CONTENIDO:
CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN. I.1. I.!. I.%. I.&. I.(. I.*. I.-. I..
Las fuerzas fuerzas y el movmento movmento De"n#ón de #on#e$tos Cuadro snó$t#o 'rn#$os generales )ormularo +stemas de ,ndades Mtodo /nal0t#o Mtodo 2r3"#o.
CAPÍTULO II CINEMÁTICA CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. II.1. II.!. II.%. II.&. II.(. II.*.
Movmento 4e#tl0neo ,nforme Movmento ,nformemente /#elerado Movmentos relatvos Movmentos de$endentes Tro 'ara5ól#o /#elera#ones Normal y Tangen#al
CAPÍTULO III CINÉTICA DE LA PARTÍCULA. III.1. +egunda Ley de Ne6ton
CAPÍTULO IV OTROS MÉTODOS. I7.1. I7.1. Mtodo de Tra5a8o Tra5a8o y Energ0a I7.!. I7.!. Im$ulso y #antdad #antda d de movmento I7.%. C9oues
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS. ;NDICE
de uno $ara 2
#om$utadora o sm$lemente de un 8uego en una "esta> s no #ono#es las reglas te a5ur a5urr rr3 r3.. No ent enten ende dess lo ue los los dem3 dem3ss dsfrutan dsfrutan.. /s0 #omo un m?s#o m?s#o es#u#9 es#u#9a a lo ue los o0dos no #a$a#tados no #onsguen $er#5r> $er#5r> y del msmo modo #omo un #o#nero sa5orea en un $latllo lo ue otros no dent"#an> la $ersona ue #ono#e las reglas de la Naturaleza la a$re#a me8or. Cuando sa5es ue los satltes sguen las msmas reglas ue una $elota de 5s5ol lanz la nzad ada a $or $or un 8ug 8ugador ador>> ves ves de ma mane nerra muy dstnta a los astronautas en la ór5ta #uando a$are#en en la televsón. El #ono #o no##me ment nto o de la lass regla eglass ue rge gen el #om$ortamento de la luz #am5a tu manera de ver el #elo azul> las nu5es 5lan#as y el ar#o rs. La rueza de la vda no se 9alla sólo en ver el mundo #on los o8os 5en a5ertos> sno en sa5er u de5emos 5us#ar@. 'aul 2. Ae6tt CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN
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El objetivo principal de esta obra es facilitar el aprendiaje de la !ateria "#e lleva el t$t#lo de la !is!a% Los $ndices de reprobaci&n en las !aterias de Mec'nica (Est'tica ) Din'!ica* son los !'s altos+ no sola!ente en la Esc#ela ,#perior de In-e In-eni nier er$a $a Mec' Mec'ni nica ca ) El.c El.ctr tric ica a (E,I (E,IME ME*+ *+ sino sino en la !a !a)o )or$ r$a a de las las inst instit it#c #cio ione ness de ense ense/a /an na a s#pe s#peri rior or en n#estr n#estro o Pa$s a$s%% Una Una de las las !0lt !0ltip iple less rao raone ness es "#e "#e co con n !#c1 !#c1a a frec frec#e #enc ncia ia++ c#an c#ando do al-# al-#no noss al#!nos nos c#estionan sobre los #sos en la pr'ctica del te!a "#e esta!os viendo+ no sabe!os "#. responder ) esto ocasiona poco inter.s en ellos% Des-raciada!ente+ en la act#alidad+ la prioridad de la in!ensa !a)or$a del est#diantado est#diantado no es aprender+ aprender+ sino acreditar acreditar la !ateria% ,i a lo ante anteri rior or le a-r a-re-a! e-a!os os "#e "#e los los co cono noci ci!i !ien ento toss ad"# ad"#ir irid idos os en la sec# se c#nd ndar aria ia ) bac1 bac1il ille lera rato to so son n pr'c pr'cti tica ca! !ente ente n#lo n#loss en Ál-e Ál-ebr bra a ) Tri-ono!etr$a+ Tri-ono!etr$a+ es de esperarse "#e fracasen al est#diar Mec'nica en c#al"#iera de s#s partes2 ) no es "#e no la aprendan+ lo "#e s#cede es "#e c#ando c#ando preten pretenden den aplica aplicarr los conoci conoci!ie !iento ntoss ad"#ir ad"#irido idos+ s+ se dan c#enta "#e no p#eden despejar al-#na variable de las ec#aciones )a conocidas o+ al-o peor+ es "#e no saben distin-#ir entre cantidades escalares ) vectoriales+ lo c#al es pri!ordial en esta !ateria% La in!ensa !a)or$a de los libros de te3to "#e #sa!os en n#estro Pa$s tienen s# ori-en en el e3tranjero ) vienen de pa$ses tecnol&-ica!ente !#) !#) desar desarro roll llado adoss co co!o !o Esta Estado doss Unid Unidos os de No Nort rtea ea!. !.ri rica ca++ 4ap& 4ap&n+ n+ Ale! Ale!an ania ia ) !#c1 !#c1os os !' !'ss en los los c#al c#ales es el per5 per5ll de los los in-e in-eni nier eros os re"#eridos es !#) diferente al per5l de los "#e se b#scan en 6ait$+ Costa Rica+ Marr#ecos+ Marr#ecos + Per0 o M.3ico% En los pa$ses pa$ses del 'rmer Mundo+ Mundo+ )a ni si"#iera se i!parte la carrera de In-enier$a Mec'nica p#ra+ sino "#e a1ora e3iste la In-enier$a Rob&tica+ Cibern.tica+ de Man#fact#ra+ de Dise/o+ etc% En esos pa$ses los n#evos in-enieros se dedican al dise/o ) fabricaci&n de n#evos siste!as de co!#ni co!#nicac caci&n i&n ) transpo transporte rte co!o co!o n#evos n#evos avione aviones+ s+ naves naves espaci espaciale ales+ s+ trenes bala o+ al !enos+ siste!as de transporte colectivo o !etrob#ses2 si acaso+ las co!pa/$as dise/adoras ) fabricantes de estos siste!as de co!#nicaci&n+ nos capacitan para dar !anteni!iento a los !is!os )a no di-a!os de reactores n#cleares+ n#cleares+ plantas ter!oel.ctricas ter!oel.ctricas -eneradoras de enerener-$a $a el. el.ctr ctric ica+ a+ planta plantass petro" petro"#$! #$!ica icass ) para para la re5na re5naci& ci&n n del petr&leo% Ant Anteri erior!e or!ent nte e+ en n#es n#estr tro o M.3ico co++ c#) c#)os rec#rs c#rsos os pet petroler oleros os aparent aparente! e!ent ente e era eran n ina-ot ina-otabl ables+ es+ se dise/a dise/aban ban ) constr constr#$a #$an n planta plantass re5nadoras+ de destilaci&n+ petro"#$!icas petro"#$!icas ) de al!acena!iento% al!acena!iento% Estas plan planta tas+ s+ si bien bien eran eran dise dise/a /ada dass co con n tecn tecnol oloo-$a $a i!po i!port rtad ada+ a+ f#er f#eron on !ontadas+ calc#ladas ) ejec#tadas por 5r!as de in-enier$a nacionales+ co!o 7#fete Ind#strial+ Ind#strias del 6ierro+ In-enier$a ) 8abricaciones 4
Mec'nicas+ Mec'nicas+ AIN,A+ Conj#nto Conj#nto Man#fact#r Man#fact#rero+ ero+ Consorcio Consorcio Ind#strial+ Ind#strial+ etc% ,in e!bar-o+ a principios de los a/os setenta+ al-#ien !#) i!portante dent dentro ro del del -obi -obier erno no de n#es n#estr tro o Pa$s+ a$s+ orde orden& n& "#e "#e se co cont ntra rata tara ra a e!presas E3tranjeras para realiar este tipo de trabajos co!o el dise/o+ c'lc#lo ) !ontaje de las n#evas plantas petro"#$!icas en M.3ico+ p#es los precios de los e"#ipos conse-#idos en el continente asi'tico+ en pa$ses co!o Corea+ C1ina ) Tailandia+ Tailandia+ eran !'s bajos "#e los nacionales% Con esta !edida se asest& #n f#erte -olpe a la econo!$a nacional+ )a "#e casi todas las e!presas "#e d#rante !#c1$si!os a/os se dedicaron a estas actividad actividades+ es+ poco a poco se f#eron f#eron a la r#ina% 9bvia!ent 9bvia!ente+ e+ la e3periencia de los b#enos in-enieros ME:ICAN9, dedicados a este tipo de ind#strias f#e tirada a la bas#ra+ p#es no p#dieron trans!itir s#s cono co noci ci!i !ien ento toss ) e3pe e3peri rien enci cias as a las las n#ev n#evas as -ene -enera raci cione oness )+ co co!o !o cons co nsec ec#e #enc ncia ia de lo ante anteri rior or++ M.3i M.3ico co c#en c#enta ta 1o) 1o) co con n !#) !#) poco pocoss in-enier in-enieros os e3peri! e3peri!entado entados+ s+ )a "#e !#c1os de ellos est'n est'n j#bilados j#bilados o 1an fallecido+ ) los pocos in-enieros activos "#e c#entan con estas caracter$sticas est'n e!i-rando a los pa$ses petroleros% Por lo antes !encionado+ este libro est' estr#ct#rado de !anera "#e los conoci!ientos ele!entales de Ál-ebra ) Tri-ono!etr$a sean s#5cientes para resolver los proble!as t$picos de la Mec'nica2 no se re"#ieren conoci!ientos de nin-#na otra disciplina !ate!'tica% Recorde!os "#e desde la pri!aria 1asta la ed#caci&n profesional de c#al"#ier carrera+ el <#o#o@ de de la -ran !a)or$a de los est#diantes son precisa!ente las Mate!'ticas% Mate!'ticas% En el caso partic#lar de las carreras de In-eni In-enier$ er$a a Mec'ni Mec'nica ca e In-eni In-enier$ er$a a en ,iste! ,iste!as as A#to!o A#to!otri trices ces++ para para el aprendiaje de la Mec'nica necesaria+ el conoci!iento !ate!'tico no va !'s all' del Ál-ebra ) Tri-ono!etr$a% Tri-ono!etr$a% En !i caso ) desp#.s de ;< ;< a/os de e3pe e3peri rien enci cia a prof profes esio ional nal en ind# ind#st stri rias as co co!o !o la !e !eta tal! l!ec ec'ni 'nica ca++ a#carera+ papelera+ petro"#$!ica+ ali!enticia+ refres"#era+ !inera o la far!ac far!ac.#t .#tica ica++ entre entre otras+ otras+ dejar$ dejar$a a el !anej !anejo o de c'lc#l c'lc#lo o difer diferenc encial ial e inte-ral ) s#periores para #so de los in-enieros "#e pretendan dedicarse a la investi-aci&n o a a"#ellos "#e "#isieran a!pliar s# preparaci&n acad.!ica !ediante !aestr$as o doctorados% Por ello+ 1e solicitado a las a#toridades de la E,IME Acapotalco "#e estas !aterias (desde el c'lc#lo diferencial 1acia arriba+ incl#)endo la -eo!etr$a anal$tica*+ sean pro-ra!adas en los 0lti!os dos se!estres co!o !aterias optativas% C#ando so!os ni/os ) nos llevan a est#diar catecis!o+ nos ense/an "#e el se3to se3to !anda! !anda!ie ient nto o de la Le) de Dios Dios es =N =No o 8orni ornica car' r's> s>%% Por s#p# s#p#es esto to "#e a esa edad edad !#c1 !#c1os os no sa sabe be!o !oss lo "#e deci! deci!os os ) si! si!ple! ple!en entte lo repet peti!os i!os%% A cierta erta edad+ dad+ 1a) 1a) cos osas as "#e "#e so son n entendibles+ pero es !#) triste "#e en la act#alidad n#estros al#!nos de tercer o c#arto se!estre de nivel profesional si!ple!ente repitan sin saber saber el si-ni si-ni5c 5cad ado o de al-# al-#no noss t.r! t.r!in inos os co co!o !o?? radi' radi'n+ n+ !e !ec' c'ni nica ca++ 5
aceleraci aceler aci&n+ &n+ tan-en tan-ente+ te+ cos coseno eno++ f$sica f$sica++ trabajo trabajo++ apote! apote!a+ a+ cin.ti cin.tica ca etc% etc% @No !e creen Pre-0ntenle sobre estas de5niciones a c#al"#ier al#!no de c#al"#ier -rado% ,e aso!brar'n con el res#ltado% Por todo todo lo ante anteri rior or++ 1e deci decidi dido do inic inicia iarr es este te libr libro o en#n en#nci cian ando do los los t.r!inos !'s co!0n!ente #sados en n#estra carrera para "#e+ c#ando los al#!nos los !encionen+ sepan de "#. est'n 1ablando% Posterior!ente+ al inicio de cada cap$t#lo+ e3pondr. de la !anera !'s precisa ) concisa posible los principios en los "#e se basa la !ateria+ a contin#aci&n a !anera de eje!plo+ resolvere!os al-#nos proble!as% Por 0lti!o+ presentar. s#5cientes ejercicios con el 5n de "#e el al#!no practi"#e la aplicaci&n de los conoci!ientos conoci!ientos ad"#iridos% La e3periencia e3periencia nos indica "#e para do!inar c#al"#ier actividad es indispensable la pr'ctic pr'ctica% a% N#estr N#estras as !'3i! !'3i!as as 5-#ras 5-#ras deportiv deportivas as co!o co!o 6#-o 6#-o ,'nc1e ,'nc1e M'r"#e+ M'r"#e+ 8ernando ernando Balen#ela+ alen#ela+ 4oa"#$n 4oa"#$n Capilla+ Capilla+ 4avier 4avier =El C1ic1arito C1ic1arito>> 6ern'nde+ al i-#al "#e n#estro astrona#ta de ascendencia piedadense+ 4os. 6ern'nde Moreno+ 1an sobresalido en s#s respectivas respectivas actividades -racias al e!pe/o e3traordinario "#e 1an p#esto en la pr'ctica de s#s profes profesion iones2 es2 consec consec#en #ente! te!ent ente+ e+ si n#estr n#estro o objeti objetivo vo es do!ina do!inarr esta esta !ateria+ es indispensable practicar+ practicar ) se-#ir practicando en la resol#ci&n de proble!as relativos a la !is!a% Ta!bi.n Ta!bi.n en#ncio al inicio de este libro #n for!#lario "#e es indisp indispens ensabl able e MEM9RI MEM9RIAR AR para para tener tener .3ito .3ito en el aprend aprendi iaje aje de la Mec'nica en -eneral%
I.1. L A S F U E R Z A S Y E L M O V I M I E N T O. Las cosas se !#even2 !#even2 se !#eve el el a-#a de #n r$o+ la piedra lanada por la resortera del ni/o+ el p'jaro "#e cr#a velo ante n#estra vista2 las casas ) los edi5cios+ "#e a#n"#e nos parecen 5jos+ se !#even j#nto con la tierra alrededor del ,ol% ta!bi.n ta!bi.n .ste se !#eve% las estrellas% las -ala3ias% Las cosas se !#even% Pero+ Pero+ @c&!o se !#even El corredor se !#eve en l$nea recta+ la tra)ectoria de la piedra "#e ser' lanada por #na 1onda describe #na circ#nferencia+ la lenteja de #n p.nd#lo p.nd#lo en #n contin#o contin#o ) !on&tono vaiv.n vaiv.n oscilat oscilatorio orio%% El caracol caracol se !#eve lenta!ente+ el avi&n con rapide+ la r#eda de la noria de !anera !on& !on&to tona na ) #nif #nifor or!e !e++ sie! sie!pr pre e i-#a i-#al% l% La pied piedra ra cae vert vertic ical al ) acelerada!ente al s#elo+ cada ve !'s aprisa+ con !'s deseos de lle-ar a la tierra2 el pro)ectil lanado por #n ca/&n describe #na tra)ectoria parab&lica+ ) as$ con todo% Movi!ientos rectos+ c#rvos+ c#rvos+ lentos+ r'pidos+ co!binados+ #nifor!es ) apres#rados% 6
