APLICACIONES DE LAS MATRICES Y DETERMINANTES A LA ECONOMIA
INTRODUCCION
La matem matemat atiza izacio cion n de la econom economía ía se reali realiza za a través través del del concep concepto to de número número real, que nos permite permite asignar asignar un valor valor numérico numérico —cuantifcar —cuantifcar— — cualquier cualquier magnitud magnitud económic económica. a. Una realida realidad d económic económica a puede tratarse tratarse matemáticamente a partir del momento en que encontramos un medio de desc descri ribi birl rla a
medi median ante te magn magnit itud udes es numé numéri rica cas s
rela elacione iones s
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cuo cuo comp compor orta tami mien ento to
!pre precio cios,
salar larios, ios,
rédit édito os,
probabilidades, tasas de in"ación, de desempleo, benefcios, costes, etc.#. $in embargo, es mu raro que un problema venga determinado por un único dato numérico. Lo usual es que sea necesario traba%ar simultáneamente simultáneamente con muc&os datos. 'n este tema veremos los conceptos básicos para traba%ar sistemáticamente con (bloques) de números.
*uando los sistemas de ecuaciones lineales son e+tensos, maormente se utiliza matrices por su acilidad de mane%o. Las matrices son ordenamientos ordenamientos de datos se usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones !lineales#, sino además en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones dierenciales de derivadas parciales. -demás, las matrices también aparecen de orma natural en geometría, estadística, economía, inormática, inormática, ísica, etc. 'l álgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. $in emba embarrgo, go,
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apro+imadas mediante ecuaciones lineales otras pueden ser convertidas a relaciones lineales, esta limitación puede ser en parte evitada.
1.- MATRIZ: DEFINICION
$e llama matriz de orden mn a todo con%unto rectangular de elementos
aij
después en m líneas &orizontales !flas# n verticales !columnas# de la orma/
-breviadamente suele e+presarse en la orma - 01a i%2, con i 03, 4,..., m5 % 03, 4, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fla !i# el segundo la columna !%#. 6or e%emplo, el elemento a47 será el elemento de la fla 4 columna 7.
MATRICES IGUALES 8os matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. $ean las matrices - 9, donde/
1.2.- ALGUNOS TIPOS DE MATRICES :amos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con recuencia debido a su utilidad, de los que es conveniente recordar su nombre.
1.2.1.- SEGÚN LA FORMA Matriz co!"#a: 's una matriz que solo tiene una columna, es decir, n 03 por tanto es de orden m + 3.
;atriz fla/ 's una matriz que solo tiene una fla, es decir m 03 por tanto es de orden 3+ n. 's decir, -0 !a 33 a34 ... a3n#. 6or e%emplo/ - !3,<# 13
4 =<2
Matriz cuadrada: 's aquella que tiene el mismo número de flas que de columnas, es decir m 0 n. 'n estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, no n + n !aunque es lo mismo#. Los elementos a i% con i 0 %, o sea ai% orman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, los elementos ai% con i > % 0 n >3 la diagonal secundaria.
La diagonal principal está ormada por 1 3 3 ?2 la diagonal secundaria por 1 @ 3 <2
Matriz traspusta: 8ada una matriz -, su matriz se representa por - t, la cual se obtiene cambiando flas por columnas. La primera fla de - es la primera columna de - t, la segunda fla de - es la segunda columna de - t así sucesivamente. 8e la defnición se deduce que, si - es de orden m + n, entonces -t es de orden n + m.
Matriz si!"trica: Una matriz cuadrada - es simétrica si - 0 - t, es decir, si a %0 a %
Matriz a#tisi!"trica: Una matriz cuadrada se dice que es antisimétrica si - 0 A-t, es decir ai%0 =a %i.
1.2.2.- SEGÚN LOS ELEMENTOS Matriz #u$a es aquella que todos sus elementos son @ se representa por @.
Matriz dia%&#a$: 's una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz sca$ar: 's una matriz diagonal !, en consecuencia, una matriz cuadrada# con todos los elementos de la diagonal iguales.
Matriz u#idad & id#tidad: 's una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 3. $e denota por el símbolo I o In.
Matriz Tria#%u$ar: 's una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos/ Tria#$!ar S!%&rior: $i los elementos que están por deba%o de la diagonal principal son todos nulos. 's decir, a% 0@, i B %. Tria#$!ar I#'&rior: $i los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. 's decir, a% 0 @, % B i. '%emplos/
1.(.- OPERACIONES CON MATRICES 1.(.1.- TRASPOSICION 8ada una matriz de orden m+n, - 0 1 a i% 2, se llama matriz traspuesta de - se representa por - t, a la matriz que se obtiene cambiando las flas por las columnas !o viceversa# en la matriz -. 's decir/
Pro%i&)a)&* )& a tra*%o*ici+# )& "atric&*
3.= 8ada una ;atriz -, siempre e+iste una traspuesta además es única. 4.= !-C#C0 -.
1.(.2 SUMAS Y DIFERENCIAS La suma de dos matrices - 0 1 ai% 2, 9 0 1 bi% 2 de la misma dimensión, es otra matriz $ 0 1 si% 2 de la misma dimensión que los sumandos con término genérico $i% 0 ai% > bi%. 6or tanto, para poder sumar dos matrices estas deben tener la misma dimensión. La suma de las matrices - 9 se denota por ->9.
Propiedades de la suma de Matrices
3. - > !9 > *# 0 !->9# >*
4. - > 9 0 9 > - !propiedad conmutativa# <. - > @ 0 - !@ es la matriz nula# D. La matriz A-, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de -, recibe el nombre de matriz opuesta de -, a que - > !A-# 0 @.
