Tema 4: Matrices _____________________________________________________________________________________
TEMA 4:
MATRICES Y DETERMINANTES
Contenidos: 1. Definiciones básicas y operaciones matriciales. 2. Determinantes. 3. Matriz inversa 4. Rango de una matriz.
1. Definiciones básicas y operaciones matriciales. 1.1. Definición. Se llama matriz a un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Se simboliza como
a11 a12 a 21 a 22 A = K K a n1 a n 2
K
a1m
K
a 2m
a nm
O
K
K
=
i = 1,2, K n (a ij ) con j = 1,2, K m
y tal que a ij
∈
Un elemento genérico de la matriz se nota a ij , será el elemento que está en la fila i y en la columna j. Se dice que la matriz A es de orden nµm si tiene, como en la definición n filas y m columnas. El conjunto de todas las matrices de orden nµm se nota nµm. De este modo diremos que Aœnµm.
1 Por ejemplo, 1 / 5 6
0
−3
0
0
− 7 / 5
3
5
2
7 sería una una matriz de orden 3µ4
0
1.2. Tipos de matrices. 1. Una matriz se dice que es una matriz nula si todos sus elementos son iguales a cero, es decir, a ij = 0 ∀i = 1, 2,K n, ∀ j = 1, 2, K m 2. Se llama matriz fila si solo tiene una fila, es decir, n = 1 A = (a1
a2
K
a m ) ∈ 1µm
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3. Se llama matriz columna a la que solo tiene una columna, es decir, m = 1
a1 a2 A = ∈ nµ1 K a n 4. Se llama matriz cuadrada a la que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir n = m. Si A es una matriz cuadrada de orden nµn se dice que es de orden n. Al conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n se las nota n t 5. Dada la matriz A∈m n, llamamos matriz transpuesta, y la expresamos A a la que ×
tiene como primera fila la primera columna de A, como segunda fila la segunda columna de A, y así sucesivamente. Por tanto, dada A∈m n se verifica que: ×
- At ∈n -
( A t ) t
×
m
= A
6. Dada una matriz cuadrada, A∈n, se llama diagonal principal a los elementos a11 , a 22 ,K , a nn .
7. Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal, es decir, a11 + a 22 + K + a nn . 8. Dada una matriz cuadrada A∈n, diremos que es triangular superior si todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos. 9. Dada una matriz cuadrada A∈n, diremos que es triangular inferior si todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos. 10. Dada una matriz cuadrada A∈n, diremos que es diagonal si todos los elementos que no sean de la diagonal principal son nulos. 11. Dada una matriz cuadrada A∈n, diremos que es unitaria, si es diagonal y todos los elementos de dicha diagonal son iguales a 1. También se le llama matriz identidad . 12. Dada A∈n diremos que es simétrica si aij
=
a ji
13. Dada A∈n diremos que es antisimétrica si aij
∀i, j = 1, 2 K n
= − a ji ∀i , j = 1,2 K n
14. Dada A∈m n, llamamos submatriz de A a cualquier matriz obtenida después de ×
suprimir cierto número de filas y/o columnas en A.
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1.3. Operaciones con matrices. 1.3.1. Igualdad de matrices . Dos matrices, A y B, son iguales si tienen los mismos elementos y en el mismo orden, es decir,
- A, B ∈n -
aij
×
m
= bij ∀i = 1,2 K n, ∀ j = 1,2, K m
2.3.2. Suma de matrices. Dadas A, B triz A+ B∈n
a11 a12 a 21 a 22 K K a n1 a n 2
m
×
K K O K
n
∈
m
×
definimos la suma de A y B como la ma-
tal que, a1m
b b 11 12 a 2 m b21 b22 + K K K a nm bn1 bn 2
b1m
a12 + b12 a + b 11 11 b2 m a 21 + b21 a 22 + b22 = K K K bnm a n1 + bn1 a n 2 + bn 2
K K O K
K K O K
a1m
+ b1m
a 2m
+ b2 m
K a nm + bnm
Las propiedades que verifica la suma de matrices son: 1. Conmutativa: A+ B = B+ A 2. Asociativa: ( A+ B)+C = A+( B+C ) 3. Elemento neutro: A+0 = A, donde 0, que es la matriz nula de la misma dimensión que A, es el elemento neutro. 4. Elemento opuesto: Dada A = (aij) ∈n la matriz - A = (- aij) ∈n
m
×
×
m
se define la matriz opuesta de A como
tal que A + ( − A) = 0 .
