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Modulo 7. Matrices
Miguel Rios Matrices
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Capítulo 1
MATRICES Y DETERMINANTES Matrices y Vectores
Las matrices son ampliamente utilizadas en el campo de la ingeniería y fueron introducidos por los m J.J Silvester, Arthur Cayley y William Hamilton. m De…nición 1 Una matriz A de m con elementos en K :
A =
2 66 4 |
n sobre el campo K ( R ó C) es un arreglo rectangular de m-…las y a a a a a a …las de la matriz .. .. .. .. . . . . a a a 11
12
1n
21
22
2n
m1
m2
mn
{z
Columnas de la matriz
Dicha matriz denotada como A = (aij ) ;
3 77 5 }
9>= >;
Ejemplo Una matriz A con 2 …las y 3 columnas con elementos reales A =
4 1
1 4 1 4
Ejemplo Una matriz B con 3 …las y dos columnas con elementos en el campo de los complejos B =
2 4
2 3 i 4 + 2i 4 3 3 + 5i
3 5
De…nición 4 El tamaño u orden de una matriz viene determinado por el número de …las y columnas d esto es, diremos que la matriz A tiene orden m n
Sign up to vote on this title En los ejemplos anteriores se tiene que la matriz A es de orden 2 3 y la matriz B es de orden
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Nota Cuando el número de …las es igual al número de columnas diremos que la matriz es cuadrada.
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Representación de una matriz como un vector …la
Algunas veces es conveniente representar a una matriz como un vector …la, donde cada elemento vi vector columna, esto es A = Ac1 Ac2 Acn donde Acj =
Ejemplo Dada la matriz A de orden 4
2 66 4
a1j a2j
.. . amj
3 77 5
j = 1
;
5; de…nido por 4 3 2 5 4 4 A = 2 6 6
2 64 3 75
5
2
2
n
1 3 2 5
4 6 3 3
3 75 2 64
considerando cada columna de la matriz como un vector columna, tal como se indica a continuación
Ac1 =
2 64
4 5 2 5
3 75
;
Ac2 =
2 64
3 4 6 2
Ac3 =
;
2 64
2 4 6 2
3 75
;
Ac4 =
1 3 2 5
3 75
;
Ac5 =
2 64
4 6 3 3
3 75
Ahora la matriz A puede ser representada como una matriz …la donde cada elemento es un vector colu A =
Ac1
Ac2
Ac3
Ac4
Ac5
Representación de una matriz como un vector columna
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Tambien podemos representar a la matriz A como un vector columna, donde cada elemento de la m Unlock full access with a free trial. vector …la, esto es
2 66 4
f
3 77 5
A1 f Download WithAFree Trial 2 A = .
donde
f
Ai =
Ejemplo Dada la matriz A de orden 5
ai1
ai2
..
Af m ain
;
i = 1
m
4; de…nido por 4 5 2 5 3 4 6 Sign2 up to vote on this title 2 2 4 6 Useful A = Not useful 1 3 2 5 4 6 3 3
2 66 4
3 77 5
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Traza de una Matriz De…nición 10 Dada una matriz A cuadrada de orden n; la traza de una matriz denotado por tr por la suma de los elementos de la diagonal de la matriz A: tr (A) = a 11 + a22 +
+ a
nn
Ejemplo Sea la matriz A de…nida por
A =
La traza de la matriz A viene dado por
2 64
4 4 2 6
tr (A)
= tr (A) =
4 6 5 1
2 4 4 5
6 4 4 5
3 75
a11 + a22 + a33 + a44
4+6
45= 1
Igualdad de Matrices De…nición 12 Dos matrices A y B son iguales si y solo si: Tienen el mismo orden y Sus componentes correspondientes son iguales, esto es aij = b ij
Tipos de Matrices
You're Reading Preview En el estudio del Algebra lineal aparecen matrices conaciertas características especiales, de…nirem tipos de matrices, que son bastantes útiles en el desarrollo de este curso. Unlock full access with a free trial.
