2,86 horas corresponde a 2 horas y 52 minutos aproximadamente. Finalmente, se concluye que los automóviles se encuentran en 2 horas y 52 minutos aproximadamente. El vehículo que viaja a 95 km/h recorre 271,7 km y el que viaja a 120 km/h recorre 342,3 km. Problemas Propuestos a) Una molécula de azúcar, tiene el doble de átomos de hidrógeno que de oxígeno y un átomo más de carbón que de oxígeno. Si una molécula de azúcar tiene un total de 45 átomos ¿Cuántos son de oxígeno? ¿Cuántos son de hidrógeno? b) El tiempo de una ingeniera consultora se factura a $35.000 por hora y el de su asistente a $11.000 por hora. Un cliente recibe una cuenta de $773.000 por cierto trabajo. Si la asistente trabajó 5 horas menos que la ingeniera. ¿Cuánto tiempo facturó cada una en el trabajo? c) Los arqueólogos pueden determinar la estatura de un ser humano sin tener un esqueleto completo. Si un arqueólogo encuentra sólo un húmero, puede determinar la estatura del individuo usando una relación lineal simple. Para una mujer, si 𝑥 es la longitud del húmero (en cm), entonces su estatura ℎ (en cm) se puede encontrar con la fórmula ℎ = 65 + 3,14𝑥; para un hombre, debe usarse la fórmula ℎ = 73,6 + 3𝑥 i. Se encuentra el esqueleto de una mujer que tiene un húmero de 30 cm, ¿Cuál es la estatura a su fallecimiento? ii. Si la estatura de un hombre al morir fue 1,81 m ¿Cuánto mide su húmero a su fallecimiento? d) La altura ℎ (en pies) de la base de una nube se puede estimar usando la ecuación ℎ = 227(𝑇 − 𝐷), donde 𝑇 es la temperatura del suelo y 𝐷 el punto de rocío. Calcula la temperatura del suelo si el punto de rocío es 65°F y la base de la nube está a 3500 pies. A las 10:00 am el jefe de Carlos le pide que quite las hierbas del jardín. Por experiencia, Carlos sabe que esto le tomará 3 horas y media trabajando sólo.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

   

 ECUACIONES  ECUACIONES

142 Su compañero Gonzalo, cuando realiza el mismo trabajo tarda 6 horas. Como Gonzalo irá a jugar un partido de fútbol con Carlos a las 1:00 pm acepta ayudarle. Suponiendo que no hay ganancia ni pérdida en la eficiencia ¿A qué hora terminarán si trabajan juntos? ¿Lograrán llegar a la hora para jugar el partido de fútbol? e) Alejandra pinta sólo cuatro habitaciones en 10 horas. Si contrata a Martina, para ayudarle, pueden hacer el mismo trabajo en 6 horas. Si deja a Martina sola ¿Cuánto tardará ella en pintar las cuatro habitaciones? f) Un fabricante de té quiere vender una nueva mezcla. Para ello mezclará té negro con aroma a limón que se vende a $5.000 por kg con un poco de té negro con aroma a naranja que se vende a $3.000 por kg para obtener 50 kg de la nueva mezcla, cuyo precio será $4.500 por kg y no debe haber diferencia entre los ingresos por la venta separada o de la mezcla ¿Cuántos kg de cada té se requieren? g) Un hombre deja su hogar manejando a 64 km/h. cuando su automóvil se descompone camina por la misma ruta hacia su casa a 8 km/h. Si el recorrido completo, conducción y caminata, le tomó dos horas un cuarto ¿Cuántos kilómetros caminó hasta su casa? h) La altura ℎ sobre el suelo de un cohete de juguete, 𝑡 segundos después de que es lanzado, está dada por ℎ = −16𝑡 2 + 120𝑡 ¿Cuándo estará el cohete 180 pies sobre el suelo? i) La temperatura 𝑇 (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación ℎ (en metros sobre el nivel del mar) por la ecuación ℎ = 1000(100 − 𝑇) + 580 (100 − 𝑇)2. La altura del Monte Everest es aproximadamente 8840 m. Estime la temperatura a la que el agua hierve en la cima de la montaña. (sugerencia: use la fórmula cuadrática con 𝑥 = 100 – 𝑇) j) En un rectángulo un lado mide 43 cm más que el otro ¿Cuáles pueden ser las medidas de los lados del rectángulo si su área es 328 cm2? Los cubos marcados con la misma letra tienen igual peso. Determina el peso de cada cubo. T C

R

E

R

R

S

L

L

C

E

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



143 Para resolver el problema, contesta las siguientes preguntas: i.

¿Qué letra representa el cubo de mayor peso? Justifica tu

respuesta.



ii. iii.

 SISTEMAS DE ECUACIONES 

Determina el peso del cubo E. Justifica tu respuesta. ¿Cuál es la letra que le corresponde a los otros cubos?

L 10 kg.

20 kg.

30 kg.

40 kg.

50 kg.

100 kg.

Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones, es en buenas cuentas, es un conjunto de ecuaciones con dos o más incognitas, que forman un problema que consiste en encontrar los valores para las variables involucradas que satisfacen las ecuaciones simultáneamente. Introduciremos tres métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, a través de tres problemas ad-hoc. Problema 1: Pablo le dijo a su hermana Sandra: “Si le sumas 1 a mi edad, obtendrás un número igual que duplicar la edad de Eduardo, luego de disminuirla en 1. Si le restas 1 a mi edad, obtendrás un número igual a la edad de Eduardo aumentada en 1” Solución: Llamemos 𝑃 a la edad de Pablo y llamemos 𝐸 a la edad de Eduardo, entonces: 𝑃 + 1 = 2(𝐸 − 1) 𝑃−1=𝐸+1 Reescribiendo las ecuaciones anteriores, de modo tal que las variables aparezcan a la izquierda y los coeficientes numéricos a la derecha: 𝑃 − 2𝐸 = −2 𝑃−𝐸 =2

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



144 Procederemos a despejar una de las dos variables involucradas en cada ecuación, en nuestro caso elegimos la variable 𝑃, por lo tanto: 𝑃 = −2 + 2𝐸

  SISTEMAS DE ECUACIONES 

𝑃 = 2+𝐸 Observemos que ambas ecuaciones representan a una misma variable 𝑃 a través de dos expresiones algebraicas diferentes, por tanto podemos igualar ambas ecuaciones: −2 + 2𝐸 = 2 + 𝐸 Ahora, resolvemos para 𝐸: 𝐸=4 Luego, utilizamos cualquiera de las dos ecuaciones originales del sistema para hallar el valor de la variable 𝑃, en efecto de la segunda ecuación: 𝑃 = 2+𝐸 = 2+4 =6 Por lo tanto Pedro tiene 6 años y Eduardo 4 años. Hemos resuelto el sistema a través del método de igualación, que a continuación detallamos: Método de Igualación Al momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando este método, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Depejamos una misma variable en ambas ecuaciones del sistema (cualquiera). 2. Igualamos las expresiones resultantes para las variables que se han despejado en el paso anterior. 3. Resolvemos la ecuación que resulta luego de igualar las expresiones algebraicas. 4. El valor obtenido de la ecuación anterior, es sustituido en cualquiera de las ecuaciones del primer paso, de este modo calculamos el valor de la otra variable. 5. Comprobamos, reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones originales.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

145

   SISTEMAS DE ECUACIONES 

Problema 2: 𝑥

Si a la fracción 𝑦, le restamos 1 al numerador y sumamos 3 al denominador 2

obtenemos 3. Por otra parte, si sumamos 2 al numerador y restamos 2 al 5

denominador obtenemos 2. ¿Cuál es el valor de la fracción? Solución: Del planteamiento anterior, podemos establecer el siguiente sistema de ecuaciones: 𝑥−1 2 = 𝑦+3 3 𝑥+2 5 = 𝑦−2 2 Observemos que el sistema anterior no se asemeja a un sistema compuesto por dos ecuaciones lineales o de primer grado, sin embargo, si asumimos que los denominadores del lado izquierdo son diferentes de cero o bien 𝑦 ≠ −3, 𝑦 ≠ 2, entonces podemos multiplicar “cruzado”, así: 3(𝑥 − 1) = 2(𝑦 + 3) 2(𝑥 + 2) = 5(𝑦 − 2) Multiplicando y simplificando el sistema anterior se puede reescribir como: 3𝑥 − 2𝑦 = 9 2𝑥 − 5𝑦 = −14 Luego, multiplicando por 2 la primera ecuación y por 3 la segunda ecuación, se obtiene: 6𝑥 − 4𝑦 = 18 6𝑥 − 15𝑦 = −42

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

146


Observemos que en este sistema, en ambas ecuaciones los coeficientes de la variable 𝑥 son iguales, por tanto restando ambas ecuaciones se tiene (la segunda menos la primera):

6𝑥 − 15𝑦 − (6𝑥 − 4𝑦) = −42 − 18 Simplificando: −11𝑦 = −60 Dividiendo por -11: 𝑦=

60 11

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales: 3𝑥 − 2 ∙

60 =9 11

Resolviendo para 𝑥: 𝑥=

1 120 1 99 + 120 1 219 73 ∙ (9 + )= ∙( )= ∙( )= 3 11 3 11 3 11 11

Luego, la fracción buscada es: 73 𝑥 73 = 11 = 60 60 𝑦 11 Comprobando: 73 𝑥 − 1 11 − 1 = = 𝑦 + 3 60 + 3 11

62 11 = 62 = 2 93 93 3 11

73 𝑥 + 2 11 + 2 = = 𝑦 − 2 60 − 2 11

95 11 = 95 = 5 38 38 2 11

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

147

     SISTEMAS DE ECUACIONES   SISTEMAS DE ECUACIONES 

Para resolver este tipo de problemas empleamos el método de reducción.

Método de Reducción Arquimides, considerado uno de los más grandes pensadores de la antigüedad. Se cuenta que el rey Herón sospechaba que un joyero había adulterado la corona de oro puro que le había encargado a fabricar, y le pidió a Arquímides que confirmara o desechara su teoría. Un día, mientras tomaba un baño, Arquímides pensó que el agua que se desbordaba en la tina, tenía que ser igual al volumen de su cuerpo que estaba sumergido, y salió desnudo por las calles de Siracusa (Sicilia) gritando “¡Eureka, Eureka!” (¡Lo encontré!). Basándose en esta idea pudo determinar el volumen de la corona. De esta forma pudo comprobar que la corona tenía un volumen mayor que el de un objeto de oro del mismo peso, y por consiguiente la corona no era de oro puro

Al momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando este método, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Multiplicamos cada ecuación por aquellos coeficientes o números que nos permitan, en ambas ecuaciones, obtener coeficientes iguales de alguna de las variables involucradas. 2. Sumamos o restamos las ecuaciones para simplificar una variable, con esto logramos una ecuación en una variable. 3. Resolvemos la ecuación que resulta luego de simplificar una variable. 4. El valor obtenido de la ecuación anterior, es sustituido en cualquiera de las ecuaciones del primer paso, de este modo calculamos el valor de la otra variable. 5. Comprobamos, reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones originales. Problema 3: Dados dos materiales diferentes con iguales volúmenes, obtendremos en general pesos diferentes. El peso depende del material utilizado, en esto consiste el peso específico o densidad de un determinado material, se expresa en 𝑘𝑔/𝑚3 . Por ejemplo si un bloque de vidrio pesa 10 kilos, el mismo volumen de agua pesa 3 kilos, entonces la densidad del vidrio en relación al agua es de 10/3, aproximadamente 3,33. La suma de las densidades del acero y del oro es de 27,08. La densidad del oro es mayor que la del acero, pero si restamos 5,72 a la densidad del oro y le sumammos 5,72 a la del acero, obtenemos dos cantidades iguales. ¿Cuál es la densidad de cada material?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

148


Solución: Llamemos 𝑂 a la densidad del oro y 𝐴 a la densidad del acero. Luego, planteamos el siguiente sistema de ecuaciones: 𝑂 + 𝐴 = 27,08 𝑂 − 5,72 = 𝐴 + 5,72 Despejando 𝐴 de la primera ecuación: 𝐴 = 27,08 − 𝑂 Sustituyendo 𝐴 en la segunda ecuación: 𝑂 − 5,72 = (27,08 − 𝑂) + 5,72 Resulta una ecuación en la variable 𝑂, la cual procedemos a resolver: 2𝑂 = 27,08 + 5,72 + 5,72 = 38,52 Diviendo por 2 para despejar 𝑂: 𝑂 =19,26 Ahora sustituyendo el valor de 𝑂 , en cualquiera de las dos ecuaciones originales, en nuestro caso la primera: 19,26 + 𝐴 = 27,08 Se obtiene el valor de 𝐴 = 7,82. Comprobando: 𝑂 + 𝐴 = 19,26 + 7,82 = 27,08 𝑂 − 5,72 = 19,26 − 5,72 = 13,54 𝐴 + 5,72 = 7,82 + 5,72 = 13,54 Por lo tanto se satisfacen ambas ecuaciones. A continuación se detalla el procedimiento utilizado para resolver el sistema precedente.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

149

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


150

Metodo de sustitución Al momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando este método, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Depejamos una variable en alguna de las ecuaciones del sistema (cualquiera). 2. Sustituímos la variable del punto anterior, en la otra ecuación del sistema. 3. Resolvemos la ecuación que resulta luego realizar la sustitución. 4. El valor obtenido de la ecuación anterior, es sustituido en cualquiera de las ecuaciones del primer paso, de este modo calculamos el valor de la otra variable. 5. Comprobamos, reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones originales.

Problemas Propuestos 1.

Resuelva los siguientes sistemas de ecuación:

2.

En un monedero hay un total de $ 8.500 distribuidos en 33 monedas {

{

2𝑥 − 𝑦 = −4 4𝑥 = 4 + 2𝑦

𝑥 + 3𝑦 = 6 5𝑥 = −15𝑦 + 30

8 + 𝑦 − 4𝑥 = −2𝑥 + 4 2𝑥 + 3 = −𝑦 + 7 1 𝑥 + 𝑦 = −2 {2 1 1 𝑥− 𝑦=1 8 4 {

3 𝑦 = − 5𝑥 2 { 𝑦 3 +𝑥 = 5 10 de dos tipos, unas de $ 100 Y el resto de $ 500. De acuerdo a estos datos Pilar y Mario escribieron dos sistemas de ecuaciones diferentes.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

151


Según el contexto de la situación inicial ¿Qué representa 𝑥 e 𝑦 en cada caso? 𝑥 + 𝑦 = 33 Pilar: 100𝑥 + 500𝑦 = 8.500

Mario:

𝑥 + 𝑦 = 8500 𝑥 𝑦 + 100 = 33 500

3. Plantea un sistema de ecuaciones y luego resuélvelo para dar respuesta a los siguientes problemas. a. Un atleta se entrena nadando en un río. Primero nada contra la corriente y demora 30 minutos en recorrer 2000 metros. Luego, nada a favor de la corriente y demora 15 minutos en recorrer la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad del nadador respecto del río? ¿y la velocidad del río respecto de la orilla? b. El gerente de Starbucks decide experimentar con una nueva mezcla de café. Mezclará algo de café colombiano grado B que se vende $ 475 el kg con algo de café de Arabia de grado A que se vende en $1200 el kg, para obtener 50 kg de la nueva mezcla. El precio de venta de la nueva mezcla debe ser $790 por kg y no debe haber diferencia en la ganancia por vender la nueva mezcla comparada con vender otros tipos. ¿Cuántas libras de café grado B colombiano y grado A de Arabia y se requiere? c. Dos ciudades están conectadas por una carretera. Un auto sale de la ciudad B a las 1:00 pm y avanza a una rapidez constante de 40 mi/h hacia la ciudad C. treinta minutos después, otro auto sale de la ciudad B y avanza hacia C a una velocidad constante de 55 mi/h. Si no consideramos las longitudes de los autos ¿A qué hora el segundo auto alcanzará al primero? d. Dos guardias de una empresa tienen radios de comunicación con un alcance máximo de 3 km. Uno de ellos sale de cierto punto a la 1:00 y camina al norte a razón de 6,4 km/h. El otro sale del mismo punto a las 1:15 y camina al sur a 9,6 km/h. ¿Desde qué hora no podrán comunicarse entre sí? e. Una compañía médica produce dos tipos de válvulas para el corazón; la estándar y la de lujo. Para hacer una válvula estándar son necesarios 5 minutos en el torno y 10 en la prensa taladradora, mientras que para la válvula de lujo son necesarios 9 minutos en el torno y 15 en la prensa. Cierto día el torno está disponible 4 horas y la prensa 7. Si utilizan las máquinas en forma continuada ¿Cuántas válvulas de cada tipo se fabrican? f.

Tres tubos de ensayo contienen diferentes niveles de líquido. Para que

tuvieran el mismo nivel, se hicieron tres transferencias de líquidos, así,

1 3

del

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

152 primero se vació en el segundo, de lo que quedó en el segundo se vació



al tercero, y lo que quedó en el tercero se vació

1

1 4

al primero. Después de lo

10

anterior, cada tubo quedó con 9 ml ¿cuántos ml tenía cada tubo inicialmente?

  ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 

Ecuación de Segundo Grado La ecuación general de segundo grado tiene la forma: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0. Para resolverla realizaremos completación de cuadrados: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Dejando el coeficiente numérico al lado derecho de la igualdad: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = −𝑐 Recordemos que: 2

(𝑥 +

Factorizando por 𝑎 al lado izquirdo:

𝑏 𝑏 𝑏 ) = 𝑥2 + 2 ( ) 𝑥 + ( ) 2𝑎 2𝑎 2𝑎

2

𝑏 𝑎(𝑥 2 + 𝑥) = −𝑐 𝑎

Dividiendo por 𝑎 ≠ 0: 𝑏 𝑐 𝑥2 + 𝑥 = − 𝑎 𝑎 𝑏

2

Sumando a ambos lados (2𝑎) , para completar un cuadrado de binomio a la izquierda: 𝑏 𝑏 2 𝑐 𝑏 2 𝑥 + 𝑥+( ) =− +( ) 𝑎 2𝑎 𝑎 2𝑎 2

Formando el cuadrado de binomio a la izquierda: 𝑏 2 𝑐 𝑏 2 𝑐 𝑏2 (𝑥 + ) = − + ( ) = − + 2 2𝑎 𝑎 2𝑎 𝑎 4𝑎 Sumando los términos numéricos a la derecha: 𝑏 2 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 (𝑥 + ) = 2𝑎 4𝑎2

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



153 Aplicando raiz cuadrada a ambos lados de la igualdad: 𝑥+



𝑏 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = ±√ = 2𝑎 4𝑎2 2|𝑎|

 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO  𝑏 2 −4𝑎𝑐

El símbolo ± aparece debido a que el cuadrado de √ resulta ser

𝑏 2 −4𝑎𝑐 4𝑎2

4𝑎2

𝑏 2 −4𝑎𝑐

o de −√

4𝑎2

,

, por lo tanto: 𝑏

𝑥 + 2𝑎 = ±

√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

Dejando la variable 𝑥 a la izquierda, se obtiene: 𝑥=−

𝑏 √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ± = 2𝑎 2𝑎 2𝑎

Finalmente la solución general de la ecuación de segundo grado, puede escribirse como : −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 Observemos que el símbolo ±, significa que en la fórmula anterior se puede realizar la suma como la diferencia, y por lo tanto habrá dos soluciones para la ecuación general, a saber: 𝑥1 =

−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ; 𝑥2 = 2𝑎 2𝑎

Cuando el coeficiente 𝑎 es cero, la ecuación cuadrática desaparece, y por tanto la aplicación de la fórmula anteriro no tiene sentido. Con 𝑎 = 0, la ecuación resulta: 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, la cual es de primer grado y ya sabemos resolverla. Por otra parte la cantidad subradical 𝑏 2 − 4𝑎𝑐, recibe el nombre de discriminante y se representa por el símbolo ∆. Dependiendo de los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 el discriminante puede ser negativo, en tal caso diremos que la ecuación no tiene solución real. Ejemplo: Resolver la ecuación: 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = 0

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

 

154 Solución: De la ecuación 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = 0, podemos distinguir los coeficientes: 𝑎 = 9, 𝑏 = −6, 𝑐 = 1, así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución general, obtenemos:

 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 

𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(−6) ± √(−6)2 − 4 ∙ (9) ∙ (1) = 2𝑎 2∙9

Realizando los cálculos aritméticos: 𝑥=

6 ± √36 − 36 6 1 = = 18 18 3 1

De aquí que la única solución es 𝑥 = 3. Observemos que esto ocurre cuando el discriminante es cero. Ejemplo: Resolver la ecuación: 𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 0 Solución: De la ecuación 𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 0, podemos distinguir los coeficientes: 𝑎 = 1, 𝑏 = −1, 𝑐 = 1, así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución general, obtenemos: 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ (1) ∙ (1) = 2𝑎 2∙1


1 ± √1 − 4 1 ± √−3 = 2 2

De aquí deducimos que la ecuación 𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 0, no tiene solución real, puesto que ∆= −3 < 0. Ejemplo: Resolver la ecuación: 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 Solución:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



155 De la ecuación 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0, podemos distinguir los coeficientes: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, 𝑐 = 2, así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución general, obtenemos:

 𝑥=


−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(−3) ± √(−3)2 − 4 ∙ (1) ∙ (2) = 2𝑎 2∙1


9 ± √9 − 8 9 ± √1 9 ± 1 = = 2 2 2

De aquí deducimos que la ecuación 𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 0, tiene dos soluciones reales, puesto que ∆= 1 > 0, a saber las soluciones son: 𝑥1 =

9+1 2

=

10 2

= 5; 𝑥2 =

9−1 2

8

=2=4

Finalmente, las soluciones son 𝑥1 = 5 y 𝑥2 = 4. Problemas Resueltos 1. Un obrero debe delimitar un terreno rectangular con 200 metros de cerca. Calcula las dimensiones del terreno, si su área debe ser de 2176 m2 y hay que utilizar todos los metros de cerca disponibles. Solución:

Identificamos la información: -

El terreno es rectangular. Se disponde de 200 metros para cercar terreno. El área del terreno debe ser 2176 m2.

Estableciendo una estrategia de resolución: Se definen las incógnitas correspondientes a los lados del rectángulo. Luego, considerando el perímetro del rectángulo, se escribe algebraicamente un lado del rectángulo en términos del otro. Con ambos lados del rectángulo, se escribe la expresión algebraica correspondiente a su área y se iguala a 2176 m2, que es el área que exige el problema. Finalmente se resuelve la ecuación de segundo grado planteada. Resolviendo el problema:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



156 Sea 𝑥 la medida en metros del ancho del rectángulo e 𝑦 la medida en metros del largo del rectángulo, como se muestra en la figura 1.

  ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 

Se dispone de 200 metros para cercar el terreno, entonces 200 m es el perímetro del rectángulo. Luego, se escribe la ecuación correspondiente al perímetro y se despeja una de las dos incógnitas: 2𝑥 + 2𝑦 = 200 2𝑥 + 2𝑦 = 200 /: 2 𝑥 + 𝑦 = 100 𝑦 = 100 − 𝑥 (1)

Con el resultado de la ecuación (1), se escribe el largo y ancho del rectángulo utilizando una sola variable, como se muestra en la figura 2.

Se sabe que el área del terreno rectangular debe ser 2176 m2 y el área de un rectángulo se calcula multiplicando las medidas de su largo y ancho, entonces, la ecuación correspondentiente al área del rectángulo de la figura 2 es: ⏟ 𝑥 ∙ (100 ⏟ − 𝑥) = 2176 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

Ahora debemos resolver la ecuación anterior 100𝑥 − 𝑥 2 = 2176

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

 

157 Al multiplicar las expresiones algebraicas obtenemos una incógnica al cuadrado, por lo tanto se trata de una ecuación de segundo grado. Para resolver esta ecuación, es necesario igualar a cero e identificar los parámetros 𝑎, 𝑏 y 𝑐 de una ecuación cuadrátrica.


0 = 𝑥 2 − 100𝑥 + 2176 En este caso 𝑎 = 1, 𝑏 = −100 y 𝑐 = 2176. Luego, estos números se reemplazan en la fórmula cuadrática 𝑥 =

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐

𝑥1

2𝑎

.

𝑥2

−(−100) − √(−100)2 − 4 ∙ 1 ∙ 2176 2∙1 2∙1 100 − √10000 − 8704 100 + √10000 − 8704 𝑥2 = 𝑥1 = 2 2 100 − √1296 100 + √1296 𝑥2 = 𝑥1 = 2 2 100 − 36 100 + 36 𝑥2 = 𝑥1 = 2 2 𝑥2 = 32 𝑥1 = 68 Finalmente se reemplaza x1 y x2 en la ecuación (1) para calcular, en cada caso, la medida del largo del rectángulo. Si el ancho mide 68 m, el largo será 32 m, mientras que si el ancho es 32 m, el largo será 68 m. =

−(−100) +

√(−100)2

− 4 ∙ 1 ∙ 2176

=

Luego, las medidas de los lados del terreno rectangular deben ser 68 y 32 metros. Problemas Propuestos a. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: i. ii. iii. iv. v. vi. vii.

9𝑦 2 − 8𝑦 + 10 = 0 4𝑧 2 + 11𝑧 + 45 = 0 28𝑤 2 + 45𝑤 + 18 = 0 12𝑥 2 − 57𝑥 + 40 = 0 25𝑤 2 − 40𝑦 = 0 1 𝑦 + 3 + 𝑦+3 = 1 5

𝑤−3 2

1

3

+ 𝑤−6 = 2

viii. 𝑥 + √2𝑥 + 4√2 = 0 𝑎+2 11 𝑎+7 ix. 𝑎+6 + 3 = 𝑎−3 b. La suma de los cuadrados de dos números es igual a 157. El menor de ellos es igual a 6. ¿Cuál es el mayor?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



158 c. Encuentra dos números cuya suma sea -2 y cuyo producto sea -48

d. El papá de mi amigo vivió muchos años. Poco antes de morir, me dijo: “Soy un hombre afortunado pues he logrado conocer tantos nietos que  ECUACIÓN DE el número de ellos multiplicado por la cuarta parte del mismo número es SEGUNDO GRADO  igual a 256. Además, mi edad es ya el triple del número de nietos que tengo”. ¿Cuántos nietos y qué edad tenía en ese momento? e. A la hora del almuerzo, un profesor repartió entre sus alumnos los fondos que había reunido durante el año, que ascendían a $200, asignando a cada uno cierta cantidad. Antes de terminar la repartición llegaron 5 alumnos más, por lo que repartió nuevamente, tocando a cada uno $2 menos que en la primera repartición. ¿Cuántos alumnos eran inicialmente?



f. Una panadería reparte 120 piezas de pan que sobraron el día anterior entre cierto número de personas, y a cada una le toca una cantidad igual. Al ver la reacción de las familias del poblado, el dueño decide repartir al día siguiente igual número de piezas de pan, sólo esta vez llegan 4 personas más y a todas las personas les tocan 5 piezas menos. ¿Cuántas personas llegaron cada día? g. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal es 4 unidades mayor que cualquiera de los lados. h. Un vendedor de frutas compró un cierto número de racimos de plátano por $400. Cinco racimos estaban muy maduros y no pudo venderlos, así que aumentó $10 al precio de cada uno de los racimos sobrantes, y al venderlas todas obtuvo una ganancia de $50. ¿Cuántos racimos compró inicialmente? i. Los antiguos griegos consideraban que los rectángulos más bellos eran aquellos a los que si se les quita un cuadrado de lado igual a su lado menor, las razones de los lados originales y los nuevos lados son iguales, es decir, si uno de dichos rectángulos tiene lado largo a y lado corto b y se le quita un cuadrado de lado b, el rectángulo tiene un lado b y un lado a-b. En 𝑎 𝑏 consecuencia si 𝑏 = 𝑎−𝑏, decimos que el rectángulo es un rectángulo de oro 𝑎

y la razón de sus lados 𝑟 = 𝑏 se llama razón de oro. ¿Cuánto vale la razón de oro? j. El área de un triángulo rectángulo mide 24 metros cuadrados, y la hipotenusa mide 10 metros. Calcula las longitudes de los catetos.

k. Los catetos de un triángulo miden x y 2x-10. La hipotenusa mide 2x1. ¿Cuánto mide cada cateto y cuánto mide la hipotenusa del triángulo? l. Un terreno de forma de triángulo rectángulo tiene las siguientes dimensiones: uno de los lados mide 144 metros y la hipotenusa es 9 metros más 8 veces el otro lado. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?, ¿Qué área tiene?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA m. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 390 metros. La altura sobre la hipotenusa mide 60 metros. Calcula las longitudes de los lados del triángulo.

159

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

160



Intervalos



Para definir un intervalo utilizaremos la notación de conjuntos y las relaciones de orden < ó ≤.

 INTERVALOS 

Recordemos que un número 𝑎 ∈ ℝ será menor que un número real 𝑏 ∈ ℝ, cuando la diferencia 𝑏 − 𝑎, sea un número real positivo. Además diremos que 𝑎 es menor o igual a 𝑏 si y sólo si a es menor a b o bien a es igual a b. i.

Si 𝑎 < 𝑏, definimos el conjunto: (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} Se llamará conjunto abierto y geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

ii. Si 𝑎 < 𝑏, y ambos son incluidos en el conjunto, definimos: [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Se llamará conjunto cerrado y geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

iii. Si 𝑎 < 𝑏, y 𝑎 es incuido en el conjunto, definimos: [𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} Se llamará conjunto semi-abierto representaremos de la siguiente forma:

y

geométricamente

lo

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

   INTERVALOS 

161 iv. Si 𝑎 < 𝑏, y 𝑏 es incluido en el conjunto, definimos: (𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} También se llamará conjunto semi-abierto y geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

v. Si 𝑏 ∈ ℝ, se define el conjunto: (−∞, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 𝑏} Conjunto formado por todos los números reales menores que 𝑏, geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

vi. Si 𝑏 se incluye en el conjunto, se define: (−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 𝑏} Conjunto formado por todos los números reales menores o iguales que 𝑏, geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

vii. Si 𝑎 ∈ ℝ, se define el conjunto: (𝑎, −∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 𝑎} Conjunto formado por todos los números reales mayores que 𝑎, geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



 

162 viii. Si 𝑎 ∈ ℝ, se define el conjunto: [𝑎, −∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 𝑎}



 DESIGUALDADES   INTERVALOS 

Conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales que 𝑎, geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

Inecuaciones Lineales Una expresión que contenga los símbolos <, >, ≤, ≥ se llama desigualdad. Una desigualdad expresa el orden relativo de dos expresiones matemáticas. Las expresiones pueden ser numéricas o algebraicas. Las siguientes son desigualdades: 1<7 3𝑥 + 16 ≥ 9 𝑥 2 + 𝑥 + 2 < 5 − 2𝑦 Si tenemos una desigualdad, el conjunto solución de esta, es un conjunto de números, cada elemento de los cuales, cuando es reemplazado en cada aparición de la variable, resulta una desigualdad verdadera. La gráfica del conjunto solución de una desigualdad se ubica en la recta numérica. El conjunto solución de 𝑥 > 3, es el conjunto de números reales que son mayores que 3, sin embargo, el 3 no está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el círculo blanco simboliza esta situación.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

163

El conjunto solución de 𝑥 < 3, es el conjunto de números reales que son menores que 3, sin embargo, el 3 no está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el círculo blanco  simboliza esta situación.

  DESIGUALDADES  El conjunto solución de 𝑥 ≤ 3, es el conjunto de números reales que son menores o iguales que 3, en este caso el 3 si está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el paréntesis cuadrado simboliza esta situación:

El conjunto solución de 𝑥 ≥ 3, es el conjunto de números reales que son mayores o iguales que 3, en este caso el 3 si está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el círculo redondo simboliza esta situación.

Consideremos la desigualdad: 𝑥 + 3 > 7, luego podemos verificar que para 19

los valores de 𝑥 = 5, 9, 3 , la desigualdad es verdadera: 5+3> 7 9+3> 7 19 +3>7 3 2 Por otra parte, se verifica que para los valores de 𝑥 = 4, 3 , −4, la desigualdad es falsa: 3+3> 7 2 +3>7 3 −4 + 3 > 7 Para la desigualdad 𝑥 + 3 > 7 hay muchos valores para los cuales es verdadera, en efecto el conjunto solución que la hace verdadera es cualquier número mayor que 4.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

164

Propiedad aditiva de las desigualdades

 

El mismo número se puede sumar a ambos lados de una desigualdad sin alterar el conjunto solución de esta:

 DESIGUALDADES 

𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐

Para el caso de los símbolos ≤ y ≥, la propiedad es equivalente: 𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐 𝑆𝑖 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 ≥ 𝑏 + 𝑐 Ejemplo: Si comenzamos con una desiguladad verdadera 7 > 4, utilizando la propiedad aditiva de las desigualdades y sumando 3 a ambos

lados, obtenemos: 7 + 3 > 4 + 3, simplificando ambas sumas, logramos una nueva desigualdad verdadera: 10 > 7 En el siguiente ejemoplo, realizaremos el mismo análisis pero con nñumeros negativos Ejemplo: Comencemos con la desigualdad verdadera −9 < −1, utilizando nuevamente la propiedad aditiva de las desigualdades y sumando 2 a ambos lados, obtenemos: −9 + 2 < −1 + 2, simplificando ambas sumas, logramos una nueva desigualdad verdadera: −7 < 1

Problemas Resueltos 1. Resuelve y grafica la desigualdad: 5𝑥 − 6 ≤ 4𝑥 − 4 Solucion: Como podrás observar en la desigualdad anterior, en ambos lados de la desigualdad aparece la varialble 𝑥, nuestro primer objetivo es dejar la aparición de la variable 𝑥 a la

 UNIDAD 2: ÁLGEBRA



165 izquierda de la desigualdad, para esto sumamos −4𝑥 a ambos lados: 5𝑥 − 4𝑥 − 6 ≤ 4𝑥 − 4𝑥 − 4

  DESIGUALDADES Simplificando: 

𝑥 − 6 ≤ −4

Nuestro segundo objetivo será dejar la variable 𝑥 sola a la izquierda de la desigualdad, para esto sumamos 6 a ambos lados: 𝑥 − 6 + 6 ≤ −4 + 6

Recuerda que si multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número positivo, la desigualdad no se altera. En cambio si multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad se invierte.

Simplificando se obtiene: 𝑥≤2 Así el conjunto solución de la desigualdad 5𝑥 − 6 ≤ 4𝑥 − 4, es el conjunto de números menores o iguales a 2, gráficamente:

Propiedad multiplicativa de las desigualdades El mismo número positivo se puede multiplicar a ambos lados de una desigualdad sin alterar el conjunto solución de esta: 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 Para el caso de los símbolos ≤ y ≥, la propiedad es equivalente: 𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 ≤ 𝑏 ∙ 𝑐 𝑆𝑖 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 ≥ 𝑏 ∙ 𝑐 Sin embargo, si una desigualdad es multiplicada a ambos lados por un mismo número negativo, se invierte el orden de esta, sin modificar el conjunto solución de esta:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

166



𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐

  DESIGUALDADES

Para el caso de los símbolos ≤ y ≥, la propiedad es equivalente: 𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 ≥ 𝑏 ∙ 𝑐 𝑆𝑖 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 ≤ 𝑏 ∙ 𝑐

3

Ejemplo: Resuelve la desigualdad: − 2 𝑥 ≤ 6 Al considerar la desigualdad anterior, debemos multiplicar a ambos lados por 3

2

el recírpoco de − 2, que corresponde al número − 3, luego: 3 2 3 2 − 𝑥 ≤ 6 ↔ (− ) ∙ (− ) ∙ 𝑥 ≥ (− ) ∙ 6 2 3 2 3 Obsrevar que la desigualdad anterior se invierte ya que se ha multiplicado por un número negativo, de aquí resulta: Recuerda: Al resolver una desigualdad, debes operar de la misma forma que al resolver una ecuación, excepto que cuando  multiplicas o divides la desigualdad por un número negativo, debes invertir el símbolo de la desigualdad.