Los c#erpos+ al !overse+ describen #n ca!ino+ #na trayet!r"a a lo lar-o de la c#al recorren #na cierta #"$ta%"a en #n tem$o dado% as$+ pode!os 1ablar de la velo#dad de #n c#erpo+ la c#al p#ede ser sie!pre la !is!a o variar pro-resiva!ente en el transc#rso del tie!po+ dando l#-ar a #na ae&era"'%> #n ca!bio de la velocidad% D"$ta%"a re!rr"#a( )e&!"#a#( ae&era"'%* Conocer la tra)ectoria ) posici&n de #na part$c#la en c#al"#ier instante es saber #ómo se !#even los c#erpos2 esto es saber Dinámica% Pero 1a) otra pre-#nta? @'or u se !#even los c#erpos Por"#e los e!p#ja!os+ los jala!os+ los i!p#lsa!os de al-#na !anera% El p#ntapi. del ni/o !#eve la pelota2 el e!p#j&n del obrero a la carretilla2 el viento a las ra!as de los 'rboles+ la acci&n de la -ravedad+ etc%etc 9bservando el !ovi!iento de los objetos "#e nos rodean+ pode!os encontrar sie!pre #na ca#sa del !ovi!iento% a esta ca#sa+ a esta acci&n+ la lla!a!os +,er-a. La f#era del p#ntapi.+ del e!p#j&n+ del viento+ es la ca#sa del !)""e%t!( &a a"'% #e &a /ra)e#a#( ) la relaci&n de estos dos conceptos (f#era ) !ovi!iento* es el te!a de este est#dio ) es el objeto de la Cinética. 8#e el f$sico In-l.s Isaac NeFton "#ien encontr& "#e+ c#ales"#iera "#e f#esen las f#eras ) el !ovi!iento+ e3ist$an #nas relaciones 0nicas entre a!bos conceptos ) p#do as$ e3presar el !ovi!iento+ Gtodos los !ovi!ientos en #n -r#po de le)esH? Las le)es de la Din'!ica+ "#e son las !is!as para todos los c#erpos+ para todas las f#eras+ para todos los !ovi!ientos% se lle-& as$ a la si!pli5caci&n+ a la s$ntesis2 es decir+ al conoci!iento%
I.. DEFINICIÓN DE CONCEPTOS D!"nici#n!$ %&! t#'# !$t&'iant! '! IN(ENERÍA MEC)NICA '!*! c#n#c!+, 1. ACELERACIÓN, es el ca!bio de la velocidad a trav.s del tie!po% . APOTEMA, es la distancia del centro de #n pol$-ono re-#lar al centro de #no de s#s lados% 7
-. CANTIDAD DE MOVIMIENTO, se le lla!a as$ al prod#cto de la !asa por la velocidad% . CANTIDAD ESCALAR, especie%
es a"#.lla "#e tiene n0!ero )
/. CANTIDAD VECTORIAL, tiene n0!ero+ si-no+ especie+ direcci&n ) sentido% 0. CIENCIA, es #n conj#nto de conoci!ientos raonados ) siste!atiados op#estos al conoci!iento v#l-ar+ los c#ales son co!probables ) perfectibles% . CINEM)TICA, es la parte de la Din'!ica "#e est#dia el !ovi!iento sin i!portar las ca#sas "#e lo prod#cen% 2. CIN3TICA, es la parte de la Din'!ica "#e+ ade!'s de analiar el !ovi!iento+ analia las ca#sas "#e lo prod#cen% 4. COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN, es la rapide con la "#e v#elve a s# for!a ori-inal #n c#erpo el'stico "#e 1a sido defor!ado% 15. CUERPO RÍ(IDO, es a"#.l "#e+ al analiarlo+ in#)en s#s di!ensiones ) s# for!a no ca!bia+ es decir+ no es defor!able% 11. DESPLAZAMIENTO, es el ca!bio de posici&n de #n c#erpo respecto al tie!po% 1. DIA(RAMA DE CUERPO LI6RE, es la representaci&n -r'5ca de las f#eras "#e act0an en #n c#erpo%
1-. DERIVADA, es el l$!ite de la relaci&n del incre!ento de la f#nci&n entre el incre!ento de la variable independiente c#ando .sta tiende a cero ) la pode!os representar co!o? d)Jd3 K l$! Delta )JDelta 3 c#ando (Delta 3 tiende a cero*% 1. DIN)MICA, es la parte de la Mec'nica "#e est#dia el !ovi!iento% 8
1/. ENER(ÍA, se dice "#e #n c#erpo tiene ener-$a c#ando es capa de prod#cir trabajo% 10. ENER(ÍA CIN3TICA, es la ener-$a "#e tiene #n c#erpo en f#nci&n de s# velocidad% T K !& % 1. ENER(ÍA POTENCIAL, es la ener-$a "#e tiene #n c#erpo en f#nci&n de s# posici&n% U K 1 & U K O3% % 12. EST)TICA, es la parte de la Mec'nica "#e est#dia los c#erpos en reposo% 14.
FUERZA, es la interacci&n entre dos c#erpos%
5. FUNCIÓN COSENO, se le lla!a coseno de #n 'n-#lo en #n tri'n-#lo rect'n-#lo a la relaci&n "#e e3iste entre el cateto ad)acente ) la 1ipoten#sa% 1. FUNCIÓN SENO, se le lla!a seno de #n 'n-#lo en #n tri'n-#lo rect'n-#lo a la relaci&n "#e e3iste entre el cateto op#esto ) la 1ipoten#sa% . FUNCIÓN TAN(ENTE, se le lla!a tan-ente de #n 'n-#lo en #n tri'n-#lo rect'n-#lo a la relaci&n "#e e3iste entre el cateto op#esto ) el cateto ad)acente% -. 7.P.? si-ni5ca =1orse poFer> ) es #na #nidad de potencia en el siste!a In-l.s e"#ivalente a ;;< lbpieJse-%+ K QS atts% . IMPULSO, c#ando se le aplica #na f#era a #n c#erpo d#rante #n deter!inado tie!po+ se dice "#e se le est' dando #n i!p#lso% /. IN(ENIERÍA, es la #tiliaci&n de la nat#ralea en bene5cio del 1o!bre% 0. IN(ENIERO, #n in-eniero es #n profesional "#e #tilia s#s conoci!ientos cient$5cos+ s# 1abilidad creadora ) s# e3periencia+ para desarrollar pro)ectos+ en for!a de !.todos ) procedi!ientos a 5n de transfor!ar los rec#rsos nat#rales en art$c#los 0tiles+ considerando s# factibilidad econ&!ica ) a!biental% 9
.8OULE, es #na #nidad de trabajo e"#ivalente a #n NeFton !tro% 2.9ILO(RAMO FUERZA, es la #nidad de f#era en el siste!a !Os% 4.9ILO(RAMO MASA, es la #nidad de !asa en el siste!a internacional% -5.LEY DE NE:TON 1a., si #n c#erpo se enc#entra en estado de reposo o !ovi!iento rectil$neo #nifor!e+ per!anecer' en dic1o estado !ientras no 1a)a #na f#era e3terior no balanceada "#e lo obli-#e a salir de .l% -1.LEY DE NE:TON a? si a #n c#erpo "#e se enc#entre en estado de reposo o con !ovi!iento rectil$neo #nifor!e le aplica!os #na f#era e3terior no balanceada+ ad"#irir' #na aceleraci&n proporcional a dic1a f#era con la !is!a direcci&n ) sentido% ( 8 K !a *% -. LEY DE NE:TON -a? a toda acci&n corresponde #na reacci&n de la !is!a !a-nit#d ) de sentido contrario% --. LI6RA, &nidad de f#era #tiliada co!o patr&n en el siste!a in-l.s% -. MASA, se-0n al-#nos a#tores es la resistencia "#e pone #n c#erpo al !ovi!iento+ p#di.ndose de5nir ta!bi.n co!o la cantidad de !ateria "#e tiene #n c#erpo% -/. MEC)NICA, es la parte de la f$sica "#e est#dia el !ovi!iento ) predice los efectos ocasionados por las f#eras% -0. MOMENTO, es el prod#cto de #na f#era por #na distancia+ debiendo ser .stas perpendic#lares entre s$% -. MOMENTO DE INERCIA, es la resistencia "#e pone #n c#erpo a -irar% -2. NE:TON, internacional%
#nidad
de
f#era
en
el
siste!a
-4. PARTÍCULA, si las di!ensiones "#e tiene #n c#erpo son despreciables+ lo considerare!os co!o part$c#la% 10
5. PASCAL, #nidad de presi&n en el siste!a internacional "#e e"#ivale a #n NJ!% 1. PI, es el n0!ero de veces "#e cabe el di'!etro en el per$!etro% . POTENCIA, es la rapide con la "#e se lleva a cabo #n trabajo% -. RADI)N, es #n 'n-#lo+ c#)a lon-it#d de arco es i-#al al radio% . RADIO DE (IRO, es el l#-ar -eo!.trico donde se considera "#e est' concentrada la !asa de #n c#erpo% /. RAPIDEZ, cantidad Escalar "#e indica la !a-nit#d de la velocidad% 0.
SLU(? la #nidad de !asa en el siste!a in-l.s%
.
TIEMPO, lo "#e separa dos eventos%
2. TRA6A8O, c#ando por !edio de #na f#era se desplaa #n c#erpo+ se realia #n trabajo+ tanto la f#era co!o la distancia deben se paralelas entre s$% 4. VELOCIDAD, ca!bio de posici&n con respecto al tie!po% Cantidad Bectorial "#e ade!'s de !a-nit#d+ especie ) si-no+ tiene direcci&n ) sentido% /5.
:ATT, #nidad de potencia e"#ivalente a #n N!Js%
,i consideras i!portante incl#ir otras de5niciones+ s#-i.relas al correo electr&nico? j!leonin-lesa%co!%!3
Con el 5n de tener #na referencia !'s clara de lo "#e es la Din'!ica de la Part$c#la+ a contin#aci&n presenta!os #n c#adro sin&ptico donde la #bica!os?
I.-. CUADRO SINÓPTICO. 11
Ciencias Naturales Electricidad Magnetismo Estática
de la Partcula Cinemática
!sica
Mecánica $onido
Ciencias
Ciencias E&actas
del Cuer"o #gido %inámica
'"tica
de la Partcula Cin(tica
)
Matemáticas
del cuer"o #gido
Ciencias $ociales
La de5nici&n de los conceptos en#nciados en el c#adro sin&ptico anterior est'n contenidas en el te!a de De5niciones%
As$ co!o el est#dio de la Est'tica se re!onta a la .poca de los 5l&sofos -rie-os+ los pri!eros antecedentes relacionados con la Din'!ica f#eron e!itidos por alileo alilei (V;SVS*% Los e3peri!entos realiados por ,ir Isaac NeFton (VSVQQ* relacionados con el !ovi!iento #nifor!e!ente acelerado f#eron la base para for!#lar ) f#nda!entar las le)es del !ovi!iento%
12
Co!o pode!os observar en el c#adro sin&ptico+ la Din'!ica se divide en Cine!'tica ) Cin.tica% La pri!era est#dia el !ovi!iento p#ro+ sin i!portar las ca#sas "#e lo prod#cen+ ) la Cin.tica+ ade!'s de est#diar el !ovi!iento+ ta!bi.n analia las ca#sas "#e lo prod#cen% C#ando analia!os la relaci&n "#e e3iste entre las f#eras "#e act0an en #n c#erpo ) la !asa del !is!o+ esta!os #sando la Cin.tica para predecir el !ovi!iento ocasionado por las f#eras aplicadas o pode!os predecir c#'les f#eras nos prod#cen #n !ovi!iento deter!inado% C#ando en n#estro c#rso 1abla!os de #na part$c#la+ no nos esta!os re5riendo a #n c#erpo !in0sc#lo+ pe"#e/o+ sino "#e 1ace!os referencia a #n c#erpo c#)as di!ensiones son despreciables% ,i est#dia!os el !ovi!iento de traslaci&n de n#estro planeta Tierra+ lo esta!os tratando co!o #na part$c#la2 pero si del !is!o planeta analia!os s# !ovi!iento de rotaci&n+ "#e -enera la aparici&n del d$a ) la noc1e+ esta!os a1ora tratando no con #na part$c#la+ sino con #n c#erpo r$-ido% Rec#erda+ LAS PARTÍCULAS NO TIENEN MOVIMIENTO DE ROTACIÓN; SOLAMENTE TRASLACIÓN.
I.. P R I N C I P I O S ( E N E R A L E S. Co!o )a se !encion& en el c#rso de Est'tica+ la Mec'nica se basa en seis principios f#nda!entales a saber? V% Le) del Paralelo-ra!o % Principio de Trans!isibilidad W% Pri!era le) de NeFton % ,e-#nda le) de NeFton ;% Tercera le) de NeFton S% Le) de ravitaci&n Universal
13
V% La =Le) del Paralelo-ra!o> indica "#e c#ando dos f#eras act0an sobre #na part$c#la+ .stas p#eden ser s#stit#idas por s# res#ltante+ ocasionando el !is!o efecto% % El =Principio de Trans!isibilidad> nos indica "#e #na f#era p#ede desliarse sobre s# l$nea de acci&n prod#ciendo el !is!o efecto. E$t! ?+inci?i# $@# !$ a?ica*! !n M!cánica; Ba %&! !n R!$i$t!ncia '! Mat!+ia!$ cam*ian #$ !!ct#$ ?+#'&ci'#$. W% Las tres le)es de NeFton est'n contenidas en las de5niciones anteriores% S% La =Le) de ravitaci&n Universal>+ en#nciada ta!bi.n por ,ir% Isaac NeFton+ establece "#e la f#era de atracci&n entre dos part$c#las ! ) M+ es i-#al al prod#cto de s#s !asas entre la distancia "#e los separa al c#adrado+ !#ltiplicando este cociente por la Constante de ravitaci&n Universal representada por la letra =>% 8 K (M!Jr *% Es tan i!portante este concepto "#e de .l se obtiene el valor de =-> "#e es la !a-nit#d de la aceleraci&n "#e prod#ce el planeta Tierra en los c#erpos "#e se enc#entran sobre s# s#per5cie% Un c#erpo+ al ser atra$do por la Tierra+ -enera #na f#era i-#al a s# peso+ el c#al pode!os c#anti5car con la ec#aci&n K !-+ ) de la !is!a !anera pode!os c#anti5car la !asa de #n c#erpo+ dividiendo s# peso+ entre el valor de la -ravedad% 8inal!ente+ si en la ec#aci&n anterior to!a!os co!o M i-#al a la !asa de la tierra+ da!os a =!> #n valor #nitario ) dado "#e el radio de la Tierra no es constante+ lo representare!os por la letra =R>+ - K MJR para 5nes pr'cticos+ to!are!os los valores de la aceleraci&n debida a la -ravedad co!o X%YV !Js en el siste!a internacional+ ) W% piesJse- en el siste!a In-l.s%
A contin#aci&n+ ded#cire!os de #na !anera sencilla el ori-en de las c#atro ec#aciones principales #tiliadas en la sol#ci&n de proble!as de cine!'tica?
Ecuaciones de cinemática* +os dos ti"os de mo,imiento mas com-nmente usados en la cinemática. son/ a ,elocidad constante con aceleracin constante* Por deinicin. la ,elocidad 14
es el cociente del camio de "osicin en uncin del tiem"o. ue "uede considerarse como la ,elocidad "romedio* n caso similar es "ara el camio de ,elocidad res"ecto al tiem"o. meor conocido como aceleracin "romedio. como se oser,a en la tala 1* $in emargo. cuando se trata de ,elocidades aceleraciones instantáneas el incremento de tiem"o considerado es mu "eueo se a"ro&ima a cero sin llegar a (l* este enmeno ue considera incrementos de tiem"o mu "eueos o instantes se le conoce como deri,ada matemáticamente se e&"resa como el lmite cuando el tiem"o tiende a cero. del cociente entre el camio de "osicin el incremento del tiem"o*
Ta*a 1 Int!+?+!taci@n mat!mática '! a !#ci'a' B ac!!+aci@n ?+#m!'i# ! in$tantán!a.
