1.- OBJETIVO: • PRESENTAR PRIMERO DESDE UN PUNTO DE VISTA MERAMENTE ALGEBRAICO A LA MATRIZ DE RIGIDEZ PARA POSTERIORMENTE ANALIZAR SU SENTIDO FÍSICO EN LA RESOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LIGADOS AL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS.
2.- MARCO TEÓRICO: • EL MUNDO DE LAS MATEMÁTICAS CONSTANTEMENTE IRRUMPE EN EL MUNDO DE LA INGENIERÍA, MÁS AUN EN EL DE LA INGENIERÍA CIVIL. EN ESTE CASO TRATAREMOS DE VER QUE LAS MATRICES QUE PROVIENEN DEL MUNDO MATEMÁTICO TIENEN QUE VER CON LA INGENIERÍA CIVIL Y ESPECIALMENTE CON LAS ESTRUCTURAS
• HOY EN DÍA CUALQUIER PROGRAMA INFORMÁTICO DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS POSEE TRES MÓDULOS DE TRABAJO MÁS O MENOS DIFERENCIADOS: PRE-PROCESO, CÁLCULO Y POST-PROCESO.
• EL PRE-PROCESO SE CENTRA EN LA ENTRADA DE LOS DATOS. • EL POST-PROCESO EN LA SALIDA DE LOS RESULTADOS. • EL MÓDULO DE CÁLCULO, SE CENTRA EN LA RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES. GENERALMENTE ESTE SISTEMA SIRVE PARA CALCULAR LOS DESPLAZAMIENTOS DE LOS PUNTOS DE LA ESTRUCTURA, Y A PARTIR DE ESTOS LOS ESFUERZOS.
ES EN ESTE PUNTO DONDE APARECEN LAS MATRICES ASOCIADAS A DICHO SISTEMA LINEAL, QUE COMO VEREMOS RECIBEN EL NOMBRE DE MATRICES DE RIGIDEZ. ESTOS PROGRAMAS ABARCAN PRINCIPALMENTE TODO EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS DE BARRAS Y DE ELEMENTOS FINITOS DONDE SE OPERA CON MATRICES QUE GUARDAN CARACTERÍSTICAS DE LOS ELEMENTOS: RIGIDECES, MASAS, ETC.
3.- FUNDAMENTO TEÓRICO: PUESTO QUE LA RESOLUCIÓN DE LAS ESTRUCTURAS POR COMPUTADORAS REPRESENTA UN ESFUERZO MUCHO MENOR Y DADO QUE LOS CÁLCULOS LOS REALIZA EL ORDENADOR Y ESTE GENERALMENTE NO SE EQUIVOCA, LOS MÉTODOS MATRICIALES SON LOS MÁS UTILIZADOS. LAS MATRICES QUE NOS INTERESAN EXPRESAN LA RELACIÓN ENTRE LAS FUERZAS Y LOS DESPLAZAMIENTOS. ESTA ES LA ECUACIÓN QUE EXPRESA ESTA RELACIÓN: P = K X D
CONSIDERAMOS QUE P ES EL VECTOR DE CARGAS Y D EL VECTOR DE LOS DESPLAZAMIENTOS PRODUCIDOS EN ESOS PUNTOS (NUDOS) NOS DAREMOS CUENTA DE QUE LA MATRIZ K DENOMINADA MATRIZ DE RIGIDEZ SE ENCARGA DE ALMACENAR ORDENADOS UNOS COEFICIENTES TALES QUE AL PRE-MULTIPLICAR POR LOS DESPLAZAMIENTOS EN UN PUNTO (D) SE OBTIENEN LAS FUERZAS EN DICHO PUNTO (F).
TANTO LOS DESPLAZAMIENTOS COMO LAS FUERZAS SON VECTORES DE ORDEN IGUAL AL NÚMERO DE GRADOS DE LIBERTAD DE LOS NUDOS. ASÍ POR EJEMPLO EN ESTRUCTURAS PLANAS DEL TIPO PÓRTICOS SON TRES LOS GRADOS DE LIBERTAD POR NUDO -(DX,DY,ØZ) DESPLAZAMIENTOS EN LOS DOS EJES Y GIRO EN EL EJE Z- PARA LOS DESPLAZAMIENTOS-, Y POR TANTO TAMBIÉN TRES LAS COMPONENTES DEL VECTOR PARA LAS FUERZAS -(FX,FY,MZ) FUERZAS EN LOS DOS EJES Y MOMENTOS SEGÚN EL EJE Z-.