𝑥 ≥ −4

El conjunto solución está formado por todos los números mayores o iguales a -4. La gráfica resulta ser:

Ejemplo: 5

5

Resuelve la desigualdad: − 8 𝑥 ≤ 12 Al considerar la desigualdad anterior debemos multiplicar a ambos lados por 5

8

el recíproco de − 8, que corresponde al número − 5, luego:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

167

5 5 8 5 8 5 − 𝑥≤ ↔ (− ) ∙ (− ) ∙ 𝑥 ≥ (− ) ∙ ( ) 8 12 5 8 5 12

   DESIGUALDADES

Obserevar que la desigualdad anterior se invierte ya que se ha multiplicado por un número negativo, de aquí resulta: 2 3 El conjunto solución está formado por todos los números mayores o iguales a 2 − 3. 𝑥≥−

Problemas Resueltos 1. Hace 10 años un hombre tenía 10 veces la edad de su hijo. Si actualmente la suma de la edad del padre más el doble de la del hijo es menor o igual que 60. ¿Qué edad puede alcanzar el padre? Solución: Sea 𝑥 la edad del hombre y sea 𝑦 la edad de su hijo en la actualidad. La edad del hombre hace 10 años corresponde a 𝑥 − 10, además en ese momento el hombre tenía 10 veces la edad de su hijo, por lo tanto si la edad del hijo es amplificada por 10 se obtiene la edad del padre en ese momento, esto es: 10𝑦 = 𝑥 − 10 Además, actualmente sumar la edad del padre más el doble de la edad de su hijo, se puede expresar como: 𝑥 + 2𝑦, y para que esta sema sea menor o igual que 60, se plantea la desigualdad: 𝑥 + 2𝑦 ≤ 60 Para resolver esta desigualdad haremos uso de la primera ecuación 10𝑦 = 𝑥 − 10, donde si se divide por 5 se obtiene la ecuación equivalente: 2𝑦 = entonces reemplazando en la desigualdad: 𝑥+ Luego:

𝑥 − 10 ≤ 60 5

𝑥−10 5

,

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

168 𝑥+



𝑥 10 − ≤ 60 5 5

Simplificando:

  DESIGUALDADES 

𝑥+

𝑥 − 2 ≤ 60 5

Sumando 2 a ambos lados:

𝑥+

𝑥 − 2 + 2 ≤ 60 + 2 5

Simplificando números y expresiones algebraicas: 6𝑥 ≤ 62 5 Multiplicando por 5 y dividiento por 6, ambos positivos, se obtiene: 6𝑥 5

5

5

∙ 6 ≤ 62 ∙ 6

Simplificando: 𝑥 ≤ 62 ∙ Finalmente: 𝑥 ≤

155 3

5 6

≈ 51, 6̅, luego el padre puede tiene a lo más 51 años.

2. Paula tiene $150 más que María, y Juan tiene $100 más que el triple que lo que tiene María, si el dinero de Paula y María juntos no exceden lo que tiene Juan. ¿Cuánto puede tener María si se sabe que tiene menos de $80? Solución: Tenemos 3 personajes: Paula, María y Juan, que denotaremos con las letras P, M y J, entonces:  Paula tiene $150 más que maría, es decir a María le faltan $150 para igualar a Paula, en símbolos: 𝑃 = 150 + 𝑀  Juan tiene $100 más que el triple que lo que tiene María. Si el triple que lo que tiene María se simboliza por 3𝑀, entonces a 3𝑀 le sumamos 100 para obtener 𝐽, en símbolos: 𝐽 = 3𝑀 + 100

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



169  El dinero de Paula y María juntos no exceden lo que tiene Juan, en símbolos: 𝑃 + 𝑀 < 𝐽

  DESIGUALDADES  

Se sabe que María tiene menos de $80, en símbolos: 𝑀 < 80

Ahora procedemos a ordenar la información anterior reemplazando 𝑃 = 150 + 𝑀 y 𝐽 = 3𝑀 + 100 en la desigualdad 𝑃 + 𝑀 < 𝐽, entonces: (150 + 𝑀) + 𝑀 < (3𝑀 + 100) Simplificando, obtenemos: 150 + 2𝑀 < 3𝑀 + 100 Restando 150 a ambos lados: 150 − 150 + 2𝑀 < 3𝑀 + 100 − 150 Obtenemos: 2𝑀 < 3𝑀 − 50 Ahora restamos 3𝑀 a ambos lados: 2𝑀 − 3𝑀 < 3𝑀 − 3𝑀 − 50 Simplificando: −𝑀 < −50 Multiplicando ambos lados de la desigualdad por -1, e invirtiendo la desigualdad: −𝑀 ∙ (−1) > −50 ∙ (−1) Finalmente 𝑀 > 50, pero sabemos por enunciado que 𝑀 < 80, entonces María puede tener entre $50 y $80. 3. Un servicio de lavado de automóviles ofrece lavado, aspirado y encerado a un valor de $ 7.000 por vehículo. Si en materia prima y mano de obra se gasta $2.500 por vehículo y además hay costos fijos mensuales de $100.000, ¿Cuál es la menor cantidad de automóviles que hay que lavar para obtener al menos $500.000 de ganancia mensual?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

170

Solución:

 

Identificando la información:

 DESIGUALDADES 

-

Lavado de un automóvil: $ 7.000 Costo por vehículo: $ 2.500 Costo fijo mensual: $ 100.000 Obtener al menos $ 500.000 de ganancia mensual

Establecemos una estrategia de resolución Se define la incógnita número de vehículos lavados mensualmente. Luego, se escribe algebraicamente el ingreso, el costo mensual y la ganancia en términos de la incógnita definida. Finalmente, considerando que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000 se escribe la inecuación entre la ganancia mensual escrita algrebraicamente y el mínimo requerido. Resolviendo el problema: Sea 𝑥 la cantidad de vehículos lavados mensualmente. La expresión algebraica correspondiente al ingreso mensual por los vehículos lavados es 7.000 ∙ 𝑥 Mientras que el costo mensual queda expresado como 2.500 ∙ x + 100.000 Por lo tanto, la ganancia, que corresponde a la diferencia entre el ingreso y el costo, queda expresada de la siguiente manera 7.000 ∙ 𝑥 − (2.500 ∙ 𝑥 + 100.000) 7.000 ∙ 𝑥 − 2.500 ∙ 𝑥 − 100.000 4.500 ∙ 𝑥 − 100.000 Además se sabe que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000, esto significa que debe ser mayor o igual a $500.000, luego la inecuación que representa esta situación es 4.500 ∙ 𝑥 − 100.000 ≥ 500.000

Ahora debemos resolver la inecuación

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

171 4.500 ∙ 𝑥 − 100.000 ≥ 500.000 / ÷ 500 9 ∙ 𝑥 − 200 ≥ 1.000 / +200 9 ∙ 𝑥 ≥ 1.200 /÷9 𝑥 ≥ 133,333 …

    SISTEMAS DE INECUACIONES 

Como 𝑥 corresponde a cantidad de vehículos, puede tomar solo valores enteros positivos y el cero, luego si la solución de la inecuación indica que 𝑥 debe ser mayor o igual a 133,33… el menor entero que cumple con tal condición es 134. Finalmente, para obtener una ganancia de al menos $500.000 se deben lavar por lo menos 134 vehículos al mes. Sistemas de Inecuaciones Una aplicación interesante a la resolución de inecuaciones, es la resolución de sistemas de inecuaciones, para esto podemos resolver dos tipos de inecuaciones. El siguiente problema se resuelve planteando un sistema formado por una ecuación y una inecuación, en ejemplos precedentes se puede observar un planteamiento muy similar, sin embargo, la técnica de resolución del sistema no fue exhaustiva, más bien el problema se tradujo en resolver una inecuación, dado que este era el objetivo planteado. En el siguiente problema presentamos un desarrollo completo y exhaustivo. Sistema formado por una ecuación y una desigualdad Las dimensiones de un rectángulo son números enteros. Los lados satisfacen las siguientes condiciones: el triple del largo más el doble del ancho es mayor que 8 metros. El doble del largo más el triple del ancho es igual a 9 metros. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo? Solución: Llamemos x el largo e y el ancho del rectángulo:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

172

   SISTEMAS DE INECUACIONES 

En lenguage algebraico, el problema se traduce en resolver el siguiente sistema: 3𝑥 + 2𝑦 > 8 2𝑥 + 3𝑦 = 9 Despejaremos ambas variables de la desigualdad. Primero procederemos por sustitución en la variable 𝑦, para esto multiplicamos por 3 la desigualdad, y por 2 la igualdad, el sistema queda de la siguiente forma: 9𝑥 + 6𝑦 > 24 4𝑥 + 6𝑦 = 18 Con esto los coeficientes de la variable 𝑦 coinciden en la desigualdad y en la ecuación, despejamos 6𝑦 en la ecuación, donde obtenemos: 6𝑦 = 18 − 4𝑥 Luego procedemos a sustituir 6𝑦 en la desigualdad: 9𝑥 + 6𝑦 > 24 ↔ 9𝑥 + (18 − 4𝑥) > 24 Reordenando: 9𝑥 − 4𝑥 > 24 − 18 Por lo tanto: 5𝑥 > 6 Así:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

173 𝑥>



6 5

 Ahora procederemos por sustitución en la variable 𝑥, para esto multiplicaremos  SISTEMAS DE por 2 la desigualdad y por 3 la igualdad, el sistema queda de la siguiente INECUACIONES  forma: 6𝑥 + 4𝑦 > 16 6𝑥 + 9𝑦 = 27 Con esto los coeficientes de la variable 𝑥 coinciden en la desigualdad y en la ecuación, despejamos 6𝑥 en la ecuación, donde obtenemos: 6𝑥 = 27 − 9𝑦 Luego, sustituimos 6𝑥 en la desigualdad original: 6𝑥 + 4𝑦 > 16 ↔ (27 − 9𝑦) + 4𝑦 > 16 Reordenando: −9𝑦 + 4𝑦 > 16 − 27 Por lo tanto: −5𝑦 > −11 Multiplicando a ambos lados de la inecuación anterior por -1, e invirtiendo el orden de la desigualdad: 5𝑦 < 11 Así: 𝑦<

11 5 6

Con esto 𝑥 es un entero positivo mayor que 5 = 1,2, es decir mayor o igual a 2, e 𝑦 es un entero positivo menor que

11 5

= 2,2, es decir 𝑦 = 1 ó 𝑦 = 2.

Ahora si tomamos 𝑦 = 1 y lo sustituimos en la ecuación original, se obtiene: 2𝑥 + 3 ∙ 1 = 9 De donde:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

174 𝑥=


(9 − 3) 6 = =3 2 2

Por lo tanto 𝑥 = 3 e 𝑦 = 1, es solución del sistema. Observemos que 3 es mayor que 1, por tanto el valor de 𝑥 satisface tanto la ecuación como la inecuación. Por otra parte, si tomamos 𝑦 = 2 y lo sustituimos en la ecuación original, se obtiene: 2𝑥 + 3 ∙ 2 = 9 De donde: 𝑥=

(9 − 6) 3 = = 1,5 2 2

Sin embargo 1,5 no es un número entero, por tanto desechamos esta solución del sistema. Luego, la única posibilidad es: 𝑥 = 3 e 𝑦 = 1. Valoramos el sistema para comprobar la correctitud de nuestra solución: 3𝑥 + 2𝑦 = 3 ∙ (3) + 2 ∙ (1) = 11 > 8 2𝑥 + 3𝑦 = 2 ∙ (3) + 3 ∙ (1) = 9 Ejemplo: Resolver el sistema: 5𝑥 − 6𝑦 > 6 𝑥 + 2𝑦 = 6 Solución: Multiplicamos la igualdad por 3, obteniendo: 5𝑥 − 6𝑦 > 6 3𝑥 + 6𝑦 = 18 Observemos que en el sistema anterior una alternativa de solución es sumar a ambos lados de la desigualdad la igualdad obtenida, lo cual es equivalente a la resolución de un sistema por reducción, de esta forma, el sistema la desigualdad del sistema anterior es equivalente a: (5𝑥 − 6𝑦) + (3𝑥 + 6𝑦) > 6 + 18 De donde obtenemos:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

175

 8𝑥 > 24

  SISTEMAS DE INECUACIONES 

Dividiendo por 3: 𝑥>3 Repitiendo el mismo procedimiento, multiplicamos la igualdad por -5, obteniendo: 5𝑥 − 6𝑦 > 6 −5𝑥 − 10𝑦 = −30

Sumando a ambos lados de la desigualdad logramos: −16𝑦 > −24 Dividiendo por -16 e invirtiendo la desigualdad: 𝑦>

−24 3 = −16 2 3

Por lo tanto, las soluciones del sistema son: 𝑥 > 3, 𝑦 > 2. Sistema formado por dos desigualdades Método Gráfico de un sistema de dos desigualdades Un fabricante de relojes tiene costos fijos de $140 diarios más $72 por concepto de mano de obra y materiales por cada reloj fabricado. Si cada reloj se vende en $107, ¿Cuántos relojes debe producir y vender diariamente para que no haya pérdida ni ganancias? Solución: El costo total (CT) de producción de 𝑥 relojes, está dado por la ecuación:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA


176 𝐶𝑇 = 72𝑥 + 140 Adicionalmente, puesto que cada reloj se vende en $107, los ingresos (I) correspondientes son: 𝐼=107x Para garantizar que no haya pérdida ni ganancias, el costo total y los ingresos deben ser iguales, es decir: 𝐼 = 𝐶𝑇 ↔ 107𝑥 = 72𝑥 + 140 Resolviendo la ecuación: 107𝑥 = 72𝑥 + 140 Se tiene que su solución es: 𝑥 = 4

Por lo tanto se deben producir y vender al menos 4 televisores, para no tener pérdidas. Al dibujar las rectas que representan los costos totales e ingresos, observamos que se intersectan cuando 𝑥 = 4,

De la figura anterior, se observa que si 𝑥 > 4, los ingresos superan a los costos de producción, es decir la recta 𝑦 = 107𝑥, está sobre la recta:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

177

𝑦 = 72𝑥 + 140, y por lo tanto hay ganancias.


Por otra parte si 𝑥 < 4, los costos de producción están sobre los ingresos, es decir la recta 𝑦 = 72𝑥 + 140, está sobre la recta 𝑦 = 107𝑥, y por lo tanto hay pérdidas. Ejemplo:Dibujar la región comprendida por aquellos puntos que se encuentran arriba de la recta 5𝑥 − 𝑦 = 0 y debajo de la recta 2𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0. Escribir las desigualdades correspondientes. Solución: Primero escribiremos las ecuaciones de la forma usual: 𝑦 = 5𝑥 2 𝑦 =− 𝑥+1 3

Luego, los puntos que están arriba de la recta 𝑦 = 5𝑥, son aquellos puntos que satisfacen la desigualdad: 𝑦 > 5𝑥 2

Y los que están por debajo de la recta 𝑦 = − 3 𝑥 + 1, son aquellos que satisfacen la desigualdad: 2 𝑦 < − 𝑥+1 3

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

178

Entonces, la siguiente gráfica representa la región solicitada:


Ejemplo: Dibujar la región determinada por las desigualdades: 𝑦 < −2𝑥 − 3 y 6𝑥 + 𝑦 − 1 ≥ 0. Solución: Primero dibujaremos las rectas: 𝑦 = −2𝑥 − 3 𝑦 = −6𝑥 + 1

UNIDAD 2: ÁLGEBRA



179 En un mismo sistema de coordenadas resulta:

  SISTEMAS DE INECUACIONES 

Luego, identificamos la región que se encuentra debajo de la recta 𝑦 = −2𝑥 − 3, es decir 𝑦 < −2𝑥 − 3, sobre y encima de la recta 𝑦 = −6𝑥 + 1, es decir 𝑦 ≥ −6𝑥 + 1. Observar que la recta 𝑦 = −2𝑥 − 3 no está en la región, pero los puntos de la recta 𝑦 = −2𝑥 − 3 si están en la región.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

180

 Problemas Propuestos:

  PROBLEMAS 

a) La temperatura T (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación h (en metros sobre el nivel del mar) por la ecuación ℎ = 1000(100 − 𝑇) + 580 (100 − 𝑇)2 para 95 ≤ T ≤ 100. ¿Cuál es el intervalo para la elevación h? b) Supóngase que los consumidores adquieren 𝑞 unidades de un artículo a un precio de

20800 𝑞

+ 265 (en miles de pesos) por unidad ¿Cuántas

unidades se deben vender para obtener ingresos mayores a un millón de pesos? c) Un almacén que confecciona ropa deportiva vende cierta cantidad de poleras a $18.500 cada una. Si los costos fijos de producirlas son $100.000 a la semana y la mano de obra y material es $12.000 por poleras ¿Cuántas poleras se deben confeccionar para tener utilidades cada semana? d) La compañía A arrienda automóviles por $ 17.500 el día más $ 30 el km. La compañía B cobra $ 15.000 diarios más $38 el km. Se necesita arrendar un auto por 5 días. ¿En qué rango de km hay que permanecer para tener ventaja económica al arrendar uno de la compañía B? e) ¿Para qué valores de 𝑥 el perímetro del rectángulo A es superior al del rectángulo B?

f) Una industria que confecciona camisetas estampadas emplea un servicio externo de estampado a un costo de $1.965 por camiseta. El dueño de la industria calcula que si ellos hacen ese trabajo, los costos por camiseta se reducen a $ 470, más un costo fijo de operación de $108.000 a la semana. ¿Cuántos estampados debe realizar la industria semanalmente para justificar

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

181 la inversión en un equipo de estampación?