15
Análisis
Instantánea lim
+a la
∆t → 0
Δ x
Velocidad
al la tami(n -ltima tami(n deri,ada res"ecto "or al
Promedio
Δ t
Δx Δ t
dx dt
lim ∆t → 0
Δv Δ t
dv dt
Δ v
Aceleración
Δ t
2
d x
el
2
d t
v
l
,elocidad instantánea es "rimera deri,ada del des"laamiento res"ecto tiem"o* +a aceleracin es deri,ada de la ,elocidad res"ecto al tiem"o. (sta se "uede e&"resar como la segunda del des"laamiento al tiem"o o como el "roducto de la ,elocidad camio de (sta res"ecto tiem"o*
dv
resol,er las ecuaciones dierenciales mostradas en la tala 1 "ara ,elocidades aceleraciones instantáneas se otienen ecuaciones algeraicas ue son de uso más "ráctico a ni,el de ingeniera son -tiles "ara una am"lia gama de "rolemas en :ngeniera mecánica* ;,er tala 3<* dx
+a caracterstica del mo,imiento uniorme. es ue la ,elocidad es constante. "or tanto la aceleracin es cero* Para el caso del mo,imiento uniormemente acelerado. es decir. con aceleracin constante. se consideran tres casos/ El "rimero. relaciona el camio de ,elocidad. la aceleracin el tiem"o* El segundo. es una relacin entre el camio de "osicin. la ,elocidad inicial. la aceleracin el tiem"o* Por -ltimo. el camio de ,elocidad. el camio de "osicin del tiem"o*
Ta*a Va+ia*!$ aná#a$ '!
t+an$aci@n B +#taci@n. Translación
Rotación
x 0
θ0
v0
ω0
x
θ
v
ω a
α
En uncin de los datos conocidos del "rolema se "ueden utiliar las siguientes ecuaciones de mo,imiento. las cuales son ,álidas "ara translacin rotacin* 16
Tabla 3: Deducción algebraica de las ecuaciones del MRU, MRUA en traslación y rotación Mo!imiento
Uni"ormemente Acelerado
Uni"orme
Uni"ormemente Acelerado
Uni"ormemente Acelerado
v=
#cuación caracter$stica
Cte.= v =
d
Cte = a =
dv dt
d
v=
dx dt
dx dt
a=
= v 0+ at
∴ dt =
dv dt
dx = vdt
dx =( v 0 + at ) dt
dv = adt
x x
∫ Integración
x 0
dx = v
t
v
∫
∫
0
v0
x − x 0= vt
#cuación algebraica Para Translación #cuación algebraica &ara rotación
t
∫
dv = a
dt
dx
vdv dx
adx = vdv
0
+ at ) d
x
t 0
a
t 0
v −v 0= at
dv
t
∫ dx =∫ ( v x 0
v
v a=
%e&arando !ariables
=
dx
x − x 0= v 0 t +
x = x 0+ vt
v =v 0 + at
x = x 0+ v 0 t +
θ=θ 0+ ωt
ω =ω 0+ αt
θ=θ 0+ ω0 t +
1 2
1 2
1 2
v
∫ dx = v ∫ dv x0
v0
2
a t
2
a t
2
α t
v
2
= v 0 + 2 a ( x − x 0 )
2
ω
2
=ω + 2 α ( θ −θ 2 0
0
+as ecuaciones se resumen en la tala 3. donde se muestra la deduccin de las ecuaciones algeraicas del mo,imiento uniorme uniormemente acelerado. "ara translacin rotacin* Por a1ora+ 1are!os #n res#!en de las ec#aciones !'s #tiliadas en este c#rso+ donde incl#i!os ta!bi.n al-#nas f&r!#las e identidades tri-ono!.tricas "#e+ espero+ ser'n s#5cientes para resolver CUALZUIER PR97LEMA DE DINÁMICA en este nivel de Licenciat#ra% 1./. FORMULARIO
17
FÓRMULA (ENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES DE SE(UNDO (RADO
V% s K s< [&t % & K &< [ at W% s K s< [&< t [ at % & K &< [ as
LEY DE SENOS
A
K
,en α
7
,en ^
K
:K
C ,en
b\
b ] ac a
LEY DE COSENOS
c K a [ b ] ab cos γ
γ
IDENTIDADES TRI(ONOM3TRICAS
(sen α cos α* K sen (α* V K V [ t- α Cos α Cos (α [ ^* Kcos α cos ^ ] sen α sen ^
VELOCIDADES RELATIVAS
s AJ7 K sAs7 &AJ7 K&A&7 a AJ7 K aAa 7
TV [ UV K T K Principio de conservaci&n de la Ener-$a% T K Ener-$a Cin.tica K !& B K Ener-$a Potencial K O3 K 1 8t K I!p#lso !& K Cantidad de !ovi!iento U K Trabajo K 1 K 8s CONVERSIONES V !illa K ;Y< pies K VQS< )ardas% V ton K +<< lb V 6P K <%Q;Q _ V 6P K ;;< LbpieJse- K WW+<<< LbpieJ!in+ K QS atts% V ATT K V 49ULEJse- K V N!JseV ona K VJVS de libraK <%
I%S% , I , T E M A ,
DE UNIDADE,
Cada ve "#e 1abla!os de al-o !edible+ debe!os de !encionar s#s #nidades% ,i 1abla!os de tie!po+ debe!os !encionar si son !ilenios+ si-los+ l#stros+ a/os+ !eses d$as 1oras !in#tos o se-#ndos2 si 1abla!os de vol0!enes+ debe!os precisar si son litros+ !etros c0bicos+ -alones+ barriles+ etc% Trat'ndose de dinero+ se debe especi5car si son pesos+ d&lares+ e#ros+ "#etales o c#al"#ier otro tipo de !oneda% C#ando 1abla!os de Mec'nica+ las #nidades a c#anti5car son distancia+ tie!po+ !asa+ f#era ) s#s derivados% E3isten tres siste!as b'sicos para c#al"#ier tipo de !edici&n? V% ,iste!a Internacional !. +stema Ingls W% ,iste!a !Os (para n#estro Pa$s+ Espa/a+ ) la !a)or$a de los pa$ses latinoa!ericanos* La in!ensa !a)or$a de los p#eblos latinoa!ericanos f#i!os con"#istados por los espa/oles )+ consec#ente!ente+ nos i!p#sieron el ,iste!a !Os% ,in e!bar-o+ los Estados Unidos de Nortea!.rica f#eron con"#istados por al-#nos pa$ses sajones+ "#ienes i!p#sieron co!o #nidad de !edici&n el ,iste!a In-l.s2 pero al efect#ar transacciones internacionales+ 1ab$a !#c1a conf#si&n para b#scar+ por eje!plo+ el e"#ivalente a #na #nidad de lon-it#d de Y !illas+ Q )ardas+ ; pies+ VV p#l-adas ) QJVS de p#l-ada a !etros% Deber$a!os ser especialistas en #nidades de !edici&n para re!ediar este proble!a% A !ediados del si-lo pasado+ desp#.s de al-#nas convenciones internacionales+ todos los pa$ses adoptaron el ,iste!a Internacional de !edidas ) se acord& "#e ser$a de #so !#ndial% Pero+ a pesar del ac#erdo+ es pr'ctica!ente i!posible para nosotros ac#dir a la tortiller$a ) pedir nos s#!inistren die NeFtons de tortillas ) NeFtons de !asa2 pensar' el dependiente "#e no esta!os c#erdos% A pesar "#e 1ace !'s de ;< a/os "#e se aprob& ) acord& #tiliar el ,iste!a Internacional+ a la fec1a (
19
UNIDADE, DE MEDIDA MÁ, C9MUNMENTE U,ADA, SISTEMA MASA LON(IT UD TIEMPO FUERZA
INTERNACIO NAL _ilo-ra!o
MG$
IN(L3S ,l#-
Metro
Unidad T.cnica de Masa (UTM* Metro
,e-#ndo NeFton
,e-#ndo _ilo-ra!o
P#l-ada+ pie+ )arda+ !illa ,e-#ndo Libra
E3isten dos !.todos para la sol#ci&n de los proble!as de din'!ica? el -r'5co ) el anal$tico% La in!ensa !a)or$a de los proble!as de Din'!ica se p#eden resolver por el !.todo anal$tico2 sin e!bar-o+ e3iste ta!bi.n el !.todo -r'5co% I.. M3TODO ANALÍTICO Para resolver los proble!as por el !.todo anal$tico+ el f$sico italiano alileo alilei (V;SVS* en#nci& este !.todo "#e consiste b'sica!ente en los si-#ientes pasos? V% Co!prensi&n del proble!a% % An'lisis del !is!o+ es decir+ crear #na 1ip&tesis acerca de la resp#esta% W% Predecir las consec#encias del an'lisis% La in!ensa !a)or$a de los proble!as de Mec'nica en -eneral ) de Din'!ica de la part$c#la en partic#lar+ los resolvere!os aplicando estos tres pasos? Pri!era!ente debe!os co!prender el proble!a+ analiando con todo deteni!iento s# contenido e i!a-inando c#'les son los datos ) c#'les las inc&-nitas a resolver% Una ve "#e 1a)a!os analiado el proble!a+ recordare!os las ec#aciones aplicables al te!a ) de ellas ele-ire!os la "#e conten-a varios de los datos con los "#e conta!os ) sola!ente #na inc&-nita2 la despejare!os ) 1are!os los c'lc#los necesarios para lle-ar al res#ltado "#e este!os b#scando% 8inal!ente+ si tene!os al-#na d#da al respecto+ pode!os #tiliar las ec#aciones di!ensionales con el 5n de corroborar "#e el res#ltado es correcto% I.2. M3TODOS (R)FICOS 20
Al i-#al "#e en la tri-ono!etr$a+ no se reco!ienda resolver proble!as por este !.todo2 sin e!bar-o s$ es de #tilidad saber "#. tipo de -r'5ca !e -enera al-0n !ovi!iento% PARA EL M9BIMIENT9 RECTILINE9 UNI89RME TENEM9, LA, ,IUIENTE, RÁ8ICA,? B
, Pendiente constante Belocidad constante
aK<
s K vt
t
<
r'5ca BelocidadTie!po
t
<
r'5ca Desplaa!ientoTie!po
PARA EL M9BIMIENT9 RECTILINE9 U,AREM9, LA, ,IUIENTE, RÁ8ICA,?
UNI89RMEMENTE
ACELERAD9+
,
= Pendiente constante
<
t
& K at
r'5ca BelocidadTie!po Tie!po
<
t
, K &
21
Este libro est' dise/ado de tal !anera "#e al principio de cada cap$t#lo o te!a se da la teor$a relacionada con el !is!o% Posterior!ente+ se en#ncian die proble!as relacionados con .l ) al 5nal del libro se enc#entra #n sol#cionario+ donde+ a !anera de eje!plo+ se res#elven paso a paso+ absol#ta!ente todos los proble!as en#nciados% ,i el est#diante considera "#e son pocos los eje!plos+ p#ede rec#rrir a c#al"#ier libro de din'!ica de la part$c#la ) en ellos encontrar' -ran variedad de proble!as2 pero todos+ absol#ta!ente todos los proble!as de te!as tratados en este libro+ se podr'n resolver con los conoci!ientos ad"#iridos a"#$% C#al"#ier co!entario al respecto ser' bienvenido en el correo electr&nico? j!leonin-lesa%co!%!3
C A P Í T U L O II. C I N E M ) T I C A
DE
LA
PARTÍCULA
II.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 22
Este tipo de !ovi!iento se caracteria por tener desplaa!ientos i-#ales en tie!pos i-#ales+ es decir+ la velocidad per!anece constante+ ni decrece ni se incre!enta% Co!o se !enciona en las de5niciones+ la Cine!'tica est#dia el !ovi!iento p#ro sin i!portar las ca#sas "#e lo prod#cen% Para resolver los proble!as relacionados con el !ovi!iento rectil$neo #nifor!e+ e3iste #na+ ) sola!ente #na ec#aci&n "#e dice? , K ,< [&t% `sta es la ec#aci&n !arcada con el n0!ero #no del for!#lario "#e se !#estra en la p'-ina VQ% De esta ec#aci&n+ despejando+ se p#ede obtener?
& K ,Jt )
t K ,J&
Debe!os recordar "#e tanto las velocidades co!o las aceleraciones son cantidades vectoriales+ ) co!o tales las debe!os tratar al s#!arlas ) restarlas% Al-#nas veces se conf#nde el si-ni5cado de ra$dez ) velo#dad )+ e"#ivocada!ente+ cree!os "#e son sin&ni!os% ,i #n a#to!&vil se desplaa en #na pista circ#lar ) s# veloc$!etro !arca sie!pre el !is!o valor+ tendr' #na rapide #onstante por"#e s# valor n#nca ca!bia+ s# velocidad tendr' la !is!a !a-nit#d+ pero s# direcci&n ca!bia a cada instante+ por lo tanto no es constante% Por lo anterior pode!os ded#cir "#e la rapide es #na cantidad escalar ) representa el valor n#!.rico de la velocidad+ la c#al s$ es #na cantidad vectorial% Belocidad !edia? Esta velocidad se obtiene efect#ando la relaci&n de la s#!a de los desplaa!ientos parciales entre la s#!a de los tie!pos parciales de ac#erdo con la ec#aci&n% Belocidad !edia K s#!a de desplaa!ientos parciales J s#!a de tie!pos% Belocidad pro!edio? ,e calc#la s#!ando las velocidades parciales entre el n0!ero de s#!andos% Belocidad pro!edio K( &V[&[&W[%%&n*Jn%
'4OBLEM/+ '4O',E+TO+: II%V%V% Un a#to!&vil pretende efect#ar #n viaje de la Ci#dad de M.3ico al p#erto de Acap#lco% Considerando "#e entre el ori-en ) el destino 1a) #na distancia de << _il&!etros ) "#e de ida viajar' con #na velocidad 23
constante de V< _!J1 ) de re-reso sostendr' #na velocidad ta!bi.n constante de Y< _!J1+ deter!inar la velocidad MEDIA del viaje ) la velocidad PR9MEDI9 ) establ.case por "#. la diferencia% II%V%% ,abiendo "#e de la ci#dad de M.rida en el estado de #cat'n a la ci#dad de Tij#ana en 7aja California 1a) apro3i!ada!ente VY< Oil&!etros+ calc#lar en 1oras+ !in#tos ) se-#ndos el tie!po necesario para efect#ar este viaje a #na velocidad pro!edio de X< _!J1% II%V%W% ,#poniendo "#e #n corredor de f0tbol a!ericano corre en dia-onal entre v.rtices op#estos #na canc1a profesional "#e !ide V<< )ardas de lar-o por S< de anc1o en ;< se-#ndos a velocidad constante+ calc#le el valor de esta velocidad en pies por se-#ndo+ !illas por 1ora ) )ardas por se-#ndo% II%V%% Un corredor de pista da V< v#eltas en la pista !ostrada en la 5-#ra II%V%+ sabiendo "#e s# velocidad es constante ) s# !a-nit#d es de W !Jse-2 calc#lar el tie!po re"#erido para dar las V< v#eltas en 1oras+ !in#tos ) se-#ndos
V<< !
%
F I ( U R A N#. II.1. 24
II%V%;% Un a#to!ovilista viaja a #na velocidad constante de ;< !illas por 1ora c#ando observa "#e el si-#iente se!'foro localiado a V<< pies ca!bia a color rojo+ si .l sabe "#e la l# de la se/al de tr'5co per!anecer' con ese color d#rante V; se-#ndos ) no aplica los frenos ni acelera+ deter!inar si se 1ar' acreedor a #na infracci&n% II%V%S% Un corredor co!pite en #n circ#ito circ#lar de radio i-#al a W< !etros a #na velocidad constante de !Js% Calc#le la distancia recorrida d#rante #na 1ora en? a* !etros+ b* radianes+ c* v#eltas% II%V%Q% Dos a#to!&viles circ#lan sobre carriles ad)acentes de #na !is!a carretera pero en sentidos contrarios% El a#to!&vil A viaja 1acia el norte con #na velocidad de Y< _!J1 ) el a#to!&vil 7 se desplaa 1acia el s#r con #na velocidad de V< _!J1+ a!bos con velocidades constantes% ,abiendo "#e para tK< la distancia entre los dos a#to!&viles es de ;<< !etros+ calc#lar c#'ndo ) d&nde se cr#ar'n los a#to!&viles% vA K Y< _!J 1
v7 K V< _!J 1
A
7
C 3 ;<< !