Matriz Identidad
Download With Free Trial
De…nición 13 La matriz identidad de orden n n; I n o simplemente I; es una matriz cuadrada elementos en la diagonal son unos y fuera de la diagonal son todos iguales a cero.
Ejemplo La matriz identidad de orden 3 I 3 es: I 3 =
2 4
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Matriz Nula
3 5 Sign up to vote on this title
Useful matriz useful De…nición 15 Una matriz cuyos elementos son iguales a cero es y es denotada c llamada Notnula
Ejemplo
0 0
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Matriz Triangular Inferior De…nición 19 Una matriz triangular inferior es aquella matriz cuadrada donde todos sus elementos diagonal son iguales a cero. Ejemplo
2 3 4 5 1 4
=
L
1 0 0 1 5 0 3 0 3
=
L
0 2
Matriz Diagonal
De…nición 21 Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que es a la vez triangular superior y trian rior, suele denotarse como diag (a1 ; a2 ; ; an ) ; esto es
diag (a1 ; a2 ;
n)
; a
=
2 66 4 2 3 4 5 a1
0
0 .. .
a2
.. . 0
0
Ejemplo diag (1; 2)
=
..
.
..
.
0 0 ...
an
3 77 5
1 0 0 2
1 0 0 0 5 0 diag (1; 5; 3) = You're Reading a Preview 0 0 3
Matriz Transpuesta
Unlock full access with a free trial.
De…nición 23 Sea A una matriz de orden de…ne la Trial transpuesta de la matriz A a la matr m n seWith Download Free T n m denotada como A como: AT = atij = (aji )
Nota La …la i esima de la matriz AT viene a ser la columna i esima de la matriz A; de manera columna i esima de la matriz AT viene a ser la …la i esima de la matriz A
Ejemplo Sea la matriz A A =
1 0
1
1
2 2
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entonces la transpuesta de A viene dado por AT =
2 3 4 5 1 1 2
0 1 2
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Matriz Antisimétrica De…nición 28 Una matriz cuadrada A se dice que es antisimétrica si AT = Ejemplo Sea la matriz
0 1 1 0 0 2
A =
como vemos
2 4
AT =
por lo tanto la matriz A es antisimétrica
2 4 0 1 0
1 0 2
0 2 0
3 5
0 2 0
A
3 5
=
A
Matriz Conjugada
De…nición 30 Sea A una matriz de orden m n se de…ne la conjugada de la matriz A , a aquella mat donde cada uno de sus elementos es la conjugada de la matriz A m n denotada como A
= ( A aij )
Ejemplo Sea la matriz A; de…nido por A =
1+i i 2 1 0 1 + 2i
entonces la matriz conjugada de A viene dado por = A Matriz Conjugada Transpuesta
1
i
1
i 0
2 1
2i
You're Reading a Preview
De…nición 32 Sea A una matriz de orden m n, la matriz conjugada transpuesta de la matriz A den por full access with a free trial. A , es la matriz de orden m n de…nida Unlock T A = A
Ejemplo Sea la matriz A, de…nida por Download With Free Trial 4+i 1 0 5 i A = 2i 5 Ahora tomamos la transpuesta T
2 4
A =
3 5
4+i 0 2i 1 5 i 5
seguidamente tomamos la conjugada a los elementos de esta matriz T = A por tanto A =
4
i
1
4
1
i
0 2i 5 + i Sign 5 up to vote on this title
0 5+i
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2i 5