ESA SIMPLE ECUACIÓN ES LA QUE TRAE DE CABEZA A TODOS LOS PROGRAMAS DE CÁLCULO Y SU RESOLUCIÓN ES LA QUE MAS NOS RESULTA COMPLICADA EN LA COMPUTADORA YA QUE EN CUANTO LA ESTRUCTURA ES CONTUNDENTE, EL TIEMPO DE RESOLUCIÓN SE HACE INTERMINABLE.
¿QUÉ ES LA RIGIDEZ DE UN ELEMENTO? ENTENDEMOS POR RIGIDEZ LA RESISTENCIA QUE OPONE UN ELEMENTO FRENTE A UNA DEFORMACIÓN DADA. UNA ESTRUCTURA MUY RÍGIDA ES AQUELLA QUE PRESENTA MAYOR OPOSICIÓN A LA DEFORMACIÓN Y ESO PUEDE RESULTAR CONTRAPRODUCENTE. EN UNA ESTRUCTURA, POR EJEMPLO LA DE UN EDIFICIO, UN PILAR SUELE SER MENOS RÍGIDO QUE UNA PANTALLA FRENTE A MOVIMIENTOS HORIZONTALES COMO LOS PRODUCIDOS POR EL VIENTO O POR EL SISMO, DADO QUE UN PILAR SUELE POSEER MENOR SECCIÓN QUE UNA PANTALLA, Y ESO LE CAUSA DAÑOS A LA PANTALLA PUESTO QUE ABSORBE LA MAYOR PARTE DE LOS ESFUERZOS HORIZONTALES MIENTRAS QUE EL PILAR SE MANTIENE SIN PROBLEMAS. EN DEFINITIVA LOS ELEMENTOS TRABAJAN EN CONJUNTO Y EL MÁS RÍGIDO SE LLEVA MÁS PARTE DE LAS FUERZAS QUE EL MENOS RÍGIDO.
LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ALMACENA TODAS LAS RIGIDECES DE LOS ELEMENTOS DE DICHA ESTRUCTURA Y REPARTE DESPLAZAMIENTOS Y A LA INVERSA FUERZAS SEGÚN EL VALOR DE DICHAS RIGIDECES. A MAYOR MOVIMIENTO TE TOCA MENOS ESFUERZO Y DE ESO SE ENCARGA LA MATRIZ DE RIGIDEZ. AQUÍ SE PUEDE VER COMO ES LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA EN UN PÓRTICO PLANO, COMO SE OBSERVA SUS COMPONENTES ESTÁN FORMADOS POR TÉRMINOS CORRESPONDIENTES CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LA BARRA:
ÁREA (A) -RIGIDEZ FRENTE A DEFORMACIONES EN EL SENTIDO DEL EJE DE LA BARRA, PRODUCIDAS POR TRACCIONES Y COMPRESIONES INERCIA (I) -RIGIDEZ FRENTE A DEFORMACIONES DE FLEXIÓN LONGITUD (L) Y MÓDULO DE ELASTICIDAD(E)
4.- CONCLUSIONES: • LAS MATRICES NACIERON CON EL OBJETO DE SIMPLIFICAR LA NOTACIÓN A LA HORA DE RESOLVER
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. POSIBLEMENTE EL PRIMERO EN UTILIZAR LA NOTACIÓN ACTUAL FUE EL INGLÉS ARTHUR CAYLEY (1821-1895), QUIEN AL ESTUDIAR LAS TRANSFORMACIONES LINEALES, UTILIZÓ NOTACIONES ABREVIADAS ENTRE CORCHETES COMO LAS DE HOY EN DÍA.
• ES MUY USUAL AL DISEÑAR LAS PRIMERAS ESTRUCTURAS QUE TRAS HACER UN PRE-DIMENSIONADO Y A
PARTIR DE LOS ESFUERZOS OBTENIDOS SE LE DÉ MAYOR SECCIÓN A LOS ELEMENTOS QUE ESTÁN TRABAJANDO CON MAYORES ESFUERZOS, LO CUAL NO SIEMPRE CONDUCE A MEJORAR SU ESTADO, DICHO ELEMENTO SEGURAMENTE SE LLEVARÁ AHORA MÁS PARTE DE LA CARGA. SERÁ MEJOR BUSCAR UN EQUILIBRIO DE LAS RIGIDECES.