P+#*!ma II.1. II%V%Y% Dos a#to!&viles A ) 7 circ#lan por carriles ad)acentes de #na !is!a carretera pero en sentidos contrarios% ,#s velocidades respectivas son constantes de < ) W< )ardas por 1ora% ,i la distancia entre ellos en tK< es de ; !illas+ calc#lar c#'ndo ) d&nde se cr#ar'n los a#to!&viles%
25
vA K < dJ 1
v7 K W< dJ 1
A
7
C 3 ; !illas
P+#*!ma II.1.2 II%V%X% Un a#to!&vil circ#la con velocidad constante de ; Oil&!etros por 1ora+ calc#lar con apro3i!aci&n de cent$!etros el desplaa!iento "#e tendr' en W; !in#tos% II%V%V<% Un a#to!&vil circ#la con velocidad constante de ; !illasJ1ora% Calc#lar en !illas+ )ardas+ pies ) p#l-adas la distancia recorrida en W; !in#tos%
II.. MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO Este tipo de !ovi!iento se caracteria por"#e s# velocidad no es constante? o se incre!enta (aceleraci&n positiva* o decrece (aceleraci&n ne-ativa*% Para resolver este tipo de !ovi!iento+ e3isten tres ec#aciones? , K ,< [&
& K &< [ at%
&K &< [
Co!o pode!os observar+ las tres ec#aciones son f#nci&n de la aceleraci&n+ es decir+ dependen del valor de la aceleraci&n ) .sta deber' ser C9N,TANTE% Los proble!as "#e ten-an ACELERACI9NE, BARIA7LE,+ sola!ente podr'n resolverse 1aciendo #so del c'lc#lo diferencial o inte-ral+ se-0n sea el caso% Co!o )a lo j#sti5ca!os anterior!ente+ este tipo de proble!as no ser'n tratados en este c#rso% 26
Dependiendo de los datos con los "#e conte!os+ #tiliare!os #na de las tres ec#aciones anteriores% II%%V% Desea!os conocer la alt#ra de #n edi5cio localiado en c#al"#ier pla)a (al nivel del !ar* donde el valor de la aceleraci&n de la -ravedad es de X%YV !Jse-% Para ello+ deja!os caer #na piedra sin velocidad inicial ) observa!os "#e la piedra toca el s#elo S%WY; se-#ndos desp#.s de 1aberla liberado% @C#'l es la alt#ra del edi5cio II%%% Un a#to!&vil parte del reposo ) acelera con #n valor constante de ; !Jse- 1asta alcanar #na velocidad de V< _!J1+ la c#al per!anece ta!bi.n constante% Deter!ine la distancia recorrida por el a#to!&vil d#rante los pri!eros V; se-#ndos de !ovi!iento% II%%W% Un a#to!&vil se desplaa << !etros en #n tie!po de ; se-#ndos% ,i se sabe "#e d#rante el desplaa!iento acelera con #na !a-nit#d de <%;!Jse-+ deter!ine? a* ,# velocidad inicial+ b* ,# velocidad 5nal ) c* La distancia recorrida d#rante los pri!eros V< se-#ndos% II%%% Un a#to!&vil viaja con #na velocidad constante de ;< _!J1 c#ando s# cond#ctor decide aplicar #na aceleraci&n constante de !Jse-% Deter!ine el tie!po "#e necesita para recorrer los si-#ientes << !etros ) la velocidad "#e tendr' en ese instante% II%%;% ,e lana #n co1ete desde el piso en direcci&n vertical% ,abiendo "#e d#rante los pri!eros ; se-#ndos de !ovi!iento #nifor!e!ente acelerado el pro)ectil alcana #na alt#ra de << !etros+ calc#lar? a* La aceleraci&n con la "#e f#e lanado+ b* La alt#ra !'3i!a alcanada por el co1ete ) c* El tie!po total "#e per!aneci& en el aire% II%%S% La platafor!a de #n elevador abierto est' descendiendo con velocidad constante & c#ando la platafor!a del elevador -olpea #na piedra ) .sta se desprende% ,#poniendo "#e la piedra cae sin velocidad inicial+ de!#estre "#e la piedra -olpear' a la platafor!a con #na velocidad relativa &e%,i &eK V; pies por se-#ndo+ deter!ine c#'ndo ) d&nde -olpear' la piedra a la platafor!a% II%%Q% Los a#to!&viles A ) 7 viajan en carriles ad)acentes% Para tK<+ tienen respectiva!ente velocidades de ) WS !illas por 1ora% ,i el a#to!&vil A tiene #na aceleraci&n constante de V%Y piesJse- ) 7 tiene #na desaceleraci&n constante de V% piesJse-+ deter!ine c#'ndo ) d&nde A alcanar' a 7 ) las correspondientes velocidades en ese instante%
27
(vA *o K MJ 1
(v 7*oK WS MJ 1
A
7 Q; pies
P+#*!ma II..
II%%Y% Dos a#to!&viles+ A ) 7+ viajan en la !is!a direcci&n en carriles ad)acentes ) est'n detenidos en #n se!'foro en rojo% C#ando .ste ca!bia a verde+ el a#to!&vil A acelera con #n valor constante de W piesJse- dos se-#ndos desp#.s el a#to!&vil 7 arranca con #na aceleraci&n de piesJse-% Deter!inar a* c#'ndo ) d&nde 7 alcanar' a A+ b* la velocidad de cada a#to!&vil en ese instante% II%%X% Desde #n elevador "#e s#be con #na velocidad de ; !Js se deja caer #na piedra "#e lle-a al s#elo en W se-#ndos% a* @A "#. alt#ra estaba el elevador c#ando se dej& caer la piedra b* @Con "#. velocidad c1oc& la piedra contra el s#elo II%%V<% Una llave de a-#a deja caer -otas a intervalos i-#ales de tie!po% C#ando #na deter!inada -ota 7 e!piea a caer libre!ente+ la -ota precedente A 1a descendido )a <%W !etros% Deter!inar el espacio "#e 1abr' descendido la -ota A d#rante el tie!po en "#e la distancia entre A ) 7 1a)a a#!entado a <%X !etros%
II.-. MOVIMIENTOS RELATIVOS,
28
Les lla!a!os as$ a los !ovi!ientos de #n c#erpo o part$c#la vistos desde otro% En la si-#iente -r'5ca se !#estra la relaci&n "#e e3iste entre los desplaa!ientos de #n c#erpo o part$c#la respecto a otro+ los c#ales son aplicables ta!bi.n a las velocidades ) aceleraciones%
A
7
,A
,7JA K ,7 P ,A
,7
M#imi!nt#$ +!ati#$ De la !is!a !anera pode!os en#nciar las si-#ientes ec#aciones? ,7JA K ,7,A2
&6JA K&7&A2
a7JA Ka7aA%
Las c#ales se leen? =El desplaa!iento del p#nto 7 con respecto al p#nto A (visto desde el p#nto A* es i-#al al desplaa!iento del p#nto 7 !enos el desplaa!iento del p#nto A>% No olvide!os "#e esta!os tratando con cantidades vectoriales2 consec#ente!ente+ las s#!as ) restas deben ser vectoriales% 29
Utiliando estas ec#aciones con s#s variables pode!os resolver c#al"#ier tipo de proble!as relacionados con !ovi!ientos relativos%
< TOMAR CON LA MANO UNA 6ALA DISPARADA < Con el 5n de facilitar la co!prensi&n de este te!a+ a !anera de an.cdota+ transcribir. #n p'rrafo del libro =8$sica Recreativa> de aOov Perel!an+ editado en VXY<% =D#rante la Pri!era #erra M#ndial+ se-0n infor!aci&n de prensa+ a #n aviador franc.s le oc#rri& #n caso e3traordinario% C#ando iba volando a dos Oil&!etros de alt#ra+ este aviador se dio c#enta de "#e j#nto a s# cara se !ov$a #na cosa pe"#e/a% Pens& "#e ser$a al-0n insecto )+ 1aciendo #n '-il !ovi!iento con la !ano+ lo co-i&% C#'l ser$a s# sorpresa c#ando co!prendi& "#e lo "#e acababa de caar era G#na bala de f#sil Ale!anaH> No obstante+ esta noticia sobre el piloto "#e co-i& la bala no tiene nada de i!posible% Las balas no se !#even d#rante todo el tie!po con la velocidad inicial de Y<<X<< !etros por se-#ndo+ sino "#e+ debido a la resistencia del aire+ van cada ve !'s despacio )+ al 5nal de s# tra)ectoria+ pero antes de e!pear a caer+ recorren sola!ente < !etros por se-#ndo% `sta era la velocidad factible para los aeroplanos de entonces% Por consi-#iente+ la bala ) el aeroplano pod$an volar a la !is!a velocidad en #n !o!ento dado ) en esas condiciones+ la bala res#ltar$a in!&vil o casi in!&vil con relaci&n al piloto% Es decir+ .ste podr$a co-erla f'cil!ente con la !ano+ sobre todo con #n -#ante (por"#e las balas se calientan !#c1o al roar con el aire*% Recorde!os "#e para s#!ar dos o !'s vectores+ -r'5ca!ente debe!os dib#jar el pri!er s#!ando2 en el e3tre!o de .l+ debe!os colocar el se-#ndo s#!ando2 en el e3tre!o del se-#ndo+ colocare!os el principio del tercero ) as$ s#cesiva!ente% A#n"#e es reco!endable s#!ar los vectores sie!pre de dos en dos+ ta!bi.n pode!os s#!ar tres o c#atro vectores de !anera si!#lt'nea o efect#ando s#!atorias de f#eras sobre cada #no de los ejes )+ 5nal!ente+ obteniendo la res#ltante%
30
II%W%V% Un a#to!&vil A viaja por #na a#topista con #na velocidad constante de S< MJ1 ) se enc#entra a WY< pies de la entrada de #na ra!pa de acceso+ c#ando el a#to!&vil 7 entra a la !is!a carretera con #na velocidad de V; MJ1 ) acelera de !anera #nifor!e para incorporarse al carril de baja velocidad desp#.s de recorrer << pies en ; se-#ndos ) contin0a acelerando con la !is!a !a-nit#d 1asta alcanar #na velocidad de S< MJ1+ la c#al !antiene constante% Deter!ine la distancia 5nal entre los dos a#to!&viles%
WY< pies
A
(vA *< 7
(v7 * <
P+#*!ma II.-.1 II%W%% ,e observa "#e desde #na estalactita se desprenden -otas de a-#a de !anera inter!itente ) espaciada a tie!pos i-#ales% C#ando la -ota 7 e!piea a caer+ la -ota A "#e le antecedi& 1a recorrido #n pie% Deter!ine la distancia "#e 1a recorrido la -ota A c#ando la distancia entre A ) 7 se 1a)a incre!entado a W pies% II%W%W% Desde #n p#nto alejado se observa #na loco!otora de vapor+ en reposo ) se ve "#e el 1#!o "#e 31
sale de s# c1i!enea for!a #n 'n-#lo de W< -rados con la 1oriontal% ,abiendo "#e la velocidad del 1#!o es de W !Js 1acia arriba ) s#poniendo "#e el viento tiene #na velocidad 1oriontal constante+ deter!ine la velocidad del !is!o en ese instante% II.-.-
P+#*!ma
II%W%% Mientras #n est#diante viaja en #n tren aerodin'!ico con #na velocidad de W<< _!J1+ observa "#e las -otas de la ll#via caen con #na inclinaci&n de V< -rados respecto a la 1oriontal% Calc#lar la !a-nit#d de la velocidad del a-#a+ s#poniendo "#e .sta es vertical ) constante%
A
VS p ies
7
R< pies
;< pie s
R< pie s
II%W%;% Un a#to!&vil ) #n ca!i&n de car-a viajan por #na !is!a carretera ) con la !is!a velocidad constante de W; MJ1% Inicial!ente+ el a#to!&vil se enc#entra localiado < pies detr's del ca!i&n+ pero el cond#ctor del a#to!&vil desea rebasar al ca!i&n ) #bicarse a < pies del !is!o delante de .l ) contin#ar s# ca!ino con la !is!a velocidad de W; MJ1% ,abiendo "#e las lon-it#des de los ve1$c#los son respectiva!ente VS ) ;< pies para el a#to!&vil ) el ca!i&n ) "#e las !'3i!as aceleraci&n ) deceleraci&n del a#to!&vil son respectiva!ente ; ) < piesJse-+ deter!inar el !$ni!o tie!po re"#erido para efect#ar la !aniobra si n#nca debe e3ceder la velocidad de ;< MJ1%
32
P+#*!ma II.-./ II%W%S% Un tren de W;< !etros de lon-it#d viaja con #na velocidad constante de < !Jse-% ) cr#a #na carretera+ co!o se !#estra en la 5-#ra% ,i #n a#to!&vil A+ "#e se desplaa con #na velocidad de ; !Jse-% se enc#entra a << !etros del cr#ce en el instante en el "#e el frente del tren alcana el cr#ce+ deter!ine? a* la velocidad relativa del tren con respecto al a#to!&vil+ b* la distancia entre el a#to!&vil ) el e3tre!o del 0lti!o va-&n del tren en este instante% A
v T K< !Js
E ;
W;< !
P+#*!ma II.-.0
V< A
vA
v7
7
II%W%Q% Dos bolas de &A K <%; billar A ) 7 se est'n !oviendo con velocidades constantes !Jse- ) &7 K V%; !Jse-% Deter!ine la velocidad relativa de A con respecto a 7 en el instante indicado ) la distancia entre las dos bolas c#ando tKV%; se-%
33
P+#*!ma II.-. II%W%Y% Deter!ine la velocidad re"#erida en la banda 7 si la velocidad relativa con la c#al la arena -olpea a la banda 7 deber' ser a* vertical+ b* !$ni!a%
P+#
*!ma II.-.2
II%W%X% El ca!i&n A ) el a#to!&vil 7 viajan con las velocidades constantes !ostradas% ; se-#ndos desp#.s "#e el a#to!&vil cr#a el p#ente+ el ca!i&n pasa por debajo del !is!o% Deter!ine a* la velocidad del a#to!&vil respecto al ca!i&n+ b* el ca!bio de posici&n del a#to!&vil respecto al ca!i&n desp#.s de V< se-#ndos+ c* la distancia entre el a#to!&vil ) el ca!i&n V< se-#ndos desp#.s "#e .ste 1a cr#ado el p#ente% v A K; MJ 1
W<
A 7
P+#*!ma II.-.4
34
II.. M O V I M I E N T O S D E P E N D I E N T E S ,e les lla!an !ovi!ientos dependientes c#ando el !ovi!iento de #n c#erpo DEPENDE del !ovi!iento de otro # otros c#erpos% Para cada #no de los casos "#e se nos presenten e3iste #na ) s&lo #na ec#aci&n partic#lar para ese proble!a espec$5co ) no p#ede ser #sada para c#al"#ier proble!a% Dado "#e la lon-it#d de las c#erdas #sadas en este tipo de proble!as son ine3tensibles+ s# lon-it#d no ca!bia+ ) consec#ente!ente la s#!a vectorial de s#s desplaa!ientos+ velocidades ) aceleraciones son constantes de ac#erdo a las si-#ientes ec#aciones?
7
A
,
,
A
7 ,A [ ,7 K constante
consec#ente!ente
&A [&7 K <
)
aA [ a7 K <
FI(URA N#. 1
Analiando la 5-#ra No% V+ tene!os "#e la s#!a de las lon-it#des de los cables ,A ) ,7 es constante+ por lo tanto pode!os escribir? 35
,A [ ,7 K constante+ obteniendo la pri!era derivada tene!os "#e? &A [&7 K< Consec#ente!ente? &A K&7 obteniendo la se-#nda derivada?
a
aA [ a7 K <
a
5nal!ente? A K 7 Por lo anterior+ las f&r!#las s#bra)adas son LA, ECUACI9NE, DE E,TE ,I,TEMA%
7
,
A
,
7
A
FI(URA N#.