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Matriz Normal De…nición 37 Una matriz cuadrada A se dice que es normal si A A = AA Ejemplo Sea la matriz A
i i
A =
entonces tenemos que A = A
luego tenemos que AA = A A
=
T
i
i
i i
=
i
i
i i
i i
i
i i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
=
2 0 0 2
=
2 0 0 2
por lo que tenemos que la matriz A es normal Matriz unitaria De…nición 39 Una matriz cuadrada se dice que es unitaria si A A = AA = I Ejemplo Sea la matriz A de…nida por A =
hallamos la matriz A A =
ahora calculamos la matriz A A
"
1 p 2 1 p
2
1 p
1 2
2
1 2
1 2 1 2
+
1 2
i 2
i 2
1 p
2
# 1 2
i + i You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
"
1 p 2 2 2 A A = 1 1 1 1 1 p i i + 2 2 With 2 2 Download Free Trial2 1 0 A A = = I 1 p
1 p
1 2 1 2
+
i 2
i 2
#
0 1
por lo tanto la matriz es unitaria Matriz ortogonal De…nición 41 Una matriz cuadrada se dice que es ortogonal si AT A = AA T = I Ejemplo Sea la matriz A A =
tenemos que
cos sin
Sign up to vote on this title sin Useful Not useful cos
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Suma de matrices La suma de vectores nos permite extender de manera natural la suma de matrices. De…nición 43 (Suma de matrices) Dada las matrices A y B del mismo orden m A y B denotada como A + B se de…ne como
n; la suma de
A + B = (aij + bij )
Ejemplo Sean A y B las matrices de…nidas por A =
1 2 0 1
0 1
B =
;
1 0
2 1
0 1
; luego A+B
=
A+B
=
1 + 1 2 + ( 2) 0+0 0+0 1+1 1 + ( 1)
0 0 0 0 2 0
Producto de un escalar por una matriz Una operación frecuente es multiplicar a una matriz por un escalar. De…nición 45 Sea A una matriz de orden m matriz A como:
n, r un escalar en K; se de…ne el producto del esca rA = (raij )
Ejemplo Sea la matriz A y el escalar r = 2; donde
A =
2 3
i
1
You're Reading a Preview
entonces rA rA
Unlock full access 2 i with a free 2 trial. 2 2 i
= 2
=
3 1
2 3
i 4 2With Download Free Trial
=
6
21
2
Producto de matrices
El producto de matrices es una nueva operación sobre matrices que depende del orden de las ma poder estar de…nida. Producto de un vector …la por un vector columna
De…nición 47 Dado los vectores x e y , vectores …la y columna respectivamente con el mismo número d Sign up to vote on this title el producto xy es una matriz escalar, esto es, es un escalar
x
= [x1 ; x2 ;
2 3 y1
Useful ; xn ]
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Producto de una matriz por un vector vector
Cuando una matriz mutiplica a un vector el resultado
De…nición 49 Sea A una matriz de orden m nuevo vector denotado Ax; de…nido como
n y x un vector columna de orden n 1; el producto
2 3 64 75 f
Ax =
A1 x f A2 x
Af mx
Ejemplo Sean A y x la matriz y vector de…nidos por
A =
calculamos los productos parciales
2 64
4 1 2 4
f
=
A1 x
f
=
A2 x
f
=
A3 x
1 4 1 4 3 4 3 3
3 75
2 3 4 5 1 2 3
x =
;
2 3 4 5 3 2 4 5 3 2 4 5 3 2 4 5 2 3 64 75 4
1
1
1 2 3
4
1
= 6
1 2 3
4
1 2 3
2 3 4
= 11
=
1 a3 Preview 4Reading 3 2 A4 x You're = = 3 f
4
1
Unlock full access with a free trial.