   PROBLEMAS 

g) Un estudiante tiene que rendir tres pruebas parciales, las notas en dos ellas fueron 4,5 y 5,0 y en tareas tiene un promedio de 4,7. Si las tareas ponderan un 10% y el promedio de las notas parciales un 90% ¿Qué nota como mínimo debe obtener en la última prueba para eximirse? (un estudiante se exime si tiene al menos un 5,0 de promedio) h) El costo de publicar cada ejemplar de un periódico es de $ 400. Los ingresos por ventas son de $ 350 por unidad y los ingresos por concepto de publicidad son el 20% de los ingresos obtenidos por las ventas que sobrepasen los 10.000 ejemplares. ¿Cuántos periódicos se debe vender para obtener utilidades superiores a $ 5.000.000? i) La desigualdad triangular es un teorema de geometría que establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. Según lo anterior ¿Para qué valores de 𝑥 se cumple la desigualdad triangular la figura?

2𝑥 −8

𝑥 +6

40 − 𝑥

Problemas de recapitulación 1. Para evitar los choques por alcance en caminos que están siendo reparados, donde se utiliza una pista para ambos sentidos, se recomienda ocupar la siguiente fórmula: 𝑑 = 0,55 ∙ 𝑣 donde 𝑑 representa la distancia (metros) mínima entre dos vehículos y 𝑣 la velocidad (Km/h) que llevan los móviles. Si dos vehículos están a una distancia de 17,6 m ¿Cuál es la velocidad que deben llevar los vehículos para evitar un choque por alcance?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

182


2. Una de las fórmulas utilizadas en el trabajo con gases es 𝑝∙𝑣 =𝑛∙𝑟∙𝑡 Donde p: presión (MPa) ; v: volumen (litros) ; n: mol (moles) ; r = 0,82 (constante) ; t: temperatura (Kelvin). El CO2 contenido en un recipiente ocupa un volumen de un litro, a una temperatura de 290,15°K y 1,12 MPa de presión. Determine la cantidad de moles presentes de CO2? 3. Rodrigo tarda 4 horas y media en instalar un cierre centralizado con alza vidrios a un vehículo, mientras que Sergio realiza el mismo trabajo en 6 horas. Si ambos mecánicos trabajarán juntos en efectuar la instalación ¿Cuánto tiempo tardarían? 4. En una fábrica de automóviles se comprobó que para velocidades mayores a 10 km/h y menores que 150 km/h el rendimiento de bencina (km/l) está relacionada con la velocidad 𝑣 (km/h) mediante la ecuación 𝑟 = 0,002𝑣(180 − 𝑣). ¿A qué velocidad el rendimiento del automóvil será 16 km/l? 5. Un bus sale de Santiago a 95 km/h. Una hora más tarde, un automóvil sale a 120 km/h del mismo punto y realizando el mismo recorrido que el bus para intentar alcanzarlo. Si ambos vehículos realizan el viaje a una rapidez constante ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al bus? ¿A cuántos kilómetros están de Santiago cuando ambos vehículos se encuentran? 6. El sueldo de un mecánico depende de una parte fija y otra variable. La parte fija es de $320.450 y la parte variable corresponde a las horas extras trabajadas mensualmente. ¿Cuántas horas extras aproximadas debe realizar en un mes para obtener un sueldo entre $650.000 y 800.000, si el valor de la hora extra es de $5.800?

7. Una de las ecuaciones que se utiliza para estimar el endurecimiento de un metal es: 𝑐 𝜎 = 𝜎0 + √𝑑 Dónde: σ0 : Dureza mínima (MPa); 𝑐: constante del material; 𝑑: diámetro de la partícula. Si se aplica un tratamiento térmico a la plancha de latón que tiene una dureza mínima 200 MPa (σ0) , en donde el diámetro es de 0,01 mm y su constante es de 6,8 ¿Cuál es el valor de la nueva dureza?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

183

   PROBLEMAS  8. La deflexión de una viga viene dado por la siguiente fórmula: −𝑃𝐿3 𝑌= 3𝐸𝐼 Dónde: 𝑃: peso de la viga; 𝐿: longitud de la viga 𝐸; 𝐼: constante de la viga ¿Cuál es la expresión al despejar 𝑃? 9. Para construir un muro Jaime tarda 5 días, mientras que Luis lo realiza en 3 días trabajando en idénticas condiciones. Si los dos albañiles trabajan juntos en hacer el muro ¿Cuánto tiempo tardan en construirlo? 10. En una obra de construcción se tiene 258 metros de cerca para encerrar un terreno rectangular de 8100 m2. Además el terreno, en uno de sus lados, estará cubierto por una cadena de cerros ¿Cuáles podrían ser sus dimensiones si se debe utilizar todos los metros de cerca disponibles? 11. Se quiere taladrar tres agujeros de igual diámetro d sobre una placa rectangular, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el diámetro d del agujero y la distancia l que los separa?

12. Para calcular el porcentaje de pendiente de un techo de un modelo de casa, se utiliza la siguiente fórmula : 𝐿 𝑃= −5 10 Donde L corresponde al largo del techo en metros. ¿Cuánto debe ser el largo del techo para tener una pendiente desde 10% a 25%? 13. Para obtener la cotización total a pagar de una empresa, se utiliza la siguiente fórmula 𝐶𝑇 = (0,95% + 𝐶𝐷%) ∙ 𝑇𝑅 donde:

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

184 𝐶𝑇: Cotización total a pagar; 𝐶𝐷: Cotización adicional diferenciada; 𝑇𝑅: Total de remuneraciones imponibles.


Determine la cotización total a pagar de una empresa que ha sufrido un alza en su cotización adicional diferenciada, correspondiente a un 2,55%, a causa de la gran cantidad de accidentes que ha sufrido este último tiempo, si el total de remuneraciones imponibles es de $65.000.000 y la cotización básica es de 0,95%. (Valor fijo establecido por ley 16744 “Constante”). 14. Para obtener la frecuencia de accidentabilidad se utiliza la siguiente expresión: 𝑁𝐴 𝐹𝐴% = ∙ 100 𝑁𝑇 donde: 𝐹𝐴: Frecuencia de accidentabilidad; 𝑁𝐴: Número de accidentes; 𝑁𝑇: Número de trabajadores. En la empresa “American Globe”, los trabajadores se exponen a diversos accidentes por el uso de máquinas y equipos que generan condiciones inseguras, ocasionando incapacidades temporales. Luego de recibir tratamiento médico la empresa permite al trabajador la recuperación de su capacidad de ganancia en un 100%. Calcule el número de accidentes producidos en la empresa considerando que la tasa de accidentabilidad es de 1,6% y la cantidad de trabajadores es de 1500. 15. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra por medio de un tanque. Éste es alimentado por dos llaves, una lo llena en 10 minutos y otra lo hace en 12 minutos y un desagüe, estando lleno, lo vacía en 45 minutos. Si el tanque está vacío y abierto el desagüe ¿En cuánto tiempo aproximado se llenará con ambas llaves abiertas? 16. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra por medio de un tanque que contiene 5000 galones de agua, la cual se drena desde el fondo del tanque. La ley de Torricelli da el volumen de agua que queda en el tanque después de 𝑡 minutos, lo que se calcula con la ecuación: v=

25 2 t − 250 t + 5000 8

¿En cuánto tiempo el tanque se vacía? ¿En cuánto tiempo el tanque disminuye su capacidad total a la mitad?

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

185 17. Un ingeniero desea preparar una mezcla de 100 g con dos sustancias diferentes A y B. Para su propósito el 60% de la mezcla debe ser de la sustancia A y el 40% de la sustancia B. Si dispone de 2 mezclas M1 y M2 cuyos contenidos son:


M1: 25% de la sustancia A y 75% de la sustancia B. M2: 80% de la sustancia A y 20% de la sustancia B.

¿Cuál es la cantidad aproximada que se requiere de la mezcla M1 para lograr lo que desea preparar el ingeniero?

Soluciones: 1. 32 kms/hr 2. Los moles presentes de CO2 son 0,05 4

3. 2 7 días 4. 80 km/h y 100 km/h 5. 3 horas y 48 minutos; 456 km. 6. La cantidad de horas extras está representado por el intervalo: (57 , 83) 7. R: La nueva dureza de la plancha es de 268 MPa 8. −

3EIY

7

L3

=P

9. 1 8 días. 10. Dos lados de 75 m y uno de 108 m ó dos lados de 54 m y uno de 150 m. 11. d = 2,83 cm y l = 1,17 cm 12. El largo del techo debe estar en el intervalo de: [51 , 52,5] mts. 13. $2.275.000 14. El número de accidentes es de 24

UNIDAD 2: ÁLGEBRA 15. 6 minutos y 12 segundos aprox. 16. 40 minutos; 11 minutos y 43 segundos aprox. 17. 36,36 grs. aproximadamente.

186

UNIDAD 3: PROGRESIONES

U

na parte importante del trabajo de los matemáticos consiste en buscar regularidades en conjuntos de números. A los matemáticos les gusta crear modelos que les ayuden a comprender la realidad profunda de las cosas.

Puede ser que empiecen el trabajo estudiando casos particulares sencillos, realizando cálculos fáciles; pero, inmediatamente, se plantean la necesidad de generalizar. En el momento que intuyen alguna pauta o regla que se cumple en muchos casos, tratan de demostrar su validez general, e intentan expresarla en lenguaje matemático, en su algebraico mundo de símbolos y fórmulas... Queremos que te introduzcas en ese mundo, estudiando los modelos más comunes que siguen las secuencias numéricas: las sucesiones recurrentes y las progresiones. Las lecturas de este apunte te servirán de guía turística en este viaje iniciático por los territorios del álgebra. Desentrañarás el misterio oculto bajo los números de Fibonacci; conocerás los descubrimientos del joven Gauss, y te sorprenderás con los increíbles cálculos encerrados entre las 64 casillas del tablero de ajedrez. También habrá ofertas de visitas facultativas para profundizar y ampliar conocimientos. Nos gustaría que este viaje te ayudase, no sólo a valorar la importancia de las matemáticas, sino sobre todo a disfrutar con ellas. No te hace falta mucho equipaje: tan sólo las ganas de pensar y de ser creativo, y unas dosis de ingenio... ¡Buen viaje! UNIDAD 3

PROGRESIONES

186


187

APRENDIZAJE ESPERADO CRITERIOS DE EVALUACIÓN 3.1 Aplica propiedades de sucesiones, 3.1.1 Resolver ejercicios mediante el uso de conceptos progresiones y sumatorias para realizar cálculos y propiedades de las sucesiones. sencillos. 3.1.2 Resolver ejercicios mediante el uso de conceptos y propiedades de las progresiones

3.1.3 Resolver ejercicios mediante el uso de conceptos y propiedades de las sumatorias

3.2

Resuelve problemas de la especialidad 3.2.1 Identifica problemas relativos a la especialidad mediante sucesiones, progresiones y sumatorias. que se relacionen con conceptos de sucesiones, sumatorias y progresiones.

3.2.2 Diferencia conceptos en sucesiones, sumatorias y progresiones, para poder aplicarlos en la resolución de problemas, identificando sus características y propiedades.

3.2.3 Aplica propiedades de las sucesiones, sumatorias y progresiones, en la resolución de problemas de la especialidad.


188

   SUCESIONES 

Búsqueda de una sucesión Problema 1: En la secuencia que se muestra a continuación, ¿Cuántos palitos de fósforos conforman la cuarta figura? ¿Cuántos palitos de fósforos conforman la figura nº50?

Las secuencias ordenadas de objetos, figuras geométricas, números o configuraciones variadas, tienen un gran atractivo lúdico: es divertido averiguar el criterio por el que han sido formadas y, por tanto, saber añadir los elementos. En la evolución de las matemáticas, las sucesiones son tan antiguas como los números naturales y sirven para estudiar, representar y predecir los fenómenos que ocurren en el tiempo de forma intermitente.

Está claro que cada figura se conforma por triángulos, en donde la figura uno está compuesta de 1 triangulo, la segunda figura por 2 triángulos, la tercera figura por tres triángulos. Por lo que la figura que continua, debería estar compuesta por 4 triángulos. Ahora, el primer triangulo se forma utilizando 3 palitos de fósforos, cada triangulo adicional se forma con 2 palitos, por este motivo, el cuarto triangulo se formara usando 2 palitos más que la figura anterior, como la figura 3 posee 7 palitos, entonces la figura cuatro tendrá 7 + 2 palitos, es decir, la figura 4 tendrá 9 palitos. Para responder la segunda pregunta, veamos la tabla que sigue. Figura

Figura

Palitos usados

Secuencia

1

3

3 = 3 + 0 = 3 + 2 ∙ (0)

2

5

3 + 2 = 3 + 2 ∙ (1)

3

7

3 + 2 + 2 = 3 + 2 ∙ (2)

…

…

…

50

…

N

… 3 + 2 + 2 + ⋯ + 2 = 3 + 2 ∙ (49)



En la escuela pitagórica, tanto el número como las magnitudes pertenecían a la categoría de cantidades. Sin embargo, eran entidades separadas. El número correspondía a colecciones de unidades indivisibles, permitían contar, mientras que las magnitudes surgen de la abstracción de cosas que se pueden medir. Los griegos no disponían de un sistema métrico como el nuestro, para medir debían comparar las magnitudes mediante sus razones.

189

Con esto, observamos que la secuencia se va formando mediante una constante, que es el 3, y un número que multiplica al 2, el cual es el antecesor del número de la figura en la que me encuentro. Por lo que, la cantidad de palitos utilizados para formar la figura 50 es 3 + 2 ∙ (50 − 1) = 3 + 2 ∙ (49) = 3 + 98 = 101 palitos

Sucesión, Construcción del término general. Como se ve en el ejemplo anterior. En la búsqueda de una figura mayor, es bueno encontrar algún patrón o una regla que predomina la construcción de estas figuras. Así, vamos a dar la siguiente definición. Definición: Una sucesión es una función definida de ℕ → ℝ que se acostumbra a denotar por 𝑎𝑛 en lugar de 𝑓(𝑛), así, 𝑎𝑛 ∈ ℝ, ∀ 𝑛 ∈ ℕ 𝑎𝑛 : se llama término n–ésimo o término de lugar n. 𝑎1 : es el primer término de la sucesión. 𝑎𝑘 : es el k–ésimo término de la sucesión.

Distintas formas de definir una sucesión Problema 2: Veamos las sucesiones definidas por su término n-ésimo, o bien, en forma recursiva. 𝑎) 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1 𝑏) 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 𝑐) 𝑎𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 𝑑) 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 = 2 + 𝑎𝑛 𝑒) 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 2, … , 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 𝑓) 𝑎1 = √2 , 𝑎2 = √2 + √2 , … , 𝑎𝑛+1 = √2 + 𝑎𝑛


190


Hay una clara diferencia entre los ejemplos 𝑎, 𝑏 y 𝑐, y los ejemplos 𝑑, 𝑒 y 𝑓. Ya que, en los 3 últimos, la definición depende del término anterior. Es decir, si queremos encontrar el termino 5, necesariamente necesito saber cuál es el termino 4. Es necesario encontrar técnicas para transformar una sucesión escrita de manera recursiva en una sucesión escrita en su forma general. Términos de una sucesión Dada la sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , su k–ésimo término es 𝑎𝑘 , el siguiente término es 𝑎𝑘+1 también llamado sucesor, el anterior al k–ésimo término es 𝑎𝑘−1 también llamado antecesor. 2𝑛−1

Problema 3: Dada la sucesión 𝑎𝑛 = 3𝑛+1, determine el k–ésimo término, el anterior y su siguiente término. De inmediato se tiene que: 2𝑘−1

𝑎𝑘 = 3𝑘+1 es el k–ésimo término. 2(𝑘−1)−1

2𝑘−2

2(𝑘+1)−1

2𝑘

𝑎𝑘−1 = 3(𝑘−1)+1 = 3𝑘−2 es el anterior término al k-ésimo. 𝑎𝑘+1 = 3(𝑘+1)+1 = 3𝑘+4 es el siguiente término al k-ésimo.

Formación de una sucesión Hemos visto que las sucesiones se pueden representar a través de un término general, o bien de manera recursiva. Ambos conceptos representan de manera clara el comportamiento de la sucesión, pero es mucho mejor solo tener una expresión que dependa de la posición en la que me encuentro, más que de su término anterior. Problema 4: Encontrar el término general solo en función de n, para la sucesión 𝑎1 = 1 , 𝑎𝑛+1 = 2 + 𝑎𝑛 donde 𝑛 ∈ ℕ




191

Realizaremos este análisis, creando la siguiente tabla.

  SUCESIONES 

Termino 1 2 3 4 … n

Valor 1 2+1=3 2+3=5 2+5=7 … 2 + 𝑎𝑛−1 = 𝑎𝑛

Regla de Formación 1 = 2 − 1 = 2(1) − 1 3 = 4 − 1 = 2(2) − 1 5 = 6 − 1 = 2(3) − 1 7 = 8 − 1 = 2(4) − 1 … 𝑎𝑛 = 2(𝑛) − 1

Con esto, vemos que la sucesión antes descrita de manera recursiva, se puede escribir de manera general como la sucesión 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1. La cual representa al término general de la sucesión. Representación gráfica de una sucesión Las sucesiones se pueden representar de manera gráfica en los reales, ya que son funciones de los naturales a los reales. Por lo que podemos realizar una gráfica de la sucesión. Por ejemplo, sea la sucesión anterior, 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1, entonces su grafica será de la siguiente manera.

Figura 1.

Figura 2.

En la Figura 1 vemos los puntos de la sucesión. Si se unen los puntos se puede apreciar la Figura 2 forman una recta, y es la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1. No siempre es fácil encontrar funciones continuas que pasen por esos puntos. Veamos el siguiente ejemplo, sea 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1


192

 

Entonces su grafica será de la siguiente manera.

 SUCESIONES 

Figura 3.

Figura 4.

