I.
INTEGRAL INDEFINIDA
1. INTRODUCCION
El problema básico de la derivación es: dado el recorrido de un punto móvil calcular su velocidad o también dada una curva calcular su pendiente. El problema básico de la integración es lo contrario: dado la velocidad de un móvil calcular su recorrido o también dado la pendiente de una curva, nos piden calcular su curva. 2. ANTIDER ANTIDERIVADA IVADA DE UNA FUNCION FUNCION
La función F: I
R se llama antiderivada o primitiva de f: I
R.
y , para todo x que pertenece a los Ʀ las funciones y son las antiderivadas de las funciones indicadas anteriormente puesto Ejemplo: sea
que:
= f(x) = g(x) y también son antiderivadas dede las Sin embargo las funcione funciones originales mostradas anteriormente, análogamente lo serán las funciones que tengan la forma donde, a y b son constantes cualesquiera. cualesquiera. En general si F(X) es una antiderivada de f(x) entonces F(X) + c también es una antiderivada. 3. LA ANTIDERIVADA GENERAL
La andiderivada de f(x) es es F(X) sobre I. entonces entonces la función antiderivada general de f(x).
se denomina la
El significado geométrico de la antiderivada F(X) de f(x), es que cualquier otra antiderivada de f(x) es una curva paralela al grafico de y= F(X).
GRAFICA OBSERVACION: resulta que el cálculo de la antideriva o primitiva no determina una única función,
sino una familia de funciones que difieren entre si en una constante. El proceso de cálculo de la antiderivadas o primitivas se suele determinar integración y se denota por el símbolo ʃ , llamado signo de integración, el símbolo .
∫
4. INTEGRAL INDEFINIDA
DEFINICIÓN. Si F(X) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I, o sea F’(X)=f(x), entonces su
antiderivada general G(X)=F(X) +C es denotada por:
∫ Al cual llamaremos integral indefinida de
.
NOTA. – De la definición de la integral indefinida se tiene:
es decir:
PROPIEDADES
De la definición de integral indefinida se tiene las siguientes propiedades. 1.
∫ ∫ Ósea que la derivada de la integral indefinida es igual al integrarlo es decir:
2.
3.
4.
Ejemplos:
1) 2) 3) 4)
∫ = ∫ = ∫ = ∫ = ∫= ∫ ∫=∫ = , n
PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION
∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 4. ∫ + c 5. ∫ ∫ ∫ + Sea , una función diferenciable en x. 6. ∫ ∫ 7. ∫ || 8. ∫ 9. ∫ 10. ∫ = 11. ∫ 12. ∫ 1. 2. 3.
Ejemplos de aplicación de estas formulas Calcular las siguientes integrales. 1.
2.
∫ Solución Como , entonces tenemos que: ∫
Solución Primero desarrollamos la expresión algebraica de la manera más sencilla para poder trabajar:
Luego de haber desarrollado la expresión anterior tenemos que:
3.
4.
√ ∫( )( ) Solución Efectuamos la multiplicación: ( )( ) Entonces: ∫( )( ) ∫ ∫ Solución
∫ Entonces: ∫ ∫ Solución ∫ Por teoría se sabe que:
5.
6.
Solución Cuando en el denominador se tiene una expresión cuadrática como en este caso, se completa cuadrados. , entonces tenemos:
7.
Aplicando la formula, ∫ , tenemos que: ∫ ∫
Solución Cuando se observa que el diferencial del denominador es el nominador, o de una manera proporcional se desarrolla de la siguiente manera: Sea , remplazando en el ejercicio tenemos:
| |
8.
∫
Solución Desarrollare de una forma similar al ejercicio 7. , de ahí que: Sea
| | 9. ∫ Solución Sea , luego tenemos que: 10. ∫ Solución Sea , de donde , luego: 11. ∫
Solución En esta integral aplicaremos la formula (6), es decir:
, luego remplazando quedaría: ∫ ∫ Sea
12.