Por lo tanto el producto Ax viene dado por el uevo vector
Download With Free Trial 6 Ax =
Proposición 51 Dado la matriz …la A =
x1
x2
xn
T
A1
11 4 1
A2
de orden m
An
, el producto Ax viene dado por
Ax = x 1 A1 + x2 A2 +
A
x
n An
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Proof. De la de…nición (49) tenemos que
2 6
n y
a11 x1 + a12 x2 + a21 x1 + a22 x2 +
a a
Useful
xn 2n xn 1n
3 7
Not useful
el vector
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Nota El vector Ax es expresado como una combinación lineal de las columnas de la matriz A Ejemplo Sean A y x la matriz y vector de…nidos por
A =
entonces
Ax
Ax
2 64
4 1 2 4
2 3 64 75 2 3 64 75
=
3 75 2 64
1 4 1 4 3 4 3 3 4 1 2 4
1
6 11 4 1
=
1 2 3
x =
;
1 1 3 3
+2
2 3 4 5
3 2 75 64
4 4 4 3
3
3 75
Produto de dos matrices De…nición 54 (Producto de matrices) Dadas las matrices A y B de orden m es el producto de las matrices de orden m n denotado por C = ( cij ) donde:
cij = a i1 b1j + ai2 b2j +
p y p n respect
+ a
in bnj
Nota El número de columnas de la matriz A es igual al número de …las de la matriz B. Nota El elemnto (i; j ) de la matriz C es el producto de la …la i de A con la columna j de B:
You're Reading af Preview cij = A i Bjc
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Ejemplo Dala las matrices A y B de…nidas por:
Download With Free Trial 2 1 A =
1 2 2 0 1 3
;
2 3 4 5 24 35 2 3 4 5 2 3 0 1 1 5
B =
entonces la matriz C = AB que es el producto de las matrices A y B viene determinado por c11
c12
c21
=
=
=
2 0 1
1 2 2
= 0
1
1 2 2
0 1
3
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5 2 0
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Useful
=
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Ejemplo Dala las matrices A y B de…nidas por: A =
1 2 2 0 1 3
2 3 4 5 24 35 24 35 B =
;
Calculamos los productos parciales Ab1 ; Ab2 Ab1
Ab2
=
=
2 0 1
1 2 2 0 1 3
1 1 5
1 2 2 0 1 3
Entonces tenemos la matriz C = AB dado por C =
2 1 0 1 1 5
0 11 3 16
0 3
=
=
11 16
Matrices por bloques
En esta sección introduciremos algunas técnicas que son de gran utilidad en la manipulación de ma ciene a ser las matrices particionadas o simplemente llamadas matrices por bloques De…nición 60 (Submatriz) Una submatriz de una matriz A , es una matriz obtenida de la matriz ciertas …las y/o columnas de A. Ejemplo La matriz C
1 2 C = 1 You're Reading2a Preview 2 es una submatriz de la matriz
2 4
3 5
Unlock full access 0 with 1 a free 2 trial.
2 12 i 2 1Trial Download With Free A =
p
que se obtuvo al eliminar la columna 1 y la …la 3 de la matriz A
De…nición 62 (Matrices por bloques) Utilizando un sistema de lineas horizontales y verticales, u es particionada en submatrices, llamados bloques de A. Consideremos la matriz A =
2 64
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
3 75
a13 a14 a23 a24 a33 a34 a43 Sign a44up to vote on this title
useful Usefuly vertical Nottal La cual dividimos en cuatro bloques indicado por las lineas horizontal como se muestr escribimos
2
3
2
3
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Si escribimos
0
B
=
D
= [ ]
C =
i
Entonces la matriz A se escribe como A =
E =
B D
C E
1 2
2
p 2
1 2
1
Operaciones con Matrices por Bloques
La manipulación de matrices particionadas es una técnica básica en la teoria de matrices. Se puede suma y la multiplicación de matrices matrices particionadas como las realizadas con matrices ordinar y cuando esta partición sea hecha apropiadamente. Suma de Matrices por bloques
Dada dos matrices por bloques M y N pueden ser sumados de manera natural como la suma d habitual, siempre que 1. M y N tengan el mismo tamaño
2. Esten particionados de manera identica, es decir tienen el mismo número de bloques y además correspondientes son del mismo tamaño. Ejemplo Sean las matrices M y N del msimo orden
2 64 2 64
3 75 3 75
4 -1 0 5 1 5 -2 3 -5 -5 M = 1 5 -2 3 -3 You're Reading a Preview 3 5 3 3 5 Unlock full access with -5 a free-5 trial. 6 -1
2 -4 -6 2 4 -1 N = 1 -4 -1 Download3 With Free Trial 1 1 0 3 -5 3 Particionados las matrices M y N tal como se muestra, M = N =
A C
B D
P R
Q S
luego la suma de matrices queda expresado como M + N =
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A+P C + R
+Useful B Q D + S
Not useful
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Ejemplo Sea A una matriz particionada en bloques de vectores columnas de A esto es A = (A1 ; A2 ;
y x un vector columna x =
entonces
0 BB @
; A
x1 x2
.. . xn
n)
1 CC A
Ax = x 1 A1 + x2 A2 +
x
n An
Ejemplo Sean A una matriz de orden m p y B una matriz de orden p por bloques de vectores columnas, esto es B = (b1 ; b2 ; ; bn )
n tal que la matriz
B esta p
entonces AB = (Ab1 ; Ab2 ;
1.0.1.