En la figura 3 vemos los puntos de la sucesión. En la figura 4, no es sencillo encontrar una función que sea continúa y pase por esos puntos. Una función que cumple con esto es 𝑓(𝑥) = sin(𝜋𝑥) − cos(𝜋𝑥). Claramente no es la única que cumple con esto. Formas de expresar una sucesión: Describiendo los términos, una sucesión queda bien determinada siempre que sean conocidos los primeros términos y la ley por la cual pueden obtenerse nuevos términos, o bien, a través de la propiedad que caracteriza a cada uno de sus términos, por ejemplo: Ejemplo 1: Los números naturales acabados en siete: 7; 17; 27; 37; … Ejemplo 2: Los múltiplos de siete: 7; 14; 21; 28; 35; … Ejemplo 3: Reproducir “literalmente”, pero utilizando cifras, lo que está escrito en el término justo anterior: 1 11 21 1211 111221

“El primero es un uno” “El segundo son dos unos” “El tercero es un dos y un uno” “El cuarto es un uno, un dos y dos unos”

Otra forma de expresar una sucesión es mediante una expresión analítica, o fórmula del término general, ya que en estos casos basta con ir dando valores al contador del término general para ir obteniendo todos y cada uno de los términos de la sucesión.

UNIDAD 3: PROGRESIONES Ejemplo 1: 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 2, vamos dando a 𝑛 valores naturales empezando por 1, Así 𝑎1 = 2 ∙ 1 + 2 = 4 , 𝑎2 = 2 ∙ 2 + 2 = 6 , 𝑎3 = 2 ∙ 3 + 2 = 8, etc, quedando la sucesión 4; 6; 8; 10; 12; …


Ejemplo 2: 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 1, vamos dando a 𝑛 valores naturales empezando por 1, Así 𝑎1 = 12 − 1 = 0 , 𝑎2 = 22 − 1 = 3 , 𝑎3 = 32 − 1 = 8, etc, quedando la sucesión 0; 3; 8; 15; 24; …

Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, es conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:

Ejemplo 3: 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 3, vamos dando a 𝑛 valores naturales empezando por 1, Así 𝑎1 = 21 − 3 = −1 , 𝑎2 = 22 − 3 = 1 , 𝑎3 = 23 − 3 = 5, etc, quedando la sucesión −1; 1; 5; 13; 29; …

1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89.... que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría: "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?." Es fácil ver que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo. Φ=

1 + √5 = 1,618039 … 2

También se puede expresar una sucesión mediante una ley de recurrencia, es decir, una relación entre un término cualquiera y los anteriores, o entre un término, los anteriores y el lugar que éste ocupa.

Ejemplo 1: Un término cualquiera es igual a la suma de los dos que le preceden, es decir 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 , si partimos de 𝑎1 = 1, y 𝑎2 = 1, obtenemos la sucesión 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; …, conocida como sucesión de Fibonacci.

Ejemplo 2: Para la expresión que se representa con la Ley 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑛, con 𝑎1 = 1, obtenemos la siguiente sucesión 1; 3; 6; 10; 15; 21; … , A esta sucesión se le conoce como los números Triangulares. Ya que su forma de construcción es con triángulos. Como se muestra a continuación.

193



194

Ejemplo 3: Para la expresión que se representa con 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2, y 𝑎1 = 1, obtenemos la siguiente sucesión 1; 3; 5; 7; 9; 11; … Esta sucesión es la forma recursiva de escribir los números Impares.

Monotonía de una sucesión Una sucesión {𝑎𝑛 } es monótona creciente si 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 ∀ 𝑛 y es estrictamente creciente si 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 ∀ 𝑛 Obsérvese que la única diferencia entre sucesión creciente y estrictamente creciente es que en la segunda la desigualdad debe cumplirse necesariamente mientras que en las crecientes puede haber igualdad entre términos sucesivos. Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1 es una sucesión estrictamente creciente, ya que vemos que 𝑎𝑛+1 = 2(𝑛 + 1) + 1 = 2𝑛 + 3 y si observamos 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 3 − (2𝑛 + 1) = 2 > 0 ∀ 𝑛 ⇒

𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 ∀ 𝑛

Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = 3𝑛 + 1 es una sucesión estrictamente creciente, ya que vemos que 𝑎𝑛+1 = 3𝑛+1 + 1 = 3𝑛 ∙ 3 + 1 y si observamos 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 3𝑛 ∙ 3 + 1 − (3𝑛 + 1) = 2 ∙ 3𝑛 > 0 ∀ 𝑛 ⇒

𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 ∀ 𝑛

Ejemplo 3: La sucesión 𝑎𝑛 = log 𝑛 es una sucesión estrictamente creciente, ya que vemos que 𝑎𝑛+1 = log(𝑛 + 1) y si observamos 𝑛+1 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = log(𝑛 + 1) − log(𝑛) = log ( ) > log(1) = 0 ∀ 𝑛 𝑛 ⇒

𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 ∀ 𝑛


195

 Una sucesión es monótona decreciente si



𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 ∀ 𝑛

 SUCESIONES 

y es estrictamente decreciente si 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 ∀ 𝑛 Vale en este caso la misma observación que para las monótonas crecientes. Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = 5 − 2𝑛 es una sucesión estrictamente decreciente, ya que vemos que 𝑎𝑛+1 = 5 − 2(𝑛 + 1) = 3 − 2𝑛 y si observamos 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 3 − 2𝑛 − (5 − 2𝑛) = −2 < 0 ∀ 𝑛 ⇒

Hay sucesiones que no son monótonas, por ejemplo la sucesión 𝑎𝑛 = sen(𝑛)

𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 ∀ 𝑛

Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = −2𝑛 es una sucesión estrictamente decreciente, ya que vemos que 𝑎𝑛+1 = −2𝑛+1 = −2𝑛 ∙ 2 y si observamos 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = −2𝑛 ∙ 2 − (−2𝑛 ) = −2𝑛 < 0 ∀ 𝑛 ⇒

Vemos que esta sucesión no es creciente ni decreciente.

𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 ∀ 𝑛

1

Ejemplo 3: La sucesión 𝑎𝑛 = 𝑛 es una sucesión estrictamente decreciente, 1

ya que vemos que 𝑎𝑛+1 = 𝑛+1 y si observamos 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = Ya que al ver su gráfica, se observa que crece y decrece todo el tiempo.

1 1 −1 − = <0 ∀𝑛 𝑛 + 1 𝑛 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ⇒

𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 ∀ 𝑛

Demostrar en crecimiento o decrecimiento de una sucesión suele requerir el uso de inducción completa o de reducción al absurdo. Sin embargo, en ocasiones puede tomarse una función de variable real 𝑓 tal que 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 y estudiar el signo de la derivada primera de esta función para determinar crecimiento o decrecimiento. Si 𝑓 es monótona creciente (decreciente) la sucesión {𝑎𝑛 } también lo será.


196


Acotación La sucesión {𝑎𝑛 } está acotada superiormente si existe un número 𝑀 tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 para todo 𝑛. 1

Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = − 𝑛

es una sucesión que esta acotada 1

superiormente por 𝑀 = 0. Ya que 𝑎𝑛 = − 𝑛 ≤ 0 = 𝑀 ∀ 𝑛

Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = 2−𝑛 es una sucesión que esta acotada 1

1

superiormente por 𝑀 = 2. Ya que 𝑎𝑛 = 2−𝑛 ≤ 2 = 𝑀 ∀ 𝑛

Ejemplo 3: La sucesión 𝑎𝑛 = 2 − 3𝑛 es una sucesión que esta acotada superiormente por 𝑀 = −1. Ya que 𝑎𝑛 = 2 − 3𝑛 ≤ −1 = 𝑀 ∀ 𝑛

La sucesión {𝑎𝑛 } está acotada inferiormente si existe un número 𝑀 tal que 𝑀 ≤ 𝑎𝑛 para todo 𝑛. Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = 𝑛2 es una sucesión que esta acotada inferiormente por 𝑀 = 0. Ya que 𝑎𝑛 = 𝑛2 ≥ 0 = 𝑀 ∀ 𝑛

Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = 3𝑛 + 2 es una sucesión que está acotada inferiormente por 𝑀 = 5. Ya que 𝑎𝑛 = 3𝑛 + 2 ≥ 5 = 𝑀 ∀ 𝑛

1

Ejemplo 3: La sucesión 𝑎𝑛 = 𝑛

es una sucesión que esta acotada 1

inferiormente por 𝑀 = 0. Ya que 𝑎𝑛 = 𝑛 ≥ 0 = 𝑀 ∀ 𝑛

La sucesión {𝑎𝑛 } está acotada si está acotada superior e inferiormente es decir si |𝑎𝑛 | ≤ 𝑀 ∀ 𝑛

o bien

𝑚 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 ∀ 𝑛


197



Donde 𝑚 es cota inferior y 𝑀 es cota superior.



Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 es una sucesión acotada por 𝑀 = 1. Ya que |𝑎𝑛 | = |(−1)𝑛 | = |−1|𝑛 = 1𝑛 = 1 ≤ 1 = 𝑀 ∀ 𝑛

 SUCESIONES 

𝑛

Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = 𝑛+1 es una sucesión acotada. Pues esta Hay sucesiones que no son acotadas por ejemplo la sucesión

acotada inferiormente por 𝑚 = 0, y acotada superiormente por 𝑀 = 1. Es decir,

𝑎𝑛 = 𝑛 ∙ sen(𝑛)

𝑚=0≤

𝑛 ≤1=𝑀 ∀𝑛 𝑛+1

Vemos que esta sucesión no es acotada ni inferior, ni superiormente. Su grafica se ilustra cómo sigue.

Ejemplo 3: La sucesión 𝑎𝑛 = cos(𝑛) es una sucesión acotada por 𝑀 = 1. Ya que |𝑎𝑛 | = |cos(𝑛)| ≤ |1| = 1 = 𝑀 ∀ 𝑛

Se puede apreciar que crece en Ambas direcciones. Por lo que no puede ser acotada.

Convergencia de una sucesión A continuación se agregan gráficos de algunas sucesiones en los que se representan los términos de estas. 1. {𝑎𝑛 } =

(−1)𝑛 𝑛




198 𝑛2 2. {𝑎𝑛 } = 2 𝑛 +1


3. {𝑎𝑛 } = (−1)𝑛

4. {𝑎𝑛 } = 𝑛2

En la primera y en forma absolutamente intuitiva puede inferirse que, al crecer 𝑛, los términos de la sucesión (los puntitos) tienden a cero (0); en la segunda, tienden a uno (1); en la tercera tienden a (+1) o a (−1) y, en la cuarta parece que crecen más allá de todo límite. Estudiar la convergencia de una sucesión consiste precisamente en investigar a qué valor tiende el término genérico de la misma cuando 𝑛 → ∞. Si tiende a un número finito 𝑙 la sucesión se dice convergente, si tiende al "∞" o no existe el número 𝑙, la sucesión se dice divergente.




199

Los gráficos anteriores parecen indicar que las dos primeras son convergentes mientras que las otras son divergentes.


Daremos una definición de este concepto. Definición: Si los valores de 𝑎𝑛 se pueden hacer tan cerca como queramos a 𝐿 tomando valores de 𝑛 suficientemente cerca de ∞ (tan grandes como queramos), entonces escribimos lim 𝑎𝑛 = 𝐿

𝑛→∞

que leeremos "el límite de 𝑎𝑛 cuando 𝑛 tiende a ∞ es 𝐿 Entonces diremos que la sucesión es convergente. Se dirá divergente si 𝐿 no se puede determinar. 𝑛

Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = 𝑛+1 es convergente a 1, pues, a medida que 𝑛 crece, vemos que sus valores se aproximan cada vez más a uno. 𝑎1 =

1 1 = = 0,5 1+1 2

𝑎10 =

10 10 = = 0,909090 … 10 + 1 11

𝑎100 =

100 100 = = 0,99009900 … 100 + 1 101

𝑎10000 =

10000 10000 = = 0,999900009 … 10000 + 1 10001

Así, lim 𝑎𝑛 = 1

𝑛→∞

Por lo que la sucesión es convergente. Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 es divergente, puesto que, a medida que 𝑛 crece, vemos que sus valores no se aproximan a un número en particular, es más, siempre vale 1 y −1. 𝑎1000 = (−1)1000 = 1 𝑎1001 = (−1)1001 = −1 𝑎100000 = (−1)100000 = 1


 

200

𝑎100001 = (−1)100001 = −1 Y vemos que no converge.

 SUCESIONES  Ejercicios Resueltos Problema 1. Hallar sucesiones:

el

término

general

de

las

siguientes

1 1 1 1 ; ; ; ;… 2 3 4 5 1 2 3 4 5 𝑏) ; ; ; ; ; … 2 3 4 5 6 1 1 𝑐) − 3 ; −1 ; − ; 0 ; ; … 3 5 𝑎) 1 ;

Solución: 𝑎)

1 1 1 1 1 ; ; ; ; ;… 1 2 3 4 5

Vemos que 𝑎1 = 1 =

1 ; 1

𝑎2 =

1 ; 2

𝑎3 =

1 ; 3

1 𝑎4 = ; 4

𝑎5 =

1 5

Así, tenemos que el término general es simplemente colocar el número de la posición en el denominador de la fracción. Por lo que 𝑎𝑛 =

𝑏)

1 2 3 4 5 ; ; ; ; ;… 2 3 4 5 6

Se escribe como: 𝑎1 =

1 1 = ; 2 1+1

𝑎2 =

2 2 = ; 3 2+1

𝑎3 =

3 3 = ; 4 3+1

𝑎4 =

4 4 = ; 5 4+1

1 𝑛


201 5 5 = 6 5+1



𝑎5 =



Así, tenemos que el término general es simplemente colocar el número de la posición en el numerador y en el denominador el número de la posición sumado con 1. Por lo que

 SUCESIONES 

𝑎𝑛 = 1

𝑐) − 3 ; −1 ; − 3 ; 0 ;

1 5

𝑛 𝑛+1

;…

Aquí escribiremos como: 𝑎1 = −3 =

−3 1 − 4 = ; 1 1

𝑎2 = −1 =

−2 2 − 4 = ; 2 2

𝑎3 = −

1 −1 3 − 4 = = ; 3 3 3

𝑎4 = 0 = 𝑎5 =

0 4−4 = ; 4 4

1 5−4 = 5 5

Así, tenemos que el término general es simplemente colocar el número de la posición en el numerador restado por 4, y en el denominador el número de la posición. Por lo que 𝑎𝑛 =

𝑛−4 𝑛

Problema 2. Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones: 𝑎) 𝑎𝑛 =

𝑛+2 2𝑛 − 1

𝑏) − 1 ; 1 ; −

1 1 1 1 ; ; − ; ;… 2 2 3 3


202



Solución:



𝑎) Evaluando, vemos que la sucesión queda 3 ;

 SUCESIONES 

4 3

; 1;

6 7

;…

Es monótona estrictamente decreciente . 𝑎1 = 3 𝑎3 = 1 𝑎1000 = 0.5012506253127 𝑎1000000 = 0.5000012500006 Podemos asumir que converge a 0.5 (Su límite es 0.5). Por lo que es una Sucesión convergente. Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo . 0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior. Por tanto la sucesión está acotada. 𝟎. 𝟓 < 𝒂𝒏 ≤ 𝟑 b) Vemos que la sucesión se puede escribir como 2 𝑎𝑛 = { 𝑛 + 1 2 𝑛 −

𝑠𝑖

𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

𝑠𝑖

𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

Por lo que, No es monótona, ya que no es creciente ni decreciente para todos los 𝒏. 𝑎1000 = 0.002 𝑎1001 = −0.002 𝑎1000000 = 0.000002 𝑎1000001 = −0.000002 Podemos asumir que converge a 0 (Su limite es 0). Por lo que es una Sucesión convergente. Está acotada superiormente, 1 es el máximo.Está acotada inferiormente, −1 es el mínimo. Por lo que Está acotada. −1 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 1


203

 

Ejercicios propuestos

 SUMATORIAS 

1. Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones: 𝑎) 𝑎𝑛 = 5 − 2𝑛 𝑒) 𝑎𝑛 = 1 − 𝑛2 𝑖) 𝑎𝑛 = 3𝑛−1

𝑏) 𝑎𝑛 = 2𝑛+1 𝑓) 𝑎𝑛 = 𝑗) 𝑎𝑛 =

−1 𝑛+3

2+𝑛 3

𝑑) 𝑎𝑛 =

𝑛−3 2𝑛 + 1

𝑔) 𝑎𝑛 = 2𝑛2 − 1 ℎ) 𝑎𝑛 =

3𝑛 − 2 𝑛+1

𝑘) 𝑎𝑛 = 25 − 𝑛2

−12 2𝑛 + 5

𝑐) 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 1

𝑙) 𝑎𝑛 =

2. Hallar el término general de cada una de estas sucesiones:

𝑎) 3 ; 1 ; −1 ; −3 ; −5; …

𝑏) 2 ; −6 ; 18 ; −54 ; …

𝑐) 1 ;

1 1 1 1 ; ; ; ;… 4 9 16 25

𝑑) 5 ; 5.5 ; 6 ; 6.5 ; 7 ; …

𝑒) 1 ;

1 1 1 1 ; ; ; ;… 2 3 4 5

𝑓) − 1 ; −4 ; −16 ; −64 ; …

𝑔) 2 ; 2.1 ; 2.2 ; 2.3 ; …

ℎ) − 3 ; 6 ; −12 ; 24 ; …

3. Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones 𝑛+2 2𝑛 − 1

𝑎) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; …

𝑏) 𝑎𝑛 =

𝑐) − 1 ; −2 ; −3 ; −4 ; −5 ; …

𝑑) 𝑎𝑛 = (−1)𝑛−1 ∙ 2𝑛

3 4 5 𝑒) 2 ; ; ; ; … 2 3 4

2 𝑓) 𝑎𝑛 = {𝑛 3 𝑛

𝑔) 2 ; −4 ; 8 ; −16 ; 32 ; …

ℎ) 𝑎𝑛 = 𝑛 ∙ (−1)𝑛 + 𝑛

𝑠𝑖

𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

𝑠𝑖

𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟


   SUMATORIAS 

204

Sumatorias Problema 3: ¿Cuál es la suma de los primeros 100 términos de la sucesión 1; 3; 5; 7; … ; 2𝑛 − 1 ? Comenzamos por escribir los términos pedidos. Es decir, 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2 ∙ 100 − 1) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 199 = ?