36
En la 5-#ra anterior pode!os ded#cir "#e?
,A [ ,7 K constante
9bteniendo la pri!era derivada tene!os "#e? &A [ &7 K <2 &A K &7 de la se-#nda derivada obtene!os? aA [
a7 K<2
a
a
AK 7
Las c#ales son LA, ECUACI9NE, DE E,TE ,I,TEMA%
A
7
,
C
,
,
A
C
7
FI(URA N#. -
En la 5-#ra No% W+ la lon-it#d del cable es? ,A [ ,7 [ ,C K constante Por lo tanto+ las ec#aciones del siste!a son?
&A [ &7 [&C K < 37
aA [ a7 [ aC K <
Dado "#e la s#!a de tres cantidades positivas n#nca nos dar' cero+ al !enos #no de los tres t.r!inos deber' ser ne-ativo% RE,UMIEND9? Para obtener la ec#aci&n de c#al"#ier siste!a? V% 9bserva!os de c#'ntos cables depende el !ovi!iento de #n c#erpo% % Coloca!os co!o factor el n0!ero de cables% W% ,i al desplaarse #n c#erpo cede cable+ le asi-na!os el si-no positivo2 en caso de absorber cable+ le asi-nare!os si-no ne-ativo ) si no t#viese !ovi!iento lo i-nora!os ) lo trata!os co!o polea%
C ,
A ,
C
7
,
A
7
A contin#aci&n ) a !anera de eje!plo+ ded#cire!os la ec#aci&n "#e ri-e el si-#iente siste!a?
FI(URA N# 38
,abiendo "#e los c#erpos A ) C descienden con los si-#ientes valores?
&A K Y !Jse- ) &C K W !Jse-+ calc#lar la !a-nit#d ) sentido de la velocidad del c#erpo 7%
,e observa la cantidad de cables de los c#ales depende el !ovi!iento de cada c#erpo ) anota!os "#e )a "#e el !ovi!iento de los c#erpos A ) 7 dependen de dos cables+ les corresponde el n0!ero ) co!o el c#erpo C depende de #n solo cable+ s# factor ser' el n0!ero #no+ el c#al est' i!pl$cito en la ec#aci&n% ,A [ ,7 [ ,C K constante% Derivando tene!os?
a
&A [ &7 [
a
obteniendo la se-#nda derivada tene!os "#e? A [ 7 [
&C K <
aC
K<
A contin#aci&n+ dependiendo si el c#erpo cede o absorbe cable+ asi-na!os los si-nos? dado "#e al descender los c#erpos A ) C absorben cable+ se les asi-nar' el si-no ne-ativo% Co!o la s#!a deber' ser cero+ al c#erpo 7 le corresponder' el si-no positivo+ por lo tanto+ ceder' cable%
a
a
&A [&7 &C K < ) A [ 7 [
aC
K <
Las c#ales son las ec#aciones del siste!a% 8inal!ente+ por este !is!o !.todo+ ded#cire!os las ec#aciones "#e ri-en el si-#iente siste!a?
A
C
,C
7
39
FI(URA N#. / ,i-#iendo las instr#cciones del eje!plo anterior+ ded#cire!os las ec#aciones "#e ri-en el siste!a !ostrado en la 5-#ra No% ;%
a
a
a
W,A [ ,7 [ ,C K constante2 W&A [ &7 [ &C K <2 ) W A [ 7 [ K< Pode!os observar en la 5-#ra "#e al !overse el blo"#e C 1acia la derec1a absorber' cable+ por ello a este blo"#e le corresponde el si-no ne-ativo2 al realiar este !ovi!iento+ jalar' los blo"#es A ) 7 1acia la derec1a+ )+ con ello+ a!bos blo"#es ceder'n cable+ correspondi.ndoles por esta ra&n el si-no positivo% Por lo anterior+ las ec#aciones de este siste!a ser'n?
a
a
[ W, A [ , 7 ,C K constante% [ W&A [ &7 &C K <2 [ W A [ 7
a
CK<
7
A
MOVIMIENTOS DEPENDIENTES, II%%V% El blo"#e 7 inicia s# !ovi!iento desde el reposo ) desciende con #na aceleraci&n constante% ,i se sabe "#e desp#.s de "#e el blo"#e A se 1a desplaado <% ! s# velocidad es de !Jse-+ deter!ine a* las aceleraciones de A ) 7+ b* la velocidad ) el desplaa!iento del blo"#e 7 desp#.s de se-#ndos%
!ma N#. II..1
P+#*
40
C , A
,
C
7
,
A
7
II%%% ,abiendo "#e el blo"#e A asciende con #na velocidad de W )ardas por !in#to ) el blo"#e C desciende con #na velocidad de Q pies por se-#ndo+ deter!ine la !a-nit#d ) el sentido de la velocidad del c#erpo 7%
P+#*!ma II..
7 V<< _A V< _-
II%%W% El siste!a !ostrado parte del reposo% ,abiendo "#e el blo"#e 7 se desplaa W !etros en W !in#tos+ deter!inar la aceleraci&n del blo"#e A%
41
P+#*!ma II..-
A
C
7
II%%% En la 5-#ra !ostrada+ para tK< el c#erpo A se desplaa 1acia arriba con #na velocidad constante de Y !Jse-+ el c#erpo 7 parte del reposo con #na aceleraci&n constante de !Jse- 1acia abajo% Calc#lar la velocidad ) aceleraci&n del c#erpo C para tKV< se-%
P+#*!ma II..
7 A V<< _-
II%%;% El blo"#e A parte del reposo con #na aceleraci&n constante% ,abiendo "#e el blo"#e 7 recorre VY !etros en se-#ndos+ calc#lar la aceleraci&n del blo"#e A%
42
P+#*!ma II../
A
7
II%%S% En el instante !ostrado+ el blo"#e A tiene #na velocidad inicial de !Jse- ) #na aceleraci&n de !Jse- % A!bas diri-idas 1acia la derec1a% Calc#lar el desplaa!iento del blo"#e 7 al cabo de los pri!eros ; se-#ndos% P+#*!ma II..0
II%%Q% ,abiendo "#e el siste!a !ostrado parte del reposo ) "#e el contrapeso tiene #na aceleraci&n constante de piesJse- 1acia abajo+ calc#lar la velocidad ) aceleraci&n del p#nto C del cable desp#.s "#e 1a)an transc#rrido ; se-#ndos%
C E M
P+#*!ma II.. II%%Y% ,i los blo"#es A ) C se desplaan 1acia la derec1a con #na velocidad de ) X piesJse-+ respectiva!ente+ deter!inar la velocidad del blo"#e 7%
43
A
C
,C
7
P+#*!ma II..2
II%%X% El blo"#e A se deslia a la i"#ierda con velocidad constante de <%W !Jse-% Deter!inar a* la velocidad del blo"#e 7+ b* las velocidades de las porciones C ) D del cable+ c* la velocidad de A con respecto a 7+ d* la velocidad relativa de la porci&n C del cable con respecto a D%
C A
D E
7
P+#*!ma$ II..4 B II..15 44
II%%V<% El blo"#e 7 parte del reposo ) se deslia 1acia la derec1a con aceleraci&n constante% Desp#.s de se-#ndos+ la velocidad relativa de A con respecto a 7 es de <+
II./. TIRO PARA6ÓLICO
Este tipo de !ovi!iento no es !'s "#e la co!binaci&n del !ovi!iento rectil$neo #nifor!e (en el eje 1oriontal* ) el !ovi!iento rectil$neo #nifor!e!ente acelerado (en el eje vertical* "#e se llevan a cabo de !anera si!#lt'nea% Para 1acer !'s co!prensible lo anterior+ nos per!itire!os recordar "#e c#ando li!ita!os n#estra visi&n con #n solo ojo perde!os la noci&n de la prof#ndidad o co!o se dice co!0n!ente+ la tercera di!ensi&n ) ve!os sola!ente en #n plano% Para con5r!ar lo anterior+ invita!os a los est#diantes a cerrar #n ojo+ estirar por co!pleto n#estros braos al frente ) tratar de #nir las p#ntas de n#estros dedos $ndices% Con este e3peri!ento con5r!a!os la n#la visi&n en tercera di!ensi&n ) or-aniare!os #n partido de b.isbol donde todos los "#e intervienen son t#ertos% En este partido de b.isbol intervienen ,an Pedro+ "#ien est' #bicado en el cielo ) desde all' arriba observa el partido2 al 'rbitro del b.isbol le lla!an a!p')er principal e invariable!ente est' localiado detr's del c'tc1er )+ 5nal!ente+ 1are!os intervenir en este j#e-o a #n fan'tico c&!oda!ente sentado detr's de la pri!era base% Recorde!os "#e todos n#estros personajes est'n t#ertos+ es decir+ s&lo aprecian el j#e-o en dos di!ensiones% Desp#.s "#e el lanador arroja la pelota+ el bateador la -olpea )+ con ese i!p#lso+ la pelota se eleva ) cae detr's de la se-#nda base+ en terreno de =1it>+ dentro del 'rea asi-nada al jardinero central% ,e les c#estiona a n#estros personajes t#ertos a 5n de "#e nos di-an el tipo de !ovi!iento "#e t#vo la pelota l#e-o de ser conectada por el bateador% Para n#estra sorpresa+ las resp#estas son las si-#ientes?
45
•
•
•
,an Pedro dice? =a "#e la pelota viaj& en l$nea recta+ teniendo desplaa!ientos i-#ales en tie!pos i-#ales+ s# !ovi!iento f#e GRECTILINE9 UNI89RMEH> El 'rbitro principal dice? =a "#e la pelota sola!ente ascendi&+ se det#vo ) descendi&+ se trata de #n !ovi!iento GUNI89RMEMENTE ACELERAD9H> La resp#esta del fan'tico #bicado detr's de la pri!era base es? =Lo vi perfecta!ente+ la tra)ectoria "#e describi& la pelota d#rante s# tra)ectoria f#e #na par'bola perfecta+ por lo tanto+ f#e #n GTIR9 PARA7LIC9H>
Los tres ten$an ra&n por"#e en el !ovi!iento 1oriontal (plano :* el !ovi!iento observado por ,an Pedro sie!pre es rectil$neo #nifor!e2 sobre el eje vertical+ el !ovi!iento "#e apreci& el a!p')er+ sie!pre es rectil$neo #nifor!e!ente acelerado% + 5nal!ente+ la tra)ectoria "#e describe la pelota+ vista por el a5cionado+ sie!pre es #na PARÁ79LA+ por ser la s#!a de los dos !ovi!ientos anteriores% II%;%V% Encontrar el valor del 'n-#lo re"#erido para obtener el !'3i!o alcance 1oriontal al efect#ar #n tiro parab&lico%
II%;%% En #n enc#entro de f0tbol a!ericano+ el pateador intentar' #n -ol de ca!po% ,abiendo "#e la porter$a contraria se enc#entra a W< pies de distancia ) a #na alt#ra de V< pies+ deter!inar el 'n-#lo con el c#al deber' patearse el bal&n+ si el pateador es capa de i!pri!ir al !is!o #na velocidad de W< MJ1%
II./. B II./.-.
P+#*!ma$
46
)
d <7 A C
1
! ; % V
v< KR< !Js
7
! < W
S< 3
<
II%;%W% En #n enc#entro de f0tbol a!ericano+ el pateador intentar' #n -ol de ca!po% ,abiendo "#e la porter$a contraria se enc#entra a W< pies de distancia ) a #na alt#ra de V< pie+ ) sabiendo ade!'s "#e el pateador i!p#lsar' el bal&n con #n 'n-#lo de W<+ deter!inar la velocidad con la c#al deber' ser pateado% II%;%% ,e arroja #na pelota desde #n p#nto sit#ado a V%; ! del piso ) alejado #na distancia 3 desde la pared e #n edi5cio de W< !etros de alt#ra+ con #na velocidad inicial de < !Js% ) #na direcci&n de S<< con la 1oriontal% Calc#lar la !'3i!a alt#ra 1 obtenida ) b* @La distancia 1oriontal =d= desde el p#nto donde se arroj& la pelota 1asta el p#nto donde c1oca con el tec1o% P+#*!ma II./. II%;%;% Calc#lar la !a-nit#d de la velocidad inicial "#e deber' tener #na pelota de -olf si al lanarse con #n 'n-#lo de W< -rados con la 1oriontal deber' caer a #na distancia de Q; !etros ) a la !is!a alt#ra de la "#e f#e lanada%
V;
A
! ; % <
W!
47
II%;%S Deter!ine la !$ni!a velocidad BA "#e debe tener el trineo en el tobo-'n c#ando se apro3i!a al salto en el p#nto A+ de !odo "#e alcance el otro lado de la fosa% P+#*!ma II./.0 vVK V !J s s vt
7
A
! Y
C
V< !
W<
7
A
! W
P+#*!ma R
V!
II%;%Q% Un !#c1ac1o arroja #na bola de nieve de #n !odo 1oriontal con #na velocidad inicial de V !Jse- desde #n p#ente peatonal con el objeto de 1acerla caer en la s#per5cie A7 de #n ca!i&n "#e va viajando directa!ente abajo del !#c1ac1o% ,i el ca!i&n !antiene #na velocidad constante de V; !Js ) la bola de nieve se lana en el instante en "#e el p#nto 7 est' sobre el p#nto C+ deter!ine la distancia =,> donde la bola de nieve c1oca con la parte s#perior del ca!i&n (no se reco!ienda la veri5caci&n e3peri!ental*% 48
P+#*!ma II./.2 II%;%Y Pe"#e/os pa"#etes "#e viajan sobre #na banda transportadora caen dentro de #n carro de car-a de V ! de lon-it#d% ,i la banda transportadora se est' !oviendo con #na velocidad constante de !Jse-+ deter!ine el ran-o de valores de la distancia R a la c#al debe colocarse el carro a partir de la banda transportadora+ de !anera "#e los pa"#etes cai-an dentro del carro% II%;%X Un j#-ador de frontenis lana #na pelota con #na velocidad inicial &< de V; !Jse- desde #n p#nto A localiado a V%; !etros arriba del piso% ,i el tec1o del -i!nasio tiene #na alt#ra de S !etros+ deter!ine el p#nto 7 !'s alto al "#e p#ede pe-ar la pelota en la pared a VY !etros de distancia%
A
m 7 . 3
B
C 1 m
II%;%V<% En #na !ina se descar-a arena sobre la tolva !ostrada% Calc#lar el ran-o de valores de la velocidad para "#e la arena sie!pre cai-a dentro de la tolva% P+#*!ma II./.15
49
II%;%VV% ,e descar-a a-#a desde el ori5cio A+ co!o se indica en la 5-#ra+ con #na velocidad inicial de V< !Jse- ) 1ace i!pacto sobre #na serie de aletas en 7% ,abiendo "#e las aletas se !#even 1acia abajo con #na velocidad constante de W !Jse-+ deter!inar la velocidad ) aceleraci&n del a-#a relativa a las aletas en 7% ;! V< !Js A
v7 7
P+#*!ma II./.11
II.0. ACELERACIONES NORMAL Y TAN(ENCIAL
50
r
at
v
2
r
=t
r
Fi&+a II.0a
Fi&+a II.0*
,i obli-a!os a -irar #na piedra por !edio de #na c#erda sobre #n p#nto 5jo+ a velocidad constante+ el valor de la tensi&n de la c#erda per!anecer' constante2 sin e!bar-o+ si incre!enta!os la velocidad tan-encial+ a#to!'tica!ente se incre!entar' la tensi&n en la c#erda )a "#e? 51
V% La aceleraci&n nor!al K en radianes por se-#ndo%
an
K &Jr K ωr Donde ωK velocidad an-#lar
% Debido a la aceleraci&n nor!al !anifestada en la tensi&n de la c#erda+ la direcci&n de la velocidad tan-encial ca!bia a cada instante%
at > αr % La aceleraci&n total "#e e3peri!enta la piedra es, aT H an at W% La aceleraci&n tan-encial se obtiene con la ec#aci&n?
