MATRICES
1. Indique el orden orden de de cada una de de las siguientes siguientes matrices: matrices:
a)
d)
4 3 2 −7
(− 8
5
b)
6
1
9
4
)
7 −8 4 − 5 2 3
2 0 1 −2 3 4 − 1
e)
c)
3
5
0
2. Resp Respect ecto o a la matriz matriz::
3 − 2 5 0 A = 1 − 2 7 3
1
2 4 6
− 7 8 − 5 − 7 5
a) b)
Indicar el orden Identificar a22 = a13 = a24 =
3. Dada Dadas s las las matr matric ices es::
4 1 2 − 1 2 3 4 A = 3 − 4 −1 2 5
3 2 − 1 5 3 4 B = 4 − 5 6 − 2 5 1 7 6 2
Calcular el valor de: a)
x =
a12 a 21
+b +a +b +b +a +b 12
23
23
21
23
32
= (b33 + b31 )( a 24 − a14 )
b)
y
c)
z =
d)
w = (b22
a22 ⋅ b22
− b31 ⋅ a13 b11 ⋅ b13 − a13 ⋅ a11
− a24 ) 2
(1)
4 7 3
f)
(8)
4. Calcular el valor de las variables x, y, z para que las matrices dadas, en cada caso sean iguales:
43 = 13
5 x − y + z
5 D = 102
3 x + 2 y
b)
47 − 2 5 C = 7 x − 3 y − 9 2 3
c)
4 x − 5 y 50 E = 5 x + 4 y − 3 5
7 F = 19
5 x + 7 z − 3 5
d)
H =
19 I = 9
84
e)
3 J = 4 − 2 3
f)
6 L = 1 2
4 x + 3 y − 2 z 13
a)
A =
6 x + y − 4 z 49
B
7 x + 5 y 4 y + 8 z − x + 3 z 9
2
3 1 5
− 3 5 1 8
6 M = 1 2
3 x
b)
3 − 5 − 1 4 8 + 5 7 4 3 6 7 4
c)
7 − 8 − 4 −15
5 8
3 = 7 6 2
16 −14 12 4 − 9 −17 + + = 4 8 − 20 −15 −18 19 − 21
(2)
− 3 5 7 y 4
7 x + 2 y 34
7
9
5
1 5
7 − 8 − 5 = + − 9 9 − 4 19
4 − 6
− 2 2 3
28
5. Calcular las siguientes sumas de matrices:
a)
−9
3 K = 4 − 23
3 x − 5 y 11
61
d)
0,6 − 2 3
3 3 5 + 4 0,25 0,75
− 2 − 3 3 + 7 1 − 0,6 4
0,4
= 2 3
6. Determinar en cada caso los valores de x e y, de modo que se cumpla la igualdad. a)
3 x 5
8 27 12 15 = + 2 y − 7 − 24 2 6 − −
b)
3 − 2 7 x 5 34 2 4 5 + 3 = 1 − 2 2 − 9 y 13 3 3 7 4 21
c)
( 3 x − y
d)
3 x 2 y 18 4 5 + − 7 0,2 − 0,5 3 4
4
2 x + 7 y
) + ( 5 y
−18 x ) = (18 − 11)
48
6 x 2 = − 3 2 19 3 20
6 y
7 1 6
7. Restar las siguientes matrices: a)
6 4 − 5 2 − = − 7 8 − 8 − 9
b)
2 3 2 − 1 3 4 − 5 4 = − 1 − 1 3 − 1 5 2 4 5
c)
0,7 − 0, 5 0,3 − 0, 2 0 , 4 0 , 4 2 −
d)
− 3 −
2 5
3
20 3 5
7
0,5
=
0,2
5 32 − − 7 − 3 20 −
75
=
28
8. Resolver las siguientes ecuaciones:
(3)
3 − 2
5
8 4 = − 3 − 6 7
a)
x +
b)
3 x + 4 1 2
c)
x +
d)
6 − 8 4 − 5 7 − = 2 − 3 − 7 8 − 4
2 5 = 3 2 4
2
9 − 8
1 0 1 4 + 1 1 2 2 4 4 2 − 6 − − 3 − 8 − 7
7
6 = 5 8
− 3 4 + + x 5 8 − 9 3
9. Determine en cada caso los valores reales de x, y, z, w de modo que se cumpla la igualdad: a)
x 4
y
2 − 5 7
b)
2 0,02
5 − 6 11 −15 − = 8 9 − 2 z w 3
− 3 = 0 z
0, 2 2
0 − 1
1
x − 1 w 9 7
y
2
10.Multiplique las siguientes matrices: a)
b)
2 4 0 −1
3 1
⋅ 1 0 1
0
3
4
4
5
0
1
−1
2
7
=
3
4 1 2 −1 0 ⋅ = 5 0 0 2 − 5
11.Dadas las matrices:
3 A = − 1
B = (1
− 2)
3 C = − 1
1 2
Calcular: a)
A ⋅ B =
b)
B ⋅ A =
(4)
0
5
3 2 D = 1 − 1 0 5
c)
C ⋅ D
=
d)
D ⋅ C =
12)
Dadas las matrices:
1 P = 2
4
0
0
0
5
1
1 −1 Q= 0 1
0
1 0 0 − 1
1
R =
0 0
Calcular: a)
( P ⋅ Q ) ⋅ R
