UNIDAD II: Matrices y Determinantes SESIÓN 07: Operaciones Operaciones con Matrices 7
1. Sea la matriz:
A
4
3
1
5
2. Halle la traza de A
9
2
aij
Halle:
5 ,
a13
a32
a22
a23
y la transpuesta de A.
6 3 3
, para la cuál aij
i
2.
j
3. Construya la matriz, usando la ley de formación indicada:
a)
A
aij
b)
A
aij
c)
B
bij
d)
B
bij
e)
B
2 2 2 2
3 3 4 4
bij
4 4
,
aij
2i
,
aij
2
i
3
,
bij
3j i
,
bij
3i
,
Sean las matrices:
4.
3 4
,
cij
2 j
g)
i2
C
cij
3 3
,
0
2
y
1
cij
B
6
8
1
5
7
3
4
6
0
j
i j i
j2
8
7
j
2i
0
5
cij
i
3
2
A
C
2
i
1
f)
j
ij
1
bij
i
3j
j
;
i
j
;
i
j
j ;
i
j
;
i
j
;
i
j
;
i
j
. Calcule (si es posible): A+B, A-B,
2A+B, 3A-5B, AB, BA. 1
5. Sean las matrices A
3
4
3
0 , B
0
0
1 4
1
1
, C
2 3
3 1
. Calcule (si es posible): A+B,
5
A+CT, BC, CB, AC, CA, C TB. 6. Determine u, x, y e z a partir de las ecuaciones matriciales: 2 x
a)
2 2
3 4
2 z
2
3
1
2
b) 3
4
x
1
2
y 2
3
u
2
2
4
5
4
1
y
3
3
2
1
2
2
4
2 z 1
2 4
u
0
1
4
4
7. Halle el valor del polinomio f ( A, B) de las matrices A y B .
a) f (x, y)
x2
xy
b) f ( x, y)
x2
y 2 , además: A
c) f ( x, y)
8.
Si A2
x3
x2 y
B2
3
2 y, además: A
xy2 2 0 0
4
1 1 2
3
5
1
4
,
B
y3 , además: A
,
AB
4 0
2 3
,
,
2 0
B
7
8
3 1 0 1 1
0
3
2
8
1
2
5
0 , B
5
7
3
0
4
6
4
6
0
BA
2
1
1 0
.
Halle: (A + B) 2 y (A + B) (A – B).
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1
9. Dadas las matrices A 10.
3
1 4
Sean las matrices A
ai j
,
3
B
3 x 3
0
1 5
,
. Halle X en: BA
[ bi j ]3 x3 ,
B
C
T
X
BT
2 A.
[ ci j ]3 x3 cuyos elementos se definen por
la siguientes reglas de formación: ai j
i
j,
0,
j
AB
, bij
BC
i
j,
i
j
2i
j,
i
j,
i2
ij,
i
j
cij
2i
3j
CA .
Calcule el determinante de cada una de las siguientes matrices: 3 2 3 2 0 a) A 4 5 4 5 2 d) f) A b)
A
1 2 1 4
1 3 1 5
2
c)
A
3 1
12.
j
i
Halle: M 11.
i
5
3
a A
b a
0
c b
b
c c
b
a a
c
3 1 1 1 4 2 1
5 1 2
e)
A
1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3
g)
A
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 Reduzca las siguientes matrices a una matriz triangular superior, utilizando transformaciones elementales por fila: 4 1 3 2 3 3 3 2 3 2 0 1 2 3 4 3 4 4 2 4 5 2 a) A b) A c) A 2 1 3 5 3 4 5 3 5 3 0 1 4 3 6 2 2 3 2
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UNIDAD II: Matrices y Determinantes SESIÓN 08: Aplicaciones de las Operaciones con Matrices
1. La siguiente información corresponde a la cantidad de libros de la editorial A y B ordenados por género y condición, que una librería tiene a la venta. GÉNERO: CONDICIÓN:
Empastado No Empastado
240 450
GÉNERO: CONDICIÓN:
Empastado No Empastado a) b)
2.