;% Dado "#e esta!os 1ablando de cantidades vectoriales ) "#e ,IEMPRE las aceleraciones nor!al ) tan-encial son perpendic#lares entre s$+ #tiliare!os el teore!a de Pit'-oras para obtener la aceleraci&n total?
a
a
a
( T* K ( n* [ ( t* PR97LEMA, RELACI9NAD9, C9N E,TE CAPÍTUL9? 7
M; !Js A
W R
II%S%V% La bo"#illa de #na !an-#era descar-a #n c1orro de a-#a con #na rapide inicial de ; !Jse- ) con #n 'n-#lo de WS%YQ< con la 1oriontal% Encontrar el radio de c#rvat#ra del c1orro a* c#ando sale de la bo"#illa ) b* c#ando alance s# alt#ra !'3i!a% P+#*!ma II.0.1
52
II%S%% Un sat.lite -irar' inde5nida!ente en &rbita circ#lar alrededor de la Tierra% ,i la co!ponente nor!al de s# aceleraci&n es i-#al a? -(RJr*+ donde -KW% piesJse-+ R K radio de la Tierra K WXS< Millas+ ) rKdistancia del centro de la tierra al sat.lite+ calc#lar la alt#ra sobre la s#per5cie de la Tierra de #n sat.lite "#e -ire inde5nida!ente alrededor de .sta con #na rapide c#)o valor sea VS+<<<+MJ1r% P+#*! ma II.0. II%S%W% @C#'l es el radio !$ni!o "#e p#ede #sarse en #na c#rva de #na carretera para "#e la co!ponente nor!al de la aceleraci&n de #n carro "#e se !#eve a ; MJ1r no e3ceda de % piesJse- M; pies
A
II%S%% Deter!ine la velocidad perif.rica de la cabina de pr#ebas centr$f#-a A para la c#al la co!ponente nor!al de la aceleraci&n es de V< -%
+#*!ma II.0.
P
53
v<
7
<%X p#l-
A V%; p#l-
<
II%S%;% Un a#to!ovilista parte del reposo sobre #na c#rva de << pies de radio ) acelera #nifor!e!ente con #n valor constante de W piesJse-% Deter!inar la distancia "#e viajar' el a#to!&vil antes de "#e la !a-nit#d de s# aceleraci&n total sea de S piesJse-% II%S%S% Una cinta de co!p#tadora se !#eve sobre ta!bores con #na velocidad constante Bo% ,i la co!ponente nor!al de la aceleraci&n de la porci&n de la cinta en contacto con el ta!bor 7 es de Y< piesJse-+ deter!$nense? a* la rapide Bo+ b* la co!ponente nor!al de la aceleraci&n de la porci&n de la cinta en contacto con el ta!bor A% P+#*!ma II.0.0 II%S%Q% Un a#tob0s parte del reposo sobre #na c#rva de W<< ! de radio ) acelera #nifor!e!ente a <%Q; !Jse-% Deter!ine la distancia ) el tie!po "#e el a#tob0s viajar' antes de "#e la !a-nit#d de s# aceleraci&n total sea de <%X !Jse-%
II%S%Y% ,abiendo "#e la piedra de es!eril !ostrada tiene #na velocidad constante de VY<< r%p%!% ) #n radio de ; p#l-adas+ calc#lar la aceleraci&n nor!al de #n p#nto localiado en la periferia de la piedra%
54
P+#*!
ma II.0.2 A vA KQ; _!J1
7
II%S%X% El a#to!&vil A est' viajando por #na carretera recta !ientras "#e el a#to!&vil 7 se !#eve a lo lar-o de #na ra!pa de salida circ#lar de V;< !etros de radio% La velocidad de A est' a#!entando a ra&n de V%; !Jse- ) la rapide de 7 est' dis!in#)endo a #na tasa de <%X !Jse-% Para la posici&n "#e a"#$ se !#estra+ deter!$nese a* la velocidad de A relativa a 7 ) b* la aceleraci&n de A relativa a 7% II.0.4
P+#*!ma
X< MJ1
II%S%V<% Un tren se !#eve en #na c#rva de W+<<< pies de radio+ con #na rapide de X< MJ1r% ,e aplican repentina!ente los frenos ocasionando "#e el tren dis!in#)a s# rapide de !anera constante+ de tal for!a "#e al cabo de S se-#ndos s# rapide se 1a red#cido a S< MJ1r% Calc#lar la aceleraci&n de #no de los va-ones in!ediata!ente desp#.s de aplicar los frenos% 55
P+#*!ma II.0.15
CA P Í T U L O III. CIN3TICA DE LA PARTÍCULA. En !$t! ca?Jt&#; a'!má$ '! !$t&'ia+ ! m#imi!nt#; in#&c+a+!m#$ a$ ca&$a$ %&! # ?+#'&c!n. 6a) !#c1a f$sica en el si!ple 1ec1o de sostener #na !anana% No s&lo la Tierra =jala= a la !anana 1acia abajo+ sino ta!bi.n la !anana =jala> a la Tierra en sentido contrario+ es decir+ 1acia arriba% GE3acta!ente con la !is!a f#eraH Tanto la Tierra co!o la !anana tiran #na de la otra con f#eras i-#ales+ pero de sentidos op#estos% El par de f#eras lla!adas acci&n ) reacci&n constit#)en #na sola interacci&n -ravitacional% Contin0a le)endo+ desc#bre las re-las de la Mec'nica ) 1ar's !#c1o !'s "#e aprobar #n c#rso de Din'!ica? a-#diar's t# int#ici&n de la nat#ralea% Rec#erda "#e tanto las f#eras+ velocidades ) aceleraciones son CANTIDADE, BECT9RIALE,2 consec#ente!ente+ al s#!arlas+ restarlas+ etc% se les debe tratar co!o vectores% SE(UNDA LEY DE NE:TON En este cap$t#lo tratare!os los fen&!enos prod#cidos por las f#eras+ recordando la se-#nda le) de NeFton "#e nos dice, KSi a &n c&!+?# %&! $! !nc&!nt+a !n !$ta'# '! +!?#$# # m#imi!nt# +!ctiJn!# &ni#+m! ! a?icam#$ &na &!+a !t!+i#+ n# *aanc!a'a; a'%&i+i+á &na ac!!+aci@n ?+#?#+ci#na a 'ica &!+a c#n a mi$ma 'i+!cci@n B $!nti'#. Entre nosotros+ si!ple!ente la representa!os co!o la s#!atoria de f#eras en cada #no de los ejes% ,i no 1a) #na f#era res#ltante+ la s#!atoria de f#eras ser' i-#al a cero )+ co!o consec#encia+ estare!os dentro del ca!po de la est'tica% ,in e!bar-o+ c#ando e3iste #na f#era res#ltante+ .sta prod#cir' en el c#erpo o part$c#la donde se apli"#e+ #na aceleraci&n ) la representare!os por la ec#aci&n?
F H ma Al-#nos a#tores la representan co!o?
F ma H 5 le lla!an la !c&aci@n '! !%&ii*+i# 'inámic#; pero no se conf#ndan? es e3acta!ente la !is!a%
56
Al referirnos a la s#!atoria de f#eras+ i!pl$cita!ente nos esta!os re5riendo a la res#ltante ) para obtenerla+ lo pode!os 1acer constr#)endo #n tri'n-#lo # obteniendo la res#ltante en cada #no de los ejes% ,i 1e!os ele-ido constr#ir #n tri'n-#lo lo c#al es !#) conveniente c#ando s#!e!os 0nica!ente dos f#eras debe!os #sar la le) de cosenos o la le) de senos (ver for!#lario en la p'-ina V;*+ o si!ple!ente 1are!os s#!atoria de f#eras en cada #no de los ejes a 5n de obtener la aceleraci&n en ese eje% ,#poniendo "#e la aceleraci&n -ravitacional en la l#na es de % !Jse- + deter!inar el peso en NeFtons ) la !asa en Oilo-ra!os de #na barra de acero+ c#)a !asa se 1a desi-nado de !anera o5cial i-#al a O-% ,ea c#al f#ere el !.todo seleccionado para 1acer la s#!atoria de f#eras+ es indispensable dib#jar #n dia-ra!a de c#erpo libre (es la representaci&n -r'5ca de las f#eras "#e act0an en #n c#erpo* )a "#e de .l se obtendr'n todas las ec#aciones para la sol#ci&n del proble!a2 sin .l+ no es posible resolver nin-0n c#estiona!iento% Por lo anterior+ para resolver c#al"#ier proble!a de Cin.tica es indispensable se-#ir los tres pasos si-#ientes? V% Dib#jar el dia-ra!a de c#erpo libre% % Establecer #n procedi!iento% W% Efect#ar los c'lc#los% Todos los c#erpos tienen #n peso+ el c#al sie!pre debe!os considerar+ a !enos "#e se indi"#e lo contrario% El peso de c#al"#ier c#erpo est' dado por el prod#cto de s# !asa !#ltiplicada por la atracci&n -ravitacional% T#'#$ #$ ?+#*!ma$ !n&ncia'#$ a c#ntin&aci@n '!*!+án $!+ +!$&!t#$ &tiian'# ! mét#'# '! a $!&n'a !B '! N!Qt#n. III%V%V% Calc#lar la !asa ) el peso de #n c#erpo localiado en la l#na+(-K % !Jse-* sabiendo "#e en la tierra s# !asa es de _ilo-ra!os% III%V%% ,i la distancia de frenado de #n a#to!&vil desde S< MJ1r es de V;< pies sobre #n pavi!ento plano+ deter!ine la distancia de frenado del !is!o a#to!&vil a la !is!a velocidad c#ando est'? a* s#biendo #na pendiente de ;+ b* bajando #n plano inclinado al ;+ ,#pon-a "#e la f#era de frenado es independiente del -rado de inclinaci&n%
57
III%V%W% Un ca!i&n se desplaa sobre #na carretera "#e tiene #na pendiente del W con #na velocidad constante de W; MJ1r% ,i el cond#ctor no ca!bia de velocidad en la palanca+ ni de posici&n el acelerador+ deter!inar la aceleraci&n del ca!i&n c#ando lle-#e a #na parte de la carretera "#e sea 1oriontal%
+#*!ma III.1.-
P
W< MJ 1 W< Ton
R< Ton
W< Ton
A
7
C
III%V%% El tren s#b#rbano !ostrado en la 5-#ra viaja a #na velocidad de W< MJ1r c#ando repentina!ente se aplican los frenos 1asta detenerse% ,abiendo "#e la f#era de frenado en cada va-&n es de ;+<<< lb+ calc#lar la f#era ejercida en cada acopla!iento+ indicando si es tensi&n o co!presi&n%
#*!ma III.1.
P+
III%V%;% Cada #no de los siste!as !ostrados est' inicial!ente en reposo% ,#poniendo "#e las poleas son de peso despreciable ) despreciando ta!bi.n las f#eras de roa!iento+ deter!ine en cada caso? a* la aceleraci&n del blo"#e A+ b* la velocidad del blo"#e A desp#.s de se-#ndos+ c* la velocidad del blo"#e A desp#.s de 1aberse desplaado V< pies%
58
7 A
7
M<< libras
M<< libras A W<< libras
MM<< libras A
W<< libras
( V*
MW<< libras
( M*
( W*
P+#*!ma III.1./
III%V%S% @C#'nto peso se deber' a-re-ar o restar al blo"#e A de cada siste!a para "#e s# aceleraci&n sea -J 1acia abajo
7 << libras A
A W<< libras ( V*
7
<< libras
<< libras A
W<< libras ( *
W<< libras (W*
59
P+#*!ma III.1.0 III%V%Q% Al blo"#e desliante A de V<< lb de peso se le s#spende #n blo"#e 7 de < lb co!o se !#estra en la 5-#ra% ,abiendo "#e el siste!a parte del reposo ) despreciando el roa!iento+ deter!ine? a* la velocidad del blo"#e A desp#.s de ; se-#ndos ) b* la distancia recorrida por A c#ando s# velocidad sea de Y piesJse-%
V<
7
P+#*!ma III.1.2
V<< libras
7
P+#*!ma
III.1.
III%V%Y% a* Deter!inar el peso del blo"#e 7 sabiendo "#e la aceleraci&n del blo"#e A es de piesJse- 1acia arriba ) b* trate de resolver la parte a de este !is!o proble!a+ s#poniendo "#e la aceleraci&n de A es de VY piesJse- 1acia arriba% E3pli"#e la di5c#ltad encontrada% 60
V; pies
III%V%X% La car-a del ca!i&n !ostrado est' localiada a V; pies de la cabina% El coe5ciente de roa!iento entre la car-a ) la platafor!a es de <%W% ,abiendo "#e la velocidad del ca!i&n es de W< MJ1r+ deter!ine la !$ni!a distancia en la "#e se p#ede detener el ca!i&n sin "#e la car-a se deslice%
P+#*!ma III.1.4 B III.1.15 III%V%V<% El coe5ciente de fricci&n entre la car-a ) la platafor!a del tr'iler es de <%W% C#ando el ca!i&n viaja a S< MJ1r+ el cond#ctor aplica los frenos s0bita!ente ) se detiene desp#.s de 1aberse desplaado ;< pies% Deter!ine la velocidad de la car-a respecto a la platafor!a c#ando -olpea la parte delantera de la !is!a%
<< libras P
V<< libras
III%V%VV% Una caja de << libras descansa sobre #n carrito de V<< libras% El coe5ciente de roa!iento est'tico entre la caja ) el carrito es de <%;% ,i la caja no deslia respecto al carrito+ a* deter!inar el !'3i!o valor de P ) b* la correspondiente aceleraci&n del carrito%
61
P+#*!ma
III.1.11
A
C 7 l # p M V
l # p Y V
III%V%V% ,abiendo "#e los blo"#es 7 ) C lle-an al piso si!#lt'nea!ente ) e3acta!ente #n se-#ndo desp#.s de "#e el siste!a parte del reposo+ deter!inar los pesos 7 ) C en f#nci&n de A%
P+#*!ma III.1.1
III%V%VW% ,abiendo "#e el coe5ciente de roa!iento es <%W ) CKV< lb+ deter!ine A ) 7 si la aceleraci&n de a!bos (A ) 7* debe ser -J; diri-ida 1acia abajo%
62
P+
#*!ma III.1.1-
!