n)
; Ab
Matrices Invertibles
Las matrices invertibles son básicas dentro de la teoría de matrices. De…nición 69 Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, si AB = B A = I
entonces se dice que B es la inversa de la matriz A y se denota A1 : Con lo cual se tiene que AA1 = A 1 A = I
You're Reading a Preview
Nota A las matrices que poseen inversa se le llaman matrices no-singulares, por tanto a una matriz q Unlock full access with a free trial. inversa se le llama matriz singular. Nota De la de…nición también podemos decir que A With es la Free inversa de la matriz B, por lo cual A = B Download Trial Ejemplo Sean las matrices A y B de…nidas por A =
1 0
1 1
;
se tiene que AB = B A =
por lo cual decimos que B es la inversa de A B = A 1
B =
1 1 0 1
1 0 0 1
ó A esSign la inversa de on B this A = B 1 up to vote title
Useful Not useful Teorema 73 Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única
Proof. Supongamos que la matriz A posee dos inversas distintas, a decir las matrices B y C, esto es
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Nota Para probar que una matriz B es la inversa de la matriz A es su…ciente que se cumpla una condiciones, a decir AB = I o BA = I
Teorema 75 Sean A y B dos matrices invertibles del mismo orden. Entonces la matriz AB es invertib que (AB )1 = B 1 A1 Proof. Usando la de…nción (69) tenemos que
(AB ) B 1 A1 = A BB 1 A1 = A (I ) A1 = AA 1 = I por tanto la matriz B 1 A1 es la inversa de AB , esto es (AB )1 = B 1 A1
Proposición 76 Sea A una matriz invertible y k un escalar diferente de cero. Probar que
1. A1 es invertible y que A1
1
= A
2. La matriz kA es invertible y (kA )1 =
3. AT es invertible y AT Proof.
1
= A1
1 1 A
k
T
1. De la de…nición (69) = I A1aAPreview You're Reading
entonces A es la inversa de A1 ; esto es
1 free trial. Unlock full accesswith 1 a
= A
A
2. De la de…nición (69) y usando el hecho de k 1 existe,
Download With Free Trial (kA ) k 1 A1 = kk 1 AA1 (kA ) k 1 A1 = I
por tanto
(kA)1 =
1 1 A
k
3. Usando la de…nición (69)
AT A1
por tanto
T
AT
= A1 A
1
T
= I T = I
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A continuación daremos una de…nición de 3 propiedades que debe cumplir la función determinante De…nición 78 La función real det det : M nn A
! R
! det(A)
aplicada sobre toda matriz cuadrada de orden n es llamada determinante si satisface las siguiente 1. El valor de la determinante de la matriz identidad es 1, det(I ) = 1 2. El valor de la determinante de una matriz cambia de signo si dos de sus …las son intercambiad 3. La función det es lineal en la primera …la, esto es
det
donde f i denota la …la i
0 BB @
kf 1 + lf 10 f 2
.. . f n
1 CC A
= k det
esima de la matriz.