7. La dierencia de matrices - 9 se representa se defne como/ - A 9.
1.(.(.-
PRODUCTO
DE
UNA
MATRIZ
CON
UN
ESCALAR
,NUMERO 'l producto de una matriz - 0 1 ai% 2 por un número real E es otra matriz de la misma dimensión que - tal que cada elemento bi% de 9 se obtiene multiplicando ai% por E, es decir, bi% 0 Eai%.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
3. 4. <. D.
E !- > 9# 0 E - > E 9 !propiedad distributiva 3F# !E > &# - 0 E - > & - !propiedad distributiva 4F# E !& -# 0 !E &# - !propiedad asociativa mi+ta# 3G- 0 - !elemento unidad#
Propiedades simplificativas
3. - > * 0 9 > * H - 0 9. 4. E - 0 E 9 H - 0 9 si E es distinto de @. <. E - 0 & - H & 0 E si - es distinto de @.
1.(..- PRODUCTOS DE MATRICES 8adas dos matrices - 9, su producto es otra matriz 6 cuos elementos se obtienen multiplicando las flas de - por las columnas de 9. 8e manera más ormal, los elementos de 6 son de la orma/ 6i% 0 I ai% . bi% $e requiere que el número de columnas de - debe coincidir con el número de flas de 9 para que esta multiplicación sea posible. -sí, si
- tiene dimensión "+# 9 dimensión #+%, la matriz 6 será de orden/ "+%. 's decir/
'n otras palabras, el elemento que se encuentra en la fla i la columna % de la matriz *0-9 se obtiene multiplicando los elementos de la fla i de - por la columna % de 9 sumando los resultados.
So!ci+#: 6rimero, se comprueba que se pueda realizar el producto -9. 6uesto que el número de columnas de - es igual al número de flas de 9, entonces la operación es actible. La matriz resultante tendrá la dimensión 4+<, es decir, 4 flas < columnas.
Luego, el elemento de la fla 3 columna 3 de -9 !es decir, c33# proviene de la sumatoria del producto de un elemento de la fla 3 de - por otro elemento de la columna 3 de 9, de la multiplicación/
'l elemento de la fla 3 la columna 4 de -9 !o lo cual es igual, *# será igual a la sumatoria del producto de un elemento de la fla 3
de - con otro elemento de la columna 4 de 9/
'l elemento de la fla 3 la columna < de * proviene de la sumatoria del producto de un elemento de la fla 3 de - con otro elemento de la columna < de 9/
-sí, sucesivamente se obtiene/
Pro%i&)a)&* )& %ro)!cto )& "atric&* 3. -G!9G*# 0 !-G9# G*
4. 'l producto de matrices en general no es conmutativo !-9 no necesariamente es igual a 9-#. <. $i - es una matriz cuadrada de orden # se tiene -GJn 0 JnG- 0 -. D. 8ada una matriz cuadrada - de orden n, no siempre e+iste otra matriz 9 tal que -G9 / 9G- / Jn. $i e+iste dic&a matriz 9, se dice que es la matriz inversa de - se representa por - A 3. 7. 'l producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir/ -G !9 > *# / -G9 > -G*
Co#*&c!&#cia* )& a* %ro%i&)a)&* 3. $i -G90 @ no implica que -0@ ó 90@. 4. $i -G90-G* no implica que 9 0 *. <. 'n general !->9#40-4 > 94 >4-9, a que -G9 K 9G-.
D. 'n general !->9# G!-A9# 0 -4A94, a que -G9 K 9G-.
2.- DETERMINANTES Un determinante es un número real o escalar asociado a una matriz, su cálculo depende del orden de la matriz cuadrada en análisis.
2.1.- C0c!o )& )&t&r"i#a#t&* )& +r)&#&* 1 2 ( Orden 1 x 1: 's ácil comprobar que aplicando la defnición/ - 0 a 33 H
det !-# 0 a33.
Or)&# 2 3 2: se toma el producto de los dos elementos de la diagonal principal se substrae del producto de los dos elementos de la diagonal secundaria.
Or)&# ( 3 (: R&$a )& Sarro*: solo para matrices de orden <+< se suele usar la egla de $arrus, que consiste en un esquema gráfco para los productos positivos otro para los negativos/
o lo que es igual/ det!-# 0 !a33a44 a<< >a34 a4< a<3 > a3< a43a<4# = !a3< a44 a<3 >a34 a43a<< >a33a4< a<4#
2.2.- C0c!o )& !# D&t&r"i#a#t& )& or)&# #3#: )&*arroo %or "&#or&* $e una matriz de orden <+< como/
*ontiene otras submatrices tales como/
-&ora bien, se defne el determinante de la matriz - mediante la órmula/
M lo que es igual det !-# 0 a33det!-33# A a43det!-43# > a<3det!-<3# 'n realidad, la e+presión !4.3# tiene múltiples generalizaciones por lo que es necesario ormalizarlas. Ninalmente, para el caso de una matriz !cuadrada# de orden n + n el determinante será/
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE ECONOMÍA
CURSO: ECONOMIA MATEMATICA
DOCENTE: DR. FELIX WONG CERVERA
TEMA: APLICACIONES DE LAS MATRICES Y DETERMINANTES A LA ECONOMIA INTEGRANTES: AGURTO BRICEÑO DIEGO ARMANDO. ALBERCA AVILA NATALIA. JIMENEZ ABAD JACKELINE.