III%V%V% Una pe"#e/a esfera de peso K; lb+ se ata a #n cable de lon-it#d LKS pies ) se desplaa sobre #n c$rc#lo con velocidad constante &o% ,abiendo "#e la c#erda for!a #n 'n-#lo de W< con la vertical+ deter!ine a* la tensi&n en la c#erda+ b* la velocidad &o de la esfera%
III.1.1
P+#*!ma
A S
7
C S
63
III%V%V;% Dos cables AC ) 7C est'n atados a #na esfera en C% El siste!a est' dise/ado para "#e la esfera se desplace a velocidad constante B% Deter!inar el ran-o de valores de la velocidad para "#e los dos cables per!anecan tensos%
P+
#*!ma III.1.1/
<
A C
7
III%V%VS% Una esfera de W lb se enc#entra oscilando en #n plano vertical ) s#spendida de #na c#erda de VY p#l-adas de lon-it#d% Calc#lar la tensi&n en la c#erda c#ando K S< sabiendo "#e la velocidad en ese instante es de S piesJse-%
P+#*!ma III.1.10 III%V%VQ% Una pe"#e/a esfera de peso est' s#spendida del tec1o por !edio de los cables A7 ) CD% C#ando el cable A7 es cortado+ deter!ine a* la tensi&n en el cable CD antes de "#e A7 sea cortado+ b* la tensi&n en el cable CD ) c* la aceleraci&n de la esfera in!ediata!ente desp#.s de "#e el cable A7 1a)a sido cortado%
64
A
W<
W<
D
P+#*!ma III.1.1 III%V%VY% Un piloto c#)o peso es de VQ; lb+ al pilotear #n pe"#e/o avi&n 1ace #n rio de W<< pies de radio% Deter!ine la velocidad del avi&n en los p#ntos A ) C+ sabiendo "#e en el p#nto A el piloto e3peri!enta #n peso !enor al real ) en el p#nto C s# peso aparente es de S<< lb%
C
P+#*!ma III.1.12
65
III%V%VX% Tres a#to!&viles circ#lan a #na velocidad de ;< MJ1 a lo lar-o de la carretera !ostrada% ,abiendo "#e el coe5ciente de fricci&n entre las llantas ) la carretera es de <%S+ deter!ine la aceleraci&n tan-encial en cada #no de los casos si los frenos se aplican s0bita!ente en las c#atro r#edas%
P K ;<< pies Recta
P K ;<< pies
P+#*!ma III.1.14
III%V%<% Desde el p#nto A se lana #n pa"#ete 1acia arriba sobre #n plano inclinado < con #na velocidad inicial de ; piesJse-% El pa"#ete lle-a al reposo en el p#nto 7 ) e!piea a desliar 1acia abajo diri-i.ndose n#eva!ente all p#nto A% ,abiendo "#e la distancia entre los p#ntos A ) 7 es de < pies+ deter!ine a*% el valor del coe5ciente de roa!iento entre el pa"#ete ) el plano inclinado% 7*% la velocidad del !is!o al retornar al p#nto A%
66
7
v<
A <
P+#*!ma III.1.5
Ca?Jt&# III.. M3TODO DE TRA6A8O Y ENER(ÍA
Co!o vi!os en las de5niciones+ 1e!os deno!inado co!o trabajo al prod#cto de #na f#era por #na distancia+ con la 0nica condici&n de "#e a!bas sean paralelas entre s$%% El prod#cto p#ede ser positivo o ne-ativo si-#iendo la re-la de los si-nos El prod#cto de dos cantidades con si-nos i-#ales nos dan #n prod#cto positivo ) el prod#cto de dos cantidades con si-nos diferentes !e dar'n #n prod#cto ne-ativo% P#+ '!"nici@n; $a*!m#$ %&! &n c&!+?# ti!n! !n!+Ja c&an'# !$ ca?a '! ?+#'&ci+ t+a*a=#. Tal co!o lo est#dia!os en la sec#ndaria+ recorde!os "#e el cient$5co franc.s Antonio Loreno Lavoisier en#nci& la Le) de Conservaci&n de la Materia la c#al nos indica "#e? =LA MATERIA NI ,E CREA NI ,E PIERDE+ ,9L9 ,E TRAN,89RMA%> De la !is!a !anera+ la Pri!era Le) de la Ter!odin'!ica dice "#e? =LA ENERÍA N9 ,E CREA NI ,E PIERDE+ ,9L9 ,E TRAN,89RMA>% 7as'ndonos en este principio+ vere!os c&!o se p#eden transfor!ar las ener-$as% 67
E3isten in5nidad de tipos de ener-$as2 a !anera de eje!plo sola!ente citare!os al-#nas de ellas a saber? ener-$a solar+ "#$!ica+ e&lica+ n#clear+ t.r!ica+ etc% En partic#lar+ a nosotros nos interesa 0nica ) e3cl#siva!ente la ENERÍA MECÁNICA+ de la c#al nos oc#pare!os a contin#aci&n% Co!o Ener-$a Mec'nica tene!os 0nica!ente dos tipos? la potencial ) la cin.tica2 el valor de la pri!era depende 0nica ) e3cl#siva!ente de s# posici&n con respecto a #n nivel de referencia+ ) p#ede ser positiva o ne-ativa+ ) la representa!os por la ec#aci&n? DE6EMOS TENER PRESENTE UE; POR SUS CARACTERÍSTICAS Y UNIDADES; TANTO EL TRA6A8O COMO LA ENER(ÍA SON CANTIDADES ESCALARES; Y CONSECUENTEMENTE; LAS DE6EMOS TRATAR COMO TALES.
BK 1
Donde?
B K ener-$a potencial K peso de c#al"#ier c#erpo 1 K alt#ra o posici&n del c#erpo%
La ener-$a cin.tica sie!pre es positiva+ )a "#e a#n"#e la velocidad sea ne-ativa+ al elevarla al c#adrado se v#elve positiva% la representare!os por la si-#iente ec#aci&n?
T K VJ!&
Donde?
T K ener-$a cin.tica ! K !asa del c#erpo & K velocidad del c#erpo%
eneral!ente la Ener-$a Potencial se p#ede convertir en Cin.tica ) viceversa% Este espacio lo destinare!os a e3plicar este !.todo ) realiare!os al-#nos eje!plos relacionados con el !is!o% Por de5nici&n+ recorde!os "#e Trabajo es el prod#cto de #na f#era por #na distancia+ con la condici&n "#e a!bas sean paralelas entre s
%$TRA6A8O H U H F S 68
El Trabajo p#ede ser positivo o ne-ativo2 la le) de si-nos nos dar' el correspondiente en cada caso%
Recorde!os el principio de la conservaci&n de la ener-$a% Este principio nos indica "#e la ener-$a no se crea ni se pierde+ sola!ente se transfor!a% Por eje!plo+ al cons#!ir ener-$a "#$!ica a trav.s de #n co!b#stible c#al"#iera+ #n a#to!&vil no ="#e!a> la -asolina+ sino "#e la ener-$a "#$!ica contenida en ella la transfor!a en ener-$a t.r!ica ) ener-$a !ec'nica% Aparente!ente+ la pri!era se pierde+ pero no es as$2 con este calor precalenta!os el !is!o co!b#stible "#e ="#e!a> el a#to!&vil+ pero la !a)or cantidad de ener-$a contenida en el co!b#stible+ se transfor!a en ener-$a !ec'nica ) es esta ener-$a la "#e propicia el !ovi!iento del ve1$c#lo para transportarnos a donde "#era!os% ,i bien es cierto "#e indeseable!ente se -enera calor+ -ran porcentaje de .ste es aprovec1able% Lo ideal ser$a "#e s# rendi!iento f#era al V<<2 sin e!bar-o+ 1asta a1ora no 1e!os podido lo-rar #n rendi!iento tan alto%
Recorde!os "#e el rendi!iento en porcentaje est' dado por la ec#aci&n?
En!+Ja '! $ai'a RENDIMIENTO H En!+Ja '! !nt+a'a Las ener-$as en -eneral+ ade!'s de transfor!arse+ se p#eden al!acenar% Por eje!plo+ la bater$a de #n a#to!&vil -#arda ener-$a el.ctrica para de esta !anera s#stit#ir el anti-#o =cranO> con el "#e se arrancaban los ve1$c#los a 5nes del si-lo :I: ) principios del ::% Las presas ac#!#lan ener-$a potencial en s#s a-#as2 las balas+ ener-$a "#$!ica+ la c#al+ al ser liberada+ prod#ce ener-$a cin.tica en el pro)ectil% De la !is!a !anera+ los resortes son capaces de al!acenar ener-$a !ec'nica+ la c#al pode!os #sar al liberarla% A#n"#e anterior!ente nos referi!os a los diferentes tipos de ener-$a e3istentes+ en este espacio nos oc#pare!os 0nica ) e3cl#siva!ente de la ener-$a !ec'nica% En!+Ja Cinética
69
En!+Ja M!cánica, En!+Ja P#t!ncia La ener-$a !ec'nica+ "#e es la "#e nos interesa+ p#ede ser cin.tica o potencial?
ENER(ÍA CIN3TICA H T H 1 m& Esta ener-$a sie!pre es positiva+ )a "#e a#n"#e la velocidad p#ede ser ne-ativa+ al elevarla al c#adrado+ se v#elve positiva%
ENER(ÍA POTENCIAL H V H : Esta ener-$a p#ede ser positiva o ne-ativa% Para de5nir s# si-no+ si!ple!ente aplica!os la le) de los si-nos? si-nos i-#ales dan positivo ) si-nos desi-#ales dan ne-ativo% En el caso de los resortes+ por de5nici&n la constante de #n resorte se de5ne co!o la f#era necesaria para defor!ar #n resorte #na #nidad de lon-it#d+ de tal !anera "#e?
CONSTANTE DE UN RESORTE H G H F Por de5nici&n+ Trabajo K 83 pero de la ec#aci&n anterior 8 K O3 (3J* por lo tanto?
TRA6A8O H ENER(ÍA POTENCIAL H U H G la ener-$a "#e p#ede ac#!#lar #n resorte est' dada por la ec#aci&n anterior%
ESTA MISMA FÓRMULA LA LLAMAMOS TAM6I3N COMO LA ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENER(ÍA;Y SE PUEDE REPRESENTAR DE LA SI(UIENTE MANERA,
T1 V1 H T V L#$ ?+#*!ma$ !n&ncia'#$ !n !$t! !$?aci# '!*!+án $!+ +!$&!t#$ nica B !c&$iam!nt! ?#+ ! mét#'# '! TRA6A8O Y ENER(ÍA.
70
W< MJ 1 W< Ton
R< Ton
W< Ton
A
7
C
III%%V% El tren s#b#rbano !ostrado en la 5-#ra viaja a #na velocidad de W< MJ1r% ,abiendo "#e el coe5ciente de roa!iento entre las v$as ) las r#edas es de <%W+ deter!ine la distancia re"#erida para detener el tren ) la f#era en cada acopla!iento si se aplican los frenos a fondo 0nica!ente en el carro A% (#na tonelada K + << lb%*
P+#*!ma III..
V< pies V<< libras
A K<%M<
7 V<< libras d
III%%% El siste!a !ostrado inicial!ente est' en reposo% Deter!ine la velocidad del blo"#e A desp#.s de 1aberse !ovido S pies%
III..
P+#*!ma 71
VM pies
7
S%; pies
S%; pies
S%; pies
V
W
A
III%%W% C#atro pa"#etes+ c#)o peso individ#al es de V; lb+ est'n localiados sobre #na banda transportadora+ la c#al es controlada con #n !otored#ctor% El pa"#ete V est' j#sta!ente a la i"#ierda de la parte 1oriontal de la banda% ,i el siste!a parte del reposo+ deter!ine la velocidad del pa"#ete V c#ando abandona la banda en el p#nto A% ,#pon-a "#e el peso de la banda ) los rodillos es despreciable%
P+#*!ma III..III%%% Los blo"#es A ) 7 pesan X ) V< libras+ respectiva!ente+ ) est'n conectados a trav.s de #n cord&n "#e pasa por las poleas !ostradas% El collar C est' localiado sobre el blo"#e A ) el siste!a se s#elta desde el reposo% Desp#.s de "#e los blo"#es se 1an !ovido W pies+ el collar C es re!ovido ) los blo"#es contin0an s# !ovi!iento% ,abiendo "#e el collar C pesa ; libras+ deter!ine la velocidad del blo"#e A+ j#sta!ente antes de -olpear el piso%
72
e i p V
C A
s e i p M
s e i p ;
7
P+#*!ma III..
N
1
III%%;% ,e deja caer #n blo"#e deV< libras desde #na distancia 1 con #n resorte no defor!ado c#)a constante es de ; lbJp#l-% Deter!ine la distancia =1> "#e recorrer' el c#erpo si la !'3i!a f#era aplicada al !is!o por el resorte es a* < lb+ b* < lb ) c* V; lb%
*!ma III../
P+#
73
A
7
III%%S% El carrito !ostrado se deja sin velocidad en el p#nto A per!itiendo "#e se deslice 1acia la parte baja de la pista !ostrada% Al pasar por el p#nto 7+ se aplican los frenos ocasionando "#e las r#edas se deslicen% ,i sabe!os "#e el coe5ciente de roa!iento es VJW+ s#poniendo "#e no 1a) p.rdida de ener-$a entre los p#ntos A ) 7 ) sabiendo "#e el radio de c#rvat#ra es de ;< pies+ deter!ine las co!ponentes nor!al ) tan-encial del carro j#sta!ente desp#.s de "#e los frenos 1a)an sido aplicados%
P+#*!ma III..0 III%%Q% Un pe"#e/o pa"#ete de peso es lanado por la parte interior de #n retorno en el p#nto A co!o se !#estra en la 5-#ra con #na velocidad inicial &o% El pa"#ete viaja sin roa!iento a lo lar-o de #n c$rc#lo de radio r ) es depositado en #na s#per5cie 1oriontal en el p#nto C% Para cada #no de los dos retornos !ostrados+ deter!ine a* la !$ni!a velocidad Bo necesaria para "#e el pa"#ete arribe al p#nto C+ b* la correspondiente f#era aplicada por el retorno al pa"#ete al pasar por el p#nto 7%
74
C
C
7
(V*
v<
7 v<
A
A
C
7
(*
C
(V*
v< A
7
v<
(*
A
P+#*!ma III..