La historia relata que cuando Carl Friedrich Gauss tenía diez años su profesor de matemática le impuso al curso, como una forma de mantenerlos ocupados por largo rato, el siguiente ejercicio:

Para poder resolver este Problema, necesitamos observar que: 1 + 199 = 200; 3 + 197 = 200; 5 + 195 = 200 y así, podemos ver que la cantidad de términos que estamos sumando son 50. Por lo que la suma pedida es 50 ∙ 200 = 10.000 . Así,

Sumar todos los números desde el 1 hasta el 100, de este modo: 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟒 + ⋯ + 𝟗𝟗 + 𝟏𝟎𝟎 = Confiado en que los niños estarían ocupados durante mucho rato, el profesor se enfrascó en sus tareas de estudio, pero a los cinco minutos, el pequeño Gauss le entregó el resultado: 5.050. Sorprendido, el profesor le pidió a Gauss que le explicara cómo lo hizo: El pequeño se dio cuenta de que la suma del primer número con el último (1 + 100 = 101) da un resultado que se repite sumando todos los simétricos: 1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101; 4 + 97 = 101; etc., logrando establecer 50 sumas cuyo resultado es 101. Entonces, hizo: 50 veces 101 es igual a 50 × 101 = 5.050

1 + 3 + 5 + ⋯ + 199 = 10.000 Para poder resolver este problema de una manera menos intuitiva, daremos algunas definiciones Definición: Se define el símbolo ∑ (que se lee sumatoria) inductivamente, por 1

1. ∑ 𝑎𝑖 = 𝑎1 𝑖=1 𝑛+1

𝑛

2. ∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑎𝑖 + 𝑎𝑛+1 𝑖=1

donde 𝑎𝑛 es una sucesión cualquiera

𝑖=1

De esta definición se desprende fácilmente que, 𝑛

∑ 𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑖=1 𝑛

Notar que ∑ 𝑎𝑖 representa a una suma desde el primer termino de la 𝑖=1

sucesión 𝑎1 para 𝑖 = 1 hasta el último término que en este caso es 𝑎𝑛 para 𝑖 = 𝑛. Es decir, en 𝑖 = 1 se inicia la suma de los sucesivos términos de 𝑎𝑖 e 𝑖 = 𝑛 indica donde se finaliza la suma.




205 15

Ejemplo 1: La expresión ∑ 2𝑖 se puede extender como

  SUMATORIAS 

𝑖=1 15

∑ 2𝑖 = 2 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 5 + ⋯ + 2 ∙ 14 + 2 ∙ 15 𝑖=1

Ejemplo 2: La suma del Problema 3 de los 100 primeros términos de la sucesión 1 ; 3 ; 5 ; … ; 2𝑛 − 1, podemos escribirla como una sumatoria. Es decir 100

1 + 3 + 5 + ⋯ + 199 = ∑(2𝑖 − 1) 𝑖=1

Número de Términos. 𝑛

Dada ∑ 𝑎𝑖 con 0 ≤ p ≤ n, p ∈ N ∪ {0} el número de términos siempre 𝑖=𝑝

es igual a 𝑛 − 𝑝 + 1 para el caso particular de 𝑝 = 1, dicho número es 𝑛. 15

Ejemplo 1: En la expresión ∑ 𝑖 , hay (15 − 8 + 1) = 8 terminos. 𝑖=8

Si desarrollamos la sumatoria vemos que: 15

∑ 𝑖 = 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 𝑖=8

Y si contamos los términos, vemos que precisamente son 8. 9

Ejemplo 2: En la expresión ∑ 𝑖2 , hay (9 − 4 + 1) = 6 terminos. 𝑖=4

Si desarrollamos la sumatoria vemos que: 9

∑ 𝑖 2 = 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 𝑖=4

Y si contamos los términos, vemos que precisamente son 6.


206



Propiedades de las sumatorias.



Es bueno usar propiedades para poder resolver de una mejor manera las sumatorias, comenzaremos enumerando las más importantes.


Propiedad 1. Sumatoria de constantes. 𝑛

∑ 𝑐 = 𝑐 ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1) ,

0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛.

𝑖=𝑝

donde 𝑐 es una constante real que no depende de 𝑖.

Ejemplos: El valor de la sumatoria 17

𝑎) ∑ 4 = 4 ∙ (17 − 5 + 1) = 4 ∙ 13 = 52 𝑖=5 22

𝑏) ∑(−1) = (−1) ∙ (22 − 3 + 1) = (−1) ∙ 20 = −20 𝑖=3 41

𝑐) ∑ 4 = 4 ∙ (17 − 5 + 1) = 4 ∙ 13 = 52 𝑖=12

Propiedad 2. Sumatoria de una constante multiplicando a una sucesión. 𝑛

𝑛

∑ 𝑐 ∙ 𝑎𝑖 = 𝑐 ∙ ∑ 𝑎𝑖 , 𝑖=𝑝

𝑖=𝑝

Donde 𝑐 es una constante real que no depende de 𝑖

Esto nos permite sacar constantes de las sucesiones para realizar un cálculo más sencillo con las sucesiones.



207

Ejemplos: Las siguientes sumatorias se pueden desarrollar usando la propiedad anterior. 31

31

𝑎) ∑ 3𝑖 = 3 ∙ ∑ 𝑖 𝑖=12

𝑖=12

19

19

𝑏) ∑(−2𝑖

2)

= (−2) ∙ ∑ 𝑖 2

𝑖=8

𝑖=8

123

123

123

𝑐) ∑ (2𝑖 − 4) = ∑ 2 ∙ (𝑖 − 2) = 2 ∙ ∑ (𝑖 − 2) 𝑖=42

𝑖=42

𝑖=42

Propiedad 3. Separación de sumatorias, para la suma o resta de 2 sucesiones. 𝑛

𝑛

𝑛

∑(𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖 ) = ∑ 𝑎𝑖 ± ∑ 𝑏𝑖 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

Esta propiedad sirve para poder separar sumas o restas dentro de una sumatoria, y así, llevar expresiones complejas en varias más sencillas. Ejemplos: Las siguientes sumatorias se pueden separar usando la propiedad anterior. 25

25

25

𝑎) ∑(3𝑖 − 2) = ∑ 3𝑖 − ∑ 2 𝑖=4

𝑖=4

51

𝑖=4 51

𝑏) ∑ (7𝑖 + 2𝑖 𝑖=15

2)

51

= ∑ 7𝑖 + ∑ 2𝑖 2 𝑖=15

42

𝑖=15

42 2

42

42

2

𝑐) ∑(2𝑖 − 4𝑖 + 3) = ∑ 2𝑖 − ∑ 4𝑖 + ∑ 3 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

Propiedad 4. Propiedad Telescópica. 𝑛

𝑎) ∑(𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖 ) = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑝 , 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 𝑖=𝑝 𝑛

𝑏) ∑(𝑎𝑖 − 𝑎𝑖+1 ) = 𝑎𝑝 − 𝑎𝑛+1 , 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 𝑖=𝑝




208

Esta propiedad permite resolver una sumatoria en la cual se restan términos consecutivos, para cada término de la sumatoria.


Ejemplos: Las siguientes sumatorias se pueden separar usando la propiedad anterior. 25

1 1 𝑎) ∑ − = 𝑖 𝑖+1 𝑖=4

En este caso, vemos que 𝑎𝑖 =

1 𝑖

1

y 𝑎𝑖+1 = 𝑖+1; con esto, se tiene que,

usando propiedad b), 25

25

𝑖=4

𝑖=4

1 1 1 1 11 ∑ − = ∑ 𝑎𝑖 − 𝑎𝑖+1 = 𝑎4 − 𝑎26 = − = 𝑖 𝑖+1 4 26 52

112

𝑏) ∑ 𝑖=23

1 = −1

4𝑖 2

Aquí comenzamos observando que la expresión 1 1 2 1 1 1 = ∙ = ∙ ( − ) 4𝑖 2 − 1 2 4𝑖 2 − 1 2 (2𝑖 − 1) (2𝑖 + 1) 1

1

1

1

en donde 𝑎𝑖 = (2𝑖−1) y 𝑎𝑖+1 = (2(𝑖+1)−1) = (2𝑖+2−1) = 2𝑖+1 ; por lo que, usando la propiedad telescópica, la sumatoria nos queda:

112

112

112

𝑖=23

𝑖=23

𝑖=23

1 1 1 1 1 ∑ 2 = ∑ ∙( − ) = ∑ ∙ (𝑎𝑖 − 𝑎𝑖+1 ) 4𝑖 − 1 2 (2𝑖 − 1) (2𝑖 + 1) 2 112

1 1 1 1 1 1 1 = ∙ ∑ (𝑎𝑖 − 𝑎𝑖+1 ) = ∙ ( − )= ∙( − ) 2 2 2 ∙ 23 − 1 2 ∙ 112 + 1 2 45 225 𝑖=23

=

1 4 2 ∙ = 2 225 225


209 40


𝑐) ∑ 𝑘=1

𝑘 = (𝑘 + 1)!

En este caso, es bueno recordar la definición de un factorial. Así, 𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Donde 0! = 1 y 1! = 1. Con esta definición, vemos que (𝑘 + 1)! = (𝑘 + 1) ∙ 𝑘!, así, la expresión anterior queda 𝑘 1 1 = − (𝑘 + 1)! 𝑘! (𝑘 + 1)!

Tomando 𝑎𝑘 =

1 𝑘!

1

y 𝑎𝑘+1 = (𝑘+1)! . Reemplazando en la sumatoria, se

obtiene 40

40

𝑘=1

𝑘=1

𝑘 1 1 1 1 1 ∑ =∑ − = − =1− (𝑘 + 1)! 𝑘! (𝑘 + 1)! 1! (40 + 1)! 41!

Propiedad 5. Propiedad de inicio de una sumatoria. 𝑛

𝑝−1

𝑛

Sea 𝑝 ≤ 𝑛, entonces ∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑎𝑖 − ∑ 𝑎𝑖 𝑖=𝑝

𝑖=1

𝑖=1

Esta propiedad nos dice que si tenemos una sumatoria que no comienza del 1, podemos hacer que esta parta desde el 1, pero debemos quitarle todos los términos que hemos agregado.

Ejemplo: Las siguientes sumatorias las haremos comenzar desde 𝑘 = 1 58

58

31

𝑎) ∑ (4𝑘 2 − 3) = ∑(4𝑘 2 − 3) − ∑(4𝑘 2 − 3) 𝑘=32

𝑘=1

114

𝑏) ∑

𝑘=1 39

114

(2𝑘

𝑘=40

−𝑘

3)

𝑘

= ∑(2 − 𝑘

3)

− ∑(2𝑘 − 𝑘 3 )

𝑘=1

𝑘=1

47

47

7

𝑘=8

𝑘=1

𝑘=1

1 1 1 𝑐) ∑ (𝑘! − ) = ∑ (𝑘! − ) − ∑ (𝑘! − ) 𝑘 𝑘 𝑘



210

Sumatorias Notables: Para poder desarrollar sumatorias, necesitamos definir algunas sumas notables, las cuales nos permitirán resolver sumatorias de una manera mucha más fácil, dentro de estas sumas destacamos estas: 𝑛

1. ∑ 𝑘 = 𝑘=1

1 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) 2

𝑛

2. ∑ 𝑘 2 = 𝑘=1

1 𝑛 ∙ (𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

𝑛

2 1 3. ∑ 𝑘 3 = ( 𝑛 ∙ (𝑛 + 1)) 2 𝑘=1 𝑛

4. ∑ 𝑟 𝑘−1 = 𝑟 𝑝−1 ∙ 𝑘=𝑝

𝑟 𝑛−𝑝+1 − 1 , 𝑟−1

𝑟 ≠ 1,

0≤𝑝≤𝑛

Con estas sumatorias, seremos capaces de resolver varias sumatorias.

Ejemplos: Calcular las siguientes sumatorias. 26

𝑎) ∑ 𝑘 = 𝑘=1

1 1 ∙ 26 ∙ (26 + 1) = ∙ 26 ∙ 27 = 351 2 2

34

𝑏) ∑ 𝑘 2 = 𝑘=1

1 1 ∙ 34 ∙ (34 + 1) ∙ (2 ∙ 34 + 1) = ∙ 34 ∙ 35 ∙ 69 6 6 = 13685

18

2 2 1 1 (18 𝑐) ∑ 𝑘 = [ ∙ 18 ∙ + 1)] = [ ∙ 18 ∙ 19] = [171]2 = 29241 2 2 3

𝑘=1 15

𝑑) ∑ 3𝑘−1 = 37−1 ∙ 𝑘=7

315−7+1 − 1 39 − 1 19682 = 36 ∙ = 729 ∙ 3−1 2 2

= 729 ∙ 9841 = 7174089


 

211

Ejercicios resueltos Problema 1. Extender las siguientes sumatorias:


8

𝑛−1

𝑏) ∑(−1)𝑘+1

𝑎) ∑ 𝑘(2𝑘 − 1) = 𝑘=4

𝑘=0

2𝑘 + 1 = 𝑘+2

Solución: Extendiendo las sumatorias, se tiene que: 8

𝑎) ∑ 𝑘(2𝑘 − 1) = 4 ∙ 7 + 5 ∙ 9 + 6 ∙ 11 + 7 ∙ 13 + 8 ∙ 15 𝑘=4

Observación: Notar que son 5 = 8 − 4 + 1 términos como debería ser. 𝑛−1

𝑏) ∑(−1)𝑘+1 𝑘=0

2𝑘 + 1 20 + 1 21 + 1 22 + 1 =− + − +⋯ 𝑘+2 2 3 4

+ (−1)𝑛

2𝑛−1 + 1 𝑛+1

Observación: Note que en este caso se tiene n − 1 − 0 + 1 = n términos. Problema 2. Escribir usando ∑ , las siguientes sumas: 1) 12 + 32 + 52 + . . . (hasta 𝑛 + 1 términos) 2) 2 · 7 + 5 · 9 + 8 · 11 + ⋯ + 422 · 287 3)

8 12 16 − + − ⋯ (hasta 𝑝 términos) 3∙5 5∙7 7∙9

Solución: De inmediato se tiene: 𝑛

1) ∑(2𝑘 + 1)2 ,

Notar que 𝑛 − 0 + 1 = 𝑛 + 1 términos.

𝑘=0

2) Notemos que 𝑎𝑘 = (3𝑘 − 1)(2𝑘 + 5), 𝑘 = 1,2, … la suma debe terminar en 3𝑘 − 1 = 422 𝑦 2𝑘 + 5 = 287, de donde en ambos casos 𝑘 = 141, por tanto, se escribe como 141

∑(3𝑘 − 1)(2𝑘 + 5). 𝑘=1


212 𝑝



3) De inmediato se tiene ∑(−1)𝑘−1 𝑘=1


4(𝑘 + 1) (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)

Problema 3. Sea 𝑎1 = 3, … , 𝑎𝑛 = 6𝑛 − 3, Calcular: 6

∑ 𝑎𝑘−1 ∙ 𝑎𝑘+1 𝑘=3

Solución: Note que la sumatoria consta de cuatro términos, así, 6

∑ 𝑎𝑘−1 ∙ 𝑎𝑘+1 = 𝑎2 ∙ 𝑎4 + 𝑎3 ∙ 𝑎5 + 𝑎4 ∙ 𝑎6 + 𝑎5 ∙ 𝑎7 𝑘=3

= 9 ∙ 21 + 15 ∙ 27 + 21 ∙ 33 + 27 ∙ 39 = 2340

Problema 4. Calcular las siguientes sumatorias, aprovechando para ello la propiedad telescópica. 20

𝑛+1

1 1 𝑎) ∑ ( − ) 𝑖+2 𝑖+1

𝑏) ∑ (

𝑖=1

𝑖=𝑝

1 1 − ) 2𝑖 − 1 2𝑖 + 1

Solución: Con la propiedad Telescópica, se tiene que: 20

𝑎) ∑ ( 𝑖=1

1 1 1 1 1 1 5 − )= − = − =− 𝑖+2 𝑖+1 20 + 2 1 + 1 22 2 11

b) Note que en este caso los términos son consecutivos aunque aparentemente parecen no serlo, lo importante es que: 𝑎𝑖 =

1 2𝑖 − 1

𝑦 𝑎𝑖+1 =

1 2𝑖 + 1

𝑛+1

1 1 1 1 ∑( − )= − 2𝑖 − 1 2𝑖 + 1 2𝑝 − 1 2𝑛 + 3

Así,

𝑖=𝑝

Problema 5. Calcular las siguientes sumatorias, usando propiedades. 23

𝑎) ∑ 𝑘 − 4 𝑘=1

41

𝑏) ∑ 3𝑘 𝑘=8

34

𝑐) ∑ 2𝑘 + 5 𝑘=15


213



Solución:



Aplicando propiedades, y de la definición nos queda:


23

23

23

1 (23) ∙ (23 + 1) − 4 ∙ (23 − 1 + 1) = 2

𝑎) ∑ 𝑘 − 4 = ∑ 𝑘 − ∑ 4 = 𝑘=1

𝑘=1

=

𝑘=1

1 ∙ 23 ∙ 24 − 4 ∙ 23 = 276 − 92 = 184 2

41

41

41

7

𝑘=8

𝑘=8

𝑘=1

𝑘=1

1 1 𝑏) ∑ 3𝑘 = 3 ∙ ∑ 𝑘 = 3 ∙ (∑ 𝑘 − ∑ 𝑘 ) = 3 ∙ ( ∙ 41 ∙ 42 − ∙ 7 ∙ 8) = 2 2 = 3 ∙ (861 − 28) = 3 ∙ 833 = 2499 34

34

34

𝑐) ∑ 2𝑘 + 5 = 2 ∙ ∑ 𝑘 + ∑ 5 𝑘=15

𝑘=15

𝑘=15

34

34

14

= 2 ∙ (∑ 𝑘 − ∑ 𝑘 ) + ∑ 5 𝑘=1

𝑘=1

𝑘=15

1 1 = 2 ∙ ( ∙ 34 ∙ 35 − ∙ 14 ∙ 15) + 5 ∙ (34 − 15 + 1) 2 2 = 2 ∙ (595 − 105) + 100 = 2 ∙ 490 + 100 = 1080

Problema 6. Encontrar el valor de la sumatoria. 25

∑(2𝑗 − 8)2 𝑗=9

Solución: Comenzamos Desarrollando el Cuadrado de Binomio, para luego resolver usando propiedades. 25

25

25

25

25

∑(2𝑗 − 8)2 = ∑ 4𝑗 2 − 32𝑗 + 64 = 4 ∙ ∑ 𝑗 2 − 32 ∙ ∑ 𝑗 + ∑ 64 𝑗=9

𝑗=9

𝑗=9

25

8 2

25

𝑗=9

𝑗=9

8

2

= 4 ∙ (∑ 𝑗 − ∑ 𝑗 ) − 32 ∙ (∑ 𝑗 − ∑ 𝑗) + 64 ∙ (25 − 9 + 1) 𝑗=1

𝑗=1

𝑗=1

𝑗=9

1 1 1 1 = 4 ∙ ( ∙ 25 ∙ 26 ∙ 51 − ∙ 8 ∙ 9 ∙ 17) − 32 ∙ ( ∙ 25 ∙ 26 − ∙ 8 ∙ 9) + 64 ∙ 17 6 6 2 2

= 4 ∙ (5525 − 204) − 32 ∙ (325 − 36) + 1088


 

214

= 4 ∙ 5321 − 32 ∙ 289 + 1088 = 21284 − 9248 + 1088 = 13124 Problema 7. Encontrar el valor de la sumatoria.