0 BB @
1 CC A
f 1 f 2
.. . f n
Ejercicio 79 Mostrar que la de…nición de determinantes de orden 2
+ l det
0 BB @
1 CC A
f 10 f 2
.. . f n
2 satisfacen estas tres reglas.
Una consecuencia de esta de…nición es el siguiente teorema Teorema 80 La función det satisface las siguientes propiedades 1. La determinante es lineal en cualquier …la 2. Si la matriz tiene una …la nula o dos …las iguales entonces la determinante es igual a cero
3. La operación que consiste en añadir a una …la un múltiplo de otra no varia el valor de la determ Proof.
You'reelReading a Preview 1. Como el intercambio de …las solo cambia signo, tenemos que
0 BB B@
1 CC CA
0 BB B@
1 CC CA 0 BB B@ 0 B
f 1access with a free trial.kf i + lf i0 Unlock full
.. . 0 kf i + lf iWith detDownload =Freedet Trial .. . f n
Ahora como es lineal respecto de la primera …la
det
0 BB B@ 0 B
f 1
.. . kf i + lf i0 .. . f n f 1
.. .
1 CC CA 1 C
=
0 BB B@ 0 B
k det
.. .
f 1
.. . f n
1 CC CA 1 C
f i
.. .
1 CC CA 1 C
f i0
.. .
f 1 l det .. .. . . title Sign up to vote on this f 1
f n Useful
f 1
.. .
f n
Not useful f 1
.. .
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Ahora si dos …las son iguales ( f 1 = f 2 ), intercambiamos las …las identicas, entonces
det A = det
entonces tenemos que det A =
0 BB @
1 CC A
f 1 f 2
.. . f n
=
det
0 BB @
f 2 f 1
.. . f n
1 CC A
=
det A
det A ! 2det A = 0 ! det A = 0
3. Podemos suponer que añadimos a la …la 1 un múltiplo de la …la 2
det
det
0 BB @ 0 BB @
f 1 + kf 2 f 2
.. . f n f 1 + kf 2 f 2
.. . f n
1 CC A 1 CC A
= det
0 BB @
1 CC A
f 1 f 2
.. . f n
+ k det
0 BB @
f 2 f 2
.. . f n
1 CC A
= det A
Hallar la determinante de una matriz triangular es lo mas conveniente, esto nos lo dice el siguiente Teorema 81 La determinante satisface las siguientes propiedades
1. La determinante de una matriz triangular U (superior o inferior) es igual al producto de los elem diagonal U ) = ua11Preview u22 unn You'redet( Reading
2. La matriz A es invertible si y solo si det(full = 0 with a free trial. A) access Unlock
6
3. Para toda matriz A y B cuadradas del mismo orden se tiene que
Download With Free Trial
det(AB ) = det(A)det(B )
Expansión por Cofactores
Antes de expresar la determinante de una matriz A como una expansión de cofactores daremos unas previas. De…nición 82 La submatriz M ij de A, que se obtiene al eliminar la i es llamado el menor del elemento ai;j
esima …la y la j esima
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Ejemplo Dada la matriz A de…nida por
A
2 6
1 1
3 1 4 1 1 0
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Ejemplo En el ejemplo anterior el cofactor 2 3 de A, esto es A23 viene dado por A23 A23 A23
= ( 1)2+3 det M 23 1 3 4 = 1det 3 5 1 2 4 0
2 4
= ( 1)98 =
98
3 5
Con estas de…niciones y lo expuesto anteriormente podemos enunciar el siguiente teorema Teorema 86 Sea A una matriz de orden n 1. Para cada 1
i n;
n. Entonces
det(A) = a i1 Ai1 + ai2 Ai2 +
a
in Ain
llamado la expansión por cofactores del determinante de A a lo largo de la …la i de A 2. Para cada 1
j n;
det(A) = a 1j A1j + a2j A2j +
a
nj Anj
llamado la expansión por cofactores del determinante de A a lo largo de la columna j de A De…nición 87 Si A es una matriz de orden n
n y A
cof ( A) =
es llamada la matriz de cofactores de A
ij es
2 66 4
A11 A21
el cofactor de aij ; entonces la matriz
A12 A22
.. . An1
An2
A1n A2n
..