=
b)
( R ⋅ P ) ⋅ Q
=
c)
( R ⋅ Q ) ⋅ P =
13)
Calcular las siguientes potencias de A =
a)
A
14)
Determinar los valores de x e y, de modo que se cumpla la igualdad:
a)
2 4
b)
5 − 7 x ⋅ 4 − 2 0
c)
6 4
15)
Obtener la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices:
a)
5 −2
b)
4 2 − 4 − 5
2 5 3 −1
2
b)
3
0 ⋅ 5 −1
A 3
1
3 x = 0 − 5 y
5 = 1 4
2 y 2
3
x − 6 1 ⋅ + 5 − 3 y 0 8
4
7
6
0
0 = 0 1
0
0
d)
6 12
e)
1 2 8 (5)
16 8
1
4 6
− 6 2 5
10 1 6
c)
− 2 − 3 5 7
16)
Calcular el valor de x, y, z, w, de modo que se cumpla la igualdad:
a)
5 − 6 − 2 y = 7 ⋅ 8 x 3 z
b)
− 3 x x + z 0 1 + 5 x 5⋅ − = − w ⋅ 1 y − 2 − 1 y 0
f)
4 w 5
3
4
1 2 0
7 − 2
1
17)
Dadas las matrices: A = 5 6 Calcular:
B =
a)
det( A) + det( B )
f)
b)
det( A + B)
c)
det( A) ⋅ det( B )
d)
det( A ⋅ B )
e)
det( B −1 )
18)
Calcular el valor de las variables x e y, para que se cumpla en cada caso la igualdad indicada:
a)
3 0
b)
c)
6 3
h)
det( B 2 )
=
=
i)
det( A T )
=
=
j)
=
5
=
0
=3
x 5
−
2 y
=
=
8 3 x + 5
x − 5
det( B)
det(3B )
−
2 x
1
g)
=
0 3 x
=
0
=
4
−
2
y
−
6
(6)
det( A ⋅ A ) T
=
19)
Resolver los siguientes determinantes: 4
a)
1
7
5
2
10
6
3
11
−
−
3
−
b)
−
0
4
1
2
3
0
4
0
−
20)
Aplicar “Regla de Cramer” para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
5x - 8y = 42 3x + 2y = 32
b)
3x + 5y = 11 5x – 8y = 2
c)
d)
x + y + z = 7 2x – y + 3z = 13 x + 3y – z = 1
e)
2x + 3y – 5z = -11 x– y+ z= 5 3x + y – z = 3
2x + 5y = 0 3x – 7y = 29
(7)
RESPUESTAS
1) a) b) c) d) e) f) 2) a) b)
3) a) b) c)
129 140 d) − 31 60
2x3 3x2 3x1 1x3 3x3 1x1 3x4 a22 = 0 a13 = ½ a24 = -5
6) a) x = 4 y=9 b) x = -5_ 84 y = -76 135 c) x = 2 y=3 d) x = 6 y = 12
209 x = 229 27 y = 56 8480 z = 1183 w = 49
−1
b) c)
− 23 2 6 3 5 5 3 7 3 1 8) a) x = −1 −13 d)
b)
12
11 20 23 12
4
−1 10
1 24 73 42
20 1 4
17
− 5 3 24 1 − − 2 −10 d) x = 5 − 7 c) x =
9) a) x = -4 y = 12 z = 12 (8)
7
6
17
19
2
3 −10 3 − 26 3 − 6 11)a) −1 2
2 − 19 5 18 8 − 28 45 45
− 1 x = 12 4
11
23
b) (5)
10 5 1 21 − 7 7 10 d) 4 −1 − 5 − 5 10 25 2 − 4 12)a) 3 0 2 4 b) − 3 0 c)
c)
∃
19
13)a)
3
16 5
53 90 54 −1
b)
14)a) x = -1 y=2 b) x = 1 y=2 c) x = -6 y= ∃
31
b)
2 −11 1 17 4 1 15 b) − 19 − 3 20 10 c)
b) x = -5 y = 70 9 z = -13 15 w=4 10)a)
2 4
7) a)
d) 4) a) x = 10 y=1 z=0 b) x = 15 y=1 c) x = 3 y=1 z=5 d) x = 2 y=1 z = 10 e) x = 10 9 y = 1_ 14 f) x = 3 y = -5 5) a) 3
1 3 7 6
w=1
15)
7 − 4 43 43 a) 2 5 43 43 5 1 12 6 b) − 1 − 1 3 3 3 7 − − 5 2
c) d) e)
f)
∃
6 − 1 4 − 8 1 2 − 1 2 30 2 6 25 5
16) a) x = 35 y=-5 14 z= 8 21 w=-3 14 b) x = 6 y=0 z= 1 5 w = 10
17)a) 0 b) 45 c) –4 d) –4 e) ½ f) ½ g) 18 h) 4 i) –2 j) 4 18)a) x = 5 3 b) x = 47 2 c) y = -39 10 19) a) -16 b) 489 c) 20 d) 0 20) a) x = 10 y=1 b) x= 2 y=1 c) x = 5 y = -2 d) x = 0 y=2 z=5 e) x = 2 y=0 z=3
(9)