30

∑ (3 + 2𝑖−1 ) = 𝑖=16

Solución: Separamos las sumatorias y comenzamos a resolver. 30

30

∑ (3 + 2

𝑖−1

30

) = ∑ 3 + ∑ 2𝑖−1 = 3 ∙ (15) + 215 ∙

𝑖=16

𝑖=16

𝑖=16

215 − 1 2−1

= 45 + 215 ∙ (215 − 1)

Ejercicios propuestos 1. Extender y desarrollar las siguientes sumatorias: 6

𝑛

32𝑘 − 1 𝑎) ∑ 𝑘+2

2𝑛+1

𝑏) ∑(−1)

𝑘=3

𝑘 (𝑛

+ 1)𝑘!

𝑐) ∑

𝑘=1

𝑘=𝑛+1

𝑘 (𝑛 − 𝑘)

2. Escribir usando símbolo ∑ las siguientes sumas: 𝑎) 1 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 5 ∙ 3 + ⋯ hasta 𝑛 términos. 1

1

1

𝑏) 1 + 3 + 32 + ⋯ + 3𝑛 𝑐) − 1 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 7 ∙ 22 + ⋯ + 223 ∙ 256

3. Calcular las siguientes sumas usando propiedades: 𝑛

𝑎) ∑(𝑘 − 1)(𝑘 + 1) 𝑘=2

𝑛

𝑏) ∑ (𝑘 − 3 𝑘=10

2𝑛+1 −𝑘

)

𝑐) ∑ (𝑛 − 𝑘) 𝑘=𝑛


215 𝑛−3


𝑛+1

𝑑) ∑ 2𝑘 ∙ (𝑘 − 3)

2𝑛

𝑒) ∑ 2𝑘 − 𝑘 2

𝑘=8

𝑘=8

2𝑛+1

𝑔) ∑

(−1)𝑘

𝑘=15

2𝑛+1

2𝑛+1 𝑘

∙𝑘

ℎ) ∑ (−1) ∙ 𝑘

𝑘=1

𝑘=0

4. Calcular usando propiedad telescópica: 𝑛

1 1 𝑎) ∑ ( − ) 𝑖+1 𝑖+2 𝑖=20

𝑛−1

3 3 𝑏) ∑ ( − ) 2𝑘 2𝑘 + 2 𝑘=2 𝑛

𝑎𝑖 − 𝑎𝑖+1 𝑐) ∑ ( 2𝑖+1 ) , 𝑎

𝑎 ≠ 0.

𝑖=20 60

𝑑) ∑ 𝑘=4

𝑓) ∑ 𝑛 ∙ 𝑘

𝑘 (𝑘 + 1)!

5. Calcular: 𝑎) 2 · 5 + 4 · 6 + 6 · 7 + . . . + 480 · 244 𝑏) 2 · 5 + 3 · 7 + 4 · 9 + . . . + 28 · 57 𝑐) 33 − 43 + 53 − 63 + . . . − 463 𝑑) 1 ∙ 1 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 5 + ⋯ + 100 ∙ 199 𝑒) 2 + 5 + 10 + 17 + ⋯ + 401 𝑓) 5 + 8 + 13 + 20 + ⋯ + 904

2

𝑖) ∑ (−1)𝑘 ∙ 𝑘 3 𝑘=0


216

   PROGRESIONES 

Progresiones Aritméticas Definición: Se dice que una sucesión 𝑎𝑛 es una progresión aritmética (Abreviado lo escribiremos P.A.) si y solo si se puede expresar por 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑 donde 𝑎1 y 𝑑 son reales. Como bien sabemos 𝑎1 es el primer término de la sucesión, en este caso de la progresión y 𝑑 se acostumbra a llamar diferencia simétrica de ella. Ejemplo 1: En la sucesión 𝑎𝑛 = 4𝑛 + 7 se tiene que es una P.A. pues se puede expresar como 𝑎𝑛 = 11 + (𝑛 − 1) ∙ 4 note que en este caso: 𝑎1 = 11 y 𝑑 = 4. Ejemplo 2: En la sucesión 1 , 4 , 7 , 10 , … se tiene que es una P.A. pues se puede expresar como 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) ∙ 3 note que en este caso: 𝑎1 = 1 y 𝑑 = 3. Ejemplo 3: En la sucesión definida de manera recursiva, 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2, donde 𝑎1 = 3 se tiene que es una P.A. pues se puede expresar de manera general como 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1) ∙ 2 notar que en este caso: 𝑎1 = 3 y 𝑑 = 2. Propiedad 1 Una sucesión de números reales tal como 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … representa a una P.A. si y solo si 𝑑 = 𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 con 𝑘 = 1 , 2 , 3 , 4 , … , 𝑛 − 1. Probar esto es muy sencillo, basta con desarrollar las expresiones 𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑘 ∙ 𝑑 − (𝑎1 + (𝑘 − 1) ∙ 𝑑) = 𝑑 Ejemplo 1: La sucesión 1

1 1 , , … (𝑥 ≠ 1). 1 + √𝑥 1 − 𝑥 1 − √𝑥 ,

Es una P.A. ya que 𝑑=

1 1 1 1 √𝑥 − = − = 1 − 𝑥 1 + √𝑥 1 − √𝑥 1 − 𝑥 1 − 𝑥


217

 

Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑏 𝑏 2 2𝑏 2 − 𝑎𝑏 , , ,… 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎

 PROGRESIONES 

(𝑏 ≠ 𝑎)

Es una P.A. ya que 𝑑=

𝑏2 𝑎𝑏 2𝑏 2 − 𝑎𝑏 𝑏2 − = − =𝑏 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎

Ejemplo 3: La sucesión 𝑥 + 𝑦 2𝑥 3𝑥 − 𝑦 , , , … (𝑥 ≠ 𝑦). 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 Es una P.A. ya que 𝑑=

2𝑥 𝑥+𝑦 3𝑥 − 𝑦 2𝑥 − = − =1 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦

Observaciones: 1) Nótese que para cualquier P.A. 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 𝑑 ∀ 𝑘 = 1, 2, 3, … , (𝑛 − 1) 2) Dependiendo de los ejercicios en algunos casos es conveniente tomar la terna en P.A. 𝑎 − 𝑑, 𝑎, 𝑎 + 𝑑 en otros el cuarteto 𝑎 − 3𝑑, 𝑎 − 𝑑, 𝑎 + 𝑑, 𝑎 + 3𝑑 y así sucesivamente. (Ver ejercicios Resueltos). Propiedad 2 La suma de los 𝑛 primeros términos de una P.A. cuyo primer término es 𝑎1 y su diferencia 𝑑 es: 𝑆𝑛 =

𝑛 ∙ [2𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑] 2

Para probar esta propiedad, escribamos 𝑆𝑛 como una sumatoria: 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑆𝑛 = ∑ 𝑎𝑖 = ∑(𝑎1 + (𝑖 − 1) ∙ 𝑑) = 𝑎1 ∙ 𝑛 + 𝑑 ∙ {∑ 𝑖 − ∑ 1} 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

1 𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑛 + 𝑑 ∙ { 𝑛(𝑛 + 1) − 𝑛} = ∙ [2𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑] 2 2


218


Ejemplo 1: La suma de los primeros 50 términos de una P.A cuyo término general es 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 5 es: 50

50

𝑆50 = ∑ 𝑎𝑖 = ∑(7 + (𝑖 − 1) ∙ 2) = 𝑖=1

𝑖=1

50 ∙ [2 ∙ 7 + (50 − 1) ∙ 2] 2

= 25 ∙ (14 + 98) = 2800 Ejemplo 2: La suma de los primeros 80 términos de una P.A 1 , 4 , 7 , … Solución: Aquí vemos que el término general, viene dado por 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) ∙ 3, Así, 80

80

𝑆80 = ∑ 𝑎𝑖 = ∑(1 + (𝑖 − 1) ∙ 3) = 𝑖=1

𝑖=1

80 ∙ [2 ∙ 1 + (80 − 1) ∙ 3] 2

= 40 ∙ (2 + 237) = 9560 Ejemplo 3: La suma de los primeros 100 términos de una P.A cuya serie está definida por 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 5 y 𝑎1 = 3 Solución: Aquí vemos que el término general, viene dado por 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1) ∙ 5, Así, 100

100

𝑆100 = ∑ 𝑎𝑖 = ∑(3 + (𝑖 − 1) ∙ 5) = 𝑖=1

𝑖=1

100 ∙ [2 ∙ 3 + (100 − 1) ∙ 5] 2

= 50 ∙ (6 + 495) = 25050

Interpolación: Cuando se pide interpolar 𝑝 medios aritméticos entre 𝑎 y 𝑏 reales dados, significa que: 𝑎, los 𝑝 números en cuestión y 𝑏, deben estar en una P.A. Ejemplo 1: Al interpolar 3 medios aritméticos entre los números 2 y 18, nos queda que: 2 , 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 18. Están en una P.A. Así: 𝑥−2=𝑑 𝑦−𝑥 = 𝑑 𝑧−𝑦 =𝑑


219 18 − 𝑧 = 𝑑


Sumando todas las ecuaciones, nos queda que: 18 − 2 = 4𝑑 de lo cual se obtiene que 𝑑 = 4, así, nos obtiene que: 𝑥 = 6, 𝑦 = 10, 𝑧 = 14. Ejemplo 2: Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 5 y 17 Solución: Lo pedido, nos queda que: 5 , 𝑣 , 𝑤 , 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 17. Están en una P.A. Así: 𝑣−5=𝑑 𝑤−𝑣 =𝑑 𝑥−𝑤 = 𝑑 𝑦−𝑥 =𝑑 𝑧−𝑦 =𝑑 17 − 𝑧 = 𝑑 Sumando todas las ecuaciones, nos queda que: 17 − 5 = 6𝑑 de lo cual se obtiene que 𝑑 = 2, así, nos obtiene que: 𝑣 = 7 ; 𝑤 = 9 ; 𝑥 = 11 ; 𝑦 = 13 ; 𝑧 = 15. Ejercicios resueltos Problema 1. El tercer término de una P.A es 𝑎 y el término de lugar 21 es 𝑎 + 36𝑏, con 𝑎 y 𝑏 reales dados, no nulos a la vez. Determine la P.A. Solución. Sabemos que: 𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑑 = 𝑎 y que 𝑎21 = 𝑎1 + 20𝑑 = 𝑎 + 36𝑏, de estas ecuaciones podemos encontrar los valores de 𝑎1 y 𝑑. Quedando: 𝑎1 = 𝑎 − 4𝑑 ⋀ 𝑑 = 2𝑏 por lo que se obtiene que: 𝑎𝑛 = 𝑎 − 4𝑏 + (𝑛 − 1) ∙ 2𝑏 = 2𝑛𝑏 + 𝑎 − 6𝑏 Así la P.A. viene dada por: 𝑎𝑛 = 2𝑛𝑏 + 𝑎 − 6𝑏

Problema 2. La suma de tres números en una P.A. es 12 y su producto 48. ¿Cuáles son los números? Solución. Es más conveniente tomar 𝑎 − 𝑑, 𝑎, 𝑎 + 𝑑, como los 3 números en P.A. Pues así, de su suma igual a 12, obtenemos de manera rápida que: 𝑎 = 4.



220

Y por lo tanto, nos queda que: (4 − 𝑑) ∙ 4 ∙ (4 + 𝑑) = 48, se obtiene que 𝑑 = ±2. Obteniendo que los números son 2, 4 y 6. O bien 6, 4 y 2. Problema 3. Encontrar el número de términos de la P.A. 12 , 16 , 20 , … si 𝑆𝑛 = 208. Solución. Como 𝑎1 = 12 𝑦 𝑑 = 4. Se tiene que: 𝑆𝑛 =

𝑛 ∙ [2 ∙ 12 + (𝑛 − 1) ∙ 4] = 208 2

De esto se deduce que 𝑛 = 8. Ya que la raíz negativa se descarta. Puesto que 𝑛 ≥ 1.

Problema 4. Determine la suma de los 100 primeros términos de una P.A cuyo tercer término es 4 veces el primero y su sexto término es 17. Solución Como 𝑎3 = 4𝑎1 y 𝑎6 = 17. Con esto, se plantea las ecuaciones: 𝑎1 + 2𝑑 = 4𝑎1 𝑎1 + 5𝑑 = 17 Así, se tiene que: 𝑎1 = 2 y 𝑑 = 3, luego: 𝑆100 =

100 ∙ [2 ∙ 2 + (100 − 1) ∙ 3] = 50 ∙ (4 + 99 ∙ 3) = 15.050 2

Problema 5. Encontrar la suma de todos los números entre 100 y 1000 que sean divisibles por 14. Solución. Vemos primero que el primer número divisible por 14 después del 100 es 112. Por lo que 𝑎1 = 112 𝑦 𝑑 = 14, Así, 𝑎𝑛 = 112 + (𝑛 − 1) ∙ 14 < 1000 con lo que se obtiene que 𝑛 < 64.43, Así, 𝑆64 =

𝑛 = 64

y

quedaría:

64 ∙ [2 ∙ 112 + (64 − 1) ∙ 14] = 32 ∙ (224 + 63 ∙ 14) = 35.392 2


221

 

Problema 6. Dada la P.A. 4, 12, 20, 28,…


a) Demostrar que la suma de los primeros 𝑛 términos es un cuadrado perfecto. b) Encontrar 𝑟, tal que: 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟+1 = 𝑆16 Solución. Comenzamos viendo que 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1) ∙ 8, Asi 𝑎) 𝑆𝑛 =

𝑛 ∙ [2 ∙ 4 + (𝑛 − 1) ∙ 8] = 4𝑛2 = (2𝑛)2 2

𝑏) 𝑆16 = 1024 = [4 + (𝑟 − 1) ∙ 8 + 4 + 𝑟 ∙ 8] ⇔ 1024 = 16𝑟 ⇔ 𝑟 = 64

Ejercicios propuestos 1. Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5. 2. El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término. 3. Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que 𝑎3 = 24 y 𝑎10 = 66. 4. Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y 27. 5. Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3. 6. Calcula la suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000. 7. El producto de tres términos consecutivos de una progresión aritmética es 80 y la diferencia es 3. Halla dichos términos. 8. ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética 2, 8, 14,... para obtener como resultado 1064? 9. Se consideran 16 términos consecutivos de una progresión aritmética. La diferencia de los dos extremos es 16, y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcula los extremos.



10. Una progresión aritmética limitada de 10 términos es tal que la suma de los extremos es igual a 20, y el producto del tercero y el octavo es 75. Formar los 10 primeros términos de la progresión. 11. La suma de tres números en progresión aritmética es 33 y su producto 1287. Halla estos números. 12. Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 18 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades. 13. La suma de los once primeros términos de una progresión aritmética es 176 y la diferencia de loa extremos es 30. Halla los términos de la progresión. 14. Halla cuatro números en progresión aritmética, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166. 15. Halla los seis primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que los tres primeros suman - 3 y los tres últimos 24. 16. En una progresión aritmética, los términos segundo y tercero suman 19, y los términos quinto y séptimo suman 40. Hállalos. 17. Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber? 18. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar $80000. al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en $6000. mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años? 19. Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos. 20. Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días? 21. En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm?