EDITORIAL A Terror Acción
Cómicas
Ficción
300 500
600 300
Cómicas
Ficción
300 120
500 700
600 300
EDITORIAL B Terror Acción 200 400
500 700
Represente esta información utilizando matrices. Escriba la matriz que representa el total de libros que la librería tiene por género y condición en ambas editoriales.
La primera tabla, representa las ventas (en miles de dólares) para la Walbash Company en el año 2008 en varias ciudades, y la segunda representa las ventas (en miles de dólares) para la misma compañía en el año 2009 en las mismas ciudades. CIUDAD: TIPO:
a) b) c)
Año 2009
Año 2008 Chicago Atlanta Memphis
CIUDAD: TIPO:
Chicago Atlanta Memphis
Mayoreo
450
280
850
Mayoreo
375
300
710
Menudeo
400
350
150
Menudeo
410
300
200
Represente esta información utilizando matrices. Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos años. Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2008 a 2009.
3.
Una empresa usa cuatro diferentes materias primas M 1, M 2, M 3 y M 4 en la elaboración de su producto. El número de unidades de M 1, M 2, M 3 y M 4 usadas por unidad del producto son 4, 3, 2 y 5, respectivamente. El costo por unidad de las cuatro materias primas es de 5, 7, 6 y 3 nuevos soles, respectivamente. Exprese el costo total de las materias primas por unidad del producto.
4.
La compañía Wish produce cuatro tipos distintos de altavoces en tres plantas diferentes. La producción del mes de mayo fue: En la planta I, 320 del modelo A, 280 del modelo B, 460 de modelo C y 280 del modelo D; en la planta II, 480 del modelo A, 360 del modelo B, 580 de modelo C y ninguno del modelo D; en la planta III, 540 del modelo A, 420 del modelo B, 200 de modelo C y 880 del modelo D. La producción del mes de junio fue: En la planta I, 210 del modelo A, 180 del modelo B, 330 de modelo C y 180 del modelo D; en la planta II, 400 del
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modelo A, 300 del modelo B, 450 de modelo C y 40 del modelo D; en la planta III, 420 del modelo A, 280 del modelo B, 180 de modelo C y 740 del modelo D. Exprese estos datos en forma matricial y determine la producción total en mayo y junio. 5.
Los tres locales de Burger Barn venden hamburguesas, papas fritas y refrescos. Barn I vende 900 hamburguesas, 600 órdenes de papas fritas y 750 refrescos diariamente. Barn II vende 1500 hamburguesas diarias y Barn III vende 1150. Las ventas de refrescos son de 900 al día en Barn II y de 825 al día en Barn III. Barn II vende 950 y Barn III vende 800 órdenes de papas fritas al día. a) Escriba una matriz S de 3x3 que muestre las ventas diarias de los tres locales. b) Las hamburguesas cuestan $ 1,5 cada una, la papas fritas $0,90 por orden y los refrescos $0,60 cada uno. c) ¿Qué producto muestra los ingresos diarios en cada uno de los tres locales?
6.
Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1 000 estanterías grandes y 8 000 pequeñas de tipo A, 8 000 grandes y 6 000 pequeñas de tipo B, y 4 000 grandes y 6 000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a) Representar esta información en dos matrices. b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los modelos de estantería.
7.
Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a) Representar la información en dos matrices. b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.
8.
La economía de una nación en vías de desarrollo se basa en productos agrícolas, acero y carbón. Una producción de una tonelada de productos agrícolas requiere un consumo de 0.01 toneladas de productos agrícolas, 0.02 toneladas de acero y 0.05 toneladas de carbón. Una producción de una tonelada de acero requiere un consumo de 0.01 toneladas de producción agrícola, 0.13 toneladas de acero y 0.18 toneladas de carbón. Una producción de una tonelada de carbón requiere de 0.01 toneladas de productos agrícolas, 0.20 toneladas de acero y 0.05 toneladas de carbón. Escriba la matriz tecnológica para esta economía.
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