A l # p < W
7 S libras
libras l # p R M
III%%Y% Dos blo"#es A ) 7 est'n conectados por #na c#erda ) dejados 75
en reposo en la posici&n !ostrada% Despreciando el efecto de roa!iento+ deter!ine la !'3i!a velocidad ad"#irida por el blo"#e 7%
P+#*!ma III..2 VS p#lS p#lA
7
O KVY lib ra sJ p#l-
O KVM lib ra sJ p#l-
III%%X% Un collar$n C de Y lb se deslia sobre #na varilla 1oriontal entre los resortes A ) 7% ,i se e!p#ja el collar$n 1acia la derec1a 1asta "#e el resorte 7 se co!pri!e p#l-adas ) se s#elta+ deter!ine la distancia "#e recorre el collar$n+ s#poniendo a* nin-#na fricci&n entre el collar$n ) la varilla+ b* #n coe5ciente de fricci&n de <%W;%
P+#*!ma III..4
l # p ;
III%%V<% Un collar de peso K lb est' #nido a #n resorte ) se deslia a lo lar-o de #na barra circ#lar ) est' #bicado en 76
#n plano 1oriontal+ el resorte tiene #na constante OKW lbJp#l- ) se enc#entra sin defor!aci&n c#ando est' en el p#nto 7% ,i el collar se s#elta desde el reposo en el p#nto C+ deter!ine s# velocidad al pasar por el p#nto 7%
P+#*!ma III..15
d
III%%VV% ,e coloca #na part$c#la en la parte s#perior de #na s#perficie cil$ndrica con rKW pies ) KX<% Deter!ine a* el valor de "#e #bica el p#nto 7 donde la part$c#la abandona la s#per5cie cil$ndrica+ b* la distancia del centro del cilindro 9+ al p#nto donde la part$c#la -olpea el piso%
P+#*!ma III..11
77
Elevador R<<
Contrapeso W<<
Proble!a III%%V% Deter!ine la potencia re"#erida c#ando el elevador !ostrado a* se !#eve 1acia arriba con #na velocidad constante de < pies por se-#ndo ) b* tiene #na velocidad instant'nea de < piesJse- 1acia arriba ) #na aceleraci&n de W piesJse- 1acia arriba%
P+#*!ma
III..1
Proble!a III%%VW% La escalera el.ctrica !ostrada est' dise/ada para transportar Y+<<< personas por 1ora a #na velocidad de X< piesJ!in% ,#poniendo #n peso pro!edio de V;< libras por persona+ deter!ine a* la potencia pro!edio re"#erida+ b* la potencia pro!edio re"#erida en el !otor si la e5ciencia es de Y; ) se per!ite #na sobrecar-a del W<< %
s e i p ; V
W<
78
A s e i p < Y V
7 M !illas
P+#*!ma III..1Proble!a III%%V% ,e transporta -rava por !edio de #na banda transportadora del p#nto A al p#nto 7 con #na velocidad de << toneladas en #n t#rno de Y 1oras% ,e conecta #n -enerador el.ctrico al siste!a con el objeto de !antener #na velocidad constante% ,abiendo "#e la e5ciencia del siste!a banda-enerador es de <%S;+ deter!ine la potencia pro!edio proporcionada por el -enerador a* si la velocidad de la banda es de ; pies por se-#ndo+ ) b* si la velocidad de la banda es de Y piesJse-%
P+#*!ma III..1 Proble!a III%%V;% El c#erpo C ) el blo"#e A se !#even j#ntos 1acia la i"#ierda con #na velocidad Bo% C#ando el blo"#e c1oca repentina!ente con #n !#ro+ deter!ine el valor de la velocidad !$ni!a Bo para la c#al el c#erpo C recorrer' #n c$rc#lo co!pleto alrededor del p#nto 7 a* si 7C es #na barra de peso despreciable+ b* si 7C es #na c#erda% 79
v<
A 7 C
P+#*!ma III..1/ Proble!a III%%VS% C#ando la esc#adra A7C est' -irando+ lenta!ente el blo"#e e!piea a desliarse 1acia #n resorte c#ando KV;% ,abiendo "#e la defor!aci&n !'3i!a del resorte es de >+ deter!ine el valor del coe5ciente de roa!iento din'!ico ( *%
P+#*!ma III..10
80
7
s o r t e ! ; % V
A
Proble!a III%%VQ% Dos blo"#es A ) 7 c#)as !asas son de Y ) V _-% respectiva!ente+ c#el-an de #n cable "#e pasa por #n t#bo+ co!o se !#estra en la 5-#ra%
Proble!a III%%VY% ,i los blo"#es se s#eltan desde el reposo ) la ener-$a disipada por ca#sa del roa!iento es de < 4o#les+ deter!$nese a* la velocidad del blo"#e 7 c#ando pe-a en el s#elo ) b* la f#era ejercida por el cable en cada #no de los blo"#es%
P+#*!ma III..1 B 12
l # p W l # p V
Proble!a III%%VY% ,e #sa el resorte de #na pistola de j#-#ete para i!p#lsar #na bala de #na ona vertical!ente 1acia arriba% La lon-it#d del resorte sin defor!ar es de ;> ) se co!pri!e 1asta #na lon-it#d de V>% C#ando la pistola se dispara+ la lon-it#d del resorte es de W> #na ve "#e la bala sale del ca/&n% ,i se re"#iere #na f#era de Y libras para !antener el resorte en posici&n de disparo+ deter!ine? a* la 81
velocidad de la bala al salir del ca/&n ) b* la alt#ra !'3i!a alcanada por la bala%
P+#*!ma III..12
A
C
1
7
s e i p M V
Pr oble!a III%%VX% ,e ata #n c#erpo de peso al e3tre!o de #na c#erda de V> de lon-it#d ) se deja en reposo en el p#nto A sin velocidad inicial para "#e -ire alrededor del p#nto C en #n plano vertical% La c#erda se ro!pe c#ando la tensi&n de la c#erda es i-#al al doble del peso del c#erpo% Deter!ine a* la distancia vertical 1 a la c#al se ro!pe la c#erda ) b* la distancia a la "#e el c#erpo -olpear' el piso !edido desde el !#ro vertical%
P+#*!ma III..14 Proble!a III%%<% Un 1o!bre+ c#)o peso es de VQ; lb+ s#be corriendo #na escalera escalera c#)a alt#ra alt#ra es de V pies en se-#ndos% se-#ndos% Deter!ine Deter!ine la potencia potencia pro!edio re"#erida por el 1o!bre para s#bir la escalera%
CAPÍTUL9 IB% 9TR9, M`T9D9,% M`T9D9,% IB%V% IMPUL,9 El i!p#lso es el prod#cto de #na f#era aplicada a #n c#erpo d#rante #n tie!po tie!po deter deter!in !inado ado%% C#ando C#ando #n lanado lanadorr de pelota pelota en #n partid partido o de b.isbol coloca s# brao de lana!iento detr's de s# cabea+ lo 1ace para "#e d#rante #n !a)or tie!po le i!pri!a la !is!a f#era a la pelota
82
(i!p#lso* )+ consec#ente!ente+ .sta ad"#irir' !a)or velocidad (cantidad de !ovi!iento*% La cantidad de !ovi!iento es el prod#cto de #na !asa por s# velocidad% Dado "#e los en#nciados anteriores tienen las !is!as #nidades+ pode!os i-#alarlos por !edio de la ec#aci&n?
(I!p#lso* 8t K !& (cantidad de !ovi!iento* !&1 [ I!p V K !&
Tanto Tanto el i!p#lso co!o la cantidad de !ovi!iento son cantidades vectoriales+ a diferencia del trabajo ) la ener-$a "#e vi!os en el cap$t#lo anterior+ las c#ales son cantidades escalares% C#ando #sa!os #nidades del ,iste!a Internacional (,I*+ la !a-nit#d del i!p#lso de #na f#era se e3presa en N%, K (O-%!Jse-*s K _-%!Js
T#' #'#$ #$ # #$ $ ?+ ?+#* #*! !ma ma$ $ $i $i& &i! i!nt nt!$ !$ '! '!*! *!+á +án n $! $!++ +! +!$& $&! !t# t#$ $ ?# ?#++ ! mét#'# '! im?&$# B canti'a' '! m#imi!nt#. T
;< libras
Proble!a IB%V%V% En la 5-#ra !ostrada+ el carrito A ) s# contenido tienen #n peso de V<< libras ) el contrapeso tiene #n peso de ;< libras% En tK<+ el siste!a tiene #na velocidad de V< piesJse- 1acia abajo ) se aplica #na f#era TKY< lb+ co!o co!o se !#estra% !#estra% Deter!ine Deter!ine el tie!po tie!po t para para el c#al el siste!a a* no tiene velocidad ) b* s# velocidad es de V< piesJse-% 1acia arriba% P+#*!ma IV.1.1
83
V<< libras
7
Proble!a IB%V%% Al blo"#e desliante A de V<< lb se le coloca #n contrapeso 7 de < libras+ libras+ co!o se !#estra en la 5-#ra% ,abiendo "#e el siste!a parte del reposo ) despreciando el roa! oa!ie ient nto+ o+ dete deterr!ine !ine la velo veloci cida dad d del del blo" blo"#e #e desliante desp#.s de ; se-#ndos% !ma IV.1.
P+#*
W< W<
7 S< piesJse-
Proble!a IB%V%W% Una pelota de b.isbol+ c#)o peso es de onas+ es lanada con #na velocidad velocidad de S< piesJsepiesJse- para para ser bateada% bateada% Desp#.s Desp#.s de ser bateada+ tiene #na velocidad de V< pies por se-# se -#nd ndo o en la direc direcci ci&n &n !ostr !ostrad ada% a% ,i el bat ) la pelota est'n en contacto d#rante #n tie!po de <%
P+#*!
84
S<
Proble!a IB%V%% Un clavadista de peso de VQ; lb se lana desde el e3tre!o de #n e!barcadero con #na velocidad de Y pies por se-#ndo en la direcci&n !ostrada en la 5-#ra% Deter!ine las co!ponentes 1oriontal ) vertical de la f#era aplicada por el clavadista sobre el e!barcadero d#rante los <%Q; se-#ndos "#e tarda en i!p#lsarse%
v<
A
7
libras
S libras V p#l-
Probl e!a IB%V%;% ,e dispara #na bala c#)o peso es de <%Q; onas en direcci&n 1oriontal ) atraviesa los blo"#es A ) 7 !ostrados+ ocasionando "#e se !#evan con velocidades de V; ) V piesJse-+ respectiva!ente% Deter!ine a* la velocidad inicial de la bala ) b* la velocidad de la bala c#ando est' viajando entre los blo"#es A ) 7% P+#*!ma IV.1./
85
V< piesJse-
A
7
Proble!a IB%V%S% Un e!pleado lana #na !aleta de W< libras con #na velocidad 1oriontal de V< piesJse- sobre #na platafor!a c#)o peso es de Q< libras% ,abiendo "#e .sta se p#ede desliar libre!ente e inicial!ente est' en reposo+ deter!ine la velocidad 5nal de la platafor!a a* si la !aleta se deslio sobre la platafor!a+ b* si la !aleta c1oca contra el barandal del e3tre!o A%
P+#*
!ma IV.1.0
VW< Ton
MillasJ 1r
;< Ton < Ton
A
7
Proble!a IB%V%Q% Una !'"#ina de VW< toneladas "#e viaja a MJ1r c1oca )+ a#to!'tica!ente+ se acopla con #na platafor!a c#)o peso es de < toneladas ) lleva 5ja #na car-a de ;< toneladas% ,abiendo "#e la platafor!a estaba inicial!ente en reposo+ deter!ine a* la velocidad de la !'"#ina in!ediata!ente desp#.s de 1aberse acoplado ) b* la f#era pro!edio "#e act0a d#rante el acopla!iento s#poniendo "#e se lleva a cabo en #n periodo de <% se-#ndos%
86
P+#*!ma IV.1. Proble!a IB%V%Y% Un tren li-ero for!ado por dos va-ones viaja a ; MJ1r% El peso del va-&n A es de VY toneladas ) el del va-&n 7 es de VW toneladas% C#ando se aplican repentina!ente los frenos+ se ejerce #na f#era de frenado constante de +W<< libras en cada va-&n% Deter!ine a* el tie!po re"#erido para "#e el tren se deten-a desp#.s de "#e se aplican los frenos ) b* la f#era en el acopla!iento entre los va-ones !ientras el tren est' desacelerando%
Proble!a IB%V%X% En #n cr#cero+ el a#to!&vil 7 viajaba 1acia el s#r ) el a#to!&vil A en direcci&n W< al noreste c#ando c1ocaron entre s$% L#e-o de la investi-aci&n+ se deter!in& "#e+ desp#.s del c1o"#e+ los dos a#to!&viles "#edaron trabados ) patinaron a #n 'n-#lo de V< al noreste% Cada cond#ctor a5r!& "#e viajaba al l$!ite de velocidad de ;< _!J1 ) "#e trataron de frenar+ pero "#e no p#dieron evitar el c1o"#e debido a "#e el otro cond#ctor iba bastante !'s r'pido% ,i se sabe "#e los pesos de los a#to!&viles A ) 7 eran+ respectiva!ente+ V;<< ) V<< _-+ deter!ine a* c#'l de los dos a#to!&viles viajaba !'s r'pido ) b* la rapide del a#to!&vil "#e iba a !a)or velocidad si el ve1$c#lo !'s lento viajaba al l$!ite de velocidad%
Proble!a IB%V%V<% Un 1o!bre de VY< libras ) #na !#jer de V< libras est'n de pie #no al lado del otro en el !is!o e3tre!o de #n bote de W<< libras+ listos para lanarse al a-#a+ cada #no con #na velocidad de VS pies por se-#ndo con respecto al bote% Deter!ine la velocidad del bote desp#.s "#e se 1a)an lanado a!bos al a-#a+ si a* la !#jer se lana pri!ero ) b* el 1o!bre se lana pri!ero%
87
CAPITULO IV.. C7OUES En este cap$t#lo nos concretare!os a analiar 0nica!ente el i!pacto central tanto directo co!o oblic#o+ dado "#e en el i!pacto e3c.ntrico los ele!entos a est#diar se consideran co!o c#erpos r$-idos%
v7
7
7
v7
A
A vA
a* I!pac to c entral direc to
vA
b* I!pac to central oblic#o
,e dice "#e oc#rre #n c1o"#e o colisi&n entre dos c#erpos c#ando en #n tie!po !#) corto+ casi instant'neo+ dos c#erpos se i!pactan entre s$ aplic'ndose f#eras relativa!ente -randes entre ellos% C#ando las velocidades de los dos c#erpos "#e se colisionan est'n antes ) desp#.s del c1o"#e sobre la !is!a l$nea de acci&n+ le lla!are!os c#%&! c!nt+a 'i+!ct# en caso contrario+ se le lla!ar' im?act# c!nt+a #*ic&#% A esta l$nea en la c#al se lleva a cabo el fen&!eno le lla!are!os l$nea de i!pacto ) le asi-nare!os la letra =n>2 a s# perpendic#lar "#e a la ve es tan-ente a las esferas+ le lla!are!os el eje =t>%
88
FI(URA IV..1
Di+!ct#
C!nt+a
O*ic&# C#%&!$
Ecént+ic#
89
A
7
A
7
a* Antes del i!pacto
# A
7
b* En la defor!aci&n !'3i!a
vA
v7
A
7
c* Desp#.s del i!pacto
En el c1o"#e central directo todos los fen&!enos efect#ados d#rante la colisi&n se llevan a cabo en la direcci&n de la l$nea de i!pacto+ la c#al identi5ca!os co!o el eje =n>%
(URA IV..
FI
La si-#iente ec#aci&n representa la conservaci&n de la ener-$a cin.tica ) es conocida con ese no!bre2 nos indica "#e en este tipo de c1o"#es+ la ener-$a cin.tica se conserva?
!A &A [ !7&7 K !A(&A* [ !7(&7* 90
Esta ec#aci&n+ )a si!pli5cada "#edar' co!o?
!A &A [ !7&7 K !A(&A* [ !7(&7* )a !odi5cada la identi5care!os co!o la ec#aci&n representativa de la
cantidad de !ovi!iento%
IB%%W% Considerando dos esferas "#e se !#even sobre la !is!a l$nea de acci&n ) si la velocidad de A es !a)or "#e la velocidad de 7+ A -olpear' a 7 ) d#rante el i!pacto las dos esferas se defor!ar'n2 dependiendo de la rapide con "#e retornen a s# for!a ori-inal Wc#!"ci!nt! '! +!$tit&ci@n H !X; se conservar' o no la cantidad de !ovi!iento% Antes del c1o"#e?
&AJ7 K &A ]&7
Desp#.s del c1o"#e? &AJ7 K&A&7 Para resolver proble!as de i!pacto en -eneral+ c#ando el valor de =e> se enc#entra entre < ) V "#iere decir "#e la ener-$a cin.tica no se conserva2 ) )a "#e el objetivo de esta !ateria es predecir las velocidades de cada #na de las esferas+ #tiliare!os la si-#iente ec#aci&n para lo-rar n#estro prop&sito%
&6 &A H !W& A & 6 X Esta ec#aci&n nos e3presa "#e, LA VELOCIDAD RELATIVA DE DOS PARTÍCULAS DESPU3S; SE O6TIENE AL MULTIPLICAR SU VELOCIDAD RELATIVA ANTES DEL IMPACTO POR EL COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN. E C#!"ci!nt! '! +!$tit&ci@n !$ a +a?i'! c#n %&! &n c&!+?# !á$tic# +!c&?!+a $& #+ma #+iina DEL IMPACTO.
91
!A vA A
[
P
!A #
K
A
A
a* Periodo de d efor!ac i&n
!A # A
[
R
! AvgA
K
A
A
b* Pe riodo de restit#ci&n
FI(URA IV..C&an'# ! H 5; mA
& A
m6
&
H WmAm6X
6
C&an'# ! H 1;$! c#n$!+a a !n!+Ja t#ta,
& H& & 6
6
&
& A
A
C&an'# 5 ! 1; NO SE CONSERVA LA ENER(ÍA TOTAL. CAPITULO IV ..En ! c#%&! c#n'ici#n!$,
c!nt+a #*ic&# $!
c&m?!n a$ $i&i!nt!$
92
v7g t v7
7
vAg
A vA
FI(URA IV.. 1. La canti'a' '! m#imi!nt# '! ca'a ?a+tJc&a $#*+! ! !=! Kt $! c#n$!+a.
W
& Xt A
H W
& Xt
W
A
& Xt 6
H W
& Xt 6
. La canti'a' '! m#imi!nt# t#ta $#*+! ! !=! Kn '! a$ '#$ ?a+tJc&a$ $! c#n$!+a.
mAW
& Xn m W& Xn H m W& Xn m W& A
6
6
A
A
6
6
Xn
-. S! #*ti!n! a c#m?#n!nt! !n Kn '! a !#ci'a' +!atia '! a$ '#$ ?a+tJc&a$ '!$?&é$ '! c#%&!; m&ti?ican'# a c#m?#n!nt! Kn '! a !#ci'a' +!atia ant!$ '! c#%&! ?#+ ! c#!"ci!nt! '! +!$tit&ci@n K!. W!+ ?+#*!ma IV..1.X
93
!7 vg 7 n
n
n
t
t
7 !7 v7
A
t
7
[
P 8
A 8
t
!A vA
W
K
t
7 A
g !A vA
!A vA
& Xn 6
W
& Xn A
H 