222


223

 

Progresiones Geométricas


Definición: Se dice que una sucesión 𝑎𝑛 es una progresión geométrica (P.G.) si y solo si se puede expresar por 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑛−1 donde 𝑎1 y 𝑟 son reales. Como bien sabemos 𝑎1 es el primer término de la sucesión, en este caso de la progresión y 𝑟 se acostumbra a llamar razón constante. 1 𝑛

Ejemplo 1. La sucesión 𝑎𝑛 = ( ) es una P.G. pues se puede expresar 1

1 𝑛−1

como 𝑎𝑛 = 2 ∙ (2)

2

y note que en este caso, 𝑎1 =

1 1 𝑦 𝑟= 2 2

Ejemplo 2: En la sucesión 3 , 6 , 12 , 24 , … se tiene que es una P.G. pues se puede expresar como 𝑎𝑛 = 3 ∙ 2n−1 note que en este caso: 𝑎1 = 3 y 𝑟 = 2. Ejemplo 3: En la sucesión definida de manera recursiva, 𝑎𝑛 = 3 ∙ 𝑎𝑛−1 , donde 𝑎1 = 5 se tiene que es una P.G. pues se puede expresar de manera general como 𝑎𝑛 = 5 ∙ 3n−1 notar que en este caso: 𝑎1 = 5 y 𝑟 = 3. Propiedad 1. Una sucesión de números reales tales como 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … representa una P.G. solo si: 𝑟=

𝑎𝑘+1 , 𝑘 = 1, 2, … , (𝑛 − 1). 𝑎𝑘

Para probar esta propiedad, hay que reemplazar y obtenemos 𝑎𝑘+1 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑘 = =𝑟 𝑎𝑘 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑘−1




224

Ejemplo 1. La sucesión 1 1 2 2 , 𝑥, 𝑥 , … (𝑥 ≠ 0) 2 3 9

  PROGRESIONES 

es una P.G. pues, 1 2 2 𝑥 𝑥 2 𝑟= 3 =9 = 𝑥 1 1 3 2 3𝑥

Ejemplo 2. En la sucesión 𝑏 𝑎 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 , … (𝑥 ≠ 0) 𝑎 𝑏 Es una P.G. pues, 𝑎 3 𝑥2 𝑏 𝑥 𝑎 𝑟= = 2 = 𝑥 𝑏 𝑥 𝑏 𝑎𝑥 Observaciones: 1) Notar que para cualquier P.G. 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 ∙ 𝑟, ∀ 𝑘 = 1, 2, 3, … , (𝑛 + 1) 2) Dependiendo de los ejercicios, en algunos casos es conveniente tomar 𝑎

la terna en P.G. 𝑟 , 𝑎 , 𝑎 ∙ 𝑟 Propiedad 2. La suma de los primeros 𝑛 términos de una P.G, cuyo primer término es 𝑎1 y razón 𝑟, es: 𝑟𝑛 − 1 𝑆𝑛 = 𝑎1 ∙ , 𝑟−1

(𝑟 ≠ 1)

Para probar esta propiedad, es bueno escribirlo como una sumatoria. 𝑛

𝑛

𝑆𝑛 = ∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑖−1 multiplicando por 𝑟 la expresión, nos queda: 𝑖=1

𝑖=1 𝑛

𝑟 ∙ 𝑆𝑛 = ∑ 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑖 Restando miembro a miembro, queda: 𝑖=1




225 𝑛

𝑛

(𝑟 − 1) ∙ 𝑆𝑛 = ∑ 𝑎1 ∙ 𝑟 − ∑ 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑖=1


𝑛 𝑖

𝑖−1

𝑖=1

= ∑ 𝑎1 ∙ (𝑟 𝑖 − 𝑟 𝑖−1 ) 𝑖=1

= 𝑎1 ∙ (𝑟 𝑛 −𝑟 0 )

Así, despejando 𝑆𝑛 , nos queda que: 𝑆𝑛 = 𝑎1 ∙

𝑟𝑛 − 1 , (𝑟 ≠ 1). 𝑟−1

Ejemplo 1. La suma para los primeros 40 términos para la P.G. dada por 1 𝑛

𝑎𝑛 = (2) es: 𝑆40

1 40 1 40 ( ) − 1 ( 1 2 1 2) − 1 1 40 = ∙ = ∙ =1−( ) 1 1 2 2 2 −1 − 2 2

Ejemplo 2: La suma de los primeros 50 términos de una P.G. 2 , 6 , 18 , … Solución: Aquí vemos que el término general, viene dado por 𝑎𝑛 = 2 ∙ 3𝑛−1 , Así, 𝑆50 = 2 ∙

350 − 1 350 − 1 =2∙ = (350 − 1) 3−1 2

Ejemplo 3: La suma de los primeros 100 términos de una P.G. cuya serie está definida por 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 ∙ 5 y 𝑎1 = 8 Solución: Aquí vemos que el término general, viene dado por 𝑎𝑛 = 8 ∙ 5𝑛−1 , Así, 𝑆100 = 8 ∙

5100 − 1 5100 − 1 =8∙ = 2 ∙ (5100 − 1) 5−1 4

Propiedad 3. La suma infinita de términos de una P.G, cuyo primer término es 𝑎1 y razón 𝑟 < 1, y tal que lim 𝑟 𝑛 = 0 es: 𝑛→∞

𝑆∞ =

𝑎1 1−𝑟

Para probar esta propiedad. Se tiene que, en una P.G. para cualquier 𝑛, si sumamos todos sus términos, y tomando 𝑟 < 1, obtenemos 𝑆𝑛 = 𝑎1 ∙

𝑟𝑛 − 1 𝑟−1

Haciendo el límite cuando 𝑛 → ∞, nos queda



226 lim 𝑆𝑛 = lim (𝑎1 ∙

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑟𝑛 − 1 𝑎1 −𝑎1 𝑎1 ∙ lim (𝑟 𝑛 − 1) = = )= 𝑟−1 𝑟 − 1 𝑛→∞ 𝑟−1 1−𝑟

Esto debido a que lim 𝑟 𝑛 = 0. 𝑛→∞

Ejemplo 1: Para escribir el decimal 0,252525 … como una fracción irreducible (fracción Generatriz), podemos usar el argumento anterior para P.G, haciendo 0,252525 … = 0,25 + 0,0025 + 0,000025 + ⋯ Donde 𝑎1 = 0,25 y 𝑟 = 0,01; Así se forma una P.G. luego su suma nos queda: ̅̅̅̅ = 𝑆∞ = 0, 25

0,25 0,25 25 = = 1 − 0,01 0,99 99

Ejemplo 1: Encontrar la suma de la progresión ilimitada 9, 3, 1, … Solución. 1 𝑛−1

En este caso, la P.G. que se forma es 𝑎𝑛 = 9 ∙ (3)

; donde 𝑎1 = 9 y

1

𝑟 = 3. Así, la suma infinita viene dada por: 𝑆∞ =

9 1 1−3

=

9 27 = = 13,5 2 2 3

Interpolación: Cuando se pide interpolar p medios geométricos entre a y b reales dados, significa que: a, los p números en cuestión y b, deben estar en una P.G.

Ejemplo 1: Al interpolar 3 medios geométricos entre los números 2 y 162, nos queda que: 2, 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 162. Están en una P.G. Así: 𝑥 =𝑟 2 𝑦 =𝑟 𝑥 𝑧 =𝑟 𝑦


227 162 =𝑟 𝑧



162



Multiplicando todas las ecuaciones, nos queda que:


obtiene que 𝑟 = ±3, con esto, nos queda que: 𝑥 = ±6, 𝑦 = 18, 𝑧 = ±54

2

= 𝑟 4 de lo cual se

Ejemplo 2: Interpolar 4 medios geométricos entre los números 3 y 18 Solución: nos queda que: 3, 𝑤 , 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 96. Están en una P.G. Así: 𝑤 =𝑟 3 𝑥 =𝑟 𝑤 𝑦 =𝑟 𝑥 𝑧 =𝑟 𝑦 96 =𝑟 𝑧

Multiplicando todas las ecuaciones, nos queda que:

96 3

= 𝑟 5 de lo cual se

obtiene que 𝑟 = 2, con esto, nos queda que: 𝑤 = 6; 𝑥 = 12, 𝑦 = 24, 𝑧 = 48

Ejercicios resueltos 9

Problema 1. Interpolar tres medios geométricos entre 4 𝑦 Solución. 9

4

En este caso 𝑎1 = 4 y 𝑎5 = 9. Así, se tiene que 𝑎5 =

9 4 4 ∙𝑟 = 4 9

2 𝑟= , 3

⇔ 3

2

Con esto, los medios geométricos son 2 , 1, 3

4 9


 

228

Problema 2. La suma de los 6 primeros términos de una P.G. es nueve veces la suma de los tres primeros, determinar su razón. (𝑎1 ≠ 0, 𝑟 ≠ 1) Solución.

 PROGRESIONES  𝑆6 = 9 ∙ 𝑆3 ⇔ 𝑎1 ∙

𝑟6 − 1 𝑟3 − 1 = 9 ∙ 𝑎1 ∙ ⇔ 𝑟 6 − 1 = 9 ∙ (𝑟 3 − 1) 𝑟−1 𝑟−1

⇔ (𝑟 3 + 1) ∙ (𝑟 3 − 1) = 9 ∙ (𝑟 3 − 1) ⇔ (𝑟 3 + 1) = 9 ⇔ 𝑟 3 = 8 ⇔ 𝑟=2

Problema 3. El producto de tres números en P.G. es 27, y la suma de sus 1

recíprocos es − 3. Encuentre tales números. Solución. En este caso, conviene tomar

𝑎 𝑟

, 𝑎 , 𝑎 ∙ 𝑟 como los elementos. Así es fácil

ver que a = 3. Ahora, el problema se reduce a calcular: 𝑟 1 1 1 + + =− ⇒ 𝑟 2 + 2𝑟 + 1 = 0 3 3 3𝑟 3 de donde r = –1. Así, los números serian −3 , 3 , −3 Problema 4. Calcular la suma 𝑆 =2+

𝑎 + 𝑏 𝑎2 + 𝑏 2 𝑎3 + 𝑏 3 𝑎𝑛 + 𝑏 𝑛 + 2 2 + 3 3 + ⋯+ 𝑛 𝑛 𝑎𝑏 𝑎 ∙𝑏 𝑎 ∙𝑏 𝑎 ∙𝑏

Solución. Escribiremos esta suma separando cada fracción y reordenándola. Obteniendo 𝑆 =1+

1 1 1 1 1 1 + 2 + ⋯+ 𝑛 + 1 + + 2 + ⋯+ 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏

1 𝑛+1 1 𝑛+1 (𝑎) −1 ( ) −1 𝑎𝑛+1 − 1 𝑏 𝑛+1 − 1 = + 𝑏 == 𝑛 + 𝑛 1 1 𝑎 ∙ (𝑎 − 1) 𝑏 ∙ (𝑏 − 1) (𝑎) − 1 ( )−1 𝑏

Problema 5. Si 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 están en P.G. Demostrar que: (𝑏 − 𝑐)2 + (𝑐 − 𝑎)2 + (𝑑 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑑)2

Solución.




229

Si 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 están en P.G.


⇔

𝑏 𝑐 𝑑 = = ⇔ 𝑎 𝑏 𝑐

𝑏 2 = 𝑎𝑐 ∧ 𝑐 2 = 𝑏𝑑 ∧ 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑

Ahora, (𝑏 − 𝑐)2 + (𝑐 − 𝑎)2 + (𝑑 − 𝑏)2 = = (𝑏 2 − 2𝑏𝑐 + 𝑐 2 ) + (𝑐 2 − 2𝑎𝑐 + 𝑎2 ) + (𝑑2 − 2𝑏𝑑 + 𝑏 2 ) = 2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 𝑎2 + 𝑑2 − 2𝑏𝑐 − 2𝑎𝑐 − 2𝑏𝑑 = 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑 + 𝑎2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑑 − 2𝑎𝑐 − 2𝑏𝑑 = 𝑎2 − 2𝑎𝑑 + 𝑑2 = (𝑎 − 𝑑)2

Problema 6. Calcular la suma indicada, hasta 𝑛 términos. 𝑆𝑛 = 1 +

3 5 7 + + +⋯ 2 4 8

Solución. Observamos que 𝑛

𝑛

𝑘=1

𝑘=1

2𝑛 − 1 2𝑘 − 1 1 2𝑘 − 1 𝑎𝑛 = 𝑛−1 ⇒ 𝑆𝑛 = ∑ 𝑘−1 ⇔ ∙ 𝑆𝑛 = ∑ 2 2 2 2𝑘

De aquí, se deduce que: 𝑛

𝑛−1

𝑘=2

𝑘=1

1 2𝑘 − 1 2𝑘 − 1 2𝑛 − 1 𝑆𝑛 − ∙ 𝑆𝑛 = 1 + ∑ 𝑘−1 − ∑ ( 𝑘 ) − 2 2 2 2𝑛 1 𝑛−1 𝑛−1 (2) − 1 2𝑛 − 1 1 2 2𝑛 − 1 ∙ 𝑆𝑛 = 1 + ∑ ( 𝑘 ) − =1+ − 𝑛 1 2 2 2 2𝑛 − 1 𝑘=1 2 1 𝑛 2𝑛 − 1 =6−4∙( ) − 2 2𝑛



Ejercicios propuestos 1. El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cinco primeros términos de dicha progresión. 2. En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es 28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término? 3. Interpola tres medios geométricos entre los números 8 y 128. 4. En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 y que el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón. 5. Descomponer el número 124 en tres sumandos que formen progresión geométrica, siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor. 6. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24,... 7. La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón. 8. Halla la suma de los términos de la progresión ilimitada: 8, 4, 2, 1,... 9. Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 26 y su producto 216. 10. Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0,125. 11. ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889? 12. Halla tres números en progresión geométrica cuyo producto es 328509, sabiendo que el mayor excede en 115 a la suma de los otros dos. 13. Divide el número 221 en tres partes enteras que forman una progresión geométrica tal que el tercer término sobrepasa al primero en 136. 14. Halla cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma de los dos primeros es 28 y la suma de los dos últimos 175. 15. Una progresión geométrica tiene cinco términos, la razón es igual a la cuarta parte del primer término y la suma de los dos primeros términos es 24. Halla los cinco términos.

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UNIDAD 3: PROGRESIONES 16. Halla x para que x - 1, x + 1, 2(x + 1) estén en progresión geométrica. 17. Halla la fracción generatriz del número decimal 0,737373... Como suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada. 18. Se tiene una cuba de vino que contiene 1024 litros. El 1 de octubre se vació la mitad del contenido; al día siguiente se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamente todos los días. ¿Qué cantidad de vino se sacó el día 10 de octubre? 19. ¿Qué profundidad tendrá un pozo si por el primer metro se han pagado 7600 ptas. y por cada uno de los restantes 1500 ptas. más que por el anterior, sabiendo que en total se han pagado 43600 ptas.? 20. Tres números cuya suma es 36 están en progresión aritmética. Halla dichos números sabiendo que si se les suma 1, 4 y 43, respectivamente, los resultados forman una progresión geométrica.

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Aplicaciones al área de Administración y Negocios.

 APLICACIONES 

Hay que saber contextualizar lo realizado anteriormente y poder aplicarlo en las diferentes áreas a trabajar, es por esto que realizaremos ejercicios en donde podamos aplicar todo lo visto en esta unidad. Sucesiones Problema 1: Una persona quiere administrar su salario de manera de que cada mes, su ahorro sea de $5.000 más que el mes anterior. Si comienza ahorrando $45.000, ¿cuánto es lo que llevara ahorrado después de cinco meses? Solución: Vemos que 𝑎0 = 45.000 ; Valor inicial 𝑎1 = 45.000 + 5.000 = 50.000 ; Ahorro primer mes 𝑎2 = 50.000 + 5.000 = 55.000 ; Ahorro segundo mes 𝑎3 = 55.000 + 5.000 = 60.000 ; Ahorro tercer mes 𝑎4 = 60.000 + 5.000 = 65.000 ; Ahorro cuarto mes 𝑎5 = 65.000 + 5.000 = 70.000 ; Ahorro quinto mes Así, el total ahorrado después de 5 meses, será la suma de estos valores. Con esto, se tiene que: 45.000 + 50.000 + 55.000 + 60.000 + 65.000 + 70.000 = 345.000 Asi, se tiene que lo ahorrado después de 5 meses son $345.000 Problema 2: Una empresa el primer año de funcionamiento, obtiene ganancias de 5.000 €, al segundo año 5.450 €, el tercer año 5.900 €, al cuarto 6.350 €. Si las proyecciones dicen que las ganancias siguen un patrón de sucesión. ¿Cuál es la sucesión asociada a estas ganancias? Solución: Aquí vemos que:

𝑎1 = 5.000 𝑎2 = 5.450 𝑎3 = 5.900 𝑎4 = 6.350

Así, se deduce que 𝑎𝑛 = 450 ∙ 𝑛 + 4550

+450 +450 +450


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Problema 3: Una empresa, por políticas internas, realiza un reajuste en los salarios de sus trabajadores. Este reajuste es del 2% anual sobre el bruto de cada trabajador. Si el promedio de salarios de la empresa son de $350.000, ¿Cuál es la sucesión asociada a este reajuste?

 APLICACIONES 

Solución:

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Al igual que antes, vemos que: 𝑎0 = 350.000 𝑎1 = 350.000 + 350.000 ∙ 2% = 350.000(1 + 2%) = = 350.000(1,02) = 357.000 𝑎2 = 357.000 + 357.000 ∙ 2% = 357.000(1 + 2%) = = 357.000(1,02) = 364.140 𝑎3 = 364.140 + 364.140 ∙ 2% = 364.140(1 + 2%) = = 364.140(1,02) = 371.423 Vemos que el patrón, no es sencillo, pero si deducible, ya que es el termino anterior multiplicado por (1,02). Así, podemos escribir: 𝑎1 = 350.000(1,02) = 357.000 𝑎2 = 357.000(1,02) = 350.000(1,02)(1,02) = 350.000(1,02)2 𝑎3 = 350.000(1,02)2 (1,02) = 350.000(1,02)3 Así, tenemos que 𝑎𝑛 = 350.000 ∙ (1,02)𝑛

Problema 4: Una automotora realiza cada año un avalúo de los vehículos que poseen, para ver cómo se van depreciando a medida que pasa el tiempo. Si el promedio de depreciación es del 5% anual, ¿Cuál es la sucesión asociada a esta depreciación si el promedio del valor de los vehículos es de $5.000.000? Solución: Aquí vemos que: 𝑎0 = 5.000.000 𝑎1 = 5.000.000 − 5.000.000 ∙ 5% = 5.000.000 ∙ (1 − 5%) = = 5.000.000 ∙ (0,95) = 4.750.000 𝑎2 = 4.750.000 − 4.750.000 ∙ 5% = 4.750.000(1 − 5%) = = 4.750.000(0,95) = 4.512.500

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   APLICACIONES 

𝑎2 = 4.512.500 − 4.512.500 ∙ 5% = 4.512.500(1 − 5%) = = 4.512.500(0,95) = 4.286.875 Vemos que el patrón, no es sencillo, pero si deducible, ya que es el termino anterior multiplicado por (1,02). Así, podemos escribir: 𝑎1 = 350.000(0,95) = 4.750.000 𝑎2 = 4.750.000(0,95) = 5.000.000(0,95)(0,95) = = 5.000.000(0,95)2 𝑎3 = 5.000.000(0,95)2 (0,95) = 5.000.000(0,95)3 Así, tenemos que 𝑎𝑛 = 5.000.000 ∙ (0,95)𝑛

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Apunte I

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