1.3.3. Producto de una matriz por un número real. Dada A∈n
×
m
yr
∈
se define
el producto r .A como la matriz r .A = (r .aij) ∈n m es decir, ×
a11 a12 a 21 a 22 r . A = r K K a n1 a n 2
K K O K
a1m
ra12 ra 11 a 2 m ra 21 ra 22 = K K K a nm ra n1 ra n 2
K
ra1m
K
ra 2 m
ra nm
O
K
K
Esta operación verifica las siguientes propiedades: sean A, B∈n
×
m
y r , s ∈ se
1. Distributiva 1: r ( A + B ) = rA + rB 2. Distributiva 2: ( r + s ) A = rA + sA 3. Asociativa: (rs ) A = r ( sA)
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4. 1. A = A 5. 0. A = 0
1.3.4. Producto de matrices. Dadas A = ( aij ) ∈ n
m
×
y B
=
(bij ) ∈ m p se define el ×
producto de A por B como la matriz C = (cij) œ n p tal que ×
k =m C = (cij ) = A B . = ∑ aik bkj k =1 k = m
cij
=
∑a
b
ik kj
=
a i1b1 j
+
ai 2 b2 j
+L+
a im bmj
∀i = 1, 2, K , n, ∀ j = 1,2, K, p
k =1
Es decir, el elemento cij se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. Propiedades. 1. Asociativa: ∀ A ∈ n
m
×
, ∀ B ∈ m p , ×
∀C ∈ p×r ,
se verifica que
( A B . ).C = A.( B.C ) 2. Distributiva 1: ∀ A ∈, B n 3. Distributiva 2: ∀ A ∈ n 4.
∀ A ∈ n×m
m
×
m
×
∀C ∈ m× p
,
, se verifica ( A + B ).C = A.C + B.C
, ∀ B, C ∈m p , se verifica A.( B + C ) = A B . + A.C ×
, I n . A = A y A. I m
= A ,
siendo I n y I m las matrices unitarias de
orden n y m, respectivamente. 5.
∀ A ∈ n×m
, ∀ B ∈ m p , ( A. B ) t = B t . A t ×
6. El producto de matrices no verifica la propiedad conmutativa. De hecho puede existir el producto de A. B y no existir B. A
Ejemplos:
− 1 1. Dada la matriz A = 3 0
2 1 / 2 − 3 / 4
2
5 , veamos cuál es su dimensión, cuál es la diago0
nal principal, su traza, la matriz transpuesta, si es A simétrica o antisimétrica.
1
2. Dadas las matrices A =
1
− 1
, B = 0 2 2
1 , C = , D = 3 − 2 0 1 0 1 1
1
0
5
2
0 , − 2
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0 1 2 1 2 F = 1 0 1 , G = 1 2 1 1 3 0 0
− 2
0 2
Calcular 2 A − B, 3F − G t , AB − BA, (CD ) t − G 2 , CDF , BD t
Repasar las operaciones básicas con matrices http://www.unizar.es/aragon_tres/u6.htm
2. Determinantes.
Dada A∈n , matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de A, y se nota A o det( A) , a un número real que se calcula, según el orden de la matriz, de la siguiente forma:
-
Si A es de orden 1, es decir A = ( a11 ) , entonces A
-
Si A es de orden 2, es decir A =
-
a11 a12 Si A es de orden 3, es decir A = a 21 a 22 a 31 a32
a11 a 21
A
=
a11a 22 a 33
+
a13 a 21 a32
a12
=
a11
, entonces A
a 22
=
a11a 22
− a12 a 21
a13
a 23 , entonces a 33
+ a12 a 23 a31 − a13 a 22 a 31 − a11 a 23 a 32 − a12 a 21 a 33
A esta expresión se la conoce con el nombre de Regla de Sarrus.
-
Si es de orden superior a tres se desarrolla por los adjuntos de una fila o columna. De esta manera se consigue reducir el cálculo de determinantes al cálculo de los determinantes de orden inferior, concretamente al cálculo de determinantes de orden tres. Para poder dar el procedimiento primero hemos de dar algunas definiciones:
- Dada A = (aij ) ∈ n se llama menor complementario del elemento a ij al determinante de la submatriz que se obtiene al eliminar en A la fila i y la columna j.
- Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario de aij multiplicado por ( −1) i + j . Se nota Aij Ahora sí podemos dar la forma en que se calcula el determinante de una matriz de orden superior a tres:
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Si se desarrolla por la fila i: A
=
ai1 Ai1 + a i 2 Ai 2
Si se desarrolla por la columna j: A
=
a1 j A1 j
+L+
ain Ain
+ a 2 j A2 j + L + a nj Anj
Ejercicios: Calcula el determinante de las siguientes matrices:
2 A = 5
− 1
;
4
3 B = 5 −1
1 0 0 3 ; C = 1 − 2 − 5 3 2
− 1
2
−1
− 2
3
5
1
−1
5 −1
0
2
− 1
Propiedades de los determinantes: 1. A
=
2. A. B
A t =
A . B , ∀ A, B ∈n
3. Si en una matriz se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas), el determinante cambia de signo. 4. Si una matriz tiene una fila (o una columna) con todos sus elementos iguales a cero, su determinante es nulo. 5. Si una matriz tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es nulo. 6. Si una matriz tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es nulo. 7. Si en una matriz se multiplican los elementos de una fila (o de una columna) por un número real, el determinante de la matriz resultante es el de la matriz inicial multiplicado por dicho número.
8.
a11
a12
K
a1n
a11
a12
K
a1n
a11
a12
K
a1n
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
ai1
ai 2
K
a in
bi1
bi 2
K
bin
a i1
+ bi1
ai 2
+ bi 2
K
ain
+ bin =
+
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
a n1
an2
K
a nn
a n1
an2
K
a nn
a n1
an2
K
a nn
(Análogamente ocurre para las columnas) 9. Si en una matriz una fila (o columna) es combinación lineal de las restantes filas (o columnas), su determinante es nulo. 10. Si en una matriz se suma a una fila (o columna) una combinación lineal de las restantes filas (o columnas), su determinante no varía.
Ejemplo: Sin desarrollar, ¿Por qué los siguientes determinantes son nulos?
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1
2
−1
A = 2
0
3 , B
3
2
2
=
1
2
1
2
−1
0
2
3
1 / 2 5
1 1 / 2 2
, C =
1
0
−2
2
7
1
−1
−1
2
2
5
−1
3. Matriz inversa.
Definición. Una matriz A = ( a ij ) ∈ n se dice que es regular o inversible si ∃ B ∈ n tal que A. B = B. A = I . Se dice que B es la inversa de A y se nota A −1 . Si A no tiene inversa se dice que es singular .
Propiedades. 1. La matriz inversa de una matriz, si existe, es única. 2. Si Aœn es regular ï A es regular y se verifica que ( A −1 )
−1
-1
3. Si Aœn es regular, " t œ-{0} ï (t . A) 4. Si A, Bœn son regulares ï ( A B . )
−1
−1
= B
=
−1
t −1 . A −1
. A −1
5. Si Aœn es regular ï A es regular y se verifica que ( A t )
−1
t
6. Si Aœn es regular ï A
≠
= A
=
( A ) . −1
t
0
Cálculo de la matriz inversa: Para el cálculo de la inversa de una matriz cuadrada existen dos procedimientos: por operaciones elementales y mediante adjuntos. Aquí veremos la definición para calcularla mediante adjuntos:
-
Dada Aœn se llama matriz adjunta de A a la matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de A. Se nota Adj( A)
-
Si Aœn es una matriz regular, entonces A −1
1 Ejemplo: Calcular las inversas de las matrices: A = 2
=
1 A
(Adj( A))t
1 ; B = 0 − 3 −1 2
−1
1
1
2 − 1
2
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4. Rango de una matriz.
Definiciones: Sea una matriz Aœnµm, 1. Se llama menor de orden h de la matriz A al determinante de una submatriz cuadrada de A de orden h. 2. Se llama menor principal de orden h de la matriz A al determinante de la submatriz cuadrada de A formada con las h primeras filas y las h primeras columnas. 3. Se dice que el rango de la matriz A es p, y se escribe rango( A) = p , si:
-
existe un menor de orden p no nulo
-
todos los menores de orden superior a p son nulos o no existen.
Ejercicios. Calcular el rango de las siguientes matrices:
1 − 1 1 2 ; B = 0 A = 0 1 0 2 1 0 F = 3 4
−2
3
− 1
2
0
− 1
0
1
0
−2
4
− 1
− 3
1 2 0 ; C = 0 1 4 0 − 6
3
1 2 − 2 ; D = 0 1 1 3 − 2
1 −1 − 2 ; E = 0 1 0 3
2
3
2
3 −1
1 0
1
Bibliografía y enlaces útiles:
������ ������� ������������� �� ������� �������� http://www.unizar.es/aragon_tres/u6.htm
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