...
.
Ann
3 77 5
De…nición 88 Se denota a la matriz adjunta de A como adj (A) y viene dado por
You're Reading a Preview T
adj (A) = ( cof ( A))
Unlock full access with a free trial.
Ahora podemos enunciar la siguiente proposición
Download With Free Trial Proposición 89 Sea A una matriz de orden n n entonces
A adj (A) = det( A) I
Determinante de una matriz por bloques
Hemos visto que la determinante de una matriz triangular, se obtiene multiplicando los elementos onal, pues bien, para matrices de gran tamaño que presentan una "forma triangular"por bloques, el c determinate se realiza de una manera análoga, empezaremos de…niendo una matriz triangular por bloq
De…nición 90 Una matriz cuadrada particionada por bloques, diremos es triangular Sign upque to vote on this titlepor bloques, s que estan sobre la diagonal son todas matrices cuadradas y ademas los bloques debajo (encima) de la ’di Useful Not useful matrices nulas.
ejemplo de una matriz triangular por bloques
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Proof. Expresemos M como el producto de las matrices
M =
I m 0
0 A
I m 0
C I p
tomando determinantes
det M =
det
det M =
det A
I m 0
0 A
det
I m 0
C I p
Proposición 92 Si A una matriz triangular por bloques de…nido por M =
A 0
C B
donde A y B son de orden n y p respectivamente, entonces se tiene que det M = det A det B Proof. Probar por inducción sobre el orden de la matriz A
1.1.
Inversa de Matrices
En este curso hablaremos de inversa de una matriz, cuando esta matriz es cuadrada. De…nición 93 Una matriz cuadrada de orden n cuadrada B de orden n n tal que
n se dice que es invertible (o no singular) si existe AB = B A = I
Esta matriz B es llamada la inversa de A y es denotada por A1
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Ejemplo Sean A y B las matrices de…nidas por
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A =
1 1
2 1
B =
1 2 1 1
Download With Free Trial
como AB
=
BA
=
1 1
1 2 1 1
2 1
1 1
1 2 1 1
=
1 0 0 1
= I
2 1
=
1 0 0 1
= I
entonces decimos que B es la inversa de A B = A 1 ; o que A es la inversa de B A = B 1 Nota Es su…ciente que AB = I para a…rmar que B es la inversa de A o viceversa
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El siguiente lema nos garantiza que si una matriz tiene inversa es única. Useful esta useful entonces Not Lema 96 Si una matriz tiene inversa entonces la inversa es única.
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Teorema 98 El producto de dos matrices invertibles es tambien invertible. esto es (AB )1 = B 1 A1 Proof. Como las matrices son invertibles entonces existe A 1 ; B 1 ; entonces
(AB ) B 1 A1 (AB ) B 1 A1 (AB ) B 1 A1
= A B B 1 A1
= A BB 1 A1 = A (I ) A1 = AA 1 = I
Problema 99 Usando inducción pruebe que (I
A)
I + A +
k
1
A
= I
A
k
Esto nos lleva a la siguiente situación, si consideramos que la matriz cumple con ser nilpotente, es un entero k (el menor de todos) tal que Ak = 0 entonces (I
1
A)
= I + A +
k 1
A
Notar que si la matriz es invertible entonces se tiene que A1 =
1
jAj
adj (A)
y A = A adj A1
j j
Problema 100 Probar que A es invertible si y solo si adj (A) es invertible, y que si A es invertible en
1
adj A1 = (adj (A))
n Reading n con n a>Preview Problema 101 Si A es una matriz de orden 1 Mostrar que You're
n 1. adj (A) = A 1
j
j j j
Unlock full access with a free trial.
n 2. adj (adj (A)) = A 2 A; si A es invertible
j j
Solución 102
1.
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